Physik: Wirkung

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Linienelement, Lagrange

Die physikalische Größe “Wirkung”

Die physikalische Größe “Wirkung” (englisch: action) ist definiert als Arbeit, die entlang eines Weges in einer Zeitspanne geleistet wird.

Kurven im Raum

Die Länge einer Kurve im Raum hatten wir ja schon (siehe: Linienelement) erklärt:

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( \Large L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Energie

Arbeitsfähigkeit

Potentielle Energie

Nun soll sich eine Massepunkt auf einer solchen Kurve bewegen, aber wenn nichts dazu kommt, verharrt der Massepunkt in Ruhe.

Um den Massepunkt zu bewegen, brauchen wir also ein “Kraftfeld” V(x,t), das mit Kräften auf den Massepunkt einwirkt.

Kinetische Energie

xyz

Wirkung

Als Wirkung haben wir:

\(  \Large S = \int_a^b (E_{kin} – E_{pot}) dt  \)

 

Physik: Newtonsche Mechanik

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Gravitation, Algebren

Newtons Gesetze

In der Newtonschen Mechanik wird “alles” durch die Wirkung von Kräften erklärt.

Aus der Schule kennen wir: Kraft = Masse mal Beschleunigung

Das bedeutet, dass wenn wir an einer Masse eine beschleunigte Bewegung messen, so erklären wir diese beschleunigte Bewegung als Wirkung einer Kraft, die sich wie oben errechnet.

Im SI-System ist dementsprechend die Maßeinheit für die physikalische Größe “Kraft” das Newton (1 Newton= 1 N = 1 kg m /s2).

Newton formulierte 1687 die bekannten drei “Gesetze”:

  1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.  “Trägheitsgesetz”
  2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: \( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)   “Aktionsprinzip”
  3. Kraft gleich Gegenkraft.   “Actio gleich Reactio”

Diese Gesetze bilden das Fundament der Klassischen Mechanik.

Das obige Newtonsche Aktionsprinzip wird auch Impulssatz genannt, weil der Impuls \(\vec{p}=m \cdot \vec{v}\) ist; also \( \vec{F} = \dot{\vec{p}}  \)

Bewegungsgleichungen

Man möchte ja die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse beschreiben. Im Allgemeinen sucht man also:

Ortsvektor in Abhängigkeit von der Zeit: \( \vec{s}(t) \)
Geschwindigkeitsvektor in Abängigkeit von der Zeit:  \( \vec{v}(t) \)

Man findet diese beiden Funktionen als Lösung von sog. Bewegungsgleichungen, die z.B. diese äußeren Einflüsse beschreiben.

Beispiel: Freier Fall nach Newton

Der äußere Einfluss ist hier die Erdanziehung, die auf eine punktförmige Masse m eine Kraft \( \vec{F} = m \cdot \vec{g} \) ausübt; wobei wir die Gravitationsbeschleunigung \( \vec{g} \) idealisiert mit konstanter Größe und konstanter Richtung annehmen.

Die Fragestellung ist nun, wie sich ein Massepunkt, der zur Zeit t=0 die Anfangsbedingungen s(0)=0 und v(0)=0 erfüllt, in der Zeit weiter bewegt.
Die Bewegungsgleichung hierfür ist:  \( m \cdot \dot{\vec{v}}(t) = m \cdot \vec{g} \)

Die Lösung dieser Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration. Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergibt sich:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Neben der klassischen graphischen Darstellung dieser beiden Funktionen können wir auch einen sog. Phasenraum verwenden.

Anregungen hierzu habe von Stefan Müllers Youtube-Video  https://www.youtube.com/watch?v=Q0DiNWi_fcc  erhalten.

Energie und Lagrange

Man kann die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems auch durch den sog. Lagrange-Formalismus beschreiben. Dazu benutzt man die physikalischen Größen kinetische Energie und potentielle Energie.

Langrange-Funktion: \(\mathcal{L} = E_{kin} – E_{pot} \)

Um mit der Langrange-Funktion etwas zu machen, muss man sie als Funktion von Variablen (also Koordinaten) ausdrücken. Die kinetische Energie hängt klassischerweise von der Geschwindigkeit v ab. Die potentielle Energie hängt klassischerweise vom Ort r ab. Die Variablen (Koordinaten) der obigen Lagrange-Funktion wären dann also \(\mathcal{L}(v,r) \).

