Physik: Ideales Gas – Thermodynamik

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Ideales Gas

ist ein hinreichend verdünntes Gas, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen (als elasischer Stoß) keinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.

Zur Idealisierung gehört auch, dass die Gasmoleküle als Punktmassen verstanden werden können. D.h. für die Bewegung hat man nur die drei Freiheitsgrade der Translation, keine Rotation und keine Oszillation.

Links:

Boyle-Mariotte

Robert Boyle und Edme Mariotte fanden unabhängig von einander 1662 bzw. 1676  das nach ihnen benannte Boyle-Mariotte’sche Gesetz:

\( p \cdot V = const. \\\ \)

Wobei die Temperatur konstant gehalten wird und zwar dadurch dass man die Veränderungen im Volumen ganz langsam durchführt, sodass immer wieder das thermodynamisches Gleichgewicht mit der Umgebung erhalten bleibt.

Boyle-Marriot-Gesetz.svg

Boyle-Marriot-Gesetz (GeoGebra Classic)

Gay-Lussac

Wenn man nun den Druck konstant hält und die Temperatur variiert, bekommt man das Gay-Lussac (1787-1850) Gesetz.
Lord Kelvin (1824-1907) hatte 1848 die absolute Temperaturskala vorgeschlagen, wodurch sich das Gay-Lussac’sche Gesetz sehr einfach in seiner heutigen Form schreiben lässt:

\( \frac{V}{T} = const. \\\ \)

Wobei hier T die absolute Temperatur ist …

Gay-Lussac-Gesetz.svg

Gay-Lussac-Gesetz – Dietrich Kracht 21.3.2021 GeoGebra Classic

Ideale Gasgleichung

Zusammengefasst ergibt sich die Zustandsgleichung für ideale Gase:

\( \frac{p \cdot V}{T} = const.   \\\ \)

Und mit der Konstanten \(n \cdot R\) schließlich:

\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T   \\\ \)

Dabei ist p der Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge (messen wir in mol), R die allgemeine Gaskonstante (8,3145 Joule/(mol*Kelvin)) ist und T die absolute Temperatur ist.
Interessant dabei ist, das dies unabhängig von der Art des Gases ist – also Helium, Stickstoff etc.  Es muss einfach nur ein “ideales Gas” sein. Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.

Wenn wir statt der Stoffmenge n die Teilchenzahl N benutzen, also:

\( N = N_A \cdot n \)

bekommen wir als Gasgleichung (mit der Avogadroschen Zahl):

\( p \cdot V = N \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T   \\\ \)

Später werden wir sehen, dass \( \frac{R}{N_A} = k_B \) die sagenhafte Boltzmann-Konstante ist.

Kinetische Energie

Wenn wir die Kinetik der Moleküle betrachten, also die Bewegungen, entsteht der Druck durch Impulsübertrag auf die Aussenwand des Gefäßes.

Das Gesetz von Bernoulli sagt dafür:

\( p = \frac{1}{3} \cdot n \cdot \mu \cdot <v^2> \\\ \)

wobei n hier die Teilchendichte, also Anzahl Teilchen pro Volumen, ist und die spitzen Klammern für den Mittelwert stehen..

Wenn wir diese Gleichung mit V multiplizieren, erhält man:

\( p \cdot V = \frac{1}{3} \cdot N \cdot \mu \cdot <v^2> = \frac{2}{3} \cdot N \cdot <E_{kin}> \\\ \)

wobei N die Anzahl der Teilchen ist.

Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls eines Idealen Gases (also nur translatorische Bewegung in drei Freiheitsgraden) ist:

\( <E_{kin}> = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \\\ \)

Ausblick:

  • Auf dieser Basis wird die physikalische Größe “Temperatur” dann als “thermodynamische Temperatur” beliebiger Substanzen wirklich definiert.
  • Zusätzlich zum Mittelwert von Geschwindigkeiten bzw quadrierten Geschwindigkeiten wird auch noch die Breite der Verteilung von Interesse sein, was uns zur Maxwell-Verteilung führen wird…

Flüssigkeiten

Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von einer Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.

Das Jeans-Kriterium

Das Jeans-Kriterium, benannt nach James Jeans (1877-1946), soll ja angeben, unter welchen Bedingungen eine Gaswolke im Universum unter dem Einfluss ihrer Gravitation kontrahiert, dabei wärmer wird und ggf. eine Kernfusion “zündet”.

Zur Abschätzung der kritischen Jeans-Masse bieten sich zwei Wege an:

  1. Druck: Gasdruck = Gravitationsdruck
  2. Energie: Potentielle Energie = KInetische Energie

Gasdruck

Wir betrachten eine kugelförmige (Radius r) homogene Gaswolke der Masse M.

