Astronomie: M8 und M20 Lagoon- und Trifid-Nebel

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Nebel, Namibia

M8 und M20 (Lagoon-Nebel und Trifid-Nebel) sind zwei nahe beieinander liegende Emissionsnebel im Schützen (Sgr).

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für kleinere Teleskope mit einem entsprechenden Gesichtsfeld.

  • Scheinbare Helligkeit von 6,0 und 6,3 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 60′ x 40′ und 28′ x 28′
  • M8 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha.
  • Entfernung 9500 Lichtjahre.

Bei meinem ersten Aufenthalt in Namibia im September 2017 habe ich erste Fotos von M8 und M20 erstellen können. Zwei Jahre später 2019 habe ich es dann noch schöner mit einem Tri-Narrowband-Filter gemacht:

Lagoon- und Triffid-Nebel

Diese Fotografie habe ich von Kiripotib, Namibia geschossen. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astronomie: NGC 6334 Katzenpfoten-Nebel

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Eta-Carinae-Nebel, Filter, Nebel, Namibia

NGC 6334 den sog. Katzenpfoten-Nebel ist ein Emissionsnebel im Skorpion.

Er ein klassisches H-Alpha-Objekt für kleinere Teleskope.

  • Scheinbare Helligkeit von ??? mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 35′ x 20′
  • NGC 6334 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha.
  • Entfernung 5500 Lichtjahre.

Bei meinem ersten Aufenthalt in Namibia im September 2017 habe ich ein erstes Foto von NGC 6334 erstellen können. Zwei Jahre später 2019 habe ich es dann noch schöner mit einem Tri-Narrowband-Filter gemacht:

NGC6334 Katzenpfoten-Nebel, Kiripotib

Diese Fotografie habe ich von Kiripotib, Namibia geschossen. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astrofotografie: Nebel

Gehört zu: Welche Objekte
Siehe auch: Galaxien, Sternhaufen

Nebel: Emissionsnebel

Nebel sind ein lohnendes Beobachtungsobjekt in lichtverschmutzen Orten. Als Astro-Anfänger in Hamburg-Eimsbüttel möchte ich mit meiner Ausrüstung Astrofotos von Objekten machen, die trotzdem Eindruck schinden (zumindest bei mir selbst). Als ich mich fragte, welche Objekte ich aus der lichtverschmutzten Großstadt Hamburg heraus mit meinen bescheidenen Mitteln fotografieren könnte, blieb eines als gut möglich übrig: Sterne (also keine Nebel, keine Galaxien).

Als für mich lohnenswerte Beobachtungsobjekte kommen also schöne Sternhaufen und Doppelsterne infrage. Sternhaufen kann ich mit der Digitalkamera (kürzere Brennweiten) gut fotografieren; Doppelsterne werden meist erst im Teleskop mit längerer Brennweite gut getrennt.

Einige “Experten” empfahlen auch den Einsatz von Filtern gegen die Lichtverschmutzung, was sich bei Emissionsnebeln (z.B. Pacman-Nebel s.u.) tatsächlich als hilfreich erwies.

Welche Nebel?

Liste von für meine Ausrüstung interessanten Emissionsnebel

Meine Kriterien: Größer als 10′ und heller als 8,0 mag

Emissionsnebel können sehr groß sein, so ist z.B. der Nordamerikanebel (NGC7000).

