Physik: Wellenfunktion – Schrödinger-Gleichung

Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Materiewellen, Lineare Algebra

Stand: 13.06.2022  (Observable, Bra-Ket-Notation)

Die Wellenfunktion

In der klassischen Mechanik (Newton etc.), wird ein Teilchen durch Ort und Implus beschrieben mit seinem sog. “Zustand”. In der Quantenmechanik macht das die Wellenfunktion Ψ. Sehr allgemein gesagt: Eine Wellenfunktion beschreibt das Zustand eines quantenmechanischen Teilchens. Was genau mit “Zustand” und “Wellenfunktion” gemeint ist, bleibt zunächst offen.

Wir werden später sehen, dass man damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (und auch andere Größen, sog. Observable) von Teilchen berechnen (vorhersagen) und schließlich auch messen kann. Daher auch der Spruch “Shut up and calculate”, angeblich auf Richard Feynman (1918-1988) zurückgehen soll…

Der Wertebereich einer Wellenfunktion sind die Komplexen Zahlen. Der Definitionsbereich sind Ort und Zeit Ψ(r,t).
Der Wert ist also eine Komplexe Zahl, veranschaulicht durch einen Vektor, der auch “Amplitude” genannt wird.

\( \Psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C} \)

Für Komplexe Zahlen benutzt die Quantenmechanik gerne die sog. Exponential-Darstellung:

\(\displaystyle z ={r} \cdot e^{i \cdot \phi} \)

Damit kann man sich die Komplexe Zahl gut als Vektor einer bestimmten Länge (r) mit einem Drehwinkel (Φ) vorstellen.

Nach der sog. Kopenhagener Deutung (1927 Niels Bohr und Werner Heisenberg) ergibt sich aus der Wellenfunktion eines Teilchens eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x,t) für den Aufenthaltsort und zwar wird dabei der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat genommen:.

\( \rho(x,t) = | \Psi(x,t) |^2 \\\)

Aus dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ergibt sich der Erwartungswert für den Ort des Teilchens:

\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, \rho(x) \, dx \\\)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das der Ort des Teilchens (x) im Intervall a <= x <= b liegt, wäre dann:

\( \Large \int_a^b | \Psi(x,t) |^2 \, dx \\\)

Da der Betrag einer komplexen Zahl z definiert ist über: \( | z |^2 = z \cdot z^* \) folgt daraus…

\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^*(x,t) \, x \, \Psi(x,t)  \, dx \\\)

In dieser Form sehen wir schon einen ersten Operator (s.u.), der auf die Wellenfunktion wirkt und uns ein Observable (den Ort) als Erwartungswert bringt.

Operatoren und Observables

Bisher hatten wir den Zustand eines quantenphysikalischen System durch die Wellenfunktion Ψ beschrieben. Um zu beobachtbaren Größen zu kommen, benötigen wir sog. Operatoren, die auf die Wellenfunktion angewendet werden und dann beobachtbare Werte (“observables”) liefern; aber auch nur als Wahrscheinlichtkeitsverteilung (woraus ich Erwartungswerte etc. berechnen kann). Man schreibt solche Operatoren gerne als Buchstabensymbol mit einem Dach “^”. Observable sind z.B.:

  • Ort
  • Impuls
  • Kinetische Engergie
  • etc.

Solche Observables können natürlich auch “nur” Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Erwartungswert und Varianz sein.

Ein bestimmter Operator liefert dann zusammen mit der Wellenfunktion des quantenphysikalischen Systems die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Observablen. Daraus ergibt sich beispielsweise der Erwartungswert einer Observablen:

\(\Large \langle \hat{Q} \rangle= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \hat{Q} \Psi dx \)

Beispiel 1: Die Observable “Ort”:

Operator:   \( \Large\hat{x} \Psi(x,t) = x \cdot \Psi(x,t) \)

Beispiel 2: Die Observable “Impuls”:

Operator: \( \Large\hat{p} \Psi(x,t) = -i \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} \)

Die Schrödinger-Gleichung

Von Ernst Schroedinger (1887-1961) stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche und räumliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems unter Einfluss eines Potentials. Die Lösungen dieser Wellengleichung heissen Wellenfunktionen.
Gegeben ist dabei eine Potentialfunktion V(r,t) und gesucht wird als Lösung die dazu passende Wellenfunktion \(\Psi(r,t)\):

\( \Large i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t) = – \frac{\hbar}{2m} \Delta \Psi(r,t)+ V(r,t) \Psi(r,t)= (- \frac{\hbar}{2m} \Delta + V(r,t)) \Psi(r,t) \\\)

Mit dem Laplace-Operator: \( \Delta f = div(grad f)) \) der so etwas wie die “zweite Ableitung” darstellt.
Benannt nach Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Gegeben ist dabei ein Potential V(r,t) und eine Masse m, gesucht wird eine Wellenfunktion \(\Psi(r,t) \)

Kompakt kann man die Gleichung schreiben als:

\( \Large i \cdot \hbar \cdot \dot{\Psi}(r,t) = \hat{H} \Psi(r,t) \\ \)

Mit dem geheimnisvollen Hamilton-Operator:

\(\hat{H} \Psi(t)= i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t) \).

Der nach William Rown Hamilton (1805-1865) benannte Hamilton-Operator.

Hintergrund dieser Schödinger-Gleichung ist der Satz von der Erhaltung der Energie.

Eine Wellenfunktion ist also die Lösung der oben stehenden Schrödinger-Gleichung (mit einer bestimmten Potentialfunktion V). Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, sind auch beliebige Linearkombinationen von Lösungen wiederum Lösungen. So eine Linearkombination würde man Superposition nennen. Wenn beispielsweise die Wellenfunktionen ψ1 und ψ2 Lösungen einer Schrödinger-Gleichung sind, ist auch \( \Psi = a \cdot \Psi_1 + b \cdot \Psi_2 \\\) Lösung dieser Schrödinger-Gleichung.
Das heisst, dass alle Wellenfunktionen \( \Psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C} \), die Lösung einer Schrödinger-Gleichung sind, einen Vektorraum bilden. Wenn wir noch ein Skalarprodukt (inneres Produkt) von zwei Wellenfunktionen definieren, wir dieser Vertorraum zum Prä-Hilbertraum und möglicherweise zu einem echten Hilbertraum:

\( \Large \langle \Psi_1 | \Psi_2 \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi_1^\ast(x) \Psi_2(x) dx \\ \)

Quantenphysiker verwenden auch gerne eine Bra-Ket-Notation (s.u. Diriac) und schreiben:

\( |\Psi\rangle = a \cdot |\Psi_1\rangle + b \cdot |\Psi_2\rangle \\ \)

Zunächst ist das eine formale mathematische Aussage.

Eine für Physiker interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.

Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion. Die beiden Wellenfunktionen werden addiert, normiert und danach wird das Quadrat des Betrags genommen.