Wobei diese Lagrange-Funktion nur eine “Hilfsfunktion” ist und keine intrinsische physikalische Eigenschaft darstellt.

Zu der obigen Lagrange-Funktion erhält man die sog. Langrange-Gleichungen (2. Art sagt man) als:

\(\Large \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = 0 \)

Warum Lagrange?

Es wird gesagt, dass man mit dem Lagrange-Formalismus, kompliziertere Probleme der Kinematik leichter lösen kann als mit den Newtonschen Gleichungen.

Es werden dazu typischerweise sog. generalisierte Koordinaten verwendet, die die Lösung schon mal vereinfachen. Die generalisierten (oder verallgemeinerten) Koordinaten bilden in der theoretischen Mechanik einen minimalen Satz von unabhängigen Koordinaten zur eindeutigen Beschreibung des räumlichen Zustands des betrachteten Systems. Sie werden so gewählt, dass die mathematische Formulierung von Bewegungen, möglichst einfach wird. Die generalisierten Orts-Koordinaten tragen  oft das Formelzeichen \(q_i\), dann sind \(\dot{q}_i\) sog. verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Durch geschickt gewählte verallgemeinerte Koordinaten kann man z.B. sog. “Zwangsbedingungen” von vorne herein und ohne zusätzliche Gleichungen mit einbauen…

Typische einfache Beispiele, an denen man den Lagrange-Formalismus Anfängern erklärt sind: Freier Fall, Schiefe Ebene, Fadenpendel,…

Verwendung findet der Langrange-Formalismus z.B. in der Himmelsmechanik beim Mehrkörperproblem. Man kennt ja beim vereinfachten Dreikörperproblem die berühmten Lagrange-Punkte L1, L2 etc. wo ja gerne Raumsonden, wie Soho, hingeschickt werden.

Beispiel: Freier Fall mit Lagrange

Siehe dazu auch: https://www.youtube.com/watch?v=MIHlsj6kan4

Zur Beschreibung dieses ganz einfachen (eindimensionalen) mechanischen Versuchs benutzen wir als vereinfachte Orts-Koordinate s(t) mit s(0)=0 als Höhen-Koordinate in der Vertikalen in Richtung nach unten und dazu die vertikale Fallgeschwindigkeit v(t) mit v(0)=0.

Als potentielle und als kinetische Energie haben wir damit:

\( E_{pot} = – m \cdot s \cdot g \)   (wobei g die Erdbeschleunigung ist und s in der gleichen Richtung wie g laufen soll – wie das auch oben der Fall ist)
\( E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \)

und die Lagrange-Funktion dieses mechanischen Systems ist:

\( \mathcal{L}(v,s) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2  +  m \cdot s \cdot g \\ \)
Wir bilden also ersteinmal die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Geschwindigkeit v:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial v} = m \cdot v \\ \)

Dann bilden wir die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Ortskoordinate s:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial s} = m \cdot g \\  \)

Die Lagrange-Gleichung lautet damit also:

\(\Large \frac{d}{dt} (m \cdot v) – m \cdot g = 0 \\ \)

Was nichts anderes heisst als:

\( \Large m \cdot \dot{v} – m \cdot g = 0 \\\)

Was genau die gleiche Bewegungsgleichung ist, wie oben mit den klassischen Newton Axiomen. Also ist die Lösung dieser Bewegungsgleichung auch die gleiche wie oben:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Für diesen sehr einfachen Fall würde man die Lagrange-Methode sicher nicht bemühen; man sieht aber, wie sie im Prinzip abläuft.

Ausserdem gibt es noch Hamilton

Hamiltionfunktion: \(H = E_{kin} + E_{pot} \)

 

Computer: Mathematik – Algebren

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Vektorräume

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

\(  V \times V \to V \)

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abbildung wird “Produkt” (auch: Multiplikation) genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also:  a · b  oder einfach ab. In dieser Schreibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

\(   (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z  \\ \)
\(   x \cdot (y + z)  = x \cdot y + x \cdot z  \\ \)
\( a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\ \)

Dabei sind x,  y und z Vektoren aus V und a ein Skalar aus K.

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man  Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer \( a \cdot b  =  b \cdot a \) oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) oder nicht?

Beispiele für Algebren:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine assoziative Algebra.

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine nicht-assoziative Algebra.

