Gehört zu: Mechanik, Physik
Siehe auch: Newtonsche Mechanik, Lagrange-Formalismus
Benutzt: SVG-Grafiken aus Github

Stand: 06.04.2023

Quellen

Anregungen hierzu habe ich von Stefan Müllers Youtube-Video

erhalten.

Der Phasenraum

Im Phasenraum (auch Zustandsraum genannt) bezeichnen die Punkte die Zusände eines mechanischen Systems.

Der Zustand eines mechanischen Systems (zu einer Zeit t) kann durch Ort und Geschwindigkeit seiner Massepunkte beschrieben werden.

Dazu dienen sog. “generalisierten Koordinaten” (auch “verallgemeinerte Koordinaten” genannt).

Solche generalisierten Koordinaten werden meist geschreiben als:

• Ortskoordinaten: \( q_1, q_2,…,q_i,…  \)
• Geschwindigkeiskoordinaten:  \( \dot{q_1}, \dot{q_2},…, \dot{q_i},… \)

Den Physiker interessiert nun eine Zustandsveränderung mit der Zeit.
Möge ein Zustand 1 (Anfang) beschrieben sein durch \( q_i(t_1), \dot{q_i(t_1} \)
und ein Zustand 2 (Ende) beschrieben sein durch \( q_i(t_1), \dot{q_i(t_1} \).

Diese beiden Punkte im Phasenraum kann man in einem Diagramm des Phasenraums graphisch darstellen.

Es gibt viele Wege auf denen man vom Zustand 1 zum Zustand 2 kommen kann.

Abbildung 1: Wege in einem Phasenraum (Github: Phasenraum.svg)

Auf jedem dieser Wege kann man das Pfadintegral der Engergie über die Zeit bilden. Diese Größe nennt man “Wirkung“.
Genaugenommen sind hier (infenitesimale) Energie-Unterschiede entlang des Weges gemeint.

Die Natur wählt nun denjenigen Weg, auf dem diese Wirkung minimal ist.
Hinter dem Begriff “minimal” steckt so eine Idee von “einfacher”, “ökonomischer”,  “sparsamer”,….

Um von so einem Integral das Minimum zu finden bedient man sich der mathematischen Methode der Variationsrechnung. Da werden “kleine” Differenzen betrachtet (geschrieben als kleiner Griechischer Buchstabe Delta) und  diese Differenzen werden dann als Taylorentwicklung dargestellt…

Aber welche “Energie” ist das, die wir da integrieren sollen? In der klassischen Sichtweise ist das die Lagrange-Funktion. Aber wo bekommen wir die denn her???

Wir haben da immer irgendein Kraftfeld, was zu Bewegungsgleichungen führt. Ähnlich wie wir statt eines konservativen Kraftfeldes auch das Potenzial als skalares Feld nehmen konnten, wollen wir nun statt des Potenzials die Lagrange-Funktion nehmen….

Warum ist das dann immer noch richtig?

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Linienelement, Lagrange, Newton

Stand: 25.02.2023

Die physikalische Größen Arbeit, Energie und Wirkung

Diese physikalischen Größen kennen wir in der Mechanik. Später in der Thermodynamik (Wärmelehre) und in der Quantenmechanik werden wir einiges davon gebrauchen.

Die physikalische Größe “Arbeit”

Arbeit, so haben wir in der Schule gelernt, ist Kraft mal Weg.

Das übliche Formelzeichen für Arbeit ist W (work) und die SI-Einheit das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 kg  m²/s².

\( W = F \cdot s \\ \)

Gemeint ist immer die Kraftkomponente in Richtung des Weges. Genau genommen also das Skalarprodukt der Vektoren:

\( W = \vec{F} \cdot \vec{s} = || F || \cdot ||s|| \cdot \cos(\angle \left( \vec{F}, \vec{s} \right))    \\ \)

Wenn der Weg nicht geradeaus ist, sondern entlang einer Kurve von s₁ nach s₂, müssen wir entlang dieser Kurve integrieren.

\( \Large W = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s} \\ \)

Das ist analog zur bereits besprochenen Länge so einer Kurve im Raum. Das hatten wir ja schon (siehe: Linienelement) erklärt:
Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rⁿ  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Historische gesehen, war diese Definition der physikalischen Größe “Arbeit” ursprünglich umstritten: Decartes wollte Arbeit als Kraft mal Zeit definieren, aber die Definition als Kraft mal Weg von Leibniz hat sich durchgesetzt.

