Astronomie: Nordamerika-Nebel NGC7000

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Emissionsnebel, Liste meiner Fotos
Benutzt: Fotos aus Flickr

Astronomie: Nordamerika-Nebel NGC7000

Der Nordamerikanebel NGC7000 ist ein klassisches großes Nebel-Objekt im Cygnus (Schwan)

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für meine kleinen Refraktor ED80/600

  • Scheinbare Helligkeit von 4,0 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 150×150′  und 150’x75′
  • Der Nordamerikanebel NGC7000 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha und ist damit bestens für meinen Tri-Narrowband-Filter geeignet
  • Entfernung 2200 Lichtjahre.

Im September 2021 habe ich von meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel ein erstes “Beweisfoto” vom Nordamerikanebel erstellen können.

Abbildung 1: Nordamerikanebel unter starker Lichtverschmutzung (Flickr: NGC7000-RGB-session_1-St.jpg)

NGC7000-RGB-session_1-St

Diese Fotografie habe ich von meiner Innenhof-Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel geschossen. Dabei hat mein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astronomie: Heart and Soul Nebula – IC1805 & IC1848

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Nebel, Liste meiner Fotos
Benutzt: Fotos aus Flickr

Heart and Soul Nebula – IC1805 & IC1848

Heart and Soul zu deutsch auch Herz- und Seelen-Nebel  ist ein klassisches großes Nebel-Objekt (IC1805 und IC1848) in der Cassiopeia.

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für das Teleobjektiv.

  • Scheinbare Helligkeit von 6,5 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 150×150′  und 150’x75′
  • Der Herznebel und der Seelennebel sind Emissionsnebel und strahlen vorwiegend in H alpha und sind damit bestens für meinen Tri-Narrowband-Filter geeignet
  • Entfernung 7500 Lichtjahre.

Im November 2021 habe ich von meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel ein erstes “Beweisfoto” vom Herz- und Seelen-Nebel erstellen können.

Abbildung 1: Herz- und Seelen-Nebel unter starker Lichtverschmutzung (Flickr: Rot_von_HeartAndSoul-RGB-session_1-lpc-cbg-csc-St_6.jpg)

Rot_von_HeartAndSoul-RGB-session_1-lpc-cbg-csc-St_6

Diese Fotografie habe ich von meiner Innenhof-Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel mit meinem Fotoobjektiv Takumar 135mm geschossen. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Wohnung: E-Ladesäule

Gehört zu: Wohnung
Siehe auch: Auto

Stand: 25.11.2021

Wohnung: E-Ladesäule

Wir planen an unserem Tiefgaragen-Stellplatz eine E-Ladesäule (sog. Wallbox) einzurichten.

Deswegen habe ich heute am 25.10.2021 mit unserem Elektriker ein erstes Telefongespräch geführt.

Der Elektriker will nächste Woche mal vorbeikommen und sich vor Ort die Gegebenheiten anschauen, um dann ein Angebot zu erstellen.

Eine erste Frage des Elektrikers war: 11 kW oder 22 kW? Ich habe keine Ahnung was das für Auswirkungen hätte.

Bei 22 kW sagt der Elektriker, sei eine “Regelung” vorgeschrieben.

So eine Wallbox kostet ca. 1500,– bei 11 kW und 2700,– bei 22 kW.

Dabei ist immer schon eine Freischaltung per RFID-Karte dabei.
Im Internet werden auch billigere angeboten, die bekommen in Hamburg aber keine Zulassung.

Lieferzeit: 1Q2022.

Generell müssen alle Wallboxen, die in Hamburg von den Behörden (Stromnetz Hamburg?) zugelassen werden, “managebar” sein; d.h. vom Stromnetz Hamburg aus der Ferne herunterregelbar, für den Fall, dass das Stromnetz überlastet würde.

Man bekommt in Hamburg 900 Euro Förderung für eine E-Ladestation, das kann man schon beantragen, wenn noch keine konktetes Angebot vorliegt oder braucht man ein Angebot oder was braucht man für den Antrag….?

Im einfachsten Fall will der Elektriker einfach ein Kabel verlegen von “unserem” Stromzähler im Keller zu der Position der Ladebox in der Tiefgarage. Da mus man eigentlich niemanden fragen, meiner der Elektriker. Dann läuft der Strom einfach über unseren Zähler. Die Ladesäule kann nur über eine Freischaltung per RFID-Karte benutzt werden. Obtional knnte auch noch ein geeichter Zähler eingebaut sein (mit Mehrkosten).

Die Frage wäre, ob man eine Ladeinfrastruktur, die später mehrere nutzen könnten aufbauen will. Das wäre dann der umstädlichere Weg —> Verwalter —> WEG

Der Elektriker war heute (25.11.2021) vor Ort und wird nun ein Angebot erstellen.

