Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elementarteilchenphysik, Quantenfeldtheorie

Stand: 30.9.2024

Die Quantenelektrodynamik ist eine Quantenfeldtheorie und soll die Grundkraft “Elektromagnetismus” erklären.

Betroffene Teilchen sind: Proton, Neutron und Elektron

Austauschteilchen: Photon

Gruppentheorie: U(1)

Begonnen hat die Entwicklung der QED mit Paul Dirac. Später brachten Richard Feynman u.a. sie zur Vollendung. Nobelpreis 1965.

Gehört zu: Quantenmechanik
Siehe auch: Wellenfunktionen

Stand: 20.09.2024 (Quanten-Verschränkung)

Die Schrödinger-Gleichung

Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887-1961) für die Ausbreitung von Materiewellen (Wellenmechanik) aufgestellt und bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung des Spektrums des Wasserstoffatoms genutzt.

Der Zustand eines Quantensystemens soll durch eine Wellenfunktion beschrieben werden (also Aufenthaltswahrscheinlichkeiten etc.). Die Wellenfunktion erhält man als Lösung der Schrödinger-Gleichung (nicht-relativistisch oder auch relativistisch).

Analog zur Newtonschen Mechanik suchte man nun nach einer Diffentialgleichung, deren Lösungen dann Wellenfunktionen sind.
Generell sind Differentialgleichungen, das was der Physiker braucht: Beschreibung von Veränderung bei gegebenen Anfangsbedingungen.

Da man wusste, das Wellenfuktionen überlagert werden sollen; d.h. eine Linearkombination von Wellenfunktionen sollte wieder eine Wellenfunktion sein (also eine Lösung der Differentialgleichung), sollte diese Differentialgleichung linear sein.

Man spricht von “freien” Teilchen, wenn kein Kraftfeld einwirkt. Wenn ein Kraftfeld einwirkt, will man dieses durch ein Potential (Potenzial) beschreiben, was bei sog. konservativen Kraftfeldern immer geht.

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung mit einer gewissen Potentialfunktion (aka Kraftfeld) sind die gesuchten Wellenfunktionen.

Abbildung 1: Youtube-Video von Josef Gassner (https://www.youtube.com/watch?v=hY2AdjYcTro&t=905s)

Von Erwin Schroedinger stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche und räumliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems unter Einfluss eines Potentials. Wobei man sich so ein Potential als Einfluss eines Kraftfeldes vorstellen kann: \( F(r,t) = \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t}\).

Die Lösungen dieser Wellengleichung heissen Wellenfunktionen.
Gegeben ist dabei eine Potentialfunktion V(r,t) und gesucht wird als Lösung die dazu passende Wellenfunktionen \(\Psi(r,t)\):

\( \Large i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t) = – \frac{\hbar}{2m} \Delta \Psi(r,t)+ V(r,t) \Psi(r,t)= (- \frac{\hbar}{2m} \Delta + V(r,t)) \Psi(r,t) \\\)

Mit dem Laplace-Operator: \( \Delta f = div(grad f)) \) der so etwas wie die “zweite Ableitung” darstellt.
Benannt nach Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Gegeben ist dabei ein Potential V(r,t) und eine Masse m, gesucht wird eine Wellenfunktion \(\Psi(r,t) \).

Wenn es sich um ein “freies” Teilchen handelt, ist das Potential Null, d.h. es fällt in der Gleichung weg.
Wenn die Wellenfunktion nicht von der Zeit abhängt, sprechen wir von einer “stationären” Lösung. Die Wellenfunktion ist dann nicht mehr komplexwertig, sondern nimmt nur noch Werte aus den reelen Zahlen an.

Kompakt kann man die allgemeine Schrödiner-Gleichung schreiben als:

\( \Large i \cdot \hbar \cdot \dot{\Psi}(r,t) = \hat{H} \Psi(r,t) \\ \)

Mit dem geheimnisvollen Hamilton-Operator:

\(\hat{H} \Psi(t)= i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t) \).

Der nach William Rown Hamilton (1805-1865) benannte Hamilton-Operator.

Hintergrund dieser Schödinger-Gleichung ist der Satz von der Erhaltung der Energie.