Lie-Algebren

Bestimmte Algebren heissen “Lie-Algebren”, dort wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben und “Lie-Klammer” genannt.
Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten:

  • [x,x] = 0
  • [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 (“Jacobi-Identität”)

Beispiel für eine Lie-Algebra:

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine Lie-Algebra.

Kommutator

Im allgemeinen definiert man als Kommutator: [a,b] = ab – ba
So ein Kommutator kann in bestimmten Algebren als Lie-Klammer fungieren. Beispielsweise kann man aus der oben erwähnten Algebra der n x n Matrizen mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation eine Lie-Algebra machen, indem man den Kommutator der Matrixmultiplikation als Lie-Klammer nimmt.

Mathematik: Metrik, Abstand und Geometrie

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Krümmung, Vektorraum, Wirkung

Metrik, Abstand und Geometrie

Auf einer Menge M kann man eine Metrik definieren; dadurch dass man je zwei Punkten einen Abstand (relle Zahl >= Null) zuordnet.

d: M x M -> R

So eine Abstandsfunktion muss drei Axiome erfüllen, um Metrik genannt werden zu dürfen.

Oft ist den Beispielen die Menge M ein Vektorraum z.B. R2 oder R3.

Mit Hilfe einer solchen Metrik kann man eine ganze “Geometrie” definieren, also ein Regelwerk für Punkte, Geraden, Winkel, Dreiecke etc. Klassisch ist die Geometrie nach Euklid; andere Geometrien bezeichnet man als “Nicht-Euklidische Geometrie”…

Euklidische Geometrie

In der sog. Euklidischen Geometrie wird der Abstand im zweier Punkte im Raum (also die Metrik) durch den Satz des Pythagoras definiert.

Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwenden wir ein Koordinatensystem z.B.  im R3 eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse:

\( d((x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b)) = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2 – (z_b-z_a)^2} \\\  \)

Dieser Abstand ist auch die Länge der geraden Strecke zwischen den Punkten a und b.

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Wir können zeigen, dass diese Längendefinition für Kurven mit der Metrik für Punktabstäde im Euklidischen Raum überein stimmt (ohne Beschänkung der Allgemeinheit: t ∈ [0,1]):

\( \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} x_1 + (x_2-x_1) \cdot t \\\ y_1 + (y_2-y_1)\cdot t  \\\  z_1 + (z_2-z_1)\cdot t\end{array}\right)  \\\  \)

Die erste Ableitung ist:

\( \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} (x_2-x_1)  \\\ (y_2-y_1) \\\  (z_2-z_1) \end{array}\right)  \\\  \)

Die Norm der Ableitung ist dann:

\( || \alpha^\prime(t) || = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ \)

Wenn wir das in die obige Längendefinition einsetzen erhalten wir:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \int_0^1 dt  = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \\\ \)

Die Länge einer geraden Strecke ist also auch mit der allgemeinen Integral-Formel genauso wie nach Pythagoras oben.

Das Linienelement

Gerne verwendet man auch ein sog. Linienelement um eine Metrik zu definieren. Für die Euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum mit einem Chartesischen Koordinatensystem (x,y,z) haben wir das Linienelement:

\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\  \)

Was ergibt:

\( ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \\\  \)

Was für eine parametrisierte Kurve s: [a,b] -> R3 bedeutet:

\( \Large \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\  \)

Was als Kurvenlänge von t=a bis t=b ergibt:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt \\\  \)

Wenn man nun bedenkt dass:

\( s^\prime = \frac{ds}{dt} = \left( \begin{array}{c} \frac{dx}{dt}  \\\ \frac{dy}{dt} \\\  \frac{dz}{dt} \end{array}\right) \\\  \)

ist, ergibt sich die Norm zu:

\( || s^\prime || = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ \)

Eingesetzt ergibt das:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b || s^\prime || dt \\\ \)

was genau der ersten Definition (oben) entspricht.

Man kann auch zeigen, dass die so definierte Länge einer parametrisierten Kurve bei Umparametrisierungen der Kurve gleich bleibt.

Der metrische Tensor

Im allgemeinen Fall drücken wir das Linienelement in einem Koordinatensystem mithilfe des “metrischen Tensors” \(g_{\mu\nu}\) aus:

\( ds^2 = g_{\mu\nu} x^\mu x^\nu \\\ \)

Im Falle der Euklidischen Geometrie im R3 ist im Chartesischen Koordinatensystem der metrische Tensor:

\( g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Ein “Tensor” in diesem Sinne ist nichts anderes als eine (n x n)-Matrix für die man noch einige zusätzliche Regeln hat.

