Gehört zu: Astronomie, Sonnensystem
Siehe auch: Himmelsmechanik, Entfernungsbestimmung, Newtonsche Mechanik, Lichtgeschwindigkeit
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Stand: 24.01.2026

Warnung / Disclaimer

Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber keinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut. Wenn ich Produkteigenschaften beschreibe, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.

Die Zeit von Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) lebte in bewegten Zeiten:

• 30 jähriger Krieg (1618-1648)
• Kleine Eiszeit (etwa 1570 bis 1630)
• Hexenverbrennungen (1550 und 1650)
• Gallileo Galilei (1564-1642)
• Nikolaus Kopernikus (1473-1543)
• …

Abbildung 1: Flammarion Holzschnitt (Wikimedia: FlammarionWoodcut.jpg)

Die Keplerschen Gesetze

Die bahnbrechende Erkenntnis von Kepler war, die Kreisbahnen des heliozentrischen Weltbildes von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) durch Ellipsen zu ersetzen. Johannes Kepler konnte dies durch Analyse der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546-1601) herleiten; besonders die relativ starke Exzentrizität (0,0934) der Bahn des Planeten Mars brachte Kepler dazu, Ellipsenbahnen anzunehmen. Einen genauen naturwissenschaftlichen Grund dafür konnte Kepler noch nicht angeben.

Kepler ging nicht von gesetzten Voraussetzungen aus (z.B. die Bahnen müssen aus Kreisen bestehen), sondern nur von dem, was beobachtet werden konnte; in diesem Fall von Tycho Brahes genauen Beobachtungsdaten.  Kepler konnte daraus die Form der Marsbahn nach jahrelangen Versuchen als Ellipse finden. Voraussetzung dafür war zunächst die genaue Kenntnis der Bahn der Erde um die Sonne, da Tycho ja die Marspositionen relativ zur Erde gemessen hatte. Keplers mathematisches Handwerkszeug war damals fast ausschießlich die Geometrie; deshalb findet man in seiner Veröffentlichung “Astronomia Nova” von 1609 sehr viele geometrische Zeichnungen mit umfangreichen verbalen Erläuterungen.

Tycho Brahe hatte in einem Zeitraum von 20 Jahren sehr genaue Messungen (besser als 1 Bogenminute) der Positionen der Planeten und von ca. 800 Fixsternen gemacht.

Die Fernsehsendung “Johannes Kepler, der Himmelsstürmer” im Sender arte am 08.08.2020 beleuchtete das geniale Werk von Johannes Kepler.

Abbildung 2: Tycho Brahes Mauerquadrant (Wikipedia)

1. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

2. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Keplersches Gesetz (1618 Harmonici Mundi)

Die Kuben der großen Halbachsen verhalten sich die die Quadrate der Umlaufzeiten.

Das erste Keplersche Gesetz

Eine Ellipse ist ein Kegelschnitt, der im Grenzfall (Exzentrizität = Null) ein Kreis wird.

Nach Newton haben wir eine Zentralkraft, die proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) abnimmt.

Mit ein “bisschen Mathematik” ergeben sich daraus geschlossene Ellipsen als Bahnform.

In cartesischen Koordinaten ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gegeben durch:

\( \Large \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2= 1 \\\)

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Maß für die Abweichung von der Kreisform und wird definiert durch:

\( \Large e = \frac{r_{max} – r_{min}}{r_{max} + r_{min}}  \) (Wobei mit r_min und r_max immer die Entfernungen Sonne-Planet gemeint sind)

Zur Zeit beträgt die Exzentrizität der Erdbahn e = 0,0167 und schwankt mit dem Milankowitsch-Zyklus in T=100.000 Jahren minimal. Die Solarkonstante ändert sich mit vergleichsweise geringem Effekt (~2,4 W/m²). Quelle: https://wiki.bildungsserver.de/klimawandel/index.php/Erdbahnparameter

In Polarkoordinaten kann man die Bahn beschreiben als:

\(\Large r =  \frac{a (1 – \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cos{\phi}} \\ \)

Das zweite Keplersche Gesetz

Das zweite Keplersche Gesetz folgt allein aus der Tatsache, dass die wirkende Kraft immer genau in Richtung auf die Sonne gerichtet ist (sog. “Zentralkraft”). Damit muss nämlich der Drehimplus des Systems Sonne-Planet konstant bleiben.

