Physik: Zeitmessung

Zeitmessung und Navigation

Kopie aus: web.kr8.de/zeitmessung.htm

Stand: 11.12.2004

Stichworte

Harrison Chronometer H.4, Zeitmessung, Uhr, Navigation, Räderuhr, Pendeluhr, Huygens, Cook, Eisenbahn, Zeitzone, GMT, Zeitzeichen, Sommerzeit, Quarzuhr, Atomuhr, Schaltsekunde, UTC, PTB, GPS, Venusdurchgang, Astrolabe, Oktant, Sextant, Meridian, …

Überblick

  • 750 In der Literatur werden erstmals Sanduhren erwähnt.
  • 1284 Die erste mechanische Turmuhr wird an der Kathedrale von Exeter (England) in Betrieb genommen.
  • 1288 Die Westminster Hall zu London erhält eine mechanische Türmeruhr. Die Tageseinteilung in zweimal zwölf gleich lange Stunden beginnt.
  • 1300 In Florenz wird die erste öffentliche mechanische Stadtuhr aufgestellt,
  • 1336 In Florenz wird eine Turmuhr mit Schlagwerk bekannt
  • 1344 In Padua vollendet Jacopo de Dondi eine öffentliche Schlagwerkuhr.
  • 1345 (spätestens) Die Stunde wird in 60 Minuten zu 60 Sekunden eingeteilt
  • 1348 London erhält seine erste öffentliche Schlagwerkuhr, Big Tom genannt.
  • 1511 Der Nürnberger Schlosser Peter Henlein baut tragbare Uhren – vermutlich gab es tragbare Uhren aber auch schon früher…
  • 1655 Christiaan Huygens (1629-1695) entdeckt in Den Haag mit seinem Fernrohr den ersten Saturnmond (Titan).
  • 1656 Christiaan Huygens entdeckt die Saturnringe und den Orionnebel…
  • 1656 Christiaan Huygens erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?).
  • 1665 oder 1674 Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz).
  • 1761 Das von John Harrison gebaute Chronometer H.4 wird auf einer Reise nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden.
  • 1768-1771 Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise den H.4 noch nicht mitnehmen.
  • 1772-1775 Zweite Reise von James Cook (HMS Resolution) mit Harrisons H.4 Chronometer…
  • 1776-1779 Dritte Reise von James Cook. Tod auf Hawaii.
  • 1825 Eröffnung der ersten Eisenbahnstrecke in England zwischen Stockton und Darlington am 17.09.1827. George Stephenson (1781-1848), der Erbauer der Lokomotive, steuert sie selbst.
  • 1835 Eisenbahn Nürnberg-Fürth
  • 1840-47 Einführung der Railway Time in England.
  • 1880 In Großbritannien wird die Greenwich Mean Time GMT eingeführt
  • 1893 Im Deutschen Reich wird die Mitteleuropäische Zeit MEZ eingeführt
  • 1926 Die GMT wird durch die Universal Time UT abgelöst
  • 1929 wurde die erste Quarzuhr von dem amerikanischen Uhrmacher Warren A. Marrison gebaut.
  • 1946 Am 6. Dezember stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby (1949 Radiocarbon-Methode) seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die Atomuhr, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.
  • 1967 Definition der SI-Sekunde anhand der Cäsium-Atomuhr (9 192 631 770 Schwingungen sind eine Sekunde)
  • 1972 Einführung der Universal Time Controlled UTC anstelle der UT von 1926
  • 1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS Global Positioning System. 24 Satelliten mit Atomuhren an Bord…

Uhren

Die ersten Methoden zur Zeitmessung: Sonnenuhr, Wasseruhr, Sanduhr. Wichtiger Meilenstein: Die Erfindung der Mechanischen Räderuhr. Diese Art von Uhren gab es am Anfang vor allem in Klöstern. Die schweren Gewichte trieben auch die Mechanik des Stundenschlag an…

Wann, wo und von wem die ersten Räderuhren mit mechanischem Hemmwerk gebaut wurden, ist nicht bekannt. Jedenfalls geschah dies im ausgehenden 13. Jahrhundert, möglicherweise in Spanien, aber auch Frankreich kommt als Heimat der Räderuhr in Frage.

Um 1300 werden Räderuhren mit Gewichtantrieb, Spindelhemmung und Waag werden zunehmend hergestellt. Daraufhin beginnt etwa ab 1310 die Ausstattung von Kirchen, Rathäusern, Klöstern und Türmen mit großen Räderuhren und Schlagwerken. Doch man musste immer wieder mit der Sonnenuhr die Zeit überprüfen und die Uhren neu stellen, denn die Ganggenauigkeit betrug so 1 Stunde pro Tag.

Christiaan Huygens erforscht die Pendelbewegungen (unabhängig von Galilei zum zweiten Mal) und erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?) . Solche Uhren waren, bzw. sind so genau, dass sie nur wenige Minuten pro Tag abweichen! Aber nur unter der Voraussetzung, dass die Uhr an einem Ort stehenblieb.

Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz). Die neuen Uhren mit Spiralfeder und Unruh haben eine deutlich bessere Ganggenauigkeit, als die bisher üblichen Taschenuhren. Deshalb wird jetzt der Minutenzeiger eine ständige Einrichtung bei den moderen Uhren (früher liess man ihn oft weg, u.a. wegen der Ungenauigkeit).

Gegen 1680 Die erreichte Präzision und die Genauigkeit der Pendeluhren führen zum allgemeinen Einsatz des Minutenzeigers im Zentrum des Zifferblattes (“koaxial”). Minutenzeiger waren bis dato eher ein optionales Beiwerk.

Das von John Harrison (1693-1776) gebaute Chronometer H.4 wird 1761 auf einer Reise der HMS Deptfort nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden. Das entspricht einer Abweichung von 1,25′ in der Bestimmung der geographischen Länge; d.h. 2,2 km. Harrison erfüllte damit die Bedingungen des Board of Longitude Acts von 1714, mit dem ein Preisgeld von 20000 Pfund ausgesetzt wurde für eine Abweichung kleiner 30 Meilen.

Navigation

Der Navigator auf See konnte seine geografische Breite sehr gut mit dem Sextanten bestimmen (z.B. Höhe der Mittagssonne). Zur Ermittlung der geografischen Länge muss man z.B. die Zeit des Meridiandurchgangs (etwa der Sonne) bestimmen, wozu man aber die Zeit ersteinmal genau genug kennen musste. Eine Zeitungenauigkeit von 4 Sekunden bedeut eine um 1,8 km (eine Seemeile) verfälschte Positionsbestimmung (am Äquator).

1598 König Philipp II. von Spanien setzte einen Preis für eine Methode zur Bestimmung der geografischen Länge aus (Williams, 1992:78).

1674 Setzte König Charles II von England eine Kommission ein, die das Problem der Längenbestimmung lösen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde dann das 1675 gegründete Royal Greenwich Observatory beauftragt.

22.10.1707 Die halbe englische Flotte geht bei den Scilly Inseln (westlich von Cornwall) verloren. Admiral Sir Clowdisley Shovel und seine Navigatoren hatten auf dem Rückweg von siegreichen Schlachten die Position der Flotte (wegen ungenauer Schiffsuhren???) so falsch ermittelt, dass es zur Katastrophe kam, bei der 2000 Seeleute ums Leben kamen. Geschockt von diesem Unglück befasste sich das House of Commons mit der Thematik.

08.07.1714 Aufgrund einer Empfehlung des House of Commons unterschreibt Queen Anne einen Act, der für die Entwicklung genauerer Methoden für die praktische Längenbestimmung auf See einen Preis aussetzte: Auf einer sechswöchigen Reise nach Westindien (Karibik) für eine Längenabweichung bis 60 Meilen: 10000 Pfund, bis 40 Meilen: 15000 Pfund und bis 30 Meilen: 20000 Pfund. Das dafür ins Leben gerufene Board of Longitude sollte eingehende Vorschläge prüfen und über die Vergabe des Preis entscheiden (Quill, 1966:7).

Wesentliche Ursachen für Gangungenauigkeiten der damaligen Uhren mit Feder/Unruh: Zu empfindlich gegenüber äußeren Erschütterungen und Temperaturschwankungen…

1759 Konstruierte John Harrison (1693-1776) das H.4 genannte Schiffs-Chronometer, welches 1761 diese Prüfung erfolgreich bestand: Auf einer zweimonatigen Reise von England nach Jamaica mit der HMS Deptfort ging die H.4 nur 5 Sekunden falsch, was einer Längenabweichung von weniger als 2 Meilen entsprach. Auf der geografischen Breite von Jamaica (18 Grad Nord) entsprechen 5 Sekunden genau 2,2 km. (H.4 Durchmesser: 5 1/4 Zoll, Technologie “Remontoire”). Den Preis erhielt Harrison erst 11 Jahre später auf Grund einer Intervention von König George III nachdem sich dieser von den Erfolgen des Nachfolgemodells H.5 (1772) persönlich überzeugt hatte.

Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise (1768-1771 HMS Endeavour, Venusdurchgang Tahiti 3.6.1769) den H.4 noch nicht mitnehmen.

Auf seiner zweiten Reise (1772-1775 HMS Resolution) verwendete Cook den H.4 Chronometer und konnte so die genaue Kartierung des südlichen Indischen Ozeans (der sich zwischen 40 und 60 Grad Süd einfach als leer erwies), Australiens, Neuseelands und fast aller Gebiete des Pazifiks durchführen.

Dritte Reise von Cook (1776-1779) (Namen der Schiffe?? H.4 an Bord??). Tod auf Hawaii.

Das Ergebnis der letzten beiden Reisen von Cook mit dem H.4 war: Umfassende und genaue Kartografierung der Welt. Es gab keine unbekanten Gegenden mehr. Die seit Jahrhunderten erhoffte Terra Australis Incognita gab es nicht. Das Zeitalter der Entdeckungen war beendet. Als letzte Herausforderungen blieben noch die Arktis/Antartis und der Weltraum…

Schiffs-Chronometer waren anfangs ziemlich teuer und fanden deshalb zunächst keine große Verbreitung. Später konnten Zeitsignale der Greenwich Mean Time (GMT) per Radiowellen gesendet werden und so auch die Zeitabweichungen billigerer Uhren korrigiert werden. Die Erfindung der Quarz-Uhr machte dann auch das Radio-Zeitzeichen überflüssig. Schießlich wurde durch die Einführung von GPS und die Verfügbarkeit kleiner und erschwinglicher GPS-Empfänger die Navigation zu einem Kinderspiel…

Zeitmessung und Kalender

Babylonische Zeiteinheiten

Die Babylonier sollen den Tag in 24 Stunden zu ja 60 Minuten eingeteilt haben….

 

Sommerzeit in Deutschland

Erstmals wurde die Sommerzeit in Deuschland am 01.05.1916 eingeführt. Sie galt in Deutschland:

  • 1916 – 1918
  • 1942 – 1949
  • 1980 – heute (Vorgeschieben für die ganze EU)

 

Zeitzonen

Es war üblich, dass jeder Ort die seiner geografischen Länge entsprechende Ortszeit benutzte. Der Uhrmeister der Kirchturmuhr bestimmte die Ortszeit. Bei Reisen von Ort zu Ort musste man am Ankunftsort seine Taschenuhr auf die neue Zeit einstellen. Durch die Verbreitung der Eisenbahn entwickelte sich aus diesem Zeitsystem schnell ein Chaos.

Die Eisenbahngesellschaft Great Western Railway (London-Bristol) führte im November 1840 die Londoner Zeit für alle Fahrplähne und Bahnhöfe ein. Die “railway time” wird damit Vorläufer der Greenwich Mean Time.

Anschläge in Londoner Bahnhöfen: “London Time is kept at all the stations on the Railway, which is four minutes earlier than Reading time; 7 1/2 minutes before Chippenham time; 11 minutes before Bath and Bristol time; and 18 minutes before Exeter time.”

Öffentliche Uhren wurden nun mit zwei Minutenzeigern versehen: “railway time” (in schwarz) und “local time” (in rot). Als Relikt aus dieser Zeit trägt noch heute die grosse Uhr über der Old Corn Exchange in Bristol diese zwei Minutenzeiger.

Für das tägliche Leben im Eisenbahnzeitalter wird nun die Bahnhofsuhr (z.B. Paddington Clock, Foto oben) wichtiger als die Kirchturmuhr.

Beispielsweise galt in Bayern die Münchener Ortszeit und in Berlin die Berliner Ortszeit. Da Berlin knapp 2° östlicher als München liegt, gingen dort die Uhren 7 Minuten vor gegenüber den Uhren in München.

1878 machte der Canadische Eisenbahn-Ingenieur Sandford Fleming (1827-1915) den Vorschlag, statt der bis dahin üblichen vielen verschiedenen Zeiten für Städte und Länder, ein weltweites System mit nur 24 Zeitzonen einzuführen. Alle 15 Grad geografischer Länge sollte eine neue Zeitzone beginnen mit einer um 1 Stunde anderen Uhrzeit (15 Grad = 360 Grad / 24). Die Eisenbahngesellschaften in Amerika führten das Flemingsche System der Zeitzonen am 18.11.1883 ein. Am 1. November 1884 wurde von der Internationalen Meridiankonferenz in Washington D.C. beschlossen, dieses System weltweit einzuführen (World Time Convention). Der Meridian von Greenwich wird als “Nullmeridian” festgelegt. Auf den “gegenüberliegenden” Seite der Erde befindet sich die Datumsgrenze.
Quellen: http://www.crooksville.k12.oh.us/5thgrade/timezone.html http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Sandford-Fleming

Seit dem 01.04.1893 gilt für Deutschland, dass genau am 15. Längengrad Ost gelegene Görlitz als Maßstab der Mitteleuropäischen Zeit (MEZ). So beschlossen es die Gesetzgeber am 12. März 1893. Die Eisenbahn benutzte schon ab dem 30.07.1890 die MEZ.

  • Großbritannien: Seit 01.01.1880 GMT
  • Belgien: Seit 01.05.1891 GMT
  • Dänemark: Seit 01.01.1894 MEZ

http://www.themamundi.de/aws/tabel/tbzone.htm http://www.willi-stengel.de/page5.htm http://www.uhrzeit.org/technik.html http://www.surveyor.in-berlin.de/himmel/himmel.04.11.html#gmt

Einführung der Universal Time “UT”

1926 wird die GMT durch die UT abgelöst. Die UT wird vermittels einer festgelegten Formel aus der Sternzeit berechnet. Die Sternzeit wird durch astronomische Beobachtungen ermittelt. Die Sekunde als der 86400. Teil eines Tages ist wegen der Schwankungen der Tageslänge auch eine entsprechend leicht schwankende Zeiteinheit.

 

Atomzeit

Am 06.12.1946 stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.

Zur Weiterentwicklung des Metrischen Systems wurde die Generalkonferenz für Maße und Gewichte (Conférence Générale des Poids et Mésures, CGPM) geschaffen. Die 11. CGPM beschloß 1960, daß das SI (Internationales Einheitensystem, Systéme International d’Unités) als Einheitensystem für die Mitgliedsstaaten der Meterkonvention angenommen werden soll. Das SI ist inzwischen in über 100 Staaten verbindlich eingeführt. In Deutschland wurde das SI mit Wirkung vom 1.1.1978 im amtlichen und geschäftlichen Verkehr obligatorisch.

Im Oktober 1967 erfolgte die Neudefinition der Sekunde durch die 13. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) in Paris. Die “SI-Sekunde” wird nun durch die Schwingungen des in der Atomuhr (Libby 1946) verwendeten Caesiums definiert:
“Die Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.”
(Gleichzeitig wurde die Maßeinheit Kelvin für die Temperatur beschlossen.)

Die 14. CGPM beschiesst 1971 parallel zur Universal Time (UT1) von 1926, die Atomzeit (TAI) auf Basis der SI-Sekunde (“Atom-Sekunde”) einzuführen.

Auf der 17. CGPM 1983 wird das Meter neudefiniert auf der Basis der SI-Sekunde und der Lichtgeschwindigkeit…

PTB Physikalisch Technische Bundesanstalt

1969 nimmt die Physikalisch Technische Bundesanstalt “PTB” in Braunschweig die erste Atomuhr CS1 (Caesium-Eins) in Betrieb.

Am 01.01.1972 beschiesst die CCIR, die Universal Time UT durch die Universal Time Controlled UTC abzugelösen. 1975 schiesst sich auch die 15. CGPM dem an (Quelle: Bureau International des Poids et Mesures).

UTC verwendet als Sekundenlänge nicht mehr den 86400. Teil eines Tages (so die UT-Definition von 1926), sondern die SI-Sekundenlänge (“Atomsekunde”). Damit die Abweichung zwischen UT (genauer UT1) und UTC immer kleiner als 0,9 s bleibt, wurde die UTC bereits um 10 Sekunden versetzt gegenüber der Atomzeit (TAI) gestartet. Danach werden bei Bedarf Schaltsekunden in die UTC ein- oder ausgefügt (bisher 22 Sekunden). Damit differieren UTC und Atomzeit (TAI) bis Mitte 2003 bereits um 32 Sekunden.

Zum Ausgleich der gravitativen Zeitdilatation wird an den Gängen der primären Atomuhren, die in der Höhe h über dem Geoid aufgestellt sind, eine Korrektion von -1,09·10-16·(h/m) angebracht. Für die Atomuhren der PTB beispielsweise, die auf einer Höhe von h = 75 m über dem mittleren Meeresspiegel aufgestellt sind, beträgt die entsprechende relative Korrektur -8,2·10-15. Damit wird also berücksichtigt, dass die in der Atomuhrenhalle der PTB realisierten Sekundenintervalle um 8,2·10-15 s kürzer sind als bei einer auf dem Geoid aufgestellten Uhr.