Der Gasdruck ist nach der idealen Gasgleichung (s.o.):

\( p = \frac{N}{V} \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T \\\ \)

Ein Teilchen (Gasmolekül) habe nun die Masse μ. Dann gilt für die Masse:

\( M = N_A \cdot n \cdot \mu = N \cdot \mu \\\ \)

Die Dichte der Gaswolke ist demnach:

\( \rho = \frac{M}{V} = \frac{N \cdot \mu}{V} = \frac{N}{V} \mu \\\ \)

Also ist

\( \frac{N}{V} = \frac{\rho}{\mu} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\(\Large p_{Gas} = \frac{\rho}{\mu} \cdot k_B \cdot T \\\ \)

Gravitationsdruck

Der Gravitationsdruck ist (will ich noch ichtig ausrechnen, mit Integral und so):

\( \Large p_{grav} = \frac{3 G M^2}{8 \pi r^4} \\\ \)

Jeans-Masse

Wann ist der Gravitationsdruck mindestens genauso groß wie der Gasdruck?

\( M_{Jeans} = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \sqrt{\frac{1}{\rho} (\frac{k_B T}{G \mu})^3}\\\ \)

Für eine Gaswolke aus atomaren Wasserstoff ergibt sich mit doppelt logarithmischen Skalen folgendes Bild:

JeansMasse.svg

Jeans-Masse Dietrich Kracht 24.3.2021

Beispielsweise können wir ablesen: Eine Gaswolke (atomarer Wasserstoff) von 10 Sonnenmassen würde bei einer Dichte von 10-16 kg/m³ und einer Temperatur von 10 K anfangen sich unter ihrer eigenen Gravitation zusammen zu ziehen…

Physik: Stoffmenge

Gehört zu: SI-Einheiten
Siehe auch: Thermodynamik

Die physikalische Größe “Stoffmenge”

Die physikalische Größe Stoffmenge wird in Mol gemessen. Auf der Schule (ca. 1960) hatte ich gelernt: 1 Mol ist das Atomgewicht in Gramm.

Im SI-System ist als Maßeinheit für die Stoffmenge das Mol festgelegt.

1971: Ein Mol ist die Menge einer Substanz, in der gleichviel Moleküle sind, wie in 12 g von Kohlenstoff 12C.

2019: Eine Stoffmenge von 1 Mol (= 1 mol) enthält die durch die Avogadro-Konstante (NA = 6.02214076 * 1023 mol−1) festgelegte Teilchenzahl. Die Avogadro-Konstante ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der Stoffmenge und der Teilchenzahl N(X). Teilchen können hier Atome, Ionen, Moleküle, Formeleinheiten oder auch Elektronen sein. Formelzeichen und Teilchenart X werden zusammen als nX oder n(X) angegeben.

Avogadro

Der italienische Physiker Amedeo Avogadro (1776-1856)  erkannte bereits 1811, dass gleiche Volumina verschiedener idealer Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl Moleküle enthalten. Dies nennt man das Avogadrosche Gesetz.

Die Anzahl der Moleküle in einer Stoffmenge von 1 mol nennt man die Avogadro-Konstante. Die SI-Einheit 1 Mol wurde so festgelegt, das die Avogadrosche Zahl exakt:

NA = 6.02214076 * 1023 mol−1

beträgt.

Wenn man die Stoffmenge n einer Gaswolke kennt, kann man also die Teilchenzahl N in dieser Gaswolke berechnen als:

\( N = N_A \cdot n \\\ \)

Anwendung in der Chemie

Bei chemischen Reaktionen schreibt mal ja als Reaktionsgleichung auf, mit welchen Molekülen eine chemische Reaktion abläuft. Beispielsweise wird aus Aluminiumcarbid und Wasser Methan und Aluminiumhydroxid:

\( Al_4C_3 + 12 H_2O \to 3 CH_4 + 4 Al(OH)_3 \)

Was die Stoffmengen betrifft heist das, dass aus 1 Mol Aluminiumcarbid durch Zugabe von Wasser 3 Mol Methan entstehen.

Entnommen aus dem Youtube-Video: https://www.youtube.com/watch?v=dGsxo05xR7g

Die molare Masse M eines Stoffes ist die Masse pro Stoffmenge oder, anders gesagt, der Proportionalitätsfaktor zwischen Masse m und Stoffmenge n.

\( m = M \cdot n \\\ \)

Die SI-Einheit ist kg/mol; in der Chemie ist g/mol üblich.

Anwendung in der Thermodynamik

In der Thermodynamik haben wir die Ideale Gasgleichung…

Physik: Kernfusion

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Sonne, Atomphysik

Durch die Verschmelzung (Fusion) leicherer Atomkerne (z.B. Wasserstoff) zu schwereren Atomkernen (z.B. Helium) kann Energie gewonnen werden, da ein kleiner Teil der  Masse in Energie umgewandelt wird; nach der berühmten Formel von Einstein:

\( E = m \cdot c^2 \)

Durch Fusion wird Energie gewonnen, solange die Bindungsenegie pro Nukleon mit zunehmender Nukleonenzahl im Atomkern größer wird; also bis zum Eisen (Fe), wie die Grafik zeigt. Mit schwereren Atomkernen kann man dann Energie nur durch Spaltung gewinnen.