Der Drehimplus des Systems Sonne-Planet ist bekanntlich:

\( L = m \cdot r \cdot v = m \cdot r^2 \cdot \omega   \)

Für die “überstrichene Fläche” A(t) gilt infinitesimal:

\( dA = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) \cdot dt \)

Womit die “Flächengeschwindigkeit” eben konstant bleibt:

\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) = \frac{L}{2 m} = const. \)

Quelle: https://www.forphys.de/Website/mech/kepler2.html

Als Beispiel habe ich mal die Bahn der Erde um die Sonne schematisch dargestellt. Das Produkt Bahngeschwindigkeit (v) mal Entfernung Erde-Sonne (r) ist proportional zum Drehmoment.

Abbildung 3: Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne (pCloud: Ellipse.svg)

Die Abweichung von der Kreisbahn ist beim Planeten Merkur noch größer. Die Exzentrizität der Merkur-Bahn beträgt 0,206.

Abbildung 4: Schematische Darstellung der Merkur-Bahn (pCloud: Ellipse_Merkur.svg)

Wegen der hohen Bahngeschwindigkeit des Merkur sind auch relativistische Effekte zu beobachten…

Bei einer Ruhemasse von m₀ ergibt sich die relativistische Masse ja zu:

\( m_{rel} = \Large\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \)

wodurch sich leichte Unterschiede in der Masse des Merkur über seine Umlaufbahn hinweg ergeben (“Störungen”), was zu leicht unterschiedlichen Anziehungskräften führt, was schließlich die reine Kepler-Ellipse seiner Bahn beeinträchtigt.

Das dritte Keplersche Gesetz

Das “Dritte Keplersche Gesetz” bezieht sich nicht auf die Umlaufbahn eines Planeten, sondern setzt die Umlaufbahnen zweier Planeten zueinander in Beziehung, die sich um den gleichen Zentralkörper in Ellipsen bewegen (eventuelle Störungen durch weitere Körper vernachlässigen wir dabei).
Hier geht Kepler also schon (impliziet) von einem heliozentrischen Weltbild aus (Kopernikus).

Die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die Kuben der mitteren Entfernung. Als Formel also:

\( \Large \frac{a^3_1}{T^2_1} =  \frac{a^3_2}{T^2_2} \\\)

Wenn man die Werte für die Planeten unseres Sonnensystems in doppelt logarithmischen Koordinaten aufträgt, bekommt man eine gerade Linie.

Abbildung 5: Keplers Drittes Gesetz Unser Sonnensystem  (pCloud: 20240604 Kepler Drittes Gesetz.svg)

Wenn wir als Beispiel einmal die Bahnen von Erde und Jupiter vergleichen, so bekommen wir:

Erde:      T₁ = 1 Jahr,           a₁ = 1 AE
Jupiter: T₂ = 11,86 Jahre,  a₂ = 5,2 AE

rechnerisch also:

\( \Large \frac{a^3}{T^2} = \frac{5.2^3}{11.86^2} = \frac{140.608}{140.6596} \\ \)

Durch Messung der (siderischen) Umlaufszeit eines Planeten könnten wir so also die Gr0ße Halbachse seiner Bahn bestimmen.

Das Dritte Keplersche Gesetz sagt damit etwas aus über den Zentralkörper: die Sonne. Wenn wir ein wenig vorgreifen, ist es die Masse des Zentralkörpers (M), die wir aus der Bahn eines umlaufenden Himmelskörpers bestimmen können; nach der Formel:

\( \frac{a^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4 \pi^2}\\ \)

Schritt für Schritt kommen wir zu diesem Ergebnis:

\( \frac{a^3}{T^2} = const. \)

Wobei T die (siderische) Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne ist und a die große Halbachse seiner Bahn um die Sonne.