GPS Global Positioning System

Das Global Positioning System GPS besteht aus einem Netz von Erdsatelliten in ca. 12-stündigen Umlaufbahnen. Jeder Satellit hat eine Atomuhr an Bord.

1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS.

Gerade das GPS-System liefert heute ein Argument dafür, die Schaltsekunden aufzugeben und die reine Atomzeit (TAI) als Weltzeit zu definieren: Bei der notwendigen sorgfältigen Synchronisation der GPS-Satelliten wurden die Schaltsekunden nicht berücksichtigt. Seit Einführung von GPS im Jahr 1980 hat sich die Differenz zwischen der internen GPS-Zeit und der offiziellen Weltzeit UTC auf 13 Sekunden aufsummiert. Eine versehentliche Verwechslung der Zeiten, etwa bei der Navigation von Flugzeugen, könnte zu Katastrophen führen.

Die ersten Eisenbahnlinien

27.09.1825 Stockton – Darlington 9 Meilen. George Stephenson “Locomotion”
15.09.1830 Liverpool – Newton – Manchester 31 Meilen. George Stephenson.
07.12.1835 Nürnberg – Fürth 5 km, Lokomotive Adler, Ingenieur …
1836-1838 London – Deptfort – Greenwich
04.07.1837 Newton Junction – Birmingham 82 Meilen, Grand Junction Railway
17.09.1838 London (Euston St.) – Birmingham
29.10.1838 Berlin – Zehlendorf – Potsdam 26 km, 07.08.1846 bis Magdeburg
07.04.1839 Leipzig – Dresden Johann Andreas Schubert funktionsfähige erste Dampflokomotive Deutschlands
30.03.1840 London (Paddington) – Reading Great Western Rayway (GWR), Chief Engineer Brunel
30.06.1841 London (Paddington) – Reading – Bath – Bristol 118 Meilen, Great Western Rayway (GWR), Chief Engineer Brunel
1849 Saar – Rhein (Ludwigshafen)

Quellen

  • Quill, H. 1966 John Harrison. The Man Who Found Longitude. John Baker Publishers. London.
  • Williams, J.E.D. 1992 From Sails to Satellites. The Origin and Development of Navigational Science. Oxford University Press. Oxford.
  • Jonathan Medwin: The Discovery of Longitude: An Historical Account of Maritime Navigational Practice and the subsequent invention of the Chronometer http://rubens.anu.edu.au/student.projects97/naval/
  • Bureau International des Poids et Mesures: Beschlüsse der CGPM
  • PTB: Die Geschichte der Zeiteinheit – Definition der Sekunde

Weiterführende Links


Stoffsammlung

Erst wurden nur in Klöstern die mechanischen Räderuhren verwendet. Ihre großen Gewichte dienten nicht nur zum Antrieb, sondern sie dienten auch dazu, die Mechanik des Stundenschalges anzutreiben!

Die von den Babyloniern erfundene Wasseruhr wurde von den Ägyptern übernommen und später von den Griechen und den Römern immer mehr verbessert. Die Griechen benutzen ihre verfeinerten Wasseruhren im täglichen Gebrauch. Diese Uhren waren genauer, doch auf Reisen waren sie einfach nicht zu gebrauchen.

Die Babylonier gaben dem Tag seine 24 Stunden zu 60 Minuten. Bei den Ägyptern wie bei den Römern hatte der Tag 12 Stunden, genauso wie die Nacht. Doch im Sommer waren die Tage länger und die Nächte kürzer. Umgekehrt im Winter: Die Tagstunden waren kürzer, während die Nachtstunden länger waren. Stunde war also eine ziemlich variable Einheit.

One of the scientific instruments that the conquering Europeans were eventually to develop as a direct result of their conquests and exposure to new learning was the Sea Astrolabe. Developed about 1470 the Sea Astrolabe was based on the design of the much earlier planispheric astrolabe, which had its origins with the Greek philosophers and astronomers immediately prior to the European conquest which had ended the Dark Ages. The Sea Astrolabe was used to plot the attitude of the sun near the meridian. It came into use on ships – the Spanish Armada (1588) carried it (Turner, 1980:31).

By 1726 James and John Harrison had manufactured two clocks which lost no more than one second a month. This was a remarkable achievement and advanced far beyond any existing technologies of the day (Quill, 1966:8).


Physik: Pfadintegral

Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Schrödinger-Gleichung, Teilchenphysik

Stand: 08.06.2024

Richard Feynman (1918-1988) war Professor für Theoretische Physik an den Universitäten Cornell, Caltech u.a.

Bekanntgeworden durch:

Das Pfadintegral

Das auf Richard Feynman zurückgehende “Pfadintegral” ist nicht ein Integral entlang eines Pfades von A nach B, sondern ein Integral über alle möglichen Pfade von A nach B.

Feynman-Diagramme

Um die Wechselwirkungen zwischen Elementarteilen zu beschreiben, erfand Richard Feynman eine spezielle Art von Diagrammen, die nach ihm benannt wurden.

Feynman-Vorlesungen

Berühmt geworden sind seine Vorlesungen, die man heute noch in Youtube findet.

Mathematik: Variationsrechnung – Calculus of Variation

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Integralrechnung, Metrik, Lagrange-Formalismus

Stand: 05.06.2024

YouTube: Dr. Juan Klopper

Idee der Variationsrechnung

Mit Hilfe der Variationsrechnung versucht man Minima zu finden.

Beispiele:

  • Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten
  • Die kürzeste Zeit einer Bewegung (Fermat’sches Prinzip)
  • Die kleinste Oberfläche eines Volumens
  • Die kleinste “Wirkung” in einem physikalischen System (s.u.)

Im Gegensatz zur Schul-Mathematik suchen wir jetzt nicht einen Punkt, bei dem eine Funktion ein Minimum hat, sondern einen Pfad (also eine Funktion) bei der ein “Funktional” (Funktion von Funktionen) ein Minimum hat.

Die Euler-Lagrange-Gleichung

Wir haben eine Funktion entlang eines Pfades. Wobei so ein Pfad definiert sei durch eine Funktion y = y(x) zwischen den Stellen x1 und x2. Wir können eine Funktion F entlang eines Pfades “aufsummieren” d.h. integrieren. Wir suchen nun zu einer gegebenen Funktion F  denjenigen Pfad, bei dem dieser Integralwert ein Mininimum wird.

\( S = \int\limits_{x_1}^{x_2} F(x, y, y^\prime) \, dx = Minimum \\\)

Um das Minimum dieses Integralwertes über alle Pfade zu finden, “differenziert” man S nach dem Pfad und schreibt δS=0; d.h. eine infinitesimal kleine Änderung im Pfad soll nur eine infinitesimal kleine Änderung in S bewirken. Man nennt einen solchen Pfad auch “stationär”.

Leonard Euler (1707-1783) entwickelte dazu die “Variationsrechnung”. Sein Trick war, “kleine Änderungen” eines Pfades mathematisch zu beschreiben und einen Methode zu finden, danach zu differenzieren.

Nach längerem Rechnen (auch mit Integration by Parts) bekommt man als Lösung der Minimum-Aufgabe die berühmte Euler-Lagrange-Gleichung,

\(\Large \frac{\partial F}{\partial y} – \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime}) = 0 \\\)

Beispiel

Mal ein ganz einfaches Beispiel: Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten P1 =(x1, y1) und P2 =(x2,y2):

\( S = \Large\int\limits_{P_1}^{P_2} ds = \int\limits_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2 }\, dx  = Minimum\\ \)

Wir haben in diesem Fall also:

\( F(x, y, y^\prime) = \Large\sqrt{1 + {y^\prime}^2 } \\\)

Wir wollen auf diese Funktion F die obenstehende Euler-Lagrage-Gleichung anwenden und bestimmen dazu zunächst die einzelnen Terme:

\( \frac{\partial F}{\partial y} = 0 \\ \)

und:

\( \frac{\partial F}{\partial y^\prime} = \frac{1}{2}  ( 1 +{ y^\prime}^2) ^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 y^\prime = \frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}}\\ \)

Wenn wir diese beiden Terme in die Euler-Lagrange-Gleichung einsetzen, erhalten wir schließlich:

\( \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime}) =  \frac{d}{dx}(\frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}}) = 0\\\)

Wann ist eine Ableitung einer Funktion gleich Null? Wenn die Funktion eine Konstante (c)  ist. Also ist:

\( \frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}} = c \\\)

Wenn wir dann diese Gleichung quadrieren und ein wenig umstellen erhalten wir:

\( (y^\prime)^2 = const. \\ \)

Damit ist auch y’ konstant und alle Lösungen dieser Differentialgleichung sind:

\( y = a x + b \\ \)

Also haben wir gerade Linien als Minimum des Abstands.

