Physik: Krümmung der Raumzeit

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum, Gravitation, Schwarze Löcher

Krümmung der Raumzeit

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) basiert auf dem Postulat der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung.

Aus diesem Äquivalenzprinzip ergibt sich die Lichtablenkung in Gravitationsfeldern.

Wenn man trotzdem davon ausgehen möchte, dass das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, muss die Gravitation den Raum (besser die Raumzeit) entsprechend krümmen, sodaß eine Metrik entsteht bei der der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten nicht unbedingt die Euklidische gerade Linie ist.

Wir wollen hier zunächsteinmal den Begriff der “Krümmung” ganz allgemein diskutieren.

Krümmung bei Euklidischer Metrik

Unter der Krümmung eines geometrischen Objekts versteht man die Abweichung von einem geraden Verlauf; dazu bedarf es (mindestens) einer weiteren Dimension in die die Krümmung verläuft oder der Begriff “gerade” muss umdefiniert (siehe: Nicht-Euklidisch) werden.

Wir betrachten eine Gerade. Solange sie wirklich geradeaus verläuft ist sie nicht gekrümmt. Wenn sie eine Kurve nach links (oder rechts) macht, haben wir eine Krümmung – und wir brauchen dafür (mindestens) eine zweite Dimension. Die Stärke der Krümmung kann mehr oder weniger sanft oder kräftiger sein. Wir messen die Stärke der Krümmung an einer Stelle durch einen sog. Krümmungskreis. Das ist ein Kreis, der sich in dem betrachteten Punkt am besten an die Kurve anschmiegt. Ein großer Krümmungskreis bedeutet eine kleine Krümmung ein kleiner Krümmungskrei ein starke Krümmung. Der Kehrwert des Radius ist das Maß für die Krümmungsstärke.

Die andere Frage ist, welche geometrischen Objekte sind es, die da “gekrümmt” werden?  Im einfachsten Fall ist es eine eindimensionale Linie in einer zweidimensionalen Ebene; also z.B. ein Funktionsgraph oder eine sog. Kurve. Kurven sind in diesem Zusammenhang sehr interessant als Teilmenge eines Vektorraums, die durch eine Abbildung von einem reellen Intervall in den Vektorraum  als sog. “parametrisierte” Kurve dargestellt werden kann. Das “Umparametrisieren” ist dann eine Äquivalenzrelation zwischen parametrisierten Kurven. Eine “Kurve” kann dann als Äquivalenzklasse solcher parametrisierten Kurven verstanden werden. Als Repräsentant einer Äquivalenzklasse nimmt man dann gerne eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve.

Wenn wir uns mit Kurven beschäftigen und speziell dann mit der Länge einer Kurve oder der Krümmung von Kurven, haben wir es mit Differentialgeometrie zu tun.
Dazu gibt es eine Reihe von sehr schönen Youtube-Videos:

Schritt 1: Krümmung einer Linie in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt ein Funktionsgraph von beispielsweise y = f(x) in der Ebene ist, können wir die Krümmung leicht berechnen:

Für eine zweimal differenzierbare Funktion  y = f(x) ergibt sich der Krümmungsradius an einem Punkt x zu:

\( \Large  r(x) = \left\vert \frac{(1+(f^\prime(x))^2)^\frac{3}{2}}{f^{\prime\prime}(x)} \right\vert  \)

Als Beispiel nehmen wir mal eine Parabel f(x) = 0,5 * x2
Dazu haben wir die Ableitungen:
f(x) = x
f(x) = 1
Der Krümmungsradius beispielsweise am Punkt x0 = 0 beträgt dann laut obiger Formel:

\( \Large r(x_0) = \frac{(1+{x_0}^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 1 \\\ \)

Und zur Probe nehmen wir noch x=1:

\( \Large r(1) = \frac{(1+1^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 2^\frac{3}{2} = 2 \sqrt{2} \)

Dieses Beispiel habe ich entnommen aus https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/kurveneigenschaften-im-ebenen-raum/kruemmung/kruemmungsradius.html
Es wird grafisch veranschaulicht durch:

Schritt 2: Krümmung einer Kurve in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt eine “richtige” Kurve in der Ebene ist, wird die Krümmung anders berechnet.

Als “richtige” Kurve (in der Ebene) betrachten wir von der obigen Parabel das Kurvenstück von x=-1 bis x=1. Als Parametrisierte Kurve, wobei der Parameter t auch von -1 bis 1 laufen möge, (was wir uns z.B. als Zeit vorstellen könnten) sieht das dann so aus:

\( \Large \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} t \\\ \frac{1}{2}t^2  \end{array}\right)  \\\  \)

Um die Krümmung zu brechnen ermitteln wir zuerst:

\( \Large \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ t  \end{array}\right)  \)

womit dann:

\( \Large ||\alpha^\prime(t)||^2 =  1 +  t^2   \\\  \)

und mit:

\( \Large \alpha^{\prime\prime}(t) = \left( \begin{array}{c}  0 \\\ 1  \end{array}\right)  \)

ergibt sich:

\( \Large det(\alpha^\prime(t), \alpha^{\prime\prime}(t)) = 1  \\\ \)

und damit ergibt sich dann die Krümmung zu:

\( \Large \kappa_\alpha(t) = \frac{1}{(1 + t^2 )^\frac{3}{2}}  \)

Bei t=0 ist dann die Krümmung:

\( \Large \kappa_\alpha(0) = 1 \\\  \)

und zur Probe nehmen wir noch t=1:

\( \Large \kappa_\alpha(1) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\\ \)

Weil t=x ist, stimmt das mit den Berechnungen des Krümmungsradius (s.o. Schritt 1) exakt überein.

