Mathematik: Komplexe Zahlen

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Quantenmechanik, Von Pytharoras bis Einstein

Die komplexen Zahlen

Ausgangspunkt ist die berühmte imaginäre Einheit: i2 = -1

Eine komplexe Zahl schreibt man gerne als Realteil und Imaginärteil:

z = x + i*y      x = Re(z)   und   y = Im(z)

Wobei x und y reelle Zahlen sind.

Mit den Komplexen Zahlen kann man auch die vier Grundrechnungsarten, so wie wir sie von den “normalen” d.h. reellen Zahlen her kennen, ausführen – Die komplexen Zahlen bilden, mathematisch gesagt, einen “Körper”.

Zu jeder Komplexen Zahl gibt es die “komplex konjugierte“, die mit gern mit einem Sternchen als Superskript schreibt:

zur komplexen Zahl: z = x + i*y
ist die konjugierte:   z* = x – i*y

Jede Komplexe Zahl hat auch einen “Betrag” (kann man sich als Länge vorstellen):

|z|2 = x2 + y2

Darstellung der komplexen Zahlen mit kartesischen Koordinaten

Die Reellen Zahlen konnte ich mir ja durch die sog. Zahlengerade gut veranschaulichen. Die Komplexen Zahlen würde ich mir dann durch die Punkte in einer Ebene veranschaulichen.

Polar-Darstellung der komplexen Zahlen

Wenn komplex Zahlen einfach als Punkte in der Ebene verstanden werden können, kann ich sie anstelle von kartesischen Koordinaten, alternativ auch in durch sog. Polarkoordinaten darstellen; d.h. durch die Entfernung vom Nullpunkt r und den Winkel mit der reellen Achse φ.

Für eine Komplexe Zahl z = x + i*y  gilt:

r² = x² + y²

tan φ = x/y

\(\displaystyle \tan{ \phi} = \frac{x}{y} \)

Exponential-Darstellung der komplexen Zahlen

Die Eulerschen Formel ist:

\(\displaystyle  e^{i  \cdot \phi} = \cos \phi+i \cdot \sin \phi \)

Damit erhalten wir als sog. Exponential-Darstellung:

\(\displaystyle z ={r} \cdot e^{i  \cdot \phi} \)

In der Quantenmechanik wird diese Exponentialdarstellung gerne benutzt, u.a. weil man damit die Multiplikation komplexer Zahlen sehr anschaulich darstellen kann:

\(\displaystyle z_1 \cdot z_2 = {r_1 \cdot r_2} \cdot e^{i  \cdot (\phi_1 + \phi_2)} \)

Sie auch Youtube-Video: https://www.youtube.com/watch?v=pBh7Xqbh5JQ

Die Eulersche Zahl

Definition der Eulerschen Zahl

Die Zahl e wurde von Leonhard Euler (1707-1783) als Grenzwert der folgenden unendlichen Reihe definiert:

\(\displaystyle e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} +  \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + …   \)

Oder:

\(\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \)

Die Exponentialfunktion

Potenzen zur Basis e bilden die Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt:

f(x) = ex

Die Ableitung (Differentialquotient) der e-Funktion ist wiederum die e-Funktion:

f'(x) = ex

Damit ergibt sich als Taylorsche Reihenentwicklung um den Entwicklungspunkt x0 = 0

\(\displaystyle f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}  + …  + \frac{x^n}{n!} + …   \)

Allgemein wäre die Taylor-Reihe ja:

\( \displaystyle T_\infty(x;x_0) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^(k)(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \)

Da der Funktionswert und alle Ableitungen der e-Funktion an der Stelle x0 = 0 sämtlich 1 sind, vereinfacht sich die Darstellung wie oben gezeigt.

Physik: Teilreflektion

Gehört zu: Physik, Quantenmechanik

Teilreflektion

Die Teilreflektion von Licht an einer Oberfläche hat schon Isaac Newton, der ja von einer Teilchennatur des Lichtes ausging, beschäftigt. Dies ist eines der Paradebeispiele der Quantenmechanik, die ja Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für Teilchen ausrechnen will.

Wenn ein monochromatischer Lichtstrahl auf eine Glasplatte scheint, haben wir das Phänomen der Teilreflektion.

Das Ereignis “Reflektion eines Photons an der Grenzschicht Luft/Glas”  habe die Wahrscheinlichkeit von 4% = 4/100 = 1/25. Die Wellenfunktion dieses Ereignisses wäre also ein Vektor der Länge Sqrt{1/25} = 1/5 = 0.2.

Die Drehung des Vektors wäre proportional der Zeit, die das Licht braucht um den Weg zurückzulegen. Wenn wir die Teilreflektion an der dünnen Glasschicht betrachten, spielt nur die Differenz der Laufzeiten eine Rolle, wenn wir die Differenz der Drehwinkel bestimmen wollen..

