Computer: Mathematik – Vektorräume – Lineare Algebra

Gehört zu: Mathematik

Siehe auch: Diriac-Notation, Tensor-Algebra

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Was ist ein Vektorraum?

Eine der Voraussetzungen zum Verständnis vieler Dinge (z.B. Quantenmechanik) sind sog. Vektorräume.

Es gibt dazu eine Menge Videos auf Youtube; z.B. die Playlist von 3Blue1Brown:  https://youtu.be/fNk_zzaMoSs  – Playlist: https://goo.gl/R1kBdb

Vektorräume verfügen über eine Operation, die Addition genannt wird und eine kommutative Gruppe bildet. Weiterhin muss jeder Vektorraum einen Körper von sog. Skalaren haben, mit denen die Vektoren mutipliziert (“skaliert”) werden können. Man spricht dann von einem Vektorraum “über” einem Körper seiner Skalaren.

Der Physiker stellt sich Vektoren gern als “Pfeile” vor, die also eine Richtung und eine Länge haben. Der Computer-Mensch stellt sich Vektoren eher als Liste von Koordinaten vor (Vektor = Liste) – wozu man aber ersteinmal ein Koordinatensystem haben muss. Der abstrakte Mathematiker sagt, Vektoren sind einfach “etwas”, was man addieren kann (Gruppe) und was man mit “Skalaren” skalieren kann – fertig, einfach ein paar Axiome und das war’s.

Geschrieben werden Vektoren meist als eine Liste von Koordinaten, aber nicht waagerecht, sondern senkrecht angeordnet (bei waagerechter Anordnung denkt man eher an einen Punkt im Raum).

\( \Large \vec{v} = \left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z  \end{array}\right) \)

oder auch in eckigen Klammern:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z  \end{array} \right] \)

Dimension, Basis, Koordinatensystem

Es gibt den Begriff der “Dimension” eines Vektorraumes. Um den Begriff der Dimension einzuführen, benötigen wir so etwas wie Koordinatensysteme oder auch eine sog. Basis eines Vektorraums.

Die “Basis” eines Vektorraums besteht aus Vektoren, mit denen man den gesamten Vektorraum “aufspannen”. Wobei “Aufspannen” bedeutet, dass jeder Vektor des Vektorraums als sog. Linearkombination aus den Basis-Vektoren hergestellt werden kann. Eine solche “Linearkombination” ist eine Summe von Basisvektoren, die mit geeigneten Skalaren multipliziert wurden.

Beispiel für eine Linearkombination:

\( \Large a  \vec{v} + b \vec{w} + c \vec{u} \)

Beispiel für eine Basis (im Vektorraum \(\mathbb{R}^3\) ):

\( \hat{i} =\left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0  \end{array} \right]   \hat{j} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0  \end{array} \right] \hat{k} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array} \right] \)

Und man schreibt dann auch gerne:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z  \end{array} \right] = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}\)

Wobei ganz genau genommen, eine Basis nicht nur den ganzen Vektorraum aufspannt (das wäre ein Erzeugendensystem), sondern dabei eine minimale Anzahl von Vektoren enthält (was äquivalent ist mit der eindeutigen Darstellung aller Vektoren des Vektorraums in Form von Linearkombinationen).

Ein Vektorraum kann mehrere Basen haben, aber die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist immer die gleiche. Diese Anzahl nennt man “Dimension” des Vektorraums. Jede Basis definiert ein Koordinatensytem.

Lineare Transformationen

Lineare Transformationen sind Transformationen, bei denen Geraden geraden bleiben und der Null-Punkt (Origin) unverändert bleibt.
Genauer gesagt, bleiben Parallelen parallell und die Koordinatengitter gleichmäßig unterteilt. Man kann das auch durch zwei Formeln ausdrücken:

\( L(\vec{v} +  \vec{w}) = L(\vec{v}) +  L(\vec{w})  \)

und

\( L(c \vec{v}) = c L(\vec{v})  \)

Eine Lineare Tranformation kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren \( \hat{i} \) und \( \hat{j}  \) folgendes:

Wenn wir einen Vektor \( \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} \) betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

\( L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} )  \)

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren \( L(\hat{i}) \) und \( L(\hat{j}) \)  kennen, ist also die Lineare Transformation L vollstädig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise \( L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] \)   und \( L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] \)  wäre, bekämen wie eine Matrix:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right] \)

und die Lineare Transformation könnte im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right]  \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y  \end{array} \right]\)

Inneres Produkt

Besonders interessant ist das sog. “innere Produkt” (engl. Dot Product) zweier Vektoren….