Astronomie: Hydrostatisches Gleichgewicht

Gehört zu: Sternenentwicklung
Siehe auch: Hertzsprung-Russel-Diagramm, Roter Riese, Ideales Gas
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress, SVG-Grafik aus Github

Stand:13.10.2022

Hydrostatisches Gleichgewicht

Sterne sind ja Gaskugeln, die sich auf der Hauptreihe des HRD im Hydrostatischen Gleichgewicht befinden.
Dazu müssen sich alle wirkenden Drücke ausbalacieren.

Zu den in Sterninneren wirkenden Drücken gehören: Gravitationsdruck, Gasdruck, Strahlungsdruck, der Druck durch die Fliehkraft,…

MIt diesen verschiedenen Drücken, die im Inneren eines Sterns wirken, wollen wir uns nun beschäftigen.

Gravitationsdruck

Annahmen: Wir betrachten eine Kugel mit Radius R, einer Gesamtmasse von M und zur weiteren Vereinfachung einer konstaten Dichte \(\rho\).

Wir möchten wissen, wie sich im Sterninneren der Druck P(r) in Abhängigkeit von der Entfernung r vom Sternzentrum (r=0) verhält.
Offensichtlich ist an der Oberfläche P(R)=0.

Da die betrachteten physikalischen Größen sich in Abhängigkeit von r ändern können, berechnen wir alles zuerst für infenitesimal dünne Kugelschalen (mit festem r) und müssen dann diese Kugelschalen aufsummieren (integrieren).

Eine Kugelschale

Eine Kugelschale vom Radius r (0 <= r <= R), einer Fläche von Fläche(r) und der infenitesimalen Dicke von dr hat ein Masse von:

\( dm = Fläche(r) \cdot dr \cdot \rho \tag{1}\\ \)

Die nach innen gerichtete Anziehungskraft auf diese Kugelschale ist einfach die Anziehungskraft der Sternmasse im Inneren der Kugelschale (Newtons Schalensatz).

Die Masse innerhalb der Kugelschale vom Radius r ist:

\(  m(r) = Volumen(r) \cdot \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \tag{2} \\ \)

Auf diese Kugelschale vom Radius r wirkt also eine Anziehungskraft von:

\( f(r) = – G \frac{m(r) dm}{r^2}  \tag{3} \\\)

Damit ist der gravitative Druck dieser Kugelschale:

\( dP = \frac{f(r)}{Fläche(r)} = -\frac{G\frac{m(r) dm}{r^2}}{Fläche(r)}  \tag{4}\\\)

Nun setzten wir den oben gefundenen Ausdruck für dm aus Gleichung (1) hier ein:

\( dP = -\frac{G \cdot m(r) \rho \cdot dr}{r^2} \tag{5}\\\)

Dann setzten wir noch die oben gefundene Funktion m(r) aus Gleichung (2) hier ein:

\( dP = -\frac{G \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \cdot \rho \cdot dr}{r^2} \tag{6}\\ \)

und bekommen schießlich als Gradienten des Gravitationsdrucks:

\( \frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3} G \cdot \rho^2 \cdot r \tag{7}\\\)

Dies können wir nun aufsummieren (integrieren) zu:

\( P(r) = – \frac{2}{3} \pi G \rho^2 \cdot r^2+ const. \tag{8}\\\)

Aus der Randbedingung P(R) = 0  erhalten wir die Integrationskonstante und schließlich:

\( P(r) = \frac{2}{3} \pi G \rho^2 R^2 – \frac{2}{3} \pi G \rho^2 r^2  = \frac{2}{3} \pi G \rho^2 (r^2 – R^2) \tag{9}\\ \)

Diesen Verlauf des Gravitationsdrucks im Inneren eines Sterns können wir grafisch mit GeoGebra darstellen, dann als SVG-Datei exportieren und diese dann in unseren WordPress-Betrag einbauen (s.u.).

Abbildung 1: Gravitationsdruck in einer homogenen Gaskugel (Github: Gravitationsdruck.svg)

Der Gasdruck

Zur Vereinfachung nehmen wir zunächst an, dass das Gas sich wie ein ideales Gas verhält….

\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T \)

Der Strahlungsdruck

Die Kernfusion im inneren des Sterns erzeugt einen nach aussen gerichteten Energiestrom….