 

 

Astronomie: Drehimpuls

Gehört zu: Astronomie, Physik, Himmelsmechanik,
Siehe auch Keplersche Gesetze, Sonnensystem

Definition des Drehimpulses

Klaro: Drehimpuls ist Winkelgeschwindigkeit x Trägheitsmoment.

Da erhebt sich die Frage, was eigentlich ein “Trägheitsmoment” sein soll…

Im Falle einfacher Kreisbahnen von Planeten (Masse) vom Radius R im Sonnensystem folgt aus der allgemeinen Definition des Trägheitsmoments:

Trägheitsmoment = Masse x R zum Quadrat

Damit wäre der Drehimpuls: Winkelgeschwindgkeit x Masse x R Quadrat

Wenn man die Beziehung: Winkelgeschwindigkeit = Bahngeschwindigkeit / R  benutzt, ergibt sich:

Drehimpuls = Bahngeschwindigkeit x Masse x R

Wenn der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist, folgt aus obiger Gleichung sofort das 2. Keplersche Gesetz.

Computer: Fotobuch aus digitalen Fotos

Auch wenn man heutzutage seine digitalen Fotos schnell und einfach im Internet publizieren kann (s. Online Fotoalben), ist für manche Themenbereicht möglicherweise ein anfassbares Fotoalbum besser geeignet.

Auch dafür gibt es Anbieter im Internet, wo man aus seinen digitalen Fotos per Computer ein Album (genannt Fotobuch) zusammenstellen kann. Dieses wird letztlich beim Anbieter auf schönem Papier ausgedrucktbund zu einem echten anfassbaren Buch zusammengebunden.

Das Thema “Fotobücher” hatte ich in meiner PC-Sprechstunde am 17.6.2019 schon einmal behandelt. Dazu habe ich damals ein Powerpoint erstellt:

Fotobücher: Die Idee

Wir haben eine Sammlung von allen möglichen Fotos auf unserem Computer

Wir möchten Fotos zusammenstellen als Erinnerung an ein schönes Ereignis wie z.B.:

  • Eine Urlaubsreise
  • Eine Geburtstagsfeier
  • Die goldene Hochzeit
  • Ein Hobby-Projekt
  • etc.

Also eine Art analoges Fotoalbum aus den digitalen Fotos

Fotobücher: Verschiedene Anbieter

Fotobücher sind eine gängiges Angebot von vielen Anbietern:

  • Pixum / Cewe
  • Albelli
  • Meinfoto
  • Paradies Fotobuch (dm Marke)
  • PosterXXL

Fotobücher: Software / Apps

Solche Fotobücher können wir mithilfe spezieller Software selber gestalten und online in Auftrag geben.

Beispiele Windows-Computer:

  • Pixum Fotobuch
  • myposter

Beispiele Android Smartphone:

  • cewe fotowelt App
  • 1-Klick-Fotobuch App
  • LALALAB App

Fotobücher: Planung

Anzahl Seiten z.B.

  • 26-98
  • 26-178

Welche Fotos –> zusammenstellen

Format / Größe

  • Quadratisch: Klein (14×13), Groß (21×21), XL (30×30)
  • Querformat: Mini, A5, Groß (A4), XXL (A3)
  • Hochformat: Groß (A4). XXL (A3)

Papier / Einband / Buchrücken

  • Premiumpapier
  • Fotopapier

Fotobücher: Gestaltung (Software)

Auf dem Windows-Computer

  • Fotobuch-Software installieren
  • Fotobuch-Software öffnen (Beispiel: „Pixum Fotowelt“ )
  • Auswählen Buchformat & Größe
  • Auswählen Papier & Bucheinband
  • Fotos in den Auswahlbereich „Fotos und Videos“ übernehmen
  • „Seitenlayouts“: Wie soll die Seite in Fotos aufgeteilt werden (Platzhalter) ?
  • „Stile“ aussuchen z.B. „Schwarz Collage“ (Hintergrund)
  • Fotos aus dem Auswahlbereich in die Platzhalter ziehen
  • Fotobuch bestellen

Fotobücher: Arbeitsschritte mit der Windows-Software “Pixum Fotowelt”

Installiert habe ich Pixum Fotowelt Version 6.4.7

Download von: https://www.pixum.de/fotobuch

Buchformat auswählen:  A5 Kleinformat quer oder A4 Groß Querformat oder….

Ich habe ausgewählt: A5 Groß Querformat

Papier auswählen: Fotopapier glänzend, Fotopapier matt,….

 

Die ausgewählten Fotos in den Bereich „Fotos und Videos“ schieben

xyz

 

Astronomie: Teleskop Skywatcher Explorer 130 PDS

Gehört zu: Teleskope
Siehe auch: Meine Geräteliste

Nach meinem Wiedereinstieg in die Astronomie hatte ich ja erst einmal kein Teleskop, sondern nur eine Montierung, mit der ich DSLR-Aufnahmen machte.

