Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Materiewellen, Lineare Algebra
Stand: 13.06.2022 (Observable, Bra-Ket-Notation)
Die Wellenfunktion
In der klassischen Mechanik (Newton etc.), wird ein Teilchen durch Ort und Implus beschrieben mit seinem sog. “Zustand”. In der Quantenmechanik macht das die Wellenfunktion Ψ. Sehr allgemein gesagt: Eine Wellenfunktion beschreibt das Zustand eines quantenmechanischen Teilchens. Was genau mit “Zustand” und “Wellenfunktion” gemeint ist, bleibt zunächst offen.
Wir werden später sehen, dass man damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (und auch andere Größen, sog. Observable) von Teilchen berechnen (vorhersagen) und schließlich auch messen kann. Daher auch der Spruch “Shut up and calculate”, angeblich auf Richard Feynman (1918-1988) zurückgehen soll…
Der Wertebereich einer Wellenfunktion sind die Komplexen Zahlen. Der Definitionsbereich sind Ort und Zeit Ψ(r,t).
Der Wert ist also eine Komplexe Zahl, veranschaulicht durch einen Vektor, der auch “Amplitude” genannt wird.
Für Komplexe Zahlen benutzt die Quantenmechanik gerne die sog. Exponential-Darstellung:
\(\displaystyle z ={r} \cdot e^{i \cdot \phi} \)Damit kann man sich die Komplexe Zahl gut als Vektor einer bestimmten Länge (r) mit einem Drehwinkel (Φ) vorstellen.
Nach der sog. Kopenhagener Deutung (1927 Niels Bohr und Werner Heisenberg) ergibt sich aus der Wellenfunktion eines Teilchens eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x,t) für den Aufenthaltsort und zwar wird dabei der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat genommen:.
\( \rho(x,t) = | \Psi(x,t) |^2 \\\)Aus dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ergibt sich der Erwartungswert für den Ort des Teilchens:
\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, \rho(x) \, dx \\\)Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das der Ort des Teilchens (x) im Intervall a <= x <= b liegt, wäre dann:
\( \Large \int_a^b | \Psi(x,t) |^2 \, dx \\\)Da der Betrag einer komplexen Zahl z definiert ist über: \( | z |^2 = z \cdot z^* \) folgt daraus…
\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^*(x,t) \, x \, \Psi(x,t) \, dx \\\)In dieser Form sehen wir schon einen ersten Operator (s.u.), der auf die Wellenfunktion wirkt und uns ein Observable (den Ort) als Erwartungswert bringt.
Operatoren und Observables
Bisher hatten wir den Zustand eines quantenphysikalischen System durch die Wellenfunktion Ψ beschrieben. Um zu beobachtbaren Größen zu kommen, benötigen wir sog. Operatoren, die auf die Wellenfunktion angewendet werden und dann beobachtbare Werte (“observables”) liefern; aber auch nur als Wahrscheinlichtkeitsverteilung (woraus ich Erwartungswerte etc. berechnen kann). Man schreibt solche Operatoren gerne als Buchstabensymbol mit einem Dach “^”. Observable sind z.B.:
- Ort
- Impuls
- Kinetische Engergie
- etc.
Solche Observables können natürlich auch “nur” Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Erwartungswert und Varianz sein.
Ein bestimmter Operator liefert dann zusammen mit der Wellenfunktion des quantenphysikalischen Systems die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Observablen. Daraus ergibt sich beispielsweise der Erwartungswert einer Observablen:
\(\Large \langle \hat{Q} \rangle= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \hat{Q} \Psi dx \)Beispiel 1: Die Observable “Ort”:
Operator: \( \Large\hat{x} \Psi(x,t) = x \cdot \Psi(x,t) \)
Beispiel 2: Die Observable “Impuls”:
Operator: \( \Large\hat{p} \Psi(x,t) = -i \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} \)
Die Schrödinger-Gleichung
Von Ernst Schroedinger (1887-1961) stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche und räumliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems unter Einfluss eines Potentials. Die Lösungen dieser Wellengleichung heissen Wellenfunktionen.
Gegeben ist dabei eine Potentialfunktion V(r,t) und gesucht wird als Lösung die dazu passende Wellenfunktion \(\Psi(r,t)\):
Mit dem Laplace-Operator: \( \Delta f = div(grad f)) \) der so etwas wie die “zweite Ableitung” darstellt.