Arbeit kann in verschiedener Weise eingesetzt werden z.B. als Arbeit zur Bescheunigung eines Körpers oder als Arbeit zur Ortsveränderung in einem Kraftfeld oder …

Die physikalische Größe “Energie”

Die Energie in einem mechanischen System kann in Arbeit umgesetzt werden, bedeutet also eine Art “Arbeitsfähigkeit”…

Kinetische Energie

Die Kinetische Energie nennt man auch “Bewegungsenergie”, weil sie mit der Geschwindigkeit eines Massepunkts zusammenhängt.
Wenn ich einen Massepunkt von einer Anfangsgeschwindigkeit v=v₀ (in einem Inertialsystem gemessen) durch Einwirkung einer konstanten Kraft (Größe und Richtung konstant) auf eine Endgeschwindigkeit v=v₁ bringe, habe ich eine Arbeit geleistet, die nun in dem Massepunkt als sog. Kinetische Energie steckt.

Die Kraft war:  \(  F = m \cdot a \)

Der Weg war: \(  s = \frac{1}{2} a t^2 \)

Damit ist die geleistete Arbeit:

\( W = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot a^2 t^2 \\ \)

Wenn man nun einsetzt: v = a t erhält man:

\( W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Krafteinwirkung als “Kinetische Energie” in dem schneller bewegten Massepunkt. Beispiel: Eine geworfene Bowlingkugel enthält Kinetische Energie, die wir benutzen, um die Pins am Ende der Bahn umzustoßen.

Potentielle Energie

Die Potentielle Energie nennt man auch “Energie der Lage”. Damit ein Massepunkt seine Lage verändert, brauchen wir Kräfte, die auf den Massepunkt einwirken; denn ohne solche Kräfte verharrt der Massepunkt in Ruhe. Wenn an jedem Ort im Raum (Ortsvektor r) eine Kraft wirkt, sprechen wir von einem Kraftfeld F(r).

Die Frage ist nun, welche Arbeit (gegen dieses Kraftfeld) geleistet werden muss, um einen Massepunkt m von einem Punkt r₁ zu einem Punkt r₂ zu verschieben.
Wir nehmen dazu eine (glatte) Kurve α, die von r₁ nach r₂ führt; beispielsweise parametrisiert als α: [0,1] -> Rⁿ  mit α(0) = r₁ und α(1) = r₂.

Die geleistete Arbeit ist dann ja Kraft mal Weg, aufsummiert über diese Kurve – als Integral:

\( \Large W_\alpha = \int_0^1 \vec{F}(\vec{r})  \cdot d\vec{r}  \\\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Ortsveränderung als “Potentielle Energie” in der neuen Lage des Massepunkts im Kraftfeld. Beispiel: Ein Stausee enthält viel Potentielle Energie, die man benutzen kann, um Strom (elektrische Energie) zu erzeugen.

Wenn diese Arbeit für alle Wege, die von r₁ nach r₂ führen, die gleiche ist, sprechen wir von einem konservativen Kraftfeld und können die physikalische Größe Potenzial definieren. Ein Beispiel für so ein konservatives Kraftfeld ist die Gravitation.

Die physikalische Größe “Wirkung”

Die physikalische Größe “Wirkung” (englisch: action) ist definiert als Arbeit, die entlang eines Weges in einer Zeitspanne geleistet wird.

Als Wirkung haben wir:

\(  \Large S = \int_a^b (E_{kin} – E_{pot}) dt  \)

 

Gehört zu: Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch: Gravitation, Potential, Algebren, Lagrange-Formalismus, Keplersche Gesetze, Phasenraum
Benutzt WordPress-Plugin MathJax-Latex

Stand: 25.02.2023 (Schrödinger)

Newtons Gesetze

In der Newtonschen Mechanik wird “alles” durch die Wirkung von Kräften erklärt.

Aus der Schule kennen wir: Kraft = Masse mal Beschleunigung

Das bedeutet, dass wenn wir an einer Masse eine beschleunigte Bewegung messen, so erklären wir diese beschleunigte Bewegung als Wirkung einer Kraft.

