Astronomie: Entfernungsbestimmung

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Sonnensystem, Kosmologie

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https://libernaturaererum.files.wordpress.com/2012/10/vermessung.pdf

Überblick

  • Erathostenes Erdumfang
  • Aristarch von Samos: Erde – Mond – Sonne
  • Vom Erdumfang zum Urmeter
  • Parallaxe des Mondes
  • Parallaxe der Sonne
  • Bessel: Parallaxe von Fixsternen
  • Standardkerzen: Delta Cepheiden
  • Standardkerzen: Supernovae vom Typ Ia
  • Hubble: Rotverschiebung

Erathostenes: Die Erdumfang

Erste bekannte Bestimmung des Erdumfangs stammt von Erathostenes (276 v.Chr – 194 v.Chr.), einem Freund des Archimedes.

Erathostenes beobachtete, das in Syene (heute Assuan) die Sonne bei ihrem Höchststand ganz senkrecht in einen tiefen Brunnen schien – Assuan liegt auf dem Wendekreis. In Alexandria dagegen erreichte die Sonne bei ihrem Höchststand nicht die genaue senkrechte, sondern warf einen kleinen Schatten. Diesen Einfallswinkel der Sonne bestimmte er zu 1/50 eines Kreises, also ca. 7,2 Grad.

Die Entfernung von Alexandria nach Syene war damas durch Landvermessung bekannt, nämlich 5000 Stadien. Also musste der Erdumfang 50 * 5000 Stadien = 250000 Stadien sein. Die Frage ist nur noch, welche Länge hatte damals ein Stadie…

Bild: http://media-2.web.britannica.com/eb-media/49/66649-004-0C10672E.gif

Encyplopaedia Britannica

Erathostenes

Aristarch von Samos: Erde – Mond – Sonne

Aristarch von Samos (310-250 v.Chr.) hat versucht, die Entfernungen von Mond und Sonne in Relation zu setzen. Er nutzte dazu die Stellung dieser Gestirne bei Halbmond aus:

Aristarch von Samos

Quelle: http://www.venus-transit.de/Halley/aristarch.gif

Aristarch hat den Winkel von Mitte Halbmond zu Mitte Sonne mit 87  “gemessen” (er sagte: “Ein Dreißigstel des Viertelkreises weniger als ein Viertelkreis”). Daraus ergibt sich das Verhältnis von Mondentfernung zu Sonnenentfernung wie 1 zu 19.

Die heutigen Zahlen sind:

  • Entfernung Erde – Mond:  384400 km
  • Entfernung Erde – Sonne: 150000 Mio km

Also ist das Verhältnis 1 zu 390.

Hier lag Aristarch also ziemlich weit daneben. Die Ungenauigkeit ist vielleicht verständlich, weil erstens der Halbmond nicht ganz so scharf zu bestimmen ist und zweitens so ein großer Winkel am Taghimmel auch nicht so einfach zu messen ist.

Trotz der – aus heutiger Sicht – großen Ungenauigkeit dieses ersten Versuchs von Aristarch, ist das Ergebnis für die damalige Zeit revolutiomär, denn bis dahin ging man davon aus, dass alle Gestirne am Himmel in etwa die gleiche Entfernung von der Erde haben – die sog. “Himmelskugel”.

Vom Erdumfang zum Urmeter

1791 beschloss die verfassungsgebende  Versammlung in Paris, die verschiedenen auf der Welt verwendeten Längenmaße zu vereinheitlichen. Das neue Längenmaß sollte später das “Meter” werden. Es wurde als zehn-millionster Teil des Viertels desjenigen Erdumfangs festgelegt, der Paris und den Nordpol berührt, definiert. 1793 wurde das Meter in Frankreich gesetzlich eingeführt.

Siehe: Die Jagd nach dem Meter: Das Urmeter

Nach heutigen Messungen beträgt der Umfang der Erde ca. 40000 km.

