Physik: Ebbe und Flut

Gehört zu: Unsere Erde, Sonnensystem
Siehe auch: Gravitation, Mond
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Stand: 28.4.2022

Ebbe und Flut im System Erde-Mond

Wie auf jeden ausgedehnten Körper in einem Gravitationsfeld, wirkt auch auf die Erde durch das Gravitationsfeld des Mondes (und der Sonne) eine Gezeitenkraft.

Einfluss des Gravitationsfeldes

Abbildung 1: Gezeitenkraft im System Erde-Mond (Github: EbbeUndFlut.svg)
EbbeUndFlut.svg
Das Geheimnis, warum zwei Flutberge entstehen, ist gar kein Geheimnis. Die differentielle Gravitation macht auf beiden Seiten eine (fast) gleiche Beschleunigung von 0,11 10-5 m/s2.

Die Beschleunigung (a) durch die Anziehungskraft des Mondes in unterschiedlichen Entfernungen (r) vom Mond kann man ja leicht berechnen, wenn man die Masse des Mondes (M) sowie die Gravitationskonstante (G) hat:

\( a(r) = G\frac{M}{r^2} \)
r
Entfernung
vom Mond
a
Gravitations-Beschleuigung
Bemerkung
0
1738 km 1,62 m/s2 auf der Mondoberfläche
378029 km 3,43 10-5 m/s2 auf der Erdoberfläche dem Mond zugewandte Seite
384400 km 3,32 10-5 m/s2 am Erdmittelpunkt
390771 km 3,21 10-5 m/s2 auf der Erdoberfläche vom Mond abgewandte Seite

Einfluss der Zentrifugalkraft

Die Größe der Zentrifugalkraft in einem rotierenden System hängt vom Abstand (r) vom Drehpunkt ab:

\( F_{Zf} = m \cdot \omega^2 \cdot r \)

Der Drehpunkt dieser Bewegung ist zweifellos der Schwerpunkt des Systems Erde-Mond. Was dreht sich denn nun um diesen Drehpunkt?

Offensichtlich ist es der Erdmittelpunkt, der eine Kreisbahn um diesen Drehpunkt beschreibt. Da der Abstand Erdmittelpunkt-Drehpunkt gleich bleibt, bleibt auch die aus dieser Bewegung resultierende Zentrifugalkraft von der Größe her konstant. Jeder Punkt auf der Erde beschreibt eine verschobene deckungsgleiche Kreisbahn, die also an jedem Ort identisch ist. Damit hat sie keinen Einfluss auf die Gezeiten: https://www.weltderphysik.de/gebiet/erde/atmosphaere/meere/gezeiten/

 

Physik: Gravitation

Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Die Keplerschen Gesetze, Schwarzes Loch, Newton, Langrange-Punkte, Ebbe und Flut, Kraftfeld und Potential
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Stand: 25.2.2022

Die Grundkräfte

Die Gravitation ist eine der vier Gundkräfte (Wechselwirkungen) im Standardmodell der Teilchenphysik.

Kraftfelder, wie das der Gravitation, können wir durch das zugehörige Potential-Feld beschreiben.

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besondere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Zu den Zeiten Newtons beschäftigte sich die Physik in der Hauptsache und fast ausschließlich mit Mechanik. Newton (und Leibnitz) entwickelten die Infenitesimalrechung (engl. Calculus) mit der die Bewegung mechanischer Systeme durch die Wirkung von Kräften berechenbar gemacht werden konnte. Siehe dazu mein separater Artikel Newtonsche Mechanik.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.

Die Gezeitenkraft

Ein ausgedehner Körper wird in einem Gravitationsfeld auseinander gezogen, weil die Gravitationskraft ja mit der Entfernung abnimmt. Die “Vorderseite” eines Körpers wird stärker angezogen als die “Hinterseite”. Je größer die Abmessung des Körpers in Richtung Vorderseite/Hinterseite ist, desto größer die auseinanderziehende “Gezeitenkraft” als Differenz der Kräfte vorne/hinten..