Im Inneren von Sternen finden solche Kernfusionsprozesse statt. Man spricht gerne auch vom “Brennen”; damit ist aber immer eine Kernfusion gemeint.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Binding_energy_curve_-_common_isotopes-de.svg

Mittlere Bindungsenergie pro Nukleon in Abhänggkeit von der Größe des Atomkerns (Copyright Wikimedia)

Damit es zur Verschmelzung von Atomkernen kommt, muss die Abstoßungskraft der elektrisch ja gleichartig (positiv) geladenen Kerne überwunden werden. Dazu benötigt das Plasma eine hohe Temperatur und einen hohen Druck. Die Fusion von Wasserstoff zu Helium “zündet”, wenn im Inneren des Sterns die notwendige Temperatur von ca. 10 Millionen Kelvin erreicht sind.

Bei entsprechend höheren Temperaturen “zünden” auch Fusionsprozesse mit anderen Elementen wie die nachfolgende Tabelle zeigt. Dort ist ein Stern mit 40-facher Sonnenmasse zugrunde gelegt.

Ausgangsmaterial Prozesse Endprodukte “Asche” Temperatur
Mio Kelvin
Min. Masse Dauer bei 40 Sonnenmassen
Wasserstoff p-p-Prozess Helium 10-40 0,08 10 Mio Jahre
Helium 3 Alpha Kohlenstoff 100-190 0,25 1 Mio Jahre
Kohlenstoff Sauerstoff, Neon, Magnesium 500-740 4,0 10.000 Jahre
Neon Sauerstoff, Magnesium 1.600 10 Jahre
Sauerstoff Silizium 2.100 5 Jahre
Silizium Eisen 3.400 1 Woche

Wenn der Wasserstoff vollständig zu Helium fusioniert wurde, fällt diese Energiequelle weg. Der Stern kontrahiert etwas und die Temperatur im Inneren steigt an. Wenn die Temperatur im Inneren ausreicht, kann die nächste Fusionstufe (hier: Helium) “zünden”. Durch die Helium-Fusion steigt der innere Strahlungsdruck wieder stark an und der Stern dehnt sich aus zum sog. “Riesen”.

Wenn die Temperatur nicht ausreicht, um weitere Kernfusionen zu “zünden”, kann der Stern keine Energie mehr erzeugen und kollabiert zum Weissen Zwerg, der nur noch langsam seine vorhandene Wärmeenegie abgibt…

Bei unserer Sonne endet diese Serie mit dem sog. Heliumbrennen. Der Kohlenstoffkern kann nicht mehr weiter “zünden”, da die erforderliche Temperatur nicht erreicht wird.

 

 

Physik: Die Heisenbergsche Unschärferelation

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenphysik, Wellenfunktion

Die Heisenbergsche Unschärferelation

Werner Heisenberg (1901-1976) gilt als Begründer der mathematischen Quantenmechanik.

Berühmt geworden ist seine sog. Unschärferelation (uncertainty principle).  Das ist die Aussage der Quantenphysik, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Das bekannteste Beispiel für ein Paar solcher Eigenschaften sind Ort und Impuls.

\( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \\ \)

Die heisenbergsche Unschärferelation hat nichts mit der Messgenauigkeit oder Beeinflussungen einer Messung durch Messvorrichtungen zu tun, sie ergibt sich aus dem Welle-Teilchen-Dualismus: Ein Teilchen hat danach sowohl Teilchen-Eigenschaften als auch Wellen-Eigenschaften. Die Wellennatur der Materie selbst führt zur Unbestimmtheit ihrer Teilcheneigenschaften.

Louis de Boglie (1892-1987) beschreibt den Welle-Teilchen-Dualismus ja durch sein berühmte Formel:

\( p = \frac{h}{\lambda} \\ \)

Die Messung des Impulses ist also gleichzusetzen mit der Messung der Wellenlänge. Wenn ich aber die Wellenlänge genau messe, ist der Ort der Welle sehr unbestimmt.

Komplementäre Eigenschaften im Sinne Heisenbergs sind z.B.

  • Ort und Impuls (Geschwindigkeit)
  • Energie und Zeit
  • xxx

Physik: Wellenfunktion – Superposition

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenphysik

Wellenfunktion / Schrödinger

In der klassichen Mechanik (Newton etc.), wird ein Teilchen durch Ort und Implus beschrieben mit seinem sog. “Zustand”. In der Quantenmeachnik macht das die Wellenfunktion Ψ. Sehr allgemein gesagt: Eine Wellenfunktion beschreibt das Zustand eines Quanten-Teilchens.

Der Wertebereich einer Wellenfunktion sind die Komplexen Zahlen. Der Definitionsbereich sind Ort und Zeit  Ψ(r,t)
Die Wert ist also eine Komplexe Zahl, veranschaulicht durch einen Vektor. der auch “Amplitude” genannt wird.

Für Komplexe Zahlen benutzt die Quantenmechanik gerne die sog. Exponential-Darstellung:

\(\displaystyle z ={r} \cdot e^{i  \cdot \phi} \)

Damit kann man sich die Komplexe Zahl gut als Vektor einer bestimmten Länge (r) mit einem Drehwinkel (Φ) vorstellen.

