Gehört zu: Tensoren
Siehe auch: Metrik-Tensor, Astronomische Koordinatensysteme
Benutzt: Latex-Plugin
Stand: 03.12.2022
Medien-Hinweise
Prof. Wagner: https://youtu.be/c07r4pARzHw
Koordinatensysteme
In der Geometrie führt man gerne Koordinatensysteme ein, um die geometrischen Objekte (Punkte, Linien, Geraden, Flächen,…) mithilfe von Zahlen (Koordinaten) zu beschreiben und zu untersuchen. Das führt zur sog. Analytischen Geometrie.
Man spricht gerne von der Eukidischen Geometrie, dem Euklidischen Raum und den Euklidischen Koordinaten.
Nach Rene Decartes (1596-1650) hat man die xxx Koordinaten benannt….
Kartesische Koordinaten
Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) habe wir ja die klasssichen Kartesischen Koordinaten (Rene Decartes 1596-1650) mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…
Koordinatensysteme und Mannigfaltigkeiten
Man hat eine Menge M (Punktmenge) und ordnet jedem Element (Punkt) aus M ein-ein-deutig ein n-Tupel von Koordinaten zu. Dann kann man statt der Punkte über diese n-Tupel (also die n Koordinaten) sprechen.
So eine Koordinate ist im einfachsten Fall eine reelle Zahl, dann sind die Koodinaten also n-Tupel reeller Zahlen, also Elemente aus dem \( \mathbb{R}^n \). Im allgemeinen Fall nehmen wir für die Koordinaten einen Körper.
Wir hätten also eine ein-ein-deutige (d.h. bijektive) Abbildung zwischen Punkten aus M und n-Tupeln:
\( M \to \mathbb{R}^n \)So eine Menge zusammen mit einem Koordinatensystem nennen wir (nach Bernhard Riemann 1816-1866) eine Mannigfaltigkeit.
In der Mathematik werden Mannigfaltigkeiten für sich noch sehr detailliert in genauer als hier behandelt. Für uns ist es wichtig zu einem Koordinatensystem zu kommen.
Kartesische Koordinaten
Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) habe wir ja die klasssichen Kartesischen Koordinaten (Rene Decartes 1596-1650) mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…
Krummlinige Koordinaten
Bei nicht-kartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Kartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.
Typische Beispiele für krummlinige Koordinaten sind z.B.
- Ebene Polarkoordinaten
- Kugel-Koordinaten
- Zylinder-Koordinaten
Kurven und Tangenten
Eine Kurve in einer Manigfaltigkeit M wird gegeben durch eine Abbildung von einem reellen Intervall auf Punkte in die Manigfaltigkeit. Man nennt so eine Abbildung auch eine Parameterdarstellung der Kurve.
Den Parameter aus einem reellen Intervall können wir schreiben als: \( t \in [t_a, t_e] \)
Die Abbildung ist dann:
\( [t_a, t_e] \to M \\\)Wir haben also zu jedem Parameterwert \( t \in [t_a, t_e] \) einen Punkt aus der Manigfaltigkeit M.
Wenn wir den Punkt durch seine Koordinaten \( \left(q^i\right) \) ausdrücken, ist die Kurve also eine Abblidung:
\( [t_a, t_e] \to \mathbb{R}^n \\\)Wo also die Koordinaten qi eine Funktion des Parameters t sind: \( q^i = q^i(t) \)
Wenn die Kurve differenzierbar ist (also die Koordinaten der Parameterdarstellung), hat die Kurve auch Tangentenvektoren:
\(\vec{T}(t) = \left(T^i(t)\right) = \Large \left(\frac{dq^i}{dt} \right) \)Die Kurve selbst liegt in der Manigfaltigkeit; der Tangentenvektor aber nicht, er ist an die Mannigfaltigkeit sozusagen “angeheftet”.
Die Tangentenvektoren liegen in einem eigenen Vektorraum…
Koordinatenlinien
Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem erhält man eine Koordinatenlinie indem man n-1 Koordinaten festhält und genau eine Koordinate als Parameter laufen lässt.
So eine Koordinatenlinie kann man als (unendliche) Kurve auffassen.
Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right)\) gehen dann n Koordinatenlinien: \( L_j\) mit \( j=1, 2,\ldots, n \).
Die Koordinatenlinie \( L_j\) hat den Parameter \( t = q^j \) und die Werte:
\( q^i(t) = p^i \enspace (\text{falls } i \neq j) \)
\( q^i(t) = t \enspace (\text{falls } i = j) \)
Schöneres Latex:
\( q^i(t) = \left \{ \begin{array}{ll} p^i & \text{falls } i \neq j \\ t & \text{falls } i = j \\ \end{array} \right. \)Koordinaten-Hyperflächen
Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem bekommt man Koordinaten-Hyperflächen in dem man genau eine Koordinate festhält und alle anderen laufen lässt.
Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right) \) gehen dann n Koordinaten-Hyperflächen.
So eine Koordinaten-Hyperfläche kann man als sog. Teil-Mannigfaltigkeit auffassen.
Vektorbasis zu einem Koordinatensystem
Nun kann man an jedem Raumpunkt anhand des Koordinatensystems eine Vektorbasis definieren…
In jedem Raumpunkt kann man nun Basisvektoren so definieren, dass deren Länge 1 sei und sie Tangenten an die Koordinatenlinien durch diesen Punkt sind.
Astronomische Koodinatensysteme
Hierzu habe ich einen eigenen Artikel Astronomische Koordinatensysteme geschrieben.