Mathematik: Koordinatensysteme

Gehört zu: Tensoren
Siehe auch: Metrik-Tensor, Astronomische Koordinatensysteme
Benutzt: Latex-Plugin

Stand: 13.11.2021

Koordinatensysteme in Riemanschen Mannigfaltigkeiten

Koordinatensysteme spielen u.a. in sog. Riemanschen Manigfaltigkeiten eine Rolle.

Man hat eine Punktmenge M (Topologischer Raum?) und ordnet jedem Punkt ein-ein-deutig ein n-Tupel von Koordinaten zu. Dann kann man statt der Punkte über diese n-Tupel (also die n Koordinaten) sprechen.
So eine Koordinate ist im einfachsten Fall eine reelle Zahl, dann sind die Koodinaten also n-Tupel reeller Zahlen, also Elemente aus dem \( \mathbb{R}^n \). Im allgemeinen Fall nehmen wir für die Koordinaten einen Körper.

Wir hätten also eine ein-ein-deutige (d.h. bijektive) Abbildung zwischen Punkten und n-Tupeln:

\( M \to \mathbb{R}^n \)

Chartesische Koordinaten

Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) habe wir ja die klasssichen Chartesischen Koordinaten mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…

Krummlinige Koordinaten

Bei nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Typische Beispiele für krummlinige Koordinaten sind z.B.

  • Ebene Polarkoordinaten
  • Kugel-Koordinaten
  • Zylinder-Koordinaten

Kurven und Tangenten

Eine Kurve in einer Riemanschen Manigfaltigkeit M wird gegeben durch eine Abbildung von einem reellen Intervall auf Punkte in die Riemansche Manigfaltigkeit. Man nennt so eine Abbildung auch eine Parameterdarstellung der Kurve.

Den Parameter aus einem reellen Intervall können wir schreiben als: \( t \in [t_a, t_e] \)

Die Abbildung ist dann:

\( [t_a, t_e] \to M \\\)

Wir haben also zu jedem Parameterwert \( t \in [t_a, t_e] \) einen Punkt aus der Riemannschen Manigfaltigkeit M.

Wenn wir den Punkt durch seine Koordinaten \( \left(q^i\right) \) ausdrücken, ist die  Kurve also eine Abblidung:

\( [t_a, t_e] \to \mathbb{R}^n \\\)

Wo also die Koordinaten qi eine Funktion des Parameters t sind: \( q^i = q^i(t) \)

Wenn die Kurve differenzierbar ist (also die Koordinaten der Parameterdarstellung), hat die Kurve auch Tangentenvektoren:

\(\vec{T}(t) = \left(T^i(t)\right) = \Large \left(\frac{dq^i}{dt} \right) \)

Die Kurve selbst liegt in der Riemanschen Manigfaltigkeit; der Tangentenvektor aber nicht, er ist an die Riemannsche Mannigfaltigkeit sozusagen “angeheftet”.

Die Tangentenvektoren liegen in einem eigenen Vektorraum…

Koordinatenlinien

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem erhält man eine Koordinatenlinie indem man n-1 Koordinaten festhält und genau eine Koordinate als Parameter laufen lässt.
So eine Koordinatenlinie kann man als (unendliche) Kurve auffassen.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right)\) gehen dann n Koordinatenlinien: \( L_j\) mit \( j=1, 2,\ldots, n \).

Die Koordinatenlinie \( L_j\)  hat den Parameter \( t = q^j \) und die Werte:

\( q^i(t) = p^i \enspace (\text{falls } i \neq j)  \)
\( q^i(t) = t \enspace (\text{falls } i = j)  \)

Schöneres Latex:

\( q^i(t) = \left \{  \begin{array}{ll}   p^i & \text{falls } i \neq j \\ t & \text{falls } i = j \\    \end{array} \right. \)

Koordinaten-Hyperflächen

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem bekommt man Koordinaten-Hyperflächen in dem man genau eine Koordinate festhält und alle anderen laufen lässt.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right) \)  gehen dann n Koordinaten-Hyperflächen.

So eine Koordinaten-Hyperfläche kann man als sog. Teil-Mannigfaltigkeit auffassen.

Astronomische Koodinatensysteme

Hierzu habe ich einen eigenen Artikel Astronomische Koordinatensysteme geschrieben.