Eine interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist durch den Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat gegeben (normiert auf 1 über alles). Ggf. wird also nach einer Superposition das Quadrat der Vektorlänge genommen…

Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion.

Von Ernst Schroedinger (1887-1961) stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems:

\( i \cdot \hbar \cdot \dot{\Psi} = \hat{H}  \Psi  \)

Mit dem geheimnisvollen Hamilton-Operator \(\hat{H}\).

Die Diriac-Notation

Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen hat Jean Paul Diriac (1902-1984) die nach ihm benannte Diriac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Man schreibt das so:

  • Bra-Vektor:  <v |
  • Ket-Vektor: | w>
  • zusammen geschrieben:  <v | w>

Mathematik: Matrizenrechnung – Vektorraum

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Lineare Algebra
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Matrizen als Lineare Abbildungen

Jede (nxm)-Matrix ist per Matrixmultipikation eine lineare Abbildung von \(\mathbb{R}^m\) nach \(\mathbb{R}^n\)

Quelle: https://www.mathematik.de/algebra/74-erste-hilfe/matrizen/2429-lineare-abbildungen

Lineare Abbildungen als Matrizen

Eine Lineare Abbildung kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren einer Basis abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren \( \hat{i} \) und \( \hat{j}  \) folgendes:

Wenn wir einen Vektor \( \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} \) betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

\( L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} )  \)

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren \( L(\hat{i}) \) und \( L(\hat{j}) \)  kennen, ist damit die Lineare Transformation L vollständig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise \( L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] \)   und \( L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] \)  wäre, bekämen wir eine Matrix:

\( \left[ L(\hat{i}) | L(\hat{j}) \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right] \)

Wir “konkatenieren” also die transformierten Basis-Vektoren vertikal als Spalten.
Die Lineare Transformation kann im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right]  \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x  \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] + y  \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y  \end{array} \right] \\\)

Völlig analog werden auch Lineare Transformationen in drei oder mehr (endlichen) Dimensionen behandelt.

Eigenschaften von Matrizen

Viele der Überlegungen, die wir mit Linearen Abblidungen vorgenommen haben, können wir also gleichermaßen auf Matrizen übertragen.

Sei also A die  (nxn)-Matrix zur Linearen Abblidung L von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W (beide über dem gleichen Körper K)

\(  L: V  \to W \\\)

So haben wir beispielsweise zu L im Falle dim(V) = dim(W) = 3  eine (3×3)-Matrix A:

\(\Large A =  \left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)  \\\)

Das Bild einer Matrix

Das Bild (engl. image) der Matrix A ist die Menge:

\(  im(A) =\{ y \in W \,| \,\exists x \in V \, : \, Ax = y \} \\\)

im(A) ist wiederum ein Untervektorraum von W.

Der Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren der Matrix.
Bei einer quadratischen (n×n)-Matrix bedeutet dies, er ist höchstens n.

Rang(A) = dim(im(A))

Der Kern einer Matrix

Der Kern der Matrix A ist die Menge der Vektoren, die auf den Null-Vektor abgebildet werden:

\(  ker(A) =\{ x \in V \,|  \, Ax = 0 \} \\\)

ker(A) ist wiederum ein Untervektorraum von V.

Mit anderen Worten: Der Kern von A ist also die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems Ax=0

Die Determinante einer Matrix

Bei einer quadratischen (n×n)-Matrix ist die Determinante genau dann 0 ist, wenn ihr Rang der Matrix kleiner n ist.

Physik: Arbeit, Energie und Wirkung

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Linienelement, Lagrange, Newton

Die physikalische Größen Arbeit, Energie und Wirkung

Diese physikalischen Größen kennen wir in der Mechanik. Später in der Thermodynamik (Wärmelehre) und in der Quantenmechanik werden wir einiges davon gebrauchen.

Die physikalische Größe “Arbeit”

Arbeit, so haben wir in der Schule gelernt, ist Kraft mal Weg.

Das übliche Formelzeichen für Arbeit ist W (work) und die SI-Einheit das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 kg  m2/s2.

\( W = F \cdot s \\ \)

Gemeint ist immer die Kraftkomponente in Richtung des Weges. Genau genommen also das Skalarprodukt der Vektoren:

\( W = \vec{F} \cdot \vec{s} = || F || \cdot ||s|| \cdot \cos(\angle \left( \vec{F}, \vec{s} \right))    \\ \)

Wenn der Weg nicht geradeaus ist, sondern entlang einer Kurve von s1 nach s2, müssen wir entlang dieser Kurve integrieren.

\( \Large W = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s} \\ \)

Das ist analog zur bereits besprochenen Länge so einer Kurve im Raum. Das hatten wir ja schon (siehe: Linienelement) erklärt:
Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Historische gesehen, war diese Definition der physikalischen Größe “Arbeit” ursprünglich umstritten: Decartes wollte Arbeit als Kraft mal Zeit definieren, aber die Definition als Kraft mal Weg von Leibniz hat sich durchgesetzt.