Auf Empfehlung eine Vereinsmitglieds hatte ich mir dann zum Einstieg ein Skywatcher PDS130 “Foto-Newton” am 11.8.2015 bei “Teleskop-Spezialisten” für Eur 234,90 gekauft. Da konnte ich meine DSLR Sony NEX-5R wunderbar mit einem T-Ring anbringen und fotografieren. Aber irgendwie hat mir das alles nicht gefallen und ich habe den Kauf dann widerrufen und das Gerät am 24.8.2015 zurückgeschickt.

Link bei Teleskop-Service: https://www.teleskop-express.de/shop/product_info.php/info/p3933_Skywatcher-Explorer-130PDS—130-mm-f-5-Newton—2–Crayford-Auszug.html

Computer: T-Mobile (aus Wiki)

T-Mobile (aus Wiki)

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Siehe auch: Mobiles Internet, MobilfunkProvider, MobilTelefon, Telefonieren

T-Moble Prepaid-Tarif

  • Die Prepaid-Tarife heissen bei T-Mobile Xtra.
    • Mein Tarif: Xtra Click – 1. Gen
    • Mit diversen kostenlosen Optionen (Weltweit, Xtra Data etc.)
  • Prepaid Datentarif: (Mobiles Internet)
    • Mein Tarif: Xtra Web’n’Walk DayFlatPac 10 Euro
    • Mit der Option: Xtra Data

Andere Anbieter

Prepaid-Kontostand abragen

  • 2000 anrufen (“Kontoservice”, kostenlos)
  • oder SMS anfordern: *100# senden

Prepaid-Konto aufladen

Direktaufladung per Mobiltelefon

  • Anrufen: 2000 (Ruf) (Es meldet sich der T-Mobile Kontoservice)
  • Drücken: “3”
  • Eingeben: PIN2 und “#”
  • Betrag wählen: 1=15€ oder 2=30€ oder 3=50€

Mit der Extra Cash Nummer

  • Eingeben: *101*extracashnummer#

Im Internet

Meine Mobilbox

  • 3311
  • 0172 13 4010729
  • +49 171 2523311

Service im Internet

— Main.DietrichKracht – 11 Mar 2007

Astrofotografie: PegasusAstro FlatMaster

Gehört zu: Astrofotografie, Calibration Frames
Siehe auch: Meine Astro-GerätelisteWie mache ich Flat Frames?

Flat Frames mit dem PegasusAstro FlatMaster

Am 26.9.2020 erhielt ich die PegasusAstro FlatMaster 120 mm aus den Niederlanden.
Dieses Modell war bei meinen Standard-Händlern vergriffen, weil PegasusAstro jetzt größere Modelle herstellt.

Ein dim-bares EL-Panel mit einem Durchmesser von 120mm. Es passt perfekt auf mein Teleskop Orion ED80/600.

Die Spannungsversorgung (5V) und Helligkeitssteuerung erfolgt über ein einziges Kabel, ein Standard USB ohne Inverter und ähnlichen Schnickschnack..

Mit diesem Teil kann ich endlich ganz bequem gute Flat Frames zum Kalibrieren meiner Astro-Fotos (der Light Frames) machen.

Die Helligkeitssteuerung kann über eine vom Hersteller gelieferte Windows-Software (Stanalone Software) erfolgen. Ebenfalls kann ich über ASCOM6 die Helligkeit steuern z.B. mit meiner Aufnahme-Software APT und auch N.I.N.A. die Helligkeit per direkt steuern.

Bildbeschreibung: PegasusAstro FlatMaster 120

PegasusAstro FlatMaster 120

Astronomie: NGC 281 der Pacman-Nebel

Gehört zu: Beobachtungsobjekte

Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Andromeda-Nebel

NGC 281 der sog. Pacman-Nebel ist ein klassischer Emissionsnebel in der Cassipeia.

MIt einer scheinbaren Hellikeit von 7,4 mag und einer scheinbaren Ausdehnung von 35′ x 30′ ist er ein klassisches Objekt für kleinere Teleskope.

NGC 281 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha.

Entfernung 9500 Lichtjahre.

Im September 2020 habe ich ein Foto von NGC 281 erstellen können:

St-avg-7200.0s-LNMWC_1_3.0_none-x_1

Diese Fotografie hae ich aus dem lichtverschmutzten Hamburg-Eimsbüttel gemacht. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astrofotografie: Mars

Gehört zu: Das Sonnensystem
Siehe auch: Merkur, Venus, Jupiter

Was bestimmt die Sichtbarkeit des Mars?