Abbildung 1: Eine schöne Einführung gibt das Youtube-Video von Alexander FufaeV (Youtube: https://youtu.be/SqQbsBOsaA8)

 

Vereinfachung: Eindimensionale Schrödinger-Gleichung

Wenn wir bestimmte Vereinfachungen vornehmen, wird die Schrödinger-Gleichung auch einfacher:

  • Die Wellenfunktion möge in einfachen Fällen nicht von der Zeit, sondern nur vom Ort abhängen ==> zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
  • Der Ort wird in einfachen Fällen nicht durch drei Raumkoordinaten (Ortsvektor r), sondern nur durch eine Dimension (x-Achse) beschrieben. ==> Eindimensionale Schrödinger-Gleichung

Als (vereinfachte) eindimensionale, zeitunabhängige Schödinger-Gleichung haben wir:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + W_{pot} \Psi\)

Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung

Mit dreidimesionalen Ortskoordinaten ergibt sich:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} \right) + W_{pot} \Psi\)

Zur kompakteren Schreibweise wird der Nabla-Operator (\( \nabla^2 \) wird auch Laplace-Operator genannt) eingeführt:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi + W_{pot} \Psi\)

Noch kompakter kann man es mit dem sog. Hamilton-Operator schreiben:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \nabla^2 + W_{pot} \right) \Psi = \hat{H} \Psi \)

mit dem Hamilton-Operator:

\( \hat{H} = \nabla^2 + W_{pot} \)

Die Diriac-Notation und Hilbertraum

In der Quantenphysik arbeiten wir mit Vektorräumen V über den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) die unendliche Dimension haben. So einen Vektor

\( \vec{v} \in V \)

scheibt man in der Quantenphysik gern als sog. Ket-Vektor:

\( |v\rangle \)

Dies ist Betandteil der sog. Bra-Ket-Notation von  Jean Paul Diriac (1902-1984), bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Um ein Skalarprodukt (inneres Produkt) zu definieren brauchen wir noch zu jedem Ket-Vektor einen sog. Bra-Vektor.

\( \langle v | := \left[ | v \rangle \right]^\dagger = {\left[ | v \rangle \right]^\ast}^T \)

Wobei v* der komplex konjugierte und vT der transponierte Vektor ist. Man nennt das Ganze “hermitisch konjugiert” und schreibt das mit dem hochgestellten Dagger-Symbol.

Bei einem reelen Vektorraum wäre der Bra-Vektor einfach nur der Zeilen-Vektor und der Ket-Vektor der normale Spalten-Vektor.

Damit können wir das Skalarprodukt der Vektoren v und w schreiben als
\( \langle v | w \rangle \)

Aber wie wird dieses Skalarprodukt berechnet (definiert)?

Dazu wählen wir eine Basis des Vektorraums: \( \{ |b_1\rangle, |b_2\rangle, |b_3\rangle,…\} \). Das geht immer, da jeder Vektorraum eine Basis hat und definieren das Skalarprodukt zunächt für diese Basisvektoren (damit wir eine orthonormale Basis bekommen):

\( \langle b_i | b_j \rangle := \delta_{ij} \)

Mit diesem Skalarprodukt ist die Basis per Konstruktion “orthonormal”.

Wenn wir nun unsere Vektoren v und w als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:

\( | v \rangle  = \sum{v_i |  b_i \rangle} \)
und
\( | w\rangle = \sum{w_i | b_i \rangle} \)

definieren wir als Skalarprodukt der Vektoren v und w einfach:
\( \langle v | w \rangle := \sum{{v_i}^\ast \cdot w_i}  \)

Nun müssen wir der guten Ordnung halber noch zeigen, dass dieses allgemeine Skalarprodukt tatsächlich eine Erweiterung des für unsere Basisvektoren definierten Skalarprodukts ist. Wir bilden nehmen also zwei Basisvektoren |bi> und |bj> und bilden das Skalarprodukt nach der erweiterten Regel:

Die Komponenten von |bi> sind δij und die Komponenten von |bj> sind δji .
Und damit ist das Skalarprodukt nach erweiterter Definition:

\( \langle b_i |  b_j \rangle = \sum{{\delta_{ij}}^\ast  \delta_{ji} } = \delta_{ij} \)

Was übereinstimmt mit der ursprünglichen Definition des Skalarprodunkts zweier Basisvektoren.

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Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum von unendlicher Dimension, der ein Skalarprodukt hat (Prä-Hilbertraum) und vollständig ist.

In der Quantenphysik verwendet man ja immer Hilberträume über den komplexen Zahlen. Die Elemente eines solchen Hilbertraums sind also Vektoren, die wir als Zustände des betrachteten quantenphysikalischen System verstehen. Statt der Wellenfunktion, die den Zustand beschreibt haben wir jetzt einfach einen Vektor \(\vec{v}\), der den Zustand beschreibt.

Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen, hat Jean Paul Diriac (1902-1984) die nach ihm benannte Diriac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Zunächst schreibt man also ganz normale Vektoren als Ket-Vektoren. Also statt: \( \vec{w} \) schreibt man: \( |w\rangle \). Generell sind Ket-Vektoren “normale” Vektoren aus einem Vektorraum V über \(\mathbb{C}\). Man kann sie sich als “normale” Spaltenvektoren vorstellen.

Ein Bra-Vektor geschrieben \( \langle v|\) ist eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\). Bra-Vektoren kann man sich als Zeilenvektoren vorstellen.

So ein Bra \( \langle v|\) kann dann auf einen Ket \( | w \rangle\) angewendet werden, was man schreibt als: \( \langle v|w \rangle \in \mathbb{C} \).

Wenn man so eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\) als Zeilenvektor auffasst, dann ist <v | w> das Skalarprodukt (innere Produkt) der beiden Vektoren.

In einer Bra-Ket-Notation verwendet man innerhalb der Notation häufig Kurz-Symbole für den Vektor oder die Linearform. Beispielsweise statt:

\( a  |\Psi_1\rangle + b  |\Psi_2\rangle \\ \)

schreibt man einfach:

\( a  |1\rangle + b  |2\rangle \\ \)

Quanten-Verschränkung – Entanglement

Zwei Teilchen (Quanten-Teilchen) können “verschränkt” sein.

Zwei verschränkte Teilchen können entstehen, wenn ein ursprüngliches Teilchen in zwei Teilchen zerfällt. Wenn das ursprüngliche Teilchen eine Erhaltungseigenschaft hatte, muss diese in den entstandenen zwei Teilchen in Summe unverändert auftauchen.

Man sagt auch, dass die zwei Teilchen eine gemeinsame Wellenfunktion haben.

Manchmal hört man auch, dass ein Quanten-System aus zwei Teilchen als Wellenfunktion das Produkt der beiden einzelnen Wellenfunktionen hat.

 

Physik: Symmetrie

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Lineare Algebra, Langrange-Formalismus

Der Begriff der Symmetrie in der Physik

Die Wikipedia sagt:

Unter einer Symmetrie versteht man in der Physik die Eigenschaft eines Systems, nach einer bestimmten Änderung (z.B. Koordinatentransformation) in einem unveränderten Zustand (also unverändert) zu bleiben. Eine solche Transformation (die den Zustand nicht ändert) wird Symmetrietransformation genannt.

Der Zustand eines mechanischen Systems mit den Koordinaten q1, q2,…,qn wird dabei beschrieben durch die Lagrangefunktion:

\( \mathcal{L}(q_1, q_2,..q_n, \dot{q_1}, \dot{q_2},…, \dot{q_n}, t) \\\)

Unterschieden werden:

  • diskrete Symmetrien (z. B. Spiegelsymmetrie), die nur eine endliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen
  • kontinuierliche Symmetrien (z. B. Rotationssymmetrie), die eine unendliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen.

Die mathematische Beschreibung von Symmetrien erfolgt durch die Gruppentheorie.