Arbeit kann in verschiedener Weise eingesetzt werden z.B. als Arbeit zur Bescheunigung eines Körpers oder als Arbeit zur Ortsveränderung in einem Kraftfeld oder …

Die physikalische Größe “Energie”

Die Energie in einem mechanischen System kann in Arbeit umgesetzt werden, bedeutet also eine Art “Arbeitsfähigkeit”…

Kinetische Energie

Die Kinetische Energie nennt man auch “Bewegungsenergie”, weil sie mit der Geschwindigkeit eines Massepunkts zusammenhängt.
Wenn ich einen Massepunkt von einer Anfangsgeschwindigkeit v=v0 (in einem Inertialsystem gemessen) durch Einwirkung einer konstanten Kraft (Größe und Richtung konstant) auf eine Endgeschwindigkeit v=v1 bringe, habe ich eine Arbeit geleistet, die nun in dem Massepunkt als sog. Kinetische Energie steckt.

Die Kraft war:  \(  F = m \cdot a \)

Der Weg war: \(  s = \frac{1}{2} a t^2 \)

Damit ist die geleistete Arbeit:

\( W = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot a^2 t^2 \\ \)

Wenn man nun einsetzt: v = a t erhält man:

\( W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Krafteinwirkung als “Kinetische Energie” in dem schneller bewegten Massepunkt. Beispiel: Eine geworfene Bowlingkugel enthält Kinetische Energie, die wir benutzen, um die Pins am Ende der Bahn umzustoßen.

Potentielle Energie

Die Potentielle Energie nennt man auch “Energie der Lage”. Damit ein Massepunkt seine Lage verändert, brauchen wir Kräfte, die auf den Massepunkt einwirken; denn ohne solche Kräfte verharrt der Massepunkt in Ruhe. Wenn an jedem Ort im Raum (Ortsvektor r) eine Kraft wirkt, sprechen wir von einem Kraftfeld F(r).

Die Frage ist nun, welche Arbeit (gegen dieses Kraftfeld) geleistet werden muss, um einen Massepunkt m von einem Punkt r1 zu einem Punkt r2 zu verschieben.
Wir nehmen dazu eine (glatte) Kurve α, die von r1 nach r2 führt; also beispielsweise α: [0,1] -> Rn  mit α(0) = r1 und α(1) = r2.

Die geleistete Arbeit ist dann ja Kraft mal Weg, aufsummiert über diese Kurve – als Integral:

\( \Large W_\alpha = \int_0^1 \vec{F}(\vec{r})  \cdot d\vec{r}  \\\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Ortsveränderung als “Potentielle Energie” in der neuen Lage des Massepunkts im Kraftfeld. Beispiel: Ein Stausee enthält viel Potentielle Energie, die man benutzen kann, um Strom (elektrische Energie) zu erzeugen.

Wenn diese Arbeit für alle Wege, die von r1 nach r2 führen, die gleiche ist, sprechen wir von einem konservativen Kraftfeld und können die physikalische Größe Potential definieren. Ein Beispiel für so ein konservatives Kraftfeld ist die Gravitation.

Die physikalische Größe “Wirkung”

Die physikalische Größe “Wirkung” (englisch: action) ist definiert als Arbeit, die entlang eines Weges in einer Zeitspanne geleistet wird.

Als Wirkung haben wir:

\(  \Large S = \int_a^b (E_{kin} – E_{pot}) dt  \)

 

Physik: Newtonsche Mechanik

Gehört zu: Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch: Gravitation, Potential, Algebren
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Newtons Gesetze

In der Newtonschen Mechanik wird “alles” durch die Wirkung von Kräften erklärt.

Aus der Schule kennen wir: Kraft = Masse mal Beschleunigung

Das bedeutet, dass wenn wir an einer Masse eine beschleunigte Bewegung messen, so erklären wir diese beschleunigte Bewegung als Wirkung einer Kraft, die sich wie oben errechnet.

Im SI-System ist dementsprechend die Maßeinheit für die physikalische Größe “Kraft” das Newton (1 Newton= 1 N = 1 kg m /s2).

Newton formulierte 1687 die bekannten drei “Gesetze”:

  1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.  “Trägheitsgesetz”
  2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: \( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)   “Aktionsprinzip”
  3. Kraft gleich Gegenkraft.   “Actio gleich Reactio”

Diese Gesetze bilden das Fundament der Klassischen Mechanik.

Das obige Newtonsche Aktionsprinzip wird auch Impulssatz genannt, weil der Impuls \(\vec{p}=m \cdot \vec{v}\) ist; also \( \vec{F} = \dot{\vec{p}}  \)

Diese drei Newtonschen Gesetze (auch Axiome genannt) gelten in sog. Inertialsystemen, das sind Bezugssysteme, die sich gradlining mit gleichbleibender Geschwindigkeit gegeneinander bewegen.
Besser definieren wir, dass ein Intertialsystem genau ein Bezugssystem ist, in dem diese drei Newtonschen Gesetze gelten. Alle gleichförmig (auch “ruhende”) und natürlich gradlinig dazu bewegten Bezugssysteme sind dann auch Intertialsysteme.

