Mathematik: Koordinatensysteme

Gehört zu: Tensoren
Siehe auch: Metrik-Tensor, Astronomische Koordinatensysteme
Benutzt: Latex-Plugin

Stand: 13.11.2021

Koordinatensysteme in Riemanschen Mannigfaltigkeiten

Koordinatensysteme spielen u.a. in sog. Riemanschen Manigfaltigkeiten eine Rolle.

Man hat eine Punktmenge M (Topologischer Raum?) und ordnet jedem Punkt ein-ein-deutig ein n-Tupel von Koordinaten zu. Dann kann man statt der Punkte über diese n-Tupel (also die n Koordinaten) sprechen.
So eine Koordinate ist im einfachsten Fall eine reelle Zahl, dann sind die Koodinaten also n-Tupel reeller Zahlen, also Elemente aus dem \( \mathbb{R}^n \). Im allgemeinen Fall nehmen wir für die Koordinaten einen Körper.

Wir hätten also eine ein-ein-deutige (d.h. bijektive) Abbildung zwischen Punkten und n-Tupeln:

\( M \to \mathbb{R}^n \)

Chartesische Koordinaten

Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) habe wir ja die klasssichen Chartesischen Koordinaten mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…

Krummlinige Koordinaten

Bei nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Typische Beispiele für krummlinige Koordinaten sind z.B.

  • Ebene Polarkoordinaten
  • Kugel-Koordinaten
  • Zylinder-Koordinaten

Kurven und Tangenten

Eine Kurve in einer Riemanschen Manigfaltigkeit M wird gegeben durch eine Abbildung von einem reellen Intervall auf Punkte in die Riemansche Manigfaltigkeit. Man nennt so eine Abbildung auch eine Parameterdarstellung der Kurve.

Den Parameter aus einem reellen Intervall können wir schreiben als: \( t \in [t_a, t_e] \)

Die Abbildung ist dann:

\( [t_a, t_e] \to M \\\)

Wir haben also zu jedem Parameterwert \( t \in [t_a, t_e] \) einen Punkt aus der Riemannschen Manigfaltigkeit M.

Wenn wir den Punkt durch seine Koordinaten \( \left(q^i\right) \) ausdrücken, ist die  Kurve also eine Abblidung:

\( [t_a, t_e] \to \mathbb{R}^n \\\)

Wo also die Koordinaten qi eine Funktion des Parameters t sind: \( q^i = q^i(t) \)

Wenn die Kurve differenzierbar ist (also die Koordinaten der Parameterdarstellung), hat die Kurve auch Tangentenvektoren:

\(\vec{T}(t) = \left(T^i(t)\right) = \Large \left(\frac{dq^i}{dt} \right) \)

Die Kurve selbst liegt in der Riemanschen Manigfaltigkeit; der Tangentenvektor aber nicht, er ist an die Riemannsche Mannigfaltigkeit sozusagen “angeheftet”.

Die Tangentenvektoren liegen in einem eigenen Vektorraum…

Koordinatenlinien

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem erhält man eine Koordinatenlinie indem man n-1 Koordinaten festhält und genau eine Koordinate als Parameter laufen lässt.
So eine Koordinatenlinie kann man als (unendliche) Kurve auffassen.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right)\) gehen dann n Koordinatenlinien: \( L_j\) mit \( j=1, 2,\ldots, n \).

Die Koordinatenlinie \( L_j\)  hat den Parameter \( t = q^j \) und die Werte:

\( q^i(t) = p^i \enspace (\text{falls } i \neq j)  \)
\( q^i(t) = t \enspace (\text{falls } i = j)  \)

Schöneres Latex:

\( q^i(t) = \left \{  \begin{array}{ll}   p^i & \text{falls } i \neq j \\ t & \text{falls } i = j \\    \end{array} \right. \)

Koordinaten-Hyperflächen

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem bekommt man Koordinaten-Hyperflächen in dem man genau eine Koordinate festhält und alle anderen laufen lässt.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right) \)  gehen dann n Koordinaten-Hyperflächen.

So eine Koordinaten-Hyperfläche kann man als sog. Teil-Mannigfaltigkeit auffassen.

Astronomische Koodinatensysteme

Hierzu habe ich einen eigenen Artikel Astronomische Koordinatensysteme geschrieben.

Mathematik: Der Metrik-Tensor

Gehört zu: Vektoranalysis
Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie, Koordinatensysteme, Vektorbasis, Tensoren, Gekrümmter Raum

Der Metrik-Tensor

Stand: 26.10.2021

Youtube-Videos von Prof. Paul Wagner:

Wir betrachten eine Riemansche Manigfaltigkeit; d.h. eine Punktmenge mit einem Koordinatensystem. Zu so einem Koordinatensystem, gehört ein Metrik-Tensor, der uns auch ein Linienelement definiert und damit so etwas wie eine Metrik.