 

 

Mechanik: Lagrange-Formalismus

Gehört zu: Mechanik – Kinematik
Siehe auch: Newtonsche Mechanik, Symmetrie
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Der Lagrange-Formalismus

Alternativ zu den Newtonschen Gleichungen kann man die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems auch durch den sog. Lagrange-Formalismus beschreiben. Dazu benutzt man die physikalischen Größen kinetische Energie und potentielle Energie.

Langrange-Funktion: \(\mathcal{L} = E_{kin} – E_{pot} \)

Um mit der Langrange-Funktion etwas zu machen, muss man sie als Funktion von Variablen (also Koordinaten) ausdrücken. Die kinetische Energie hängt klassischerweise von der Geschwindigkeit v ab. Die potentielle Energie hängt klassischerweise vom Ort r ab. Die Variablen (Koordinaten) der obigen Lagrange-Funktion wären dann also \(\mathcal{L}(v,r) \).

Wobei diese Lagrange-Funktion nur eine “Hilfsfunktion” ist und keine intrinsische physikalische Eigenschaft darstellt.

Zu der obigen Lagrange-Funktion erhält man die sog. Langrange-Gleichung (2. Art sagt man) als:

\(\Large \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = 0 \\ \)

Setzt man in die obige Langrange-Funktion die Ausdrücke für die kinetische und die potentielle Energie ein und bildet dann die für die Lagrange-Gleichung erforderlichen partiellen Ableitungen, so erhält man Bewegungsgleichungen, die man meist ganz einfach lösen kann.

Im Grenzfall ohne potentielle Energie ist:

\( \mathcal{L} = E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot v^2 \)

Und die Lagrangegleichung wird:

\( \Large \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} = \frac{d}{dt} (m v) = 0 \\ \)

Was genau die Newtonsche Impulserhaltung ist.

Warum Lagrange?

Es wird gesagt, dass man mit dem Lagrange-Formalismus, kompliziertere Probleme der Kinematik leichter lösen kann als mit den Newtonschen Gleichungen.

Es werden dazu typischerweise sog. generalisierte Koordinaten verwendet, die die Lösung schon mal vereinfachen. Die generalisierten (oder verallgemeinerten) Koordinaten bilden in der theoretischen Mechanik einen minimalen Satz von unabhängigen Koordinaten zur eindeutigen Beschreibung des räumlichen Zustands des betrachteten Systems. Diese werden so gewählt, dass die mathematische Formulierung von Bewegungen, möglichst einfach wird. Die generalisierten Orts-Koordinaten tragen oft das Formelzeichen \(q_i\), dann sind \(\dot{q}_i\) sog. verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Durch geschickt gewählte verallgemeinerte Koordinaten kann man z.B. sog. “Zwangsbedingungen” von vorne herein und ohne zusätzliche Gleichungen mit einbauen.
Die minimale Anzahl der verallgemeinerten Orts-Koordinaten ist zugleich auch die Anzahl der sog. Freiheitsgrade des Systems.

Typische einfache Beispiele, an denen man den Lagrange-Formalismus Anfängern erklärt, sind: Freier Fall, Schiefe Ebene, Fadenpendel,…

Verwendung findet der Langrange-Formalismus z.B. in der Himmelsmechanik beim Mehrkörperproblem. Man kennt ja beim vereinfachten Dreikörperproblem die berühmten Lagrange-Punkte L1, L2 etc. wo ja gerne Raumsonden, wie Soho, hingeschickt werden.

Beispiel 1: Freier Fall mit Lagrange

Siehe dazu auch: https://www.youtube.com/watch?v=MIHlsj6kan4

Zur Beschreibung dieses ganz einfachen (eindimensionalen) mechanischen Versuchs benutzen wir als vereinfachte Orts-Koordinate s(t) mit s(0)=0 als Höhen-Koordinate in der Vertikalen in Richtung nach unten und dazu die vertikale Fallgeschwindigkeit v(t) mit v(0)=0.

Als potentielle und als kinetische Energie haben wir damit:

\( E_{pot} = – m \cdot s \cdot g \) (wobei g die Erdbeschleunigung ist und s in der gleichen Richtung wie g laufen soll – wie das auch oben der Fall ist)
\( E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \)

und die Lagrange-Funktion dieses mechanischen Systems ist:

\( \mathcal{L}(v,s) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + m \cdot s \cdot g \\ \)
Wir bilden also ersteinmal die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Geschwindigkeit v:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial v} = m \cdot v \\ \)

Dann bilden wir die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Ortskoordinate s:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial s} = m \cdot g \\ \)

Die Lagrange-Gleichung lautet damit also:

\(\Large \frac{d}{dt} (m \cdot v) – m \cdot g = 0 \\ \)

Was nichts anderes heisst als:

\( \Large m \cdot \dot{v} – m \cdot g = 0 \\\)

Was genau die gleiche Bewegungsgleichung ist, wie oben mit den klassischen Newton Axiomen. Also ist die Lösung dieser Bewegungsgleichung auch die gleiche wie oben:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Für diesen sehr einfachen Fall würde man die Lagrange-Methode sicher nicht bemühen; man sieht aber, wie sie im Prinzip abläuft.

Beispiel 2: Fadenpendel

Siehe dazu auch: https://youtu.be/76i4uNsgvvo

Ein “klassisches” Fadenpendel habe die konstante Länge l und unten dran hänge eine Masse m.

Klassisch würde man das in kartesischen Koordinaten x (waagerecht) und y (senkrecht nach oben) mit dem Aufhängepunkt des Pendesl als Koordinatenursprungversuchen zu lösen.

Man hätte dann noch die “Zwangsbedingung”, dass die Masse m sich immer nur im Abstand l vom Koordinatenursprung aufhalten kann.

Wir wählen jetzt generalisierte Koordinaten, mit denen wir das einfacher beschreiben können, nämlich ebene Polarkoordinaten (r,φ) wobei wieder der Aufhängepunkt des Pendels als Koordinatenursprung gewählt wird und wir den Winkel φ von der Senkrechten her messen mit positivem φ auf den rechten Seite und negativem φ auf der linken Seite. Dann ist die oben genannte Zwangsbedingung ganz einfach r = l und wir suchen nur noch nach den Bewegungsgleichungen für φ.

Als Koordinaten-Transformation haben wir:

\(x = l \cdot \sin{\phi} \enspace mit\colon \enspace \dot{x} = l \cdot \cos{\phi} \cdot \dot{\phi}\\\)

und:

\(y = -l \cdot \cos{\phi}  \enspace mit\colon \enspace  \dot{y} = l \cdot \sin{\phi} \cdot \dot{\phi}\\ \)

Für die Langrange-Funktion benötigen wir Ekin und Epot.

\( E_{kin} = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = \frac{1}{2} m l^2 (\dot{\phi})^2 \\ \)

und mit dem Gavitationspotential:

\( E_{pot} = – \int F(r) dr = m \cdot g \cdot y = -m \cdot g \cdot l \cdot \cos{\phi} \\\)

damit ergibt sich als Lagrange-Funktion:

\( \mathcal{L} = E_{kin} – E_{pot} =  \frac{1}{2} m l^2 (\dot{\phi})^2   + m \cdot g \cdot l \cdot \cos{\phi}   = 0 \\\)

Und schließlich als Lagrange-Gleichung:

\( \Large \ddot{\phi} = – \frac{g}{l} \sin{\phi} \)

Diese schöne Differentialgleichung können wir leider nicht analytisch lösen. Aber für kleine Winkel \( \phi \) bekommen wir näherungsweise:

\( \Large \ddot{\phi} = – \frac{g}{l} \phi \)

was uns dann wieder auf die klassische (Näherungs-)lösung führt.

