Physik: Gravitation und Potential

Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Die Keplerschen Gesetze, Schwarzes Loch, Newton, Langrange-Punkte, Ebbe und Flut
Benutzt: WordPress-Plugin MathJax-Latex

Die vier Grundkräfte

In der Physik kennen wir vier Grundkräfte (die vier fundamentalen Wechselwirkungen) – Siehe auch: Standardmodell der Elementarteilchenphysik

  1. Gravitation
  2. Elektromagnetismus
  3. Starke Kernkaft  (Starke Wechselwirkung) – Sie bindet die Quarks aneinander und hält so z.B. die drei Quarks eines Protons zusammen; ebenso die drei Quarks eines Neutrons
  4. Schwache Kernkaft  (Schwache Wechselwirkung) – kann ein Up-Quark in ein Down-Quark umwandeln und somit Protonen und Neutronen vertauschen und so beispielsweise den Beta-Zerfall (Fermi) bewirken; also Radioaktivität…

Die Gravitation ist insofern anders als die anderen drei Kräfte (Wechselwirkungen) weil:

  • Sie ist sehr viel schwächer als die anderen
  • Die Gravitation lässt sich nicht abschirmen  (in sofern gibt es real keine sog. Inertialsysteme)
  • Die Gravitation ist immer anziehend, nie abstossend

Heutzutage (2021) ordnet man diesen vier Gundkräften sog. Austauschteilchen (das sind virtuelle Teilchen) zu:

  • Elektromagnetismus – Photon
  • Schwache Kernkraft – W-Boson und Z-Boson
  • Starke Kernkraft – Gluon

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besondere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Zu den Zeiten Newtons beschäftigte sich die Physik in der Hauptsache und fast ausschließlich mit Mechanik. Newton (und Leibnitz) entwickelten die Infenitesimalrechung (engl. Calculus) mit der die Bewegung mechanischer Systeme durch die Wirkung von Kräften berechenbar gemacht werden konnte. Siehe dazu mein separater Artikel Newtonsche Mechanik.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.

Die Gezeitenkraft

Ein ausgedehner Körper wird in einem Gravitationsfeld auseinander gezogen, weil die Gravitationskraft ja mit der Entfernung abnimmt. Die “Vorderseite” eines Körpers wird stärker angezogen als die “Hinterseite”. Je größer die Abmessung des Körpers in Richtung Vorderseite/Hinterseite ist, desto größer die auseinanderziehende “Gezeitenkraft” als Differenz der Kräfte vorne/hinten..

Das Potential

Ein Kraftfeld, wie das Gravitationsfeld aber auch andere, beschreibt man auch gerne durch das sog. Potential, womit für jeden Punkt im Raum gemeint ist, welche Arbeit (Kraft mal Weg) erforderlich ist, eine kleine Probemasse aus dem Unendlichen an diesen Punkt im Raum zu bringen. Die Menge Arbeit ist in einem sog. “konservativen” Kraftfeld unabhängig vom Weg. Das Potential ist somit wohldefiniert.

So ein Potentialfeld ist also ein skalares Feld. Aus dem Potentialfeld ergibt sich dann die Kraft, die proportional dem lokalen Gradienten des Potentialfeldes ist.

Bei einem “einfachen” Gravitationsfeld, das nur von einem großen Körper (z.B. der Erde) erzeugt wird, hängt der Wert des Potentials nur vom Abstand vom Massemittelpunkt ab. Gleiche Abstände vom Massemittelpunkt definieren dann sog. Äqui-Potential-Flächen.

Wenn wir das Gravitationsfeld der Erde nehmen, ist das “Gravitationspotential” demnach:

\(  \Large \Phi(r) = \space – \frac{G \cdot M}{r}  \\ \)

Wenn wir dieses Potential nach r ableiten (das ist im Eindimensionalen der Gradient) erhalten wir ja unser Newtonsches Gravitationsgesetz:

\( \Large F(r) = m \cdot \frac{d \Phi}{dr} =  m \cdot \frac{G \cdot M}{r^2} \\ \)

Das “schicke” am Potentialfeld ist:

  1. Der philosophische Gedanke der “Fernwirkung” eines Kraftfeldes wird dadurch gedanklich eher eine lokale Angelegenheit.
  2. Die Potentiale mehrerer Kraftfelder können einfach addiert (“überlagert”) werden.