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_diffuser_Nebel

Typ Katalog Name Ausdehnung Helligkeit Sternbild Bemerkungen Status
Gas-Nebel M8 Lagunen-Nebel 60′ x 40′ 6,0 mag Sgr Namibia. Lagunen-Nebel Foto
Gas-Nebel M17 Omega-Nebel 11′ 6,0 mag Sgr NGC 6618, Omega-Nebel, Emissionsnebel – sehr hell – Sternbild Schütze
Gas-Nebel M20 Trifid-Nebel 28′ x 28′ 6,3 mag Sgr Namibia. NGC 6514, Emissions- und Reflexionsnebel im Sternbild Schütze. Foto
Planetarischer Nebel M27 Hantel-Nebel 8,0′ x 5,7′ 7,5 mag Vul
Emissions-Nebel M42 Orion-Nebel 85′ x 60′ 4,0 mag Ori Orionnebel, der Klassiker. Emission & Reflexion
Planetarischer Nebel M57 Ringnebel Leier 1,4′ x 1′ 8,8 mag Lyr Ringnebel in der Leier, klassischer planetarischer Nebel, aber sehr klein
Gas-Nebel NGC 281 Pacman-Nebel 35′ x 30′ 7,4 mag Cas Emissionsnebel Foto
Gas-Nebel NGC 2237 Rosetten-Nebel 80′ x 60′ 6,0 mag Mon Diffuser Emissionsnebel mit eingebettetem offenen Sternhaufen
Gas-Nebel NGC 3372 Eta-Carinae 120′ x 120′ 3.0 mag Car Namibia.
Gas-Nebel NGC 6334 Katzenpfoten 35′ x 20′ Sco Namibia. Emissionsnebel Foto
Supernova-Rest NGC 6992 ff. Cirrus 180′ 7,0 mag Cyg Cirrus-Nebel, Schleier-Nebel
Gas-Nebel NGC 7000 Nordamerika 120′ x 100′ 3,4 mag Cyg Nordamerika-Nebel – Klassiker – groß
Planetarischer Nebel NGC 7293 Helix-Nebel 16′ x 28′ 7,6 mag Aqr Dekl=-21°, Beobachtung: Okt/Nov Foto
Gas-Nebel IC 1318 Schmetterlings-Nebel 50′ x 30′ Cyg Emissionsnebel und H-II-Gebiet
Gas-Nebel IC 2944 Running Chicken 40′ x 20′ 4,5 mag Cen Namibia. Der Nebel resultiert aus einer H-II-Region der Milchstraße Foto

Astrofotografie: NGC 253 Silver Dollar Galaxie

Gehört zu: Welche Objekte?
Siehe auch: Galaxien, Deep Sky Objekte, Namibia

Die Silver Dollar Galaxis

NGC 253, genannt “Silver Dollar Galaxy”, im Sternbild Sculptor ist das klassische klassische “Anfängerobjekt” auf der Südhalbkugel.

Generelle Vorbereitungen für das Fotografieren von NGC 253

Der Standort für die Beobachtung ist Kiripotib in Namibia. Ich war dort vom 12. bis 18.9.2017.

Wann ist der günstigste Zeitpunkt; d.h. wann steht NGC 253 in Namibia schön hoch am Himmel?

  • In 2017 in Kiripotib: ab 12. September, 20:43 Uhr (h>30°)

Welche Ausrüstung soll eingesetzt werden?

  • Kamera: Canon EOS 600Da
  • Optik: APM APO 107/525 (mit Flattener/Reducer 0.85) also ein Öffnungsverhältnis von f/4.9
  • Montierung:  Fornax 51
  • Polar Alignment: vorhanden
  • Windows 10 Notebook-Computer
  • Aufnahme-Software: APT

Mit welchen Einstellungen sollen die Fotos geschossen werden?

  • Geplante Belichtungszeit: 30 x 240 Sekunden bei ISO 800
  • Probefotos ergaben, dass bei dieser Belichtung das Histogramm der Einzelfotos “gut” aussah; d.h. deutlich vom linken Rand abgesetzt und von rechten Rand noch sehr weit entfernt
  • Aufnahmeformat: Raw d.h. CR2
  • Auto Guiding mit PHD2 Guiding

Das Foto am 17.09.2017

Im Jahre 2017 war ich mit meinen astrofotografischen Übungen dann so weit und konnte in Kiripotib folgende Aufnahme gewinnen:

Ergebnis: NGC 253 im Sculptor

Sculptor Galaxy

 

 

Astronomie: Omega Centauri

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: Sternhaufen, Namibia

Omega Centauri (auch NGC 5139) ist der größte Kugelsternhaufen in unserer Milchstraße.

