Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber kleinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut. Wenn Podukteigenschaften beschrieben werden, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.
Bei einer punktförmigen Ladung ist alles easy. Spannend wird es, wenn die Ladungen räumlich verteilt sind.
Das Dipolmoment beschreibt die räumliche Trennung von elektrischen Ladungen in einem “System”:
Wenn nun das Dipolmoment eines Systems sich mit der Zeit ändert; z.B.: die Ortsvektoren xi schwingen, so wird eine elektromagnetische Welle abgestrahlt. Für die Energieabstrahlung pro Zeit, also die Strahlungsleistung, gilt die sog. Dipolformel:
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Das Wort “Laser” steht für: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”.
Die Wikipedia schreibt dazu: Stimulierte Emission oder induzierte Emission heißt die Emission eines Photons (durch ein angeregtes Atom), wenn sie nicht spontan erfolgt, sondern durch ein anderes Photon ausgelöst wird.
Theodore H. Maiman baute den ersten funktionsfähigen Laser, einen Rubinlaser, den er am 7. Juli 1960 der Öffentlichkeit vorstellte.
Anregung eines Atoms
Ein Atom nennt man “angeregt”, wenn sich ein oder mehrere Elektronen auf höheren Energie-Niveaus befinden als “normal”.
Um ein Atom so anzuregen, muss von außen Energie zugeführt werden.
Die angeregten Elektronen haben dann die Tendenz, auf das niedrigere Energie-Niveau zurück zu fallen. In so einem Falle, würde die Energie-Differenz als Photon abgestrahlt (=emittiert). So ein “Rücksturz” auf das niedrigere Energie-Niveau kann “spontan” erfolgen, oder durch “Stimulation”.
Wir wollen ein Atom mit Photonen bestrahlen. Was kann dabei passieren?
a) Absoption d.h. Anregung des Atoms mit evtl. späterer Emission (spontan oder stimuliert)
b) Stimulierte Emission, wenn angeregte Energie-Niveaus bereits mit Elektronen besetzt sind.
Spontane Emission
Wenn Elektronen von einem Zustand höherer Energie spontan (also ohne äußeres Zutun) zurückfallen auf ein niedrigeres Energie-Niveau wird eine Strahlung emittiert, die genau der Energiedifferenz der beiden Energie-Niveaus entspricht. Die Frequenz der elektromagnetischen Strahlung ergibt sich aus der bekannten Formel:
\( \Delta E = h \nu \)
Auf diesem Wege entsteht eine Serie von Spektrallinien z.B. die Balmer-Serie etc.
Es werden so viele Photonen emittiert, wie Elektronen diesen Engergie-Rücksprung machen.
Einstrahlende Photonen
Wenn Elektronen auf ein Atom geschossen werden, können unterschiedliche Dinge passieren. Zur Vereinfachung betrachten wir zunächsteinmal zwei Energie-Niveaus für die Elektronen des Atoms: E1 und E2 und wir beschießen das Atom mit Photonen, die genau dieDifferenz- Energie E2 – E1 haben. Da gibt es zwei Fälle:
1) Wenn auf dem höheren Enegie-Niveau (E2) keine Elektronen sind und auf dem niederigerem (E1) befinden sich ein oder mehrere Elektronen, dann wird das Atom angeregt, soll heissen ein Elektron springt vom niedrigeren Energie-Niveau auf das höhere. Die Energie des Phontons wird dabei verbraucht. Wir sagen das Photon wird absobiert.
2) Wenn sich auf dem höheren Engergie-Niveau (E2) ein oder mehrere Elektronen befinden und auf dem niedrigeren (E1) befinden sich keine Elektronen, dann fällt ein Elektron vom höheren Niveau (E2) herunter auf das niedrigere Niveau (E1) und ein entsprechendes Photon wird emittiert. Da diese Emission nicht spontan erfolgte, sondern durch das einfallende Photon ausgelöst (“induziert” oder “stimuliert”) wird, spricht man von Stimulierter Emission. Das einfallende Photon wird dabei nicht “verbraucht”, sondern bleibt erhalten.
In der Bilanz machen wir so aus einem einfallend Photon zwei ausfallende (emittierte) Photonen; d.h. wir haben eine Verstärkung der Lichtintensität. Ausserdem hat was “neue” Photon die identischen Eigenschaften wie das einfallende Photon – das sagen die Gesetze der Quantenphysik; d.h. gleich sind: Frequenz, Richtung, Phase, Polarisation etc. – wir bekommen also kohärentes, monochromatisches Licht.