Somit  haben wir für einen ersten sehr simplen Fall die Richtigkeit der Euler-Langrange-Gleichung gezeigt.

Prinzip der kleinsten Wirkung

Wenn F = Ekin – Epot, nennt man das Integral, warum auch immer, “Wirkung” (engl. action) entlang des Pfades.

\( S = \int\limits_{x_1}^{x_2} (E_{kin}(x, y, y^\prime) – E_{pot}(x, y, y^\prime)) \, dx = Minimum \\\)

Daraus ergibt sich die sog. Lagrange Mechanik.

Genaugenommen müsste der Pfad dann noch mit der Zeit t parametrisiert werden…

Mathematik: Integralrechnung

Gehört zu: Mathematik

Siehe auch: Kurven, Metrik

Stand: 30.05.2024

Die Integralrechnung bildet zusammen mit der Differentialrechnung, das was die Engländer und Amerikaner “Calculus” nennen. Bei uns sagt man eher “Infinitesimalrechnung”. Erfunden haben sollen das Newton und Leibnitz unabhängig von einander.

Die Grundlagen haben wir in der Schul-Mathematik gelernt.

Allgemeines

Es gibt ein bestimmtes Integral und ein unbestimmtes Integral.

Das unbestimmte Integral einer Funktion ist einfach die Umkehroperation zum Differenzieren. Man sucht eine sog. Stammfunktion, die differenziert die ursprüngliche Funktion ergibt. Zur Stammfunktion kommt dann immer eine beliebige Integrationskonstante dazu.

Das bestimmte Integral geht von einer Untergrenze zu einer Obergrenze. Da hebt sich eine Integrationskonstante immer weg. Man verbildlicht sich das gerne als Fläche unter einer Kurve.

Wichtige Regeln

Das Integrieren einer Funktion ist im allgemeinen schwieriger als Differenzieren, weil man ja eine Stammfunktion sucht, die…

Neben den vielen einfachen Regeln in der Integralrechnung gibt es eine, die ich aus der Schule so nicht wirklich kannte: “Integration by Parts“.

Integration by Parts (Partielle Integration)

Wenn man ein Integral lösen will, was trotz der üblichen Bemühungen (z.B. algebraisch Vereinfachen, Substituieren,…) widerspenstig ist, hilft es manchmal es so umzuschreiben, dass dann die Lösung klappt.

\( \Large \int u \, dv = u \cdot v \, \, – \int v \, du \)

Wir bekommen statt eines “unschönen” Integrals nun ein anderes Integral; das würde Sinn machen, wenn das neue Integral einfacher zu lösen wäre.

Man muss dazu geschickt wählen, was u sein soll und was dv sein soll.

Beispiel:

\( \Large \int x \cdot e^x \, dx = ? \)

Wir versuchen es mit:  \( u = x \). Dann muss  \( dv = e^x \, dx \) sein.

Um die Formel anzuwenden, brauchen wir dazu du und v.

\(du\) bekommen wir durch Differenzieren von \( u \): \( du = dx \)

\(v\) bekommen wir durch Integrieren von \( dv \): \( v = e^x \)

Das setzen wir nun in die Formel ein:

\(\Large \int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x  – \int e^x \, dx\\\)

Das neue Integral können wir leicht lösen und bekommen also:

\(\Large \int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x  –  e^x + c\)

Tipps zur “Integration by Parts”

Man kann einen “schwierigen” Integranden ja verschieden in Faktoren (u und dv) aufbrechen.

Wenn ein Versuch nicht zum Ziel führt, kann man einen neuen Versuch machen etc.

Generell sagt man, dass man denjenigen Faktor als “u” wählen sollte, der beim Differenzieren einfacher wird wobei der andere Faktor “dv” dann beim Integrieren keine Schwierigkeiten machen sollte.

Physik: Quantenmechanik nach Susskind

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenmechanik, Die Bra-Ket-Notation, Wellenfunktion, Komplexe Zahlen

Stand: 17.03.2024

Quantenmechanik nach Susskind

Bei Youtube bin ich auf die Vorlesungen von Prof. Susskind an der Stanfort University gestossen (“continued education”).

Professor Susskind beschreibt die für die Quantenmechanik erforderliche Mathematik einfach und anschaulich, was nicht immer ganz genau der reinen Mathematik entspricht. Deswegen kann ich es gut verstehen.

Zunächst betrachten wir klassische Physikalische Systeme, danach gehen wir Zug um Zug in die Welt der Quantenphysik. Der Trick dabei ist, schon die klassische Physik “gepixelt” zu sehen, was approximativ möglich sein sollte.

In der Quantenphysik werden wir es immer wieder mit Komplexen Zahlen zu tun haben. Auch der Begriff der komplex konjugierten wird hier eine große praktische Rolle spielen.

Ket-Vektor

Ein physikalisches System kann verschiedene diskrete Zustände annehmen (ggf. approximiert).

Z.B. Das Werfen  einer Münze: Kopf oder Zahl

Z.B. Ein Würfel: Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs

Z.B. Spin eines Elektrons: Up oder Down

So einen Zustand schreiben wir auf als sog. “Label” in sog. Ket-Schreibweise…

z.B.    |Kopf>   oder |Zahl>

z.B.   |Eins> oder |Zwei> oder…

z.B. |Up> oder |Down>

Wir können jeden Zustand (State) durch einen Spalten-Vektor repräsentieren.

\(  |Kopf> \space  —>   \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right)   \)

und

\(  |Zahl>  \space —>   \left( \begin{array}{c} 0\\\ 1   \end{array}\right)  \\  \)

Oder beim Würfel:

\(  |Eins> \space  —>   \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0  \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right)   \) und     \(  |Zwei> \space  —>   \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1  \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right)   \) und …

Man sagt auch |a> sei ein Vektor, obwohl der zugehörige Spaltenvektor “nur” eine Repräsentation von |a> ist. Manchmal identifizieren wir beides (aus Bequemlichkeit).

Die Menge der möglichen Zustände nennt man auch “Zustandsraum“. Beispielsweise:

\( S = \left\{ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right) , \left( \begin{array}{c} 0\\\ 1   \end{array}\right)  \right\} \\ \)

Der Zustand eines physikalischen Systems könnte sich mit der Zeit ändern. Den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt nennt man auch “Konfiguration“.

Später werden wir sehen, wie dieser Zustandsraum einen zu einem Vektorraum erweitert werden kann (der Vektorraum wird aufspannt).

Bra-Vektor

Zu jedem Ket-Vektor |a>  bilden wir einen sog. Bra-Vektor <a| auf folgende Weise:

Der Ket-Vektor sei:

\(  |a> \space  —>   \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right)  \\ \)

dann bilden wir den zugehörigen Bra-Vektor als Zeilenvektor folgendermaßen:

\(  <a| \space  —>   \left( \begin{array}{r} {a_1}^* &  {a_2}^*  &  {a_3}^* \end{array}\right)  \\ \)

Wir sagen, der Bra-Vektor sei das komplex konjugierte zum Ket-Vektor

Inneres Produkt

Das sog. “Innere Produkt” zweier Vektoren definieren wir nun einfach als:

\( <a|b> = \left( \begin{array}{r} {a_1}^* &  {a_2}^*  &  {a_3}^* \end{array}\right)  \cdot \left( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2  \\\ b_3 \end{array}\right) = {a_1}^*  b_1 + {a_2}^* b_2 + {a_3}^* b_3 \\ \)

Das Innere Produkt eines Vektors mit sich selbst ist dann immer eine reelle Zahl. Wir definieren als “Länge” oder auch “Norm” eines Vektors die positive Wurzel aus diesem Inneren Produkt.

Wenn das Innere Produkt zweier Vektoren Null ist, sagen wir sie seien “orthogonal”.

Observable

Observable nennt man Dinge, die man messen kann.

In einem bestimmten physikalischen Experiment wollen wir eine bestimme Größe messen und bekommen so zu jedem Zustand des Systems einen Messwert.

Eine bestimmte Observable M ordnet also jedem Zustand aus dem Zustandsraum S einen Messwert (reelle Zahl) zu. Mathematisch geschrieben:

\( M: S \to \mathbb{R} \)

Abstrakter Vektorraum

Die Ket-Vektoren |a> bilden einen (abstrakten) Vektorraum; d.h. es gelten bestimmte Regeln:

Regel 1: Jeder Vektor aus dem Vektorraum kann mit einem Skalar (komplexe Zahl) mutipliziert werden, wobei das Ergebnis wieder ein Vektor aus dem Vektorraum ist.

\( \lambda \space | a> = | a^\prime> \)

Regel 2: Zwei Vektoren aus dem Vektorraum kann ich addieren, wobei das Ergebnis wieder ein Vektor aus dem Vektorraum ist.

