Ein Stern entsteht, wenn eine Gaskugel (ionisiertes Gas) unter der eigenen Graviation immer weiter komprimiert und so im Inneren die Temperatur ansteigt bis bei ca. 10-15 Mio. Kelvin die Fusion von Wasserstoff zu Helium beginnt. Dadurch entsteht ein Gegendruck zum Graviationsdruck und es bildet sich ein Gleichgewicht aus (thermodynamisches Gleichgewicht).
Wenn der Kernbrennstoff im Inneren verbraucht ist, endet die Kernfusion es gibt keinen Gegendruck mehr zum nach innen gerichteten Gravitationsdruck. Der Stern kollabiert dann wobei die Temperatur im Inneren weiter steigt. Wenn die Temperatur hochgenug steigt kann eine weitere Kernfusion im Inneren beginnen.
Fusion Wasserstoff zu Helium ab 15 Mio Kelvin
Fusion Helium zu Kohlenstoff ab 100 Mio Kelvin
Fusion Kohlenstoff zu Sauerstoff ab 500 Mio Kelvin
Fusion Sauerstoff zu Silizium ab 2100 Mio Kelvin
Fusion Silizium zu Eisen ab 3400 Mio Kelvin
Ob die erforderlichen sehr hohen Temperaturen erreicht werden können hängt wesentlich von der Masse des Stern ab.
Wenn die Kernfusion schließlich ganz aufgehört hat, ist das Ende des Sterns erreicht. Durch den dann einsetzenden Gravitationskollaps können folgende Endprodukte entstehen:
Weißer Zwerg, wenn Kern < 1,44 Sonnenmassen
Neutronenstern, wenn Kern >=1,44 und < 3,2 Sonnenmassen
In der Astronomie wird viel über Supernovae (SN) gesprochen. Da gibt es verschiedene Typen (Ia, II etc.) und man kann tolle Sachen mit diesen Supernovae machen. Aber was ist im Gegensatz zu einer Supernova den eigentlich eine Nova?
Im Prinzip kann man Novae als “Veränderliche Sterne” verstehen. Über “normale” (also nicht “Super”) Novae habe ich gehört, dass es da zwei Typen gibt:
“CV” = Cataclysmic Variable Stars (Kataklysmische Doppelsterne, mit Massentransfer von einem Stern zum anderen)
“CE” = Commen Envelope Binaries (ein enges Doppelsternsystem, auch symbiotisch genannt, ein Stern befindet sich in der Hülle des anderen)
All diese Klassifizierungen wurden in den 19030er Jahren gemacht auf rein phänomelogischer Basis; man wusste also noch nicht, was da physikalisch tatsächlich passiert.
Abbildung 1: M101 mit Supernova (Google Drive: 20230605_M101b.jpg)
Aufgenommen auf meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel (Bortle 7) am 05.06.2023 mit ED80/600 auf HEQ5 Pro, ASI294MC Pro, Gain 200, -10°C, 86×60 sec
Abbildung 2: M101 ohne Supernova (Google Drive 20240430_Bundesstrasse_M101b.jpg)
Es ist also möglich, ein schwaches, flächiges Objekt wie M101 am lichtverschmutzten Hamburger Himmel (Bortle 7) zu fotografieren.
Vergleiche:
Koordinatensysteme werden benutzt um Orte im (meist dreidimensionalen) Raum zu beschreiben – in der Astronomie: Orte von Himmelsobjekten am Himmel.
Von der Geometrie her kann man unterscheiden:
Chartesische Koordinatensysteme (Längen auf rechwinkligen Achsen )
Polarkoordinaten & Sphärische Koordinaten (Winkel und Radius)
Andere (z.B. zylindrisch…)
Astronomische Koordinatensysteme
Koordinatenursprung
Genaugenommen muss man immer sagen, wo der sog. Ursprung des Koordinatensystem liegen soll; d.h. von wo aus gemessen wird. Das kann der Beobachter auf der Erdoberfläche (“topozentrisch”) sein, das kann der Erdmittelpunkt (“geozentrisch”) sein etc. etc. Da wir aber in der Astronomie typischweise es mit sehr weit entfernten Objekten zu tun haben, machen kleine Unterschiede im Koordinaten-Ursprung eigentlich nichts aus. Aber je genauer man misst, desto kleinere Unterschiede durch Ortsverschiebung des Koordinatenursprungs kommen ins Spiel. Das nennt man Parallaxe.