Schritt 3: Krümmung einer Fläche im Raum

Analog können wir uns gekrümmte Flächen im Raum vorstellen. Hier kann allerdings der Krümmungsradius in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sein. Inetwa so die wir das von einem Gradienten kennen.

Auch in diesem Fall stellen wir uns das ganz klassisch geometrisch vor als Krümmung in eine weitere Dimension.

Krümmung per Nicht-Euklidischer Metrik

In der Allgemenen Relativitätstheorie spricht man auch von “Krümmung” z.B. Krümmung des Raumes oder Krümmung der Raumzeit.

Hier basiert die “Krümmung” nicht auf einer zusätzlichen Dimension, sondern auf einer speziellen Metrik in ein und demselben Raum. Unter “Metrik” versteht man ja eine Vorschrift, die zwei Punkten in dem betreffenden Raum einen Abstand zuordnet.  So eine Metrik definiert dann auch automatische die Längen von Linien…

Geodätische Linie

Die Linie, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten bildet, nennt man Geodät oder auch Geodätische LInie. Auf der Erdoberfläche kennen wir das z.B. bei der Seefahrt oder Luftfahrt wenn wir beispielsweise die Flugroute von London nach Los Angeles betrachten:

Geodätische LInie Moskau - Los Angeles

Das Licht läuft immer auf einer Geodäte, nimmt also die kürzeste Verbindung. Das kann “gekrümmt” aussehen…

Krümmung ohne zusätzliche Dimension

Für eine solche Krümmung benötigen wir aber nicht zwingend eine zusätzliche Dimension. Die Krümmung kann auch “in sich” durch andere Abstandsgesetze (= Metriken) bewirkt werden.
Siehe Schwarzschild-Metrik

 

Physik: Magnetisches Feld

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elektrisches Feld, Vektorraum, SI-Einheiten

Das Magnetische Feld

Analogie zum Elektrischen Feld

Schon seit Jahrhunderten kennt man den Kompass, dessen Magnetnadel sich in die Richtung des Magnetfeldes der Erde ausrichtet.

Ein “Magnet” erzeugt ein Magnetfeld. Wenn ich in ein solches Magnetfeld einen kleinen “Probemagneten” einbringe, so übt das magnetische Feld eine magnetische Kraft auf diesn kelinen “Probemagneten” aus…
Dann hätte man in Analogie zum elektrischen Feld:

Magnetische Feldstärke = Magnetische Kraft /  Magnetische Probeladung

Magnetfelder können verursacht werden durch:

  • magnetische Materialien, etwa einen Dauermagneten,
  • elektrische Ströme, z. B. eine stromdurchflossene Spule oder
  • zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes.

Die Definition eines magnetischen Feldes \( \vec{B} \) kann man durch folgende Formel erreichen:

\( \vec{F} = q \cdot \vec{v} \times \vec{B} \)

Dabei bewegt sich eine elektrische Ladung (q) mit der Geschwindigkeit \( \vec{v} \) und erfährt eine Kraft von \( \vec{F} \), die durch das Magnetfeld \( \vec{B} \) hervorgerufen wird.

Historisch gesehen gibt es den Begriff der “Feldstärke” beim Magnetfeld nicht. Wir haben aber eine Größe “Magnetische Flußdichte”, die soetwas ähnliches ist.

Eine besonders einfache Situation ist ein gerader elektrischer Leiter, der von einem konstanten elektrischen Strom durchflossen wird – das wurde schon von Hans Christian Oersted (1777-1851) untersucht. Für einen Strom der Stärke I durch den Leiter bekommen wir im Abstand r ein Magnetfeld von:

\( \vec{B} = \Large \frac{\mu \cdot I}{2 \pi \cdot r} \)

Fragen / Probleme

  • in welchen Masseinheiten misst man ein Magnetfeld  (Tesla, Gauß,…) ?
  • Eigentlich haben wir nur magnetische Dipole

Die sog. Lorentzkraft – Elektromagnetismus

Auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte elektrische Ladung q wirkt im elektromagnetischen Feld eine Kraft. Für diese sog. Lorentzkraft haben wir die Formel:

\( \vec{F} = q \cdot (\vec{E} + (\vec{v} \times \vec{B})) \)

Wo bei E die elektrische Feldstärke und B die magnetische Feldstärke (historisch: Flussdichte) sind.

Und dann gibt es noch einen Dynamo und ein Induktionsgesetz….

 

 

Physik: Elektrostatik – Elektrisches Feld – Coulomb

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Siehe auch: Gravitation, Magnetisches Feld, Vektoren, SI-System

Elektrostatik: Elektrisches Feld

In der Elektrostatik werden ruhende und zeitlich unveränderliche Elektrische Felder beschrieben.

Die physikalische Größe elektrische Feldstärke (E) beschreibt die Stärke und Richtung eines elektrischen Feldes, also die Fähigkeit dieses Feldes, Kraft (F) auf Ladungen (q) auszuüben. Sie ist ein Vektor und ist in einem gegebenen Punkt definiert durch:

\( \Large \vec{E} =  \frac{\vec{F}}{q} \\\ \)

Die Maßeinheit der Elektrische Feldstärke ist also Newton / Coulomb, was das Gleiche ist wie V / m.

Analogie: Gravitationsfeld

Analog müssten wir für das Gravitationsfeld einer Punktmasse M die Gravitationskraft (F) durch die “Probemasse” m dividieren, um die “Gravitationsfeldstärke” g zu erhalten:

\( \Large \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = G \frac{M}{r^2} \\\ \)  (in radialer Richtung)

Diese “Gravitationsfeldstärke” wird aus historischen Gründen “Gravitationsbeschleunigung” genannt.