Diese Näherungslösung ist ein sog. Harmonischer Oszillator.

Ausserdem gibt es noch Hamilton

In der Quantenphysik wird auch häufig die Hamiltionfunktion verwendet:

\(H = E_{kin} + E_{pot} \)

 

Physik: Kraftfeld und Potential

Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Newton, Langrange-Punkte, Ebbe und Flut, Gravitation
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Stand: 28.4.2022  (Zetrifugalkraft)

Die Grundkräfte

Die Gravitation und auch die Elektrostatische Kraft sind sehr anschauliche Gundkräfte (Wechselwirkungen) im Standardmodell der Teilchenphysik.

Solche Kraftfelder können wir durch deren Potentiale beschreiben.

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besondere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Zu den Zeiten Newtons beschäftigte sich die Physik in der Hauptsache und fast ausschließlich mit Mechanik. Newton (und Leibnitz) entwickelten die Infenitesimalrechung (engl. Calculus) mit der die Bewegung mechanischer Systeme durch die Wirkung von Kräften berechenbar gemacht werden konnte. Siehe dazu mein separater Artikel Newtonsche Mechanik.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.

Die elektrostatische Kaft

Elektrische Ladungen erzeugen ebenfalls ein Kraftfeld.  Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) fand 1785, dass die Kraft zwischen zwei elektrische Ladungen q1 und q2 (im Vakuum) im Abstand von r sich nach folgender Formel berechnet (Coulombsches Gesetz):

\(\Large F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}\)

Mit der elektrischen Feldkonstanten:

\( \Large \epsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac{C^2}{Nm^2} \\\)

Das Potential in einem Kraftfeld

Ein Kraftfeld, wie das Gravitationsfeld aber auch andere (wie z.B. ein Elektrostatisches Feld), beschreibt man auch gerne durch das sog. Potential, womit für jeden Punkt im Raum gemeint ist, welche Arbeit (Kraft mal Weg) erforderlich ist, eine kleine Probemasse aus dem Unendlichen an diesen Punkt im Raum zu bringen. Die Menge Arbeit ist in einem sog. “konservativen” Kraftfeld unabhängig vom Weg. Das Potential ist somit wohldefiniert.

So ein Potentialfeld Φ(r) ist also ein skalares Feld. Aus dem Potentialfeld ergibt sich dann das Kraftfeld F(r), das proportional dem lokalen Gradienten des Potentialfeldes ist.

\( \Large \vec{F(r)} = const \cdot \nabla \Phi(r) \\ \)

Das Potential im Gavitationsfeld

Bei einem “einfachen” Gravitationsfeld, das nur von einem großen Körper (z.B. der Erde) erzeugt wird, hängt der Wert des Potentials nur vom Abstand vom Massemittelpunkt ab. Gleiche Abstände vom Massemittelpunkt definieren dann sog. Äqui-Potential-Flächen.

Wenn wir das Gravitationsfeld der Erde (Masse = M) nehmen, ist das “Gravitationspotential” im Abstand r vom Massemittelpunkt demnach:

\(  \Large \Phi(r) = \space – G \cdot \frac{M}{r}  \\ \)

Wenn wir dieses Potential nach r ableiten (das ist im Eindimensionalen der Gradient) erhalten wir ja unser Newtonsches Gravitationsgesetz:

\( \Large F(r) = m \cdot \frac{d \Phi}{dr} =  m \cdot \frac{G \cdot M}{r^2} \\ \)

Das “schicke” am Potentialfeld ist:

  1. Der philosophische Gedanke der “Fernwirkung” eines Kraftfeldes wird dadurch gedanklich eher eine lokale Angelegenheit.
  2. Die Potentiale mehrerer Kraftfelder können einfach addiert (“überlagert”) werden.

Ein Beispiel für eine Überlagerung von Potentialen mehrer Kraftfelder sind die Lagrange-Punkte im System Sonne-Erde. Dort haben wir zwei Gravitationsfelder (Sonne und Erde) und ein drittes Potentialfeld durch die Rotation. Letztere wird berücksichtigt durch die Betrachtung in einem rotierenden Bezugssystem, in dem auch die beiden schweren Himmelskörper (Sonne und Erde) ruhen. Man spricht dann von einem “effektiven” Potential, was die Zentrifugalkraft, die ja als sog. Scheinkraft (Trägheitskraft) in so einem rotierenden Bezugssystem auftritt, mit beinhaltet. Dies zeigt sehr schön der Wikipedia-Artikel Lagrange-Punkte. und auch der von mir später verfasste Artikel über die Lagrange-Punkte in diesem Blog.

Siehe auch das Youtube-Video von Josef M. Gaßner “Lagrange-Punkte und Potential”: https://www.youtube.com/watch?v=Eg8SGgpGeyU

Das Potential im elektrostatischen Feld

Auch das elektrostatische Feld ist ein konservatives Kraftfeld.

Bei einem “einfachen” Elektrostatischen Feld, das nur von einer punktförmigen Ladung erzeugt wird, hängt der Wert des Potentials nur vom Abstand von der Punktladung ab. Gleiche Abstände von der Punktladung definieren dann sog. Äqui-Potential-Flächen.

Bei einem elektrostatischen Feld einer Punktladung der Ladung Q ist also das Potential im Abstand r von der Punktladung demnach:

\(  \Large \Phi(r) = \space – \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}  \\ \)

Auch hier können wir dieses Potential nach r ableiten und bekommen das Coulomb-Gesetz für die Anziehungskraft zweier elektrischen Ladungen q und Q:

\(\Large F_e = q \cdot \frac{d \Phi}{dr} = q \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}\)

Die Zentrifugalkraft

Die Zentrifugalkraft ist eine sog. “Scheinkraft”; d.h. sie ist in Inertialsystemen nicht vorhanden.

Typischerweise hat man so eine Zentrifugalkraft bei der Bewegung eines Massepunkts auf einer kreisförmigen Bahn um ein Zentrum, wenn man als Bezugssystem das mitrotierende System nimmt (welches kein Intertialsystem ist).

Im Falle einer Kreisbahn, richtet sich die Zentrifugalkraft nach aussen (also vom Zentrum weg) und die Größe ist:

\(\Large F_{Zf} = m \cdot \omega^2 \cdot r \)

Diese Kraftfeld kann man auch durch ein Potential beschreiben:

\( \Large \Phi(r) = \space – \frac{1}{2} \omega^2 \cdot r \)

Physik: Quantenfeldtheorie QFT

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenmechanik, Elementarteilchenphysik, Heisenberg, Kommutator

Stand: 23.2.2022

Links zur QFT

Youtube Gaßner (41): https://www.youtube.com/watch?v=uJXBRlXyH44

Youtube Gaßner (42): https://www.youtube.com/watch?v=3faDjAYWDP4

Grundlagen der Quantenfeldtheorie

In der Quantenfeldtheorie soll die Spezielle Relativitätstheorie voll berücksichtigt werden (also die Lorentz-Invarianz), was ja in der Quantenmechnik (z.B. Schrödinger) noch nicht gegeben war.
Deswegen spricht man auch von der relativistischen Quantenfeldtheorie. Diese relativistische QFT ist damit die Vereinigung von Spezieller Relativitätstheorie und Quantenmechanik.