Leider ist “normalerweise” die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für Elektronen auf dem unteren Niveau (E1) viel größer als die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf dem höheren Niveau (E2) – so sagt es die Boltzmann-Verteilung. Für die Stimulierte Emission benötigen wir eine Umkehr (“Inversion”) dieser Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Um einen funktionierenden Laser zu erzielen, brauchen wir also eine “invertierte Besetzung” der Energie-Niveaus in den angeregten Atomen. Dies wird durch das sog. Pumpen erreicht.
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Ein Phasenübergang findet statt, wenn Eigenschaften einer Materie sich plötzlich an einem kritischen Punkt (z.B. einer kritischen Temperatur) qualitativ ändern.
Das bedeutet normalerweiser ein Wechsel in Ordnung und Symmetrie.
Die bekannteste Beispiele dafür sind der Übergang von Eis (Aggrgatzustand fest) zu Wasser (Aggregatzustand flüssig) bei 0∘C und der Übergang von Wasser zu Dampf (Aggregatzustand Gas) bei 100∘C.
Bei einem Phasenübergang ändert sich die Energie (wird frei bzw. wird investiert); z.B. Verdampfungswärme, …
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Wenn ein Potiential in einem Feld die Form einer Parabel z = a x2 + b hat, so haben wir eine klassische Bewegungsgleichung und die Lösung ist ein harmonischer Oszillator. Dieser Zustand ist rotationssymmetrisch um die z-Achse (was man U(1) nennt) und hat seine niedrigste Enegie bei x=0.
Wenn sich das Potentialgebirge dann verändert in Richtung eines sog. “Mexican Hat” (die Amerikaner kennen keinen Sombrero), dann sieht man zwei Gleichgewichtszustände wo sich ein Teilchen aufhalten könnte: Einmal der ursprüngliche Ort bei x=0, der aber nun nicht mehr der niedrigste ist, sondern die tiefer liegende Rinne in der Krempe des “Mexican Hat”. Das Teilchen wird also auf das niedrigere Niveau streben, aber der Zustand wäre dann nicht mehr rotationssymmetrisch (nicht mehr U(1)). Deshalb spricht man von einem Symmetriebruch.
Eine Umfrage zum persönlichen astronomischen Hintergrund: Umfrage.
Was ist ein Quantencomputer?
Warnung / Disclaimer
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Ein Quantencomputer hat als Speicher keine “normalen” Bits, die also genau zwei Zustände (Null oder Eins) annehmen können, sondern sog. “Qubits”.
So ein Qubit ist ein quantenmechanisches Element, das durch eine Wellenfunktion Ψ beschrieben wird; wobei ein Qubit eine Superposition zweier Zustände |0> und |1> ist und alle Überlagerungen vorkommen können:
Das Qubit ist ein quantenmechanisches Element, wobei eine Observable ausgelesen werden kann, die genau zwei unterschiedliche Werte anzeigen wird.
Superposition und Verschränkung sind erforderliche Mechanismen; d.h. die Wellenfunktion darf nicht kollabieren.
Der Quantencomputer muss dann Operationen haben, die das Schreiben und Lesen von Qubits erlauben sowie eine Art “Berechnung”, die aus zwei Eingangs-Qubits ein oder mehrere Ergebnis-Qubits erzeugt (Rechenwerk). Dies macht man mit sog. Gattern.
Für das Funktionieren eines Quantencomputers ist wichtig, wie lange der Zustand der Qubits “kohärrent” bleibt. Durch jede Wechselwirkung mit anderen Teilchen kollabieren die Wellenfunktionen; d.h. der Zustand wird “inkohärent”. Diese sog. Kohärenzzeit muss lange genug dauern, um die erwünschte Rechenoperation und das Auslesen der Ergebnisse zu ermöglichen.
Technische Realisierung von Qubits
Ursprünglich hat man solche Qubits realisiert durch supraleitende Schaltkreise. Heutzutage spricht man über folgende prinzipielle Realisierungsmöglichkeiten:
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Die Quantenelektrodynamik ist eine Quantenfeldtheorie und soll die Grundkraft “Elektromagnetismus” erklären.
Betroffene Teilchen sind: Proton, Neutron und Elektron
Austauschteilchen: Photon
Gruppentheorie: U(1)
Begonnen hat die Entwicklung der QED mit Paul Dirac. Später brachten Richard Feynman u.a. sie zur Vollendung. Nobelpreis 1965.