Der so definierte Kraftbegriff gilt relativ zu einem benutzten Bezugssystem. Da die Beschleunigung eines Körpers in allen Inertialsystemen gleich ist, ist auch die Kraft auf diesen Körper in allen Inertialsystemen gleich.
Sobald ich aber ein Nicht-Intertialsystem benutze (z.B. geradlinig beschleunigte oder rotierende Bezugssysteme), muss ich fürchterlich aufpassen. Dort beobachte ich Beschleunigungen, die in Inertialsystem gar nicht auftreten und denen man dann auch Kräfte zuordnet, die dann aber Scheinkräfte (Trägheitskräfte) genannt werden. Beispiel 1: (Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem): Andruck bei Bescheunigung im Auto auch bei Geradeausfahrt.
Beispiel 2: (Rotierendes Bezugsystem): Zentrifugalkraft, Corioliskraft.

Bewegungsgleichungen

Man möchte ja die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse beschreiben. Im Allgemeinen sucht man also:

Ortsvektor in Abhängigkeit von der Zeit: \( \vec{s}(t) \)
Geschwindigkeitsvektor in Abängigkeit von der Zeit:  \( \vec{v}(t) \)

Man findet diese beiden Funktionen als Lösung von sog. Bewegungsgleichungen, die z.B. diese äußeren Einflüsse beschreiben.

Beispiel: Freier Fall nach Newton

Der äußere Einfluss ist hier die Erdanziehung, die auf eine punktförmige Masse m eine Kraft \( \vec{F} = m \cdot \vec{g} \) ausübt; wobei wir die Gravitationsbeschleunigung \( \vec{g} \) idealisiert mit konstanter Größe und konstanter Richtung annehmen.

Die Fragestellung ist nun, wie sich ein Massepunkt, der zur Zeit t=0 die Anfangsbedingungen s(0)=0 und v(0)=0 erfüllt, in der Zeit weiter bewegt.
Die Bewegungsgleichung hierfür ist:  \( m \cdot \dot{\vec{v}}(t) = m \cdot \vec{g} \)

Die Lösung dieser Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration. Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergibt sich:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Neben der klassischen graphischen Darstellung dieser beiden Funktionen können wir auch einen sog. Phasenraum verwenden.

Anregungen hierzu habe von Stefan Müllers Youtube-Video  https://www.youtube.com/watch?v=Q0DiNWi_fcc  erhalten.

Energie und Lagrange

Man kann die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems auch durch den sog. Lagrange-Formalismus beschreiben. Dazu benutzt man die physikalischen Größen kinetische Energie und potentielle Energie.

Langrange-Funktion: \(\mathcal{L} = E_{kin} – E_{pot} \)

Um mit der Langrange-Funktion etwas zu machen, muss man sie als Funktion von Variablen (also Koordinaten) ausdrücken. Die kinetische Energie hängt klassischerweise von der Geschwindigkeit v ab. Die potentielle Energie hängt klassischerweise vom Ort r ab. Die Variablen (Koordinaten) der obigen Lagrange-Funktion wären dann also \(\mathcal{L}(v,r) \).

Wobei diese Lagrange-Funktion nur eine “Hilfsfunktion” ist und keine intrinsische physikalische Eigenschaft darstellt.

Zu der obigen Lagrange-Funktion erhält man die sog. Langrange-Gleichung (2. Art sagt man) als:

\(\Large \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = 0 \\ \)

Setzt man in die obige Langrange-Funktion die Ausdrücke für die kinetische und die potentielle Energie ein und bildet dann die für die Lagrange-Gleichung erforderlichen partiellen Ableitungen, so erhält man Bewegungsgleichungen, die man meist ganz einfach lösen kann.

Warum Lagrange?

Es wird gesagt, dass man mit dem Lagrange-Formalismus, kompliziertere Probleme der Kinematik leichter lösen kann als mit den Newtonschen Gleichungen.

Es werden dazu typischerweise sog. generalisierte Koordinaten verwendet, die die Lösung schon mal vereinfachen. Die generalisierten (oder verallgemeinerten) Koordinaten bilden in der theoretischen Mechanik einen minimalen Satz von unabhängigen Koordinaten zur eindeutigen Beschreibung des räumlichen Zustands des betrachteten Systems.  Diese werden so gewählt, dass die mathematische Formulierung von Bewegungen, möglichst einfach wird. Die generalisierten Orts-Koordinaten tragen  oft das Formelzeichen \(q_i\), dann sind \(\dot{q}_i\) sog. verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Durch geschickt gewählte verallgemeinerte Koordinaten kann man z.B. sog. “Zwangsbedingungen” von vorne herein und ohne zusätzliche Gleichungen mit einbauen.
Die minimale Anzahl der verallgemeinerten Orts-Koordinaten ist zugleich auch die Anzahl der sog. Freiheitsgrade des Systems.

