Astrofotografie: Überblick

Gehört zu: Astronomie

Siehe auch: Aufnahmeverfahren – Image Capturing

Astrofotografie

Bei den Astros kann man zwei “Lager” unterscheiden:

  • visuelle
  • fotografische

Ich persönlich möchte meine astronomischen Beobachtungen unbedingt festhalten, sprich als Foto dokumentieren.

Bei der Astrofotografie benötigt man deutlich mehr Technik als für die “nur” visuelle Astronomie.
Technik bedeutet hier: Gerätschaften (meine Geräteliste), Computer-Software (meine Softwareliste) und die zweckmäßige Vorgehensweise (Image Capturung).

Welche Websites können helfen?

Im Internet gibt es viele Quellen, die bei der Astrofotografie helfen können z.B.

Welche Objekte will ich fotografieren?

Da gibt es ganz unterschiedliche Motive/Beobachtungsobjekte:

  • Weitwinkel: Sternbilder, Milchstraße, Strichspuren, Zodikallicht, Erdschattenbogen, Halo-Erscheinungen, Leuchtende Nachtwolken,…
  • Objekte im Sonnensystem, wie Planeten/Kleinplaneten/Mond/Sonne
  • Deep Sky Objekte (“DSO”) Galaxien
  • Deep Sky Objekte: Sternhaufen, Asterismen
  • Deep Sky Objekte: Planetarische Nebel
  • Deep Sky Objekte: Emmissionsnebel, Absoptionsnebel

Wie ziele ich auf mein Beobachtungsobjekt?

Um das Beobachtungsobjekt in das Gesichtsfeld zu bekommen (“Framing”) gibt es verschiedene Methoden:

Wie hell ist das Beobachtungsobjekt?

Wenn es hell ist, kann man sehr kurz belichen

Wenn es dunkel ist, muss man sehr lange belichten

Wenn man lange belichtet, muss man evtl. nachführen, um die Erdrotation zu kompensieren.

Wie groß ist das Beobachtungsobjekt?

Das Beobachtungsobjekt muss in das Gesichtsfeld (Field of View = FoV) passen.

Bei der Astrofotografie macht es keinen Sinn von “Vergrößerung” zu sprechen. Das Bild entsteht auf dem elektronischen Sensor und kann dann in verschiedener Größe angezeigt werden. Wir haben ja kein Okular, mit dem wir das Bild betrachten (visuelle Astronomie). Bei Betrachtung durch ein Okular kann man von einer Vergrößerung sprechen und diese berechnen als f1/f2.

Womit kann ich fotografieren?

Zum Fotografieren benötigt man eine bildgebende Optik (Fotoobjektiv oder Teleskop) und einen bildaufnehmenden Sensor (DSLR oder Astro-Kamera CCD/CMOS).

Als Optiken für die Astrofotografie kommen infrage:

Bei Fotografieren entseht das Bild auf einem sog. Sensor:

  • Fotoapparate (DSLR)
  • Astro-Kameras (CCD/CMOS)

Linse und Sensor müssen zusammenpassen, um die beste Auflösung zu erzielen.

Aufnahmeverfahren (Image Capturing)

Wie gehe ich nun konkret vor beim Fotografieren von astronomischen Objekten? Das habe ich in diesem gesonderten Artikel beschrieben.

Astrofotografie – Überblick und Begriffe

Gehört zu: Astronomie

Mein Einstieg in die Astrofotografie

Als Amateurastronom möchte ich nicht nur visuell beobachten, sondern meine Beobachtungen auch gerne fotografisch festhalten.
Besonders interessant finde ich die Tatsache, dass ich auf einem Foto mehr sehen kann als mit bloßem Auge (dunklere Objekte, Farben,…).

Im Einzelnen habe ich für die Astrofotografie folgendes beschrieben:

  • Liste meiner Geräte (Equipment)
    • Montierung (Stativ etc.)
    • Kamera / Sensor
    • Fernauslöser (Remote Control,…)
    • Optik / Objektiv

 


Astrofotografie: Begriffe – Jargon

Wie häufig bei Spezialgebieten werden auch bei den erfahrenen Amatuerastronomen viele schöne Spezalbegriffe und Abkürzungen verwendet, die ein Einsteiger vielleicht nicht immmer gleich richtig versteht.

  • Lucky Imaging: Um der Luftunruhe ein Schnäppchen zu schlagen, macht man viele sehr kurz belichtete Aufnahmen (etwa 1/100 sec) und verwendet dann die wenigen Aufnahmen mit gutem “Seeing” zum Stacken…
  • Pretty Pictures: Leicht abwerted für “der macht keine wissenschftlichen Fotos”, sondern “nur” etwas, was schön aussieht
  • Tracking: Nachführung
  • Guiding
  • Pointing-Modell
  • DMK
  • ASI: USB-Kameras von der Firma ZW Optical
  • LX200
  • Seeing
  • fokal / afokal
  • xyz

———————

Kamera bzw. Sensoren für Astrofotografie

Astrofotografie kann man heutzutage ganz einfach mit “normalen” digitalen Kameras (z.B. Canon, Nikon, Sony, Panasonic u.a.) machen.

Eine sehr niedrige Einstiegschwelle bietet die sog. afokale Fotografie, wo eine Kamera mit ihrem Objektiv direkt hinter das Okular eines Fernrohrs gehalten wird. Klassischerweise verwenden die “Profis” aber die sog. fokale Fotografie, wo der Sensor einer Kamera in die (primäre) Fokalebene eines Fernrohrs plaziert wird.

Weiterhin werden seid einiger Zeit auch kleine Video-Kameras eingesetzt, die aber keinen Bildspeicher haben, sondern ihr Bild immer an einen PC liefern müssen.
hatte ich mir (als “Sensoren“) angeschafft:

Optiken

Als Optiken für die Sony habe ich verschiedene Möglichkeiten (Festbrennweiten mit Adapter auf E-Mount) –> DLSR-Objektive

  • Olympus G.ZUIKO AUTO-S  f=50mm, 1:1,4  (leichtes Tele z.B. für die Große Magellansche Wolke)
  • Vivitar AUTO WIDE-ANGLE f=24mm, 1:2 (Weitwinkel, z.B. für Polarlichter, die Milchstraße etc.)
  • MC Zenitar-M f=16mm, 1:2,8 (Überweitwinkel “FISH-EYE” z.B. für die Perseiden)
  • Asahi Optics Takumar f=135, 1:3,5
  • LidlScope 70/700 “SkyLux”  (z.B. für Sonnenbeobachtung)
  • Russentonne Rubinar f=500, 1:5.6   —> schlechte Qualität –> verkauft
  • und seit dem 1.11.2016 auch noch die sog. “Wundertüte” Beroflex, aber mit f=300mm, 1:4,0

Als Optiken für die Altair GP-CAM habe ich erst einmal:

  • Die mitgelieferte sog. “Meteorlinse”: This is a CS lens f=2.1mm    f/1.6   FOV 150 Grad
  • Eine zusätzlich als Sucher gekaufte f=12mm  f/1.2  FOV 17 x 22 Grad

Fernauslöser – Remote Control – für die Sony NEX-5R

In der Astrofotografie ist es erforderlich die Kamera erschütterungsfrei auszulösen.Das kann mit Hilfe spezieller Gerate (Fernauslöser) oder auch per Software von einem Computer erfolgen.

Außerdem kann es sinnvoll sein auch weitere Funktionen der Kamera per Software “Remote Control” zusteuern.

Fokussierung

Wir müssen das Teleskop bzw. das Foto-Objektiv so einstellen, das der Fokus genau in der Bildebene liegt und die astronomischen Beobachtungsobjekte “scharf” sind.

Astrofotografie für Einsteiger: Wie fokussiere ich mein Bild?

Montierungen – Stative – Nachführung

Zur Nachführung bei der Astrofotografie gibt es viele Möglichkeiten

Auffinden von Beobachtungsobjekten – Sucher

Oft ist es garnicht so einfach das gewünsche Beobachtungsobjekt im Gesichtsfeld von Kamera oder Teleskop einzustellen.