In der Quantenfeldtheorie haben wir lauter Felder. Für jedes Elementarteilchen haben wir ein im ganzen Universum omnipräsentes skalares Feld. Die Feldstärke ist dabei eine komplexe Zahl.
Beispielsweise haben wir ein Elektronenfeld:

\( \Psi_e (x,t) \\ \)

ein Photonenfeld etc. etc. pp.

Ein einzelnes Elementarteilchen ist dann eine elementare Anregung des zugeordneten Feldes. Was meint man hier mit “Anregung”?

Teilchen sind Anregungen von Feldern.

“Observables” sind beobachtbare physikalische Größen, wobei die von Parametern unterschieden werden.

Klassischerweise ist die Zeit ein Parameter: aber in der relativistischen QFT müssen auch die Raumkoordinaten zu Parametern werden, denn die Raumkoordinaten können ja auch nur indirekt “gemessen” werden. Ausserdem sollten Zeit und Raum gleichartig behandelt werden. Der Definitionsbereich solcher skalaren Felder ist also (x1,x2,x3,t) d.h. ein Vierervektor. (Mit einem Skalarprodukt hätten wir dann bald einen Hilbertraum.)

Das Messen (beobachten) einer “Observablen” geschieht durch Anwenden eines entsprechenden “Operators” auf das Skalarfeld. So ein Operator, soll immer “hermitsch” sein…

To be detailled …

Physik: Einstein ART Allgemeine Relativitätstheorie

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Kosmologie, Expansion des Universums, Metrik-Tensor
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Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie (ART) geht es um die Gravitation, die ja schon von Newton beschrieben wurde.

Ein Ausgangspunkt für die ART ist das sog. Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugssystem nicht von einem Bezugssystem mit einem homogenen Gravitatiosfeld unterschieden werden kann. Formelmäßig ist dann die sog. “träge Masse” identisch mit der “schweren Masse”….

Quelle: Youtube Video https://youtu.be/hU0Mcd2-XH4

Bekannt sind seine berühmten sog. Feldgleichungen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Die obige Gleichung kann so kompakt hingeschrieben werden, weil sog. Tensoren verwendet werden.

Der Metrik-Tensor ist \( g_{\mu \nu} \). Gemäß Konvention laufen die Indices μ und ν = 0,1, 2, 3 wobei 0 die Zeit-Koordinate bedeutet.

Den Metrik-Tensor habe ich wohl verstanden und im Einzelnen in einem separaten Blog-Post beschrieben.

\( T_{\mu \nu} \\\) ist der sog. Energie-Impuls-Tensor, den man im Vakuum einfach auf Null setzt (sog. Vakuumlösungen).

Der Engergie-Impuls-Tensor soll Massendichte, Energiedichte, Druck und ähnliches beschreiben, soll heissen alles, was für die Krümmung des Raumes Ursache sein soll. Dieser Tensor ist für die Entwicklung des Universums wichtig; siehe: Expansion des Universums.

Λ (großes Lambda) ist die sog. kosmologische Konstante, die ursprünglich (1915) nicht in der Gleichung stand, sondern später von Einstein eingeführt wurde, um dem gravitativen Kollaps des Universums entgegen zu wirken.

\( R_{\mu \nu} \) ist der sog. Ricci-Tensor – keine Ahnung, was das sein soll.

Manchmal sieht mit die Einsteinschen Feldgleichungen auch in einer etwas anderen Form:

\( \Large G_{\mu \nu}  = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Mit dem sog. Einstein-Tensor:

\( \Large G_ {\mu \nu}  = R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}  \\\)

Was man immer wieder hört, ist dass nach Einstein große Massen die Raumzeit krümmen. Wobei die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit nicht in eine weitere Dimension (die fünfte) geht, sondern die Raumzeit “in sich” gekrümmt wird, soll wohl heissen, dass nicht mehr die Euklidische Metrik gilt, sondern eine andere Metrik, eine “Nichteuklidische Metrik“.

Siehe hierzu: Krümmung der Raumzeit

 

Physik: Wellen und Covektoren

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum

Wie werden Wellen beschrieben und wie helfen Covektoren dabei?

Vektoren und Covektoren

Ein Vektor ist wie ein Pfeil, also etwas, was eine Richtung und eine Größe hat.

Ein Covektor ist  wie ein “Stack”, also etwas was eine Richtung und eine Dichte hat.

So ein Feld von Covektoren ordnet jedem Vektor eine Zahl zu, nämlich die Zahl an “Stack-Linien”, die der Vektor in seiner Länge kreuzt; wobei da auch nicht-ganze Zahlen und auch negative Zahlen sein können. Vermutlich ist das bei genauerer Betrachtung ein Differentialquotient.

Etwas genauer gesagt ist ein Covektor also eine Abbildung, die jedem Vektor aus einem Vektorraum V über K eine Zahl aus dem Körper K zuordnet:

\( \alpha : V \to K \)

Die Kovektoren α verhalten sich “linear” bei Vektoraddition und Skalierung und bilden also selber einen Vektorraum (Symbol V*). In Formeln also:

\( \alpha(a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{w}) = a \cdot \alpha(\vec{u}) + b \cdot \alpha(\vec{w})  \)

Mit einer Vektorbasis kommt man zur Darstellung eines Vektors durch sog. Komponenten. Die Komponenten von (normalen) Vektoren verhalten sich “kontravariant” und wir schreiben den Index oben, die Komponenten von Kovektoren verhalten sich “kovariant” und wir schreiben den Index unten.

Beschreibung von Wellen

Bei einer Welle ändert sich eine physikalische Größe periodisch sowohl mit der Zeit als auch mit dem Ort.

Die periodische Veränderung über den Ort wiederholt sich nach eine Wellenlänge (Symbol: Lambda \( \lambda \)).
Man misst auch die Anzahl Schwingungen pro Längeneinheit, was Wellenzahl genannt wird (Symbol:  Kappa κ).

Die periodische zeitliche Veränderung wiederholt sich nach eine Periodenlänge (Symbol: T). Man misst das auch als Frequenz (Einheit: Schwingungen pro Sekunde = Hertz)

In Formeln:

\( \kappa = \frac{1}{\lambda} \)

Insofern kann man eine Welle sehr gut als Covektor-Feld beschreiben, wo wir eine Richtung haben und eine Dichte d.h. wieviel Wellen pro Zeiteinheit…

Quelle: Youtube Video: https://youtu.be/Q8SfVDr4OjU

 

Physik: Oberartikel

Gehört zu: Physik (Oberartikel)

Oberartikel zur Physik (Root article)

Obwohl ich eigentlich vorrangig an Astronomie interessiert bin, habe ich doch auch einige Fragen der Physik rechechieren müssen, um z.B. bei der Astrophysik und Kosmologie ein bisschen mehr zu verstehen…

Physik: Energie, Arbeit und Leistung

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Energie, Begriffslexikon

Praktische Physik: Energie, Arbeit, Leistung

Welche Arten von Energie gibt es? In welchen Maßeinheiten misst man Energie?