Die Erdanziehung

Wie wir alle aus der Schule wissen, haben wir auf der Erdoberfläche eine Gravitationsbeschleunigung von ca. 9,81 m/s2

Das Gravitationsgesetz (s.o.) können wir auch schreiben als:

\( \Large a = G \frac{M}{r^2}  \)

Wenn wir Kraft = Masse mal Beschleuigung, also F = m * a, benutzen.

Wenn wir den mittleren Erdradius als 6371 km annehmen, sind wir auf der Erdoberfläche also im Mittel 6371 km vom Erdmittelpunkt entfernt.
Die Erdmasse beträgt laut Wikipedia ca. 5,9772 * 1024 kg

Bei bekanntem Erdradius, bekannter Erdmasse und bekannter Gravitationskonstante kann man sich die mittlere Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche also ausrechnen:

\( \Large a = G \frac{5,9772 \cdot 10^{24}}{6371000^2} = 9,82  \)

Oder andersherum: Wenn man die Gravitationsbeschleunigung gemessen hat, den Erdradius kennt und die Gravitationskonstante misst (wie Henry Cavendish s.o.), kann man die Erdmasse bestimmen…

Die Kreisbahn (Kreisbewegung)

Für eine Kreisbahn mit dem Radius R wäre eine Zentripedalkraft erforderlich von:

\( F_Z = m \cdot \frac{v^2}{R}\)

So eine Zentripedalkraft soll durch die Gravitation des Zentralkörpers der Masse M bewirkt werden. Diese Gravitationskraft ist:

\( F_G = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2}\)

Rechnerisch ergibt sich daraus als Kreisbahngeschwindigkeit (sog. Erste kosmische Geschwindigkeit):

\( v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 7,91 km/s.
Das wäre eine (theoretische) Keisbahn mit dem Radius R; also einer Höhe von  Null Metern über der Erdoberfläche. Nehmen wir mal ein realistisches Beispiel: die ISS. Diese fliegt in ungefähr 400 km Höhe. Da kämen wir auf eine Geschwindigkeit von

\(\Large v = \sqrt{\frac{6.6743 \cdot 10^{-11} \cdot 5.9772 \cdot 10^{24}}{6371000 + 400000}} = 7.94 \enspace km/s \\ \)

Weiter draussen z.B. beim Mond ist die Kreisbahngeschwindigkeit kleiner. Da liegt die Kreisbahngeschwindigkeit nämlich so um 1 km/s.

Die Fluchtgeschwindigkeit

Damit ein Körper der Masse m von der Erdoberfläche entweichen kann, benötigt er eine kinetische Energie, die mindestens so groß ist wie seine potentielle Energie:

\( E_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 \)

Das Gravitationspotential auf der Erdoberfläche ist:

\( E_{pot} = \int\limits_{-\infty}^{R} G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} dr = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{-\infty}^R  =  -G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{R}\)

Rechnerisch ergibt sich die Fluchtgeschwindigkeit (sog. Zweite kosmische Geschwindigkeit) zu:

\( v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 11,2 km/s

Diese Zahl beruht ausschließlich auf der Gravitation der Erde; soll heissen andere Einflüsse wie Erdrotation oder etwaige Swing-By-Manöver könnten diese erforderliche Geschwindigkeit reduzieren – wie etwa bei den Mondflügen oder Voyager Raumsonden…

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)

Ein Schwarzes Loch

Bei einem Schwarzen Loch wäre die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c.  Wenn wir v2 = c setzen ergibt sich:

\( c = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Aufgelöst nach dem Radius R ergibt sich:

\( R = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \)

Bei einem solchen Radius könnte also kein Licht entkommen; deshalb werden solche Objekte “Schwarze Löcher” genannt. Bei einem kleineren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit; bei einem größeren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Man nennt diesen Radius den “Schwarzschild-Radius” oder auch den Ereignishorizont.