1960 wurde dieses “Urmeter” durch eine neue Definition im SI-System abgelöst.

Entfernungsbestimmung durch Messung der Parallaxe

Grundlage ist die Tatsache, dass alle Himmelskörper an die Himmelssphäre projiziert erscheinen. Verändert der Beobachtungsort seine Lage, so verschiebt sich der projizierte Ort am Himmel. Diese parallaktische Verschiebung ist umso größer, je größer die Ortsveränderung des Beobachters und je näher das Gestirn ist (siehe Abb. 2). Eine Standortänderung eines Beobachters auf der Erde ergibt sich durch deren Rotation (tägliche Parallaxe), die Bewegung der Erde um die Sonne (jährliche Parallaxe) und die Bewegung der Sonne mitsamt den Planeten im Milchstraßensystem (säkulare Parallaxe).

Bestimmung der Entfernung Erde – Mond durch Parallaxe

Die Entfernung zum Mond kann durch Messung seiner täglichen Parallaxe bestimmt werden.

Dazu nimmt man zwei Beobachter auf möglichst unterschiedlichen geografischen Breiten und möglichst gleicher geografischer Länge…

Ptolemäus (160 – 125 v.Chr.) konnte die tägliche Parallaxe des Mondes anhand der Beobachtung von Mondfinsternissen zu 53,9′ bestimmen, was recht gut zu dem heutigen Wert von 57′ passt.

Mit einem Erdradius von R = 6371 km ergibt sich daraus eine Entfernung von D = R /Bogenmass(57′).

\( D = \Large \frac{6371 km}{57 \cdot \frac{2 \pi}{360 \cdot 60}} = \frac{6371 km}{0,0165806279}\)

Daraus ergibt sich eine Entfernung Erde – Mond von  D = 384244 km

Bestimmung der Entfernung Erde – Mars durch Parallaxe

Den ersten Erfolg mit einer Parallaxemessung hatte J. D. Cassini (1625-1712), der 1672 die Marsparallaxe bestimmte. Von England und von Frankreich aus wurde zu gleicher Zeit der Ort des Planeten Mars unter den Fixsternen gemessen und damit seine Entfernung von der Erde bestimmt. Mit Hilfe des dritten Keplerschen Gesetzes konnten damit auch die Entfernungen der Erde und der übrigen Planeten von der Sonne bestimmt werden. Als Abstand Erde – Sonne (die astronomische Einheit) erhielt man einen Wert von 134 bis 140 Millionen Kilometer. (Heute gültiger Wert: 149,6 Millionen km.)

Bestimmung der Entfernung Erde – Sonne durch Parallaxe

Die Entfernung zur Sonne kann durch Messung ihrer täglichen Parallaxe bestimmt werden.

Die täglichen Parallaxe der Sonne beträgt am Erdäquator 8,8” (z.B. Venusdurchgang).

Venusdurchgänge 1761 und 1769

Mit einem Erdradius von R = 6371 km ergibt sich daraus eine Entfernung von D = R /Bogenmass(8,8″).

\( D = \Large \frac{6371 km}{8,8 \cdot \frac{2 \pi}{360 \cdot 60 \cdot 60}} = \frac{6371 km}{0,0000426636}\)

Daraus ergibt sich eine Entfernung Erde – Sonne von D = 149 331 032 km.

Die Entfernungseinheit: 1 Astronomische Einheit (A.E.) = 150 Mio km – wird benutzt, um Entfernungen innerhalb unseres Sonnensystems anzugeben.

Sterne in unserer Nähe: Parallaxe

Die Entfernung zu Fixsternen ausserhalb unseres Sonnensytems können wir durch Messung der “jährlichen Parallaxe”, also mit der Basis des Erdbahnradius von 150 Mio km bestimmen.

Entfernungseinheit: 1 Parsec (für Parallaxen Sekunde) – die Entfernung, in der die Paralaxe 1 Bogensekunde beträgt.