Analogie: Magnetisches Feld

Auch beim Magnetismus stellt man sich ein Kraftfeld vor: das Magnetische Feld

Elektrostatik: Coulombsches Gesetz

Das Elektrische Feld einer Punktladung q ist:

\( \Large E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \\\ \) (in radialer Richtung)

Daraus ergibt sich das sog. Coulombsche Gesetz für die Anziehungskraft zweier elektrischer Ladungen:

\( \Large F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \\\ \)

Elektrostatische Kraft im Wasserstoffatom

Link: https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/aufgabe/elektrische-kraefte-im-wasserstoffatom

Wobei im Wasserstoffatom gilt:

  • Elektrische Ladung eines Elektrons: \( q_e = -1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Elektrische Ladung eines Protons: \( q_p = +1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Masse eines Elektrons: \( m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} kg \)
  • Angenommene Entfernung Proton-Elektron: \( r = 5.29 \cdot 10^{-11} m  \)  (Bohrscher Radius)

Damit errechnet sich die elektrische Anziehungskraft zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom (unter Vernachlässigung anderer Kräfte) zu:

\( \Large F = \frac{1}{4 \cdot 3.1415 \cdot 8.8541 \cdot 10^{-12}}   \cdot \frac{1.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-38}}{5.29^2 \cdot 10^{-22}}  N \\\ \)

Ausgerechnet:

\( \Large F = \frac{1}{111.2639 \cdot 10^{-12}}   \cdot   0.0914805 \cdot 10^{-16}   N  \)

Weiter gerechnet:

\( \Large F = \frac{ 0.0914805}{111.2639}  \cdot 10^{-4}   N = 0.0008221939 \cdot 10^{-4} N = 8.221939 \cdot 10^{-8} N \)

Kreisbahn im Wasserstoffatom

Für eine Kreisbahn ist eine Zentripedalkraft in gleicher Höhe wie die zentrale Anziehungskraft erforderlich.  Bei einer Bahngeschwindigkeit von v und einem Bahnradius von r ist die Zentripedalkraft:

\( \Large F = \frac{m \cdot v^2}{r} = 8.221939 \cdot 10^{-8}N \)

Also

\( \Large v =\sqrt{\frac{8.221939 \cdot 5.29 \cdot 10^{-19}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} m/s = \sqrt{4.779568 \cdot 10^{12}} m/s = 2.186222 \cdot 10^6 m/s \)

Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

Im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit von 299792 km/s = 2.99792 · 108 m/s sind das ca. 0,73% also noch nicht “relativistisch”.

Das Problem dieses “simplen” Atommodells ist also nicht, dass die (theoretische) Bahngeschwindigkeit des Elektrons zu schnell sein müssste; verglichen zur Lichtgeschwindigkeit, sondern das Problem liegt darin, dass ein bewegtes (und beschleunigtes) Elektron ein Magnetfeld abstrahlen müsste und damit laufend Energie verlieren würde.

 

Physik: Wellengleichung

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Von Phythagoras bis Einstein

D’Alembert

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

\(\Large  \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} – \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_i} = 0 \)

für eine reelle Funktion u (t, x1, x2,…,xn) der Raumzeit.

Hierbei bedeutet u die Auslenkung der Welle zur Zeit t am Ort x=(x1, x2,…,xn) und  n die Dimension des Raumes.
Der Parameter c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.

Eine einfache Lösung der Wellengleichung im eindimensionalen Raum (also n=1) ist beispielsweise:   u(t,x) = sin(x + ct)

Stehende Wellen

Ein wichtiger Spezialfall sind sog. “Stehende Wellen”. Sie haben Knoten und Bäuche.

An einem festen Ende ist immer ein Knoten (Auslenkung Null) und an einem offenen Ende ist immer das Maximum eines Bauches.

Betrachten wir zwei feste Enden, so ist für die Gundschwingung: \( \frac{\lambda}{2} = L  \) und die Oberschwingungen ungerade Vielfache von lambda/2.

Weiterführendes

Stehende Wellen spielen eine Rolle

  • beim Planck’schen Strahlungsgesetz
  • bei den Bahnen von Elektronen um den Atomkern (sog. Orbitale)

Physik: Thermodynamik – Wärmelehre

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenmechanik, Physikalische Größen

Die Thermodynamik

Die Thermodynamik oder Wärmelehre ist eine natur- und ingenieurwissenschaftliche Disziplin. Sie hat ihren Ursprung im Studium der Dampfmaschinen und ging der Frage nach, wie man Wärme in mechanische Arbeit umwandeln kann.

In der Thermodynamik (=Wärmelehre) werden wir erstmals irreversible Prozesse sehen. So etwas gab es in der klassischen Mechanik nicht.

Es gibt zwei Ansätze in der Thermodynamik: die statistische Sicht und die Phänomenologische.  Statistisch werden ganz viele “mikroskopische” Prozesse verhandelt – Phänomenologisch geht es um die nach außen sichtbaren “makroskopischen” Prozesse.  Die physikalische Größe “Temperatur” wird in der Therrmodynamik neu in die Physik eingeführt und ist eben eine “makroskopische” Größe.

Links:

Stichworte:

  • Wärme, Temperatur, Entropie
  • Ideales Gas
  • Irreversible Prozesse
  • Perpetuum mobile
  • Dampfmaschine
  • Gleichgewicht
  • Freiheitsgrade

Ideale Gase

Sind hinreichend verdünnte Gase, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen kleinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.