Beobachtungsorte – Lichtverschmutzung

Beobachtungsplanung

Welche Beobachtungsobjekte mit welchem Gerät zu welcher Zeit an welchem Ort?

Astrofotografie für Einsteiger: Welche Objekte kann ich fotografieren?

Bildbearbeitung

  • Stacken
  • Stretchen
  • Farbstich
  • Vignettierung
  • Farbrauschen
  • Gradienten
  • xyz

Meine Artikel zum Thema Astronomie

xxx

Astronomie: Themen im Überblick

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Liste meiner astronomischen Geräte

Astronomische Themen im Überblick

Es gibt vieles Astronomisches, was man im Internet findet. Ausserdem habe ich als Amateur, der sich ein wenig mit der Astronomie beschäftigt,  einige Informationen in meinem Blog zusammengestellt

Links im Internet

Links von Hans:

Links von Prof. Dr. Stefan Jordan auf dem ATT 2018

Meine Blog-Artikel

Zu astronomischen Themen habe ich einiges aufgeschrieben:

Vereine und Institutionen für Amateurastronomie

Links im Internet

Physik: Relativitätstheorie

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Kosmologie, Tensoren, Lineare Algebra
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Was ist mit “Relativität” gemeint?

Der Begriff der “Relativität” von physikalischen Vorgängen dreht sich darum, dass ein und dieselbe Beobachtung von verschiedenen Beobachtern in verschiedenen Koordinatensystemen gemacht wird. Bei den oben genannten “physikalischen Vorgängen” handelt es sich um die Messung physikalischer Größen wie:

  • Bestimmung der Zeit
  • Bestimmung des Ortes
  • Bestimmung der Geschwindigkeit
  • Bestimmung des Impulses
  • Bestimmung der kinetischen Energie
  • Lorentz-Kraft
  • Maxwell-Gleichungen

Dabei könnten zwei Beobachter zu übereinstimmenden Ergebnissen kommen (so etwas nennt man dann “invariant”) oder es ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse (“variant”). Im letzteren Fall kommt es also immer darauf an, welcher Beobachter diese Messung gemacht hat. Die Ergebnisse sind also “relativ” zu einem bestimmten Beobachter zu sehen.

Im Falle einer solchen Relativität möchte man die Messergebnisse zwischen Beobachtern formelmäßig “transformieren” können. Wir betrachten dafür nur Beobachter, die sich gleichförmig und gradlinig zu einander bewegen, also ohne Beschleunigung. Solche Beobachter bzw. deren Koordinatensysteme (Ort und Zeit) nennen wir “Inertialsysteme“. Ein Beobachter beobachtet Ereignisse, denen er jeweils Ort und Zeit zuordnet.

Solche Ereignisse kann man sich als Punkte in einem sog. Raum-Zeit-Diagramm veranschaulichen, wo die auf der einen Achse die drei Raum-Dimensionen x, y, z auf eine Dimension vereinfacht werden: x. Es bleibt als zweite Achse die Darstellung der Zeit, wobei es sich später als elegant erweisen wird, statt der “echten” Zeit das Produkt aus Lichtgeschwindigkeit und der Zeit, also c · t abzutragen.

Ein Minkowski-Diagramm ist eine ganz einfache grafische Darstellung, nämlich ein rechtwinkliges zweidimensionales Koordinatensystem mit einer Zeitachse und einer Raumachse (also der dreidimensionale Raum auf eine Dimension vereinfacht). Beobachter, die sich gleichförmig und gradlinig bewegen (Inertialsysteme), haben dann als sog. “Weltlinie” eine Gerade.

Weltlinie eines Photons

Mit so einem Raum-Zeit-Diagramm stellen wir also einen 2-dimensionalen Vektorraum dar und suchen nach Transformationen, die Koordinaten eines Ereignisses von einem Koordinatensystem in ein anderes transformieren. Da es sich bei den Koordinatensystemen um Intertialsystem handeln soll, könnten wir vermuten, dass die Transformationen auch ganz einfache sind z.B. Linerare Transformationen, die dann als Matrix dargestellt werden könnten.

Relativität bei Gallileo

Bei Galileo sind die die physikalischen Gesetze, speziell die Bewegungsgleichungen, identisch in allen Inertialsystemen. Es gibt kein bevorzugtes System, was etwa “in Ruhe” wäre. Jede Bewegung muss relativ zu einem Bezugspunkt gemessen werden.

Speziell für Geschwindigkeiten gilt nach Gallileo das auch intuitiv einleuchtende “Additionsgesetz” d.h. wenn ein Beobachter in seinem System ein Objekt mit der Geschwindigkeit v1 misst, dann wird ein anderer Beobachter, der sich relativ zum ersten Beobachter mit der Geschwindigkeit v bewegt, die Geschwindigkeit desselben Objekts zu v2 = v1 + v messen. Wobei da noch die Richtungen berücksichtigt werden müssen, also: \( \vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{v} \)

Auch die Lichtgeschwindigkeit wäre in unterschiedlichen Inertialsystemen unterschiedlich.

Die Galilieo-Transformationsgleichungen wären demnach:

\(  \tilde{t} = t \\ \tilde{x} = -v \cdot t + x \\\)

Was als Galileo-Transformationsmatrix ergibt:

\( F = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  -v & 1 \\  \end{array} \right] \\ B = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  v & 1 \\  \end{array} \right] \)

Wobei F (=foreward) und B (=backward) wieder die Identität ergeben.

Youtube Video eigenchris 103d: https://youtu.be/ndjiLM5L-1s

Gallilieo.svg

Gallileo/Newtom-Transformation (blau -> rot)

Bei der Koordinatentransformation nach Gallileo/Newton verschiebt sich “nur” die x-Achse, die Zeit (t) ist in jedem bewegten Inertialsystem gleich. Dadurch würde jede Geschwindigkeit (also auch die Lichtgeschwindigkeit) verändert.

Lorentz & Co.

Die sog. Lorentz-Transformationen entstanden nach 1892 um zunächst die damals vorherschende Äthertheorie in Einklang mit den Ergebnissen des Michelson-Morley-Experiments zu bringen. (Albert A. Michelson 1881 in Potsdam). Die Lorentz-Transformationen wurden erst 1905 von Heny Poicaré (1854-1912)  so formuliert, wie wir sie heute kennen:

\(  c \cdot \tilde{t} = \gamma (ct – \beta x) \\ \tilde{x} = \gamma ( -\beta c t + x) \)

wobei \( \beta = \frac{v}{c}  \) und \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \)

Wobei diese Faktoren so bestimmt sind, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Intertialsystemen gleich ist.

Als Lorentz-Transformationsmatrix ergibt sich:

\( F = \gamma \left[ \begin{array}{rr} 1 & -\beta \\  -\beta & 1 \\  \end{array} \right] \\ B = \gamma \left[ \begin{array}{rr} 1 & +\beta \\  +\beta & 1 \\  \end{array} \right] \)

Youtube Video eigenchris 104b: https://youtu.be/240YGZmV1b0

Lorentz Transformation

Lorentz-Transformation (blau -> rot)

Bei der Lorentz-Transformation werden beide Achsen in Richtung auf die Diagonale gedreht. Dadurch werden die ursprünglichen Quadrate zu Rhomben und die Lichtgeschwindigkeit beibt gleich (die Diagonale). Die Skalierung (also die Achsenteilungen bleiben bei der Lozenz-Transformation so, dass die Flächen der Rhomben gleich den Flächen der ursprünglichen Quadrate sind (Determinante = 1). Für diese Skalierung sorgt der Faktor γ (siehe oben).

SRT Einsteins Spezielle Relativitätstheorie

Albert Einstein hat 1905 die sog. “Spezielle Relativitätstheorie” formuliert. Ausgehend von zwei Postulaten:

  • Die physikalischen Gesetze sind gleich in allen Intertialsystemen
  • Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist gleich in allen Intertialsystemen

leitet er daraus erstmals die Lorentz-Transformationen (s.o.) her.