Der Klassiker aus der Schule: x-Achse und y-Achse
In der zweidimensionalen Ebene kann man geometrische Objekte und den Verlauf von Funktionen sehr gut mit einem x-y-Koordinatensystem (also chartesisch) beschreiben.
Der Klassiker für Sternfreunde: Höhe und Azimut
Der Ort eines Objekts am Himmel wird angegeben durch zwei Winkel (also sphärisch): den Höhenwinkel (Altitude, Symbol h); d.h. wieviel Grad über dem Horizont und der Himmelsrichtung (Azimut, Symbol A); d.h. wieviel Grad von Norden gezählt über Osten, Süden, Westen.
Als Abkürzung für dieses Koordinatensystem verwendet man AltAz
In diesem AltAz-Koordinatensystem kann man den täglichen Lauf der Gestirne schön beschreiben. Also Aufgang (h=0), Kulmination (A=180 Grad), Untergang (h=0).
Dieses AltAz-Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Horizontebene, und einen Nullpunkt für das Azimut, den Nordpunkt.
Der Klassiker für Sternorte: Deklination und Rektaszension
Die Sterne, man sagt ja auch “Fixsterne” um sie von den offensichtlich beweglichen Himmelsobjekten wie Planeten etc. zu unterscheiden, sollten doch eigentlich feste Koordinaten haben, weil sie ja ortsfest sind. Genau genommen bewegen sich die Fixstern ja auch ein kleines Bisschen, aber das vernachlässigen wir hier zunächst.
Das Koordinatensystem benutzt die geografischen Koordinaten, die wir von der Erde her kennen (geografische Länge und Breite) analog; d.h. projiziert sie auf die HImmelskugel. Dadurch bekommen wir zwei Himmelspole (Nord und Süd) sowie den Himmelsäquator.
Aus der geografischen Breite wird am Himmel die sog. Deklination (Symbol δ); d.h. der Winkel, den sich das Himmelsobjekt über den Himmelsäquator erhebt. Deklination Null Grad ist der Himmeläquator selbst. Bei einer Deklination von 10 Grad steht der Fixstern etwas nördlich vom Himmelsäquator, bei Deklination 20 Grad noch weiter nördlich bis hin zur Deklination 90 Grad, wo das Objekt direkt am Himmelpol steht.
Aus der geografischen Länge wird am Himmel die sog. Rektaszension (Symbol α). Für diesen zweiten Winkel benötigt man einen Nullpunkt von dem an gemessen wird. Auf der Erde hat man sich auf die Sternwarte Greenwich geeinigt, die also die geografische Länge Null Grad haben soll. Geht man von da nach Osten, kommt man z.B. bei 10 Grad östlicher Länge in Hamburg auf der Lombardsbrücke an. Am Himmel wird als Nullpunkt der Rektaszension ein klar definierter Punkt auf dem Himmelsäquator genommen, der sog. Frühlingspunkt. Der Frühlingspunkt ist der Schnittpunkt des Himmelsäquators mit der Ekliptik, also der (scheibaren) Sonnenbahn. Die Ekliptik schneidet den Himmelsäquator in zwei Punkten: dem Frühlingspunkt wo die Ekliptik den Himmelsäquator von Süden nach Norden schneidet und den Herbstpunkt, wo die Ekliptik den Himmelsäquator von Norden nach Süden überquert.
Dieses Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Äquatorebene und einen Nullpunkt für die Rektaszension, den Frühlungspunkt.
Die Koordinate Rektaszension wird üblicherweise statt in Grad (360 Grad für einen vollen Kreis) auch gern in “Stunden” angegeben wird (24 Stunden für einen vollen Kreis).
Wenn man als Koordinaten Rektaszension und Deklination nimmt, spricht man von dem “rotierenden äquatorialen Koordinatensystem“.
Leider ist der von uns gewählte Nullpunkt der Rektaszension, der Frühlingspunkt, doch nicht ganz ortsfest. Aufgrund diverser Einflüsse bewegt sich dieser Frühlingspunkt in ca. 25800 Jahren einmal um den ganzen Himmel. Im Altertum (vor 2150 Jahren) lag der Frühlingspunkt beispielsweise im Sternbild Widder, heute liegt der Frühlingspunkt im Sternbild Fische. Deswegen muss man, wenn man genau sein will, zu den Koordinaten Deklination und Rektaszension immer das Jahr mit angeben zu dem der Frühlingspunkt als Nullpunkt genommen wurde. Man nennt das auch die “Epoche” oder richtiger “Equinox”. Heutzutage werden die Koordinaten gerne noch zum Equinox J2000,0 angegeben. Früher war üblich B1950.0 etc. etc. pp.