Zustandsgleichung für ideale Gase:

\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T  \)

Wobei R die allgemeine Gaskonstante (8,31 * 103 Joule/(kmol*Kelvin)) ist und n die Stoffmenge (messen wir in kilo-mol) ist.
Interessant dabei ist, das dies unabhängig von der Art des gases ist – also Helium, Stickstoff etc.  Es muß einfach nur ein “ideales Gas” sein.

Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.

Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von der Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine besondere Form des Energieerhaltungssatzes der Mechanik. … In Worten bedeutet dies: Die Änderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems ist gleich der Summe der Änderung der Wärme und der Änderung der Arbeit.

Zweiter Haupsatz der Thermodynamik

Vorzugsrichtung von Prozessen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Formulierung von Clausius lautet: „Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.

So etwas wird auch gerne durch den Begriff der Entropie formuliert.

Boltzmann

Der österreichische Physiker Ludwig Bolzmann (1844-1906) beschreibt mit seiner “Boltzmann-Gleichung” die Dynamik eines idealen Gases.

als:

Die Boltzmann-Konstante

Thermisches Gleichgewicht

Physik: Gravitation

Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Die Keplerschen Gesetze, Schwarzes Loch

Die vier Grundkräfte

In der Physik kennen wir vier Grundkräfte (die vier fundamentalen Wechselwirkungen) – Siehe auch: Standardmodell der Elementarteilchenphysik

  1. Gravitation
  2. Elektromagnetismus
  3. Starke Kernkaft  (Starke Wechselwirkung) – Sie bindet die Quarks aneinander und hält so z.B. die drei Quarks eines Protons zusammen; ebenso die drei Quarks eines Neutrons
  4. Schwache Kernkaft  (Schwache Wechselwirkung) – kann ein Up-Quark in ein Down-Quark umwandeln und somit Protonen und Neutronen vertauschen und so beispielsweise den Beta-Zerfall (Fermi) bewirken; also Radioaktivität…

Die Gravitation ist insofern anders als die anderen drei Kräfte (Wechselwirkungen) weil:

  • Sie ist sehr viel schwächer als die anderen
  • Die Gravitation lässt sich nicht abschirmen  (in sofern gibt es keine sog. Inertialsysteme)
  • Die Gravitation ist immer anziehend, nie abstossend

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besonere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.

Die Erdanziehung

Wie wir alle aus der Schule wissen, haben wir auf der Erdoberfläche eine Gravitationsbeschleunigung von ca. 9,81 m/s2

Das Gravitationsgesetz (s.o.) können wir auch schreiben als:

\( \Large a = G \frac{M}{r^2}  \)

Wenn wir Kraft = Masse mal Beschleuigung, also F = m * a, benutzen.

Wenn wir den mittleren Erdradius als 6371 km annehmen, sind wir auf der Erdoberfläche also im Mittel 6371 km vom Erdmittelpunkt entfernt.
Die Erdmasse beträgt laut Wikipedia ca. 5,9772 * 1024 kg

Bei bekanntem Erdradius, bekannter Erdmasse und bekannter Gravitationskonstante kann man sich die mittlere Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche also ausrechnen:

\( \Large a = G \frac{5,9772 \cdot 10^{24}}{6371000^2} = 9,82  \)

Oder andersherum: Wenn man die Gravitationsbeschleunigung gemessen hat, den Erdradius kennt und die Gravitationskonstante misst (wie Henry Cavendish s.o.), kann man die Erdmasse bestimmen…

Die Kreisbahn

Für eine Kreisbahn mit dem Radius R wäre eine Zentripedalkraft erforderlich von:

\( F_Z = m \cdot \frac{v^2}{R}\)

So eine Zentripedalkraft soll durch die Gravitation des Zentralkörpers der Masse M bewirkt werden. Diese Gravitationskraft ist:

\( F_G = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2}\)

Rechnerisch ergibt sich daraus als Kreisbahngeschwindigkeit (sog. Erste kosmische Geschwindigkeit):

\( v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 7,91 km/s.
Das wäre eine (theoretische) Keisbahn mit dem Radius R; also einer Höhe von  Null Metern über der Erdoberfläche. Nehmen wir mal ein realistisches Beispiel: die ISS. Diese fliegt in ungefähr 400 km Höhe. Da kämen wir auf eine Geschwindigkeit von

\(\Large v = \sqrt{\frac{6.6743 \cdot 10^{-11} \cdot 5.9772 \cdot 10^{24}}{6371000 + 400000}} = 7.94 \enspace km/s \\ \)

Weiter draussen z.B. beim Mond ist die Kreisbahngeschwindigkeit kleiner. Da liegt die Kreisbahngeschwindigkeit nämlich so um 1 km/s.

Die Fluchtgeschwindigkeit

Damit ein Körper der Masse m von der Erdoberfläche entweichen kann benötigt er eine kinetische Energie, die mindestens so groß ist wie seine potentielle Energie:

\( E_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 \)

Das Gravitationspotential auf der Erdoberfläche ist:

\( E_{pot} = \int\limits_{-\infty}^{R} G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} dr = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{-\infty}^R  =  -G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{R}\)

Rechnerisch ergibt sich die Fluchtgeschwindigkeit (sog. Zweite kosmische Geschwindigkeit) zu:

\( v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 11,2 km/s

Diese Zahl beruht ausschließlich auf der Gravitation der Erde; soll heissen andere Einflüsse wie Erdrotation oder etwaige Swing-By-Manöver könnten diese erforderliche Geschwindigkeit reduzieren – wie etwa bei den Mondflügen oder Voyager Raumsonden…

Sihe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)

Ein Schwarzes Loch

Bei einem Schwarzen Loch wäre die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c.  Wenn wir v2 = c setzen ergibt sich:

\( c = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Aufgelöst nach dem Radius R ergibt sich:

\( R = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \)

Bei einem solchen Radius könnte also kein Licht entkommen; deshalb werden solche Objekte “Schwarze Löcher” genannt. Bei einem kleineren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit; bei einem größeren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Man nennt diesen Radius den “Schwarzschild-Radius” oder auch den Ereignishorizont.