Mathematik: Koordinatensysteme

Gehört zu: Tensoren
Siehe auch: Metrik-Tensor, Astronomische Koordinatensysteme
Benutzt: Latex-Plugin

Stand: 13.11.2021

Koordinatensysteme in Riemanschen Mannigfaltigkeiten

Koordinatensysteme spielen u.a. in sog. Riemanschen Manigfaltigkeiten eine Rolle.

Man hat eine Punktmenge M (Topologischer Raum?) und ordnet jedem Punkt ein-ein-deutig ein n-Tupel von Koordinaten zu. Dann kann man statt der Punkte über diese n-Tupel (also die n Koordinaten) sprechen.
So eine Koordinate ist im einfachsten Fall eine reelle Zahl, dann sind die Koodinaten also n-Tupel reeller Zahlen, also Elemente aus dem \( \mathbb{R}^n \). Im allgemeinen Fall nehmen wir für die Koordinaten einen Körper.

Wir hätten also eine ein-ein-deutige (d.h. bijektive) Abbildung zwischen Punkten und n-Tupeln:

\( M \to \mathbb{R}^n \)

Chartesische Koordinaten

Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) habe wir ja die klasssichen Chartesischen Koordinaten mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…

Krummlinige Koordinaten

Bei nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Typische Beispiele für krummlinige Koordinaten sind z.B.

  • Ebene Polarkoordinaten
  • Kugel-Koordinaten
  • Zylinder-Koordinaten

Kurven und Tangenten

Eine Kurve in einer Riemanschen Manigfaltigkeit M wird gegeben durch eine Abbildung von einem reellen Intervall auf Punkte in die Riemansche Manigfaltigkeit. Man nennt so eine Abbildung auch eine Parameterdarstellung der Kurve.

Den Parameter aus einem reellen Intervall können wir schreiben als: \( t \in [t_a, t_e] \)

Die Abbildung ist dann:

\( [t_a, t_e] \to M \\\)

Wir haben also zu jedem Parameterwert \( t \in [t_a, t_e] \) einen Punkt aus der Riemannschen Manigfaltigkeit M.

Wenn wir den Punkt durch seine Koordinaten \( \left(q^i\right) \) ausdrücken, ist die  Kurve also eine Abblidung:

\( [t_a, t_e] \to \mathbb{R}^n \\\)

Wo also die Koordinaten qi eine Funktion des Parameters t sind: \( q^i = q^i(t) \)

Wenn die Kurve differenzierbar ist (also die Koordinaten der Parameterdarstellung), hat die Kurve auch Tangentenvektoren:

\(\vec{T}(t) = \left(T^i(t)\right) = \Large \left(\frac{dq^i}{dt} \right) \)

Die Kurve selbst liegt in der Riemanschen Manigfaltigkeit; der Tangentenvektor aber nicht, er ist an die Riemannsche Mannigfaltigkeit sozusagen “angeheftet”.

Die Tangentenvektoren liegen in einem eigenen Vektorraum…

Koordinatenlinien

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem erhält man eine Koordinatenlinie indem man n-1 Koordinaten festhält und genau eine Koordinate als Parameter laufen lässt.
So eine Koordinatenlinie kann man als (unendliche) Kurve auffassen.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right)\) gehen dann n Koordinatenlinien: \( L_j\) mit \( j=1, 2,\ldots, n \).

Die Koordinatenlinie \( L_j\)  hat den Parameter \( t = q^j \) und die Werte:

\( q^i(t) = p^i \enspace (\text{falls } i \neq j)  \)
\( q^i(t) = t \enspace (\text{falls } i = j)  \)

Schöneres Latex:

\( q^i(t) = \left \{  \begin{array}{ll}   p^i & \text{falls } i \neq j \\ t & \text{falls } i = j \\    \end{array} \right. \)

Koordinaten-Hyperflächen

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem bekommt man Koordinaten-Hyperflächen in dem man genau eine Koordinate festhält und alle anderen laufen lässt.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right) \)  gehen dann n Koordinaten-Hyperflächen.

So eine Koordinaten-Hyperfläche kann man als sog. Teil-Mannigfaltigkeit auffassen.

Astronomische Koodinatensysteme

Hierzu habe ich einen eigenen Artikel Astronomische Koordinatensysteme geschrieben.

Physik: Einstein ART Allgemeine Relativitätstheorie

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Kosmologie, Expansion des Universums, Metrik-Tensor
Benutzt: Latex-Plugin

Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie (ART) geht es um die Gravitation, die ja schon von Newton beschrieben wurde.

Ein Ausgangspunkt für die ART ist das sog. Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugssystem nicht von einem Bezugssystem mit einem homogenen Gravitatiosfeld unterschieden werden kann. Formelmäßig ist dann die sog. “träge Masse” identisch mit der “schweren Masse”….