Superposition

Eine Wellenfunktion ist also die Lösung der oben stehenden Schrödinger-Gleichung (mit einer bestimmten Potentialfunktion V). Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, sind auch beliebige Linearkombinationen von Lösungen wiederum Lösungen. So eine Linearkombination würde man Superposition nennen. Wenn beispielsweise die Wellenfunktionen ψ₁ und ψ₂ Lösungen einer Schrödinger-Gleichung sind, ist auch \( \Psi = a \cdot \Psi_1 + b \cdot \Psi_2 \\\) Lösung dieser Schrödinger-Gleichung.
Das heisst, dass alle Wellenfunktionen \( \Psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C} \), die Lösung einer Schrödinger-Gleichung sind, einen Vektorraum bilden. Wenn wir noch ein Skalarprodukt (inneres Produkt) von zwei Wellenfunktionen definieren, wir dieser Vertorraum zum Prä-Hilbertraum und möglicherweise zu einem echten Hilbertraum:

\( \Large \langle \Psi_1 | \Psi_2 \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi_1^\ast(x) \Psi_2(x) dx \\ \)

Quantenphysiker verwenden auch gerne eine Bra-Ket-Notation (s.u. Diriac) und schreiben:

\( |\Psi\rangle = a \cdot |\Psi_1\rangle + b \cdot |\Psi_2\rangle \\ \)

Zunächst ist das eine formale mathematische Notation.

Eine für Physiker interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.

Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion. Die beiden Wellenfunktionen werden addiert, normiert und danach wird das Quadrat des Betrags genommen.

Abbildung 2: Eine schöne Einführung gibt das Youtube-Video von Alexander FufaeV (Youtube: https://youtu.be/SqQbsBOsaA8)

Vereinfachung: Eindimensionale Schrödinger-Gleichung

Wenn wir bestimmte Vereinfachungen vornehmen, wird die Schrödinger-Gleichung auch einfacher:

• Die Wellenfunktionen möge in einfachen Fällen nicht von der Zeit, sondern nur vom Ort abhängen ==> zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
• Der Ort wird in einfachen Fällen nicht durch drei Raumkoordinaten (Ortsvektor r), sondern nur durch eine Dimension (x-Achse) beschrieben. ==> Eindimensionale Schrödinger-Gleichung

Als (vereinfachte) eindimensionale, zeitunabhängige Schödinger-Gleichung haben wir:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + W_{pot} \Psi\)

Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung

Mit dreidimesionalen Ortskoordinaten ergibt sich:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} \right) + W_{pot} \Psi\)

Zur kompakteren Schreibweise wird der Nabla-Operator (\( \nabla^2 \) wird auch Laplace-Operator genannt) eingeführt:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi + W_{pot} \Psi\)

Noch kompakter kann man es mit dem sog. Hamilton-Operator schreiben:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \nabla^2 + W_{pot} \right) \Psi = \hat{H} \Psi \)

mit dem Hamilton-Operator:

\( \hat{H} = \nabla^2 + W_{pot} \)

Quanten-Verschränkung – Entanglement

Hierzu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben: Verschränkung.

Die Dirac-Notation und Hilbertraum

In der Quantenphysik arbeiten wir mit Vektorräumen V über den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) die unendliche Dimension haben. So einen Vektor

\( \vec{v} \in V \)

scheibt man in der Quantenphysik gern als sog. Ket-Vektor:

\( |v\rangle \)

Dies ist Betandteil der sog. Bra-Ket-Notation von  Jean Paul Dirac (1902-1984), bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Um ein Skalarprodukt (inneres Produkt) zu definieren brauchen wir noch zu jedem Ket-Vektor einen sog. Bra-Vektor.

\( \langle v | := \left[ | v \rangle \right]^\dagger = {\left[ | v \rangle \right]^\ast}^T \)

Wobei v^* der komplex konjugierte und v^T der transponierte Vektor ist. Man nennt das Ganze “hermitisch konjugiert” und schreibt das mit dem hochgestellten Dagger-Symbol.

Bei einem reelen Vektorraum wäre der Bra-Vektor einfach nur der Zeilen-Vektor und der Ket-Vektor der normale Spalten-Vektor.

Damit können wir das Skalarprodukt der Vektoren v und w schreiben als
\( \langle v | w \rangle \)

Aber wie wird dieses Skalarprodukt berechnet (definiert)?