Stundenwinkel statt Rektaszension
Wenn ich ein Objekt am Himmel finden will (z.B. mit Feldstecher oder Teleskop oder…) nützen mit die Koordinaten Deklination und Rektaszension noch nicht viel, denn diese bleiben ja konstant und das Objekt verändert als Spiegelbild der Erdrotation laufend seine Position. Man nennt das die tägliche Bewegung der Gestirne. Man nimmt dann statt der Rektaszension den sog. Stundenwinkel (Symbol t) das ist der Winkelabstand des Objekts vom Meridian.
Dieses Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Äquatorebene und einen Nullpunkt für den Stundenwinkel, den Meridian.
Wenn man als Koordinaten Stundenwinkel und Deklination nimmt, spricht man von dem “ruhenden äquatorialen Koordinatensystem“.
Ob “ruhend” oder “rotierend”, es ist immer das Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen gemeint, also nicht die durch das Koordinatensystem beschriebenen Objekte. “ruhend” heißt bezüglich des festen Beobachters auf der Erde.
Ist von einem Objekt die Rektaszension bekannt, so kann man den Stundenwinkel dieses Objektes leicht berechnen:
Stundenwinkel = Sternzeit – Rektaszension
Wobei die Sternzeit hier die “Local Siderial Time” ist, also der Stundenwinkel der Mittleren Sonne am gegebenen Ort auf der Erde. Man muss also die bürgerliche (gesetzliche) Zeit der am Ort geltenden Zeitzone umrechnen in die mittlere Ortszeit am Beobachtungsort. Dazu benötigt man die geografische Länge.
Ekliptikale Koordinaten
Wenn man als Bezugsebene des Koordinatensystems nicht die Äquatorebene nimmt, sondern die Ebene der Ekliptik, spricht man von Ekliptikaler Breite (Symbol β) und Ekliptikaler Länge (Symbol λ), wobei als Nullpunkt der Ekliptikalen Länge ebenfalls der Frühlingspunkt festgelegt wird.
Dieses Koordinatensystem ist also definiert durch eine Ebene, die Ebene der Ekliptik und einen Nullpunkt, den Frühlingspunkt.
Galaktische Koordinaten
Die sog. Galaktischen Koordinaten beziehen sich auf die Ebene unserer Milchstraße, der Galaxis. Die Bezugsebene dieses sphärischen Koordinatensystems ist also die galaktische Ebene.
Die galaktische Breite (Symbol b) wird senkrecht zur galaktischen Ebene gemessen, ausgehend vom galaktischen Zentrum nach (galaktisch) Norden positiv und nach Süden negativ.
Die galaktische Länge (Symbol l) wird in der galaktischen Ebene entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen (bei Blickrichtung aus galaktisch Nord), wobei als Nullpunkt für die galaktische Länge das galaktische Zentrum (von der Sonne aus gesehen) genommen wird.
Als Koordinatenursprung wird unser Sonnensystem genommen (da praktische alle Beobachtungen von dort gemacht werden)
Abbildung 2: Unsere Galaxis in Draufsicht, Position der Sonne und es Galaktischen Zentrums (Wikipedia Galactic_longitude.JPG)
Galaktische Länge nach Wikipedia
Quelle: Wikipedia https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Galactic_longitude.JPG
Im Jahre 1958 wurden die heutigen galaktischen Koordinaten von der IAU eingeführt und mit den äquatorialen Koordinaten (Äquinoktikum B1950.0) wie folgt festgelegt:
galaktischer Nordpol (+90° galaktische Breite): α = 12h 49m Rektaszension und δ = +27° 24′ Deklination (im Sternbild Haar der Berenike)
Galaktische Koordinaten werden gene bei Darstellungen großer Zusammenhänge, z.B. der Struktur unseres eigenen Milchstraßensystems oder noch größere Zusammenhänge verwendet. Beispielsweise werden die Messungen der Kosmischen Hintergrundstrahlung typischerweise in galaktischen Koordinaten dargestellt.