Genaugenommen müsste man hier die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verwenden, da wir hier mit Sicherheit relativistische Effekte wegen der starken Raumkrümmung hätten. Interessanterweise ist die Formel für den Ereignishorizont (Schwarzschild-Radius) aber bei der ART die gleiche wie hier in der “Milchmädchenrechnung”.

 

Astronomie: Schwarzes Loch – Black Hole

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Entfernungsbestimmung, Gravitation, Schwarzschild-Metrik, Hertzsprung-Russel-Diagramm

Stand: 28.9.2022

Was ist ein Schwarzes Loch?

Ein Schwarzes Loch ist ein Körper, der an seiner Oberfläche eine so starke Gravitation hat, dass die “Fluchtgeschwindigkeit” größer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Demnach kann kein Licht und auch keine elektromagnetische Strahlung ein solches Schwarzes Loch verlassen.

Diese Fluchtgeschwindigkeit beträgt bekanntlich:

\( v^2 = \frac{2 G M}{R} \)

Es kommt also darauf an, ein sehr starkes Gravitationsfeld zu haben. Je näher ich an eine Masse herankomme, desdo stärker wird das Gravitationsfeld – wenn die Masse gleich bleibt; d.h. man müsste die Masse stark komprimieren. Wenn ich eine Masse so stark komprimiere, dass der sog. Schwarzschild-Radius erreicht wird, kann Licht nicht mehr entkommen. Diesen Schwarzschild-Radius nennt man auch den Ereignishorizont.

\(\Large R_S = \frac{2 G M}{c^2} \)

Beispiel: Um unsere Sonne (Radius 700.000 km) zu einem Schwarzen Loch zu machen, müsste man sie auf einen Radius von 3 km komprimieren.

Obwohl Karl Schwarzschild schon in 1916 die Gravitation solcher “Schwarzer Löcher” beschrieben hat, wurde der Begriff “Schwarzes Loch” erst 1967 von John Wheeler geprägt.

Entstehung von Schwarzen Löchern

Man unterscheidet verschiedene Arten von Schwarzen Löchern:

  • Stellare Schwarze Löcher   (Supernovaexplosion, Gravitationskollaps)
  • Supermassive Schwarze Löcher  (Zentren von Galaxien)
  • Primordiale Schwarze Löcher   (spekulativ: Urknall)

Stellare Schwarze Löcher

Stellare Schwarze Löcher entstehen aus Sternen. Es müssen im Universum also zunächst einmal Sterne entstanden sein und am Ende der “Lebenszeit” eines Sterns kann u.U. ein “stellares” Schwarzes Loch entstehen.

Ein Stern in der Endphase seines “Lebens” wird erst zu einem “Roten Riesen” und dann, wenn keine Kernfusion im Inneren mehr stattfindet, kollabiert er unter der Kraft seiner eigenen Gravitation. In Abhängigkeit von der Restmasse können unterschiedliche Stadien erreicht werden:

  • Restmasse <= 1.44 Sonnenmassen (sog. Chandrasekhar-Grenze): Weisser Zwerg
  • Restmasse > 1.44 Sonnenmassen: Nach Supernova entsteht ein Neutronenstern
  • Restmasse > 2.5 Sonnenmassen: Schwarzes Loch

Supermassive Schwarze Löcher

Supermassive Schwarze Löcher (im deutschen ganz korrekt eigentlich “super massereiche” Schwarze Löcher genannt) befinden sich im Zentrum von Galaxien…

Wie entstehen solche Supermassive Schwarze Löcher im Zentrum von Galaxien?

Primordiale Schwarze Löcher

sollen Schwarze Löcher sein, die bereits vor der Entstehung von Sternen, gleich nach dem Urknall (d.h. primordial) aus dem heißen Plasma auf Grund von Dichteschwankungen entstanden sein….