Gehört zu: Quantenmechanik
Siehe auch: Wellenfunktion
Stand: 25.9.2024
Quanten-Verschränkung – Entanglement
Warnung / Disclaimer
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Zwei Teilchen (Quanten-Teilchen) können “verschränkt” sein – engl. “entangled”.
Zwei verschränkte Teilchen können entstehen, wenn ein ursprüngliches Teilchen in zwei Teilchen zerfällt. Wenn das ursprüngliche Teilchen eine Erhaltungseigenschaft hatte, muss diese in den entstandenen zwei Teilchen in Summe unverändert auftauchen.
Man sagt auch, dass die zwei Teilchen eine gemeinsame Wellenfunktion haben.
Manchmal hört man auch, dass ein Quanten-System aus zwei Teilchen als Wellenfunktion das Produkt der beiden einzelnen Wellenfunktionen hat.
Wie enstehen verschränkte Teilchen?
Die Standard-Methode verschränkte Teilchen zu erzeugen ist die sog. “Paarerzeugung”; d.h. ein energiereiches einzelnen Teilchen zerfällt in ein Paar von Teilchen. Typischer Weise ein Teilchen und sein Antiteilchen; beispielsweise:
Elektron und Positron
Ein hochenegetisches Photon zerfällt in zwei Photonen mit halber Energie (halber Frequenz) z.B. beim Durchgang durch einen nichtlinearen Kristall
Die beiden so entstandenen Teilchen haben dann in der Summe die Eigenschaften des ursprünglichen Teilchens. soweit es sich um Erhaltungsgrößen handelt. Z.B. Ladung, Spin, Energie, Impuls etc. In diesem Sinne sind die beiden Teilchen also über diese Erhaltungsgrößen mit einander verbunden.
Die beiden verschränkten Teilchen haben dann eine gemeinsame Wellenfunktion. Wenn man an einem der beiden Teilchen eine Messung einer Observablen vornimmt, kollabiert die ganze Wellenfunktion instantan (s. Kopenhagener Deutung) und der Wert der Observablen für beide Teilchen (auch wenn sie weiter von einander entfernt sind) wird gleichzeitig “scharf”.
Gehört zu: Quantenpysik
Siehe auch: Wellenfunktion, Materiewellen
Stand: 25.9.2024
Kopenhagener Deutung
Warnung / Disclaimer
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Nach der sog. Kopenhagener Deutung (1927 Niels Bohr und Werner Heisenberg) ergibt sich aus der Wellenfunktion eines Teilchens eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x,t) für den Aufenthaltsort und zwar wird dabei der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat genommen:.
\( \Large \rho(x,t) = | \Psi(x,t) |^2 \\\)
Aus dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ergibt sich der Erwartungswert für den Ort des Teilchens zum Zeitpunkt t:
\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, \rho(x,t) \, dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, | \Psi(x,t) |^2 \, dx \\\)
Da der Betrag einer komplexen Zahl z definiert ist über: \( | z |^2 = z \cdot z^* \) folgt daraus…
\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^*(x,t) \, x \, \Psi(x,t) \, dx \\\)
In dieser Form sehen wir schon einen ersten Operator (s.u.), der auf die Wellenfunktion wirkt und uns ein Observable (den Ort) als Erwartungswert bringt. Zum Erwartungswert siehe auch: Susskind.
Im Falle einer Wellenfunktion mit einer ganz dünnen und hohen Spitze und ansonsten Null können wir den Erwartungswert des Ortes <x> gleichsetzen mit dem definitiven Ort des Teilchens und bekommen- nach einigem Rechnen – die Newtonsche Mechanik. So zeigt es im Prinzip Paul Ehrenfest.
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Niels Bohr (1885-1962) stellte 1913 das berühmte Bohrsche Atommodell auf. 1922 erhielt er den Nobelpreis für Physik.
Das Atommodell von Niels Bohr stellt eine Verfeinerung des Atommodells von Ernest Rutherford dar.
Rutherford konnte schon zeigen, dass das Atom einen sehr kleinen Kern besitzt in dem praktisch die gesammte Masse des Atoms vereinigt ist und der positiv geladen ist. Um den Kern herum gibt es die praktisch leere Atomhülle in der die negativ geladenen Elektronen herum schwirren.