Weiterführende Anmerkungen

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie ART von Einstein, verändert die Anwesenheit von Materie den Raum, was auch “Gravitation” genannt wird.

Wir können das als eine Nicht-Euklidische Metrik verstehen, für die beispielsweise Karl Schwarzschild schon 1916 im vereinfachten Fall einer Kugelmasse (Schwarzes Loch) eine Formel gefunden hat.

Zu Veranschaulichung so einer Nicht-Euklidischen Metrik wird häufig von einer “Krümmung” der Raumzeit gesprochen. Diese “Krümmung” ist aber eigentlich nur eine andere Metrik, trotzdem stellt man sich die Abweichung von der herkömmlichen Euklidischen Metrik gern als “Krümmung” vor,

Da diese “Krümmung” (also Abweichung von der Euklidischen Metrik) aber nicht in eine weitere Dimension, sondern “in sich” d.h. als Stauchung bzw. Streckung erfolgt, würde ich gerne eine solche Abweichung durch ein Verbiegen des Koordinatengitters veranschaulichen. Also durch den optischen Vergleich der Koordinatengitter zweier Metriken.

GeoGebra Gitternetz

Schwarzschild-Metrik

Ich habe zum Thema Schwarzschild-Metrik einen eigenen Artikel geschrieben.

Schwarzschild behandelt ja das Gravitationsfeld einer Punktmasse bzw. einer homogenen kugelförmigen Masse. Zur Beschreibung eignen sich besonders gut Kugelkoordinaten; wobei die Winkel “Länge” und “Breite” wegen der Kugelsymmetrie uninteressant sind. Von Interesse ist nur noch die radiale Raum-Dimension r und die Zeit-Dimension t.

Das Linienelement in der radialen Dimension ist (für r > RS):

\( \Large d s^2 =  g_{rr} \cdot d r^2 = \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)

Mit dem Schwarzschild-Radius von:

\( \Large R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)
Anders als beim Euklidischen Linienelement ist hier der Vorfaktor grr (Element im Metrik-Tensor g) nicht mehr konstant, sondern seinerseits eine Funktion von r.

In dieser Metrik (Schwarzschild-Metrik) wäre also der Abstand von r1 bis r2 nicht r2 – r1 sondern größer; nämlich:

\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)

Dieses Integral habe ich kopiert aus: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrik

GeoGebra Blatt 2: ds/dr

 

Physik: Krümmung der Raumzeit

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum, Gravitation, Schwarze Löcher

Krümmung der Raumzeit

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) basiert auf dem Postulat der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung.

Aus diesem Äquivalenzprinzip ergibt sich die Lichtablenkung in Gravitationsfeldern.

Wenn man trotzdem davon ausgehen möchte, dass das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, muss die Gravitation den Raum (besser die Raumzeit) entsprechend krümmen, sodaß eine Metrik entsteht bei der der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten nicht unbedingt die Euklidische gerade Linie ist.

Wir wollen hier zunächsteinmal den Begriff der “Krümmung” ganz allgemein diskutieren.

Krümmung bei Euklidischer Metrik

Unter der Krümmung eines geometrischen Objekts versteht man die Abweichung von einem geraden Verlauf; dazu bedarf es (mindestens) einer weiteren Dimension in die die Krümmung verläuft oder der Begriff “gerade” muss umdefiniert (siehe: Nicht-Euklidisch) werden.

Wir betrachten eine Gerade. Solange sie wirklich geradeaus verläuft ist sie nicht gekrümmt. Wenn sie eine Kurve nach links (oder rechts) macht, haben wir eine Krümmung – und wir brauchen dafür (mindestens) eine zweite Dimension. Die Stärke der Krümmung kann mehr oder weniger sanft oder kräftiger sein. Wir messen die Stärke der Krümmung an einer Stelle durch einen sog. Krümmungskreis. Das ist ein Kreis, der sich in dem betrachteten Punkt am besten an die Kurve anschmiegt. Ein großer Krümmungskreis bedeutet eine kleine Krümmung ein kleiner Krümmungskrei ein starke Krümmung. Der Kehrwert des Radius ist das Maß für die Krümmungsstärke.