Benannt nach Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
Gegeben ist dabei ein Potential V(r,t) und eine Masse m, gesucht wird eine Wellenfunktion \(\Psi(r,t) \)
Kompakt kann man die Gleichung schreiben als:
\( \Large i \cdot \hbar \cdot \dot{\Psi}(r,t) = \hat{H} \Psi(r,t) \\ \)Mit dem geheimnisvollen Hamilton-Operator:
\(\hat{H} \Psi(t)= i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t) \).
Der nach William Rown Hamilton (1805-1865) benannte Hamilton-Operator.
Hintergrund dieser Schödinger-Gleichung ist der Satz von der Erhaltung der Energie.
Eine Wellenfunktion ist also die Lösung der oben stehenden Schrödinger-Gleichung (mit einer bestimmten Potentialfunktion V). Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, sind auch beliebige Linearkombinationen von Lösungen wiederum Lösungen. So eine Linearkombination würde man Superposition nennen. Wenn beispielsweise die Wellenfunktionen ψ1 und ψ2 Lösungen einer Schrödinger-Gleichung sind, ist auch \( \Psi = a \cdot \Psi_1 + b \cdot \Psi_2 \\\) Lösung dieser Schrödinger-Gleichung.
Das heisst, dass alle Wellenfunktionen \( \Psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C} \), die Lösung einer Schrödinger-Gleichung sind, einen Vektorraum bilden. Wenn wir noch ein Skalarprodukt (inneres Produkt) von zwei Wellenfunktionen definieren, wir dieser Vertorraum zum Prä-Hilbertraum und möglicherweise zu einem echten Hilbertraum:
Quantenphysiker verwenden auch gerne eine Bra-Ket-Notation (s.u. Diriac) und schreiben:
\( |\Psi\rangle = a \cdot |\Psi_1\rangle + b \cdot |\Psi_2\rangle \\ \)Zunächst ist das eine formale mathematische Aussage.
Eine für Physiker interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.
Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion. Die beiden Wellenfunktionen werden addiert, normiert und danach wird das Quadrat des Betrags genommen.
Abbildung 1: Eine schöne Einführung gibt das Youtube-Video von Alexander FufaeV (Youtube: https://youtu.be/SqQbsBOsaA8)
Vereinfachung: Eindimensionale Schrödinger-Gleichung
Wenn wir bestimmte Vereinfachungen vornehmen, wird die Schrödinger-Gleichung auch einfacher:
- Die Wellenfunktion möge in einfachen Fällen nicht von der Zeit, sondern nur vom Ort abhängen ==> zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
- Der Ort wird in einfachen Fällen nicht durch drei Raumkoordinaten (Ortsvektor r), sondern nur durch eine Dimension (x-Achse) beschrieben. ==> Eindimensionale Schrödinger-Gleichung
Als (vereinfachte) eindimensionale, zeitunabhängige Schödinger-Gleichung haben wir:
\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + W_{pot} \Psi\)Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung
Mit dreidimesionalen Ortskoordinaten ergibt sich:
\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} \right) + W_{pot} \Psi\)Zur kompakteren Schreibweise wird der Nabla-Operator (\( \nabla^2 \) wird auch Laplace-Operator genannt) eingeführt:
\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi + W_{pot} \Psi\)Noch kompakter kann man es mit dem sog. Hamilton-Operator schreiben:
\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \nabla^2 + W_{pot} \right) \Psi = \hat{H} \Psi \)mit dem Hamilton-Operator:
\( \hat{H} = \nabla^2 + W_{pot} \)Die Diriac-Notation und Hilbertraum
In der Quantenphysik arbeiten wir mit Vektorräumen V über den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) die unendliche Dimension haben. So einen Vektor
\( \vec{v} \in V \)scheibt man in der Quantenphysik gern als sog. Ket-Vektor:
\( |v\rangle \)Dies ist Betandteil der sog. Bra-Ket-Notation von Jean Paul Diriac (1902-1984), bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.
Um ein Skalarprodukt (inneres Produkt) zu definieren brauchen wir noch zu jedem Ket-Vektor einen sog. Bra-Vektor.
\( \langle v | := \left[ | v \rangle \right]^\dagger = {\left[ | v \rangle \right]^\ast}^T \)Wobei v* der komplex konjugierte und vT der transponierte Vektor ist. Man nennt das Ganze “hermitisch konjugiert” und schreibt das mit dem hochgestellten Dagger-Symbol.