Typische einfache Beispiele, an denen man den Lagrange-Formalismus Anfängern erklärt, sind: Freier Fall, Schiefe Ebene, Fadenpendel,…

Verwendung findet der Langrange-Formalismus z.B. in der Himmelsmechanik beim Mehrkörperproblem. Man kennt ja beim vereinfachten Dreikörperproblem die berühmten Lagrange-Punkte L1, L2 etc. wo ja gerne Raumsonden, wie Soho, hingeschickt werden.

Beispiel: Freier Fall mit Lagrange

Siehe dazu auch: https://www.youtube.com/watch?v=MIHlsj6kan4

Zur Beschreibung dieses ganz einfachen (eindimensionalen) mechanischen Versuchs benutzen wir als vereinfachte Orts-Koordinate s(t) mit s(0)=0 als Höhen-Koordinate in der Vertikalen in Richtung nach unten und dazu die vertikale Fallgeschwindigkeit v(t) mit v(0)=0.

Als potentielle und als kinetische Energie haben wir damit:

\( E_{pot} = – m \cdot s \cdot g \)   (wobei g die Erdbeschleunigung ist und s in der gleichen Richtung wie g laufen soll – wie das auch oben der Fall ist)
\( E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \)

und die Lagrange-Funktion dieses mechanischen Systems ist:

\( \mathcal{L}(v,s) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2  +  m \cdot s \cdot g \\ \)
Wir bilden also ersteinmal die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Geschwindigkeit v:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial v} = m \cdot v \\ \)

Dann bilden wir die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Ortskoordinate s:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial s} = m \cdot g \\  \)

Die Lagrange-Gleichung lautet damit also:

\(\Large \frac{d}{dt} (m \cdot v) – m \cdot g = 0 \\ \)

Was nichts anderes heisst als:

\( \Large m \cdot \dot{v} – m \cdot g = 0 \\\)

Was genau die gleiche Bewegungsgleichung ist, wie oben mit den klassischen Newton Axiomen. Also ist die Lösung dieser Bewegungsgleichung auch die gleiche wie oben:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Für diesen sehr einfachen Fall würde man die Lagrange-Methode sicher nicht bemühen; man sieht aber, wie sie im Prinzip abläuft.

Ausserdem gibt es noch Hamilton

Hamiltionfunktion: \(H = E_{kin} + E_{pot} \)

 

Computer: Mathematik – Algebren

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Vektorräume

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

\(  V \times V \to V \)

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abbildung wird “Produkt” (auch: Multiplikation) genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also:  a · b  oder einfach ab. In dieser Schreibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

\(   (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z  \\ \)
\(   x \cdot (y + z)  = x \cdot y + x \cdot z  \\ \)
\( a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\ \)

Dabei sind x,  y und z Vektoren aus V und a ein Skalar aus K.

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man  Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer \( a \cdot b  =  b \cdot a \) oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) oder nicht?

Beispiele für Algebren:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine assoziative Algebra.

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine nicht-assoziative Algebra.

Lie-Algebren

Bestimmte Algebren heissen “Lie-Algebren”, dort wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben und “Lie-Klammer” genannt.
Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten:

  • [x,x] = 0
  • [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 (“Jacobi-Identität”)

Beispiel für eine Lie-Algebra:

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine Lie-Algebra.

Kommutator

Im allgemeinen definiert man als Kommutator: [a,b] = ab – ba
So ein Kommutator kann in bestimmten Algebren als Lie-Klammer fungieren. Beispielsweise kann man aus der oben erwähnten Algebra der n x n Matrizen mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation eine Lie-Algebra machen, indem man den Kommutator der Matrixmultiplikation als Lie-Klammer nimmt.

Mathematik: Metrik, Abstand und Geometrie

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Krümmung, Vektorraum, Wirkung

Metrik, Abstand und Geometrie

Auf einer Menge M kann man eine Metrik definieren; dadurch dass man je zwei Punkten einen Abstand (relle Zahl >= Null) zuordnet.

d: M x M -> R

So eine Abstandsfunktion muss drei Axiome erfüllen, um Metrik genannt werden zu dürfen.

Oft ist den Beispielen die Menge M ein Vektorraum z.B. R2 oder R3.

Mit Hilfe einer solchen Metrik kann man eine ganze “Geometrie” definieren, also ein Regelwerk für Punkte, Geraden, Winkel, Dreiecke etc. Klassisch ist die Geometrie nach Euklid; andere Geometrien bezeichnet man als “Nicht-Euklidische Geometrie”…

Euklidische Geometrie

In der sog. Euklidischen Geometrie wird der Abstand im zweier Punkte im Raum (also die Metrik) durch den Satz des Pythagoras definiert.

Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwenden wir ein Koordinatensystem z.B.  im R3 eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse:

\( d((x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b)) = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2 – (z_b-z_a)^2} \\\  \)

Dieser Abstand ist auch die Länge der geraden Strecke zwischen den Punkten a und b.