Ein Beispiel für eine Überlagerung von Potentialen mehrer Kraftfelder sind die Lagrange-Punkte im System Sonne-Erde. Dort haben wir zwei Gravitationsfelder (Sonne und Erde) und ein drittes Potentialfeld durch die Rotation. Letztere wird berücksichtigt durch die Betrachtung in einem rotierenden Bezugssystem, in dem auch die beiden schweren Himmelskörper (Sonne und Erde) ruhen. Man spricht dann von einem “effektiven” Potential, was die Zentrifugalkraft, die ja als sog. Scheinkraft (Trägheitskraft) in so einem rotierenden Bezugssystem auftritt, mit beinhaltet. Dies zeigt sehr schön der Wikipedia-Artikel Lagrange-Punkte. und auch der von mir später verfasste Artikel über die Lagrange-Punkte in diesem Blog.

Siehe auch das Youtube-Video von Josef M. Gaßner: https://www.youtube.com/watch?v=Eg8SGgpGeyU

Die Erdanziehung

Wie wir alle aus der Schule wissen, haben wir auf der Erdoberfläche eine Gravitationsbeschleunigung von ca. 9,81 m/s2

Das Gravitationsgesetz (s.o.) können wir auch schreiben als:

\( \Large a = G \frac{M}{r^2}  \)

Wenn wir Kraft = Masse mal Beschleuigung, also F = m * a, benutzen.

Wenn wir den mittleren Erdradius als 6371 km annehmen, sind wir auf der Erdoberfläche also im Mittel 6371 km vom Erdmittelpunkt entfernt.
Die Erdmasse beträgt laut Wikipedia ca. 5,9772 * 1024 kg

Bei bekanntem Erdradius, bekannter Erdmasse und bekannter Gravitationskonstante kann man sich die mittlere Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche also ausrechnen:

\( \Large a = G \frac{5,9772 \cdot 10^{24}}{6371000^2} = 9,82  \)

Oder andersherum: Wenn man die Gravitationsbeschleunigung gemessen hat, den Erdradius kennt und die Gravitationskonstante misst (wie Henry Cavendish s.o.), kann man die Erdmasse bestimmen…

Die Kreisbahn (Kreisbewegung)

Für eine Kreisbahn mit dem Radius R wäre eine Zentripedalkraft erforderlich von:

\( F_Z = m \cdot \frac{v^2}{R}\)

So eine Zentripedalkraft soll durch die Gravitation des Zentralkörpers der Masse M bewirkt werden. Diese Gravitationskraft ist:

\( F_G = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2}\)

Rechnerisch ergibt sich daraus als Kreisbahngeschwindigkeit (sog. Erste kosmische Geschwindigkeit):

\( v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 7,91 km/s.
Das wäre eine (theoretische) Keisbahn mit dem Radius R; also einer Höhe von  Null Metern über der Erdoberfläche. Nehmen wir mal ein realistisches Beispiel: die ISS. Diese fliegt in ungefähr 400 km Höhe. Da kämen wir auf eine Geschwindigkeit von

\(\Large v = \sqrt{\frac{6.6743 \cdot 10^{-11} \cdot 5.9772 \cdot 10^{24}}{6371000 + 400000}} = 7.94 \enspace km/s \\ \)

Weiter draussen z.B. beim Mond ist die Kreisbahngeschwindigkeit kleiner. Da liegt die Kreisbahngeschwindigkeit nämlich so um 1 km/s.

Die Fluchtgeschwindigkeit

Damit ein Körper der Masse m von der Erdoberfläche entweichen kann, benötigt er eine kinetische Energie, die mindestens so groß ist wie seine potentielle Energie:

\( E_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 \)

Das Gravitationspotential auf der Erdoberfläche ist:

\( E_{pot} = \int\limits_{-\infty}^{R} G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} dr = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{-\infty}^R  =  -G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{R}\)

Rechnerisch ergibt sich die Fluchtgeschwindigkeit (sog. Zweite kosmische Geschwindigkeit) zu:

\( v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 11,2 km/s

Diese Zahl beruht ausschließlich auf der Gravitation der Erde; soll heissen andere Einflüsse wie Erdrotation oder etwaige Swing-By-Manöver könnten diese erforderliche Geschwindigkeit reduzieren – wie etwa bei den Mondflügen oder Voyager Raumsonden…

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)

Ein Schwarzes Loch

Bei einem Schwarzen Loch wäre die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c.  Wenn wir v2 = c setzen ergibt sich:

\( c = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Aufgelöst nach dem Radius R ergibt sich:

\( R = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \)

Bei einem solchen Radius könnte also kein Licht entkommen; deshalb werden solche Objekte “Schwarze Löcher” genannt. Bei einem kleineren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit; bei einem größeren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Man nennt diesen Radius den “Schwarzschild-Radius” oder auch den Ereignishorizont.

Genaugenommen müsste man hier die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verwenden, da wir hier mit Sicherheit relativistische Effekte wegen der starken Raumkrümmung hätten. Interessanterweise ist die Formel für den Ereignishorizont (Schwarzschild-Radius) aber bei der ART die gleiche wie hier in der “Milchmädchenrechnung”.