Die andere Frage ist, welche geometrischen Objekte sind es, die da “gekrümmt” werden?  Im einfachsten Fall ist es eine eindimensionale Linie in einer zweidimensionalen Ebene; also z.B. ein Funktionsgraph oder eine sog. Kurve. Kurven sind in diesem Zusammenhang sehr interessant als Teilmenge eines Vektorraums, die durch eine Abbildung von einem reellen Intervall in den Vektorraum  als sog. “parametrisierte” Kurve dargestellt werden kann. Das “Umparametrisieren” ist dann eine Äquivalenzrelation zwischen parametrisierten Kurven. Eine “Kurve” kann dann als Äquivalenzklasse solcher parametrisierten Kurven verstanden werden. Als Repräsentant einer Äquivalenzklasse nimmt man dann gerne eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve.

Wenn wir uns mit Kurven beschäftigen und speziell dann mit der Länge einer Kurve oder der Krümmung von Kurven, haben wir es mit Differentialgeometrie zu tun.
Dazu gibt es eine Reihe von sehr schönen Youtube-Videos:

Schritt 1: Krümmung einer Linie in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt ein Funktionsgraph von beispielsweise y = f(x) in der Ebene ist, können wir die Krümmung leicht berechnen:

Für eine zweimal differenzierbare Funktion  y = f(x) ergibt sich der Krümmungsradius an einem Punkt x zu:

\( \Large  r(x) = \left\vert \frac{(1+(f^\prime(x))^2)^\frac{3}{2}}{f^{\prime\prime}(x)} \right\vert  \)

Als Beispiel nehmen wir mal eine Parabel f(x) = 0,5 * x2
Dazu haben wir die Ableitungen:
f(x) = x
f(x) = 1
Der Krümmungsradius beispielsweise am Punkt x0 = 0 beträgt dann laut obiger Formel:

\( \Large r(x_0) = \frac{(1+{x_0}^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 1 \\\ \)

Und zur Probe nehmen wir noch x=1:

\( \Large r(1) = \frac{(1+1^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 2^\frac{3}{2} = 2 \sqrt{2} \)

Dieses Beispiel habe ich entnommen aus https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/kurveneigenschaften-im-ebenen-raum/kruemmung/kruemmungsradius.html
Es wird grafisch veranschaulicht durch:

Schritt 2: Krümmung einer Kurve in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt eine “richtige” Kurve in der Ebene ist, wird die Krümmung anders berechnet.

Als “richtige” Kurve (in der Ebene) betrachten wir von der obigen Parabel das Kurvenstück von x=-1 bis x=1. Als Parametrisierte Kurve, wobei der Parameter t auch von -1 bis 1 laufen möge, (was wir uns z.B. als Zeit vorstellen könnten) sieht das dann so aus:

\( \Large \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} t \\\ \frac{1}{2}t^2  \end{array}\right)  \\\  \)

Um die Krümmung zu brechnen ermitteln wir zuerst:

\( \Large \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ t  \end{array}\right)  \)

womit dann:

\( \Large ||\alpha^\prime(t)||^2 =  1 +  t^2   \\\  \)

und mit:

\( \Large \alpha^{\prime\prime}(t) = \left( \begin{array}{c}  0 \\\ 1  \end{array}\right)  \)

ergibt sich:

\( \Large det(\alpha^\prime(t), \alpha^{\prime\prime}(t)) = 1  \\\ \)

und damit ergibt sich dann die Krümmung zu:

\( \Large \kappa_\alpha(t) = \frac{1}{(1 + t^2 )^\frac{3}{2}}  \)

Bei t=0 ist dann die Krümmung:

\( \Large \kappa_\alpha(0) = 1 \\\  \)

und zur Probe nehmen wir noch t=1:

\( \Large \kappa_\alpha(1) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\\ \)

Weil t=x ist, stimmt das mit den Berechnungen des Krümmungsradius (s.o. Schritt 1) exakt überein.

Schritt 3: Krümmung einer Fläche im Raum

Analog können wir uns gekrümmte Flächen im Raum vorstellen. Hier kann allerdings der Krümmungsradius in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sein. Inetwa so die wir das von einem Gradienten kennen.

Auch in diesem Fall stellen wir uns das ganz klassisch geometrisch vor als Krümmung in eine weitere Dimension.

Krümmung per Nicht-Euklidischer Metrik

In der Allgemenen Relativitätstheorie spricht man auch von “Krümmung” z.B. Krümmung des Raumes oder Krümmung der Raumzeit.