Dazu wählen wir eine Basis des Vektorraums: \( \{ |b_1\rangle, |b_2\rangle, |b_3\rangle,…\} \). Das geht immer, da jeder Vektorraum eine Basis hat und definieren das Skalarprodukt zunächt für diese Basisvektoren (damit wir eine orthonormale Basis bekommen):

\( \langle b_i | b_j \rangle := \delta_{ij} \)

Mit diesem Skalarprodukt ist die Basis per Konstruktion “orthonormal”.

Wenn wir nun unsere Vektoren v und w als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:

\( | v \rangle  = \sum{v_i |  b_i \rangle} \)
und
\( | w\rangle = \sum{w_i | b_i \rangle} \)

definieren wir als Skalarprodukt der Vektoren v und w einfach:
\( \langle v | w \rangle := \sum{{v_i}^\ast \cdot w_i}  \)

Nun müssen wir der guten Ordnung halber noch zeigen, dass dieses allgemeine Skalarprodukt tatsächlich eine Erweiterung des für unsere Basisvektoren definierten Skalarprodukts ist. Wir bilden nehmen also zwei Basisvektoren |b_i> und |b_j> und bilden das Skalarprodukt nach der erweiterten Regel:

Die Komponenten von |b_i> sind δ_ij und die Komponenten von |b_j> sind δ_ji .
Und damit ist das Skalarprodukt nach erweiterter Definition:

\( \langle b_i |  b_j \rangle = \sum{{\delta_{ij}}^\ast  \delta_{ji} } = \delta_{ij} \)

Was übereinstimmt mit der ursprünglichen Definition des Skalarprodunkts zweier Basisvektoren.

Hilbertraum

Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum von unendlicher Dimension, der ein Skalarprodukt hat (Prä-Hilbertraum) und vollständig ist.

In der Quantenphysik verwendet man ja immer Hilberträume über den komplexen Zahlen. Die Elemente eines solchen Hilbertraums sind also Vektoren, die wir als Zustände des betrachteten quantenphysikalischen System verstehen. Statt der Wellenfunktion, die den Zustand beschreibt haben wir jetzt einfach einen Vektor \(\vec{v}\), der den Zustand beschreibt.

Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen, hat Jean Paul Dirac (1902-1984) die nach ihm benannte Dirac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Zunächst schreibt man also ganz normale Vektoren als Ket-Vektoren. Also statt: \( \vec{w} \) schreibt man: \( |w\rangle \). Generell sind Ket-Vektoren “normale” Vektoren aus einem Vektorraum V über \(\mathbb{C}\). Man kann sie sich als “normale” Spaltenvektoren vorstellen.

Ein Bra-Vektor geschrieben \( \langle v|\) ist eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\). Bra-Vektoren kann man sich als Zeilenvektoren vorstellen.

So ein Bra \( \langle v|\) kann dann auf einen Ket \( | w \rangle\) angewendet werden, was man schreibt als: \( \langle v|w \rangle \in \mathbb{C} \).

Wenn man so eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\) als Zeilenvektor auffasst, dann ist <v | w> das Skalarprodukt (innere Produkt) der beiden Vektoren.

In einer Bra-Ket-Notation verwendet man innerhalb der Notation häufig Kurz-Symbole für den Vektor oder die Linearform. Beispielsweise statt:

\( a  |\Psi_1\rangle + b  |\Psi_2\rangle \\ \)

schreibt man einfach:

\( a  |1\rangle + b  |2\rangle \\ \)

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenmechanik, Die Bra-Ket-Notation, Wellenfunktion, Komplexe Zahlen

Stand: 17.03.2024

Quantenmechanik nach Susskind

Bei Youtube bin ich auf die Vorlesungen von Prof. Susskind an der Stanfort University gestossen (“continued education”).

• Link: Quantum Entanglement Lecture 1
• Link: Quantum Entanglement Lecture 2
• Link: Quantum Entanglement Lecture 3
• Link: Quantum Entanglement Lecture 4
• Link: Quantum Entanglement Lecture 5
• Link: Quantum Entanglement Lecture 6

Professor Susskind beschreibt die für die Quantenmechanik erforderliche Mathematik einfach und anschaulich, was nicht immer ganz genau der reinen Mathematik entspricht. Deswegen kann ich es gut verstehen.