Daraus wiederum ergeben sich die Phänomene:

  • Zeitdilatation
  • Längenkontraktion

SRT Minkowski-Raum – Minkowski-Metrik

Hermann Minkowski (1864-1909) war ein deutscher Mathematiker, der zeitweise auch Einsteins Lehrer in Zürich war.
Ein Minkowski-Diagramm ist ja relativ locker definiert (s.o.) Von einem Minkowski-Raum spricht man, wenn man einen Vektorraum mit einer speziellen Metrik hat. Diese Minkowski-Metrik (siehe dazu: Minkowski-Tensor) wird definiert durch das Linienelement:

ds²  = c² dt² – (dx² + dy² + dz²)

Zwei Ereignisse in unserer Raumzeit e1 = (t1, x1, y1, z1) und e2 = (t2, x2, y2, z2) hätten nach dieser Metrik den Abstand s, der sich wie folgt errechnet:

\(  s^2 = c^2 (t_2 – t_1) – (x_2 – x_1)^2 – (y_2 – y_1)^2 – (z_2 – z_1)^2  \)

Das interessante an der Minkwski-Metrik ist, das sie invariant gegenüber Lorentz-Transformationen ist – was man leicht nachrechnen kann..

In so einem Minkowski-Raum, also mit der Minkowski-Metrik, lässt sich die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) demnach sehr einfach grafisch darstellen eben weil diese Metrik Lorentz-invariant ist.

Man sagt auch: Wenn man unser Universum als Minkowski-Raum verstehen wollte, mit dieser Metrik,  wäre das ein “flacher” Raum, also nicht gekrümmt (so zu sagen ohne Gravitation).

Für den Abstand zweier Ereignisse können wir unterscheiden:

  • \( s^2 > 0 \) : Der Abstand ist “raumartig”
  • \( s^2 < 0 \) : Der Abstand ist “zeitartig”
  • \( s^2 = 0 \) : Der Abstand ist “lichtartig”

Auf eine Raum-Dimension vereinfacht, ist der Minkowski-Abstand also:

\( s^2 = c^2 t^2 – x^2 \)

Wenn wir als Beispiel s = 1 (raumartiger Abstand) nehmen, erhalten wir ein Hyperbel im Minkowski-Diagramm. Dort liegen also alle Punkte im ursprünglichen Bezugssystem (x,ct), die eine Abstand 1 vom Koordinatenursprung haben. Da dieser Anstand invariant ist, liegt dort also auch für jedes transformierte Bezugssystem (x’, ct’) der Punkt auf der transformierten Raum-Achse, der einen Abstand 1 vom Ursprung hat.
Wir müssen also immer daran denken, dass im Minkowski-Raum nicht die vom Diagramm “vorgegaukelte” Euklidische Geometrie gilt, sondern der Minkowski-Abstand.

Hyperbel.svg

Minkowski-Metrik

Einstein ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie geht es um die Gravitation….

Bekannt sind seine berühmten sog. Feldgleichungen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{x^4} T_{\mu \nu} \\\)

Worin auch der Metrik-Tensor \( g_{\mu \nu} \) vorkommt. Gemäß Konvention laufen μ und ν = 0,1, 2, 3 wobei 0 die Zeit-Koordinate bedeutet.

 

Mathematik: Tensoren

Gehört zu: Mathematik

Siehe auch: Diriac-Notation, QuantenmechanikVektorräume, Lineare Algebra

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Was sind Tensoren?

Eine der Voraussetzungen zum Verständnis vieler Dinge (z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik) sind sog. Tensoren.

Der Begriff “Tensor” wurde im 19. Jahuhundert relativ unsystematisch bei verschiedenen physikalischen Berechnungen eingeführt.

Darüber gibt es schöne Youtube-Videos von “eigenchris”:  https://youtu.be/sdCmW5N1LW4

Als Vorbereitung dazu habe ich zuerst mal etwas zu Vektorräumen zusammengestellt.

Auffrischung

Wir hatten ja im Artikel über Vektorräume schon gesehen, dass Vektoren Objekte sind, die unabhängig von Koordinatensystemen exsistieren und auch gegenüber einem Wechsel von Koordinatensystemen “invariant” sind. Nur die Komponenten der Vektoren verändern sich dann, nicht aber die Vektoren selber.

Invarianz bedeutet allgemein gesagt, dass ein und dasselbe Objekt verschieden beschrieben (“repräsentiert”) werden kann von verschiedenen Standpunkten (Koordinatensystemen) aus.

Unsere Koordinatensysteme beruhen immer auf einer Menge von sog. Basisvektoren.

Wie verhalten sich dann Vektoren und ihre Komponenten bei einem Wechsel des Koordinatensystems (also der Basisvektoren)?

Im Gegensatz zum invarianten Vektor selbst, verändern sich seine Komponenten bei Änderung der Basis.

Wir sahen, dass wenn sich die Längen der Basisvektoren verlängern, sich die Komponenten von Vektoren verkleinern. Deshalb hatten wir diese Vektoren “kontravariant” genannt.

So ein kontravarianter Vektor ist ein erstes Beispiel für einen Tensor. Ein zweites Beispiel für einen Tensor sind die sog. Co-Vektoren…

Allgemein gesagt bedeutet Kontravarianz, dass wenn ein Ding größer wird, ein anderes Ding kleiner wird. Covarianz dagegen bedeutet, dass die Veränderungen in die gleiche Richtung gehen.

Co-Vektoren

Im Gegensatz zu den “herkömmlichen” kontravarianten Vektoren, die wir als Spalte schreiben, schreiben wir Co-Vektoren als Zeilen.

Dazu hat “eigenchris” ein schönes Youtube-Video gemacht: https://youtu.be/LNoQ_Q5JQMY

In der Sichtweise von Koordinaten macht ein Co-Vektor also folgendes:

\( \Large  \left[  \begin{matrix} a & b & c  \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{array}{r} x \\\ y \\\ z  \end{array} \right] = ax+by+cz \)

Abstrakt formuliert bildet ein Co-Vektor also Vektoren auf Skalare ab.

Rank 2 Tensoren

Generell soll ein Tensor ja invariant bei einer Koordinatentransformation sein.

Lediglich die “Darstellung” eines Tensors erfolgt mit Komponenten (Koordinaten).

Uns interessieren hier in erster Linie sog. Rank 2 Tensoren. Solche Rank 2 Tensoren können immer als “normale” Matrix mit Zeilen und Spalten dargestellt werden  (Zeilen und Spalten -> Rank 2). So ein Rank 2 Tensor kann aber auch ganz einfach in sog. Index-Schreibweise dargestellt werden z.B. Tij oder g μν (Anzahl Indices = Rank).

 

 

Astronomie: Die Keplerschen Gesetze

Gehört zu: Astronomie, Sonnensystem

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Die Zeit von Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) lebte in bewegten Zeiten:

  • 30 jähriger Krieg (1618-1648)
  • Kleine Eiszeit (etwa 1570 bis 1630)
  • Hexenverbrennungen (1550 und 1650)
  • Gallileo Galilei (1564-1642)

Flammarion Holzschnitt (Wikipedia)

Die Keplerschen Gesetze

Johannes Kepler konnte durch Analyse der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546-1601) die drei sog. “Keplerschen Gesetze”  herleiten.
Tycho Brahe hatte in einem Zeitraum von 20 Jahren sehr genaue Messungen der Postionen der Planeten und von ca. 800 Fixternen gemacht.

Die bahnbrechende Erkenntnis von Kepler war, die Kreisbahnen des heliozentrischen Weltbildes von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) durch Ellipsen zu ersetzen.

Die Fernsehsendung “Johannes Kepler, der Himmelsstürmer” im Sender arte am 08.08.2020 beleuchtete das geniale Werk von Johannes Kepler.

1. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

2. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Keplersches Gesetz (1618 Harmonici Mundi)

Die Kuben der großen Halbachsen verhalten sich die die Quadrate der Umlaufzeiten.

Das Gravitationsgesetz

Später, im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( F = \gamma \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das erste Keplersche Gesetz

Eine Ellipse ist ein Kegelschnitt, der im Grenzfall (Exzentrizität = Null) ein Kreis wird.