Quelle: Youtube Video https://youtu.be/hU0Mcd2-XH4

Bekannt sind seine berühmten sog. Feldgleichungen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Die obige Gleichung kann so kompakt hingeschrieben werden, weil sog. Tensoren verwendet werden.

Der Metrik-Tensor ist \( g_{\mu \nu} \). Gemäß Konvention laufen die Indices μ und ν = 0,1, 2, 3 wobei 0 die Zeit-Koordinate bedeutet.

Den Metrik-Tensor habe ich wohl verstanden und im Einzelnen in einem separaten Blog-Post beschrieben.

\( T_{\mu \nu} \\\) ist der sog. Energie-Impuls-Tensor, den man im Vakuum einfach auf Null setzt (sog. Vakuumlösungen).

Der Engergie-Impuls-Tensor soll Massendichte, Energiedichte, Druck und ähnliches beschreiben, soll heissen alles, was für die Krümmung des Raumes Ursache sein soll. Dieser Tensor ist für die Entwicklung des Universums wichtig; siehe: Expansion des Universums.

Λ (großes Lambda) ist die sog. kosmologische Konstante, die ursprünglich (1915) nicht in der Gleichung stand, sondern später von Einstein eingeführt wurde, um dem gravitativen Kollaps des Universums entgegen zu wirken.

\( R_{\mu \nu} \) ist der sog. Ricci-Tensor – keine Ahnung, was das sein soll.

Manchmal sieht mit die Einsteinschen Feldgleichungen auch in einer etwas anderen Form:

\( \Large G_{\mu \nu}  = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Mit dem sog. Einstein-Tensor:

\( \Large G_ {\mu \nu}  = R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}  \\\)

Was man immer wieder hört, ist dass nach Einstein große Massen die Raumzeit krümmen. Wobei die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit nicht in eine weitere Dimension (die fünfte) geht, sondern die Raumzeit “in sich” gekrümmt wird, soll wohl heissen, dass nicht mehr die Euklidische Metrik gilt, sondern eine andere Metrik, eine “Nichteuklidische Metrik“.

Siehe hierzu: Krümmung der Raumzeit

 

Mathematik: Der Metrik-Tensor

Gehört zu: Vektoranalysis
Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie, Koordinatensysteme, Vektorbasis, Tensoren, Gekrümmter Raum

Der Metrik-Tensor

Stand: 26.10.2021

Youtube-Videos von Prof. Paul Wagner:

Wir betrachten eine Riemansche Manigfaltigkeit; d.h. eine Punktmenge mit einem Koordinatensystem. Zu so einem Koordinatensystem, gehört ein Metrik-Tensor, der uns auch ein Linienelement definiert und damit so etwas wie eine Metrik.

Wir kommen aber nicht in einem Schritt von einem Koordinatensystem zu einem Metrik-Tensor, sondern betrachten zunächst, wie ein Koordinatensystem eine Vektorbasis definiert. Zu so einer Vektorbasis haben wir dann einen Metrik-Tensor.

Schlussendlich wollen wir ja Vektorfelder beschreiben. Dabei handelt es sich ja um eine Abbildung von Raumpunkten auf Vektoren. Dabei wird der Raumpunkt durch seine Koordinaten im Koordinatensystem und der Vektor durch seine Komponenten bezügliche “seiner” Vektorbasis beschieben. Wenn wir dann beispielsweise die Veränderung eines Vektors bei kleinen Veränderungen des Raumpunkts untersuchen, müssen wir nicht nur die Veränderung der Vektorkomponenten, sondern ggf. auch die Veränderung der Basisvektoren berücksichtigen, da die Basisvektoren ja im Allgemeinen (z.B. bei krummlinigen Koodinaten) auch vom Ort im Raum abhängig sein werden.
Das wird uns dann zur sog. Kontravarianten Ableitung führen.

Koordinatensystem und Vektorbasis

Zu einem Koordinatensystem bekommmen wir nämlich zwei möglicherweise verschiedene Vektorbasen:

1) Die Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien: sog. kovariante Basis

2) Die Basisvektoren stehen normal (senkrecht) auf den Koordinatenhyperflächen: sog. kontravariante Basis

Bei Chartesischen Koordinaten sehen wir Besonderheiten:

  1. Kovariante Vektorbasis = Kontravarinate Vektorbasis
  2. Die Vektorbasis ist unabhängig vom betrachteten Raumpunkt, also überall die gleiche.

Bei nicht-chartesischen Koordinatensystemen (sog. krummlinigen) wird das beides anders sein.

Bei solchen nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Wir betrachten nun einen Raum mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten: \( q^\alpha \) mit α =1,2,…,n und einem hilfsweise dahinterliegenden Chartesischen Koordinaten: \( x^i \) mit 1= 1,2,….n.