Hier basiert die “Krümmung” nicht auf einer zusätzlichen Dimension, sondern auf einer speziellen Metrik in ein und demselben Raum. Unter “Metrik” versteht man ja eine Vorschrift, die zwei Punkten in dem betreffenden Raum einen Abstand zuordnet.  So eine Metrik definiert dann auch automatische die Längen von Linien…

Geodätische Linie

Die Linie, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten bildet, nennt man Geodät oder auch Geodätische LInie. Auf der Erdoberfläche kennen wir das z.B. bei der Seefahrt oder Luftfahrt wenn wir beispielsweise die Flugroute von London nach Los Angeles betrachten:

Geodätische LInie Moskau - Los Angeles

Das Licht läuft immer auf einer Geodäte, nimmt also die kürzeste Verbindung. Das kann “gekrümmt” aussehen…

Krümmung ohne zusätzliche Dimension

Für eine solche Krümmung benötigen wir aber nicht zwingend eine zusätzliche Dimension. Die Krümmung kann auch “in sich” durch andere Abstandsgesetze (= Metriken) bewirkt werden.
Siehe Schwarzschild-Metrik

 

Physik: Magnetisches Feld

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elektrisches Feld, Vektorraum, SI-Einheiten

Das Magnetische Feld

Analogie zum Elektrischen Feld

Schon seit Jahrhunderten kennt man den Kompass, dessen Magnetnadel sich in die Richtung des Magnetfeldes der Erde ausrichtet.

Ein “Magnet” erzeugt ein Magnetfeld. Wenn ich in ein solches Magnetfeld einen kleinen “Probemagneten” einbringe, so übt das magnetische Feld eine magnetische Kraft auf diesn kelinen “Probemagneten” aus…
Dann hätte man in Analogie zum elektrischen Feld:

Magnetische Feldstärke = Magnetische Kraft /  Magnetische Probeladung

Magnetfelder können verursacht werden durch:

  • magnetische Materialien, etwa einen Dauermagneten,
  • elektrische Ströme, z. B. eine stromdurchflossene Spule oder
  • zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes.

Die Definition eines magnetischen Feldes \( \vec{B} \) kann man durch folgende Formel erreichen:

\( \vec{F} = q \cdot \vec{v} \times \vec{B} \)

Dabei bewegt sich eine elektrische Ladung (q) mit der Geschwindigkeit \( \vec{v} \) und erfährt eine Kraft von \( \vec{F} \), die durch das Magnetfeld \( \vec{B} \) hervorgerufen wird.

Historisch gesehen gibt es den Begriff der “Feldstärke” beim Magnetfeld nicht. Wir haben aber eine Größe “Magnetische Flußdichte”, die soetwas ähnliches ist.

Eine besonders einfache Situation ist ein gerader elektrischer Leiter, der von einem konstanten elektrischen Strom durchflossen wird – das wurde schon von Hans Christian Oersted (1777-1851) untersucht. Für einen Strom der Stärke I durch den Leiter bekommen wir im Abstand r ein Magnetfeld von:

\( \vec{B} = \Large \frac{\mu \cdot I}{2 \pi \cdot r} \)

Fragen / Probleme

  • in welchen Masseinheiten misst man ein Magnetfeld  (Tesla, Gauß,…) ?
  • Eigentlich haben wir nur magnetische Dipole

Die sog. Lorentzkraft – Elektromagnetismus

Auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte elektrische Ladung q wirkt im elektromagnetischen Feld eine Kraft. Für diese sog. Lorentzkraft haben wir die Formel:

\( \vec{F} = q \cdot (\vec{E} + (\vec{v} \times \vec{B})) \)

Wo bei E die elektrische Feldstärke und B die magnetische Feldstärke (historisch: Flussdichte) sind.

Und dann gibt es noch einen Dynamo und ein Induktionsgesetz….

 

 

Physik: Elektrostatik – Elektrisches Feld – Coulomb

Gehört zu Physik
Siehe auch: Gravitation, Magnetisches Feld, Vektoren, SI-System

Elektrostatik: Elektrisches Feld

In der Elektrostatik werden ruhende und zeitlich unveränderliche Elektrische Felder beschrieben.

