Astronomie: Die Keplerschen Gesetze

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Die Zeit von Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) lebte in bewegten Zeiten:

  • 30 jähriger Krieg (1618-1648)
  • Kleine Eiszeit (etwa 1570 bis 1630)
  • Hexenverbrennungen (1550 und 1650)
  • Gallileo Galilei (1564-1642)

Flammarion Holzschnitt (Wikipedia)

Die Keplerschen Gesetze

Johannes Kepler konnte durch Analyse der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546-1601) die drei sog. “Keplerschen Gesetze”  herleiten.
Tycho Brahe hatte in einem Zeitraum von 20 Jahren sehr genaue Messungen der Postionen der Planeten und von ca. 800 Fixternen gemacht.

Die bahnbrechende Erkenntnis von Kepler war, die Kreisbahnen des heliozentrischen Weltbildes von Nikolaus Kopernikus (1473-1543) durch Ellipsen zu ersetzen.

Die Fernsehsendung “Johannes Kepler, der Himmelsstürmer” im Sender arte am 08.08.2020 beleuchtete das geniale Werk von Johannes Kepler.

1. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

2. Keplersches Gesetz (1609 Astronomia Nova)

Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Keplersches Gesetz (1618 Harmonici Mundi)

Die Kuben der großen Halbachsen verhalten sich die die Quadrate der Umlaufzeiten.

Das Gravitationsgesetz

Später, im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( F = \gamma \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das erste Keplersche Gesetz

Eine Ellipse ist ein Kegelschnitt, der im Grenzfall (Exzentrizität = Null) ein Kreis wird.

Nach Newton (s.o.) haben wir eine Zentralkraft, die proportional zu \( \frac{1}{r^2} \) abnimmt.

Mit ein “bisschen Mathematik” ergeben sich daraus geschlossene Ellipsen als Bahnform.

In cartesischen Koordinaten ist eine Ellipse mit den Halbachsen a und b gegeben durch:

\( \Large \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2= 1 \)

 

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Maß für die Abweichung von der Kreisform und wird definiert durch:

\( \Large e = \frac{r_{max} – r_{min}}{r_{max} + r_{min}}  \) (Wobei mit rmin und rmax immer die Entfernungen Sonne-Planet gemeint sind)

Das zweite Keplersche Gesetz

Das zweite Keplersche Gesetz folgt allein aus der Tatsache, dass die wirkende Kraft immer genau in Richtung auf die Sonne gerichtet ist (sog. “Zentralkraft”). Damit muss nämlich der Drehimplus des Systems Sonne-Planet konstant bleiben.

Der Drehimplus des Sytems Sonne-Planet ist bekanntlich:

\( L = m \cdot r \cdot v = m \cdot r^2 \cdot \omega   \)

Für die “überstrichene Fläche” A(t) gilt infenitesimal:

\( dA = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) \cdot dt \)

Womit die “Flächengeschwindigkeit” eben konstant bleibt:

\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \cdot r(t) \cdot v(t) = \frac{L}{2 m} = const. \)

Quelle: https://www.forphys.de/Website/mech/kepler2.html

Als Beispiel habe ich mal die Bahn der Erde um die Sonne schematisch dargestellt. Das Produkt Bahngeschwindigkeit (v) mal Entfernung Erde-Sonne (r) ist proportional zum Drehmoment.

Schematische Darstellung der Bahn der Erde um die Sonne

Das dritte Keplersche Gesetz

Wenn man die Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne mit T bezeichnet und die große Halbachse seiner Bahn um die Sonne mit r, so kann man dieses Gesetz formelmäßig wie folgt formulieren:

\( \frac{r^3}{T^2} = const. \)

Die Gravitationskraft (Anziehungskraft) muss immer genau der Zentripedalkraft in der Planetenbahn entsprechen. Also:

\(  F = \gamma \frac{m \cdot M}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}   \)

Die Masse des Planeten m kürzt sich heraus:

\(  \gamma \frac{M}{r^2} =  \frac{v^2}{r}   \)

Die Bahngeschwindigkeit v erhalten wir als:

\( v = \frac{2 \pi r}{T} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\(  \gamma \frac{M}{r^2} = \frac{4 \pi^2 r^2}{r \cdot T^2} \)

oder umgestellt:

\( \frac{\gamma \cdot M}{4\pi} = \frac{r^3}{T^2} = const. \)

Quelle: https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/physik/unterrichtsmaterialien/mechanik_2/kepler/keplergravi.htm