Mit einer scheinbaren Hellikeit von 5,3 mag und einer scheinbaren Ausdehnung von 55′ ist er ein klassisches Objekt für kleinere Teleskope im Süden.

Omega Centauri ist ein sehr großer und sehr alter Kugelsternhaufen.

Entfernung 17000 Lichtjahre.

Im August 2019 habe ich ein Foto des Kugelsternhaufens Omega Centauri mit meiner Canon DSLR schießen können:

NGC5139 Omega Centauri

Diese Fotografie habe ich bei richtig dunklem Himmel in Kiripotib, Namibia gemacht.

Astronomie in Namibia: 47 Tuc

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: Sternhaufen, Namibia

47 Tuc (auch NGC 105) ist der zweitgrößte Kugelsternhaufen in unserer Milchstraße.

Mit einer scheinbaren Hellikeit von 4,9 mag und einer scheinbaren Ausdehnung von 31′ ist er ein klassisches Objekt für kleinere Teleskope im Süden.

47 Tuc ist ein sehr großer und sehr alter Kugelsternhaufen.

Entfernung 15000 Lichtjahre.

Im September 2017 habe ich ein Foto des Kugelsternhaufens 47 Tuc mit meiner Canon DSLR schießen können:

NGC104 (47 Tuc)

Diese Fotografie habe ich bei richtig dunklem Himmel in Kiripotib, Namibia gemacht.

Physik: Arbeit, Energie und Wirkung

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Linienelement, Lagrange, Newton

Die physikalische Größen Arbeit, Energie und Wirkung

Diese physikalischen Größen kennen wir in der Mechanik. Später in der Thermodynamik (Wärmelehre) und in der Quantenmechanik werden wir einiges davon gebrauchen.

Die physikalische Größe “Arbeit”

Arbeit, so haben wir in der Schule gelernt, ist Kraft mal Weg.

Das übliche Formelzeichen für Arbeit ist W (work) und die SI-Einheit das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 kg  m2/s2.

\( W = F \cdot s \\ \)

Gemeint ist immer die Kraftkomponente in Richtung des Weges. Genau genommen also das Skalarprodukt der Vektoren:

\( W = \vec{F} \cdot \vec{s} = || F || \cdot ||s|| \cdot \cos(\angle \left( \vec{F}, \vec{s} \right))    \\ \)

Wenn der Weg nicht geradeaus ist, sondern entlang einer Kurve von s1 nach s2, müssen wir entlang dieser Kurve integrieren.

\( \Large W = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s} \\ \)

Das ist analog zur bereits besprochenen Länge so einer Kurve im Raum. Das hatten wir ja schon (siehe: Linienelement) erklärt:
Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Historische gesehen, war diese Definition der physikalischen Größe “Arbeit” ursprünglich umstritten: Decartes wollte Arbeit als Kraft mal Zeit definieren, aber die Definition als Kraft mal Weg von Leibniz hat sich durchgesetzt.

Arbeit kann in verschiedener Weise eingesetzt werden z.B. als Arbeit zur Bescheunigung eines Körpers oder als Arbeit zur Ortsveränderung in einem Kraftfeld oder …

Die physikalische Größe “Energie”

Die Energie in einem mechanischen System kann in Arbeit umgesetzt werden, bedeutet also eine Art “Arbeitsfähigkeit”…

Kinetische Energie

Die Kinetische Energie nennt man auch “Bewegungsenergie”, weil sie mit der Geschwindigkeit eines Massepunkts zusammenhängt.
Wenn ich einen Massepunkt von einer Anfangsgeschwindigkeit v=v0 (in einem Inertialsystem gemessen) durch Einwirkung einer konstanten Kraft (Größe und Richtung konstant) auf eine Endgeschwindigkeit v=v1 bringe, habe ich eine Arbeit geleistet, die nun in dem Massepunkt als sog. Kinetische Energie steckt.