Zunächst betrachten wir klassische Physikalische Systeme, danach gehen wir Zug um Zug in die Welt der Quantenphysik. Der Trick dabei ist, schon die klassische Physik “gepixelt” zu sehen, was approximativ möglich sein sollte.

In der Quantenphysik werden wir es immer wieder mit Komplexen Zahlen zu tun haben. Auch der Begriff der komplex konjugierten wird hier eine große praktische Rolle spielen.

Ket-Vektor

Ein physikalisches System kann verschiedene diskrete Zustände annehmen (ggf. approximiert).

Z.B. Das Werfen  einer Münze: Kopf oder Zahl

Z.B. Ein Würfel: Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs

Z.B. Spin eines Elektrons: Up oder Down

So einen Zustand schreiben wir auf als sog. “Label” in sog. Ket-Schreibweise…

z.B.    |Kopf>   oder |Zahl>

z.B.   |Eins> oder |Zwei> oder…

z.B. |Up> oder |Down>

Wir können jeden Zustand (State) durch einen Spalten-Vektor repräsentieren.

\(  |Kopf> \space  —>   \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right)   \)

und

\(  |Zahl>  \space —>   \left( \begin{array}{c} 0\\\ 1   \end{array}\right)  \\  \)

Oder beim Würfel:

\(  |Eins> \space  —>   \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0  \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right)   \) und     \(  |Zwei> \space  —>   \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1  \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right)   \) und …

Man sagt auch |a> sei ein Vektor, obwohl der zugehörige Spaltenvektor “nur” eine Repräsentation von |a> ist. Manchmal identifizieren wir beides (aus Bequemlichkeit).

Die Menge der möglichen Zustände nennt man auch “Zustandsraum“. Beispielsweise:

\( S = \left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right) , \left( \begin{array}{c} 0\\\ 1   \end{array}\right)  \right\} \\ \)

Der Zustand eines physikalischen Systems könnte sich mit der Zeit ändern. Den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt nennt man auch “Konfiguration“.

Später werden wir sehen, wie dieser Zustandsraum einen zu einem Vektorraum erweitert werden kann (der Vektorraum wird aufspannt).

Bra-Vektor

Zu jedem Ket-Vektor |a>  bilden wir einen sog. Bra-Vektor <a| auf folgende Weise:

Der Ket-Vektor sei:

\(  |a> \space  —>   \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right)  \\ \)

dann bilden wir den zugehörigen Bra-Vektor als Zeilenvektor folgendermaßen:

\(  <a| \space  —>   \left( \begin{array}{r} {a_1}^* &  {a_2}^*  &  {a_3}^* \end{array}\right)  \\ \)

Wir sagen, der Bra-Vektor sei das komplex konjugierte zum Ket-Vektor

Inneres Produkt

Das sog. “Innere Produkt” zweier Vektoren definieren wir nun einfach als:

\( <a|b> = \left( \begin{array}{r} {a_1}^* &  {a_2}^*  &  {a_3}^* \end{array}\right)  \cdot \left( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2  \\\ b_3 \end{array}\right) = {a_1}^*  b_1 + {a_2}^* b_2 + {a_3}^* b_3 \\ \)

Das Innere Produkt eines Vektors mit sich selbst ist dann immer eine reelle Zahl. Wir definieren als “Länge” oder auch “Norm” eines Vektors die positive Wurzel aus diesem Inneren Produkt.

Wenn das Innere Produkt zweier Vektoren Null ist, sagen wir sie seien “orthogonal”.

Observable

Observable nennt man Dinge, die man messen kann.

In einem bestimmten physikalischen Experiment wollen wir eine bestimme Größe messen und bekommen so zu jedem Zustand des Systems einen Messwert.

Eine bestimmte Observable M ordnet also jedem Zustand aus dem Zustandsraum S einen Messwert (reelle Zahl) zu. Mathematisch geschrieben:

\( M: S \to \mathbb{R} \)

Abstrakter Vektorraum

Die Ket-Vektoren |a> bilden einen (abstrakten) Vektorraum; d.h. es gelten bestimmte Regeln:

Regel 1: Jeder Vektor aus dem Vektorraum kann mit einem Skalar (komplexe Zahl) mutipliziert werden, wobei das Ergebnis wieder ein Vektor aus dem Vektorraum ist.