Genaugenommen müsste man hier die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verwenden, da wir hier mit Sicherheit relativistische Effekte wegen der starken Raumkrümmung hätten. Interessanterweise ist die Formel für den Ereignishorizont (Schwarzschild-Radius) aber bei der ART die gleiche wie hier in der “Milchmädchenrechnung”.

 

Physik: Teilreflektion

Gehört zu: Physik, Quantenmechanik

Teilreflektion

Die Teilreflektion von Licht an einer Oberfläche hat schon Isaac Newton, der ja von einer Teilchennatur des Lichtes ausging, beschäftigt. Dies ist eines der Paradebeispiele der Quantenmechanik, die ja Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für Teilchen ausrechnen will.

Wenn ein monochromatischer Lichtstrahl auf eine Glasplatte scheint, haben wir das Phänomen der Teilreflektion.

Das Ereignis “Reflektion eines Photons an der Grenzschicht Luft/Glas”  habe die Wahrscheinlichkeit von 4% = 4/100 = 1/25. Die Wellenfunktion dieses Ereignisses wäre also ein Vektor der Länge Sqrt{1/25} = 1/5 = 0.2.

Die Drehung des Vektors wäre proportional der Zeit, die das Licht braucht um den Weg zurückzulegen. Wenn wir die Teilreflektion an der dünnen Glasschicht betrachten, spielt nur die Differenz der Laufzeiten eine Rolle, wenn wir die Differenz der Drehwinkel bestimmen wollen..

So bekommen wir gute Beispiele an denen sich Auswirkungen der Quantenphysik in alltälichen Phänomenen demonstieren lassen.

 

 

Astronomie: Kreisbahn – Zentripedalkraft – Drehimpuls

Drehimpuls gehört zu: Astronomie, Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch Keplersche Gesetze, Sonnensystem, Gravitation

Zentripedalkraft in einer Kreisbahn

Wenn eine Masse m eine Kreisbahn mit dem Radius r beschreibt, so muss eine Kraft in Richtung des Mittelpunkts der Kreisbahn wirken:

\( F = \frac{m \cdot v^2}{r} \)

Diese Kraft nennt man “Zentripedalkraft”.

Wenn diese Zentripedalkraft z.B. im Sonnensystem durch die Anziehungskraft des Zentralkörpers Sonne (Graviationskraft) erzeugt wird, hat man:

\(\frac{m \cdot v^2}{2} = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}\)

Für die Kreisbahngeschwindigkeit im Sonnensystem gilt also:

\( v = \sqrt{2 \cdot G \cdot M} \cdot \frac{1}{r} \)

Dies ist auch ein Ausgangspunkt der Forschungen von Vera Rubin (1928-2016), die die Rotationsgeschwindigkeit in Galaxien bei unterschiedlichen Abständen vom Zentrum untersucht hat und dadurch die Existenz von sog. Schwarzer Materie bekräftigtigen konnte.

Definition des Drehimpulses

Klaro: Drehimpuls ist Winkelgeschwindigkeit x Trägheitsmoment.

Da erhebt sich die Frage, was eigentlich ein “Trägheitsmoment” sein soll…

Im Falle einfacher Kreisbahnen von Planeten (Masse) vom Radius R im Sonnensystem folgt aus der allgemeinen Definition des Trägheitsmoments:

\(Trägheitsmoment = Masse \cdot R^2 \)

Damit wäre der Drehimpuls: Winkelgeschwindgkeit x Masse x R Quadrat

Wenn man die Beziehung: Winkelgeschwindigkeit = Bahngeschwindigkeit / R  benutzt, ergibt sich:

Drehimpuls = Bahngeschwindigkeit x Masse x R

Drehimpuls und die Keplerschen Gestze

Wenn der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist, folgt aus obiger Gleichung sofort das 2. Keplersche Gesetz.

Beispiele der Erhaltung des Drehimpulses

Wir alle kennen das Beispiel der Pirouette einer Eistänzerin. Wenn die Arme angezogen werden, verringert sich das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeitvsteigt an, da der Drehimplus erhalten bleibt.

 

Physik: Relativitätstheorie

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Kosmologie, Tensoren, Lineare Algebra, Metrik
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Was ist mit “Relativität” gemeint?

Der Begriff der “Relativität” von physikalischen Vorgängen dreht sich darum, dass ein und dieselbe Beobachtung von verschiedenen Beobachtern in verschiedenen Koordinatensystemen gemacht wird. Bei den oben genannten “physikalischen Vorgängen” handelt es sich um die Messung physikalischer Größen wie:

  • Zeit
  • Ort
  • Geschwindigkeit
  • Impuls
  • Kinetischen Energie
  • Lorentz-Kraft
  • Maxwell-Gleichungen

Dabei könnten zwei Beobachter immer zu übereinstimmenden Ergebnissen kommen (so etwas nennt man dann “invariant”) oder es ergeben sich manchmal unterschiedliche Ergebnisse (“variant”). Im letzteren Fall kommt es also darauf an, welcher Beobachter diese Messung gemacht hat. Somit sind die Ergebnisse also “relativ” zu einem bestimmten Beobachter zu sehen.