Die Kraft war:  \(  F = m \cdot a \)

Der Weg war: \(  s = \frac{1}{2} a t^2 \)

Damit ist die geleistete Arbeit:

\( W = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot a^2 t^2 \\ \)

Wenn man nun einsetzt: v = a t erhält man:

\( W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Krafteinwirkung als “Kinetische Energie” in dem schneller bewegten Massepunkt. Beispiel: Eine geworfene Bowlingkugel enthält Kinetische Energie, die wir benutzen, um die Pins am Ende der Bahn umzustoßen.

Potentielle Energie

Die Potentielle Energie nennt man auch “Energie der Lage”. Damit ein Massepunkt seine Lage verändert, brauchen wir Kräfte, die auf den Massepunkt einwirken; denn ohne solche Kräfte verharrt der Massepunkt in Ruhe. Wenn an jedem Ort im Raum (Ortsvektor r) eine Kraft wirkt, sprechen wir von einem Kraftfeld F(r).

Die Frage ist nun, welche Arbeit (gegen dieses Kraftfeld) geleistet werden muss, um einen Massepunkt m von einem Punkt r1 zu einem Punkt r2 zu verschieben.
Wir nehmen dazu eine (glatte) Kurve α, die von r1 nach r2 führt; also beispielsweise α: [0,1] -> Rn  mit α(0) = r1 und α(1) = r2.

Die geleistete Arbeit ist dann ja Kraft mal Weg, aufsummiert über diese Kurve – als Integral:

\( \Large W_\alpha = \int_0^1 \vec{F}(\vec{r})  \cdot d\vec{r}  \\\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Ortsveränderung als “Potentielle Energie” in der neuen Lage des Massepunkts im Kraftfeld. Beispiel: Ein Stausee enthält viel Potentielle Energie, die man benutzen kann, um Strom (elektrische Energie) zu erzeugen.

Wenn diese Arbeit für alle Wege, die von r1 nach r2 führen, die gleiche ist, sprechen wir von einem konservativen Kraftfeld und können die physikalische Größe Potential definieren. Ein Beispiel für so ein konservatives Kraftfeld ist die Gravitation.

Die physikalische Größe “Wirkung”

Die physikalische Größe “Wirkung” (englisch: action) ist definiert als Arbeit, die entlang eines Weges in einer Zeitspanne geleistet wird.

Als Wirkung haben wir:

\(  \Large S = \int_a^b (E_{kin} – E_{pot}) dt  \)

 

Computer: Software – MailStore Home

Gehört zu: Datensicherung und Archivierung
Siehe auch: E-Mail

Welche E-Mails habe ich eigentlich?

Alle meine E-Mails sind primär gespeichert beim Internet-Provider Strato  in sog. IMAP-Konten.

Auf diese E-Mails kann ich bequem von meinen diversen Geräten (Windows-Computer, SmartPhone,…) mit einem E-Mail-Client (z.B. Thunderbird auf meinen Windows-Computern) zugreifen.

Die E-Mails summieren sich ja über die Zeit immer weiter auf, sodass ich für E-Mails ein Archivierungskonzept benötige.

Beim Provider Strato habe ich einen Packet “STRATO PowerWeb Plus”, bei dem es für jedes E-Mail-Konto einen begrenzten Speicherplatz von 5 GB gibt. Ich kann aber beliebig viele E-Mail-Konten anlegen. Deshalb habe ich eine Reihe von E-Mail-Konten bei Strato:

  • dietrich@kr8.de       (meine primäre E-Mail bei Strato)
  • archiv-01@kr8.de    (E-Mail-Archiv bei Strato: 2014-2015-2016)
  • archiv-02@kr8.de    (E-Mail-Archiv bei Strato: 2017-2018-2019)
  • archiv.bluehost@dkracht.com     (E-Mail-Archiv bei Strato: E-Mails vom früheren Provider Bluehost)
  • gartner.kunden@dkracht.com     (E-Mail-Archiv bei Strato: E-Mails bei meinem letzten Arbeitgeber)
  • h-wuthe@t-online.de                  (aktuelle E-Mail meiner Schwiegermutter bei der Telekom)

Solange ich die  Speicherung auch der älteren E-Mails so beim Provider machen kann, kann ich auch bequem mit dem E-Mail-Client Thunderbird auf beliebige – auch alte – E-Mails zugreifen und habe auch eine gewisse Suchfunktion.

