Gehört zu: Thermodynamik
Siehe auch: GeoGebra
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Ideales Gas
ist ein hinreichend verdünntes Gas, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen (als elasischer Stoß) keinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.
Zur Idealisierung gehört auch, dass die Gasmoleküle als Punktmassen verstanden werden können. D.h. für die Bewegung hat man nur die drei Freiheitsgrade der Translation, keine Rotation und keine Oszillation.
Links:
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/ImoG19t2YAA PH I-32 Grundlagen, Temperatur
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/U0Itq_SxQKU PH I-33 Ideale Gase, absolute Temperatur
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/-UIJIFZvrcw PH I-34 Kinetik idealer Gase
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/z7Bfs5QVx28 PH I-35 Kinetische Definition der Temperatur
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/bOxhLZ5cNfk PH I-36 Maxwell Bolzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/oR3HvhNrW1Y PH I-37 Wärmekapazität, Transportvorgänge
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/laMQaf0Ax3U PH I-38 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/6PSoBfWnp90 PH I-39 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, Kreisprozesse
- Prof. Paul Wagner: https://youtu.be/0hSyDJl45zo PH I-40 Carnot-Prozess, Entropie
Boyle-Mariotte
Robert Boyle und Edme Mariotte fanden unabhängig von einander 1662 bzw. 1676 das nach ihnen benannte Boyle-Mariotte’sche Gesetz:
\( p \cdot V = const. \\\ \)Wobei die Temperatur konstant gehalten wird und zwar dadurch dass man die Veränderungen im Volumen ganz langsam durchführt, sodass immer wieder das thermodynamisches Gleichgewicht mit der Umgebung erhalten bleibt.
Boyle-Marriot-Gesetz (GeoGebra Classic)
Gay-Lussac
Wenn man nun den Druck konstant hält und die Temperatur variiert, bekommt man das Gay-Lussac (1787-1850) Gesetz.
Lord Kelvin (1824-1907) hatte 1848 die absolute Temperaturskala vorgeschlagen, wodurch sich das Gay-Lussac’sche Gesetz sehr einfach in seiner heutigen Form schreiben lässt:
Wobei hier T die absolute Temperatur ist …
Gay-Lussac-Gesetz – Dietrich Kracht 21.3.2021 GeoGebra Classic
Ideale Gasgleichung
Zusammengefasst ergibt sich die Zustandsgleichung für ideale Gase:
\( \frac{p \cdot V}{T} = const. \\\ \)Und mit der Konstanten \(n \cdot R\) schließlich:
\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T \\\ \)Dabei ist p der Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge (messen wir in mol), R die allgemeine Gaskonstante (8,3145 Joule/(mol*Kelvin)) ist und T die absolute Temperatur ist.
Interessant dabei ist, das dies unabhängig von der Art des Gases ist – also Helium, Stickstoff etc. Es muss einfach nur ein “ideales Gas” sein. Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.
Wenn wir statt der Stoffmenge n die Teilchenzahl N benutzen, also:
\( N = N_A \cdot n \)bekommen wir als Gasgleichung (mit der Avogadroschen Zahl):
\( p \cdot V = N \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T \\\ \)Später werden wir sehen, dass \( \frac{R}{N_A} = k_B \) die sagenhafte Boltzmann-Konstante ist.
Kinetische Energie
Wenn wir die Kinetik der Moleküle betrachten, also die Bewegungen, entsteht der Druck durch Impulsübertrag auf die Aussenwand des Gefäßes.
Das Gesetz von Bernoulli sagt dafür:
\( p = \frac{1}{3} \cdot n \cdot \mu \cdot <v^2> \\\ \)wobei n hier die Teilchendichte, also Anzahl Teilchen pro Volumen, ist und die spitzen Klammern für den Mittelwert stehen..
Wenn wir diese Gleichung mit V multiplizieren, erhält man:
\( p \cdot V = \frac{1}{3} \cdot N \cdot \mu \cdot <v^2> = \frac{2}{3} \cdot N \cdot <E_{kin}> \\\ \)wobei N die Anzahl der Teilchen ist.
Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls eines Idealen Gases (also nur translatorische Bewegung in drei Freiheitsgraden) ist:
\( <E_{kin}> = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \\\ \)Ausblick:
- Auf dieser Basis wird die physikalische Größe “Temperatur” dann als “thermodynamische Temperatur” beliebiger Substanzen wirklich definiert.
- Zusätzlich zum Mittelwert von Geschwindigkeiten bzw quadrierten Geschwindigkeiten wird auch noch die Breite der Verteilung von Interesse sein, was uns zur Maxwell-Verteilung führen wird…
Flüssigkeiten
Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von einer Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.
Das Jeans-Kriterium
Das Jeans-Kriterium, benannt nach James Jeans (1877-1946), soll ja angeben, unter welchen Bedingungen eine Gaswolke im Universum unter dem Einfluss ihrer Gravitation kontrahiert, dabei wärmer wird und ggf. eine Kernfusion “zündet”.
Zur Abschätzung der kritischen Jeans-Masse bieten sich zwei Wege an:
- Druck: Gasdruck = Gravitationsdruck
- Energie: Potentielle Energie = KInetische Energie
Gasdruck
Wir betrachten eine kugelförmige (Radius r) homogene Gaswolke der Masse M.
Der Gasdruck ist nach der idealen Gasgleichung (s.o.):
\( p = \frac{N}{V} \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T \\\ \)Ein Teilchen (Gasmolekül) habe nun die Masse μ. Dann gilt für die Masse:
\( M = N_A \cdot n \cdot \mu = N \cdot \mu \\\ \)Die Dichte der Gaswolke ist demnach:
\( \rho = \frac{M}{V} = \frac{N \cdot \mu}{V} = \frac{N}{V} \mu \\\ \)Also ist
\( \frac{N}{V} = \frac{\rho}{\mu} \)Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:
\(\Large p_{Gas} = \frac{\rho}{\mu} \cdot k_B \cdot T \\\ \)Gravitationsdruck
Der Gravitationsdruck ist (will ich noch ichtig ausrechnen, mit Integral und so):
\( \Large p_{grav} = \frac{3 G M^2}{8 \pi r^4} \\\ \)Jeans-Masse
Wann ist der Gravitationsdruck mindestens genauso groß wie der Gasdruck?
\( M_{Jeans} = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \sqrt{\frac{1}{\rho} (\frac{k_B T}{G \mu})^3}\\\ \)Für eine Gaswolke aus atomaren Wasserstoff ergibt sich mit doppelt logarithmischen Skalen folgendes Bild:
Jeans-Masse Dietrich Kracht 24.3.2021
Beispielsweise können wir ablesen: Eine Gaswolke (atomarer Wasserstoff) von 10 Sonnenmassen würde bei einer Dichte von 10-16 kg/m³ und einer Temperatur von 10 K anfangen sich unter ihrer eigenen Gravitation zusammen zu ziehen…