\(  | a >  +  | b >  =  | c > \)

Beispiele von Vektorräumen

Die Menge der Ket-Vektoren bilden einen Vektorraum, wobei wir als Einträge ganz allgemein Komplexe Zahlen zulassen und die Dimension des Vektorraums gleich der Anzahl verschiedener Zustände ist.

Die oben aufgeführten Regeln für Vektorräume gelten offenbar:

\( \lambda \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}\lambda  a_1 \\\ \lambda  a_2  \\\ \lambda a_3 \end{array}\right) \\\) \(   \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2  \\\ b_3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \\\ a_2 + b_2 \\\ a_3 + b_3\end{array}\right)   \)

Linearkombinationen

Wir können jeden Ket-Vektor | a > als Linearkombination der Zustandsvektoren darstellen:

\( | a > = \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2  \\\ a_3 \end{array}\right) = a_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0  \\\ 0 \end{array}\right) +  a_2 \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1  \\\ 0 \end{array}\right)  + a_3 \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0  \\\ 1 \end{array}\right)  \\\)

Damit spannen die Zustandsvektoren einen (abstrakten) Vektorraum auf, aber nicht jeder Vektor aus diesem Vektorraum beschreibt einen physikalischen Zustand – …

Quantenmechanisches Beispiel

Wenn ich den Spin eines quantenmechanischen Elektrons messe, bekomme ich bei jeder Messung einen von zwei Zuständen, die wir | up > und | down > nennen können.

Diese beiden Zustände repräsentieren wir durch zwei Spaltenvektoren im Vektorraum:

\(  | up > \space  —>   \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right)  \\ \) und

\(  | down >  \space —>   \left( \begin{array}{c} 0\\\ 1   \end{array}\right)  \\ \)

In der klassischen Physik würde niemand auf die Idee kommen, Linearkombinationen solcher zwei Zustände zu betrachten. In der Quantenpysik machen wir das aber.

Linearkombination dieser beiden Zustände wären also:

\( a_{up} \space | up > + a_{down} \space | down > \\\)

Die Koeffizienten können wir als Spaltenvektor schreiben:

\( a = \left( \begin{array}{c} a_{up} \\\ a_{down}  \end{array}\right) \\\)

Wobei die Beträge der Komponenten (Koeffizienten der Linearkombination)  interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeiten der Zustände; also:

\( P_{up} = a_{up} {a_{up}}^* \\\) und

\( P_{down} = a_{down} {a_{down}}^* \\\)

Wobei natürlich die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss: \( P_{up} + P_{down} = 1 \)

Alle Linearkombinationen der Ket-Vektoren  | up > und | down >, die diese Bedingung (Summe der Wahrscheinlichkeiten = 1) erfüllen, werden in der Quantenmechanik als physikalisch mögliche Zustände angesehen. Wir können diese Bedingung auch schreiben als:

\( P_{up} + P_{down} = a_{up} {a_{up}}^* + a_{down} {a_{down}}^* = \left( \begin{array}{r} {a_{up}}^* &  {a_{down}}^*   \end{array}\right)  \cdot \left( \begin{array}{c} a_{up} \\\ a_{down}   \end{array}\right) = <a|a> = 1 \)

Die Bedingung ist also: “Länge = 1”; d.h. die quantenmechanisch möglichen Zustände des Elektronen-Spins liegen auf dem Einheitskreis.

Das Besondere in diesem Fall also, dass der Elektronenspin zwar gequantelt ist, also nur diskrete Werte (+1 und -1) annehmen kann, aber die Wahrscheinlichkeiten beim Messvorgang durchaus gebrochene Zahlen sein können.

Matrizen

Wir werden Matrizen brauchen. Wofür, sehen wir später.
Eine Matrix ist einfach eine quadratische Anordnung von Zahlen, beispielsweise:

\( M = \left( \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{matrix} \right) \\ \)

So eine Matrix M können wir anwenden auf einen Spaltenvektor v indem wir im Prinzip die inneren Produkte von Matrix-Zeilen mit dem Spaltenvektor bilden:

\( M v =  \left( \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2  \\\ v_3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} m_{11} v_1  + m_{12} v_2  + m_{13} v_3 \\\ m_{21} v_1 + m_{22} v_2 + m_{23} v_3  \\\ m_{31} v_1 + m_{32} v_2 + m_{33} v_3\end{array}\right) \\ \)

Das Ergebnis ist wieder ein Spaltenvektor.

Wenn wir nun einen Zeilenvektor w und eine Matrix M nehmen, sieht das ganz analog aus:

\( w M  =  \left( \begin{array}{c} w_1 & w_2  & w_3 \end{array}\right) \left( \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{matrix} \right)  = \left( \begin{array}{c} w_1 m_{11}  + w_2 m_{21} + w_3 m_{31}  & w_1 m_{12}  + w_2 m_{22} + w_3 m_{32}  & w_1 m_{13} + w_2 m_{23} + w_3 m_{33} \end{array}\right) \\ \)

Das Ergebnis ist wieder ein Zeilenvektor.

Matrizen als Operatoren auf einem Vektorraum

Matrizen kann man auch “Operatoren” nennen. Sie können die Vekoren eines Vektorraums transformieren. Das allgemeine KOnzept heißt “Linearer Operator” oder auch “Lineare Transformation”. Wir identifizieren diese zur Vereinfachung.

Wir schauen uns mal ein paar Beispiele aus dem 2-dimensonalen reellen Vektorraum an.

Beispiel 1: Stretchen um einen Faktor 2

\( M v = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2  \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_x \\\ v_y  \end{array}\right)  =   \left( \begin{array}{c} 2 v_x \\\  2 v_y  \end{array}\right)  \\ \)

Beispiel 2: Stretchen in Richtung der y-Achse

\( M v = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2  \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_x \\\ v_y  \end{array}\right)  =   \left( \begin{array}{c} v_x \\\  2 v_y  \end{array}\right)  \\ \)

Beispiel 3: Rotieren um 90 Grad im Uhrzeigersinn

\( M v = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0  \end{matrix} \right)  \left( \begin{array}{c} v_x \\\ v_y  \end{array}\right)  =   \left( \begin{array}{c} v_y \\\  -v_x  \end{array}\right)  \\ \)

Wir sehen also: Matrizen transformieren einen Vektorraum; aber nicht alle Transformationen sind Matrizen.

Hermitische Matrizen

Observable in der Quantenphysik werden durch hermitische Operatoren dargestellt. Wir schauen hier deswegen auf hermitische Matrizen.

Eine hermitische Matrix ist definiert durch: \( m_{ij} = {m_{ji}}^*   \)

Eine hermitische Matrix ist vom Konzept her so etwas wie eine reelle Transformation, aber nicht ganz genau: nur die Diagonalelemente der Matrix sind reell, die anderen Elemente werden beim Spiegeln an der Diagonale komplex konjugiert.

Die Namensgebung geht zurück auf den französischen Mathematiker Charles Hermite (1822-1901).

Hintergrund:

Zu einer Matrix \(M = (m_{ij}) \) definieren wir eine “Hermitsch konjugierte” Matrix und schreiben die mit einem “Dagger”;

\( \Large M^\dagger = (m_{ij}^*) \)

Wir nennen eine Matrix M “hermitisch”, wenn sie gleich ihrer hermitisch konjugierten ist, also wenn:

\( \Large M = M^\dagger \\ \)

Diese Eigenschaft ist so ähnlich wie \( z = z^* \) bedeutet, dass z eine reelle Zahl ist.

In der Quantenphysik werden wir es fast ausschließlich mit Hermitischen Matrizen (Hermitischen linearen Operatoren) zu tun haben.

Zusammenfassung Nr. 1 zur Quantenphysik

In der Quantenphysik geht es darum, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Wahrscheinlichkeiten, dass eine Observable bei einem bestimmten Zustand des Systems einen bestimmten Wert (Messwert) annimmt.

Vektoren repräsentieren die Zustände.
Solche Zustandsvektoren bekommen eine irgendwie geartete Bezeichnung (“Label”); z.B. \( |hinz\rangle  \text{ und } |kunz\rangle \).
Auch die Linearkombinationen solcher Zustandsvektoren werden als Zustände bezeichnet.
Alle solchen Linearkombinationen, im Beispiel:  \( a |hinz\rangle + \enspace b |kunz\rangle \enspace mit\enspace  a, b \in C \), bilden einen Vektorraum, den sog, Zustandsraum

Hermitische Matrizen repräsentieren die Observablen.
Wie ich zu einer Observablen (also einer Messgröße) die Matrix finde, ist noch ein Geheimnis.
Später werden wir sehen, dass die Eigenwerte der Matrix die Werte sind, die die Observable annehmen kann; d.h. die wir messen können.

Erwartungswert einer Observablen

Nun entspricht also eine Hermitische Matrix M einer Observablen.