Als Hilfsmittel ziehen wir anfangs gerne die Chartesischen Koordinaten hinzu, wo wir dann im Fall von beliebig vielen Dimensionen die Symbole xi (i=1,2,…) verwenden, oder bei zwei und oder drei Dimensionen, manchmal auch: x,y,z.

Die kovarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}_\alpha \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Tangenten an die Koordinatenlinien. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\(\Large \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Die kontravarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}^{\,\alpha} \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Normalen auf den Koordinatenhyperflächen. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\( \Large \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \)

Vektorbasis und Metrik-Tensor

Wenn wir eine Vektorbasis gefunden haben; z.B.:

Eine Vektorbasis: \( \vec{g}_\alpha \)  (α= 1,2,…,n)

Erhalten wir zu dieser Vektorbasis den dazugehörigen Metrik-Tensor als: \( \left(g_{ij}\right) = \vec{g}_i \cdot \vec{g}_j  \)

Merke: Zu einer Vektorbasis haben wir einen Metrik-Tensor.

Die Riemann-Metrik

Wir können auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ein Tensor-Feld \( g_{ij} \) definiert haben, mit dem wir einen Abstandsbegriff (d.h. eine Metrik) definieren; genauer gesagt, mit dem wir die Länge einer Kurve in der Mannigfaltigkeit definieren wie folgt:

\(\Large s = \int\limits_{t_a}^{t_b} \sqrt{g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}} \, dt  \)

So einen Tensor \( g_{ij} \) nennen wir Metrik-Tensor.

Allgemeine Weisheiten zum Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor ist also ein Tensor-Feld, das auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert ist.

  • Wenn der Metrik-Tensor Elemente konstant sind (also nicht vom Ort abhängen) ist der Raum ein flacher Raum. Es kann dafür auch eine geeignete Koordinaten-Transformation benutzt werden.
  • Wenn die Komponenten des Metrik-Tensors aber vom Ort abhängen (keine Koordinaten-Transformation kann sie konstant machen), ist der Raum ein gekrümmten Raum.
  • So ein gekrümmer Raum kann in einen höherdimensionalen euklidischen (flachen) Raum eingebettet sein (z.B. die zweidimensionale Kugeloberfläche) muss es aber nicht.
  • Ein Euklidischer Raum, ist ein flacher Raum bei dem der Metrik-Tensor die Einheitsmatrix ist bzw. alle Diagonalelemente positiv sind.

Beipiel 1: Chartesische Koordinaten

Das Linienelement ist:

\( ds^2 = d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + d{x_3}^2 + … \)

Also:

\( ds^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}{{dx_i}^2} \)

Der Metrik-Tensor ist dabei ja ein Tensor vom Rang 2 und ist in diesem chartesischen Falle identisch mit der Einheitsmatrix (beispielsweise mit 3 Dimensionen):

\(\Large (g_{ij}) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Dieser Metrik-Tensor definiert dann unser Linienelement:

\( (ds)^2 = \sum\limits_{i=1}^n{\sum\limits_{j=1}^n{dx_i dx_j g_{ij}}} \)

Oder in der Einsteinschen kompakten Schreibweise (mit der sog. Summenkonvention):

\( (ds)^2 = g_{ij} dx^i dy^j \)

Beispiel 2: Ebene Polarkoordinaten

Im zweidimensionalen Euklidischen Raum (Ebene) haben wir als Chartesische Koordinaten: x1 = x,  x2 = y

Als krummlinigen Koordinaten nehmen wir Polarkoordinaten: q1 = r und q2 = φ

Zum Rechnen verwenden wird als Hilfsmittel gern die Chartesischen Koordinaten. Damit haben wir Koordinaten-Transformationen in beiden Richtungen:

\( x = r \cdot \cos{\phi} \\ \\ y = r \cdot sin{\phi} \)

Und in der anderen Richtung ist:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi =\arctan{\frac{y}{x}} \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kovariante Vektorbasis (Basis Vektorsystem):

\( \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Zu diesen kovarianten Basisvektoren bekommen wir als kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & r^2  \end{array} \right]  \\\)

Wobei dieses Beispiel zeigt: (1) Der Metrik-Tensor ist ortsabhängig und (2) Die zugrundeliegende Vektorbasis ist zwar orthogonal, aber nicht orthonormal.