\( \lambda \space | a> = | a^\prime> \)

Regel 2: Zwei Vektoren aus dem Vektorraum kann ich addieren, wobei das Ergebnis wieder ein Vektor aus dem Vektorraum ist.

\(  | a >  +  | b >  =  | c > \)

Beispiele von Vektorräumen

Die Menge der Ket-Vektoren bilden einen Vektorraum, wobei wir als Einträge ganz allgemein Komplexe Zahlen zulassen und die Dimension des Vektorraums gleich der Anzahl verschiedener Zustände ist.

Die oben aufgeführten Regeln für Vektorräume gelten offenbar:

\( \lambda \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}\lambda  a_1 \\\ \lambda  a_2  \\\ \lambda a_3 \end{array}\right) \\\) \(   \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2  \\\ b_3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \\\ a_2 + b_2 \\\ a_3 + b_3\end{array}\right)   \)

Linearkombinationen

Wir können jeden Ket-Vektor | a > als Linearkombination der Zustandsvektoren darstellen:

\( | a > = \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right) = a_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0  \\\ 0 \end{array}\right) +  a_2 \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1  \\\ 0 \end{array}\right)  + a_3 \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0  \\\ 1 \end{array}\right)  \\\)

Damit spannen die Zustandsvektoren einen (abstrakten) Vektorraum auf, aber nicht jeder Vektor aus diesem Vektorraum beschreibt einen physikalischen Zustand – …

Quantenmechanisches Beispiel

Wenn ich den Spin eines quantenmechanischen Elektrons messe, bekomme ich bei jeder Messung einen von zwei Zuständen, die wir | up > und | down > nennen können.

Diese beiden Zustände repräsentieren wir durch zwei Spaltenvektoren im Vektorraum:

\(  | up > \space  —>   \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right)  \\ \) und

\(  | down >  \space —>   \left( \begin{array}{c} 0\\\ 1   \end{array}\right)  \\ \)

In der klassischen Physik würde niemand auf die Idee kommen, Linearkombinationen solcher zwei Zustände zu betrachten. In der Quantenpysik machen wir das aber.

Linearkombination dieser beiden Zustände wären also:

\( a_{up} \space | up > + a_{down} \space | down > \\\)

Die Koeffizienten können wir als Spaltenvektor schreiben:

\( a = \left( \begin{array}{c} a_{up} \\\ a_{down}  \end{array}\right) \\\)

Wobei die Beträge der Komponenten (Koeffizienten der Linearkombination)  interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeiten der Zustände; also:

\( P_{up} = a_{up} {a_{up}}^* \\\) und

\( P_{down} = a_{down} {a_{down}}^* \\\)

Wobei natürlich die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss: \( P_{up} + P_{down} = 1 \)

Alle Linearkombinationen der Ket-Vektoren  | up > und | down >, die diese Bedingung (Summe der Wahrscheinlichkeiten = 1) erfüllen, werden in der Quantenmechanik als physikalisch mögliche Zustände angesehen. Wir können diese Bedingung auch schreiben als:

\( P_{up} + P_{down} = a_{up} {a_{up}}^* + a_{down} {a_{down}}^* = \left( \begin{array}{r} {a_{up}}^* &  {a_{down}}^*   \end{array}\right)  \cdot \left( \begin{array}{c} a_{up} \\\ a_{down}   \end{array}\right) = <a|a> = 1 \)

Die Bedingung ist also: “Länge = 1”; d.h. die quantenmechanisch möglichen Zustände des Elektronen-Spins liegen auf dem Einheitskreis.

Das Besondere in diesem Fall also, dass der Elektronenspin zwar gequantelt ist, also nur diskrete Werte (+1 und -1) annehmen kann, aber die Wahrscheinlichkeiten beim Messvorgang durchaus gebrochene Zahlen sein können.