Da sich das Sonnensystem in etwa 225 bis 250 Millionen Jahren einmal um das Zenrum der Michstrasse bewegt, wird nach obiger Definition die galaktische Länge des Zentrums der Galaxis sich auch in dieser Zeit um 360 Grad bewegen.
ICRS International Celestial Reference System
Das International Celestial Reference System (ICRS) ist das von der Internationalen Astronomischen Union (IAU) verabschiedete Astronomische Koordinatensystem.
Der Koordinaten-Ursprung ist der Schwerpunkt des Sonnensystems, die Koordinaten-Achsen werden als “fest” bezüglich des Weltraums betrachtet.
Die ICRS-Koordinaten sind näherungsweise identisch mit den Äquatorialen Koordinaten zum Äquinoktikum J2000.0 Die Abweichungen sind:
Der Nordpol im ICRS liegt 17.3±0.2 Milli-Bogensekunden in Richtung von 12h und 5.1±0.2 Milli-Bogensekunden in Richtung von 18h.
Der Frühlingspunkt ist gegenüber dem Nullpunkt der ICRS Rektaszension um 78±10 Milli-Bogensekunden verschoben (Rotation um die Polachse).
Bei Radio-Wellenlängen wird der ICRS gegenwärtig durch den extragalaktische Reference Frame, den International Celestial Reference Frame (zur Zeit ICRF3) realisiert. Der ICRF3 basiert auf Hunderten extra-galaktischer Radioquellen. meist Quasaren, über den ganzen Himmel verteilt. Weil sie so weit entfernt sind, erscheinen sie stationär mit unserer gegenwärtigen Technologie, aber ihre Positionen können durch Very Long Baseline Interferometry (VLBI) sehr genau gemessen werden. Die meisten Positionen können auf 0.001 Bogensekunden oder besser bestimmt werden.
Bei optischen Wellenlängen wird der ICRS gegenwärtig durch den Hipparcos Celestial Reference Frame (HCRF) realisiert. HCRF ist eine Teilmenge von etwa 100,000 Sternen im Hipparcos Catalogue. Der Gaia-CRF2 Reference Frame basiert auf der Beobachtung von über einer halben Million extragalaktischer Quellen durch die Raumsonde Gaja. Dieser Gaja-CRF2 wurde 2018 veröffentlicht und wird beschrieben als “the first full-fledged optical realisation of the ICRS, that is to say, an optical reference frame built only on extragalactic sources.”
Von AltAz (h, A) nach Äquatorial ruhend (Deklination, Stundenwinkel)
Es handelt sich ja um zwei sphärische Koordinatensysteme, die um einen Winkel φ, die geografische Breite, geneigt sind.
Die Umrechnung erfolgt mit Hilfe der sphärischen Trigonometrie: dem Cosinus-Satzes im Polardreieck:
Die Software AnSvr dient zum Platesolving; und zwar zum Blind Solving.
AnSvr benötigt Cygwin und läuft dann als lokaler Windows-Dienst auf dem lokalen Windows-Computer.
AnSvr ist eine lokale Version der als Internet-Dienst bekannten Nova Astrometry. Man kann mit AnSvr also “offline” d.h. ohne eine Internet-Verbindung arbeiten.
AnSvr wird lokal auf einem Windows-Computer installiert:
Wird auf meinem ComputerAcerBaer installiert in: C:\bin\Astrometry.net Local Server
Läuft unter Cygwin, was von der AnSvr-Installationsroutine in den Ordner cygwin_ansvr installiert wird.
Benötigt wird eine Library mit Index-Dateien, die man sich passend zu den Gesichtsfelder (FoV) seiner Fotos gerunterladen muss.
Zum Schluss benötigt man noch einen Windows Service, über den AnSvr aufgerufen werden kann.
AnSvr Windows Service
Das Starten des Windows Service geschieht bei Windows durch einen Eintrag im Ordner “Autostart“: start_ansvr.bat
Durch diese bat-Datei wird der Dienst in C:\Users\<user>\AppData\Local\cygwin_ansvr gestartet.
Allerdings heisst der Autostart-Ordner unter Windows 10 jetzt Startup und kann durch “shell:Startup” aufgerufen werden. Bei mir befindet sich dieser Ordner hier:
Wenn man die Bewegung der Körper im Sonnensystem untersucht, sagt einem ja die Himmelsmechanik, dass das allgemeine Dreikörperproblem nicht geschlossen analytisch lösbar ist. Aber beim sog. eingeschränkten Dreikörperproblem hat man gute Lösungen, die berühmten Lagrange-Punkte L1, L2 etc. wo ja gerne Raumsonden, wie SOHO, hingeschickt werden.