Das Atommodell von Niels Bohr besagt, dass die Elektronen den Atomkern auf Kreisbahnen bestimmter Energie umrunden. Da man wusste, dass beschleunigte Elektronen (Kreisbahn = Beschleunigung) Energie in Form elektromanetischer Strahlung abstrahlen müssen, stellte Bohr zusäzliche Postulate auf, die zunächst ohne physikalische Begründung blieben:
1. Dem Elektron stehen nicht alle klassisch möglichen Bahnen zur Verfügung, sondern nur bestimmte ausgewählte von ihnen. Auf diesen Bahnen erzeugt es keine elektromagnetische Strahlung, sondern behält seine Energie. Dies sind die stationären Zustände des Atoms.
2. Ein Elektron kann von einem stationären Zustand in einen anderen springen. Bei diesem als Quantensprung bezeichnete Vorgang, wird elektromagnetische Strahlung emittiert oder absorbiert. Dabei ergibt sich die Frequenz ν der Strahlung durch die Energiedifferenz der beiden Zustände zu \(\nu = \Delta E \cdot h \)
3. Die stabilen Elektronenbahnen zeichnen sich dadurch aus, dass der Bahndrehimpuls des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums ist:
\( L = n \cdot \hbar \, \, (n=1,2,3,\ldots) \)
Dies bezeichnet man auch als die Quantenbedingungen und n als sog. Hauptquantenzahl.
Diese nicht-klassischen Postulate sollen sich im Grenzfall klassischen Gesetzen anhähern (Korrespondenzprinzip).
Maßeinheiten
Das Wirkungsquantum können wir messen in den SI-Einheiten: \( J\,s = \frac{kg \, m^2}{s^2} s = \frac{kg \, m^2}{s} \)
Einen Drehimpuls (s.u.) messen wir in den SI-Einheiten: \( N \, m\, s = \frac{kg \, m^2}{s} \)
Drehimpuls
Klassischerweise ergibt sich der Drehimpuls L als Trägheitsmoment J mal Winkelgeschwindigkeit ω, also:
\( L = J \cdot \omega \)
Und das Tägheitsmoment einer Kreisbewegung eines Teilchens der Masse m auf einer Bahn mit dem Radius r wäre:
\( J = m \cdot r^2 \)
Die Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn ergibt sich aus Radius r und Bahngeschwindigkeit v wie folgt:
\( \omega = \frac{v}{r} \)
und bekommen als Bahndrehimpuls:
\( L = r \cdot m \cdot v \)
Nun können wir v ermitteln, denn Anziehungskraft und Zentripedalkraft müssen sich auf einer Kreisbahn die Waage halten:
\( \Large F = \frac{1}{111.2639 \cdot 10^{-12}} \cdot 0.0914805 \cdot 10^{-16} N \)
Weiter gerechnet:
\( \Large F = \frac{ 0.0914805}{111.2639} \cdot 10^{-4} N = 0.0008221939 \cdot 10^{-4} N = 8.221939 \cdot 10^{-8} N \)
Kreisbahn im Wasserstoffatom
Für eine Kreisbahn ist eine Zentripedalkraft in gleicher Höhe wie die zentrale Anziehungskraft erforderlich. Bei einer Bahngeschwindigkeit von v und einem Bahnradius von r ist die Zentripedalkraft:
\( \Large v =\sqrt{\frac{8.221939 \cdot 5.29 \cdot 10^{-19}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} m/s = \sqrt{4.779568 \cdot 10^{12}} m/s = 2.186222 \cdot 10^6 m/s \)
Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit
Im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit von 299792 km/s = 2.99792 · 108 m/s sind das ca. 0,73% also noch nicht “relativistisch”.
Das Problem dieses “simplen” Atommodells ist also nicht, dass die (theoretische) Bahngeschwindigkeit des Elektrons zu schnell sein müssste; verglichen zur Lichtgeschwindigkeit, sondern das Problem liegt darin, dass ein bewegtes (und beschleunigtes) Elektron eine elektromagnetische Welle abstrahlen müsste (siehe Dipolformel) und damit laufend Energie verlieren würde und dadurch nach kurzer Zeit in den Atomkern stürzen müsste.
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Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger(1887-1961) für die Ausbreitung von Materiewellen (Wellenmechanik) aufgestellt und bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung des Spektrums des Wasserstoffatoms genutzt.
Der Zustand eines Quantensystemens soll durch eine Wellenfunktion beschrieben werden (also Aufenthaltswahrscheinlichkeiten etc.). Die Wellenfunktion erhält man als Lösung der Schrödinger-Gleichung (nicht-relativistisch oder auch relativistisch).
Analog zur Newtonschen Mechanik suchte man nun nach einer Diffentialgleichung, deren Lösungen dann Wellenfunktionen sind.