Die physikalische Größe elektrische Feldstärke (E) beschreibt die Stärke und Richtung eines elektrischen Feldes, also die Fähigkeit dieses Feldes, Kraft (F) auf Ladungen (q) auszuüben. Sie ist ein Vektor und ist in einem gegebenen Punkt definiert durch:

\( \Large \vec{E} =  \frac{\vec{F}}{q} \\\ \)

Die Maßeinheit der Elektrische Feldstärke ist also Newton / Coulomb, was das Gleiche ist wie V / m.

Analogie: Gravitationsfeld

Analog müssten wir für das Gravitationsfeld einer Punktmasse M die Gravitationskraft (F) durch die “Probemasse” m dividieren, um die “Gravitationsfeldstärke” g zu erhalten:

\( \Large \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = G \frac{M}{r^2} \\\ \)  (in radialer Richtung)

Diese “Gravitationsfeldstärke” wird aus historischen Gründen “Gravitationsbeschleunigung” genannt.

Analogie: Magnetisches Feld

Auch beim Magnetismus stellt man sich ein Kraftfeld vor: das Magnetische Feld

Elektrostatik: Coulombsches Gesetz

Das Elektrische Feld einer Punktladung q ist:

\( \Large E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \\\ \) (in radialer Richtung)

Daraus ergibt sich das sog. Coulombsche Gesetz für die Anziehungskraft zweier elektrischer Ladungen:

\( \Large F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \\\ \)

Elektrostatische Kraft im Wasserstoffatom

Link: https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/aufgabe/elektrische-kraefte-im-wasserstoffatom

Wobei im Wasserstoffatom gilt:

  • Elektrische Ladung eines Elektrons: \( q_e = -1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Elektrische Ladung eines Protons: \( q_p = +1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Masse eines Elektrons: \( m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} kg \)
  • Angenommene Entfernung Proton-Elektron: \( r = 5.29 \cdot 10^{-11} m  \)  (Bohrscher Radius)

Damit errechnet sich die elektrische Anziehungskraft zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom (unter Vernachlässigung anderer Kräfte) zu:

\( \Large F = \frac{1}{4 \cdot 3.1415 \cdot 8.8541 \cdot 10^{-12}}   \cdot \frac{1.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-38}}{5.29^2 \cdot 10^{-22}}  N \\\ \)

Ausgerechnet:

\( \Large F = \frac{1}{111.2639 \cdot 10^{-12}}   \cdot   0.0914805 \cdot 10^{-16}   N  \)

Weiter gerechnet:

\( \Large F = \frac{ 0.0914805}{111.2639}  \cdot 10^{-4}   N = 0.0008221939 \cdot 10^{-4} N = 8.221939 \cdot 10^{-8} N \)

Kreisbahn im Wasserstoffatom

Für eine Kreisbahn ist eine Zentripedalkraft in gleicher Höhe wie die zentrale Anziehungskraft erforderlich.  Bei einer Bahngeschwindigkeit von v und einem Bahnradius von r ist die Zentripedalkraft:

\( \Large F = \frac{m \cdot v^2}{r} = 8.221939 \cdot 10^{-8}N \)

Also

\( \Large v =\sqrt{\frac{8.221939 \cdot 5.29 \cdot 10^{-19}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} m/s = \sqrt{4.779568 \cdot 10^{12}} m/s = 2.186222 \cdot 10^6 m/s \)

Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

Im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit von 299792 km/s = 2.99792 · 108 m/s sind das ca. 0,73% also noch nicht “relativistisch”.

Das Problem dieses “simplen” Atommodells ist also nicht, dass die (theoretische) Bahngeschwindigkeit des Elektrons zu schnell sein müssste; verglichen zur Lichtgeschwindigkeit, sondern das Problem liegt darin, dass ein bewegtes (und beschleunigtes) Elektron ein Magnetfeld abstrahlen müsste und damit laufend Energie verlieren würde.

 

Mathematik: Data Science

Gehört zu: Mathematik

Ein neues Buzzword: Data Science

Öfters habe ich schon Vorlesungen auf dem Youtube-Kanal von Prof. Dr. Weitz von der Hamburger Hochschule für Angewandte Wissenschaften (“HAW” – früher: Fachhochschule Berliner Tor) gehört.