Nach Newton (s.o.) haben wir eine Zentralkraft, die proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) abnimmt.

Mit ein “bisschen Mathematik” ergeben sich daraus geschlossene Ellipsen als Bahnform.

In cartesischen Koordinaten ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gegeben durch:

\( \Large \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2= 1 \)

 

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Maß für die Abweichung von der Kreisform und wird definiert durch:

\( \Large e = \frac{r_{max} – r_{min}}{r_{max} + r_{min}}  \) (Wobei mit rmin und rmax immer die Entfernungen Sonne-Planet gemeint sind)

Das zweite Keplersche Gesetz

Das zweite Keplersche Gesetz folgt allein aus der Tatsache, dass die wirkende Kraft immer genau in Richtung auf die Sonne gerichtet ist (sog. “Zentralkraft”). Damit muss nämlich der Drehimplus des Systems Sonne-Planet konstant bleiben.

Der Drehimplus des Sytems Sonne-Planet ist bekanntlich:

\( L = m \cdot r \cdot v = m \cdot r^2 \cdot \omega   \)

Für die “überstrichene Fläche” A(t) gilt infenitesimal:

\( dA = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) \cdot dt \)

Womit die “Flächengeschwindigkeit” eben konstant bleibt:

\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) = \frac{L}{2 m} = const. \)

Quelle: https://www.forphys.de/Website/mech/kepler2.html

Als Beispiel habe ich mal die Bahn der Erde um die Sonne schematisch dargestellt. Das Produkt Bahngeschwindigkeit (v) mal Entfernung Erde-Sonne (r) ist proportional zum Drehmoment.

Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne

Das dritte Keplersche Gesetz

Wenn man die Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne mit T bezeichnet und die große Halbachse seiner Bahn um die Sonne mit r, so kann man dieses Gesetz formelmäßig wie folgt formulieren:

\( \frac{r^3}{T^2} = const. \)

Die Gravitationskraft (Anziehungskraft) muss immer genau der Zentripedalkraft in der Planetenbahn entsprechen. Also:

\(  F = \gamma \frac{m \cdot M}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}   \)

Die Masse des Planeten m kürzt sich heraus:

\(  \gamma \frac{M}{r^2} =  \frac{v^2}{r}   \)

Die Bahngeschwindigkeit v erhalten wir als:

\( v = \frac{2 \pi r}{T} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\(  \gamma \frac{M}{r^2} = \frac{4 \pi^2 r^2}{r \cdot T^2} \)

oder umgestellt:

\( \frac{\gamma \cdot M}{4\pi} = \frac{r^3}{T^2} = const. \)

Quelle: https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/mechanik_2/kepler/keplergravi.htm

Astronomie: Mein Workflow mit N.I.N.A.

Gehört zu: Astronomie

Siehe auch: N.I.N.A., APT, Mein Workflow mit APT, Mein Workflow mit N.I.N.A.

Warum N.I.N.A. für meine Astrofotografie?

Nachdem ich auf die neue Astro-Software N.I.N.A. aufmerksam geworden bin, möchte ich mal zum Test nachstellen, ob und wie ich mit N.I.N.A. mindestens das Gleiche machen kann, wie mit APT.

Darüber hinaus hätte N.I.N.A. für mich echte Vorteile:

  1. Modernere Oberfläche (Fenster a la Sequence Generator Pro)
  2. Autofokus mit HFR-Messung
  3. Bildausschnitt (“Framing”) mithilfe diverser Sternkarten
  4. Manueller Rotator
  5. Mosaik-Assistent mit diversen Sternkarten
  6. Kostenlos und Open Source

Voraussetzungen für meinen Workflow mit N.I.N.A.

Bevor es losgeht, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein:

  • Ein Windows-Computer ist vor Ort vorhanden
  • N.I.N.A. ist installiert und konfiguriert (Planetariumsprogramm: Cartes du Ciel)
  • Cartes du Ciel ist installiert und konfiguriert  (Ort, Datum, Uhrzeit)
  • Meine Montierung HEQ5 Pro ist aufgebaut und eingenordet.
  • Das Teleskop mit Flattener und Kamera ist fokussiert.
  • Alle Geräte sind mit Strom versorgt
  • Alle Geräte sind mit meinem Windows-Computer über Kabel verbunden

Prinzipielle Vorgehensweise für einen Sync Point

Um einen Alignment Point herzustellen ist meine prinzipielle Vorgehensweise die folgende:

  1. Koordinaten des geplanten Alignment Points besorgen (z.B. aus Cartes du Ciel)
  2. Mit N.I.N.A. einen “Slew” (=Goto) auf dieses Target durchführen
  3. Mit N.I.N.A. ein schönes Foto machen (Objekt kann ruhig verfehlt sein)
  4. Mit N.I.N.A. dieses Foto plate solven
  5. N.I,N.A. soll bei erfolreichem Solve gleich ein Sync machen
  6. In EQMOD kann man kontrollieren, ob der Sync-Point angekommen ist

Mein N.I.N.A.-Workflow: Schritt für Schritt

Voraussetzungen herstellen: Anfangsstellung

Wir wollen den Ausgangspunkt für Gotos (bei N.I.N.A. “Slew” genannt) herstellen.

  • Montierung (HEQ5 Pro) gut auf die Home-Position ausrichten.
  • Strom an der Montierung anschalten.
  • Die Software N.I.N.A. mit der Montierung (über EQMOD) verbinden.
  • Kontrolle: Anzeige zeigt: Deklination 90,0 Grad und Azimut Null Grad (das ist wichtig für das erste “Goto” bzw. “Slew”, wie es in N.I.N.A. heisst).
  • Optional: Tracking anschalten auf “siderial” (das wäre wichtig für Autofokus, da dann HFR besser berechnet werden kann)

Bildbeschreibung: EQMOD-Hauptfenster (DEC=90, AZ=0, Tracking, Setup) Setup-Fenster (Alignment/Sync Point Count=0)

NINA-Slew-01

Setzen des ersten Alignment Points auf Alpha Cephei

Im Schritt #1 wollen wir einen Alignment-Point auf ein Objekt nicht so weit von der Home-Position machen. Ich habe mir dazu Alpha Cephei ausgesucht. Dazu müssen wir die Koordinaten von Alpha Cephei als Zielkoordinaten in in N.I.N.A. übernehmen, einen Slew (=Goto) auf das Zielobjekt machen, davon ein Foto machen, dieses Foto “platesolven” und schliesslich darauf “SYNCen”.

Um mit N.I.N.A. einen “Slew” (=Goto) Zielkoordinaten für ein Objekt zu erhalten, gibt es mehrere Möglichkeiten:

  • Möglichkeit 1: Im N.I.N.A. “Framing” das Objekt aus dem Planetariumsprogramm übernehmen & “Slew”
  • Möglichkeit 2: Im N.I.N.A. auf “Imaging” und dann in der Leiste oben rechts auf das Stern-Symbol klicken, aus dem Drop-down das Zielobjekt auswählen und “Slew”
  • Möglichkeit 3: …

Wir nehmen mal die erste Möglichkeit:

  • Die Software Cartes du Ciel (CdC) starten und das erste Ziel dort auswählen (hier: Alpha Cephei)
  • In der Software N.I.N.A. den Reiter “Framing” aufrufen und im Bereich “Coordinates”  übernehmen von Planetarium klicken (21h 18m 35s, +62° 35′ 9″).
  • N.I.N.A. holt dann ein Bild des Zielobjekts aus dem als “Image Source” ausgewählten SkyAtlas. Die Größe des Bildes richtet sich nach dem “Field Of View”.

Bildbeschreibung: N.I.N.A. Framing -> Coordinates

NINA-Workflow-04

Im Schritt #2 wollen wir auf das Zielobjekt Alpha Cephei schwenken (Slew = Goto).