Wir kommen aber nicht in einem Schritt von einem Koordinatensystem zu einem Metrik-Tensor, sondern betrachten zunächst, wie ein Koordinatensystem eine Vektorbasis definiert. Zu so einer Vektorbasis haben wir dann einen Metrik-Tensor.

Schlussendlich wollen wir ja Vektorfelder beschreiben. Dabei handelt es sich ja um eine Abbildung von Raumpunkten auf Vektoren. Dabei wird der Raumpunkt durch seine Koordinaten im Koordinatensystem und der Vektor durch seine Komponenten bezügliche “seiner” Vektorbasis beschieben. Wenn wir dann beispielsweise die Veränderung eines Vektors bei kleinen Veränderungen des Raumpunkts untersuchen, müssen wir nicht nur die Veränderung der Vektorkomponenten, sondern ggf. auch die Veränderung der Basisvektoren berücksichtigen, da die Basisvektoren ja im Allgemeinen (z.B. bei krummlinigen Koodinaten) auch vom Ort im Raum abhängig sein werden.
Das wird uns dann zur sog. Kontravarianten Ableitung führen.

Koordinatensystem und Vektorbasis

Zu einem Koordinatensystem bekommmen wir nämlich zwei möglicherweise verschiedene Vektorbasen:

1) Die Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien: sog. kovariante Basis

2) Die Basisvektoren stehen normal (senkrecht) auf den Koordinatenhyperflächen: sog. kontravariante Basis

Bei Chartesischen Koordinaten sehen wir Besonderheiten:

  1. Kovariante Vektorbasis = Kontravarinate Vektorbasis
  2. Die Vektorbasis ist unabhängig vom betrachteten Raumpunkt, also überall die gleiche.

Bei nicht-chartesischen Koordinatensystemen (sog. krummlinigen) wird das beides anders sein.

Bei solchen nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Wir betrachten nun einen Raum mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten: \( q^\alpha \) mit α =1,2,…,n und einem hilfsweise dahinterliegenden Chartesischen Koordinaten: \( x^i \) mit 1= 1,2,….n.

Als Hilfsmittel ziehen wir anfangs gerne die Chartesischen Koordinaten hinzu, wo wir dann im Fall von beliebig vielen Dimensionen die Symbole xi (i=1,2,…) verwenden, oder bei zwei und oder drei Dimensionen, manchmal auch: x,y,z.

Die kovarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}_\alpha \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Tangenten an die Koordinatenlinien. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\(\Large \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Die kontravarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}^{\,\alpha} \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Normalen auf den Koordinatenhyperflächen. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\( \Large \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \)

Vektorbasis und Metrik-Tensor

Wenn wir eine Vektorbasis gefunden haben; z.B.:

Eine Vektorbasis: \( \vec{g}_\alpha \)  (α= 1,2,…,n)

Erhalten wir zu dieser Vektorbasis den dazugehörigen Metrik-Tensor als: \( \left(g_{ij}\right) = \vec{g}_i \cdot \vec{g}_j  \)

Merke: Zu einer Vektorbasis haben wir einen Metrik-Tensor.

Die Riemann-Metrik

Wir können auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ein Tensor-Feld \( g_{ij} \) definiert haben, mit dem wir einen Abstandsbegriff (d.h. eine Metrik) definieren; genauer gesagt, mit dem wir die Länge einer Kurve in der Mannigfaltigkeit definieren wie folgt:

\(\Large s = \int\limits_{t_a}^{t_b} \sqrt{g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}} \, dt  \)

So einen Tensor \( g_{ij} \) nennen wir Metrik-Tensor.

Allgemeine Weisheiten zum Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor ist also ein Tensor-Feld, das auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert ist.

  • Wenn der Metrik-Tensor Elemente konstant sind (also nicht vom Ort abhängen) ist der Raum ein flacher Raum. Es kann dafür auch eine geeignete Koordinaten-Transformation benutzt werden.
  • Wenn die Komponenten des Metrik-Tensors aber vom Ort abhängen (keine Koordinaten-Transformation kann sie konstant machen), ist der Raum ein gekrümmten Raum.
  • So ein gekrümmer Raum kann in einen höherdimensionalen euklidischen (flachen) Raum eingebettet sein (z.B. die zweidimensionale Kugeloberfläche) muss es aber nicht.
  • Ein Euklidischer Raum, ist ein flacher Raum bei dem der Metrik-Tensor die Einheitsmatrix ist bzw. alle Diagonalelemente positiv sind.

Beipiel 1: Chartesische Koordinaten

Das Linienelement ist:

\( ds^2 = d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + d{x_3}^2 + … \)

Also:

\( ds^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}{{dx_i}^2} \)

Der Metrik-Tensor ist dabei ja ein Tensor vom Rang 2 und ist in diesem chartesischen Falle identisch mit der Einheitsmatrix (beispielsweise mit 3 Dimensionen):

\(\Large (g_{ij}) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Dieser Metrik-Tensor definiert dann unser Linienelement:

\( (ds)^2 = \sum\limits_{i=1}^n{\sum\limits_{j=1}^n{dx_i dx_j g_{ij}}} \)

Oder in der Einsteinschen kompakten Schreibweise (mit der sog. Summenkonvention):

\( (ds)^2 = g_{ij} dx^i dy^j \)

Beispiel 2: Ebene Polarkoordinaten

Im zweidimensionalen Euklidischen Raum (Ebene) haben wir als Chartesische Koordinaten: x1 = x,  x2 = y

Als krummlinigen Koordinaten nehmen wir Polarkoordinaten: q1 = r und q2 = φ

Zum Rechnen verwenden wird als Hilfsmittel gern die Chartesischen Koordinaten. Damit haben wir Koordinaten-Transformationen in beiden Richtungen:

\( x = r \cdot \cos{\phi} \\ \\ y = r \cdot sin{\phi} \)

Und in der anderen Richtung ist:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi =\arctan{\frac{y}{x}} \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kovariante Vektorbasis (Basis Vektorsystem):

\( \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Zu diesen kovarianten Basisvektoren bekommen wir als kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & r^2  \end{array} \right]  \\\)

Wobei dieses Beispiel zeigt: (1) Der Metrik-Tensor ist ortsabhängig und (2) Die zugrundeliegende Vektorbasis ist zwar orthogonal, aber nicht orthonormal.

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2 \\ \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kontravariante Vektorbasis:

\( \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \\\)

Zu diesen kontravarianten Basisvektoren bekommen wir als kontravarianten Metrik-Tensor (wir können die Komponenten des kontravarianten Metrik-Tensors ausrechnen oder nehmen einfach das Inverse des kovarianten Metriktensors):

\( \left(g^{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2   \)

Wir sehen auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 3: Zylinderkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x ,y, z die Zylinderkoordinaten (r, φ, z) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r,  \, q^2 = \phi, \, q^3 = z \)

Aufgrund der Koordinaten-Transformationen bekommen wir:

Für den  kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2  + dz^2 \\ \)

Und für den  kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2 + dz^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 4: Kugelkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x, y, z die Kugelkoordinaten (r, θ, φ) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r, \,  q^2 = \theta, \,  q^3 = \phi \)

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Radialachse” (Zenith/Nadir), die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\theta^2  + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Und als kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2}d\theta^2  + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}d\phi^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 5: Kugeloberfläche

Die Oberfläche einer Kugel mit dem (festen) Radius R ist ein zweidimensionaler Raum, wo wir als Koordinatensystem gut mit dem entsprechenden Teil der Kugelkkordinaten arbeiten können.

Also mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten mit \(  q^1 = \theta, \,  q^2 = \phi \), was also auf der Erdoberfläche prinzipiell der geografischen Breite und der geografischen Länge entsprechen würde.

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Der Metrik-Tensor ergiebt sich dann ganz analog aus dem Vorigen:

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr}  R^2 & 0 \\  0 & R^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  R^2 d\theta^2  + R^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Der so definierte Riemansche Raum (Kugeloberfläche mit dem o.g. Koordinatensystem) ist ein Nichteuklidischer Raum, wie wir sehen werden. Zur Geometrie in solchen Nichteuklidischen Räumen haben wir ja noch nichts gesagt; aber die Standard-Weissheit ist ja die Winkelsumme im Dreieck und…

 

 

 

Mathematik: Matrizenrechnung – Vektorraum

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Lineare Algebra
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Matrizen als Lineare Abbildungen

Jede (nxm)-Matrix ist per Matrixmultipikation eine lineare Abbildung von \(\mathbb{R}^m\) nach \(\mathbb{R}^n\)

Quelle: https://www.mathematik.de/algebra/74-erste-hilfe/matrizen/2429-lineare-abbildungen

Lineare Abbildungen als Matrizen

Eine Lineare Abbildung kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren einer Basis abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren \( \hat{i} \) und \( \hat{j}  \) folgendes:

Wenn wir einen Vektor \( \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} \) betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

\( L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} )  \)

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren \( L(\hat{i}) \) und \( L(\hat{j}) \)  kennen, ist damit die Lineare Transformation L vollständig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise \( L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] \)   und \( L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] \)  wäre, bekämen wir eine Matrix:

\( \left[ L(\hat{i}) | L(\hat{j}) \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right] \)

Wir “konkatenieren” also die transformierten Basis-Vektoren vertikal als Spalten.
Die Lineare Transformation kann im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right]  \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x  \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] + y  \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y  \end{array} \right] \\\)

Völlig analog werden auch Lineare Transformationen in drei oder mehr (endlichen) Dimensionen behandelt.

Eigenschaften von Matrizen

Viele der Überlegungen, die wir mit Linearen Abblidungen vorgenommen haben, können wir also gleichermaßen auf Matrizen übertragen.

Sei also A die  (nxn)-Matrix zur Linearen Abblidung L von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W (beide über dem gleichen Körper K)

\(  L: V  \to W \\\)

So haben wir beispielsweise zu L im Falle dim(V) = dim(W) = 3  eine (3×3)-Matrix A:

\(\Large A =  \left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)  \\\)

Das Bild einer Matrix

Das Bild (engl. image) der Matrix A ist die Menge:

\(  im(A) =\{ y \in W \,| \,\exists x \in V \, : \, Ax = y \} \\\)

im(A) ist wiederum ein Untervektorraum von W.

Der Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren der Matrix.
Bei einer quadratischen (n×n)-Matrix bedeutet dies, er ist höchstens n.

Rang(A) = dim(im(A))

Der Kern einer Matrix

Der Kern der Matrix A ist die Menge der Vektoren, die auf den Null-Vektor abgebildet werden:

\(  ker(A) =\{ x \in V \,|  \, Ax = 0 \} \\\)

ker(A) ist wiederum ein Untervektorraum von V.

Mit anderen Worten: Der Kern von A ist also die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems Ax=0

Die Determinante einer Matrix

Bei einer quadratischen (n×n)-Matrix ist die Determinante genau dann 0 ist, wenn ihr Rang der Matrix kleiner n ist.

Computer: Mathematik – Algebren

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Vektorräume

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

\(  V \times V \to V \)

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abbildung wird “Produkt” (auch: Multiplikation) genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also:  a · b  oder einfach ab. In dieser Schreibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

\(   (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z  \\ \)
\(   x \cdot (y + z)  = x \cdot y + x \cdot z  \\ \)
\( a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\ \)

Dabei sind x,  y und z Vektoren aus V und a ein Skalar aus K.

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man  Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer \( a \cdot b  =  b \cdot a \) oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) oder nicht?

Beispiele für Algebren:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine assoziative Algebra.

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine nicht-assoziative Algebra.

Lie-Algebren

Bestimmte Algebren heissen “Lie-Algebren”, dort wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben und “Lie-Klammer” genannt.
Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten:

  • [x,x] = 0
  • [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 (“Jacobi-Identität”)

Beispiel für eine Lie-Algebra:

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine Lie-Algebra.

Kommutator

Im allgemeinen definiert man als Kommutator: [a,b] = ab – ba
So ein Kommutator kann in bestimmten Algebren als Lie-Klammer fungieren. Beispielsweise kann man aus der oben erwähnten Algebra der n x n Matrizen mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation eine Lie-Algebra machen, indem man den Kommutator der Matrixmultiplikation als Lie-Klammer nimmt.

Mathematik: Metrik, Abstand und Geometrie

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Krümmung, Vektorraum, Wirkung, Schwarzschild-Metrik, Metrik-Tensor
Benutzt: WordPress-Plugin Latex, GeoGebra Grafikrechner

Metrik, Abstand und Geometrie

Auf einer Menge M kann man eine Metrik definieren; dadurch dass man je zwei Punkten einen Abstand (relle Zahl >= Null) zuordnet.

d: M x M -> R

So eine Abstandsfunktion muss drei Axiome erfüllen, um Metrik genannt werden zu dürfen.

Oft ist den Beispielen die Menge M ein Vektorraum z.B. R2 oder R3.

Mit Hilfe einer solchen Metrik kann man eine ganze “Geometrie” definieren, also ein Regelwerk für Punkte, Geraden, Winkel, Dreiecke etc. Klassisch ist die Geometrie nach Euklid; andere Geometrien bezeichnet man als “Nicht-Euklidische Geometrie”…

Euklidische Geometrie

In der sog. Euklidischen Geometrie wird der Abstand im zweier Punkte im Raum (also die Metrik) durch den Satz des Pythagoras definiert.

Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwenden wir ein Koordinatensystem z.B.  im R3 eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse:

\( d((x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b)) = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2 – (z_b-z_a)^2} \\\  \)

Dieser Abstand ist auch die Länge der geraden Strecke zwischen den Punkten a und b.

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Wir können zeigen, dass diese Längendefinition für Kurven mit der Metrik für Punktabstäde im Euklidischen Raum überein stimmt (ohne Beschänkung der Allgemeinheit: t ∈ [0,1]):

\( \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} x_1 + (x_2-x_1) \cdot t \\\ y_1 + (y_2-y_1)\cdot t  \\\  z_1 + (z_2-z_1)\cdot t\end{array}\right)  \\\  \)

Die erste Ableitung ist:

\( \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} (x_2-x_1)  \\\ (y_2-y_1) \\\  (z_2-z_1) \end{array}\right)  \\\  \)

Die Norm der Ableitung ist dann:

\( || \alpha^\prime(t) || = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ \)

Wenn wir das in die obige Längendefinition einsetzen erhalten wir:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \int_0^1 dt  = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \\\ \)

Die Länge einer geraden Strecke ist also auch mit der allgemeinen Integral-Formel genauso wie nach Pythagoras oben.

Das Linienelement

Gerne verwendet man auch ein sog. Linienelement um eine Metrik zu definieren. Für die Euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum mit einem Chartesischen Koordinatensystem (x,y,z) haben wir das Linienelement:

\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\  \)

Was ergibt:

\( ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \\\  \)

Was für eine parametrisierte Kurve s: [a,b] -> R3 bedeutet:

\( \Large \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\  \)

Was als Kurvenlänge von t=a bis t=b ergibt:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt \\\  \)

Wenn man nun bedenkt dass:

\( s^\prime = \frac{ds}{dt} = \left( \begin{array}{c} \frac{dx}{dt}  \\\ \frac{dy}{dt} \\\  \frac{dz}{dt} \end{array}\right) \\\  \)

ist, ergibt sich die Norm zu:

\( || s^\prime || = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ \)

Eingesetzt ergibt das:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b || s^\prime || dt \\\ \)

was genau der ersten Definition (oben) entspricht.

Man kann auch zeigen, dass die so definierte Länge einer parametrisierten Kurve bei Umparametrisierungen der Kurve gleich bleibt.

Der Metrik-Tensor

Im allgemeinen Fall drücken wir das Linienelement in einem Koordinatensystem mithilfe des “Metrik-Tensors” \(g_{\mu\nu}\) aus:

\( ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \\\ \)

Im Falle der Euklidischen Geometrie im R3 ist im Chartesischen Koordinatensystem der metrische Tensor:

\( g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Ein “Tensor” in diesem Sinne ist nichts anderes als eine (n x n)-Matrix für die man noch einige zusätzliche Regeln hat.

Weiterführende Anmerkungen

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie ART von Einstein, verändert die Anwesenheit von Materie den Raum, was auch “Gravitation” genannt wird.

Wir können das als eine Nicht-Euklidische Metrik verstehen, für die beispielsweise Karl Schwarzschild schon 1916 im vereinfachten Fall einer Kugelmasse (Schwarzes Loch) eine Formel gefunden hat.

Zu Veranschaulichung so einer Nicht-Euklidischen Metrik wird häufig von einer “Krümmung” der Raumzeit gesprochen. Diese “Krümmung” ist aber eigentlich nur eine andere Metrik, trotzdem stellt man sich die Abweichung von der herkömmlichen Euklidischen Metrik gern als “Krümmung” vor,

Da diese “Krümmung” (also Abweichung von der Euklidischen Metrik) aber nicht in eine weitere Dimension, sondern “in sich” d.h. als Stauchung bzw. Streckung erfolgt, würde ich gerne eine solche Abweichung durch ein Verbiegen des Koordinatengitters veranschaulichen. Also durch den optischen Vergleich der Koordinatengitter zweier Metriken.

===> Das Gitter, was ich hier meine, ist ein durch gleiche Abstände in der jeweiligen Metrik gegebenes Gitter – ist also eigentlich kein schlichtes Koordinatengitter, sondern ein Metrik-Gitter…

GeoGebra Gitternetz

Schwarzschild-Metrik

Ich habe zum Thema Schwarzschild-Metrik einen eigenen Artikel geschrieben.

 

 

Physik: Krümmung der Raumzeit

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum, Gravitation, Schwarze Löcher, Metrik

Krümmung der Raumzeit

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) basiert auf dem Postulat der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung.

Aus diesem Äquivalenzprinzip ergibt sich die Lichtablenkung in Gravitationsfeldern.

Wenn man trotzdem davon ausgehen möchte, dass das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, muss die Gravitation den Raum (besser die Raumzeit) entsprechend krümmen, sodass eine Metrik entsteht bei der der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten nicht unbedingt die Euklidische gerade Linie ist.

Wir wollen hier zunächsteinmal den Begriff der “Krümmung” ganz allgemein diskutieren.

Umgangssprachlich denkt man bei “Krümmung”, dass sich etwas in eine zusätzliche Dimension krümmt (s.u. die vielen Beispiele). Bei der von Einstein postulierten Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit wird aber für diese Krümmung keine 5. Dimension gebraucht. Die vierdimensionale Raumzeit ist nach Einstein  “in sich” gekrümmt; d.h. wir haben einen anderen Abstandsbegriff (eine andere Metrik, ein anderes Linienelement).

Krümmung bei Euklidischer Metrik

Unter der Krümmung eines geometrischen Objekts versteht man die Abweichung von einem geraden Verlauf; dazu bedarf es (mindestens) einer weiteren Dimension in die die Krümmung verläuft oder der Begriff “gerade” muss umdefiniert werden. Eine Kurve verläuft “gerade” wenn beim Durchlaufen mit konstanter Geschwindigkeit, keine Beschleunigungen “seitwärts”, sonder höchstens in der Normalen auftreten.

Wir betrachten eine Gerade. Solange sie wirklich geradeaus verläuft ist sie nicht gekrümmt. Wenn sie eine Kurve nach links (oder rechts) macht, haben wir eine Krümmung – und wir brauchen dafür (mindestens) eine zweite Dimension. Die Stärke der Krümmung kann mehr oder weniger sanft oder kräftiger sein. Wir messen die Stärke der Krümmung an einer Stelle durch einen sog. Krümmungskreis. Das ist ein Kreis, der sich in dem betrachteten Punkt am besten an die Kurve anschmiegt. Ein großer Krümmungskreis bedeutet eine kleine Krümmung ein kleiner Krümmungskreis ein starke Krümmung. Der Kehrwert des Radius ist das Maß für die Krümmungsstärke.

Die andere Frage ist, welche geometrischen Objekte sind es, die da “gekrümmt” werden?  Im einfachsten Fall ist es eine eindimensionale Linie in einer zweidimensionalen Ebene; also z.B. ein Funktionsgraph oder eine sog. Kurve. Kurven sind in diesem Zusammenhang sehr interessant als Teilmenge eines Vektorraums, die durch eine Abbildung von einem reellen Intervall in den Vektorraum  als sog. “parametrisierte” Kurve dargestellt werden kann. Das “Umparametrisieren” ist dann eine Äquivalenzrelation zwischen parametrisierten Kurven. Eine “Kurve” kann dann als Äquivalenzklasse solcher parametrisierten Kurven verstanden werden. Als Repräsentant einer Äquivalenzklasse nimmt man dann gerne eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve.

Wenn wir uns mit Kurven beschäftigen und speziell dann mit der Länge einer Kurve oder der Krümmung von Kurven, haben wir es mit Differentialgeometrie zu tun.
Dazu gibt es eine Reihe von sehr schönen Youtube-Videos:

Schritt 1: Krümmung einer Linie in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt ein Funktionsgraph von beispielsweise y = f(x) in der Ebene ist, können wir die Krümmung leicht berechnen:

Für eine zweimal differenzierbare Funktion  y = f(x) ergibt sich der Krümmungsradius an einem Punkt x zu:

\( \Large  r(x) = \left\vert \frac{(1+(f^\prime(x))^2)^\frac{3}{2}}{f^{\prime\prime}(x)} \right\vert  \)

Als Beispiel nehmen wir mal eine Parabel f(x) = 0,5 * x2
Dazu haben wir die Ableitungen:
f(x) = x
f(x) = 1
Der Krümmungsradius beispielsweise am Punkt x0 = 0 beträgt dann laut obiger Formel:

\( \Large r(x_0) = \frac{(1+{x_0}^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 1 \\\ \)

Und zur Probe nehmen wir noch x=1:

\( \Large r(1) = \frac{(1+1^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 2^\frac{3}{2} = 2 \sqrt{2} \)

Dieses Beispiel habe ich entnommen aus https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/kurveneigenschaften-im-ebenen-raum/kruemmung/kruemmungsradius.html
Es wird grafisch veranschaulicht durch:

Schritt 2: Krümmung einer Kurve in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt eine “richtige” Kurve in der Ebene ist, wird die Krümmung anders berechnet.

Als “richtige” Kurve (in der Ebene) betrachten wir von der obigen Parabel das Kurvenstück von x=-1 bis x=1. Als Parametrisierte Kurve, wobei der Parameter t auch von -1 bis 1 laufen möge, (was wir uns z.B. als Zeit vorstellen könnten) sieht das dann so aus:

\( \Large \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} t \\\ \frac{1}{2}t^2  \end{array}\right)  \\\  \)

Um die Krümmung zu brechnen ermitteln wir zuerst:

\( \Large \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ t  \end{array}\right)  \)

womit dann:

\( \Large ||\alpha^\prime(t)||^2 =  1 +  t^2   \\\  \)

und mit:

\( \Large \alpha^{\prime\prime}(t) = \left( \begin{array}{c}  0 \\\ 1  \end{array}\right)  \)

ergibt sich:

\( \Large det(\alpha^\prime(t), \alpha^{\prime\prime}(t)) = 1  \\\ \)

und damit ergibt sich dann die Krümmung zu:

\( \Large \kappa_\alpha(t) = \frac{1}{(1 + t^2 )^\frac{3}{2}}  \)

Bei t=0 ist dann die Krümmung:

\( \Large \kappa_\alpha(0) = 1 \\\  \)

und zur Probe nehmen wir noch t=1:

\( \Large \kappa_\alpha(1) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\\ \)

Weil t=x ist, stimmt das mit den Berechnungen des Krümmungsradius (s.o. Schritt 1) exakt überein.

Schritt 3: Krümmung einer Fläche im Raum

Analog können wir uns gekrümmte Flächen im Raum vorstellen. Hier kann allerdings der Krümmungsradius in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sein. Inetwa so die wir das von einem Gradienten kennen.

Auch in diesem Fall stellen wir uns das ganz klassisch geometrisch vor als Krümmung in eine weitere Dimension.

Krümmung per Nicht-Euklidischer Metrik

In der Allgemenen Relativitätstheorie spricht man auch von “Krümmung” z.B. Krümmung des Raumes oder Krümmung der Raumzeit.

Hier basiert die “Krümmung” nicht auf einer zusätzlichen Dimension, sondern auf einer speziellen Metrik in ein und demselben Raum. Unter “Metrik” versteht man ja eine Vorschrift, die zwei Punkten in dem betreffenden Raum einen Abstand zuordnet.  So eine Metrik definiert dann auch automatische die Längen von Linien…

Geodätische Linie

Die Linie, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten bildet, nennt man Geodät oder auch Geodätische LInie. Auf der Erdoberfläche kennen wir das z.B. bei der Seefahrt oder Luftfahrt wenn wir beispielsweise die Flugroute von London nach Los Angeles betrachten:

Geodätische LInie Moskau - Los Angeles

Das Licht läuft immer auf einer Geodäte, nimmt also die kürzeste Verbindung. Das kann “gekrümmt” aussehen…

Krümmung ohne zusätzliche Dimension

Für eine solche Krümmung benötigen wir aber nicht zwingend eine zusätzliche Dimension. Die Krümmung kann auch “in sich” durch andere Abstandsgesetze (= Metriken) bewirkt werden.
Siehe Schwarzschild-Metrik

 

Mathematik: Data Science

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Python

Ein neues Buzzword: Data Science

Öfters habe ich schon Vorlesungen auf dem Youtube-Kanal von Prof. Dr. Weitz von der Hamburger Hochschule für Angewandte Wissenschaften (“HAW” – früher: Fachhochschule Berliner Tor) gehört.

Er arbeitet da mit Computer-Software wie:

  • MATLAB
  • Mathematica, was sehr teuer ist. Kann CDF-Dateien erzeugen, die mit einem CDF Player abgespielt werden können
  • jupyter: Link https://jupyter.org/
  • SymPy: Link https://www.sympy.org/en/index.html
  • GeoGebra Link: https://www.geogebra.org/?lang=de
  • WolframAlpha Link: https://www.wolframalpha.com/
  • p5.js Link: https://editor.p5js.org/
  • Anaconda (zum Installieren von Paketen etc.) Link: https://www.anaconda.com/individual-tutorial?source=win_installer

und anderen.

Herr Weitz unterscheidet sog. Computer Algebra Systeme (abgekürzt CAS) von Numerischen Systemen…

Als Programmiersprache kommt man wohl an JavaScript nicht vorbei, das sich in den letzten Jahren enorm weiterentwickelt hat: z.B. https://eloquentjavascript.net/Eloquent_JavaScript.pdf

 

 

Mathematik: Komplexe Zahlen

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Quantenmechanik, Von Pytharoras bis Einstein
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Die komplexen Zahlen

Ausgangspunkt ist die berühmte imaginäre Einheit: i2 = -1

Eine komplexe Zahl schreibt man gerne als Realteil und Imaginärteil:

z = x + i*y      x = Re(z)   und   y = Im(z)

Wobei x und y reelle Zahlen sind.

Mit den Komplexen Zahlen kann man auch die vier Grundrechnungsarten, so wie wir sie von den “normalen” d.h. reellen Zahlen her kennen, ausführen – Die komplexen Zahlen bilden, mathematisch gesagt, einen “Körper”.

Zu jeder Komplexen Zahl gibt es die “komplex konjugierte“, die mit gern mit einem Sternchen als Superskript schreibt:

zur komplexen Zahl: z = x + i*y
ist die konjugierte:   z* = x – i*y

Jede Komplexe Zahl hat auch einen “Betrag” (kann man sich als Länge vorstellen):

|z|2 = x2 + y2

Darstellung der komplexen Zahlen mit kartesischen Koordinaten

Die Reellen Zahlen konnte ich mir ja durch die sog. Zahlengerade gut veranschaulichen. Die Komplexen Zahlen würde ich mir dann durch die Punkte in einer Ebene veranschaulichen.

Polar-Darstellung der komplexen Zahlen

Wenn komplex Zahlen einfach als Punkte in der Ebene verstanden werden können, kann ich sie anstelle von kartesischen Koordinaten, alternativ auch in durch sog. Polarkoordinaten darstellen; d.h. durch die Entfernung vom Nullpunkt r und den Winkel mit der reellen Achse φ.

Für eine Komplexe Zahl z = x + i*y  gilt:

r² = x² + y²

tan φ = x/y

\(\displaystyle \tan{ \phi} = \frac{x}{y} \)

Exponential-Darstellung der komplexen Zahlen

Die Eulerschen Formel ist:

\(\Large  e^{i  \cdot \phi} = \cos \phi+i \cdot \sin \phi \)

Damit erhalten wir als sog. Exponential-Darstellung:

\(\displaystyle z ={r} \cdot e^{i  \cdot \phi} \)

In der Quantenmechanik wird diese Exponentialdarstellung gerne benutzt, u.a. weil man damit die Multiplikation komplexer Zahlen sehr anschaulich darstellen kann:

\(\displaystyle z_1 \cdot z_2 = {r_1 \cdot r_2} \cdot e^{i  \cdot (\phi_1 + \phi_2)} \)

Sie auch Youtube-Video: https://www.youtube.com/watch?v=pBh7Xqbh5JQ

Die Eulersche Zahl

Definition der Eulerschen Zahl

Die Zahl e wurde von Leonhard Euler (1707-1783) als Grenzwert der folgenden unendlichen Reihe definiert:

\(\displaystyle e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} +  \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + …   \)

Oder:

\(\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \)

Die Exponentialfunktion

Potenzen zur Basis e bilden die Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt:

f(x) = ex

Die Ableitung (Differentialquotient) der e-Funktion ist wiederum die e-Funktion:

f'(x) = ex

Damit ergibt sich als Taylorsche Reihenentwicklung um den Entwicklungspunkt x0 = 0

\(\displaystyle f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}  + …  + \frac{x^n}{n!} + …   \)

Allgemein wäre die Taylor-Reihe ja:

\( \displaystyle T_\infty(x;x_0) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^(k)(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \)

Da der Funktionswert und alle Ableitungen der e-Funktion an der Stelle x0 = 0 sämtlich 1 sind, vereinfacht sich die Darstellung wie oben gezeigt.

Mathematik: Was sind Tensoren?

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: QuantenmechanikVektorräume, Lineare Algebra, Koordinatensysteme, Metrik-Tensor, Kontravariante Ableitung
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Stand: 26.10.2021

Was sind Tensoren?

Eine der Voraussetzungen zum Verständnis vieler Dinge (z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik) sind sog. Tensoren.

Der Begriff “Tensor” wurde im 19. Jahrhundert relativ unsystematisch bei verschiedenen physikalischen Berechnungen eingeführt.

Darüber gibt es schöne Youtube-Videos von “eigenchris”:  https://youtu.be/sdCmW5N1LW4

Als Vorbereitung dazu habe ich zuerst mal etwas zu Vektorräumen zusammengestellt.

Auffrischung

Wir hatten ja im Artikel über Vektorräume schon gesehen, dass Vektoren Objekte sind, die unabhängig von Koordinatensystemen exsistieren und auch gegenüber einem Wechsel von Koordinatensystemen “invariant” sind. Nur die Komponenten bzw. Koordinaten der Vektoren verändern sich dann, nicht aber die Vektoren selber.

Invarianz bedeutet allgemein gesagt, dass ein und dasselbe Objekt verschieden beschrieben (“repräsentiert”) werden kann von verschiedenen Standpunkten (Koordinatensystemen) aus.

Unsere Vektorkomponenten beruhen immer auf einer Menge von sog. Basisvektoren.

Wie verhalten sich dann Vektoren und ihre Komponenten bei einem Wechsel der Basisvektoren?

Im Gegensatz zum invarianten Vektor selbst, verändern sich seine Komponenten bei Änderung der Vektorbasis.

Wir sahen, dass wenn sich die Längen der Basisvektoren verlängern, sich die Komponenten von Vektoren verkleinern. Deshalb hatten wir diese Vektoren “kontravariant” genannt.

So ein kontravarianter Vektor ist ein erstes Beispiel für einen Tensor. Ein zweites Beispiel für einen Tensor sind die sog. Co-Vektoren…

Allgemein gesagt bedeutet Kontravarianz, dass wenn ein Ding größer wird, ein anderes Ding kleiner wird. Kovarianz dagegen bedeutet, dass die Veränderungen in die gleiche Richtung gehen.

Co-Vektoren

Im Gegensatz zu den “herkömmlichen” kontravarianten Vektoren, die wir als Spalte schreiben, schreiben wir Co-Vektoren als Zeilen.

Dazu hat “eigenchris” ein schönes Youtube-Video gemacht: https://youtu.be/LNoQ_Q5JQMY

In der Sichtweise von Koordinaten macht ein Co-Vektor also folgendes:

\( \Large  \left[  \begin{matrix} a & b & c  \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{array}{r} x \\\ y \\\ z  \end{array} \right] = ax+by+cz \)

Abstrakt formuliert bildet ein Co-Vektor also Vektoren auf Skalare ab.

Rank 2 Tensoren

Generell soll ein Tensor ja invariant bei einer Koordinatentransformation sein.

Lediglich die “Darstellung” eines Tensors erfolgt mit Komponenten (Koordinaten).

Uns interessieren hier in erster Linie sog. Rank 2 Tensoren. Solche Rank 2 Tensoren können immer als “normale” Matrix mit Zeilen und Spalten dargestellt werden  (Zeilen und Spalten -> Rank 2). So ein Rank 2 Tensor kann aber auch ganz einfach in sog. Index-Schreibweise dargestellt werden z.B. Tij oder g μν (Anzahl Indices = Rank).

Transformationsverhalten

xyz