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2 \\ \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kontravariante Vektorbasis:

\( \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \\\)

Zu diesen kontravarianten Basisvektoren bekommen wir als kontravarianten Metrik-Tensor (wir können die Komponenten des kontravarianten Metrik-Tensors ausrechnen oder nehmen einfach das Inverse des kovarianten Metriktensors):

\( \left(g^{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2   \)

Wir sehen auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 3: Zylinderkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x ,y, z die Zylinderkoordinaten (r, φ, z) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r,  \, q^2 = \phi, \, q^3 = z \)

Aufgrund der Koordinaten-Transformationen bekommen wir:

Für den  kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2  + dz^2 \\ \)

Und für den  kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2 + dz^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 4: Kugelkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x, y, z die Kugelkoordinaten (r, θ, φ) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r, \,  q^2 = \theta, \,  q^3 = \phi \)

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Radialachse” (Zenith/Nadir), die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\theta^2  + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Und als kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2}d\theta^2  + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}d\phi^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 5: Kugeloberfläche

Die Oberfläche einer Kugel mit dem (festen) Radius R ist ein zweidimensionaler Raum, wo wir als Koordinatensystem gut mit dem entsprechenden Teil der Kugelkkordinaten arbeiten können.

Also mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten mit \(  q^1 = \theta, \,  q^2 = \phi \), was also auf der Erdoberfläche prinzipiell der geografischen Breite und der geografischen Länge entsprechen würde.

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Der Metrik-Tensor ergiebt sich dann ganz analog aus dem Vorigen:

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr}  R^2 & 0 \\  0 & R^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  R^2 d\theta^2  + R^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Der so definierte Riemansche Raum (Kugeloberfläche mit dem o.g. Koordinatensystem) ist ein Nichteuklidischer Raum, wie wir sehen werden. Zur Geometrie in solchen Nichteuklidischen Räumen haben wir ja noch nichts gesagt; aber die Standard-Weissheit ist ja die Winkelsumme im Dreieck und…

 

 

 

Astronomie: Expansion des Universums

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Entfernungsbestimmung, Friedmann-Gleichung, Einsteinsche Feldgleichungen

Stand: 9.11.2021

Expansion des Universums

Youtube Video Josef Gassner vAzS (69): https://youtu.be/8avR8-2ndOA

Edwin Hubble (1889-1953) hatte 1929 durch Beobachtungen herausgefunden, dass Galaxien eine Rotverschiebung aufweisen – und zwar um so mehr, je weiter sie von uns entfernt sind. Die Rotverschiebung (Symbol z) misst man unmittelbar im Spektrum, zur Bestimmung der Entfernung (Symbol R) konnte Hubble die von Henrietta Leawitt (1868-1921) im Jahre1912 in Harvard entwicklete Methode der Delta-Cephedien als Standardkerzen nutzen. Das nach ihm benannte Hubble-Gesetz ist also:

Rotverschiebung = z = const. * R

Wenn man die Rotverschiebung (s.u.) als verursacht durch eine Art “Fluchtgeschwindigkeit” (v  ≈ c * z) versteht, kann man also schreiben:

v = H * R

Wegen der Grundannahmen von Homogenität und Isotropie des Universums, geht man nicht davon aus, das wir im Mittelpunkt dieser Bewegungen stehen, sonden dass eine allgemeine und allseitige Längen-Skalierung stattfindet. Alle Längen (Symbol R) im Universum verändern sich mit der Zeit mit einem Faktor, was man als kosmologischen Skalenfaktor a(t) beschreibt. Eine Länge R0 zum Zeitpunkt t=0 ist also zum Zeitpunkt t:

R(t) = a(t) * R0

oder: R0 = R(t) / a(t)

Dies ist also eine Ausdehnung (oder Kontraktion) des Raumes allein. Die Zeit ist von diesem Skalenfaktor (des Raumes) nicht unmittelbar betroffen. Es wäre also falsch zu sagen, die Raumzeit dehnt sich aus – es ist nur der Raum, der skaliert.

Um die Geschwindingkeit zu bekommen, differenziere ich obige Gleichung nach der Zeit (t):

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot R_0  \)

Nun setzte ich R0 = R(t) / a(t) ein und erhalte:

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot \frac{R(t)}{a(t)}  \)

und damit:

\( v = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} R(t) \)

Was genau das Hubble-Gesetz ist, mit der Hubble-Konstanten:

\( \displaystyle \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}=H(t) \\\)

Als gegeben gilt für uns also die Expansion des Universums, die durch den Hubble-Parameter H(t) bzw. den Skalenfaktor a(t) beschrieben ist.

Diese Expansion des Universums mit dem Hubble-Gesetz hatte George Lemaître (1894-1966) im Jahre 1927 bereits theoretisch (also ohne praktische Beobachtungen) aus den Einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet. Da Lemaître also bereits zwei Jahre vor Hubble den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und Entfernung herausbekommen hatte nennt man das Hubble-Gesetz auch machnmal “Hubble-Lemaître-Gesetz”.

Rotverschiebung

In den Spektren von vielen Galaxien kann man eine Verschiebung der Linien zum Roten hin beobachten.

