Physik: Wellenfunktion – Superposition

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenphysik

Wellenfunktion / Schrödinger

In der klassichen Mechanik (Newton etc.), wird ein Teilchen durch Ort und Implus beschrieben mit seinem sog. “Zustand”. In der Quantenmeachnik macht das die Wellenfunktion Ψ. Sehr allgemein gesagt: Eine Wellenfunktion beschreibt das Zustand eines Quanten-Teilchens.

Der Wertebereich einer Wellenfunktion sind die Komplexen Zahlen. Der Definitionsbereich sind Ort und Zeit  Ψ(r,t)
Die Wert ist also eine Komplexe Zahl, veranschaulicht durch einen Vektor. der auch “Amplitude” genannt wird.

Für Komplexe Zahlen benutzt die Quantenmechanik gerne die sog. Exponential-Darstellung:

\(\displaystyle z ={r} \cdot e^{i  \cdot \phi} \)

Damit kann man sich die Komplexe Zahl gut als Vektor einer bestimmten Länge (r) mit einem Drehwinkel (Φ) vorstellen.

Eine interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist durch den Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat gegeben (normiert auf 1 über alles). Ggf. wird also nach einer Superposition das Quadrat der Vektorlänge genommen…

Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion.

Von Ernst Schroedinger (1887-1961) stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems:

\( i \cdot \hbar \cdot \dot{\Psi} = \hat{H}  \Psi  \)

Mit dem geheimnisvollen Hamilton-Operator \(\hat{H}\).

Die Diriac-Notation

Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen hat Jean Paul Diriac (1902-1984) die nach ihm benannte Diriac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Man schreibt das so:

  • Bra-Vektor:  <v |
  • Ket-Vektor: | w>
  • zusammen geschrieben:  <v | w>