Was kann die Software MailStore Home

Ich habe auf meinem Windows-Computer “Asusbaer” die Software “MailStore Home portable” installiert.

“Portable” bedeutet, dass ich das EXE-File in irgendeinem Ordner auf dem Windows-Computer habe und dass dann auch der MailStore-Speicher in diesem Ordner sein wird / sein muss.

Mit MailStore Home kann ich im Prinzip folgendes machen:

E-Mail Import

E-Mails werden von irgendwelchen Quellen in den proprietären MailStore-Speicher geholt.

Als Quellen für einen solchen Import unterstützt MailStore Home:

  • E-Mail-Clients
  • E-Mail-Server
    • Ein IMAP-Postfach
    • Ein Exchange-Postfach
    • Eine E-mail-Adresse via SMTP
  • E-Mail-Dateien auf einem lokalen Computer
    • EML-Dateien auf dem lokalen Computer
    • MSG-Dateien auf dem lokalen Computer

E-Mail Export

E-Mails können aus dem proprietären MailStore-Speicher herausgeholt werden und im Dateisystem als EML-Dateien abgelegt werden.

 

 

Physik: Newtonsche Mechanik

Gehört zu: Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch: Gravitation, Potential, Algebren
Benutzt WordPress-Plugin MathJax-Latex

Newtons Gesetze

In der Newtonschen Mechanik wird “alles” durch die Wirkung von Kräften erklärt.

Aus der Schule kennen wir: Kraft = Masse mal Beschleunigung

Das bedeutet, dass wenn wir an einer Masse eine beschleunigte Bewegung messen, so erklären wir diese beschleunigte Bewegung als Wirkung einer Kraft, die sich wie oben errechnet.

Im SI-System ist dementsprechend die Maßeinheit für die physikalische Größe “Kraft” das Newton (1 Newton= 1 N = 1 kg m /s2).

Newton formulierte 1687 die bekannten drei “Gesetze”:

  1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.  “Trägheitsgesetz”
  2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: \( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)   “Aktionsprinzip”
  3. Kraft gleich Gegenkraft.   “Actio gleich Reactio”

Diese Gesetze bilden das Fundament der Klassischen Mechanik.

Das obige Newtonsche Aktionsprinzip wird auch Impulssatz genannt, weil der Impuls \(\vec{p}=m \cdot \vec{v}\) ist; also \( \vec{F} = \dot{\vec{p}}  \)

Diese drei Newtonschen Gesetze (auch Axiome genannt) gelten in sog. Inertialsystemen, das sind Bezugssysteme, die sich gradlining mit gleichbleibender Geschwindigkeit gegeneinander bewegen.
Besser definieren wir, dass ein Intertialsystem genau ein Bezugssystem ist, in dem diese drei Newtonschen Gesetze gelten. Alle gleichförmig (auch “ruhende”) und natürlich gradlinig dazu bewegten Bezugssysteme sind dann auch Intertialsysteme.

Der so definierte Kraftbegriff gilt relativ zu einem benutzten Bezugssystem. Da die Beschleunigung eines Körpers in allen Inertialsystemen gleich ist, ist auch die Kraft auf diesen Körper in allen Inertialsystemen gleich.
Sobald ich aber ein Nicht-Intertialsystem benutze (z.B. geradlinig beschleunigte oder rotierende Bezugssysteme), muss ich fürchterlich aufpassen. Dort beobachte ich Beschleunigungen, die in Inertialsystem gar nicht auftreten und denen man dann auch Kräfte zuordnet, die dann aber Scheinkräfte (Trägheitskräfte) genannt werden. Beispiel 1: (Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem): Andruck bei Bescheunigung im Auto auch bei Geradeausfahrt.
Beispiel 2: (Rotierendes Bezugsystem): Zentrifugalkraft, Corioliskraft.

