Astronomie: Die Schwarzschild-Metrik

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Vektorraum, Relativitätstheorie, Schwarze Löcher, Gravitation, Sphärische Trigonometrie

Raumkrümmung durch Metrik

Wenn man sich mit der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) beschäftigt, kommt der Begriff der “Krümmung der Raumzeit” auf z.B. um die Lichtablenkung an einer großen Masse zu “erklären”.

Wenn man in diesem Zusammenhang von “Raumkrümmung” oder so spricht, meint man nicht, dass sich der Raum in eine andere (zusätzliche) Dimension krümmt (das ist der alltägliche Begriff von Krümmung), sondern, dass wir in dem Raum bleiben und “nur” eine andere Metrik definieren, die im Vergleich zur üblichen Metrik (Euklid, flacher Raum) Abstände definiert, die variabel “gestaucht” bzw.  “gestreckt” aussehen.

Den Einfluss der Garivation auf die Metrik (aka Krümmung) der Raumzeit kann man z.B. an einem Schwarzen Loch studieren. Dafür hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon einfache Formeln gefunden (als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen in einem speziellen Fall).

Dazu habe ich ein sehr gutes Papier im Internet gefunden unter: http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/viewFile/336/454

In diesem Papier wird eine “Senkrechte” betrachtet und das Linienelement der Schwarzschild-Metrik bestimmt. Wenn man dieses Linienelement integriert (numerisch) und dem Euklidischen Abstand gegenüberstellt, bekommt man folgendes Bild:

Schwarzschild-Metrik in der “Senkrechten”

Ein erster Schritt zum Verständnis ist der Begriff der “Metrik”, der zwei Punkten in einem Vektorraum einen Abstand zuordnet.

Man sagt auch, dass ein Raum durch eine Metrik eine “Geometrie” bekommt und spricht so vom “Euklidischen Raum” bzw. der “Euklidischen Geometrie”, wenn man die “Euklidische Metrik” verwendet.

Allgemein definiert man den Abstand zweier Punkte  \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) im Vektorraum durch die Länge der Differenz:

\( \Large Abstand =  || \vec{a}  – \vec{b} ||   \)

Metriktensor

Chartesische Koordinaten

Link: Josef M. Gaßner (18) Tensor Feldgleichung  https://youtu.be/keQUeGEkCtQ

Der “Metriktensor” ist ganz einfach eine Matrix mit deren Hilfe wir die Länge eines jeden Vektors definieren können. Beispielsweise in einem drei-dimensionalen Koordinatensystem:

\(\Large g =  \left[ \begin{array}{rrr} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\  g_{21} & g_{22} & g_{23} \\  g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{array} \right]  \\\)

Nicht jede belibige solche Matrix (Tensor) definiert eine Metrik. Die definierte Metrik muss (1) unabhängig vom Koordinatensystem sein (2) Die definierte Metrik muss den allgemenen Metrik-Axiomen genügen.

Mit Hilfe eines solchen Metriktensors definieren wir dann die Länge des Vektors \(\vec{x}\) ganz einfach als Matrixprodukt:

\(\Large || \vec{x} ||^2  =  \left[ \begin{array}{c} x_1 & x_2 & x_3  \end{array} \right]  g  \left[ \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3  \end{array} \right] \\\)

In einem Koordinatensystem ergibt sich die Länge als:

\( \Large ||  \vec{x} ||^2 =  \sum\limits_{ij} x_i  \cdot x_j \cdot g_{ij} \\ \)

Oder als Linienelement geschrieben heisst das (mit Einsteinscher Summenkonvention):

\(d s^2 = dx^i \cdot dx^j \cdot g_{ij} \\ \)

So ein infenitesimales Linienelement brauchen wir immer dann, wenn die gij nicht konstant sind, sondern noch von den Koordinaten xi in irgendeiner Form abhängen (also ortsabhängig). Wir müssten dann nämlich ggf. integrieren…

Je nach Koordinatensystem wird die Euklidische Metrik wird durch andere Metriktensoren definiert.
In Chartesischen Koordinaten wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie (also das Kronecker Delta)…

\(\Large g_{chartesisch} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Womit wir die Euklidische Länge (und damit den Abstand) wie klassich haben:

\( \Large ||  \vec{x} ||^2 =  \sum\limits_{i} x_i^2  \)

Andere Koordinatensysteme

In Polar-Koordinaten \((r, \vartheta) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{polar} =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & r^2  \end{array} \right]  \\\)

Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 \\ \)

In Zylinder-Koordinaten \((r, \vartheta, z) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{zylinder} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & r^2 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 + d z^2\\ \)

In Kugel-Koordinaten \((r, \vartheta, \varphi) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{kugel} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & r^2 & 0 \\  0 & 0 & (r \cdot \sin{\vartheta})^2 \end{array} \right]  \\\)

Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 + r^2 \cdot (\sin{\vartheta})^2 \cdot d \varphi^2\\ \)

Schwarzschild-Metrik für die Dimension “Senkrechte”

Wenn wir die “Raumkrümmung” durch eine (große) Masse verstehen wollen, können wir am einfachsten mit einem sog. “Schwarzen Loch” anfangen, denn da hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für uns parat.

Die Schwarzschild-Metrik wird klassischerweise in Kugelkoordinaten dargestellt. Zur Vereinfachung wollen wir zunächst nur eine (Raum-)dimension betrachten: den Abstand r gemessen vom Mittelpunkt eines Objekts mit dem Radius RS. Dieses r bezeichnen wir als “die Senkrechte”.

Der Schwarzschild-Radius eines jeden Objekts der Masse M (in der Senkrechten) berechnen wir zu:

\( R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)

Dazu müssen wir den Metriktensor bestimmen.

\( g_{rr} = \frac{d s^2}{d r^2} \)

Von dieser unbekannten Funktion können wir uns zwei Werte leicht klar machen:

  • Bei r gegen unendlich geht der Wert gegen 1.
  • Bei r gegen RS geht der Wert gegen unendlich.

Diese beiden Eigenschaften hat folgende Funktion (geraten bzw. als “Regression” durch zwei Punkte konstruiert):

\( g_{rr}(r) = \Large \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \\ \)

Unser Linienelement wäre damit also:

\( d s^2 = \Large \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)

In dieser Metrik wäre also der Abstand von r1 bis r2 nicht r2 – r1 sondern größer; nämlich:

\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)

Dieses Integral habe ich kopiert aus: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrik

Schwarzschild-Metrik für die Dimension “Zeit”

Wenn wir nur die Dimension “Zeit” betrachten, ist im Metriktensor:

\( \Large g_{tt} = \frac{d \tau^2}{d t^2} \)

Von dieser unbekannten Funktion können wir uns zwei Werte leicht klar machen:

  • Bei r gegen unendlich geht der Wert gegen 1.
  • Bei r gegen RS geht der Wert gegen 0

Diese beiden Eigenschaften hat folgende Funktion (geraten bzw. als “Regression” durch zwei Punkte konstruiert):

\( g_{tt}(r) = \Large 1 – \frac{R_S}{r} \\ \)

Schwarzschild-Tensor

Der Metriktensor der Schwarzschild-Metrik wäre vollständig:; d.h. mit den Kugel-Koordinaten \( (ct, r, \vartheta, \varphi) \) :

\(\Large g_{\mu \nu} =  \left[ \begin{array}{rrrr} 1 – \frac{R_S}{r} & 0 & 0 & 0\\  0 & – \frac{1}{1- \frac{R_S}{r}} & 0 & 0 \\  0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (r \cdot \sin{\vartheta})^2 \end{array} \right]  \\\)