  • Dazu scrollen wir im gleichen Fenster herunter bis unter dem Bereich “Targets” die Schaltflächen “Recenter Image”, “Slew” etc. sichtbar werden.
  • Dann auf die Schaltfläche “Slew” (=Goto) klicken (“Slew” ist ausgegraut, wenn wir die Montierung noch nicht verbunden haben)
  • Das Zielobjekt wird jetzt nicht hundertprozentig getroffen sein, da der Ausgangspunkt des “Slew” (=Goto) nur die etwas ungenaue Home-Postion war. Das macht aber nichts, wir wollen ja hier nur einen ersten Alignment-Point (SYNC) setzten.

Bildbeschreibung: N.I.N.A. Framing -> Slew

NINA-Workflow-05

Im Schritt #3 wollen wir ein erstes Foto machen.

  • In N.I.N.A. die Kamera (meine ASI294 MC Pro) verbinden und die Kühlung anstellen.
  • In N.I.N.A. auf den Reiter “Imaging” gehen und ein Foto machen (dazu Belichtungszeit und Gain so einstellen, das Sterne zu sehen sind).

Achtung: Nur wenn wir den Schiebeschalter “Save” auf “On” stellen, wird das Foto auch auf dem Computer gespeichert.

Bildbeschreibung: N.I.N.A. Imaging

NINA-Workflow-32

Im Schritt #4 wollen wir nun die tatsächlichen Koordinaten des Bildmittelpunkts ermitteln: Mit diesem Foto auf “Platesolving” gehen.
Als Ergebnis des Platesolving wurden die Koordinaten des Bildmittelpunkts ermittelt zu: RA 21 28 32 Decl +68 08 34 – was ein ganzes Stück entfernt ist (Error 5°) von dem angepeilten Ziel Alpha Cephei. Das macht aber nichts, das Telekop zeigt eben dorthin und wir haben einen ersten korrekten Alignment Point (weil wir Sync auf “On” gesetzt hatten).

Achtung: Bei N.I.N.A. gibt es die Besonderheit, dass die Funktion “Platesolve” selbständing ersteinmal ein Foto schiesst, Also Belichtungszeit und Gain dafür nochmals eingeben….

Bildbeschreibung: N.I.N.A Reiter Imaging, Funktion Platesolving

NINA-Platesolving-02

Im Schritt #5 soll N.I.N.A. ein sog. “Sync” machen. Das macht N.I.N.A. ganz von alleine im Anschluss an das erfolgreiche Platesolving, denn wir hatten ja den Schiebeschater “Sync” auf “On” gestellt, damit werden die Koordinaten des durch Platesolving gefundenen Bildmittelpunkts als Sync-Point in EQMOD übernommen (im Beispiel: RA 21 28 32 Decl +68 08 34).

Im Schritt #6 wollen wir kontrollieren, ob der Sync Point von N.I.N.A. auch in der Teleskopsteuerung EQMOD angekommen ist.

Bildbeschreibung: EQMOD Liste der Alignment Points  (Sync Points)

NINA EQMOD SyncPoint

Setzen eines zweiten Alignment Points auf Beta Cassiopeiae

Bildbeschreibung: Koordinaten von Beta Cas aus Cartes du Ciel: 00h 09m 12s, +59° 08′ 55″

NINA-Workflow-36

Bildbeschreibung: Nach Slew und Foto nun das Platesloving. Es ergibt: 00h 22m 08s, 59° 49′ 16′ (Error 1° 46′)

NINA-Workflow-38

Bildbeschreibung: EQMOD Kontrolle der Alignment Points

NINA-Workflow-39

Setzen des dritten Alignment Points auf das “echte” Zielobjekt NGC281

Bildbeschreibung: Nach Slew und Foto nun das Platesloving. Es ergibt: 00h 07m 26s, 59° 07′ 32′ (Error 00° 13′)

NINA-Workflow-42

Die Fotosequenz NGC281

Im nächsten Schritt geht es auf das “echte” Zielobjekt NGC281

Da ich von meiner Terrasse aus nur eine sehr begrenzte freie Sicht auf den Himmel habe, plane ich jetzt Beta Cassiopeia und NGC281 als Ziele zu nehmen.

  • In Cartes du Ciel das “echte” Beobachtungsobjekt auswählen (jetzt also: NGC281).
  • In N.I.N.A. Reiter “Framing” und Coordinates aus Planetariumsprogramm übernehmen.
  • Dort jetzt den Bildschimauschnitt schön einstellen (= Frame) und die Schaltfläche “Recenter Image” drücken.
  • Dann Schaltfläche “Replace as Sequence” klicken. Dadurch öffnet sich der Reiter “Sequence” und wir stellen dort ein, wieviele Aufnahmen wir machen wollen (Total #) und welche Belichtungszeit (Time) das Einzelfofo haben soll. Wir können auch das “Gain” und das “Dithering” einstellen.
    Bevor wir die Sequence starten sollten wir Überlegen, ob wir Autoguiding brauchen.

Bildbeschreibung: Framing auf NGC281 (Koordinaten 00h 52m 25s, +56° 33′ 53″)

NINA-Workflow-44

Bildbeschreibung: Slew und Platesolving ergibt die Koordinaten 00h 52m 35s, 56° 34′ 19″ (Error 01′ 21″)

NINA-Workflow-45

Nun gehe ich zurück zum “Framing” und klicke da auf die Schaltfläche “Replace as Sequence”

Bildbeschreibung: N.I.N.A. Sequence

NINA-Workflow-46

In der Sequenz trage ich zusätzlich ein

  • Total # = 20
  • Time = 60

Bevor ich die Sequenz starte muss noch das Autoguiding gestartet werden.

Im nächsen Schritt aktiviere ich mein Autoguiding (optional)

  • Mit N.I.N.A. habe ich schon auf mein Zielobjekt geschwenkt (die Position wird zum Fotografieren also nicht mehr verändert)
  • Ich starte dann die Software PHD2 und verbinde die GuideCam und die Montierung
  • Im PHD2 gehe ich dann auf das “Loop”-Symbol und wenn ein paar Sterne zu sehen sind, lasse PHD2 automatisch einen Leitstern auswählen
  • Im PHD2 dann auf das “Guide”-Symbol mit Shift-Klick zum Kalibrieren.
  • Im PHD2 nach erfolgreicher Kalibrierung das Guiding in paar Minuten laufen lassen.
  • Dann zurück nach N.I.N.A.

Im vorletzten Schritt können wir schließlich die Foto-Sequenz starten

  • Im N.I.N.A. Reiter “Sequence” sehen wir unsere geplante Foto-Sequenz.

Im letzten Schritt schalten wir wieder ab:

  • Teleskop auf Park-Position
  • N.I.N.A. abschalten
  • Computer herunterfahren
  • Strom abschalten
  • Teleskop wetterfest bedecken

 

 

Computer: Mathematik – Vektorräume – Lineare Algebra

Gehört zu: Mathematik

Siehe auch: Diriac-Notation, Tensor-Algebra, Relativitätstheorie

Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Was ist ein Vektorraum?

Eine der Voraussetzungen zum Verständnis vieler Dinge (z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik) sind sog. Vektorräume.

Es gibt dazu eine Menge Videos auf Youtube; z.B. von 3Blue1Brown:  https://youtu.be/fNk_zzaMoSs  – Playlist: https://goo.gl/R1kBdb

Vektorräume verfügen über eine Operation, die Addition genannt wird und eine kommutative Gruppe bildet. Weiterhin muss jeder Vektorraum einen Körper von sog. Skalaren haben, mit denen die Vektoren mutipliziert (“skaliert”) werden können. Man spricht dann von einem Vektorraum “über” einem Körper seiner Skalaren.

Der Physiker stellt sich Vektoren gern als “Pfeile” vor, die also eine Richtung und eine Länge haben, also eher “geometrisch“. Der Computer-Mensch stellt sich Vektoren eher als Liste von Koordinaten vor (Vektor = Liste) – wozu man aber ersteinmal ein Koordinatensystem haben muss. Der abstrakte Mathematiker sagt, Vektoren sind einfach “etwas”, was man addieren kann (Gruppe) und was man mit “Skalaren” skalieren kann – fertig, einfach ein paar Axiome und das war’s.

Geschrieben werden Vektoren meist als eine Liste von Koordinaten, aber nicht waagerecht, sondern senkrecht angeordnet (bei waagerechter Anordnung denkt man eher an einen Punkt im Raum).

\( \Large \vec{v} = \left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z  \end{array}\right) \)

oder auch in eckigen Klammern:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z  \end{array} \right] \)

Wenn ich Vektoren als Liste von Koordinaten schreiben will, muss ich ersteinmal ein Koordinatensystem haben.

Vektoren, und das ist wichtig, exisitieren auch ohne Koordinatensysteme, also einfach geometrisch im Raum. Unabhängig von einem Koordinatensystem hat jeder Vektor eine Länge und eine Richtung. Dies sind also sog. “Invarianten”; d.h. bei Änderung des Koordinatensystems ändern sich diese Eigenschaften nicht.
Also: Vektoren ansich sind invariant gegenüber einem Wechsel des Koordinatensystems. Aber die Vektorkomponenten verändern sich beim Wechsel des Koordinatensystems, sind wie man sagt “variant“. Wie Vektorkomponenten bei Wechsel des Koordinatensystems hin- und hergerechnet werden können, behandeln wir weiter unten. So ein Vektor ist damit der Sonderfall eines Tensors, nämlich ein Tensor vom Rang 1.

Für die Länge eines Vektors (man sagt auch “Norm”) schreibt man:  \( \Large ||  \vec{v}  ||  \)

Für den Winkel zwischen zwei Vektoren schreibt man: \( \Large  \angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)  \)

Das innere Produkt zweier Vektoren (auch Skalarprodukt genannt) ist dann – unabhängig von einem Koordinatensystem – definiert als:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} = ||  \vec{v} || \enspace || \vec{w} || \cos(\angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)) \)

Als Schlussfolgerung kann man die Länge eines Vektors auch per innerem Produkt darstellen als:

\( \Large || \vec{v} ||  = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} \)

Basis, Koordinatensystem, Dimension

In einem Vektorraum kann ich viele Koordinatensysteme haben. Jedes Koordinatensystem ist bestimmt durch eine Menge sog. Basis-Vektoren.

Die “Basis” eines Vektorraums besteht aus einer Menge von Vektoren, mit denen man den gesamten Vektorraum “aufspannen” kann. Wobei “Aufspannen” bedeutet, dass jeder Vektor des Vektorraums als sog. Linearkombination aus den Basis-Vektoren hergestellt werden kann. Eine solche “Linearkombination” ist eine Summe von Basis-Vektoren, die mit geeigneten Skalaren multipliziert wurden.

Beispiel für eine Linearkombination:

\( \Large a  \vec{v} + b \vec{w} + c \vec{u} \)

Ganz genau genommen, spannt eine Basis nicht nur den ganzen Vektorraum auf (das wäre ein Erzeugendensystem), sondern enthält dabei eine minimale Anzahl von Vektoren (was äquivalent ist mit der eindeutigen Darstellung aller Vektoren des Vektorraums in Form von Linearkombinationen).

Eine Einheitsbasis (normal basis) ist eine Basis, bei der alle Basisvektoren die Länge 1 haben (“auf die Länge 1 normiert sind”).

Beispiel für eine Basis (im Vektorraum \(\mathbb{R}^3\) ):

\( \hat{i} =\left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0  \end{array} \right]   \hat{j} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0  \end{array} \right] \hat{k} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array} \right] \)

Und man schreibt dann auch gerne:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z  \end{array} \right] = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}\)

Ein Vektorraum kann mehrere Basen haben, die jeweils ein Koordinatensystem definieren. Dabei werden die Koordinaten (Komponenten) ein und desselben Vektors in verschiedenen Koordinatensystem auch verschieden sein, der Vektor selbst aber ist “invariant”. Wenn man einen Vektor als Liste von Koordinaten hinschreibt, muss man immer sagen. welche Basis gemeint ist.

Ein Vektorraum kann mehrere Basen haben, aber die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist immer die gleiche. Diese Anzahl nennt man “Dimension” des Vektorraums.

Lineare Transformationen

Lineare Transformationen sind Transformationen, bei denen Geraden Geraden bleiben und der Null-Punkt (Origin) unverändert bleibt.
Genauer gesagt, bleiben Parallelen parallel und die Koordinatengitter gleichmäßig unterteilt. Man kann das auch abstrakt durch zwei Formeln ausdrücken:

\( L(\vec{v} +  \vec{w}) = L(\vec{v}) +  L(\vec{w})  \)

und

\( L(c \vec{v}) = c L(\vec{v}) \\ \)

Eine Lineare Tranformation kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren \( \hat{i} \) und \( \hat{j}  \) folgendes:

Wenn wir einen Vektor \( \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} \) betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

\( L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} )  \)

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren \( L(\hat{i}) \) und \( L(\hat{j}) \)  kennen, ist damit die Lineare Transformation L vollständig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise \( L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] \)   und \( L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] \)  wäre, bekämen wir eine Matrix:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right] \)

Wir schreiben also in den Spalten der Matrix die transformierten Basisvektoren. Die Lineare Transformation könnte im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right]  \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x  \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] + y  \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y  \end{array} \right]\)

Völlig analog werden auch Lineare Transformationen in drei oder mehr Dimensionen behandelt.

Wechsel von Koordinatensystemen

Wenn wir zwei Koordinatensysteme betrachten, dann haben die also zwei Basen (wir nennen sie “alte Basis” und “neue Basis”). Intuitiv ist klar, dass wenn die neue Basis z.B. längere Basisvektoren hat, dann sind die Vektorkomponenten kürzer (weil ja der gleiche Vektor wieder herauskommen soll). Die Vektorkomponenten verhalten sich also “umgekehrt” wie die Längen der Basisvektoren. Deshalb nennt man diese Vektoren “kontravariant“.

Wir können das auch haarklein ausrechnen:

  • Die “alte Basis” sei: \( \vec{e}_i  \)
  • Die “neue Basis” sei: \( \tilde{\vec{e}}_i  \)

Dann transformieren sich die Basisvektoren wie folgt:

Alt -> Neu (“Foreward”):

\(  \tilde{\vec{e}}_i =  \sum\limits_{k=1}^{n} F_{ki} \vec{e_k}\)

Neu -> Alt (“Backward”):

\(  \vec{e}_i =  \sum\limits_{j=1}^{n} B_{j i} \widetilde{\vec{e_j}}\)

Für die Komponenten eines Vektors \( \vec{v} \) gilt dann die umgekehrte Richtung (deshalb nennt man sie “kontravariant“)

Alt -> Neu:

\( \tilde{v_i} = \sum\limits_{j=1}^{n} B_{ij} v_j  \)

Neu -> Alt

\( v_i = \sum\limits_{j=1}^{n} F_{ij}\tilde{v_j}   \)

Berechnung der Länge eines Vektors aus seinen Komponenten

Wir sind ja gewöhnt, die Länge eines z.B. dreidimensionalen Vektors über seine Koordinaten und den Lehrsatz des Pythagoras zu berechnen:

Im Beispiel sei der Vektor \( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right] \)

Dann wäre die Länge dieses Vektors gegeben durch: \( || \vec{v} ||= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \)  (der gute alte Pythagoras)

In verschiedenen Koordinatensystemen würde dieser Vektor aber mit verschiedenen Koordinaten (Komponenten) beschrieben und es würden mit obiger Formel dann unterschiedliche Längen heraus kommen.

Uns ist ja klar, dass wir zu den Koordinaten (Komponenten) eines Vektors auch immer angeben müssen, in welchem Koordinatensystem diese gemessen werden; d.h. wir müssen zu den Koordinaten die dazugehörige Basis angeben – und berücksichtigen.

Wenn wir als Basis allgemein schreiben: \( \vec{e}_i  \)

dann können wir mit den Komponenten unseres Vektors zu dieser Basis schreiben:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right] = v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3\)

Im Spezialfall der orthonormalen Basis:

\( \vec{e}_1 = \hat{i}, \vec{e}_2 = \hat{j}, \vec{e}_3 = \hat{k}   \)

hätten wir die Länge unseres Vektors nach Pythagoras (s.o.); mit den Koordinaten zu einer anderen Basis müssten wir umrechnen…

Länge eines Vektors in einem beliebigen Koordinatensystem.

Wir hatten die Länge eines Vektors unabhängig von einem Koordinatensystem (also invariant) definiert über:

\( \Large {||  \vec{v}  ||}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \\\)

Wir nehmen jetzt ein beliebiges Koordinatensystem definiert durch seine Basisvektoren \( \vec{e}_i\).
Dann können wir die Länge des Vektors wie folgt aus seinen Komponenten (Koordinaten) berechnen:

\( \Large  ||  \vec{v} ||^2 = (v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3) \cdot(v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3) \\ \)

Wenn wir das ausmultiplizieren bekommen wir:

\( \Large ||  \vec{v} ||^2 =  \sum\limits_{ij} v_{ij}   \enspace \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \\ \)

Um die Länge eines Vektors in einem beliebigen Koordinatensystem zu ermitteln, benötigen wir also “lediglich” alle Kombinationen der inneren Produkte der Basisvektoren dieses Koordinatensystems; d.h. alle \( \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \)

Als Matrix können wir diese Produkte so hinschreiben:

\(\Large g =  \left[ \begin{array}{rrr} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3\\  \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 \\  \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 \end{array} \right]  \\\)

Diese Matrix g nennt man auch den Metrik-Tensor des Koordinatensystems.

Mit Hilfe dieses Metrik-Tensors ergibt sich dann die Länge des Vektors \(\vec{v}\) ganz einfach als Matrixprodukt:

\(\Large || \vec{v} ||^2  =  \left[ \begin{array}{c} v_1 & v_2 & v_3  \end{array} \right]  g  \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right] \\\)

Ganz allgemein kann man mit diesem Metrik-Tensor das innere Produkt zweier Vektoren aus den Komponenten berechnen:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} =  \left[ \begin{array}{c} v_1 & v_2 & v_3  \end{array} \right]  g  \left[ \begin{array}{c} w_1 \\\ w_2 \\\ w_3  \end{array} \right] \)

Das funktioniert, weil der Metrik-Tensor nicht “irgendeine” Matrix ist, sondern “invariant” ist; d.h. unabhängig vom gewählten Koordinatensystem kommt immer das gleiche Ergebnis heraus.

Der Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor definiert also eine (bilinerare) Abbildung:

\(  g: V \times V \to \mathbb{R} \\\)

Dies ist auch im Prinzip der Metrik-Tensor, der in den Einsteinschen Feldgleichungen als \( g_{\mu \nu} \) vorkommt.

Oben hatten wir das innere Produkt zweier Vetoren ja versucht unabhängig von einem Koordinatensystem zu definieren.
Man kann das Ganze nun aber auch umgekehrt “aufzäumen”.  Wenn wir einen Vektorraum und eine Basis haben (damit also ein Koordinatensystem), brauchen wir nur noch einen Metrik-Tensor “g” und können damit ein inneres Produkt zwischen zwei Vektoren v und w als schlichte Matrix-Multiplikation definieren:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} =  \vec{v}^T   \enspace g  \enspace \vec{w} \\ \)

Wobei das hochgestellte T “transponiert” meint. So wird aus einem Spaltenvektor ein Zeilenvektor.

Beispielsweise definiert der folgende Metrik-Tensor die übliche Metrik für alle Koordinatensysteme mit einer orthonormaler Basis – denn das innere Produkt verschiedener Basisvektoren ist Null (weil orthogonal) und das innere Produkt eines Basisvektors mit sich selbst ist 1 (weil Länge 1):

\(\Large g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Das gilt z.B. für ein “normales” Koordinatensystem im Euklidischen Raum.
Mit dieser Metrik ist die Länge eines Vektors also:
\( || \vec{v} ||^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \)
und diese Länge ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen.

Und eine Minkowski-Metrik wird definiert durch den Metrik-Tensor:

\(\Large \eta =  \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\  0 & -1 & 0  & 0\\  0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array} \right]  \\\)

Mit dieser Metrik wäre die Länge eines Vektors also gegeben durch:

\( || \vec{v} ||^2  =  v_1^2 – v_2^2 – v_3^2 – v_4^2\)

Diese so definierte Länge wäre invariant gegenüber Lorentz-Transformationen, die wir später in der Speziellen Relativitätstheorie kennenlernen werden.

Bilineare Formen

Der Begriff “Form” wird traditionell gerne verwendet, wenn eine Abbildung Vektoren als Definitionsbereich hat.

Wir betrachten jetzt mal ganz allgemein Abbildungen

\( \mathbb{B}: V \times V \to \mathbb{R} \)

So eine Abbildung heist “bilinear” (später sagen wir “multilinear”), wenn eine “Scaling Rule” und “Addition Rules” erfüllt sind.

Scaling Rule:

\(  a B(\vec{v}, \vec{w}) = B(a \vec{v}, \vec{w}) = B(\vec{v}, a \vec{w}) \\\)

Addition Rules:

\( B(\vec{v} + \vec{u}, \vec{w}) = B(\vec{v}, \vec{w}) + B(\vec{u}, \vec{w}) \)

und

\( B(\vec{v}, \vec{w} + \vec{t}) = B(\vec{v},\vec{w}) + B(\vec{v}, \vec{t}) \\\)

Ein Metrik-Tensor ist eine spezielle Bilineare Abbildung, die erstens symmetrisch ist und zweitens immer positive Werte liefert.

Was ist ein Tensor?

Der oben beschriebene Metrik-Tensor ist ein Tensor vom Rank 2. D.h. eine zweidimensionale (also “normale”) Matix, die sich bei Transformation der Koordinatensysteme “freundlich” verhält, sodass wir von “Invarianz” sprechen können.

Allgemein und formal ist ein Tensor T eine multilineare Abbildung von einem cartesischen Produkt von Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper von Skalaren in diesen Skalaren-Körper:

\( T: V_1 \times V_2 \times … \times V_n \to K \)

Wobei die \(V_i\) Vektorräume über K sind.

Das allgemeine Thema “Tensor” ist mathematisch vielschichtig, deshalb habe ich begonnen, einen separaten Artikel darüber zu geschrieben.

Link: https://youtu.be/8ptMTLzV4-I

Determinante und Rank

Diese Konzepte werden in Video 6 und Video 7 behandelt.

Bei einer Linearen Transformation wird die Fläche des Quadrats aus den Basisvektoren  um einen Faktor “transformiert”. Damit wird auch jede beliebige Fläche um diesen Faktor “transformiert”. Diesen “Faktor” nennen wir die Determinante der Linearen Transformation.

Entsprechend ist das auch in höheren Dimensionen z.B. mit drei Dimensionen, wo die Größe des Volumens transformiert wird.

Eine negative Determinante bedeutet, dass sich bei der linearen Transformation die “Orientierung” des Vektorraums umkehrt.

Der Rank meint die Dimension des Ausgaberaums einer Linearen Transformation. Wenn der Rank einer Transformation nicht die volle Dimension (“full rank”) unseres Vektorraums ist, ist die Determinante dieser Transformation natürlich Null, aber der Rank kann etwas differenzierter aussagen was da los ist z.B. der Rank einer 3-dimensionalen Matrix (Transformation) könnte 2 sein, dann ist der Ausgaberaum eine Ebene (2 Dimensionen), wenn der Rank 1 wäre, hätten wir als Ausgaberaum eine Linie (eine Dimension) etc. Dieser “Ausgaberaum” wird auch “Column Space” genannt, weil die Spaltenvektoren diesen aufspannen…

 

Computer: Mathematik – Statistik

Mathematik: Statistik (aus Wiki)

Immer wieder werde ich als gelernter Mathematiker nach elementaren Themen der Statistik gefragt.