Wilhelm Bessel (1784-1846) konnte als erster eine solche Parallaxe messen und zwar beim Stern 61 Cyg. Bessel hat in den Jahren 1837/38 die Parallaxe von 61 Cyg zu 0,31″ bestimmt, was eine Entfernung von 3,26 Parsec also 10,5 Lichtjahre ergibt. Neuere Messungen der Parallaxe ergeben: 0,286″.

Damit war auch das Heliozentrische Weltbild endgültig bestätigt. Die Erde bewegt sich um die Sonne. Die Parallaxen sind ein Spielgelbild dieser Erdbewegung.

 Größe  Wert Einheit  Formel
Basis  1 A.E.
Basis  149,5979 Mio km
Basis  1,495979 1011 m
Winkel  1 Bogensekunde
Winkel  4,8481 10-6 Bogenmass  2 pi / (60*60*360)
Parsec  3,0857 1013 km   Basis / Winkel
Parsec  3,0857 1016 m
Parcec  1  pc

Zum Vergleich: 1 Parsec = 3,259 Lichtjahre.

Sehr gerne wird von Astronomen die daraus abgeleitete Entfernungseinheit “Mega Parsec” verwendet…

Durch genaue Messung der Parallaxe kann mann heute die Entfernungen im Sonnensystem und auch zu den Sternen in der näheren Umgebung bis ca. 300 Lichtjahre messen.

Längeneinheit: Lichtjahr

Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht (im Vakuum) in einem Jahr zurücklegt.

Die Lichtgeschwindigkeit ist im SI-System festgelegt als: 299.792.458 m/s

Größe  Wert Einheit  Formel
Lichtgeschwindigkeit  2,99792458 108  m/s
Jahr  365,25  Tage
Jahr  3,1558 107  Sekunden  Tage*60*60*24
Lichtjahr  9,4607 1015  m  Geschwindigkeit * Zeit
Lichtjahr   1  ly

Das Lichtjahr wird gerne in populärwissenschaftlichem Zusammenhang benutzt.

Beispiel: Milchstraße

Der Durchmesser unserer Milchstrasse beträgt 100.000 Lichtjahre…

Beispiel: Proxima Centauri

Die Entfernung zu unserem nächstgelegenen Fixstern “Proxima Centauri” beträgt: 4,24 ly

Mit einem modernen Verkehrsflugzeug (1000 km/h) würde eine Reise dorthin 4,6 Mio Jahre dauern.

Längeneinheit: Angström

1 Angström = 0,1 Nano Meter (nm) = 10-10 m

Standard-Kerzen: Delta Cepheiden

Henrietta Swan Leavitt (1868-1921) entdeckte 1912  die “Perioden-Leuchtkraft-Beziehung” anhand von Aufnahmen der Kleinen magellanschen Wolke (SMC).

Cepheiden sind Pulsationsveränderliche – ihre Leuchtkraft bzw. Helligkeit verändert sich streng periodisch.
Die Helligkeit hängt bei Cephiden mit der Länge ihrer Periode zusammen (Perioden-Leuchtkraft-Beziehung)
Cepheiden dienen zur Entfernungsmessung im Kosmos: aus der Beobachtung der Periodendauer kann man direkt auf die absolute Helligkeit schließen. Durch die Messung der scheinbaren Helligkeit dann mit dem Entfernungsmodul die Entfernung berechnen werden.

Die Cepheiden in der SMC haben ja alle die gleiche Entfernung, deshalb gilt die Beziehung zwischen Periode und Helligkeit auch für die absolute Helligkeit, also die Leuchtkraft. Es ist ledigleich eine Kalibrierung erforderlich.
\(m – M = 5 \cdot (\lg{r} – 1) \)

\(r = 10^{1+\frac{m-M}{5}} \)

1913 gelang Ejnar Hertzsprung (1873-1967) dann die Bestimmung der Entfernung einiger Cepheiden der Milchstraße, womit die Entfernung (und damit die absolute Helligkeit) zu allen Cepheiden kalibriert werden konnte.

