Mathematik: Von Pythagoras bis Einstein

Gehört zu:  Mathematik und Physik
Siehe auch: Kosmologie , Quantenmechanik, Mathematik, Komplexe Zahlen
Benötigt: WordPress Plugin LaTeX

Ein bisschen Mathematik

Angeregt von einem Youtube-Video “Top 10 equations that changed to world” wollte ich hier die wichtigsten Errungenschaften der Mathematik und Physik sind darstellen:

  • Der Lehrsatz des Pythagoras  10
  • Der Logarithmen (Napier)   9
  • Differentialrechnung (“Calculus”) und Grenzwerte  (Newton, Leibnitz)  8
  • Das Gravitationsgesetz (Newton)  7
  • Die komplexen Zahlen (Euler,…)  6
  • Wellengleichung   (d’Alembert) 5
  • Fourier Transformation   4
  • Navier Stokes Gleichung   – Aerodynamik  –   3
  • Faraday und Maxwell Gleichungen   2
  • Die Black-Schole-Gleichung   – Finanzmathematik    2
  • Einstein Relativitätstheorie und Schrödinger Quantenmechanik  1

Der Lehrsatz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt:

a² + b² = c²

Dies ist die Basis für die Messung von Entfernungen. Hierdurch wird die Geometrie mit der Algebra verbunden.

Auf dieser Basis kann man Entfernungen im Raum (sog. Metriken) mit mathematischen Formeln berechnen; z.B. im drei-dimensionalen Euklidischen Raum:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

In der Kosmologie verwendet man weitergehende Metriken, z.B. die Robertson-Walker-Metrik…

Logarithmen

Vereinfachen der Multiplikation zur Addition z.B. bei komplexen astronomischen Berechnungen….

log(a · b) = log(a) + log(b)

Logarithmische Skalen z.B. bei den Helligkeiten von Himmelsobjekten…

Differentialrechnung

Die Differentialrechnung geht auf Newton (1643-1727) und Leibniz (1646-1716) zurück …

\(  \frac{dx}{dy} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
Der Begriff des Grenzwerts (des Limes) wurde erst später von Bernhard Bolzano (1781-1848) und Karl Weierstrass (1815-1897) formal eingeführt.
Newton war es, der die Differentialrechnung in die Physik einführte z.B. Kraft = Masse * Beschleunigung = Impuls abgeleitet nach der Zeit

Das Gravitationsgesetz (Newton)

Die Anziehungskraft zwischen zwei Massen m1 und m2, die eine Entfernung r voneinander entfernt sind, ist:

\( F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \)

Wobei G die sog. Gravitationskonstante ist.

Die komplexen Zahlen

Hierzu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben: Komplexe Zahlen

Die Wellengleichung (d’Alembert)

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.

 

Fourier Transformation

Joseph Fourier (1768-1830)

\(\Large f(\epsilon) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-2 \pi x \epsilon} dx \)

Wobei ε die Frequenz ist…

“Jede” Funktion wir dargestellt als eine Überlagerung von Sinuswellen mit unterscheidlicher Frequenz….

Navier Stokes Gleichung   – Aerodynamik

Claude Navier (1785-1836) und George Stokes (1819-1903)

Das ist nicht so einfach…

Faraday und Maxwell Gleichungen

Michael Faraday  (1791-1867) und  James Clerk Maxwell (1831-1879)

Für das elektrische Feld E gilt:
\(
\nabla \cdot \vec{E} = 0
,
\nabla \times \vec{E} = \Large -\frac{1}{c} \frac{\partial H}{\partial t}
\)
und für das Magnetfeld H gilt:
\(
\nabla \cdot \vec{H} = 0
,
\nabla \times \vec{H} = \Large \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t}
\)

Black Schole Gleichung   – Finanzmathematik

Fischer Black (1938-1995) und Myron Scholes (1941-)

Einstein Relativitätstheorie und Schrödinger Quantenmechanik

Albert Einstein  (1879-1955)  und Erwin Schödinger (1887-1961)

Eine der Voraussetzungen zum Verständnis sind sog. Vektorräume.

Vektorräume verfügen über eine Operation, die Addition genannt wird und eine kommutative Gruppe bildet. Weiterhin muss jeder Vektorraum einen Körper von sog. Skalaren haben, mit denen die Vektoren mutipliziert werden können.

Es gibt den Begriff der “Dimension” eines Vektorraumes…..

Besonders interessant ist das sog. “innere Produkt” (engl. Dot Product) zweier Vektoren….