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Wir können zeigen, dass diese Längendefinition für Kurven mit der Metrik für Punktabstäde im Euklidischen Raum überein stimmt (ohne Beschänkung der Allgemeinheit: t ∈ [0,1]):

\( \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} x_1 + (x_2-x_1) \cdot t \\\ y_1 + (y_2-y_1)\cdot t  \\\  z_1 + (z_2-z_1)\cdot t\end{array}\right)  \\\  \)

Die erste Ableitung ist:

\( \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} (x_2-x_1)  \\\ (y_2-y_1) \\\  (z_2-z_1) \end{array}\right)  \\\  \)

Die Norm der Ableitung ist dann:

\( || \alpha^\prime(t) || = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ \)

Wenn wir das in die obige Längendefinition einsetzen erhalten wir:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \int_0^1 dt  = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \\\ \)

Die Länge einer geraden Strecke ist also auch mit der allgemeinen Integral-Formel genauso wie nach Pythagoras oben.

Das Linienelement

Gerne verwendet man auch ein sog. Linienelement um eine Metrik zu definieren. Für die Euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum mit einem Chartesischen Koordinatensystem (x,y,z) haben wir das Linienelement:

\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\  \)

Was ergibt:

\( ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \\\  \)

Was für eine parametrisierte Kurve s: [a,b] -> R3 bedeutet:

\( \Large \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\  \)

Was als Kurvenlänge von t=a bis t=b ergibt:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt \\\  \)

Wenn man nun bedenkt dass:

\( s^\prime = \frac{ds}{dt} = \left( \begin{array}{c} \frac{dx}{dt}  \\\ \frac{dy}{dt} \\\  \frac{dz}{dt} \end{array}\right) \\\  \)

ist, ergibt sich die Norm zu:

\( || s^\prime || = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ \)

Eingesetzt ergibt das:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b || s^\prime || dt \\\ \)

was genau der ersten Definition (oben) entspricht.

Man kann auch zeigen, dass die so definierte Länge einer parametrisierten Kurve bei Umparametrisierungen der Kurve gleich bleibt.

Der metrische Tensor

Im allgemeinen Fall drücken wir das Linienelement in einem Koordinatensystem mithilfe des “metrischen Tensors” \(g_{\mu\nu}\) aus:

\( ds^2 = g_{\mu\nu} x^\mu x^\nu \\\ \)

Im Falle der Euklidischen Geometrie im R3 ist im Chartesischen Koordinatensystem der metrische Tensor:

\( g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Ein “Tensor” in diesem Sinne ist nichts anderes als eine (n x n)-Matrix für die man noch einige zusätzliche Regeln hat.

Weiterführende Anmerkungen

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie ART von Einstein, verändert die Anwesenheit von Materie den Raum, was auch “Gravitation” genannt wird.

Wir können das als eine Nicht-Euklidische Metrik verstehen, für die beispielsweise Karl Schwarzschild schon 1916 im vereinfachten Fall einer Kugelmasse (Schwarzes Loch) eine Formel gefunden hat.

Zu Veranschaulichung so einer Nicht-Euklidischen Metrik wird häufig von einer “Krümmung” der Raumzeit gesprochen. Diese “Krümmung” ist aber eigentlich nur eine andere Metrik, trotzdem stellt man sich die Abweichung von der herkömmlichen Euklidischen Metrik gern als “Krümmung” vor,

Da diese “Krümmung” (also Abweichung von der Euklidischen Metrik) aber nicht in eine weitere Dimension, sondern “in sich” d.h. als Stauchung bzw. Streckung erfolgt, würde ich gerne eine solche Abweichung durch ein Verbiegen des Koordinatengitters veranschaulichen. Also durch den optischen Vergleich der Koordinatengitter zweier Metriken.

GeoGebra Gitternetz

Schwarzschild-Metrik

Ich habe zum Thema Schwarzschild-Metrik einen eigenen Artikel geschrieben.

Schwarzschild behandelt ja das Gravitationsfeld einer Punktmasse bzw. einer homogenen kugelförmigen Masse. Zur Beschreibung eignen sich besonders gut Kugelkoordinaten; wobei die Winkel “Länge” und “Breite” wegen der Kugelsymmetrie uninteressant sind. Von Interesse ist nur noch die radiale Raum-Dimension r und die Zeit-Dimension t.

Das Linienelement in der radialen Dimension ist (für r > RS):

\( \Large d s^2 =  g_{rr} \cdot d r^2 = \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)

Mit dem Schwarzschild-Radius von:

\( \Large R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)
Anders als beim Euklidischen Linienelement ist hier der Vorfaktor grr (Element im Metrik-Tensor g) nicht mehr konstant, sondern seinerseits eine Funktion von r.

In dieser Metrik (Schwarzschild-Metrik) wäre also der Abstand von r1 bis r2 nicht r2 – r1 sondern größer; nämlich:

\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)

Dieses Integral habe ich kopiert aus: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrik

GeoGebra Blatt 2: ds/dr