Mars ist ein äußerer Planet, wie Jupiter, Saturn etc.; d.h. von der Erde gesehen kann man den Mars immer im Süden sehen so um die Zeit der der Opposition.
Die Umlaufszeit den Mars um die Sonne beträgt 687 Tage. Daher ist der Abstand zwischen zwei Marsopposotionen ca. 687 * 365,25 / (687 – 365,25) = 780 Tage = 2 Jahre und 50 Tage.

Wegen seiner relativ stark elliptischen Bahn schwankt seine Oppositionsentfernung zwischen 57 und 101 Mio km. Dementsprechend schwankt zur Zeit einer Mars-Opposition seine scheinbare Helligkeit zwichen -2,9 mag und  -1,2 mag und sein scheinbarer Durchmesser zwischen 25″ und 14″.

Scheinbare Größe des Mars am Himmel (Datum: Opposition zur Sonne bzw. minimaler Abstand von der Erde)

Datum Entfernung
[Mio km]
Scheinbarer Durchmesser
[Bogensekunden]
Helligkeit [mag] Deklination
27. Juli 2018 57,7 24,3 -2,78 -25° 50′
13. Okt 2020 62,1 22,6 -2,62 +5° 52′
08. Dec 2022 81,5 17,2 -1,81 +24° 56′
16. Jan 2025 96,1 14,6 -1,37 +24° 50′
20. Feb 2027 101,4 13,8 -1,21 +15° 25′
29. Mar 2029 96,8 14,5 -1,32 +1° 40′

Zur Oppositionszeit steht der Mars ja um Mitternacht im Süden. Da er sich ungefähr auf der Ekliptik bewegt, schwankt seine Deklination dann zwischen +23 und -23°. Durch diese Parameter wird auch die Sichtbarkeit von meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel beeinflusst.

Im Oktober 2020 haben wir eine vom Standort Hamburg “gute” Marsopposition. der Marsdurchmesser liegt dann bei 22 Bogensekunden und seine Deklination liegt bei 6 Grad Nord. Die Planetarium-Software Stellarium zeigt mir, dass ich das sogar von meiner Terrasse in Eimsbüttel beobachten könnte. Um das kleine Marsscheibchen etwas größer auf meinen Sensor zu bekommen, plane ich meine Barlowlinse einzusetzen.

In Stellarium hatte ich schon früher meine Horizontline aus den umstehenden Häusern als sog. “Landschaft” in abgebildet. So konnte ich sehr schön planen, wann ich den Mars bequem von meiner Terrasse aus sehen könnte.

Bildbeschreibung:  Stellarium mit Landschaft “Terrasse”

20201005_Stellarium_Mars

Die Keplerschen Gesetze

Johannes Kepler hatte Glück, dass er als erstes die Marsbahn, welche eine relativ große Exzentrizität hat, mit den Messungen von Tycho Brahe untersuchen konnte.  Kepler fand heraus, das es Ellipsen sind, in denen die Planeten um die Sonne kreisen.

Meine Fotos vom Mars

Fotos eines einzelnen Sterns sind meist nicht wirklich eindrucksvoll. Eine besondere Sternen-Konstellation, zusätzliche Horizontobjekte bzw. Landschaft oder gar Zeitreihen könne so ein Foto eindrucksvoller machen.

Mars am 05.10.2020 in Hamburg-Eimsbüttel

Alle redeten von der phanastischen Sichtbarkeit des Mars im Oktober 2020. Bei mir zuhause habe ich aber keinerlei Sicht nach Süden, weil da das hohe Haus steht. Das hat mich irgendwann doch genervt und ich konsultierte die Software Stellarium (s.o.), um die Marssichtbarkeit von meiner Terrasse aus zu prüfen.

Dies ist nun das “Beweisfoto”, das ich am 05.10.2020 gegen 23:30 Uhr (UTC+2) von meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel machen konnte (Einzelaufnahme mit DSLR Sony NEX-5R, f=50mm, ISO 1600, 10 sec, Blende 5,6). Das “Beweisfoto” zeigt den Mars wie er über den Dachfirst in unserem Innenhof am Schornstein klettert. Der Stern kurz über dem Mars ist µ Piscium. Nach ca. einer Stunde wird der Mars dann wieder rechts hinter dem Haus verschwunden.

Mars am Schornstein (Beweisfoto)

Links zum Thema Mars

https://www.waa.at/hotspots/planeten/mars-2019-2021/index.html

https://www.astronomie.de/das-sonnensystem/planeten-und-monde/der-mars/

https://www.heavens-above.com/mars.aspx

Marssichtbarkeit im Jahre 2020

Im Jahre 2020 habn wir eine gute Oppositions-Sichtbarkeit im Oktober.

Bild entnommen aus (Copyright):  https://www.waa.at/hotspots/planeten/mars-2019-2021/index.html

Mars-Opposition 2020 (Copyright WAA)

Mars-Opposition 2020 (Copyright WAA)