In einem bestimmten Zustand  | a > ist der Erwartungswert der Observablen M:

\( < a | M | a> = \text{Erwartungswert von M} \\ \)

Vergleiche dazu auch: Schroedinger

Eigenwert und Eigenvektor in der Quantenphysik

Wofür diese Konzepte gut sind, sehen wir hier in der Quantenphysik: Die Eigenwerte einer Hermitischen Matrix werden die möglichen Messwerte der Observablen sein.

Wir betrachten eine hermitische Matix M und fragen uns, ob es dazu einen Vektor |a>  gibt, der durch die Matrix M nicht in der Richtung, sondern nur in der Länge verändert wird. Die Längenveränderung  wäre dann ein Faktor, der vom Vektor |a> abhängt, weswegen wir in λa nennen.

\(  M|a> = \lambda_a | a > \\ \)

Wenn es so etwas zu der Matrix M gibt, nennen wir so ein  λa einen Eigenwert, und den Vektor |a> einen Eigenvektor der Matrix.

Der Witz in der Quantenmechanik ist, dass die Eigenwerte einer hermitische Matrix M die möglichen Messwerte der Observablen sind und der zugehörige Eigenvektor ist der Zusrand in dem die Wahrscheinlichkeit, diesen Wert zu messen 1 ist.

Wie man auf diese Matrizen kommt, die ja Observable repräsentieren sollen, ist noch völlig offen.

Wir schauen uns als Beispiele mal diagonale Matrizen an. Man sieht leicht, dass die Diagonalelemente die Eigenwerte sind und die Eigenvektoren die möglichen Einheitsvektoren aus lauter Nullen und einer Eins.

Beispiel Elektronenspin

Die Observable ist also der Spin eines Elektrons, der +1 oder -1 sein kann.

Als Matrix für diese Observable nehmen wir mal:

\( \sigma_3 = \left( \begin{matrix} 1 & 0  \\ 0 & -1  \\ \end{matrix} \right) \\ \)

Diese Matrix wird auch “Spinoperator” genannt und mit σ3 bezeichnet. Diese Matrix als Repräsentation der Observablen “Spin” fällt hier ersteinmal so vom Himmel. Wir können aber einfach nachweisen, dass es stimmt, den die Eigenwerte sind:
+1 zum Eigenvektor \( \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0   \end{array}\right)  = |up> \) und -1 zum Eigenvetor \( \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1   \end{array}\right)  =|down> \)

Genaugenommen steht σ3 für die Messung des Eletronenspins in z-Richtung (wieso das so ist kommt später).

In y-Richtung gemessen bekommen wir als Observable:

\(  \sigma_2 = \left( \begin{matrix} 0 & -i  \\ i & 0  \\ \end{matrix} \right) \\\)

In x-Richtung gemessen bekommen wir als Observable:

\( \sigma_1 = \left( \begin{matrix} 0 & 1  \\ 1 & 0  \\ \end{matrix} \right) \\ \)

Wir haben also 3 Spinoperatoren…

Wichtiger Satz über Eigenwerte (Lecture 3, t=59m)

Wenn es zu einer Observablen (hermitischen Matrix) M mehrere Eigenvektoren gibt:

\(  M | a > = \lambda_a  | a > \\ \)

und

\(  M | b > = \lambda_b  | b > \\ \)

und die Eigenwerte verschieden sind, dann sind die Eigenvektoren orthogonal; also <a|b> = 0.

Ein Eigenvektor |a> beschreibt ja einen Zustand, in dem die Wahrscheinlichket 1 ist, den Wert λa zu messen.

Wenn ich also zu einer Observablen zwei unterschiedliche Messwerte λa bzw. λb bekomme, gibt es dazu zwei orthogonale Zustandsvektoren |a> und |b>, in denen die Wahrscheinlichkeit 1 ist, die Messwerte λa bzw. λb zubekommen.

Ein Satz zu Wahrscheinlichkeiten (Lecture 3, t= 1h 14:30m)

Wir mögen ein System haben, das im Zustand |b> präpariert ist – z.B. ein Elektron haben mit dem Elektronenspin |b>

Nun betrachten wir eine Observable M mit einem Eigenwert λa zum Eigenvektor |a> .

Wenn wir in dem gegebenen Zustand |b> eine Messung mit M durchführen, können wir uns fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit P unser Messergebnis λa sein wird.
Prof. Susskind sagt:
\( P = \langle a|b \rangle {\langle a|b \rangle}^* \)

Quantenmechanik mit einem Elektronenspin (Lecture 4)

Wir stellen uns vor, wir hätten ein Elektron so präpariert, dass der Elektronenspin in Richtung des (räumlichen) Vektors n = (n1, n2, n3) zeigt.

Nun wollen wir den Elektronenspin dieses Elektrons entlang der Richtung m = (m1, m2, m3) messen. Das Ergebnis ist (natürlich) entweder +1 oder -1 (so merkwürdimg ist die Quantenwelt).

Dieses ganze Experiment (präparieren und dann messen) wiederholen wir sehr oft, um die Wahrscheinlichkeit P+ für das Messergebnis +1 bzw. die Wahrscheinlichkeit P für das Messergebnis -1  zu bestimmen.

Das können wir jetzt ja ganz einfach ausrechnen. Als Ergebnis (ohne Beweis)  erhalten wir, dass die Wahrscheinlichkeit nur vom (räumlichen) Winkel θ zwischen den beiden Vektoren abhängt. Der Cosinus dieses Winkels ist bekanntlich das Innere Produkt der beiden Richtungs-Vektoren:

\( \Large \cos{\theta} = \langle n, m \rangle \\ \)

Und die Wahrscheinlichkeit wird (ohne Beweis):

\( \Large P_+ = \frac{1 + \cos{\theta}}{2} \\ \)

Wichtger Zusatz: Kommutator (Lecture 4, t= 1h 54m)

Wenn wir eine Messung einer Observablen durchführen, verändern wir den Zustand des Quantensystems. (Detail: Es ändert sich der “Eigenzustand” auf einen Eigenvektor, der zu dem gemessenen Eigenwert gehört.)

Wir können also nicht zwei Messungen eines Anfangszustands machen, denn der Anfangzustand hat sich ja durch die erste Messung verändert. Das würde nur gehen, wenn die beiden Matrizen (=Observablen) die gleichen Eigenvektoren hätten.

Prof. Susskind sagt (ohne Beweis), dass zwei Matrizen A und B genau dann die gleichen Eigenvektoren haben (evtl. aber andere Eigenwerte) , wenn sie kommutieren; d.h. wenn AB = BA.
Man nennt AB – BA den Kommutator von A und B und schreibt auch:

\(  [A,B] = AB – BA \\\)

Ein System mit zwei Elektronen: Entanglement (Lecture 4, t= 1h 55m)

Zunächst machen wir mal eine kleine Tabelle, wie das mit einem Elektron war:

\( \begin{array}{l} \sigma_1 | up \rangle = | down \rangle \\ \sigma_1 | down \rangle = | up \rangle \\ \sigma_2 | up \rangle = i | down \rangle \\ \sigma_2 | down \rangle = -i | up \rangle \\ \sigma_3 | up \rangle =  | up \rangle \\ \sigma_3 | down \rangle = – | down \rangle \end{array} \\\)

Wenn wir nun zwei Elektronen betrachten, haben wir die vier möglichen  Zustände der beiden Elektronenspins, die wir als Ket-Vektoren aufschreiben:

| u u >

| u d >

| d u >

| d d >

Diese vier spannen mit ihrern Linearkombinationen einen vierdimensionalen komplexen Vektorraum auf:

\( a | u u > + b | u d > + c | d u > + d | d d > \\ \)

Physik: Elektrodynamik

Gehört zu: Physik

Stand: 16.02.2024

Elektrodynamik

Die klassische Elektrodynamik (auch Elektrizitätslehre) ist das Teilgebiet der Physik, das sich mit bewegten elektrischen Ladungen und mit zeitlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern beschäftigt. Die Elektrostatik als Spezialfall der Elektrodynamik beschäftigt sich mit ruhenden elektrischen Ladungen und ihren Feldern.

Die zugrundeliegende Grundkraft der Physik heißt elektromagnetische Wechselwirkung.

Die Theorie der klassischen Elektrodynamik wurde von James Clerk Maxwell (1831-1879) Mitte des 19. Jahrhunderts mithilfe der nach ihm benannten Maxwell-Gleichungen formuliert.

Älterer Blog-Artikel: Elektrisches Feld

Physik: Entropie

Gehört zu: Klassifikation
Siehe auch: Maschine Learning, Thermodynamik, Zustand
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress, Fotos von Wikimedia

Stand: 26.01.2024

Was ist Entropie?

Der Begriff “Entropie” wird klassischerweise in der statistischen Thermodynamik verwendet.
Dieser Begriff wurde von Rudolf Clausius (1822-1888) in die Physik eingeführt.