Das eingeschränkte Drei-Körper-Problem
Beim sog. “eingeschränkten Drei-Körper-Problem” geht man vereinfachend davon aus, dass eines der drei Objekte viel weniger Masse hat als die anderen beiden, so dass man seine gravitative Wirkung vernachlässigen kann. Man hat dann zwei Himmelskörper, die sowohl einander als auch den kleinen dritten Körper beeinflussen, der selbst aber keine gravitative Wirkung auf die anderen beiden ausübt. Ein gutes Beispiel dafür ist die Bewegung eines Asteroiden in der Nähe eines großen Planeten.
Im System Sonne-Erde befindet sich der L1 bekanntlich 1,5 Millionen Kilometer entfernt von der Erde in Richtung Sonne, der L2 ist ebenfalls 1,5 Mio Kilometer entfernt von der Erde, nur in Gegenrichtung. Da sich die Erde um die Sonne bewegt, bewegen sich die Lagrangepunkte ebenfalls und folgen ihr, also mit gleicher Winkelgeschwindigkeit.
Die Punkte L1 und L2 sind mit Satelliten besetzt. In L1 befinden sich Sonnenbeobachtungssatelliten wie z.B. SOHO. An diesem Punkt haben sie immer freie Sicht auf die Sonne. L2 ist gut für Weltraumteleskope geeignet. Hinter der Erde sind sie vor der starken Sonneneinstrahlung geschützt und können ungestört ihrer Arbeit nachgehen. Der WMAP-Satellit (gestartet 30.6.2001) untersuchte von hier aus die kosmische Hintergrundstrahlung und die Satelliten Herschel und Planck (gestartet 14.5.2009) sowie Gaia (gestartet 19.12.2013) sind hier plaziert. Auch das kürzlich (25.12.2021) gestartete James-Web-Teleskop ist auf dem L2 plaziert.
Berechnung des Lagrange-Punkts L1
Fragen wir uns mal, wo genau der Lagrange-Punkt L1 liegt. Der erste Gedanke ist, na ja, da wo die Anziehungskräfte von Sonne und Erde sich aufheben.
Das können wir ja mal ganz einfach durchrechnen mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz:
\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2} \\ \)
Wir nehmen folgende Ausgangsgrößen an:
Tabelle 1: Ausgangsgrößen zur Berechnung des Lagrange-Punkts L1
Größe
Wert
Einheit
Abstand Sonne-Erde
149.597.870.700
m
Gravitationskonstante
6,67259 10-11
N m2 / kg2
Masse der Sonne
1,98892 1030
kg
Masse der Erde
5,9722 1024
kg
Dann können wir die Anziehungskräfte wie folgt berechnen:
Tabelle 1: Anziehungskräfte im Sonnensystem (Google Drive: Lagrange-Punkte.xls)
Tabelle 2: Anziehungskräfte und Sonne und Erde
Entfernung von der Sonne
Entfernung von der Erde
Gravitation der Sonne
Gravitation der Erde
Gravitation Summe
1,49300000 1011
2,978707 108
-5,954 10-3
+4,491 10-3
-1,462 10-3
1,49339090 1011
2,587807 108
-5,951 10-3
+5,951 10-3
-3,602 10-9
1,49400000 1011
1,978707 108
-5,946 10-3
+1,018 10-2
+4,232 10-3
In einer Entfernung von 258 781 km von der Erde in Richtung Sonne, heben sich die Gravitationskräfte von Sonne und Erde also auf. Dort ist aber nicht der Lagrange-Punkt.
Unser “erster Gedanke” zur Berechnung der Lage des Lagrange-Punkts L1 war zu einfach. Nur im “mitrotierenden Bezugssystem” hat der Lagrange-Punkt eine feste Lage. So ein “mitrotierendes Bezugssystem” ist kein Intertialsystem und es treten zusätzlich sog. Scheinkräfte (Trägkeitskräfte) auf. In jedem Falle tritt die Fliehkraft auf und bei einem sich bewegenden Objekt käme auch noch die Corioliskraft hinzu.
Begrifflich spricht man von einem “effektiven” Gravitationsfeld, wenn man zusätzlich zur eigentlichen Gravitationskraft die Fliehkraft hinzunimmt. Für dieses “effektive” Gravitationsfeld gibt es dann ein “effektives” Potential (als skalares Feld).