Als Rotverschiebung z definiert man den Quotienten der Differenz zwischen der Wellenlänge im Beobachtersystem (obs) und derjenigen im Emittersystem (em):

\(\displaystyle z = \frac {\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} \)

Edwin Hubble interpretierte die Rotverschiebung z als Dopplereffekt hervorgerufen durch eine Fluchtgeschwindigkeit v der Galaxien.

\(\displaystyle z \approx \frac{v}{c} \)    (für kleine Geschwindigkeiten)

Edwin Hubble konnte 1929 nachweisen, dass diese Rotverschiebung mit der Entfernung R der Galaxien zunimmt.  Es waren zwar nur 18 Galaxien, die Hubble untersuchte, doch mit wachsender Zahl hat sich dieses Ergebnis bestätigt. Dieser Zusammenhang ging als Hubble-Effekt in die Kosmologie ein und wird auch zur Entfernungsbestimmung benutzt.

\(\displaystyle v = H_0 \cdot R \)

Wenn man die Rotverschiebung als Effekt der Expasion des Universums mit dem Skalenfaktor a(t)  interpretiert ist also:

\(\displaystyle z = \frac{\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}} – 1 = \frac{1}{a} – 1\)

Das Hubble-Gesetz zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit v (bzw. der Rotverschiebung z) und der Distanz R mit einer Proportionalitätskonstante, der Hubble-Konstanten H0. Die Linearität hat jedoch nur im nahen Universum ihre Gültigkeit, nämlich bis zu einem maximalen Abstand von gut 400 Mpc oder z  kleiner als 0,1. Für weiter entfernte Objekte bricht die Linearität zusammen.

Bei größeren Geschwindigkeiten (d.h. relativ zur Lichtgeschwindigkeit) müssen zusätzlich die relativistischen Effekte berücksichtigt werden. Dazu schreibe ich etwas in den separaten Blog-Posts   “Robertson-Walker-Metrik” und “Friedmann-Gleichung“.

Messung der Hubble-Konstante

Die nach Edwin Hubble benannte Hubble-Konstante, beschreibt die gegenwärtige Expansionsgeschwindigkeit des Universums.

Messungen zu Beginn des 21. Jahrhunderts ergaben Werte zwischen \(68 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) und \(74 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) .

Aus der Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Hubble-Konstante können wir entnehmen:

Unter Verwendung von Daten des Spitzer-Weltraumteleskops, basierend auf Beobachtungen im 3,6-μm-Bereich (mittleres Infrarot) zur Neukalibrierung der Cepheiden-Distanzskala, erhielten die Wissenschaftler des Carnegie Hubble Programs neue, hochgenaue Werte für die Hubble-Konstante. Dadurch konnte dieser nun um einen Faktor 3 genauer bestimmt werden. Er beträgt (74,3 ± 2,1) km/(s·Mpc). Damit hat die Hubble-Konstante nur noch eine Unsicherheit von drei Prozent (Stand 16. August 2012).

\({\displaystyle H_{0}\approx (74{,}3\pm 2{,}1)\ {\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {s\cdot Mpc} }}} \)

Die Hubble-Sphäre ist der um den Beobachter gedachte kugelfömige Teil des Universums ausserhalb dessen sich Objekte aufgrund der Expansion des Universums mit Überlichtgeschwindigkeit entfernen. Diese Hubble-Sphäre ist also das beobachtbare Universum.

Der “proper” Radius einer Hubble-Sphäre (genannt Hubble-Radius oder Hubble-Länge) beträgt: \(  \Large \frac{c}{H_0} \)

Raumausdehnung im Nahbereich – Gebundene Systeme

Wie würde sich eine Expansion des Raumes gemäß dieser Hubble-Konstante auf räumlich ausgedehnte Objekte (also keine gedachten punktförmigen Objekte) im Universum auswirken? Z.B. ändert sich der Abstand Erde-Mond ein klein wenig?

Die Frage ist: Hat die globale kosmologische Expansion einen Einfluss auf lokale Dynamik (Kräfte) bzw. lokale Kinematik (Entfernungen, Zeit). Man spricht da von “gebundenen Systemen” oder einem “gebundenen Zustand”; d.h. ein Zustand, wo mehrere Teilchen so aneinander gebunden sind, dass sie sich nach aussen wie ein Teilchen verhalten. Was man auch hört sind die Begriffe “gravitativ gebunden” und “elektromagetisch gebunden”.

Dazu dieses Google Sheet

Astronomie: Friedmann-Gleichung

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Expansion des Universums, Gravitation, Relativitätstheorie
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress

Stand: 8.11.2021

Die Friedmann-Gleichung

In der Kosmologie wollen wir das Universum als Ganzes beschreiben inklusive der Entwicklung vom Urknall bis heute und weiter…
Am Ende kommen wir zum vielgenannten “Standardmodell der Kosmologie“…

Der Ausgangspunkt ist dabei das sog. Kosmologische Prinzip d.h. die Grundannahmen von Isotropie (das Universum sieht in alle Richtungen gleich aus) und Homogenität (das Universum sieht an jedem Punkt gleich aus). Wobei das alles nur bei der Betrachtung sehr großer Skalen der Fall ist (hunderte von Mega Parsec).