Ludwig Boltzmann (1844-1906)  hat dann 1877 die berühmte Formel aufgestellt, die auch auf seinem Grabstein auf dem Wiener Zentralfriedhof steht:

\(  S = k \log_2{W} \\\)

Zur Beschreibung des Zustands eines physikalischen Systems wird eine physikalische Größe, die Entropie (Formelzeichen S) verwendet.   Wobei k die Boltzmann-Konstante und W eine Art “Wahrscheinlichkeit” für den Zustand sein soll…

Die Entropie wird auch gerne als Ausmaß von Unordnung der Teilchen eines Systems gesehen. Hohe Entropie wäre hohe Unordnung; niedrige Entropie wäre stärkere Ordnung der Teilchen.

Abbildung 1: Boltzmanns Grab (Wikimedia: Grab_von_Ludwig_Boltzmann_auf_dem_Wiener_Zentralfriedhof.JPG)

Klassifikationsalgorithmen

Beim “Machine Learning” ist es die allgemeine Aufgabe Muster in Datensätzen (Data Records) einer Datenmenge (Data Set – gerne falsch übersetzt mit “Datensatz”) zu finden.

Wenn wir ein Modell suchen, das Voraussagen zu einer Zielvariablen, einer Klassifikation, machen kann und wenn wir dazu ein Trainings-Datenmenge haben, sprechen wir von sog. “Supervised Learning“,

Ein Ansatz zur Klassifikation ist die wiederholte Aufteilung (rekursive Partitionierung).
Die “Güte” einer möglichen Aufteilung kann man durch den sog. Informationsgewinn, soll heissen Entropiedifferenz (nach der Aufteilung – vor der Aufteilung) bestimmen. So einen Klassifizierungsalgorithmus nennt man auch C5.

Zur Veranschaulichung nehmen wir mal ein ganz einfaches Beispiel. Eine Datenmenge soll eine binäre Klassifikation bekommen; z.B. Personen sind “kreditwürdig” oder “nicht kreditwürdig”.

Wir haben eine Trainings-Datenmenge in der Personen mit mehreren Attributen (“Features”) beschrieben sind; z.B. Jahreseinkommen, Alter, Name der Wohngemeinde, Einwohnerzahl der Wohngemeinde,…

Auch die Klassifikation auf der Trainings-Datenmenge ist bereits erfolgt. Wir haben da also schon ein Attribut Kreditwürdig Ja/Nein. Deshalb sprechen wir von “Supervised” Learning.

Diese gesamte Trainings-Datenmenge möchten wir anhand eines Entscheidungs-Kriteriums in zwei Teilmengen aufteilen, sodass die Summe der Entropien der Teilmengen kleiner ist als die Entropie der gesamten Trainings-Datenmenge.
So ein “Entscheidungs-Kriterium” wollen wir mithilfe der Datenattribute (den sog. Features) formulieren z.B. “Einwohnerzahl > 500”.

Zunächst haben wir also die Aufgabe, die Entropie (S) von Teilmengen der Trainings-Datenmenge zu bestimmen.

Quelle: https://rpubs.com/cyobero/C50

Die Formel lautet (nach Boltzmann s.o.)

\( S = \sum\limits_{i=1}^n {-p_i \cdot \log_2{p_i}} \\\)

Wobei n die Anzahl der Klassen in unserer Klassifizierung ist und pi die Anteil der Datensätze, die in die Klasse i fallen.

Wenn wir, wie im Beispiel, eine binäre Klassifikation haben, ist n=2 und p2 = 1- p1.

Wir betrachten im Beispiel einmal folgende Trainingsmenge:

Tabelle 1: Trainingsmenge

Feature 1 Feature 2 Klasse
Gehalt Alter Kreditwürdigkeit
48000 ./. ja
30000 ./. nein
52000 ./. ja
31000 ./. nein
53000 ./. ja
32000 ./. nein
54000 ./. ja
55000 ./. ja
49000 ./. ja
33000 ./. nein

Hier haben wir p1 =0.6 und p2=0.4

Woraus sich eine Entropie für die gesamte Trainings-Datenmenge ergibt von:

\( S = -0.6 \cdot \log_2{0.6} – 0.4 \cdot \log_2{0.4} = 0.970951  \)

Wir versuchen jetzt einmal eine Partitionierung anhand von Feature 1 und probieren ein Kriterium Gehalt>50000. Daduch erhalten wir zwei Teilmengen durch Gehalt>50000 und Gehalt≤50000.

Tabelle 2: Teilmenge 1

Feature 1 Feature 2 Klasse
Gehalt Alter Kreditwürdigkeit
52000 ./. ja
53000 ./. ja
54000 ./. ja
55000 ./. ja

Hier haben wir p1 = 1.0 und p2 = 0.0

Das ergibt eine Entropie S1 = 0.0

Tabelle 3: Teilmenge 2

Feature 1 Feature 2 Klasse
Gehalt Alter Kreditwürdigkeit
48000 ./. ja
30000 ./. nein
31000 ./. nein
32000 ./. nein
49000 ./. ja
33000 ./. nein

Hier haben wir p1 =0.3333 und p2 = 0.6667

Das ergibt eine Entropie S2 = 0.918296

Nun müssen wir die beiden “Teil-Entropien” addieren.
Dazu gewichten wir jede Teilmenge i mit dem Anteil der Datensätze, die in diese Teilmenge fallen wi.
Wir bekommen als Gewichte: w1=0.4 und w2= 0.6 und damit die Gesamtentropie nach erster Aufteilung bei Gehalt>50000:

\( S = w_1 \cdot S_1 + w_2 \cdot S_2 = 0.4 \cdot 0.0 + 0.6 \cdot 0.918296 = 0.5509776 \)

Durch die Aufteilung haben wir also Informationsgewinn (Differenz der Entropien) von:  0.970951 – 0.5509776 = 0,419973

Das ist schon einmal ganz gut, wir müssen nun noch prüfen, ob wir bei einer anderen Aufteilung im Feature “Gehalt” noch besser würden und ob eine Aufteilung nach einem andren Feature (z.B. “Alter”) ein noch größeren Informationsgewinn bringen würde.

Mathematik: Körper (Grundlagen)

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Gruppentheorie, Vektorraum, Taylor-Entwicklung

Stand: 25.12.2023

Axiomatische Definition eines Körpers

Ein Körper ist eine Menge K mit zwei (zweistelligen) Verknüpfungen, die meist Addition und Multiplikation genannt werden. Für die folgende Axiome gelten:

(1) Bezüglich der Addition genannten Verknüpfung soll die Menge eine abelsche Gruppe sein – das Neutrale Element schreiben wir als: 0.

(2) Bezüglich der Multiplikation genannten Verknüpfung soll die Menge K ohne das Element 0 eine abelsche Gruppe sein – das Neutrale Element schreiben wir als: 1.
Es gibt also zu jedem Element \( k \in K  \text{ aber } k \neq 0 \)  ein Inverses, geschrieben \( k^{-1} \); also: \( k \cdot k^{-1} = 1 \).

(3) Distributivgesetz: \( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

Beispiele

Die Menge der Ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \) bildet keinen Körper, sonder (nur) einen Ring.

Die Menge der Rationalen Zahlen \( \mathbb{Q} \) bildet einen Körper.

Die Menge der Reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) bildet einen Körper.

Die Menge der Komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) bildet einen Körper.

Ordnungsrelation auf \( \mathbb{Q} \)

Im Körper der Rationalen Zahlen \( \mathbb{Q} \)  können wir eine Ordnungsrelation definieren durch:

\( \Large \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} \normalsize \text{ genau dann, wenn: } a d \ge c b \text{ in } \mathbb{Z}  \)

Norm in \( \mathbb{Q} \)

Für ein Element  \( a \in \mathbb{Q} \) können wir eine Norm |a| definieren:

\( |a| = a \text{ wenn } a \geq 0, -a \text{ wenn } a  \lt 0  \\ \)

Diese Norm ist abgeschlossen in \( \mathbb{Q} \), denn es gilt:

\( a \in \mathbb{Q} \Rightarrow -a \in \mathbb{Q} \\\)

Folge und Grenzwert

Als Folge in einem Körper K wir bezeichnet eine Abbildung:

\( \mathbb{N} \to K \)

Meist geschrieben als: a1, a2, a3,… mit ai aus K.

Cauchy-Folge

Eine Folge ai heisst Cauchy-Folge wenn für jedes (noch so kleine)  ε > 0 eine natürliche Zahl Nε exisistiert, sodass:

\( | a_n – a_m | < ε \text{ für alle } n,m \in \mathbb{N} \text{ mit } n, m > N_\epsilon \\\)

Die Elemente einer Cauchy-Folge rücken also beliebig dicht aneinander.

Grenzwert einer Folge

Eine Folge ai hat einen Grenzwert g ∈ K wenn für jedes ε > 0 eine natürlche Zahl Nε exisistiert, sodass:

\( | a_n – g | < ε \text{ für alle } n \in \mathbb{N} \text{ mit } n \gt N_\epsilon\\\)

Die Elemente der Folge kommen dem Grenzwert beliebig nahe.