Generell sind Differentialgleichungen, das was der Physiker braucht: Beschreibung von Veränderung bei gegebenen Anfangsbedingungen.
Da man wusste, das Wellenfuktionen überlagert werden sollen; d.h. eine Linearkombination von Wellenfunktionen sollte wieder eine Wellenfunktion sein (also eine Lösung der Differentialgleichung), sollte diese Differentialgleichung linear sein.
Man spricht von “freien” Teilchen, wenn kein Kraftfeld einwirkt. Wenn ein Kraftfeld einwirkt, will man dieses durch ein Potential (Potenzial) beschreiben, was bei sog. konservativen Kraftfeldern immer geht.
Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung mit einer gewissen Potentialfunktion (aka Kraftfeld) sind die gesuchten Wellenfunktionen.
Abbildung 1: Youtube-Video von Josef Gassner (https://www.youtube.com/watch?v=hY2AdjYcTro&t=905s)
Von Erwin Schroedinger stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche und räumliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems unter Einfluss eines Potentials. Wobei man sich so ein Potential als Einfluss eines Kraftfeldes vorstellen kann: \( F(r,t) = \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t}\).
Die Lösungen dieser Wellengleichung heissen Wellenfunktionen.
Gegeben ist dabei eine Potentialfunktion V(r,t) und gesucht wird als Lösung die dazu passende Wellenfunktionen \(\Psi(r,t)\):
Mit dem Laplace-Operator: \( \Delta f = div(grad f)) \) der so etwas wie die “zweite Ableitung” darstellt.
Benannt nach Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
Gegeben ist dabei ein Potential V(r,t) und eine Masse m, gesucht wird eine Wellenfunktion \(\Psi(r,t) \).
Wenn es sich um ein “freies” Teilchen handelt, ist das Potential Null, d.h. es fällt in der Gleichung weg.
Wenn die Wellenfunktion nicht von der Zeit abhängt, sprechen wir von einer “stationären” Lösung. Die Wellenfunktion ist dann nicht mehr komplexwertig, sondern nimmt nur noch Werte aus den reelen Zahlen an.
Kompakt kann man die allgemeine Schrödiner-Gleichung schreiben als:
\(\hat{H} \Psi(t)= i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t) \).
Der nach William Rown Hamilton (1805-1865) benannte Hamilton-Operator.
Hintergrund dieser Schödinger-Gleichung ist der Satz von der Erhaltung der Energie.
Superposition
Eine Wellenfunktion ist also die Lösung der oben stehenden Schrödinger-Gleichung (mit einer bestimmten Potentialfunktion V). Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, sind auch beliebige Linearkombinationen von Lösungen wiederum Lösungen. So eine Linearkombination würde man Superposition nennen. Wenn beispielsweise die Wellenfunktionen ψ1 und ψ2 Lösungen einer Schrödinger-Gleichung sind, ist auch \( \Psi = a \cdot \Psi_1 + b \cdot \Psi_2 \\\) Lösung dieser Schrödinger-Gleichung.
Das heisst, dass alle Wellenfunktionen \( \Psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C} \), die Lösung einer Schrödinger-Gleichung sind, einen Vektorraum bilden. Wenn wir noch ein Skalarprodukt (inneres Produkt) von zwei Wellenfunktionen definieren, wir dieser Vertorraum zum Prä-Hilbertraum und möglicherweise zu einem echten Hilbertraum:
Quantenphysiker verwenden auch gerne eine Bra-Ket-Notation (s.u. Diriac) und schreiben:
\( |\Psi\rangle = a \cdot |\Psi_1\rangle + b \cdot |\Psi_2\rangle \\ \)
Zunächst ist das eine formale mathematische Notation.
Eine für Physiker interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.
Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion. Die beiden Wellenfunktionen werden addiert, normiert und danach wird das Quadrat des Betrags genommen.
Abbildung 2: Eine schöne Einführung gibt das Youtube-Video von Alexander FufaeV (Youtube: https://youtu.be/SqQbsBOsaA8)
Wenn wir bestimmte Vereinfachungen vornehmen, wird die Schrödinger-Gleichung auch einfacher:
Die Wellenfunktionen möge in einfachen Fällen nicht von der Zeit, sondern nur vom Ort abhängen ==> zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Der Ort wird in einfachen Fällen nicht durch drei Raumkoordinaten (Ortsvektor r), sondern nur durch eine Dimension (x-Achse) beschrieben. ==> Eindimensionale Schrödinger-Gleichung
Als (vereinfachte) eindimensionale, zeitunabhängige Schödinger-Gleichung haben wir:
Hierzu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben: Verschränkung.
