Astronomie: Friedmann-Gleichung

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Expansion des Universums, Gravitation, Relativitätstheorie
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress

Die Friedmann-Gleichung

In der Kosmologie wollen wir das Universum als Ganzes beschreiben inklusive der Entwicklung vom Urknall bis heute und weiter…
Am Ende kommen wir zum vielgenannten “Standardmodell der Kosmologie“…

Der Ausgangspunkt ist dabei das sog. Kosmologische Prinzip d.h. die Grundannahmen von Isotropie (das Universum sieht in alle Richtungen gleich aus) und Homogenität (das Universum sieht an jedem Punkt gleich aus). Wobei das alles nur bei der Betrachtung sehr großer Skalen der Fall ist (hunderte von Mega Parsec).

Die Expansion des Universums

Zur Expansion des Universums hatte ich einen eigenen Blog-Post geschrieben.

Unter der Grundannahme von Homogenität und Isotropie können wir die Expansion des Universums durch den sog. Skalenfaktor a(t) beschreiben.

Die Friedmann-Gleichung mit Newtonscher Mechanik

Youtube-Video: Josef Gassner: Von Aristoteles zur Stringtheorie

Wenn man zunächst ohne Relativitätstheorie (also nur mit der Klassischen Newtonschen Mechanik) rechnet, ergibt sich allein aus unseren Grundprämissen (Isotropie und Homogenität) und der Erhaltung der Energie (kinetische + potentielle) schon die klassische Friedmann-Gleichung. Später werden wir sehen, wie sich das relativistisch rechnet und dann für große Massen und große Abstände gilt…

Wegen der Homogenität können wir irgend einen ganz beliebigen Punkt im Universum herannehmen.
An jedem solchen Punkt im Universum haben wir eine gleiche Dichte ρ deren Wirkung ein Gravitationsfeld ist.
Im Newtonschen Ansatz ist diese Dichte allein die Massendichte, im relativistischen Fall käme noch die Energiedichte hinzu, die ebenfalls gravitativ wirken würde.
Wir betrachten dann einen Testkörper der Masse m im Abstand R von diesem Punkt.

Aufgrund der Expansion des Universums verändert sich dieser Abstand R mit der Zeit t gemäß dem Skalenfaktor:

\( R(t) = a(t) \cdot R_0 \)  Wobei R0 der heutige Abstand sein soll

Dieser Testkörper hat nun eine Potentielle Energie (Epot) im Gravitationsfeld und eine Kinetische Energie (Ekin) aufgrund der Expansionsbewegung.

Als Kinetische Energie bekommen wir:

\( E_{kin} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  \)

Die Potentielle Energie bekommen wir, wenn wir die Gravitationskräfte betrachten, die auf den Probekörper wirken.

Als Gravitationswirkung haben wir die Masse der Kugel vom Radius R um den betrachteten Punkt. Da wir eine homogene Dichte ρ haben, ergibt sich diese Masse zu:

\(  M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho  \)

Nach Newton können wir diesen Teil der Gravitation wie eine punktförmige Masse berechnen. Die Massen ausserhalb dieser Kugel heben sich nach dem Newtonschen Kugelschalen-Theorem gegenseitig zu Null  auf.

Das Gravitationspotential der Kugel ist also:

\(  \Phi(r) = – \frac{G \cdot M}{r}\)

und als Potentielle Energie der unserer Probemasse ergibt sich:

\(  E_{pot} = \Phi(R) \cdot m = – \frac{G \cdot M \cdot m}{R}\)

Wenn wir hier die Masse M, nach obiger Formel einsetzen, erhalten wir:

\(  E_{pot} = – \frac{G  \cdot m}{R}  \cdot \frac{4}{3}  \pi R^3 \rho      \)

und schließlich:

\(  E_{pot} = – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho      \)

Die Sume aus kinetischer und potentieller Energie soll gleich bleiben:

\(  E_{kin} + E_{pot} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho  = E = const.   \)

Wenn wir dass mit 2 multiplizieren und die Masse m herauskürzen bekommen wir:

\(    \dot{R}^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  R^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  \)

Wenn wir \( \dot{R}(t) \: und \: R(t) \) einsetzen bekommen wir::

\(    (\dot{a} \cdot R_0)^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a \cdot R_0)^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  \)

Dies können wir noch durch R02 dividieren und bekommen:

\(    (\dot{a} )^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a )^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m \cdot {R_0}^2} = const.  \)

Nun dividieren wir noch durch a2 und bringen den Minus-Term nach rechts:

\(\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{const}{a^2} \)

Das ist schon die gerühmte Friedman-Gleichung…

Damit die die Newtonsche Friedmann-Gleichung ganz analog der relativistischen aussieht, formen wir sie etwas um:

\(\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{k \cdot c^2}{a^2} \)

k nennen wir Krümmungsparameter; das wäre also:

\( \Large k = \frac{2 E}{m \cdot c^2 \cdot {R_0}^2} \)

Dieser Krümmungsparameter wird uns später bei der Robertson-Walker-Metrik wieder begegnen.

Je nach dem wie der sog. Krümmungsparameter k ist sagt man:

  • wenn k=0  ==> “flaches” Universum (Euklidische Metrik)
  • wenn k>0  ==> “geschlossens” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Kugeloberfläche)
  • wenn k<0 ==> “offenes” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Sattelfläche)

Im Falle k=0 würde sich für die Dichte ergeben:

\( \Large \rho_0 =  \frac{3 \cdot \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2}{8 \pi G} \)

Oder, wenn wir für \(\frac{\dot{a}}{a} \) die Hubble-Konstate H einsetzen:

\( \Large \rho_0 =  \frac{3 H^2}{8 \pi G} \)

Diese Dichte nennen die Kosmologen gern die “kritische Dichte” und messen in ihren Modellen die Dichte dann gerne im Verhältnis zu dieser “kritischen Dichte”:

\( \Large \Omega = \frac{\rho}{\rho_0} \)

Die Friedmann-Gleichung mit der ART

Diesen Abschnitt muss ich noch überarbeiten…

Wir gehen aus von den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART)…

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Der Energie-Impuls-Tensor ist:

\(\Large T_{\mu \nu} = \left[ \begin{array}{rrrr} -\rho c^2 & 0 & 0 & 0\\  0 & p & 0  & 0\\  0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p\end{array} \right]  \\ \)

Wobei ρ(t) die Massendichte und p(t) der Druck ist.

Ich muss zugeben, dass ich das alles in keiner Weise mehr verstehe: Der Energie-Impuls-Tensor ist für mich völlig unverständlich…

===================================================

Zur sog. Friedmann-Gleichung können wir der Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichung) folgendes entnehmen:

\( \displaystyle \frac{\dot a}{a}=H_{0}(\frac{\Omega_{m0}}{a^3}+(1-\Omega_{m0}))^{\frac{1}{2}} \)

Wobei hier die sog. Hubble-Konstante H, die ja nicht wirklich konstant ist, vorkommt. In neuerer Zeit wird statt “Hubble-Konstante” auch der Begriff “Hubble-Parameter” verwendet.

Omega M = Anteil an Materie (barionisch und dunkle)

Omega groß Lambda = Anteil an dunkler Energie

Omega rad = Anteil Strahlungsenergie

k = Krümmung

Link: https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/friedmann-weltmodell/136