Der Lagrange-Punkt L1 mit Fliehkraft
In einem rotierenden Bezugssystem haben wir eine Fliehkraft von:
\( F(r) = m \frac{v^2}{r} = m \frac{4 \pi^2}{T^2} r \\ \)
Wobei v die Bahngeschwindigkeit bzw. T die Umlaufszeit wäre.
Zur Berechnung der Fliehkraft benötigen wir also die siderische Umlaufszeit der Bahn der Erde um die Sonne:
Größe
Wert
Einheit
Umlaufszeit Sonne-Erde
31.558.149,54
s
Damit können wir berechnen, wo die Summe aus den Anziehungskräften (Beschleunigungen) und der Fliehkraft (Beschleunigung) sich aufheben:
Tabelle 3: Anziehungskräfte und Fliehkraft im System Sonne-Erde
Entfernung von der Sonne
Entfernung von der Erde
Gravitation der Sonne
Gravitation der Erde
Fliehkraft
Summe
1,481000 1011
1,4978707 109
-6,051 10-3
+1,776 10-4
+5,871 10-3
-2,304 10-6
1,481064 1011
1,4914707 109
-6,050 10-3
+1,791 10-4
+5,871 10-3
–1,385 10-10
1,482000 1011
1,3938707 109
-6,042 10-3
+2,039 10-4
+5,875 10-3
+3,614 10-5
In einer Entfernung von 1 491 470,7 km von der Erde in Richtung Sonne, heben sich die Gravitationskräfte von Sonne und Erde zusammen mit der Fliehkraft des rotierenden Systems also auf. Dort ist der Lagrange-Punkt L1.
Eigentlich ist ja klar, dass die Fliehkraft hier eine wesentliche Rolle spielen muss. Denn wenn die Gravitation der Erde Null wäre, würde es nur noch darum gehen, wann sich die Anziehungskraft der Sonne und die Fliehkraft der Rotation aufheben würden. Das ist logischerweise in diesem Fall genau auf der Erdbahn der Fall.
Der in etwa kugelförmige Bereich um die Erde mit dem Radius 1,491 Mio km wird auch die Hill-Sphäre genannt. Dort überwiegt also die (effektive) Anziehungskraft der Erde.
Bahnen um den Lagrangepunkt L2 des Systems Erde-Sonne
Die Lagrangepunkte L2 und L1 werden gerne benutzt, um dort bzw. in der Nähe Raumsonden (Erdsatelliten) zu plazieren, da diese der Erde folgen, aber mit Abstand. Die Raumsonden werden dabei nicht genau auf dem Lagrangepunkt plaziert, sondern in einer gewissen Bahn um den Lagrangepunkt.
Gern benutzte Bahnen um einen Lagrangepunkt sind:
Lissajous-Bahnen
Halo-Bahnen
Solche Bahnen sind aber Himmelsmechanisch nicht stabil. Es bedaf also eines Treibstoffvorrats, um ab und zu kleine Bahnkorrekturen vorzunehmen.
Grafiken zu den Lagrange-Punkten
Effektives Potential im System Sonne-Erde
In der Wikipedia finden wir folgendes Bild zu den Lagrange-Punkten:
Rote Pfeile: abwärts zum Lagrange-Punkt; Blaue Pfeile: abwärts weg vom Lagrange-Punkt.
Effektives Potential in einem engen Doppelsternsystem
Die Suche nach “Langrange” und “Roche” in der Wikipedia liefert uns auch für ein enges Doppelsternsystem (binary system) eine Grafik mit den Lagrange-Punkten, dem Center of Mass “CM” einigen Äquipotentialflächen und den Mittelpunkten der beiden Sterne.
Dort, wo Äquipotentialflächen des linken Sterns die Äquipotentialflächen des rechten Stern berühren (L1), wäre ein möglicher Übergangspunkt, wo Materie von einem Stern zum anderen überfließen könnte. Die tropfenförmigen inneren Bereiche um die beiden Sterne nennt man auch die Roche-Volumen (Roche Lobe) der beiden Sterne.
Wenn ein Stern größer als sein Roche-Volumen wird, fließt in der Tat Materie zum anderen Stern. Die überfließende Materie hat in der Regel auch einen Drehimpuls, der erhalten bleibt. Es bildet sich deshalb eine Akkretionsscheibe um den aufnehmenden Stern.