  • Wärme-Energie: Die Engergie, die ich brauche, um ein Kilogramm Wasser um 1 Grad Celsius zu erwärmen: Das war die gute alte Kilokalorie. Seit dem 1.1.1978 in der EG abgelöst durch die Maßeinheit Joule und Kilojoule.
  • Elektrische Engergie: Eine Gühlampe von 100 Watt soll zehn Stunden leuchten. Das ist die Energiemenge von 1 Kilowattstunde (1 kWh). Die Stadt Hamburg verbraucht im Jahr ca. 12.000.000.000.000 Wattstunden, das nennt man 12   Terawattstunden (12 TWh).
  • Mechanische Engergie ist Kraft mal Weg: Ein Gewicht von 75 Kilo um einen Meter hochheben (dafür benötige ich eine bestimmte Energiemenge) – wenn ich das innerhalb von 1 Sekunde tue, leiste ich 1 Pferdestärke (1 PS).
  • Bewegungsenergie: Wenn ich einen Körper der Masse 1 Kilogramm von Null auf eine Geschwindigkeit von 1 m/sec beschleunige, hat er eine kinetische Energie von ½mv² d.h. 0,5 Joule.
    Wenn ich das ganze in einer Sekunde vollbringe, leiste ich 0,5 Joule/s = 0,5 Watt.
    Die Beschleunigung beträgt 1 m/sec²; d.h. ich habe eine Kraft von 1 Newton aufgebracht.
  • Explosionsenergie: Die Atombombe von Hiroschima hatte eine Sprengkraft von 20 Kilotonnen TNT, die erste Wasserstoffbombe von 10 Megatonnen TNT.
  • Der Asteroid, der vor 65 Mio Jahren auf der Erde aufschlug und die Dinosaurier zum Aussterben brachte soll eine Sprengkraft von 10 Millionen Megatonnen TNT gehabt haben.
  • Vulkanausbrüche: Der Ausbruch des Vesuvs im Jahre 79 soll VEI=6 gehabt haben.
  • Atomteilchen: Wenn man ein Elektron durch eine Spannung von 1 Volt beschleunigt, hat es eine Energiemenge von 1 Elektronenvolt dazubekommen (1 eV).
  • Kinetische Energie – Potentielle Engergie
  • Masse ist Energie E = mc2, nach Einstein.

Energie und Arbeit sind im Prinzip das Gleiche. Das ist nur eine sprachliche Feinheit z.B. Ich leiste eine bestimmte Arbeitsmenge d.h. ich setze eine bestimmte Energiemenge ein, verbrauche sie – oder genaugenommen setze sie in eine andere Energieform um (Energie-Erhaltungssatz). Die offizielle Maßeinheit für Energie und Arbeit ist das Joule. Was was eigentlich ist, später.

Leistung ist sozusagen die “Arbeitsgeschwindigkeit”, also Arbeit pro Zeiteinheit oder “Engergie­verbrauchs­geschwindigkeit”, also Energie pro Zeiteinheit. Gemessen also in Joule/sec, was immer das eigentlich ist.

Zeitmessung, Zeitzonen, Atomuhr, Schaltsekunde: Zeit

Physikalische Größen, die wir bisher erwähnt haben: Temperatur (Celsius, Fahrenheit, Kelvin), Kraft/Gewicht (?), Weg (m, km), Zeit (Sekunde, Stunde, Jahre), Geschwindigkeit (km/h, m/sec) elektrische Leistung (Watt), elektrische Spannung (Volt), Masse (kg).

Generell kann jede Maßeinheit mit Vorsilben versehen werden, um größere Mengen einfacher ausdrücken zu können. Beispiel: Gramm, Kilogramm. Manche sind allgemein bekannt, andere nur in bestimmten Zusammenhängen “üblich”:

Tabelle 1: Vorsilben für Masseinheiten

Vorsilbe Zehnerpotenz Ausgeschriebene Zahl Beispiel
kilo 103 1.000 Kilometer, Kilogramm
Mega 106 1.000.000 Megabyte, Megawatt, Megahertz
Giga 109 1.000.000.000 Gigabyte, Gigahertz
Tera 1012 1.000.000.000.000 Terawatt
Peta 1015 1.000.000.000.000.000
Exa 1018 1.000.000.000.000.000.000

Physikalische Größen und ihre Maßeinheiten (sog. SI-Einheiten)

Größe Maßeinheit Symbol Andere Maßeinheiten
Zeit Sekunde s Stunde (h), Tag, Jahr
Länge (Entfernung) Meter m Meilen, Seemeilen, Astronomische Einheiten,
Parsec, Lichtjahre
Masse Gramm g Tonne (t), Atomäquivalent
Temperatur Kelvin K Grad Celsius, Grad Fahrenheit
Geschwindigkeit m/s km/h
Kraft (Gewicht) Newton N Kilopond (kp)
Leistung Watt W PS
Ernergie (Arbeit) Joule J Kalorie (cal), kWh, Megatonne TNT, VEI, Tonne Steinkohleneinheit (t SKE)

Umrechnungen

    • Masse
      • 1 Tonne = 1000 kg
    • Zeit
      • 1 h = 3600 s
    • Kraft / Gewicht
      • 1 kp = 9,80665 N
    • Leistung
      • 1 PS = 75 mkp/s = 75 * 9,80665 Nm/s = 735,49875 Watt
    • Energie
      • 1 J = 0.2388 cal
      • 1 cal = 4,186 J
    • Energie – Arbeit
      • 1 kWh = 3.600.000 Ws = 3.600.000 J = 3,6 MJ
      • 1 MWh = 3.600 MJ = 3,6 GJ
      • 1 GWh = 3.600.000 MJ = 3,6 TJ
      • 1 TWh = 3.600.000.000 MJ = 3,6 PJ
    • Energie – bei Explosionen
      • 1 Megatonne TNT = 4,6 PJ
      • 1 kt TNT = 4,6 TJ
      • 1 t TNT = 4,6 GJ
      • 1 kg TNT = 4,6 MJ
    • Temperatur

0 Kelvin = -273,15 Grad Celsius

    • Entfernung – in der Astronimie

1 Astronomische Einheit = 149,597870691 Millionen km

    • Geschwindigkeit

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: 299.792.458,00000000 m/s

    • Chemie

Avogadrosche Zahl: 6,02204 x 1023 (Anzahl C12-Atome in 12g)

Energieträger

  • Heizöl 40 MJ/kg
  • Benzin: 44 MJ/kg (ca. 9 kWh/l)
  • Kerosin: 42,84 MJ/kg
  • Wasserstoff: 119,88 MJ/kg
  • Steinkohle: 30 MJ/kg

Links zum Thema Energie:

Berechnung der kinetischen Energie

Ein Körper (z.B. ein Asteroid) der Masse m bewegt sich mit der Geschwindigkeit v durch die Gegend (z.B. den Weltraum). Er hat eine Bewegungsenergie von ½mv². Diese wird beim Aufschlag auf der Erde in “Zerstörungsenegie” umgesetzt, d.h. Wärme (Joule, kWh,…) oder Explosionskraft (Megatonnen TNT).

