Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Gruppentheorie
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Stand: 10.09.2023
Eine Äquivalenzrelation
Bei meiner Beschäftigung mit der Gruppentheorie bin ich auf das klassische Thema Äquivalenzklassen gestoßen.
Eine Äquivalenzrelation in der Mathematik ist ersteinmal eine “Relation”. Dann soll diese Relation inetwa die Eigenschaften haben, die wir von der klassischen Äquivalenz her kennen: Gleichheit oder Ungleichheit.
Allgemein: Was ist eine Relation?
Auf einer Menge M können wir eine Relation R einfach definieren als eine Teilmenge der geordneten Paare. Also
\( R \subseteq M \times M \\\)So eine Relation wird dann Äquivalenzrelation genannt, wenn sie noch zusätzlich drei wichtige von der Gleichheitsrelation bekannten Eingenschaften besitzt: reflexiv, symmetrisch, transitiv.
Reflexiv: \( (a,a) \in R \text{ für alle } a \in M \\\)
Symmetrisch: \( \text{Wenn } (a,b) \in R \text{ dann ist auch } (b,a) \in R \\\)
Transitiv: \( \text{Wenn } (a,b) \in R \text{ und } (b,c) \in R \text{ dann ist auch } (a,c) \in R \\\)
Wenn es aus dem Kontext klar ist, welche Relation gemeint ist, schreibt man auch einfach: \( a \sim b\text{ für } (a,b) \in R \)
Äquivalenzklassen
Wenn ich eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge M habe, kann ich damit zu jedem Element m ∈ M eine Teilmenge von M definieren:
\( [m]_R = \{ x \in M \,|\, (m,x) \in R \} \\\)Diese Teilmenge nennt man Äquivalenzklasse von m (bezüglich der Relation R auf M). Wenn man zwei Äquvalenzklassen betrachtet, sind diese entweder identisch oder disjunkt.
Da jedes Element der Menge M auch in einer (genau einer) Äquivalenzklasse vorkommt, bilden die Äquivalenzklassen also eine (disjunkte) Partition von M.
Faktor-Mengen
Wenn wir die Menge der Äquivalenzklassen betrachten ist aus unserer ursprünglichen Relation dort die Gleichheitsrelation geworden.
Die Menge der Äquivalenzklassen zu einer Relation R über M bezeichnet man auch als Faktor-Menge oder Quotienten-Menge und schreibt:
Beispiele von Konstruktionen mit Hilfe von Faktormengen
Generell kann man mit diesem Mechanismus viele interessante mathematische Gebilde konstruieren…
Die Menge der ganzen Zahlen: \( \mathbb{Z} = (\mathbb{N}^2 \times \mathbb{N}^2) / R_1 \)
Wobei die Relation R1 definiert wird als: (n1, n2) ∼ (m1, m2) genau dann wenn n2 + m1 = m2 + n1
Die Menge der rationalen Zahlen: \( \mathbb{Q} = (\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2) / R_2 \)
Wobei die Relation R2 definiert wir als: (n1, n2) ∼ (m1, m2) genau dann wenn n2 · m1 = m2 · n1
Äquivalenzklassen in der Gruppentheorie
In der Gruppentheorie kann man mittels einer Untergruppe H einer Gruppe G sog. “Cosets” zu jedem Element g aus G bilden:
\( gN = \{ x \in G \, | \, \exists h \in H \text{ with } x = g \cdot h \} \\\)Diese Cosets (deutsch: Nebenmengen) bilden eine disjunkte Überdeckung der Gruppe G.
Ich kann mir auch ganz einfach eine Äquivalenzrelation R definieren, die diese gleichen Nebenmengen als Äquivalenzklassen erzeugt. Dazu muss ich nur definieren, wann zwei Elemente x und y aus G zueingabder in Relation stehen sollen…
Ich versuche es einmal mit: \( R = \{ (x,y) \, | \, \exists h \in H : h\cdot x = h \cdot y \} \\ \)
Ist das wirklich eine Äquivalenzrelation (1) und erzeugt sie tatsächlich die gewünschen Äquivalenzklassen (2)?
Ad (1): Als Äquivalenzrelation wäre zu überprüfen:
Reflexivität; d.h. ist (x,x) immer in R? Offensichtlich stimmt das.
Symmetrie: d.h. wenn (x,y) in R liegt, liegt dann auch (y,x) in R?
Wenn demnach (x,y) in R liegt, existiert ein h in H sodass hx = hy. Dann ist mit dem gleichen h aus H auch hy = hx. Also ist R symmetrisch.
Transitivität:
Wenn (x.y) und (y,z) in R liegen, so heisst das: Es gibt ein h1 und ein h2 in H sodass gilt: h1 x = h1 y und h2 y = h2 z.
Man könnte es mit h = h1 h2 versuchen, was bei einer kommutativen (abelschen) Gruppe funktionieren würde…
Vertiefung
YouTube-Video:https://www.youtube.com/watch?v=E8gItS9vGKg
YouTupe-Video zum Tensor-Produkt:https://www.youtube.com/watch?v=KnSZBjnd_74