Bei einem reelen Vektorraum wäre der Bra-Vektor einfach nur der Zeilen-Vektor und der Ket-Vektor der normale Spalten-Vektor.
Damit können wir das Skalarprodukt der Vektoren v und w schreiben als
\( \langle v | w \rangle \)
Aber wie wird dieses Skalarprodukt berechnet (definiert)?
Dazu wählen wir eine Basis des Vektorraums: \( \{ |b_1\rangle, |b_2\rangle, |b_3\rangle,…\} \). Das geht immer, da jeder Vektorraum eine Basis hat und definieren das Skalarprodukt zunächt für diese Basisvektoren (damit wir eine orthonormale Basis bekommen):
\( \langle b_i | b_j \rangle := \delta_{ij} \)Mit diesem Skalarprodukt ist die Basis per Konstruktion “orthonormal”.
Wenn wir nun unsere Vektoren v und w als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:
\( | v \rangle = \sum{v_i | b_i \rangle} \)
und
\( | w\rangle = \sum{w_i | b_i \rangle} \)
definieren wir als Skalarprodukt der Vektoren v und w einfach:
\( \langle v | w \rangle := \sum{{v_i}^\ast \cdot w_i} \)
Nun müssen wir der guten Ordnung halber noch zeigen, dass dieses allgemeine Skalarprodukt tatsächlich eine Erweiterung des für unsere Basisvektoren definierten Skalarprodukts ist. Wir bilden nehmen also zwei Basisvektoren |bi> und |bj> und bilden das Skalarprodukt nach der erweiterten Regel:
Die Komponenten von |bi> sind δij und die Komponenten von |bj> sind δji .
Und damit ist das Skalarprodukt nach erweiterter Definition:
Was übereinstimmt mit der ursprünglichen Definition des Skalarprodunkts zweier Basisvektoren.
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Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum von unendlicher Dimension, der ein Skalarprodukt hat (Prä-Hilbertraum) und vollständig ist.
In der Quantenphysik verwendet man ja immer Hilberträume über den komplexen Zahlen. Die Elemente eines solchen Hilbertraums sind also Vektoren, die wir als Zustände des betrachteten quantenphysikalischen System verstehen. Statt der Wellenfunktion, die den Zustand beschreibt haben wir jetzt einfach einen Vektor \(\vec{v}\), der den Zustand beschreibt.
Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen, hat Jean Paul Diriac (1902-1984) die nach ihm benannte Diriac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.
Zunächst schreibt man also ganz normale Vektoren als Ket-Vektoren. Also statt: \( \vec{w} \) schreibt man: \( |w\rangle \). Generell sind Ket-Vektoren “normale” Vektoren aus einem Vektorraum V über \(\mathbb{C}\). Man kann sie sich als “normale” Spaltenvektoren vorstellen.
Ein Bra-Vektor geschrieben \( \langle v|\) ist eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\). Bra-Vektoren kann man sich als Zeilenvektoren vorstellen.
So ein Bra \( \langle v|\) kann dann auf einen Ket \( | w \rangle\) angewendet werden, was man schreibt als: \( \langle v|w \rangle \in \mathbb{C} \).
Wenn man so eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\) als Zeilenvektor auffasst, dann ist <v | w> das Skalarprodukt (innere Produkt) der beiden Vektoren.
In einer Bra-Ket-Notation verwendet man innerhalb der Notation häufig Kurz-Symbole für den Vektor oder die Linearform. Beispielsweise statt:
\( a |\Psi_1\rangle + b |\Psi_2\rangle \\ \)schreibt man einfach:
\( a |1\rangle + b |2\rangle \\ \)Quanten-Verschränkung – Entanglement
Zwei Teilchen (Quanten-Teilchen) können “verschränkt” sein.
Zwei verschränkte Teilchen können entstehen, wenn ein ursprüngliches Teilchen in zwei Teilchen zerfällt. Wenn das ursprüngliche Teilchen eine Erhaltungseigenschaft hatte, muss diese in den entstandenen zwei Teilchen in Summe unverändert auftauchen.
Man sagt auch, dass die zwei Teilchen eine gemeinsame Wellenfunktion haben.
Manchmal hört man auch, dass ein Quanten-System aus zwei Teilchen als Wellenfunktion das Produkt der beiden einzelnen Wellenfunktionen hat.
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