Masse:
Kilogramm
Tonnen
Geschwindigkeit: Km/h
m/s
Energie in Joule:
Energie in kWh:
Energie in Tonnen TNT:

Beispiele von Energiemengen

Objekt Grösse Dichte Masse Geschwindigkeit Energie
Steinasteroid 50 x 100 Meter 900000 t 81000 km/h 50 Megatonnen TNT
Eisenasteroid 2 x 3 km 400e+9 t 81000 km/h 25 Teratonnen TNT
Komet am Jupiter 100-1000 m 1 25-250e+9 t 60 km/s 10-100 Teratonnen TNT
Auto 4 m 1 t 120 km/h 0,5 kg TNT
Lastwagen 30 m 40 t 95 km/h 1-2 kg TNT
Boeing 767-300 Startgewicht 53 m 156 t 850 km/h 1 t TNT
Boeing 767-300 Treibstoff 50 t 465 t TNT
Space Shuttle im Orbit 37,2 m 125 t 28800 km/h 1 Kilotonne TNT
Hiroshimabombe 20 Kilotonnen TNT
Wasserstoffbombe 20 Megatonnen TNT
Atomwaffenarsenal 20 Gigatonnen TNT
Asteroid Dinosaurier 10 km 100 Teratonnen TNT
Asteroid Nördlinger Ries 1200 m 5 Teratonnen TNT
Asteroid Tunguska 80 m 30-50 Megatonnen TNT
TNT: 4000 kJ/kg
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Physik: Messung der Helligkeit

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Siehe auch: SI-Einheiten, Himmelshelligkeit, Größenklassen
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Messung der Helligkeit

Maßeinheiten für die Helligkeit

In der Physik misst man die Helligkeit einer Lichtquelle in der SI-EinheitCandela” (Einheitenzeichen: cd).

Ausserdem kennt man noch: Lux und Lumen – was ist das denn das alles? Wir unterscheiden zwischen physikalischer Größe (z.B. Länge) und der Maßeinheit (z.B. Meter). Wir betrachten hier lichttechnische physikalische Größen und zwar:

  • Lichtstrom (flux) in Lumen – SI-Einheit – Formelzeichen Φv – Wieviel Licht (Lichtmenge) wird pro Zeiteinheit von einer Lichtquelle insgesamt abgegeben
  • Beleuchtungsstärke in Lux – SI-Einheit – Formelzeichen Ev -Wieviel Licht (Lichtmenge) trifft pro Zeiteinheit auf eine Fläche auf
  • Lichtstärke einer punktförmigen Lichtquelle in Candela – SI-Einheit – Formelzeichen Iv – Im Prinzip “Lichtstrom durch Raumwinkel”  (1 Candela = 1 Lumen pro Sterad)
  • Leuchtdichte einer flächigen Lichtquelle in cd/m² – Formelzeichen Lv -Wieviel Licht strahlt eine flächige Lichtquelle pro Flächeneinheit ab

Youtube Video: https://www.youtube.com/playlist?list=PL_LcX6eHMr3hIsiFwYkkUdqUpaecEYj4-

Hintergründe und Problematik

Traditionell wurde die Lichtstärke in verschiedenen Ländern mit einfachen technischen Geräten definiert und gemessen: z.B. in Deutschland mit Hilfe der sog. Hefnerkerze (HK).

Die Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) wollte diese lichttechnischen physikalischen Größen und ihre Messung neu wissenschaftlich festlegen und mit den anderen bereits definierten SI-Einheiten verbinden.

Früher gab es im Prinzip nur eine Technik, Licht zu erzeugen: die sog. Glühbirne. Da konnte man das abgegebene Licht von Glühbirnen einfach anhand der aufgenommenen elektischen Leistung (Watt) vergleichen. Heutzutage gibt es viele unterschiedliche Techniken, Licht zu erzeugen (Energiesparlampen, LEDs etc.) bei denen aus der gleichen aufgenommenen elektischen Leistung in Watt ganz unterschiedlich viel Licht (und damit unterschiedliche Helligkeit) erzeugt werden kann. Deswegen wird heuzutage (2021) bei jedem Leuchtmittel die Lichtmenge angegeben, die pro Sekunde abgegeben wird: das ist der sog. Lichtstrom gemessen in Lumen.

Um Helligkeiten in einer für menschliche Zwecke brauchbaren Form zu messen, benötigt man “augenrelevante” Größen (sog. photometrische Größen), um das Helligkeitsempfinden des menschlichen Auges zu berücksichtigen.

Die Generalkonferenz (CGPM) hatte sich also einigen Herausforderungen zu stellen:

  1. Exakte Definitionen, die von der Systematik her in das SI-System passen
  2. Kompatibilität bzw. Anbindung an ältere Maßeinheiten
  3. Berücksichtigung des Helligkeitsempfindens durch das menschliche Auge

Die Definitionen stammen von der 26. General Conference on Weights and Measures (CGPM) und wurden zum Mai 2019 inkraft gesetzt.

Es werden hier also eigenständige physikalische Größen mit ihren Einheiten neu definiert. Die Lichtstärke als neue SI-Basiseinheit, gemessen in Candela und der Lichtstrom und die Beleuchtungsstärke als zwei abgeleitete SI-Einheiten, gemessen in Lumen und Lux. Die Leuchtdichte dagegen wird nicht zur SI-Einheit erhoben.

Die Lichtmenge

Bleibt die generelle Frage “Was ist genau mit Lichtmenge gemeint?”. Im Prinzip ist die “Lichtmenge” eine Engergiemenge, wobei so eine Energiemenge einerseits klar und eindeutig physikalisch gemessen werden kann (in Joule) und eine Energiemenge pro Zeiteinheit  in Joule pro Sekunde, also in Watt. Das nennt man die “Strahlungsleistung” mit dem Formelzeichen Φe.

Das menschliche Auge empfindet Licht bei unterschiedlichen Wellenlängen unterschiedlich stark. Zur photometrischen Definition betrachten wir deswegen (zunächst) monochromatisches Licht der Frequenz 540 1012 Hz (ca. 555 nm). Als Lichtstärke 1 Candela ist dann definiert eine Strahlungsleistung von 1/683 W pro Sterad. Bei anderen Lichtwellenlängen kommt dann eine sog. “phototopic luminosity function” K(λ) ins Spiel, die aber für andere Wellenlängen nicht weiter genormt ist.

Die physikalischen Größen Lichtstrom und Beleuchtungsstärke sollen geeignet sein, für die Bemessung menschlicher Angelegenheiten (z.B. Helligkeit von Leuchtmitteln, Beleuchtung von Arbeitsplätzen,…) deshalb wird die Helligkeitswahrnehmung von Licht verschiedener Wellenlängen durch das menschliche Auge hier eingebaut:
\( \Phi_v = K(\lambda) \cdot \Phi_e \) wobei K(555 nm) = 683 Lumen/Watt

Abbildung 1: Lichtstrom von 5000 Lumen bei einem industriellen Leuchtmittel (Flickr: DK_20210608_Lumen.jpg)

DK_20210608_Lumen.jpg

Wenn man die Lichtmenge als Energiemenge in Joule misst, entspricht einem Fluss von 1 Joule pro Sekunde (= 1 Watt) ein Lichtstrom von 683 Lumen bei einer Lichtwellenlänge von 555 nm.