Er arbeitet da mit Computer-Software wie:

  • MATLAB
  • Mathematica, was sehr teuer ist. Kann CDF-Dateien erzeugen, die mit einem CDF Player abgespielt werden können
  • jupyter: Link https://jupyter.org/
  • SymPy: Link https://www.sympy.org/en/index.html
  • GeoGebra Link: https://www.geogebra.org/?lang=de
  • WolframAlpha Link: https://www.wolframalpha.com/
  • p5.js Link: https://editor.p5js.org/
  • Anaconda (zum Installieren von Paketen etc.) Link: LInk: https://www.anaconda.com/individual-tutorial?source=win_installer

und anderen.

Herr Weitz unterscheidet sog. Computer Algebra Systeme (abgekürzt CAS) von Numerischen Systemen…

Als Programmiersprache kommt man wohl an JavaScript nicht vorbei, das sich in den letzten Jahren enorm weiterentwickelt hat: z.B. https://eloquentjavascript.net/Eloquent_JavaScript.pdf

 

 

Physik: Wellengleichung

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Von Phythagoras bis Einstein

D’Alembert

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

\(\Large  \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} – \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_i} = 0 \)

für eine reelle Funktion u (t, x1, x2,…,xn) der Raumzeit.

Hierbei bedeutet u die Auslenkung der Welle zur Zeit t am Ort x=(x1, x2,…,xn) und  n die Dimension des Raumes.
Der Parameter c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.

Eine einfache Lösung der Wellengleichung im eindimensionalen Raum (also n=1) ist beispielsweise:   u(t,x) = sin(x + ct)

Stehende Wellen

Ein wichtiger Spezialfall sind sog. “Stehende Wellen”. Sie haben Knoten und Bäuche.

An einem festen Ende ist immer ein Knoten (Auslenkung Null) und an einem offenen Ende ist immer das Maximum eines Bauches.

Betrachten wir zwei feste Enden, so ist für die Gundschwingung: \( \frac{\lambda}{2} = L  \) und die Oberschwingungen ungerade Vielfache von lambda/2.

Weiterführendes

Stehende Wellen spielen eine Rolle

  • beim Planck’schen Strahlungsgesetz
  • bei den Bahnen von Elektronen um den Atomkern (sog. Orbitale)

Physik: Thermodynamik – Wärmelehre

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenmechanik, Physikalische Größen

Die Thermodynamik

Die Thermodynamik oder Wärmelehre ist eine natur- und ingenieurwissenschaftliche Disziplin. Sie hat ihren Ursprung im Studium der Dampfmaschinen und ging der Frage nach, wie man Wärme in mechanische Arbeit umwandeln kann.

In der Thermodynamik (=Wärmelehre) werden wir erstmals irreversible Prozesse sehen. So etwas gab es in der klassischen Mechanik nicht.

Es gibt zwei Ansätze in der Thermodynamik: die statistische Sicht und die Phänomenologische.  Statistisch werden ganz viele “mikroskopische” Prozesse verhandelt – Phänomenologisch geht es um die nach außen sichtbaren “makroskopischen” Prozesse.  Die physikalische Größe “Temperatur” wird in der Therrmodynamik neu in die Physik eingeführt und ist eben eine “makroskopische” Größe.

Links:

Stichworte:

  • Wärme, Temperatur, Entropie
  • Ideales Gas
  • Irreversible Prozesse
  • Perpetuum mobile
  • Dampfmaschine
  • Gleichgewicht
  • Freiheitsgrade

Ideale Gase

Sind hinreichend verdünnte Gase, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen kleinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.

Zustandsgleichung für ideale Gase:

\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T  \)

Wobei R die allgemeine Gaskonstante (8,31 * 103 Joule/(kmol*Kelvin)) ist und n die Stoffmenge (messen wir in kilo-mol) ist.
Interessant dabei ist, das dies unabhängig von der Art des gases ist – also Helium, Stickstoff etc.  Es muß einfach nur ein “ideales Gas” sein.

Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.

Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von der Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine besondere Form des Energieerhaltungssatzes der Mechanik. … In Worten bedeutet dies: Die Änderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems ist gleich der Summe der Änderung der Wärme und der Änderung der Arbeit.

Zweiter Haupsatz der Thermodynamik

Vorzugsrichtung von Prozessen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Formulierung von Clausius lautet: „Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.

So etwas wird auch gerne durch den Begriff der Entropie formuliert.

Boltzmann

Der österreichische Physiker Ludwig Bolzmann (1844-1906) beschreibt mit seiner “Boltzmann-Gleichung” die Dynamik eines idealen Gases.

als:

Die Boltzmann-Konstante

Thermisches Gleichgewicht