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Stand: 03.06.2026

Methoden zur Massenbestimmung

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Die Masse eines Himmelsobjekts (z.B. Planet, Stern, Galaxie,…) kann man anhand der Wirkung dieser Masse bestimmen. Solche Wirkungen sind:

• Gravitative Wirkung auf die Bewegung (Kinematik) eines anderen Himmelskörpers (Kepler-Bahnen)
• Viralsatz (Energien)
• Lichtablenkung als sog. Gravitationslinse (Allgemeine Relativitätstheorie)

Massenbestimmung über Kepler-Bahnen

Bei einer Kreisbahn eines Planeten um die Sonne muss die Gravitationskraft (Anziehungskraft) immer genau der Zentripedalkraft der Planetenbahn entsprechen. Also:

\(  F = G \frac{m \cdot M}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{a}   \)

Die Masse des Planeten m kürzt sich heraus:

\(  G \frac{M}{r^2} =  \frac{v^2}{a}   \)

Die Bahngeschwindigkeit v erhalten wir als:

\( v = \frac{2 \pi a}{T} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\(  G \frac{M}{a^2} = \frac{4 \pi^2 a^2}{a \cdot T^2} \)

oder umgestellt:

\( \frac{G \cdot M}{4 \pi^2} = \frac{a^3}{T^2} = const. \)

Quelle: https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/mechanik_2/kepler/keplergravi.htm

Umlaufszeiten und Große Halbachse kann man meistens leicht messen. Zur Bestimmung der Masse des Zentralkörpers fehlt also noch die Größe der Gravitationskonstanten G. Deshalb sagte man zu den Experimenten, die Gravitationskonstante zu bestimmen: “Wir wiegen die Erde”.

\(  M = \frac{4\pi^2}{G} \frac{a^3}{T^2}  \)

Bestimmung der Erdmasse

Anhand der Bahndaten des Mondes bestimmen wir die Masse der Erde mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.

Bahndaten Mond

• Umlaufzeit (siderischer Monat)   27,32166 Tage =  2 360 591,424 s
• Große Halbachse  383 397,7916 km = 383 397 791,6 m  (zur Messung benötigt man die Entfernung des Mondes)

Nach dem 3. Keplerschen Gesetz finden wir:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{383397 791.6^3}{2360591.424^2} = 5.9822 \cdot 10^{24} kg\)

Bestimmung der Sonnenmasse

Anhand der Bahndaten der Erde bestimmen wir die Masse der Sonne mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.

Bahndaten Erde

• Umlaufzeit (siderisches Jahr)  365,256 363 2 Tage  =  31 558 149,78048 s
• Große Halbachse  149 598 022,96 km =  149 598 022 960 m  (zur Messung benötigt man die Entfernung der Sonne)

Nach dem 3. Keplerschen Gesetz finden wir:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{149598022960^3}{31558149.8^2} = 1.98842 \cdot 10^{30} kg\)

Bestimmung der Jupitermasse

Anhand der Bahndaten des Jupitermondes Kallisto bestimmen wir die Masse des Jupiters mithilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes.

Bahndaten Kallisto

• Umlaufzeit 16,689 Tage  =  1.441.929,60 s
• Große Halbachse  1882700 km =1.882.700.000 m   (zur Messung benötigt man die Entfernung des Jupiters)

Nach dem 3. Kaplerschen Gesetz finden wir:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{1882700000^3}{1441929.6^2} = 1.90 \cdot 10^{27} kg\)

Der Kuiper-Gürtel

Der Kuiper-Gürtel in unserem Sonnensystem soll sich in Entfernungen von 30 bis 50 AU befinden.

Nach dem 3. Keplerschen Gesetz ergiebt das Umlaufzeiten von 165 bis 350 Jahren, wenn wir annehmen, dass die Masse innerhalb von 30 AU im wesentlichen die gleiche ist, wie bei den Planetenbahnen – also einfach die Sonnenmasse.

Die meisten der kurzperiodische Kometen (Umaufszeit kleiner 200 Jahre) stammen wohl aus dem Kuiper-Gürtel während langperiodische Kometen von weiter draussen kommen, was man die Oortsche Wolke nennt.

Schwarzes Loch im Zentrum unserer Galaxis

Um das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis (Sgr A*) kreisen einige Sterne, deren Bahnen man bestimmen konnte.