Ursprünglich wollte die 26. General Conference on Weights and Measures (CGPM) als SI-Basiseinheit nicht mehr die Candela nehmen, sondern das Lumen. Dieses Vorhaben wurde aber zurückgestellt, um die offizielle Verabschiedung nicht hinauszuzögern. Im Folgenden stelle ich das Lumen schon als SI-Basiseinheit dar und das Candela als davon abgeleitet – ich finde, das ist einfacher…

Helligkeitsempfindlichkeit des Auges

Wenn wir von den radiometrischen (pysikalischen) Einheiten zu den photometrischen übergehen wollen, müssen wir das Helligkeitsempfinden des Auges berücksichtigen. Unser Auge nimmt Licht, also elektromagnetische Strahlung, im Bereich von ca. 400 nm bis 700 nm wahr mit einer maximalen Empfindlichkeit bei etwa 555 nm.

Abbildung 2: Spektrale Helligkeitsempfindlichkeit (Wikipedia: V-lambda-phot-scot.svg)

λ

In rot ist das Tagessehen, in blau das Nachtsehen dargestellt.
In Deutschland ist die rote Kurve in DIN 5031 genormt.
Mit dieser relativen spektralen Empfindlichkeit V(λ) wird unsere oben genannte Kurve:

K(λ) =  V(λ) * 683 lm/W

Wobei die 683 von der CGPM so gewählt wurde, das die alte Definition von Lumen bzw. Candela gut mit dieser neuen Definition übereinstimmt.

Der Lichtstrom

Tabelle 1: Strahlungsleistung und Lichtstrom

physikalisch (radiometrisch) photometrisch (biologisch)
Physikalische Größe Strahlungsleistung Lichtstrom
Formelzeichen Φe Φv
Messeinheit Watt (W) Lumen (lm)
Definition als SI-Basiseinheit ./. Eine monochromatische (λ=555 nm) Lichtquelle mit einer Strahlungsleistung von 1/683 Watt gibt einen Lichtstrom von 1 Lumen ab.
oder abgeleitete Definition ./. 1 lm = 1 cd sr

Die Lichtstärke

Tabelle 2: Strahlstärke und Lichtstärke

physikalisch (radiometrisch) photometrisch (biologisch)
Physikalische Größe Strahlstärke Lichtstärke
Formelzeichen Ie Iv
Messeinheit Watt/Sterad (W/sr) Candela (cd)
Definition als SI-Basiseinheit ./. Eine monochromatische (λ=555 nm) Lichtquelle mit einer Strahlungsleistung von 1/683 Watt in einen Raumwinkel von 1 sr hat eine Lichtstärke von Candela
oder abgeleitete Definition ./. 1 cd = 1 lm sr-1

Die Beleuchtungsstärke

Tabelle 3: Strahlstärke und Lichtstärke

physikalisch (radiometrisch) photometrisch (biologisch)
Physikalische Größe Bestrahlungsstärke Beleuchtungsstärke
Formelzeichen Ee Ev
Messeinheit Watt/m² Lux (lx)
Abgeleitete Definition ./. 1 lx = 1 lm m-2

Die Leuchtdichte

Tabelle 4: Strahldichte und Leuchtdichte

physikalisch (radiometrisch) photometrisch (biologisch)
Physikalische Größe Strahldichte Leuchtdichte
Formelzeichen Le Lv
Messeinheit Watt/m² sr cd / m²
Definition ./. ./.

Hintergrund und Schlussfolgerungen

Lumen und Photonen

Der Lichtstrom von 1 Lumen mit λ=555 nm erzeugt also einen Energiestrom (Strahlungsleistung) von 1/683 Joule pro Sekunde = 1,4641 10-3 J/s.

Der Wellenlänge λ=555 nm entspricht eine Frequenz von ν =  c/λ = 540 1012 Hz.

Ein Photon der Wellenlänge λ=555 nm hat eine Energie von E = h * ν = h * 540 1012 Hz = 6,62607 * 540 * 10-22 J = 3,579 * 10-19 J

Dem Lichtstrom von 1 Lumen bei einer Wellenlänge von 555 nm entspricht also ein Photonenstrom von 1,4641 10-3 / 3,579 10-19 = 4,09 1015 Photonen pro Sekunde.

Der Raumwinkel (Einheit: Sterad)

Ein Raumwinkel ist die Oberfläche dividiert durch die Entfernung zum Quadrat. Ein voller Raumwinkel ist also die Kugeloberfläche dividiert durch den Kugelradius zum Quadrat.

\( Kugeloberfläche = 4 \pi r^2 \\\ \)

Damit ist der volle Raumwinkel also:

\( \Omega = 4 \pi = 12,56637 sr\)

Der physikalische Größe “Raumwinkel” ist (eigentlich) dimensionslos. Man nimmt aber gerne als Einheitenzeichen “sr” um damit anzudeuten welche physikalische Größe gemeint ist.

In der Astronomie verwendet man ab und zu auch gerne die Winkeleinheiten Grad, Bogenminute und Bogensekunde und kommt damit auf:

\( 1 \enspace Quadratgrad = (\frac{2 \pi}{360})^2 = 3,0462 10^{-4} sr \)

und

\( 1 \enspace Quadratbogenminute = 1 \enspace arcmin^2 = (\frac{2 \pi}{360 \cdot 60})^2 = 8,46159 10^{-8} sr   \)

sowie

\( 1 \enspace Quadratbogensekunde = 1 \enspace arcsec^2 = (\frac{2 \pi}{360 \cdot 60 \cdot 60})^2 = 2,35044 10^{-11} sr   \)

Umrechnung Candela – Lumen

Lichtstärke (cd) und Lichtstrom (lm) beziehen sich auf einen Sender (eine Lichtquelle) – Die Beleuchtungsstärke (Lux) bezieht sich auf das, was bei einem Empfänger ankommt.

Die in Candela gemessene “Lichtstärke” und der in Lumen gemessene “Lichtstrom” sind über den Raumwinkel, in den das Licht abgestrahlt wird mit einander verbunden.

Der Lichtstrom (in Lumen) ist die gesamte Lichtmenge, die eine Lichtquelle in alle Richtungen – also in den vollen Raumwinkel von 12,56637 sr (= 4 π) – ausstrahlt; während die Lichtstärke (in Candela) einer Lichtquelle bezogen wird auf den – normalerweise kleineren – Raumwinkel, in den die Lichtquelle die Lichtmenge tatsächlich abstrahlt.

\( Lichtstärke = \frac{Lichtstrom}{Raumwinkel} \)

Ein Lichtstrom von 12,56637 Lumen würde in eine Lichtstärke von 12,56637 / 12,56637 = 1 Candela bewirken.

Lichtverschmutzung / Himmelshelligkeit

Die Qualität (Dunkelheit) des Sternhimmels messen wir ja mit dem SQM in Einheiten von Magnituden pro Quadratbogensekunde. Die Website http://clearoutside.com zeigt die Himmelsqualität neben der SQM-Zahl auch in Einheiten von Milli-Candela pro Quadratmeter an – also als “Leuchtdichte“; beispielsweise war dort heute für meinen Standort in Hamburg eine Himmelsqualität von SQM 18,61 bzw. 3,88 mcd/m² angezeigt.

Jetzt müssten wir nur noch die traditionellen Magnituden in Candela umrechnen. Also die Frage, wie war nocheinmal die “Magnitude” physikalisch definiert?

Von einem Stern der scheinbaren Helligkeit m geht ein Lichtstrom (gemessen in Lumen) aus von:

\( \Phi_v = 10^{(-m-14.2064)/2.5} Lumen \\\ \)

Diese Umrechnung verwenden wir auch bei den Betrachtungen zur Belichtungszeit von Astrofotos.