Bewegungsgleichungen

Man möchte ja die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse beschreiben. Im Allgemeinen sucht man also:

Ortsvektor in Abhängigkeit von der Zeit: \( \vec{s}(t) \)
Geschwindigkeitsvektor in Abängigkeit von der Zeit:  \( \vec{v}(t) \)

Man findet diese beiden Funktionen als Lösung von sog. Bewegungsgleichungen, die z.B. diese äußeren Einflüsse beschreiben.

Beispiel: Freier Fall nach Newton

Der äußere Einfluss ist hier die Erdanziehung, die auf eine punktförmige Masse m eine Kraft \( \vec{F} = m \cdot \vec{g} \) ausübt; wobei wir die Gravitationsbeschleunigung \( \vec{g} \) idealisiert mit konstanter Größe und konstanter Richtung annehmen.

Die Fragestellung ist nun, wie sich ein Massepunkt, der zur Zeit t=0 die Anfangsbedingungen s(0)=0 und v(0)=0 erfüllt, in der Zeit weiter bewegt.
Die Bewegungsgleichung hierfür ist:  \( m \cdot \dot{\vec{v}}(t) = m \cdot \vec{g} \)

Die Lösung dieser Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration. Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergibt sich:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Neben der klassischen graphischen Darstellung dieser beiden Funktionen können wir auch einen sog. Phasenraum verwenden.

Anregungen hierzu habe von Stefan Müllers Youtube-Video  https://www.youtube.com/watch?v=Q0DiNWi_fcc  erhalten.

Energie und Lagrange

Man kann die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems auch durch den sog. Lagrange-Formalismus beschreiben. Dazu benutzt man die physikalischen Größen kinetische Energie und potentielle Energie.

Langrange-Funktion: \(\mathcal{L} = E_{kin} – E_{pot} \)

Um mit der Langrange-Funktion etwas zu machen, muss man sie als Funktion von Variablen (also Koordinaten) ausdrücken. Die kinetische Energie hängt klassischerweise von der Geschwindigkeit v ab. Die potentielle Energie hängt klassischerweise vom Ort r ab. Die Variablen (Koordinaten) der obigen Lagrange-Funktion wären dann also \(\mathcal{L}(v,r) \).

Wobei diese Lagrange-Funktion nur eine “Hilfsfunktion” ist und keine intrinsische physikalische Eigenschaft darstellt.

Zu der obigen Lagrange-Funktion erhält man die sog. Langrange-Gleichung (2. Art sagt man) als:

\(\Large \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} – \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = 0 \\ \)

Setzt man in die obige Langrange-Funktion die Ausdrücke für die kinetische und die potentielle Energie ein und bildet dann die für die Lagrange-Gleichung erforderlichen partiellen Ableitungen, so erhält man Bewegungsgleichungen, die man meist ganz einfach lösen kann.

Warum Lagrange?

Es wird gesagt, dass man mit dem Lagrange-Formalismus, kompliziertere Probleme der Kinematik leichter lösen kann als mit den Newtonschen Gleichungen.

Es werden dazu typischerweise sog. generalisierte Koordinaten verwendet, die die Lösung schon mal vereinfachen. Die generalisierten (oder verallgemeinerten) Koordinaten bilden in der theoretischen Mechanik einen minimalen Satz von unabhängigen Koordinaten zur eindeutigen Beschreibung des räumlichen Zustands des betrachteten Systems.  Diese werden so gewählt, dass die mathematische Formulierung von Bewegungen, möglichst einfach wird. Die generalisierten Orts-Koordinaten tragen  oft das Formelzeichen \(q_i\), dann sind \(\dot{q}_i\) sog. verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Durch geschickt gewählte verallgemeinerte Koordinaten kann man z.B. sog. “Zwangsbedingungen” von vorne herein und ohne zusätzliche Gleichungen mit einbauen.
Die minimale Anzahl der verallgemeinerten Orts-Koordinaten ist zugleich auch die Anzahl der sog. Freiheitsgrade des Systems.