Bahndaten des Sterns S2

• Umlaufzeit: 16,018 Jahre = 5850,5745 Tage = 505489637 s
• Große Halbachse: ca. 950 AE = 1,4 10¹¹ km = 1,4 10¹⁴ m

Mit diesen Bahndaten von S2 finden wir nach dem 3. Keplerschen Gesetz:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{1,4 10 14^3}{505489637^2} = 6.352 \cdot 10^{36} kg\)

Diese Masse entspricht 3,19 Mio Sonnenmassen. Heutzutage (2026) gehen die Wissenschaftler von 4,1 Mio Sonnenmassen aus.

Masse unserer Galaxis

Das dritte Keplersche Gesetz gilt nicht nur für eine Punktmasse im Zentrum. Die Zentralmasse ist einfach die im Bahnradius eingeschlossene Masse – auch wenn sie räumlich verteilt ist. Der Radius ist dabei der Abstand vom Schwerpunkt der eingeschlossenen Masse.

Unser Sonnensystem umkreist das Zentrum (Schwerpunkt) der Galaxie in einer annäherungsweisen Kreisbahn.

Bahndaten Sonnensystem

• Umlaufzeit: ca. 230 Mio Jahre = 84 007,5 Mio Tage = 7 258 248 000 Mio s = 7,258248 10¹⁵ s
• Radius: ca. 26000 LJ = 245 960 Billionen km = 2,46 10¹⁷ km = 2,46 10²⁰ m

Mit diesen Bahndaten des Sonnensystems finden wir nach dem 3. Keplerschen Gesetz als umschlossene Masse:

\( \Large M = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{a^3}{T^2} = \frac{4 \pi^2}{6.77} \cdot \frac{2,46^3 \cdot 10^{60}}{7.258248^2 \cdot 10^{30}} = 1.69 \cdot 10^{41} kg\)

Diese Masse entspricht 8,5 10¹⁰ Sonnenmassen. Das wäre die Masse (also leuchtende und dunkle Materie) im umschlossenen Raum.

Wenn man die Gesamtmasse ermitteln wollte, müsste man die Geschwindigkeit von Materie am äußersten Rand der Milchstrasse messen. Das macht man heutzutage (2026) durch Messung der 21cm-Linie von Wasserstoff-Wolken. Damit kommen die Wissenschaftler auf ca. 1,5 Billionen Sonnenmassen (1,5 10¹²)

Massenbstimmung über den Viralsatz

Fritz Zwicky (1898-1974) hat 1933 versucht, die Masse des Coma Galaxienhaufens mit Hilfe des Viralsatzes zu bestimmen.

Originalarbeit: https://articles.adsabs.harvard.edu/pdf/1933AcHPh…6..110Z

In dem Coma Cluster bewegen sich ca. 800 Galaxien durch ihrer Gravitation gebunden auf ungeordneten Bahnen (d.h. keine Vorzugsrichtung). Wir können weiterhin annehmen, dass der Haufen genug Zeit hatte, eine sog. “Entspannung” zu erreichen; also alles ist “eingeschwungen” und im Prinzip ändert sich nichts mehr an der Kinematik – der Haufen hat sich also nicht aufgelöst. In so einem Fall gilt der sog. Viralsatz:

\( E_{kin} = – \frac{1}{2} E_{pot}  \)

Die kinetische Energie kommt dabei aus den Bewegung der Galaxien und die potentielle Energie beruht auf dem Gravitationsfeld des Haufens, letztlich also auf seiner Masse.

Zwicky hat in dem Haufen die mittleren Rotverschiebungen der Galaxien gemessen. Zwar sind das zunächst “nur” die Radialgeschwindigkeiten. Da die Galaxien ohne Vorzugsrichtungen “wild” durcheinander fliegen, sind auch die Geschwindigkeitskomponenten in den tangentialen Richtungen im Mittel gleich groß. 

Damit kommt Zwicky auf eine mittlere Rotverschiebung von 1000 km/s.

Die mittlere Masse einer typischen Galaxies kannte Zwicky auch (10⁹ Sonnenmassen); sodass über die Anzahl von Galaxien im Haufen sich die E_kin des Haufens ergab.