Ich habe einen schönen Einführungskurs in die Statistik bei der Universität Newcastle, Australien, gefunden:

http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/t-table.html

http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/

Statistik

Typen von Variablen (“Metriken”)

Qualitativ / Quantitativ

Man spricht von “qualitativen” Variablen, wenn die Beobachtungen durch Kategorien beschrieben werden.
Beispiele:

  • Augenfarbe: braun, grau, blau,…
  • Delivery Model: insourced, outsourced
  • Performance Rating: Less than Acceptable, Inconsistent, Fully Successful, Exceeds, Exceptional

Eine qualitative Variable heist “ordinal”, wenn es eine natürliche Reihenfolgebeziehung zwischen den Kategorien gibt, (Beispiel: Performance Rating).

Eine qualitative Variable heisst “nominal”, wenn es keine natürliche Reihenfolgebeziehung gibt, (Beispiel: Augenfarbe).

Man spricht von “quantitativen” Variablen, wenn die Beobachtungen durch numerische Werte beschrieben werden, d.h. durch Zählen oder Messen zustande kommen.
Beispiele:

  • Alter
  • Körpergröße
  • Anzahl Personen im Haushalt
  • Anzahl gerauchter Zigaretten am Tag
  • Einkommen im Jahr

Eine quantitative Variable heisst “diskret”, wenn die Beobachtungen ganzzahlige Werte sind (Beispiel: Anzahl Personen im Haushalt).

Eine quantitative Variable heisst “stetig” (continous), wenn sie durch (im Prinzip) beliebige Zahlen dargestellt wird (Beispiel: Körpergröße).

Normalverteilung mit Perzentil

Fragestellung zu einer Normalverteilung N(My,Sigma):

  • Gegeben sei My und P25
  • Gesucht ist Sigma
  • Lösung: sigma = (P25 – My) / NormInv(0,25; 0; 1)

Im übrigen gilt sowieso: P25 = NormInv(0,25; My; Sigma)

Logarithmische Normalverteilung

Zur Logarithmischen Normalverteilung habe ich einen gesonderten Artikel geschrieben.

Beta-Verteilung

Zur Beta-Verteilung habe ich einen gesonderten Artikel geschrieben.

Dkracht 12:29, 24 March 2008 (CET)

Astronomie: Swing-by-Manöver

Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Sonnensystem

Was bringen Swing-by-Manöver?

Als Schüler war ich ja ein Fan von SciFi-Heften. Ich erinnere mich an eine SciFi-Geschichte, bei der der “geniale Held” auf die Idee kam, für eine längere Reise zum Saturn den Asteroiden (944) Hidalgo zu verwenden, um Treibstoff zu sparen.

Schon als Schüler war mir klar, das er statt auf dem Hidalgo zu landen (mit Relativgeschwindigkeit Null), auch mit der gleichen Energie einfach auf die Hidalgobahn einschwenken könnte und dann nach den Gesetzen der Himmelsmechanik exakt wie der Hidalgo selbst sich bewegen würde und schließlich an der Saturnbahn angekommen, müsste er mit der gleichen Energie wie sie zum Überwechseln von Hidalgo auf den Saturn benötigt wird, auch aus seiner Hidago nachempfundenen Bahn in die Saturnbahn einschwenken können. Er hätte also keine Energie (Treibstoff) gespart.

In der Raumfahrt der 70er Jahre hörte ich nun erneut von mir ähnlich klingenden “Wunder-Manövern” der Raumsonden Pioneer 10 und Pioneer 11, die Treibstoff sparen sollten. War das das gleiche (wie oben) Null-Summen-Spiel oder was steckte da dahinter (wenn die NASA mit so etwas ernsthaft arbeitet)?

Michael Minovitch, der am Jet Propulsion Laboratory (JPL) arbeitete, berechnete 1961 erstmals die Daten solcher “Swing-by” Manöver (auch “Gravitational Slingshot” oder “fly by” genannt) . Das war tatsächlich kein “Null-Summen-Spiel”, sondern eine realistische Möglichkeit durch solche Manöver Energie “einzusparen” und die “böse” Raketengleichung auszutricksen. Schon in der Frühzeit der Raumfahrt hatte die sowjetische Sonde Luna 3 (1959) die Swing-by-Technik ausgenutzt.

Quelle: MIT OpenCourseWare  (Youtube Video https://youtu.be/1s6_4qX-u2o)

Himmelsmechanik von Swing-by-Manövern

Nehmen wir mal ein stark vereinfachtes Gedankenmodell: Auf der Höhe der Saturnbahn nähert sich eine Raumsonde dem Saturn.

Zur Erklärung dieses “positiven” Swing-by-Effekts betrachten wir die Angelegenheit mal in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemen.

Im Koordinatensystem “Sonnensystem” sehen wir folgendes:

  • der Saturn bewege sich mit eine Bahngeschwindigkeit von vs  (ca. 9,65 km/s)
  • die Raumsonde bewege sich mit einer dreifach so großen Geschwindigkeit v1 genau entgegengesetzt auf den Saturn zu (also: v1 = -3 vs)
  • nach dem Swing-by bewege sich die Raumsonde mit einer Geschwindigkeit v2 in exakt der gleichen Richtung wie der Saturn

Wenn wir dieses Geschehen in einem Koordinatensystem “Saturn” (Relativgeschwindigkeiten in Bezug auf Saturn, Superscript “rel”) beschreiben, ergibt sich:

  • Geschwindigkeit des Saturn: vsrel = 0
  • Raumsonde ankommend (“initial”): v1rel = v1 – vs
  • Raumsonde wegfliegend (“final”):    v2rel = v2 – vs

Der Erhaltungssatz (Impuls) in Bezug auf das Koordinatensystem “Saturn” ergibt:

v1rel = – v2rel

Und damit:

v1 – vs = -v2 + vs

2 vs = v2 + v1

Wenn wir hierin einsetzen: v1 = -3vs bekommen wir:

v2 = 5 vs = – (5/3) v1

Die Geschwindigkeit der Raumsonde hat sich also deutlich (Faktor 1,666..) erhöht.

Genaugenommen ist die Bahngeschwindigkeit des Saturn vor dem Swing-by und nach dem Swing-by nicht ganz genau gleich. Wir vernachlässigen diesen winzigen Unterschied hier wegen der Massenverhältnisse (Saturnmasse 5,6 * 1026kg).

Computer: CategoryIT (aus Wiki)

CategoryIT (aus Wiki)

Category IT

Third party products intended for direct integration or use in conjunction with TWiki. Best example is GNU-RCS, a separate (GPL) application that is a fully integrated component of TWiki. Add-ons can include programs, libraries, etc.

*IMPORTANT NOTE:* The preferred way to package and release TWiki add-ons is at Plugins.AddOnPackages

%SEARCH{ “[T]opicClassification.*(
<\/td>||value\=).*[C]ategoryIT” casesensitive=”on” regex=”on” nosearch=”on” order=”modified” reverse=”on”}%– Main.DietrichKracht – 08 Aug 2004

Computer: Barcode (aus Wiki)

Barcode (aus Wiki)

Sog. 2D-Barcodes sind zweidimensionale Barcodes, die rechteckig (z.B. auf Lufhansa Boardkarten seit 2008) oder quadratisch (z.B. bei manchen Artikeln der Zeitung “Welt Kompakt”) vorkommen.

See also: MobilTelefon

Weblinks

Neoreader

The NeoReader is a universal barcode scanning application that transforms your mobile phone into a barcode scanner and allows you to access mobile web content by scanning codes from print ads, publication, packaging, billboards, retail display, broadcast media, or any other medium. Universal means that the NeoReader scans all the standard code types (Data Matrix, QR codes, Aztec Codes, EAN, UPC, and Code 128), so NeoReader is the only scanning software you’ll need.

Install the NeoReader barcode scanning software and you’re one easy click away from information you want – everywhere you go.

It’s so easy to use – launch the NeoReader, click on the barcode with your camera and ZIP…the content is delivered to your phone. No typing URLs into your browser, no painful search engines, no cumbersome menu’s to navigate.

QuickMark

Mit QuickMark auf meinem WindowsMobile-Telefon kann ich die QR-Codes, die z.B. in Welt Kompakt verwendet werden lesen.

Dkracht 12:03, 7 October 2008 (CEST)