Die Expansion des Universums

Zur Expansion des Universums hatte ich einen eigenen Blog-Post geschrieben.

Unter der Grundannahme von Homogenität und Isotropie können wir die Expansion des Universums durch den sog. Skalenfaktor a(t) beschreiben.

Die Friedmann-Gleichung mit Newtonscher Mechanik

Youtube-Video: Josef Gassner: Von Aristoteles zur Stringtheorie

Wenn man zunächst ohne Relativitätstheorie (also nur mit der Klassischen Newtonschen Mechanik) rechnet, ergibt sich allein aus unseren Grundprämissen (Isotropie und Homogenität) und der Erhaltung der Energie (kinetische + potentielle) schon die klassische Friedmann-Gleichung. Später werden wir sehen, wie sich das relativistisch rechnet und dann für große Massen und große Abstände gilt…

Wegen der Homogenität können wir irgend einen ganz beliebigen Punkt im Universum herannehmen.
An jedem solchen Punkt im Universum haben wir eine gleiche Dichte ρ deren Wirkung ein Gravitationsfeld ist.
Im Newtonschen Ansatz ist diese Dichte allein die Massendichte, im relativistischen Fall käme noch die Energiedichte hinzu, die ebenfalls gravitativ wirken würde.
Wir betrachten dann einen Testkörper der Masse m im Abstand R von diesem Punkt.

Aufgrund der Expansion des Universums verändert sich dieser Abstand R mit der Zeit t gemäß dem Skalenfaktor:

\( R(t) = a(t) \cdot R_0 \)  Wobei R0 der heutige Abstand sein soll

Dieser Testkörper hat nun eine Potentielle Energie (Epot) im Gravitationsfeld und eine Kinetische Energie (Ekin) aufgrund der Expansionsbewegung.

Als Kinetische Energie bekommen wir:

\( E_{kin} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  \)

Die Potentielle Energie bekommen wir, wenn wir die Gravitationskräfte betrachten, die auf den Probekörper wirken.

Als Gravitationswirkung haben wir die Masse der Kugel vom Radius R um den betrachteten Punkt. Da wir eine homogene Dichte ρ haben, ergibt sich diese Masse zu:

\(  M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho  \)

Nach Newton können wir diesen Teil der Gravitation wie eine punktförmige Masse berechnen. Die Massen ausserhalb dieser Kugel heben sich nach dem Newtonschen Kugelschalen-Theorem gegenseitig zu Null  auf.

Das Gravitationspotential der Kugel ist also:

\(  \Phi(r) = – \frac{G \cdot M}{r}\)

und als Potentielle Energie der unserer Probemasse ergibt sich:

\(  E_{pot} = \Phi(R) \cdot m = – \frac{G \cdot M \cdot m}{R}\)

Wenn wir hier die Masse M, nach obiger Formel einsetzen, erhalten wir:

\(  E_{pot} = – \frac{G  \cdot m}{R}  \cdot \frac{4}{3}  \pi R^3 \rho      \)

und schließlich:

\(  E_{pot} = – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho      \)

Die Sume aus kinetischer und potentieller Energie soll gleich bleiben:

\(  E_{kin} + E_{pot} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho  = E = const.   \)

Wenn wir dass mit 2 multiplizieren und die Masse m herauskürzen bekommen wir:

\(    \dot{R}^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  R^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  \)

Wenn wir \( \dot{R}(t) \: und \: R(t) \) einsetzen bekommen wir::

\(    (\dot{a} \cdot R_0)^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a \cdot R_0)^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  \)

Dies können wir noch durch R02 dividieren und bekommen:

\(    (\dot{a} )^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a )^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m \cdot {R_0}^2} = const.  \)

Nun dividieren wir noch durch a2 und bringen den Minus-Term nach rechts:

\(\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{const}{a^2} \)

Das ist schon die gerühmte Friedman-Gleichung…

Damit die die Newtonsche Friedmann-Gleichung ganz analog der relativistischen aussieht, formen wir sie etwas um:

\(\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{k \cdot c^2}{a^2} \)

k nennen wir Krümmungsparameter; das wäre also:

\( \Large k = \frac{2 E}{m \cdot c^2 \cdot {R_0}^2} \)

Dieser Krümmungsparameter wird uns später bei der Robertson-Walker-Metrik wieder begegnen.