Die Cepheiden-Methode reicht bis knapp zu den Galaxien des Virgo-Galaxienhaufes (Entfernung bis 23 Mpc) und dient so auch der Entfernungsbestimmung extragalaktischer Systeme.

Standard-Kerzen: Supernovae vom Typ Ia

Eine Supernova ist das kurzzeitige, helle Aufleuchten eines massereichen Sterns am Ende seiner Lebenszeit durch eine Explosion, bei der der ursprüngliche Stern selbst vernichtet wird. Die Leuchtkraft des Sterns nimmt dabei millionen- bis milliardenfach zu, er wird für kurze Zeit so hell wie eine ganze Galaxie.

Man kennt zwei grundsätzliche Mechanismen, nach denen Sterne zur Supernova werden können:

  1. Massereiche Sterne mit einer Anfangsmasse von mehr als etwa acht Sonnenmassen, deren Kern am Ende ihrer Entwicklung und nach Verbrauch ihres nuklearen Brennstoffs kollabiert. Hierbei kann ein kompaktes Objekt, etwa ein Neutronenstern (Pulsar) oder ein Schwarzes Loch, entstehen. Dieser Vorgang wird als Kollaps- bzw. hydrodynamische Supernova bezeichnet.
  2. Sterne mit geringerer Masse, die in ihrem vorläufigen Endstadium als Weißer Zwerg Material (z. B. von einem Begleiter in einem Doppelsternsystem) akkretieren, durch Eigengravitation kollabieren und dabei durch einsetzendes Kohlenstoffbrennen zerrissen werden. Dieses Phänomen wird als thermonukleare Supernova oder Supernova vom Typ Ia bezeichnet.

Supernovae vom Typ Ia sind eine gute Stardardkerze und können so zur Entfernungsbestimmung benutzt werden.

Die absolute Helligkeit (Helligkeit in einer Entfernung von 10 Parsec) einer Supernova vom Typ Ia lässt sich mit Hilfe der sog. “Phillips-Beziehung” rechnerisch ermitteln.

Wenn wir dann die scheinbare Helligkeit messen, ergibt sich daraus die Entfernung r (in Parsec), da ja die scheinbare Helligkeit mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt.

\(r = 10^{1+\frac{m-M}{5}}  \)

Auf diese Weise konnte 1923 die Entfernung des Andromedanebels (M31) ermittelt werden.

Hubble-Konstante

Edwin Hubble (1889-1954) beobachtete in den Spektren von Galaxien eine Rotverschiebung.

Er interpretierte diese Rotverschiebung z als Dopplereffekt hervorgerufen durch eine Fluchtgeschwindigkeit v der Galaxien.

\(\displaystyle z = \frac{v}{c} \)

Edwin Hubble konnte 1929 nachweisen, dass diese Fluchtbewegung mit der Entfernung D der Galaxien zunimmt.  Es waren zwar nur 18 Galaxien, die Hubble untersuchte, doch mit wachsender Zahl hat sich dieses Ergebnis bestätigt. Dieser Zusammenhang ging als Hubble-Effekt in die Kosmologie ein.

\(\displaystyle v = H_0 D \)

Das Hubble-Gesetz zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit v und der Distanz D mit einer Proportionalitätskonstante, der Hubble-Konstanten H0. Die Linearität hat jedoch nur im nahen Universum ihre Gültigkeit, nämlich bis zu einem maximalen Abstand von gut 400 Mpc oder z  kleiner als 0,1. Für weiter entfernte Objekte bricht die Linearität zusammen.

Bei größeren Geschwindigkeiten (d.h. relativ zur Lichtgeschwindigkeit) müssen zusätzlich die relativistischen Effekte berücksichtigt werden. Das erfolgt aber erst weiter unten durch in den Abschnitten “Robertson-Walker-Metrik” und die “Friedmann-Gleichung”.