Im Falle einer solchen Relativität möchte man die Messergebnisse zwischen Beobachtern formelmäßig “transformieren” können. Dafür betrachten wir nur Beobachter, die sich gleichförmig und gradlinig zu einander bewegen, also ohne Beschleunigung. Solche Beobachter bzw. deren Koordinatensysteme (Ort und Zeit) nennen wir “Inertialsysteme“. Ein Beobachter beobachtet Ereignisse, denen er jeweils Ort und Zeit zuordnet.

Raum-Zeit-Diagramm

Solche Ereignisse kann man sich als Punkte in einem sog. Raum-Zeit-Diagramm veranschaulichen, wo die auf der einen Achse die drei Raum-Dimensionen x, y, z auf eine Dimension vereinfacht werden: x. Es bleibt als zweite Achse die Darstellung der Zeit, wobei es sich später als elegant erweisen wird, statt der “echten” Zeit das Produkt aus Lichtgeschwindigkeit und der Zeit, also c · t abzutragen.

Ein Minkowski-Diagramm ist eine ganz einfache grafische Darstellung, nämlich ein rechtwinkliges zweidimensionales Koordinatensystem mit einer Zeitachse und einer Raumachse (also der dreidimensionale Raum auf eine Dimension vereinfacht). Beobachter, die sich gleichförmig und gradlinig bewegen (Inertialsysteme), haben dann als sog. “Weltlinie” eine Gerade.

Weltlinie eines Photons

Mit so einem Raum-Zeit-Diagramm stellen wir also einen 2-dimensionalen Vektorraum dar und suchen nach Transformationen, die Koordinaten eines Ereignisses von einem Koordinatensystem in ein anderes transformieren. Da es sich bei den Koordinatensystemen um Intertialsystem handeln soll, könnten wir vermuten, dass die Transformationen auch ganz einfache sind z.B. Linerare Transformationen, die dann als Matrix dargestellt werden könnten.

Relativität bei Gallileo

Bei Galileo sind die die physikalischen Gesetze, speziell die Bewegungsgleichungen, identisch in allen Inertialsystemen. Es gibt kein bevorzugtes System, was etwa “in Ruhe” wäre. Jede Bewegung muss relativ zu einem Bezugspunkt gemessen werden.

Speziell für Geschwindigkeiten gilt nach Gallileo das auch intuitiv einleuchtende “Additionsgesetz” d.h. wenn ein Beobachter in seinem System ein Objekt mit der Geschwindigkeit v1 misst, dann wird ein anderer Beobachter, der sich relativ zum ersten Beobachter mit der Geschwindigkeit v bewegt, die Geschwindigkeit desselben Objekts zu v2 = v1 + v messen. Wobei da noch die Richtungen berücksichtigt werden müssen, also: \( \vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{v} \)

Auch die Lichtgeschwindigkeit wäre in unterschiedlichen Inertialsystemen unterschiedlich.

Die Galilieo-Transformationsgleichungen wären demnach:

\(  \tilde{t} = t \\ \tilde{x} = -v \cdot t + x \\\)

Was als Galileo-Transformationsmatrix ergibt:

\( F = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  -v & 1 \\  \end{array} \right] \\ B = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  v & 1 \\  \end{array} \right] \)

Wobei F (=foreward) und B (=backward) wieder die Identität ergeben.

Youtube Video eigenchris 103d: https://youtu.be/ndjiLM5L-1s

Gallilieo.svg

Gallileo/Newtom-Transformation (blau -> rot)

Bei der Koordinatentransformation nach Gallileo/Newton verschiebt sich “nur” die x-Achse, die Zeit (t) ist in jedem bewegten Inertialsystem gleich. Deswegen würde jede Geschwindigkeit (also auch die Lichtgeschwindigkeit) verändert.

Lorentz & Co.

Die sog. Lorentz-Transformationen entstanden nach 1892 um zunächst die damals vorherschende Äthertheorie in Einklang mit den Ergebnissen des Michelson-Morley-Experiments zu bringen. (Albert A. Michelson 1881 in Potsdam). Die Lorentz-Transformationen wurden erst 1905 von Heny Poicaré (1854-1912)  so formuliert, wie wir sie heute kennen:

\(  c \cdot \tilde{t} = \gamma (ct – \beta x) \\ \tilde{x} = \gamma ( -\beta c t + x) \)

wobei \( \beta = \frac{v}{c}  \) und \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \)

Wobei diese Faktoren so bestimmt sind, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Intertialsystemen gleich ist.

Als Lorentz-Transformationsmatrix ergibt sich:

\( F = \gamma \left[ \begin{array}{rr} 1 & -\beta \\  -\beta & 1 \\  \end{array} \right] \\ B = \gamma \left[ \begin{array}{rr} 1 & +\beta \\  +\beta & 1 \\  \end{array} \right] \)

Youtube Video eigenchris 104b: https://youtu.be/240YGZmV1b0

Lorentz Transformation

Lorentz-Transformation (blau -> rot)

Bei der Lorentz-Transformation werden beide Achsen in Richtung auf die Diagonale gedreht. Dadurch werden die ursprünglichen Quadrate zu Rhomben und die Lichtgeschwindigkeit beibt gleich (die Diagonale). Damit bleibt die Skalierung (also die Achsenteilungen) bei der Lozenz-Transformation so, dass die Flächen der Rhomben gleich den Flächen der ursprünglichen Quadrate sind (Determinante = 1). Für diese Skalierung sorgt der Faktor γ (siehe oben).