Im SI-System ist dementsprechend die Maßeinheit für die physikalische Größe “Kraft” das Newton (1 Newton= 1 N = 1 kg m /s²).

Newton formulierte 1687 die bekannten drei “Gesetze”:

1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.  “Trägheitsgesetz”
2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: \( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)   “Aktionsprinzip”
3. Kraft gleich Gegenkraft.   “Actio gleich Reactio”

Diese Gesetze bilden das Fundament der Klassischen Mechanik.

Das obige Newtonsche Aktionsprinzip wird auch Impulssatz genannt, weil der Impuls \(\vec{p}=m \cdot \vec{v}\) ist; also
\( \vec{F} = \dot{\vec{p}}  \)

Diese drei Newtonschen Gesetze (auch Axiome genannt) gelten in sog. Inertialsystemen, das sind Bezugssysteme, die sich gradlining mit gleichbleibender Geschwindigkeit gegeneinander bewegen.
Besser definieren wir, dass ein Intertialsystem genau ein Bezugssystem ist, in dem diese drei Newtonschen Gesetze gelten. Alle gleichförmig (auch “ruhende”) und natürlich gradlinig dazu bewegten Bezugssysteme sind dann auch Intertialsysteme.

Der so definierte Kraftbegriff gilt relativ zu einem benutzten Bezugssystem. Da die Beschleunigung eines Körpers in allen Inertialsystemen gleich ist, ist auch die Kraft auf diesen Körper in allen Inertialsystemen gleich.
Sobald ich aber ein Nicht-Intertialsystem benutze (z.B. geradlinig beschleunigte oder rotierende Bezugssysteme), muss ich fürchterlich aufpassen. Dort beobachte ich Beschleunigungen, die in Inertialsystem gar nicht auftreten und denen man dann auch Kräfte zuordnet, die dann aber Scheinkräfte (Trägheitskräfte) genannt werden.
Beispiel 1: (Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem): Andruck bei Bescheunigung im Auto auch bei Geradeausfahrt.
Beispiel 2: (Rotierendes Bezugsystem): Zentrifugalkraft, Corioliskraft.

Bewegungsgleichungen

Man möchte ja die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems (die Bewegung eines Teilchens) unter Einwirkung äußerer Einflüsse (z.B. eines Kraftfelds) beschreiben. Im Allgemeinen sucht man also:

Ortsvektor in Abhängigkeit von der Zeit: \( \vec{s}(t) \)
Geschwindigkeitsvektor in Abängigkeit von der Zeit:  \( \vec{v}(t) \)

Wobei gegeben ist ein Kraftfeld: \( F(r,t) \)

Man findet diese beiden Funktionen als Lösung von sog. Bewegungsgleichungen, die z.B. diese äußeren Einflüsse (z.B. das Kraftfeld) beschreiben. Ausgangspunkt ist dabei immer das Newtonsche Gesetz (s.o.):

\( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)

Nur bei ganz kleinen Teilchen ist die Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung) gefragt.

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich auch die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besonere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Massen erzeugen also eine “Gravitation”, die man auch als Schwerefeld bezeichnet. Dieses ist ein konservatives Kraftfeld und kann demzufolge auch durch sein Potiential beschrieben werden.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante \( \gamma \) wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

 

Beispiel: Freier Fall nach Newton

Der äußere Einfluss ist hier die Erdanziehung, die auf eine punktförmige Masse m eine Kraft \( \vec{F} = m \cdot \vec{g} \) ausübt; wobei wir die Gravitationsbeschleunigung \( \vec{g} \) idealisiert mit konstanter Größe und konstanter Richtung annehmen.

Die Fragestellung ist nun, wie sich ein Massepunkt, der zur Zeit t=0 die Anfangsbedingungen s(0)=0 und v(0)=0 erfüllt, in der Zeit weiter bewegt.
Die Bewegungsgleichung hierfür ist:  \( m \cdot \dot{\vec{v}}(t) = m \cdot \vec{g} \)

Die Lösung dieser Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration. Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergibt sich:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Neben der klassischen graphischen Darstellung dieser beiden Funktionen können wir auch einen sog. Phasenraum verwenden.