Matrizen

Wir werden Matrizen brauchen. Wofür, sehen wir später.
Eine Matrix ist einfach eine quadratische Anordnung von Zahlen, beispielsweise:

\( M = \left( \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{matrix} \right) \\ \)

So eine Matrix M können wir anwenden auf einen Spaltenvektor v indem wir im Prinzip die inneren Produkte von Matrix-Zeilen mit dem Spaltenvektor bilden:

\( M v =  \left( \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2  \\\ v_3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} m_{11} v_1  + m_{12} v_2  + m_{13} v_3 \\\ m_{21} v_1 + m_{22} v_2 + m_{23} v_3  \\\ m_{31} v_1 + m_{32} v_2 + m_{33} v_3\end{array}\right) \\ \)

Das Ergebnis ist wieder ein Spaltenvektor.

Wenn wir nun einen Zeilenvektor w und eine Matrix M nehmen, sieht das ganz analog aus:

\( w M  =  \left( \begin{array}{c} w_1 & w_2  & w_3 \end{array}\right) \left( \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{matrix} \right)  = \left( \begin{array}{c} w_1 m_{11}  + w_2 m_{21} + w_3 m_{31}  & w_1 m_{12}  + w_2 m_{22} + w_3 m_{32}  & w_1 m_{13} + w_2 m_{23} + w_3 m_{33} \end{array}\right) \\ \)

Das Ergebnis ist wieder ein Zeilenvektor.

Matrizen als Operatoren auf einem Vektorraum

Matrizen kann man auch “Operatoren” nennen. Sie können die Vekoren eines Vektorraums transformieren. Das allgemeine KOnzept heißt “Linearer Operator” oder auch “Lineare Transformation”. Wir identifizieren diese zur Vereinfachung.

Wir schauen uns mal ein paar Beispiele aus dem 2-dimensonalen reellen Vektorraum an.

Beispiel 1: Stretchen um einen Faktor 2

\( M v = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2  \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_x \\\ v_y  \end{array}\right)  =   \left( \begin{array}{c} 2 v_x \\\  2 v_y  \end{array}\right)  \\ \)

Beispiel 2: Stretchen in Richtung der y-Achse

\( M v = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2  \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_x \\\ v_y  \end{array}\right)  =   \left( \begin{array}{c} v_x \\\  2 v_y  \end{array}\right)  \\ \)

Beispiel 3: Rotieren um 90 Grad im Uhrzeigersinn

\( M v = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0  \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_x \\\ v_y  \end{array}\right)  =   \left( \begin{array}{c} v_y \\\  -v_x  \end{array}\right)  \\ \)

Wir sehen also: Matrizen transformieren einen Vektorraum; aber nicht alle Transformationen sind Matrizen.

Hermitische Matrizen

Observable in der Quantenphysik werden durch hermitische Operatoren dargestellt. Wir schauen hier deswegen auf hermitische Matrizen.

Eine hermitische Matrix ist definiert durch: \( m_{ij} = {m_{ji}}^*   \)

Eine hermitische Matrix ist vom Konzept her so etwas wie eine reelle Transformation, aber nicht ganz genau: nur die Diagonalelemente der Matrix sind reell, die anderen Elemente werden beim Spiegeln an der Diagonale komplex konjugiert.

Die Namensgebung geht zurück auf den französischen Mathematiker Charles Hermite (1822-1901).

Hintergrund:

Zu einer Matrix \(M = (m_{ij}) \) definieren wir eine “Hermitsch konjugierte” Matrix und schreiben die mit einem “Dagger”;

\( \Large M^\dagger = (m_{ij}^*) \)

Wir nennen eine Matrix M “hermitisch”, wenn sie gleich ihrer hermitisch konjugierten ist, also wenn:

\( \Large M = M^\dagger \\ \)

Diese Eigenschaft ist so ähnlich wie \( z = z^* \) bedeutet, dass z eine reelle Zahl ist.

In der Quantenphysik werden wir es fast ausschließlich mit Hermitischen Matrizen (Hermitischen linearen Operatoren) zu tun haben.

Zusammenfassung Nr. 1 zur Quantenphysik

In der Quantenphysik geht es darum, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Wahrscheinlichkeiten, dass eine Observable bei einem bestimmten Zustand des Systems einen bestimmten Wert (Messwert) annimmt.