SRT Einsteins Spezielle Relativitätstheorie

Albert Einstein hat 1905 die sog. “Spezielle Relativitätstheorie” formuliert. Ausgehend von zwei Postulaten:

  • Die physikalischen Gesetze sind gleich in allen Intertialsystemen
  • Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist gleich in allen Intertialsystemen

leitet er daraus erstmals die Lorentz-Transformationen (s.o.) her.

Daraus wiederum ergeben sich die Phänomene:

  • Zeitdilatation
  • Längenkontraktion

SRT Minkowski-Raum – Minkowski-Metrik

Das Linienelement der Minkowski-Metrik

Hermann Minkowski (1864-1909) war ein deutscher Mathematiker, der zeitweise auch Einsteins Lehrer in Zürich war.
Ein Minkowski-Diagramm ist ja relativ locker definiert (s.o.) Von einem Minkowski-Raum spricht man, wenn man einen Vektorraum mit einer speziellen Metrik hat. Diese Minkowski-Metrik (siehe dazu: Minkowski-Tensor) wird definiert durch das Linienelement:

ds²  = c² dt² – (dx² + dy² + dz²)

Zwei Ereignisse in unserer Raumzeit e1 = (t1, x1, y1, z1) und e2 = (t2, x2, y2, z2) hätten nach dieser Metrik den Abstand s, der sich wie folgt errechnet:

\(  s^2 = c^2 (t_2 – t_1) – (x_2 – x_1)^2 – (y_2 – y_1)^2 – (z_2 – z_1)^2  \)

Das interessante an der Minkwski-Metrik ist, das sie invariant gegenüber Lorentz-Transformationen ist – was man leicht nachrechnen kann..

In so einem Minkowski-Raum, also mit der Minkowski-Metrik, lässt sich die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) demnach sehr einfach grafisch darstellen eben weil diese Metrik Lorentz-invariant ist.

Man sagt auch: Wenn man unser Universum als Minkowski-Raum verstehen wollte, mit dieser Metrik,  wäre das ein “flacher” Raum, also nicht gekrümmt (so zu sagen ohne Gravitation).

Der Abstand bei der MInkowski-Metrik

Das Linienelement definiert auch die Länge von Linien, indem man entlang einer solchen Linie integriert.

Für den Abstand zweier Ereignisse können wir unterscheiden:

  • \( s^2 > 0 \) : Der Abstand ist “raumartig”
  • \( s^2 < 0 \) : Der Abstand ist “zeitartig”
  • \( s^2 = 0 \) : Der Abstand ist “lichtartig”

Auf eine Raum-Dimension vereinfacht, ist der Minkowski-Abstand also:

\( s^2 = c^2 t^2 – x^2 \)

Wenn wir als Beispiel s = 1 (raumartiger Abstand) nehmen, erhalten wir ein Hyperbel im Minkowski-Diagramm. Dort liegen also alle Punkte im ursprünglichen Bezugssystem (x,ct), die eine Abstand 1 vom Koordinatenursprung haben. Da dieser Anstand invariant ist, liegt dort also auch für jedes transformierte Bezugssystem (x’, ct’) der Punkt auf der transformierten Raum-Achse, der einen Abstand 1 vom Ursprung hat.
Wir müssen also immer daran denken, dass im Minkowski-Raum nicht die vom Diagramm “vorgegaukelte” Euklidische Geometrie gilt, sondern der Minkowski-Abstand.

Hyperbel.svg

Minkowski-Metrik

Einstein ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie geht es um die Gravitation….

Bekannt sind seine berühmten sog. Feldgleichungen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Worin auch der Metrik-Tensor \( g_{\mu \nu} \) vorkommt. Gemäß Konvention laufen μ und ν = 0,1, 2, 3 wobei 0 die Zeit-Koordinate bedeutet.

\( T_{\mu \nu} \\\) ist der sog. Energie-Impuls-Tensor, den man im Vakuum einfach auf Null setzt (sog. Vakuumlösungen).

\( R_{\mu \nu} \) ist der sog. Ricci-Tensor – keine Ahnung, was das sein soll.

Was man immer wieder hört, ist dass nach Einstein die Gravitation die Raumzeit krümmt. Wobei die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit nicht in eine weitere Dimension (die fünfte) geht, sondern die Raumzeit “in sich” gekrümmt wird, soll wohl heissen, dass nicht mehr die Euklidische Metrik gilt, sondern eine andere Metrik, eine “Nichteuklidische Metrik“.

Siehe hierzu: Krümmung der Raumzeit

 

Physik: Quantenmechanik

Gehört zu: Physik
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Siehe auch: Kosmologie, Teilchenphysik, Von Pythagoras bis Einstein, Lineare Algebra

Max Planck

Flammarion Holzschnitt (Wikipedia)

Max Planck (1858-1947) konnte im Jahre 1900 ein Strahlungsgesetz entwickeln, das zeigt welche Strahlungsenergie ein “Schwarzer Strahler” einer bestimmten Temperatur (T) in Anhängigkeit von der Wellenlänge (oder Frequenz “ν”) der Strahlung aussendet.

Die früheren Formeln (Hypothesen) z.B. von Rayleigh-Jeans waren nur Teilerfolge, da sie in der sog. “Ultraviolettkatastrophe” endeten.

Plancks Strahlungsgesetz ist eigentlich nur eine Formel wie viele andere in der Physik auch, die endlich die Verteilung der Strahlungsenergie in Abhängigkeit von der Wellenlänge/Frequenz der Strahlung “richtig” darstellt.