Je nach dem wie der sog. Krümmungsparameter k ist sagt man:

  • wenn k=0  ==> “flaches” Universum (Euklidische Metrik)
  • wenn k>0  ==> “geschlossens” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Kugeloberfläche)
  • wenn k<0 ==> “offenes” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Sattelfläche)

Im Falle k=0 würde sich für die Dichte ergeben:

\( \Large \rho_0 =  \frac{3 \cdot \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2}{8 \pi G} \)

Oder, wenn wir für \(\frac{\dot{a}}{a} \) die Hubble-Konstate H einsetzen:

\( \Large \rho_0 =  \frac{3 H^2}{8 \pi G} \)

Diese Dichte nennen die Kosmologen gern die “kritische Dichte” und messen in ihren Modellen die Dichte dann gerne im Verhältnis zu dieser “kritischen Dichte”:

\( \Large \Omega = \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{8 \pi G}{3 H^2} \rho \\ \)

Aufgelöst nach ρ ergibt das:

\( \Large \rho = \frac{3 H^2}{8 \pi G}  \cdot \Omega\\ \)

Die Friedmann-Gleichung mit relativistischer Mechanik

Diesen Abschnitt muss ich noch überarbeiten…

Wir gehen aus von den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART)…

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Der Energie-Impuls-Tensor ist:

\(\Large T_{\mu \nu} = \left[ \begin{array}{rrrr} -\rho c^2 & 0 & 0 & 0\\  0 & p & 0  & 0\\  0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p\end{array} \right]  \\ \)

Wobei ρ(t) die Massendichte und p(t) der Druck ist.

Ich muss zugeben, dass ich das alles in keiner Weise mehr verstehe: Der Energie-Impuls-Tensor ist für mich völlig unverständlich…

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Zur sog. Friedmann-Gleichung können wir der Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichung) folgendes entnehmen:

\( \displaystyle \frac{\dot a}{a}=H_{0}(\frac{\Omega_{m0}}{a^3}+(1-\Omega_{m0}))^{\frac{1}{2}} \)

Wobei hier die sog. Hubble-Konstante H, die ja nicht wirklich konstant ist, vorkommt. In neuerer Zeit wird statt “Hubble-Konstante” auch der Begriff “Hubble-Parameter” verwendet.

Omega M = Anteil an Materie (barionisch und dunkle)

Omega groß Lambda = Anteil an dunkler Energie

Omega rad = Anteil Strahlungsenergie

k = Krümmung

Link: https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/friedmann-weltmodell/136

 

Astronomie: Rowan Belt Modification meiner Montierung HEQ5 Pro

Gehört zu: Meine Montierung
Siehe auch: Skywatcher HEQ5 Pro, Tracking

Astronomie: HEQ5 Pro Rowan Belt Modification

Die Situation

Ich habe schon viel gelesen, wie man die Montierung Skywatcher HEQ5 Pro gegenüber dem Auslieferungszustand noch verbessern kann.

Ich benutze meine Montierung HEQ5 Pro ja fast ausschließlich zum Fotografieren (nie visuell) und habe als bevorzugten Standort meine heimische Terrasse in Hamburg Eimsbüttel; d.h. hohe Lichtverschmutzung und sehr eingeschränkte Horizontsicht. Ausserdem ist die Montierung nicht fest aufgestellt, sondern muss als mobile Montierung ständig neu eingenordet werden.

Zum Fotografieren benutze ich als Teleskop eine Orion ED80/600 und als Kamera eine ZWO ASI294 MC Pro Cooled.

Nun will ich mal recherchieren, was es mit der Rowan Belt Modification eigentlich auf sich hat.

Das Problem

Schlechtes Tracking durch die Montierung. Siehe meine Grafik im Artikel Einnorden – Polar Alignment.

Die etwas merkwürdigen und lauten Geräusche der Montierung (Motoren, Getriebe) beim Goto sind nicht mein Problem. Meine Nachbarn sind weiter weg und ich mache nur wenige Gotos in einer Nacht…

Lösungsmöglichkeiten

Einige Sternfreunde und viele Forumsartikel berichten von einer “Rowan Belt Modifikation”. Was ist das und was bringt das?

Teleskop-Service

Bei Teleskop-Service wird ein Rowan Engineering Belt Modification Kit für EUR 159,- plus Versand angeboten (Artikel Nr. HEQ5bord):

Link 1: Teleskop-Service Rowan Belt Modification Kit

Hinzu kommt ein “Extractor” zu EUR 29,90  (Artikel-Nr. HEQ5EXT).

Bei der Beseitigung des lauten Geräuschs sind sich alle einig. In wieweit sich das Tracking verbessert, da schweigen soch viele aus.

Eine Tracking Verbesserung beschreibt aber beispielsweise: https://www.amateurastrophotography.com/heq5-pro-belt-improvement-1

Astroshop.eu

Da kostet das Kit EUR 189,– plus Versand…