Vektoren repräsentieren die Zustände.
Solche Zustandsvektoren bekommen eine irgendwie geartete Bezeichnung (“Label”); z.B. \( |hinz\rangle  \text{ und } |kunz\rangle \).
Auch die Linearkombinationen solcher Zustandsvektoren werden als Zustände bezeichnet.
Alle solchen Linearkombinationen, im Beispiel:  \( a |hinz\rangle + \enspace b |kunz\rangle \enspace mit\enspace  a, b \in C \), bilden einen Vektorraum, den sog, Zustandsraum

Hermitische Matrizen repräsentieren die Observablen.
Wie ich zu einer Observablen (also einer Messgröße) die Matrix finde, ist noch ein Geheimnis.
Später werden wir sehen, dass die Eigenwerte der Matrix die Werte sind, die die Observable annehmen kann; d.h. die wir messen können.

Erwartungswert einer Observablen

Nun entspricht also eine Hermitische Matrix M einer Observablen.

In einem bestimmten Zustand  | a > ist der Erwartungswert der Observablen M:

\( < a | M | a> = \text{Erwartungswert von M} \\ \)

Vergleiche dazu auch: Schroedinger

Eigenwert und Eigenvektor in der Quantenphysik

Wofür diese Konzepte gut sind, sehen wir hier in der Quantenphysik: Die Eigenwerte einer Hermitischen Matrix werden die möglichen Messwerte der Observablen sein.

Wir betrachten eine hermitische Matix M und fragen uns, ob es dazu einen Vektor |a>  gibt, der durch die Matrix M nicht in der Richtung, sondern nur in der Länge verändert wird. Die Längenveränderung  wäre dann ein Faktor, der vom Vektor |a> abhängt, weswegen wir in λ_a nennen.

\(  M|a> = \lambda_a | a > \\ \)

Wenn es so etwas zu der Matrix M gibt, nennen wir so ein  λ_a einen Eigenwert, und den Vektor |a> einen Eigenvektor der Matrix.

Der Witz in der Quantenmechanik ist, dass die Eigenwerte einer hermitische Matrix M die möglichen Messwerte der Observablen sind und der zugehörige Eigenvektor ist der Zusrand in dem die Wahrscheinlichkeit, diesen Wert zu messen 1 ist.

Wie man auf diese Matrizen kommt, die ja Observable repräsentieren sollen, ist noch völlig offen.

Wir schauen uns als Beispiele mal diagonale Matrizen an. Man sieht leicht, dass die Diagonalelemente die Eigenwerte sind und die Eigenvektoren die möglichen Einheitsvektoren aus lauter Nullen und einer Eins.

Beispiel Elektronenspin

Die Observable ist also der Spin eines Elektrons, der +1 oder -1 sein kann.

Als Matrix für diese Observable nehmen wir mal:

\( \sigma_3 = \left( \begin{matrix} 1 & 0  \\ 0 & -1  \\ \end{matrix} \right) \\ \)

Diese Matrix wird auch “Spinoperator” genannt und mit σ₃ bezeichnet. Diese Matrix als Repräsentation der Observablen “Spin” fällt hier ersteinmal so vom Himmel. Wir können aber einfach nachweisen, dass es stimmt, den die Eigenwerte sind:
+1 zum Eigenvektor \( \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right)  = |up> \) und -1 zum Eigenvetor \( \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1   \end{array}\right)  =|down> \)

Genaugenommen steht σ₃ für die Messung des Eletronenspins in z-Richtung (wieso das so ist kommt später).

In y-Richtung gemessen bekommen wir als Observable:

\(  \sigma_2 = \left( \begin{matrix} 0 & -i  \\ i & 0  \\ \end{matrix} \right) \\\)

In x-Richtung gemessen bekommen wir als Observable:

\( \sigma_1 = \left( \begin{matrix} 0 & 1  \\ 1 & 0  \\ \end{matrix} \right) \\ \)

Wir haben also 3 Spinoperatoren…

Wichtiger Satz über Eigenwerte (Lecture 3, t=59m)

Wenn es zu einer Observablen (hermitischen Matrix) M mehrere Eigenvektoren gibt:

\(  M | a > = \lambda_a  | a > \\ \)

und

\(  M | b > = \lambda_b  | b > \\ \)

und die Eigenwerte verschieden sind, dann sind die Eigenvektoren orthogonal; also <a|b> = 0.

Ein Eigenvektor |a> beschreibt ja einen Zustand, in dem die Wahrscheinlichket 1 ist, den Wert λ_a zu messen.