Der Viralsatz sagt dann wie groß die E_pot des Haufens ist; woraus sich die Gesamtmasse M_cluster ergibt.

Zwicky hat dann versucht, die Masse des Haufens unabhängig abzuschätzen (Zählung der Galaxien und Abschätzung der Masse aus der Leuchtkraft). Dabei kam er auf ein viel kleinere Masse (1/400) als M_cluster. Die Masse hätte nicht ausgereicht, den Haufen zusammenzuhalten. Also schloss Zwicky, dass es da zusätzliche Materie geben muss, die zwar gravitativ wirkt, aber unsichtbar ist. Zwicky nannte dies “Dunkle Materie”. Zu seiner Zeit (1933) wurde diese seine These von der allgemeinen Wissenschaft nicht anerkannt. Erst in den 1960 Jahren (Vera Rubin) setzte sich die Idee der “Dunklen Materie” in der Wissenschaft durch.

Später stellte es sich durch Radioastronomie heraus, dass ein Teil der “fehlenden” Materie im  Coma-Haufen durch größere Mengen Gas, das im Röntgenbereich leuchtet, erklärt werden konnte. Dadurch milderte sich der Faktor 1/400 zwar etwas ab, aber verschwand keineswegs. Heutige Zahlen schätzen die Massenanteile wie folgt: 2% klassische Materie, 13% Gas, 85% Dunkle Materie.

Massenbestimmung über Gravitationslinsen

Gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) wird Licht durch Gravitation (z.B. einer großen Masse) abgelenkt. Gemäß den Formeln der ART ergibt sich der Ablenkwinkel einer Punktmasse (bzw. einer sphärisch symmetrischen) zu:

\(  \alpha(b) = \frac{4 G M}{b \cdot c^2} \)  (im Bogenmaß)

Mit: G = Gravitationskonstante, M = Masse des ablenkenden Objekts, c = Lichtgeschwindigkeit, b = kürzester Abstand des Lichtstrahls vom Mittelpunkt der Masse.

Quelle: https://www.spektrum.de/sixcms/media.php/1308/WIS-2022-04-OS-Einstein.pdf

Wenn man die Größe der Ablenkung misst, kann man daraus Rückschlüsse auf die beteiligte Masse ziehen.

Beispiel: Lichtablenkung am Sonnenrand

Für paralleles Licht (z.B. von einem weit entfernten Stern) am Sonnenrand (minimales b=R, maximale Lichtablenkung) würde gelten:

\( \alpha = \frac{4 \cdot G \cdot M}{R \cdot c^2} rad \)

Setzt man hier die bekannten Werte für G, M, R und c ein, bekommt man als Ablenkung 1.75 arcsec. Was Arthur Eddington und Frank Dyson bei der Sonnenfinsternis am 19.5.1919 auch gemessen haben sollen. 

Wenn das weitentfernte Objekt (Quelle) exakt in der Sehachse (Sehstrahl) Beobachter-Gravitationslinse steht, kann ein sog. Einsteinring entstehen, wenn die bestimmte Abstände zwischen Quelle und Linse (D₁) sowie zwischen Linse und Beobachter (D₂) vorhanden sind.

Wenn das Linsenobjekt undurchsichtig ist und genau auf dem Sehstrahl steht, wird das Quell-Objekt dadurch verdeckt und es ist nur der Ring zusehen und kein helles Objekt in der Mitte.

Im asymetrischen Fall, wenn Linse und Source nicht ganz genau auf dem Sehstrahl stehen, wird der Einsteinring  entsprechend verzerrt. Meist hat man dann zwei Bilder: einen kleinen Kreisbogen nahe am Mittelpunkt und einen größeren Kreisbogen gegenüber in weiterer Entfernung. Diese beiden Kreisbögen können bei schwächeren Objekten dann zu kleinen sternähnlichen Lichtflecken degenerieren. Dass die beiden Lichtflecken nur Bilder ein und derselben Lichtquelle sind, kann man z.B. durch Untersuchung der Spektren feststellen. Diese Effekte kann man sich sehr schön mit einer Web-Applikation von Thomas Müller verdeutlichen: https://astro-apps.org/GravLens/index.html

Erste Arbeiten zum Thema Gravitationslinsen sind von Sjur Refsdal (1935-2009) bekannt, der lange an der Bergedorfer Sternwarte gearbeitet hat. Dort wurden auch Weingläser zur Demonstration der Lichtablenkung durch Gravitationslinsen benutzt.