Typische einfache Beispiele, an denen man den Lagrange-Formalismus Anfängern erklärt, sind: Freier Fall, Schiefe Ebene, Fadenpendel,…

Verwendung findet der Langrange-Formalismus z.B. in der Himmelsmechanik beim Mehrkörperproblem. Man kennt ja beim vereinfachten Dreikörperproblem die berühmten Lagrange-Punkte L1, L2 etc. wo ja gerne Raumsonden, wie Soho, hingeschickt werden.

Beispiel: Freier Fall mit Lagrange

Siehe dazu auch: https://www.youtube.com/watch?v=MIHlsj6kan4

Zur Beschreibung dieses ganz einfachen (eindimensionalen) mechanischen Versuchs benutzen wir als vereinfachte Orts-Koordinate s(t) mit s(0)=0 als Höhen-Koordinate in der Vertikalen in Richtung nach unten und dazu die vertikale Fallgeschwindigkeit v(t) mit v(0)=0.

Als potentielle und als kinetische Energie haben wir damit:

\( E_{pot} = – m \cdot s \cdot g \)   (wobei g die Erdbeschleunigung ist und s in der gleichen Richtung wie g laufen soll – wie das auch oben der Fall ist)
\( E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \)

und die Lagrange-Funktion dieses mechanischen Systems ist:

\( \mathcal{L}(v,s) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2  +  m \cdot s \cdot g \\ \)
Wir bilden also ersteinmal die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Geschwindigkeit v:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial v} = m \cdot v \\ \)

Dann bilden wir die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Ortskoordinate s:

\( \Large \frac{\partial L}{\partial s} = m \cdot g \\  \)

Die Lagrange-Gleichung lautet damit also:

\(\Large \frac{d}{dt} (m \cdot v) – m \cdot g = 0 \\ \)

Was nichts anderes heisst als:

\( \Large m \cdot \dot{v} – m \cdot g = 0 \\\)

Was genau die gleiche Bewegungsgleichung ist, wie oben mit den klassischen Newton Axiomen. Also ist die Lösung dieser Bewegungsgleichung auch die gleiche wie oben:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Für diesen sehr einfachen Fall würde man die Lagrange-Methode sicher nicht bemühen; man sieht aber, wie sie im Prinzip abläuft.

Ausserdem gibt es noch Hamilton

Hamiltionfunktion: \(H = E_{kin} + E_{pot} \)

 

Computer: Mathematik – Algebren

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Vektorräume

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

\(  V \times V \to V \)

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abbildung wird “Produkt” (auch: Multiplikation) genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also:  a · b  oder einfach ab. In dieser Schreibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

\(   (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z  \\ \)
\(   x \cdot (y + z)  = x \cdot y + x \cdot z  \\ \)
\( a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\ \)

Dabei sind x,  y und z Vektoren aus V und a ein Skalar aus K.

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man  Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer \( a \cdot b  =  b \cdot a \) oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) oder nicht?

Beispiele für Algebren:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine assoziative Algebra.

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine nicht-assoziative Algebra.

Lie-Algebren

Bestimmte Algebren heissen “Lie-Algebren”, dort wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben und “Lie-Klammer” genannt.
Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten:

  • [x,x] = 0
  • [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 (“Jacobi-Identität”)

Beispiel für eine Lie-Algebra:

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine Lie-Algebra.

Kommutator

Im allgemeinen definiert man als Kommutator: [a,b] = ab – ba
So ein Kommutator kann in bestimmten Algebren als Lie-Klammer fungieren. Beispielsweise kann man aus der oben erwähnten Algebra der n x n Matrizen mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation eine Lie-Algebra machen, indem man den Kommutator der Matrixmultiplikation als Lie-Klammer nimmt.