Physik: Ideales Gas – Thermodynamik

Gehört zu: Thermodynamik
Siehe auch: GeoGebra
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Ideales Gas

ist ein hinreichend verdünntes Gas, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen (als elasischer Stoß) keinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.

Zur Idealisierung gehört auch, dass die Gasmoleküle als Punktmassen verstanden werden können. D.h. für die Bewegung hat man nur die drei Freiheitsgrade der Translation, keine Rotation und keine Oszillation.

Neben dem hier beschriebenen “Idealen Gas” gibt es natürlich auch ein Nichtideales Gas und auch ein Entartetes Gas und noch schlimmer ein Relativistisches entartetes Gas.

Links:

Boyle-Mariotte

Robert Boyle und Edme Mariotte fanden unabhängig von einander 1662 bzw. 1676  das nach ihnen benannte Boyle-Mariotte’sche Gesetz:

\( p \cdot V = const. \\\ \)

Wobei die Temperatur konstant gehalten wird und zwar dadurch dass man die Veränderungen im Volumen ganz langsam durchführt, sodass immer wieder das thermodynamisches Gleichgewicht mit der Umgebung erhalten bleibt.

Abbildung 1: Das Boyle-Mariottesche Gesetz  (Github: Boyle-Marriot-Gesetz.svg)

Boyle-Marriot-Gesetz.svg

Boyle-Marriot-Gesetz (GeoGebra Classic)

Gay-Lussac

Wenn man nun den Druck konstant hält und die Temperatur variiert, bekommt man das Gay-Lussac (1787-1850) Gesetz.
Lord Kelvin (1824-1907) hatte 1848 die absolute Temperaturskala vorgeschlagen, wodurch sich das Gay-Lussac’sche Gesetz sehr einfach in seiner heutigen Form schreiben lässt:

\( \frac{V}{T} = const. \\\ \)

Wobei hier T die absolute Temperatur ist …

Abbildung 2: Das Gay-Lussacsche Gesetz (Github: Gay-Lyssac-Gesetz.svg)

Gay-Lussac-Gesetz.svg

Gay-Lussac-Gesetz – Dietrich Kracht 21.3.2021 GeoGebra Classic

Ideale Gasgleichung

Zusammengefasst ergibt sich die Zustandsgleichung für ideale Gase:

\( \frac{p \cdot V}{T} = const.   \\\ \)

Und mit der Konstanten \(n \cdot R\) schließlich:

\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T   \\\ \)

Dabei ist p der Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge (messen wir in mol), R die allgemeine Gaskonstante (8,3145 Joule/(mol*Kelvin)) ist und T die absolute Temperatur ist.
Interessant dabei ist, das dies unabhängig von der Art des Gases ist – also Helium, Stickstoff etc.  Es muss einfach nur ein “ideales Gas” sein. Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.

Wenn wir statt der Stoffmenge n die Teilchenzahl N benutzen, also:

\( N = N_A \cdot n \)

bekommen wir als Gasgleichung (mit der Avogadroschen Zahl):

\( p \cdot V = N \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T   \\\ \)

Später werden wir sehen, dass \( \frac{R}{N_A} = k_B \) die sagenhafte Boltzmann-Konstante ist.

Kinetische Energie

Wenn wir die Kinetik der Moleküle betrachten, also die Bewegungen, entsteht der Druck durch Impulsübertrag auf die Aussenwand des Gefäßes.

Das Gesetz von Bernoulli sagt dafür:

\( p = \frac{1}{3} \cdot n \cdot \mu \cdot <v^2> \\\ \)

wobei n hier die Teilchendichte, also Anzahl Teilchen pro Volumen, ist und die spitzen Klammern für den Mittelwert stehen..

Wenn wir diese Gleichung mit V multiplizieren, erhält man:

\( p \cdot V = \frac{1}{3} \cdot N \cdot \mu \cdot <v^2> = \frac{2}{3} \cdot N \cdot <E_{kin}> \\\ \)

wobei N die Anzahl der Teilchen ist.

Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls eines Idealen Gases (also nur translatorische Bewegung in drei Freiheitsgraden) ist:

\( <E_{kin}> = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \\\ \)

Ausblick:

  • Auf dieser Basis wird die physikalische Größe “Temperatur” dann als “thermodynamische Temperatur” beliebiger Substanzen wirklich definiert.
  • Zusätzlich zum Mittelwert von Geschwindigkeiten bzw quadrierten Geschwindigkeiten wird auch noch die Breite der Verteilung von Interesse sein, was uns zur Maxwell-Verteilung führen wird…

Flüssigkeiten

Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von einer Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.

Das Jeans-Kriterium

Das Jeans-Kriterium, benannt nach James Jeans (1877-1946), soll ja angeben, unter welchen Bedingungen eine Gaswolke im Universum unter dem Einfluss ihrer Gravitation kontrahiert, dabei wärmer wird und ggf. eine Kernfusion “zündet”.

Zur Abschätzung der kritischen Jeans-Masse bieten sich zwei Wege an:

  1. Druck: Gasdruck = Gravitationsdruck
  2. Energie: Potentielle Energie = KInetische Energie

Gasdruck

Wir betrachten eine kugelförmige (Radius r) homogene Gaswolke der Masse M.

Der Gasdruck ist nach der idealen Gasgleichung (s.o.):

\( p = \frac{N}{V} \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T \\\ \)

Ein Teilchen (Gasmolekül) habe nun die Masse μ. Dann gilt für die Masse:

\( M = N_A \cdot n \cdot \mu = N \cdot \mu \\\ \)

Die Dichte der Gaswolke ist demnach:

\( \rho = \frac{M}{V} = \frac{N \cdot \mu}{V} = \frac{N}{V} \mu \\\ \)

Also ist

\( \frac{N}{V} = \frac{\rho}{\mu} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\(\Large p_{Gas} = \frac{\rho}{\mu} \cdot k_B \cdot T \\\ \)

Gravitationsdruck

Der Gravitationsdruck ist (will ich noch ichtig ausrechnen, mit Integral und so):

\( \Large p_{grav} = \frac{3 G M^2}{8 \pi r^4} \\\ \)

Jeans-Masse

Wann ist der Gravitationsdruck mindestens genauso groß wie der Gasdruck?

\( M_{Jeans} = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \sqrt{\frac{1}{\rho} (\frac{k_B T}{G \mu})^3}\\\ \)

Für eine Gaswolke aus atomaren Wasserstoff ergibt sich mit doppelt logarithmischen Skalen folgendes Bild:

Abbildung 3: Die Jeans-Masse (Github: JeansMasse.svg)

JeansMasse.svg

Jeans-Masse Dietrich Kracht 24.3.2021

Beispielsweise können wir ablesen: Eine Gaswolke (atomarer Wasserstoff) von 10 Sonnenmassen würde bei einer Dichte von 10-16 kg/m³ und einer Temperatur von 10 K anfangen sich unter ihrer eigenen Gravitation zusammen zu ziehen…