\( \Large \frac{8 \cdot \pi  \cdot h \cdot \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^\frac{h \nu}{k T} – 1}\)

In Plancks Formel kommt eine vom ihm so genannte “Hilfskonstante” h vor, die später als das legendäre Plancksche Wirkungsquantum interpretiert wurde. Die physikalische Größe “Wirkung” bezeichnet eine Energie (Joule), die in einer bestimmten Zeit  (Sekunden) etwas “bewirkt”. Die Planck’sch Hilfskontante ist:

h = 6,626069 ⋅ 10-34 J ⋅ s

h = 6,626 069 10 34 J s

Häufig hört man, dass aus Plancks Formel angeblich die Übertragung der Energie in sog. Quanten (ganzzahlige Vielfache  von h mal ν) folgt. Das kann man aber aus der Formel selbst überhaupt nicht ableiten. Vielmehr ist es so, dass Planck (angeblich) auf diese Formel kam indem er elektromagnetische Strahlung (das Licht) als Teilchen modellierte, die sich wie ein Gas verhalten sollten. Die unterschiedlichen Geschwindigkeiten solcher Teilchen modelliert Planck als unterschiedliche Wellenlängen der Strahlung…

Ein solches Teilchen sollte eine von der Frequenz seiner Strahlung abhängige Energie haben. Das ist die zentrale Formel (Quantenhypothese) von Planck:   \(E = h \cdot \nu \)

Die Formeln für das Strahlungsgesetz hat Planck zunächst durch Probieren herausgefunden und dann später eine Herleitung auf Basis seiner Quantenhypothese gefunden. Planck glaubte jedoch damals noch nicht an eine allgemeine Quantelung, diese war nur eine Annahme, um die Theorie in Einklang mit den Messungen bringen zu können.

Dieses Youtube-Video von Rene Matzdorf  an der Uni Kassel versucht, die Herleitung der Planck’schen Formel (Strahlungsgesetz) über die Strahlung den schwarzen Körpern, sog. Hohlraumstrahlung und darin existierenden stehenden Wellen (Hohlraum-Resonator) herzuleiten: https://www.youtube.com/watch?v=mC9QJ4YFIwc

Einstein (1879-1955) benutzte gequantelte Photonen mit der Energie \(E = h \cdot \nu \), um den photoelektrischen Effekt zu erklären.

Nach Einstein nimmt die Intensität von Licht dadurch zu, dass mehr Photonen mit der gleichen Energie pro Zeiteinheit abgestrahlt werden. Der photoelektrische Effekt wirkt aber erst dann, wenn das einzelne Photon die erforderliche Energie hat, um Elektronen aus dem Basismaterial herauszulösen. Es ist also nicht eine bestimmte hohe Intensität des Lichts erforderlich, sondern eine bestimmte hohe Frequenz, um die Auslösearbeit zu leisten…

Der Erfolg dieser Theorien brachte Niels Bohr (1885-1962) dazu, so eine Quantelung auch für die Elektronenzustände in seinem Atommodell anzunehmen.

Quelle: http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/historisch/schwarze_korper.html

Siehe auch: Wiensches Verschiebungsgesetz, Stefan-Bolzmann…

Wellenfunktion / Schrödinger

In der klassichen Mechanik (Newton etc.), wird ein Teilchen durch Ort und Implus beschrieben mit seinem sog. “Zustand”. In der Quantenmeachnik macht das die Wellenfunktion Ψ. Sehr allgemein gesagt: Eine Wellenfunktion beschreibt das Zustand eines Quanten-Teilchens.

Der Wertebereich einer Wellenfunktion sind die Komplexen Zahlen. Der Definitionsbereich sind Ort und Zeit  Ψ(r,t)
Die Wert ist also eine Komplexe Zahl, veranschaulicht durch einen Vektor. der auch “Amplitude” genannt wird.

Für Komplexe Zahlen benutzt die Quantenmechanik gerne die sog. Exponential-Darstellung:

\(\displaystyle z ={r} \cdot e^{i  \cdot \phi} \)

Damit kann man sich die Komplexe Zahl gut als Vektor einer bestimmten Länge (r) mit einem Drehwinkel (Φ) vorstellen.

Eine interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist durch den Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat gegeben (normiert auf 1 über alles). Ggf. wird also nach einer Superposition das Quadrat der Vektorlänge genommen…

Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion.

Von Ernst Schroedinger (1887-1961) stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems:

\( i \cdot \hbar \cdot \dot{\Psi} = \hat{H}  \Psi  \)

Mit dem geheimnisvollen Hamilton-Operator \(\hat{H}\).

Verständnis der Quantenmechanik

Eine wirkliches Verständnis der Quantenmechanik ist heute noch nicht vorhanden. Man kann zwar damit “rechnen”, weiss aber eigentlich nicht, was da “im Inneren” passiert. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Interpretations_of_quantum_mechanics

Zitat Richard Feynman (1918-1988): “I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”
Link: https://www.researchgate.net/post/I_think_I_can_safely_say_that_nobody_understands_quantum_mechanics_R_Feynman_If_that_statement_is_true_how_can_we_know_if_QM_is_true

In der Quantenmechanik gibt es zwei zentrale Begriffe, die man verstehen sollte:

  • Quantum Superposition    (dazu siehe: Linear Kombination)
  • Quantum Entanglement    (dazu siehe: Tensor-Produkt)

Die Diriac-Notation

Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen hat Jean Paul Diriac (1902-1984) die nach ihm benannte Diriac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Man schreibt das so:

  • Bra-Vektor:  <v |
  • Ket-Vektor: | w>
  • zusammen geschrieben:  <v | w>