Die Dirac-Notation und Hilbertraum
In der Quantenphysik arbeiten wir mit Vektorräumen V über den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) die unendliche Dimension haben. So einen Vektor
\( \vec{v} \in V \)
scheibt man in der Quantenphysik gern als sog. Ket-Vektor:
\( |v\rangle \)
Dies ist Betandteil der sog. Bra-Ket-Notation von Jean Paul Dirac (1902-1984), bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.
Um ein Skalarprodukt (inneres Produkt) zu definieren brauchen wir noch zu jedem Ket-Vektor einen sog. Bra-Vektor.
\( \langle v | := \left[ | v \rangle \right]^\dagger = {\left[ | v \rangle \right]^\ast}^T \)
Wobei v* der komplex konjugierte und vT der transponierte Vektor ist. Man nennt das Ganze “hermitisch konjugiert” und schreibt das mit dem hochgestellten Dagger-Symbol.
Bei einem reelen Vektorraum wäre der Bra-Vektor einfach nur der Zeilen-Vektor und der Ket-Vektor der normale Spalten-Vektor.
Damit können wir das Skalarprodukt der Vektoren v und w schreiben als
\( \langle v | w \rangle \)
Aber wie wird dieses Skalarprodukt berechnet (definiert)?
Dazu wählen wir eine Basis des Vektorraums: \( \{ |b_1\rangle, |b_2\rangle, |b_3\rangle,…\} \). Das geht immer, da jeder Vektorraum eine Basis hat und definieren das Skalarprodukt zunächt für diese Basisvektoren (damit wir eine orthonormale Basis bekommen):
\( \langle b_i | b_j \rangle := \delta_{ij} \)
Mit diesem Skalarprodukt ist die Basis per Konstruktion “orthonormal”.
Wenn wir nun unsere Vektoren v und w als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:
\( | v \rangle = \sum{v_i | b_i \rangle} \)
und
\( | w\rangle = \sum{w_i | b_i \rangle} \)
definieren wir als Skalarprodukt der Vektoren v und w einfach:
\( \langle v | w \rangle := \sum{{v_i}^\ast \cdot w_i} \)
Nun müssen wir der guten Ordnung halber noch zeigen, dass dieses allgemeine Skalarprodukt tatsächlich eine Erweiterung des für unsere Basisvektoren definierten Skalarprodukts ist. Wir bilden nehmen also zwei Basisvektoren |bi> und |bj> und bilden das Skalarprodukt nach der erweiterten Regel:
Die Komponenten von |bi> sind δij und die Komponenten von |bj> sind δji .
Und damit ist das Skalarprodukt nach erweiterter Definition:
Was übereinstimmt mit der ursprünglichen Definition des Skalarprodunkts zweier Basisvektoren.
Hilbertraum
Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum von unendlicher Dimension, der ein Skalarprodukt hat (Prä-Hilbertraum) und vollständig ist.
In der Quantenphysik verwendet man ja immer Hilberträume über den komplexen Zahlen. Die Elemente eines solchen Hilbertraums sind also Vektoren, die wir als Zustände des betrachteten quantenphysikalischen System verstehen. Statt der Wellenfunktion, die den Zustand beschreibt haben wir jetzt einfach einen Vektor \(\vec{v}\), der den Zustand beschreibt.
Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen, hat Jean Paul Dirac (1902-1984) die nach ihm benannte Dirac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.
Zunächst schreibt man also ganz normale Vektoren als Ket-Vektoren. Also statt: \( \vec{w} \) schreibt man: \( |w\rangle \). Generell sind Ket-Vektoren “normale” Vektoren aus einem Vektorraum V über \(\mathbb{C}\). Man kann sie sich als “normale” Spaltenvektoren vorstellen.
Ein Bra-Vektor geschrieben \( \langle v|\) ist eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\). Bra-Vektoren kann man sich als Zeilenvektoren vorstellen.
So ein Bra \( \langle v|\) kann dann auf einen Ket \( | w \rangle\) angewendet werden, was man schreibt als: \( \langle v|w \rangle \in \mathbb{C} \).
Wenn man so eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\) als Zeilenvektor auffasst, dann ist <v | w> das Skalarprodukt (innere Produkt) der beiden Vektoren.
In einer Bra-Ket-Notation verwendet man innerhalb der Notation häufig Kurz-Symbole für den Vektor oder die Linearform. Beispielsweise statt:
