Mathematik: Integralrechnung

Gehört zu: Mathematik

Siehe auch: Kurven, Metrik

Stand: 30.05.2024

Die Integralrechnung bildet zusammen mit der Differentialrechnung, das was die Engländer und Amerikaner “Calculus” nennen. Bei uns sagt man eher “Infinitesimalrechnung”. Erfunden haben sollen das Newton und Leibnitz unabhängig von einander.

Die Grundlagen haben wir in der Schul-Mathematik gelernt.

Allgemeines

Es gibt ein bestimmtes Integral und ein unbestimmtes Integral.

Das unbestimmte Integral einer Funktion ist einfach die Umkehroperation zum Differenzieren. Man sucht eine sog. Stammfunktion, die differenziert die ursprüngliche Funktion ergibt. Zur Stammfunktion kommt dann immer eine beliebige Integrationskonstante dazu.

Das bestimmte Integral geht von einer Untergrenze zu einer Obergrenze. Da hebt sich eine Integrationskonstante immer weg. Man verbildlicht sich das gerne als Fläche unter einer Kurve.

Wichtige Regeln

Das Integrieren einer Funktion ist im allgemeinen schwieriger als Differenzieren, weil man ja eine Stammfunktion sucht, die…

Neben den vielen einfachen Regeln in der Integralrechnung gibt es eine, die ich aus der Schule so nicht wirklich kannte: “Integration by Parts“.

Integration by Parts (Partielle Integration)

Wenn man ein Integral lösen will, was trotz der üblichen Bemühungen (z.B. algebraisch Vereinfachen, Substituieren,…) widerspenstig ist, hilft es manchmal es so umzuschreiben, dass dann die Lösung klappt.

\( \Large \int u \, dv = u \cdot v \, \, – \int v \, du \)

Wir bekommen statt eines “unschönen” Integrals nun ein anderes Integral; das würde Sinn machen, wenn das neue Integral einfacher zu lösen wäre.

Man muss dazu geschickt wählen, was u sein soll und was dv sein soll.

Beispiel:

\( \Large \int x \cdot e^x \, dx = ? \)

Wir versuchen es mit:  \( u = x \). Dann muss  \( dv = e^x \, dx \) sein.

Um die Formel anzuwenden, brauchen wir dazu du und v.

\(du\) bekommen wir durch Differenzieren von \( u \): \( du = dx \)

\(v\) bekommen wir durch Integrieren von \( dv \): \( v = e^x \)

Das setzen wir nun in die Formel ein:

\(\Large \int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x  – \int e^x \, dx\\\)

Das neue Integral können wir leicht lösen und bekommen also:

\(\Large \int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x  –  e^x + c\)

Tipps zur “Integration by Parts”

Man kann einen “schwierigen” Integranden ja verschieden in Faktoren (u und dv) aufbrechen.

Wenn ein Versuch nicht zum Ziel führt, kann man einen neuen Versuch machen etc.

Generell sagt man, dass man denjenigen Faktor als “u” wählen sollte, der beim Differenzieren einfacher wird wobei der andere Faktor “dv” dann beim Integrieren keine Schwierigkeiten machen sollte.