Wenn ich also zu einer Observablen zwei unterschiedliche Messwerte λ_a bzw. λ_b bekomme, gibt es dazu zwei orthogonale Zustandsvektoren |a> und |b>, in denen die Wahrscheinlichkeit 1 ist, die Messwerte λ_a bzw. λ_b zubekommen.

Ein Satz zu Wahrscheinlichkeiten (Lecture 3, t= 1h 14:30m)

Wir mögen ein System haben, das im Zustand |b> präpariert ist – z.B. ein Elektron haben mit dem Elektronenspin |b>

Nun betrachten wir eine Observable M mit einem Eigenwert λ_a zum Eigenvektor |a> .

Wenn wir in dem gegebenen Zustand |b> eine Messung mit M durchführen, können wir uns fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit P unser Messergebnis λ_a sein wird.
Prof. Susskind sagt:
\( P = \langle a|b \rangle {\langle a|b \rangle}^* \)

Quantenmechanik mit einem Elektronenspin (Lecture 4)

Wir stellen uns vor, wir hätten ein Elektron so präpariert, dass der Elektronenspin in Richtung des (räumlichen) Vektors n = (n₁, n₂, n₃) zeigt.

Nun wollen wir den Elektronenspin dieses Elektrons entlang der Richtung m = (m₁, m₂, m₃) messen. Das Ergebnis ist (natürlich) entweder +1 oder -1 (so merkwürdimg ist die Quantenwelt).

Dieses ganze Experiment (präparieren und dann messen) wiederholen wir sehr oft, um die Wahrscheinlichkeit P₊ für das Messergebnis +1 bzw. die Wahrscheinlichkeit P_– für das Messergebnis -1  zu bestimmen.

Das können wir jetzt ja ganz einfach ausrechnen. Als Ergebnis (ohne Beweis)  erhalten wir, dass die Wahrscheinlichkeit nur vom (räumlichen) Winkel θ zwischen den beiden Vektoren abhängt. Der Cosinus dieses Winkels ist bekanntlich das Innere Produkt der beiden Richtungs-Vektoren:

\( \Large \cos{\theta} = \langle n, m \rangle \\ \)

Und die Wahrscheinlichkeit wird (ohne Beweis):

\( \Large P_+ = \frac{1 + \cos{\theta}}{2} \\ \)

Wichtger Zusatz: Kommutator (Lecture 4, t= 1h 54m)

Wenn wir eine Messung einer Observablen durchführen, verändern wir den Zustand des Quantensystems. (Detail: Es ändert sich der “Eigenzustand” auf einen Eigenvektor, der zu dem gemessenen Eigenwert gehört.)

Wir können also nicht zwei Messungen eines Anfangszustands machen, denn der Anfangzustand hat sich ja durch die erste Messung verändert. Das würde nur gehen, wenn die beiden Matrizen (=Observablen) die gleichen Eigenvektoren hätten.

Prof. Susskind sagt (ohne Beweis), dass zwei Matrizen A und B genau dann die gleichen Eigenvektoren haben (evtl. aber andere Eigenwerte) , wenn sie kommutieren; d.h. wenn AB = BA.
Man nennt AB – BA den Kommutator von A und B und schreibt auch:

\(  [A,B] = AB – BA \\\)

Ein System mit zwei Elektronen: Entanglement (Lecture 4, t= 1h 55m)

Zunächst machen wir mal eine kleine Tabelle, wie das mit einem Elektron war:

\( \begin{array}{l} \sigma_1 | up \rangle = | down \rangle \\ \sigma_1 | down \rangle = | up \rangle \\ \sigma_2 | up \rangle = i | down \rangle \\ \sigma_2 | down \rangle = -i | up \rangle \\ \sigma_3 | up \rangle =  | up \rangle \\ \sigma_3 | down \rangle = – | down \rangle \end{array} \\\)

Wenn wir nun zwei Elektronen betrachten, haben wir die vier möglichen  Zustände der beiden Elektronenspins, die wir als Ket-Vektoren aufschreiben:

| u u >

| u d >

| d u >

| d d >

Diese vier spannen mit ihrern Linearkombinationen einen vierdimensionalen komplexen Vektorraum auf:

\( a | u u > + b | u d > + c | d u > + d | d d > \\ \)