Gehört zu: Physik
Siehe auch: Linienelement, Lagrange, Newton
Stand: 25.02.2023
Die physikalische Größen Arbeit, Energie und Wirkung
Diese physikalischen Größen kennen wir in der Mechanik. Später in der Thermodynamik (Wärmelehre) und in der Quantenmechanik werden wir einiges davon gebrauchen.
Die physikalische Größe “Arbeit”
Arbeit, so haben wir in der Schule gelernt, ist Kraft mal Weg.
Das übliche Formelzeichen für Arbeit ist W (work) und die SI-Einheit das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 kg m2/s2.
\( W = F \cdot s \\ \)Gemeint ist immer die Kraftkomponente in Richtung des Weges. Genau genommen also das Skalarprodukt der Vektoren:
\( W = \vec{F} \cdot \vec{s} = || F || \cdot ||s|| \cdot \cos(\angle \left( \vec{F}, \vec{s} \right)) \\ \)Wenn der Weg nicht geradeaus ist, sondern entlang einer Kurve von s1 nach s2, müssen wir entlang dieser Kurve integrieren.
\( \Large W = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s} \\ \)Das ist analog zur bereits besprochenen Länge so einer Kurve im Raum. Das hatten wir ja schon (siehe: Linienelement) erklärt:
Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn und definieren als Länge L der Kurve α:
\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)
Historische gesehen, war diese Definition der physikalischen Größe “Arbeit” ursprünglich umstritten: Decartes wollte Arbeit als Kraft mal Zeit definieren, aber die Definition als Kraft mal Weg von Leibniz hat sich durchgesetzt.
Arbeit kann in verschiedener Weise eingesetzt werden z.B. als Arbeit zur Bescheunigung eines Körpers oder als Arbeit zur Ortsveränderung in einem Kraftfeld oder …
Die physikalische Größe “Energie”
Die Energie in einem mechanischen System kann in Arbeit umgesetzt werden, bedeutet also eine Art “Arbeitsfähigkeit”…
Kinetische Energie
Die Kinetische Energie nennt man auch “Bewegungsenergie”, weil sie mit der Geschwindigkeit eines Massepunkts zusammenhängt.
Wenn ich einen Massepunkt von einer Anfangsgeschwindigkeit v=v0 (in einem Inertialsystem gemessen) durch Einwirkung einer konstanten Kraft (Größe und Richtung konstant) auf eine Endgeschwindigkeit v=v1 bringe, habe ich eine Arbeit geleistet, die nun in dem Massepunkt als sog. Kinetische Energie steckt.
Die Kraft war: \( F = m \cdot a \)
Der Weg war: \( s = \frac{1}{2} a t^2 \)
Damit ist die geleistete Arbeit:
\( W = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot a^2 t^2 \\ \)Wenn man nun einsetzt: v = a t erhält man:
\( W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ \)Diese Arbeit steckt nun am Ende der Krafteinwirkung als “Kinetische Energie” in dem schneller bewegten Massepunkt. Beispiel: Eine geworfene Bowlingkugel enthält Kinetische Energie, die wir benutzen, um die Pins am Ende der Bahn umzustoßen.
Potentielle Energie
Die Potentielle Energie nennt man auch “Energie der Lage”. Damit ein Massepunkt seine Lage verändert, brauchen wir Kräfte, die auf den Massepunkt einwirken; denn ohne solche Kräfte verharrt der Massepunkt in Ruhe. Wenn an jedem Ort im Raum (Ortsvektor r) eine Kraft wirkt, sprechen wir von einem Kraftfeld F(r).
Die Frage ist nun, welche Arbeit (gegen dieses Kraftfeld) geleistet werden muss, um einen Massepunkt m von einem Punkt r1 zu einem Punkt r2 zu verschieben.
Wir nehmen dazu eine (glatte) Kurve α, die von r1 nach r2 führt; beispielsweise parametrisiert als α: [0,1] -> Rn mit α(0) = r1 und α(1) = r2.
Die geleistete Arbeit ist dann ja Kraft mal Weg, aufsummiert über diese Kurve – als Integral:
\( \Large W_\alpha = \int_0^1 \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r} \\\ \)Diese Arbeit steckt nun am Ende der Ortsveränderung als “Potentielle Energie” in der neuen Lage des Massepunkts im Kraftfeld. Beispiel: Ein Stausee enthält viel Potentielle Energie, die man benutzen kann, um Strom (elektrische Energie) zu erzeugen.
Wenn diese Arbeit für alle Wege, die von r1 nach r2 führen, die gleiche ist, sprechen wir von einem konservativen Kraftfeld und können die physikalische Größe Potenzial definieren. Ein Beispiel für so ein konservatives Kraftfeld ist die Gravitation.
Die physikalische Größe “Wirkung”
Die physikalische Größe “Wirkung” (englisch: action) ist definiert als Arbeit, die entlang eines Weges in einer Zeitspanne geleistet wird.
Als Wirkung haben wir:
\( \Large S = \int_a^b (E_{kin} – E_{pot}) dt \)