Abbildung 6: Geometrie einer Gravitationslinse (pCloud: 20260529 Gravitational Lens Dietrich Kracht.svg)

Aus der Zeichnung erkennen wir:

\( \Large \tan{\theta_1} = \frac{\Large b}{D_1} \text{ und } \tan{\theta_2} = \frac{\Large b}{D_2}\\ \)

Der gesammte Ablenkwinkel durch die Masse M ist:

\( \Large \alpha = \theta_1 + \theta_2 = \frac{4 \cdot G \cdot M}{b\cdot c^2} \)

Bei kleinen Winkeln setzten wir 

\( \Large \tan{\theta_i} = \theta_i \\\)

und erhalten so:

\( \Large \frac{b}{D_1} + \frac{b}{D_2} = \frac{4 \cdot G \cdot M}{b\cdot c^2} \\\)

===== Hier sieht man woher das Licht kommt (θ₁), was der Beobachter im Winkelabstand θ₂ sieht. Wir brauchen dann doch soetwas wie eine Linsengleichung ======

Da das Ganze rotationssymmetrisch um die Sehachse ist, sieht der Beobachter einen Ring, den sog. Einsteinring.

\(b = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{D_1 \cdot D_2}{D_1 + D_2}}\) wird der Einsteinradius genannt.

\(\theta_2 \) wird der Einsteinwinkel genannt

Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_radius

Link: https://anthrowiki.at/Einsteinring

Wenn wir die Entfernungen der Objekte kennen (D₁ und D₂ z.B. durch Rotverschiebung) dann ergibt sich aus einer Messung des Einsteinwinkels θ₂ die Masse der Gravitationslinse M.

Beispiel für eine Gravitationslinse

Ein sehr bekanntes Objekt dieser Art ist LRG 3-757.

Abbildung 7: Einsteinring LRG 3-757 (Wikipedia)

Messungen:

• In den Spektren misst man Rotverschiebungen von: Source: z_S = 2.379,  Lens: z_L = 0.444 
• astrometrisch messen wir einen Einsteinwinkel (Radius) von 5 arcsec.

Mit einem bestimmten Kosmologischen Modell können wir die Rotverschiebungen z in Entfernungen umrechnen.

Wir nehmen als Kosmologische Modell (ΛCDM):

• Den Hubble-Parameter  \(H_0 = 70 \, km \, s^{-1} Mpc^{-1}\) 
• Die relative Materie/Energie-Dichte (baryonische und Dunkle Materie) \( \Omega_m = 0.3 \)
• Die relative Materie/Energie-Dichte (Vakuum) \( \Omega_\Lambda = 0.7 \)

Siehe V. Belokurov et al:  Original-Paper.

Mit diesem Kosmologischen Modell ergeben sich die Entfernungen (comoving distance) aus dem Cosmological Calulator von Ned Wright zu:

D₂ = 1702.2 Mpc  und  D₁ + D₂ = 5682.2 Mpc,  also D₁ = 3980.0 Mpc

Wobei 1 Mpc = 3.08568*10²² m 

Als Einsteinwinkel hatten wir ja:

\( \tan \theta_2 = \frac{b}{D_2} \\ \)

Wenn wir jetzt b einsetzen und nach M auflösen erhalten wir für kleine Winkel:

\( M = \frac{\theta_2^2 \cdot c^2 (D_1 + D_2) D_2}{4 G\cdot D_1} \)

So ergibt sich aus diesen Messungen die Masse des linsenden Objekts zu: 2.685 10⁵⁸ kg =1,35 10²⁸ M_Sonne.

Das wäre rechnerisch die Masse einer punktförmigen Linse. Die Linse wird aber als zylindrisch ausgedehnt angenommen, womit  die Autoren auf eine Masse von 5,4 10¹² M_Sonne kommen. Oder Rechenfehler? Oder Denkfehler?