Falls so ein Grenzwert exisitiert, schreiben wir:

\( \lim  \limits_{i \to \infty}  {a_i} = g \\\)

Vektorraum

Jeder Körper K ist auch ein Vektorraum über K (also über sich selbst).

Physik: Wärmepumpe

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Thermodynamik

Stand: 25.10.2023

Prinzip der Wärmepumpe

Gestern (24.10.2023) konnte ich als Ringvorlesung “Physik im Alltag”  von Herrn Prof. Dr. Markus Drescher hören, der über das Thema “Physik der Wärmepumpe” sprach.
Link: https://www.physik.uni-hamburg.de/oeffentlichkeit/veranstaltungen/ringvorlesung.

Der physikalische Prozess ist ja im Prinzip einfach ein umgekehrter Carnotscher Kreisprozess. Wir haben also vier thermodynamische Zustände, mit vier  Zustandsveränderungen, die am Ende wieder beim Ausgangszustand landen. So ein Kreisprozess ist schon seit längerem bekannt und technisch realisiert in unseren elektrischen Kühlschränken (auch: Wäschtrockner, Klimaanlage,…).

Wir haben ein externes Wärmereservoir mit der Temperatur T1. Die Wärmepumpe soll dort Wärme entnehmen und in einen zu heizenden Raum pumpen.

Zustand 1: Das Arbeitsmedium ist gasförmig und habe einen Druck von p1 und eine Temperatur T1 . Diese Anfangstemperatur T1 soll die Temperatur des externen Wärmereservoirs sein.

Zustandsübergang 1 nach 2: Kompression durch Verrichtung mechnischer Arbeit.
Das gasförmige Arbeitsmedium wird mit mechanischer Arbeit W zusammengedrückt (durch einen Kompressor).
Die Temperatur und der Druck des Arbeitsmediums erhöhen sich.
Das Arbeitsmedium muss so weit zusammengedrückt werden, dass die Temperatur oberhalb der Temperatur des Heizwassers (Vorlauftemperatur) liegt.

Zustand 2: Der Druck ist auf p2 und  die Temperatur auf T2 gestiegen.

Zustandsübergang 2 nach 3: Wärmetransport vom Arbeitsmedium zu der Heizflüssigkeit im zu heizenden Raum (Vorlauftemperatur).
Das warme Arbeitsmedium wird durch Kontakt mit dem Heizwasser im zu heizenden Raum (Wärmetauscher) soweit abgekühlt , dass ein Temperaturausgleich stattfindet. Das heisst, es wird eine gewisse Wärmemenge ΔQ in das Heizwasser transportiert.

Zustand 3: Die Temperatur des  des Arbeitsmediums ist gesunken auf T3. Beim unverändert hohen Druck ist das Arbeitsmedium jetzt flüssig geworden.

Zustandsübergang 3 nach 4: Das Arbeitsmedium wird entspannt d.h. der Druck wird von p2 zurück auf p1 entspannt. Dabei kühlt sich das Arbeitsmedium stark ab, so dass die Temperatur unterhalb der Temperatur des externen Wärmereservoirs liegt; sagen wir auf T4 < T1.

Zustand 4: Die Temperatur des Arbeitsmediums ist weiter gesunken auf T4, der Druck ist wieder bei p1.

Zustandsübergang 4 nach 5: Wärmetransport vom externen Wärmereservoir in das Arbeitsmedium. Durch Kontakt mit dem  Wärmereservoir (Wärmetauscher) wird die Temperatur auf den ursprünglichen Wert T1 erhöht. D.h. es wird eine gewisse Wärmemenge ΔQ aus dem externen Wärmereservoir entnommen.

Zustand 5 = Zustand 1
Temperatur T1 Druck p1, Das Arbeitsmedium ist jetzt wieder gasförmig geworden.

In jedem Zyklus investieren wir also eine mechanische Arbeit von W und gewinnen (pumpen) eine Wärmemenge ΔQ.

Effizienz einer Wärmepumpe

In jedem Zyklus der Wärmepumpe stecken wir also eine Energiemenge (W), als mechanische Arbeit zur Kompression, hinein und entnehmen dem externen Reservoir eine Energiemenge ΔQ (Wärmemenge). Als Kennzahl für die “Effizienz” dieses Prozesses nehmen wir die sog. “Leistunsgzahl” (englisch: “Coefficient of Performance” COP):

\( \Large  COP = \frac{\Delta Q}{W} \\   \)

Dieser COP besagt also, wieviel Wärmemenge bekomme ich heraus (gepumpt) im Verhältnis zur hineingesteckten mechanischen Energie.

Der Prozess in der Wärmepumpe entspräche genau einem umgekehrten Carnotschen Kreisprozess, wenn er “reversibel” wäre. Dazu müssten in den Wärmetauschern am Ausgang tatsächlich die beiden Temperaturniveaus identisch sein. Für diesen Idealfall kann man das physikalisch berechnen als:

\( \Large  COP = \frac{T_3}{T_3 – T_1} \\   \)

Dies ist aber “nur” der physikalisch maximal mögliche COP. In der technischen Realisierung haben wir es aber immer mit unvollkommenen Prozessen und Verlusten zu tun, sodass in den real exsitierenden Wärmepumpen wir tatsächlich nur so etwa die Hälfte dieses physikalisch möglichen Werts erreichen.

Wenn die Temperatur des externen Wärmereservoirs jahreszeitlich schwankt (wenn man z.B. Aussenluft als Reservoir nimmt) wird vielfach ein sog. Seasonal COP (“SCOP“) genommen. Der ist ein Mittelwert aus vier COP-Werten bei vier unterschiedlichen Außentemperaturen.

Eine noch realistischere Kennzahl ist die JAZ (Jahresarbeitszahl). Da wird die übers Jahr tatsächlich “erzeugte” Wärmemenge ins Verhältnis gesetzt zur tatsächlich eingesetzten Strommenge; dazu muss man diese beiden Werte mit speziellen Zählern einzeln messen.

Beispiel:

Das externe Wärmereservoir sei die Aussenluft mit einer Temperatur T1 von 0° C.
Die Temperatur beim Wärmeaustausch (gewünschte Vorlauftemperatur der Heizung) möge sein: T3 = 40° C.

Um obige Formel anwenden zu können, müssen wir die Temperaturen in Kelvin umrechnen:

T1 = 273 K
T3 = 313 K

Damit bekommen wir:

\(  \Large COP = \frac{273}{313 – 273} = \frac{273}{40} =  6,825   \\\)

In der technischen Realisierung könnten wir uns freuen, wenn wir einen COP von 3 erreichen würden.

Phasenübergänge

Besonders effizient arbeitet eine Wärmepumpe dann, wenn das Arbeitsmedium bei der Wärmeaufnahme und der Wärmeabgabe die Temperatur nicht großartig ändert, sondern stattdessen ein sog. Phasenübergang stattfindet.

Statt einer großen Temperaturdifferenz bei der Erwärmung, wäre ein Phasenüberang von flüssig zu gasförmig gut; also beim Zustandsübergang 4 nach 1.
Statt einer großen Temperaturdifferenz beim Abkühlen, wäre ein Phasenübergang von gasförmig zu flüssig gut; also beim Zustandsübergang 2 nach 3.

Die Abgabe von Wärme und die Aufnahme von Wärme erfolgt in sog. Wärmetauschern.  In den beiden Wärmetauschern arbeitet man mit einem geeigneten Druck, sodass genau in dem Wärmetauscher ein Phasenübergang stattfindet (bei gegebenen Temperaturverhältnissen und gegebenem Arbeitsmedium). Beispielsweise 2 bar bei der Wärmeaufnahme und 12 bar bei der Wärmeabgabe.

Youtube-Video: Ganteföhr Energie und Klima

Technische Realisierung einer Wärmepumpe

Das Arbeitsmedium in der Wärmepumpe wird technisch auch “Kältemittel” genannt. Es wird nicht verbraucht, sondern befindet sich in einem geschlossenen System in einem ewigen Kreislauf. Nach dem heutigen Stand der Technik (2023) kommt hierfür praktisch nur Butan (früher: FCKW) zum Einsatz.

Die zu leistende mechanische Arbeit wird ein kleiner Elektromotor besorgen. Woher der Strom dafür kommt, wäre eine weitere Frage…

Das externe Wärmereservoir muss sehr groß sein; so groß, dass eine Entnahme einer kleinen Wärmemenge die Temperatur des Reservoirs unverändert lässt. Als so ein Wärmereservoir kommt in der Praxis infrage:

  • Das Grundwasser
  • Das Erdreich
  • Die Aussenluft
  • Fließende Gewässer
  • Das Meer

Interessant zu wisssen ist, dass auch wenn es draussen richtig kalt ist, trotzdem diese “kalte” Draussenluft sehr viel Wärme-Energie enthält.
Erst bei einer Temperatur von -273° C wäre keine Wärme-Energie mehr da.