Die Entdeckung der Kosmischen Hintergrundstrahlung
CMB = Cosmic Microwave Background Radiation, also die Hintergrundsrahlung
Heute messen wir eine Plancksche Schwarzkörperstrahlung von 2,7 K isotrop
Die sog. Kosmische Hintergrundstrahlung (engl. CMB = Cosmic Microwave Background Radiation), wurde 1964 von Robert Woodrow Wilson (*1936) und Arno Penzias (1933-2024) von den Bell Labs zufällig (als Störstrahlung) entdeckt. Eigentlich wollten Wilson und Penzias mit einer großen Horn-Antenne in Holmdel, New Jersey, die Kommunikation über Erdsatelliten testen. Das war das “Projekt Echo”.
Abbildung 1: Horn-Antenna in Holmdel New Jersey (Copyright: Wikimedia)
Horn-Antenna in Holmdel New Jersey (Copyright: Wikimedia)
Gleichzeitig haben die Astrophysiker Robert Dicke (1916-1997), James Peebles (*1935) und David Wilkinson (1935-2002) im nahe gelegenen Princton, die auf dem Gebiet der Kosmologie forschten, ein mathematisches Modell entwickelt, was die Entstehung und Entwicklung des Universums darstellen sollte. Dieses mathematische Modell kann als Vorläufer des heute (2021) mehrheitlich akzeptierten “Lambda CDM” (CDM = Cold Dark Matter) angesehen werden.
Dieses Modell, das sog. “Big-Bang-Modell” sagte, sozusagen als “Nachhall” des Big Bangs, eine kosmische Hintergrundstrahlung voraus, die noch heute messbar sein müsste. Eine solche Strahlung musste “nur noch” praktisch nachgewiesen werden.
Wilson und Penzias erhielten 1978 den Nobelpreis für die Entdeckung der CMB.
Robert Dicke erhielt nie einen Nobelpreis, da er selbst nichts entdeckt hatte, sondern nur etwas “interpretiert” hatte.
James Peebles erhielt 2019 den Nobelpreis für seine grundlegenden Beiträge zur Kosmologie.
David Wilkinson wurde nach seinem Tode durch die Namensänderung der Raumsonde MAP zu WMAP geehrt.
Eine Strahlung aus dem intergalaktischen Raum als Folge eines Urknalls wurde in den 1940ern von George Gamow, Ralph Alpher und Robert Herman postuliert. Diesen Arbeiten wurden aber zunächst kein großes Gewicht beigemessen. Erst 1964 war es dann soweit (s.o.).
Das Projekt Echo
Die Bell Labs in USA wollten in den 1960er Jahren die Telekommunikation über Erdsatelliten testen. Die Versuche begannen mit den sog. “passiven” Kommunikationssatelliten der Echo-Serie.
Ballonsatellit Echo I: gestartet 12.8.1960
Ballonsatellit Echo II: gestartet 25.1.1964
Den Echo II habe ich zusammen mit meinem Schulfreund Hajo damals sehr oft von der Parzelle auf dem Bremer Stadtwerder mit freiem Auge beobachten können. Ebenso konnten wir schöne Fotos von den Durchgängen des Erdsatelliten Echo II machen. Diese Fotos sind aber heute nicht mehr in meinem Besitz.
Mein Bruder Rainer hat noch ein schönes Foto von 1964 gefunden. Er hat es am 25. November 1964 um ca 18:15 UT von unserem Haus in Bremen aufgenommen. Die Unterbrechungen wurden ca. alle 5 Sekunden vorgenommen, um die Geschwindigkeiten anzuzeigen. Der helle Stern im linken oberen Quadranten ist Atair (α Aql).
Abbildung 2: Bremen 1964, Echo I und Echo II (Google Drive: 1964-11-25b.jpg)
Im Internet fand ich noch ein Foto, wo neben Echo I die Radioschüssel von Goldstone zu sehen ist:
Abbildung 3: Goldstone mit Echo I (Copyright JPL-Caltech/NASA) (Google Drive: Goldstone_Echo.jpg)
Mit Hilfe der Software Stellarium konnte ich herausfinden, welche Sterne auf diesem Bild zu sehen sind. Aufgenommen wurde es ja am 12.8.1960 in Goldstone bei Las Vegas. Die Sternspuren sagen, dass wir ungefähr nach Nordwest blicken. Stellarium zeigt dann gegen 4 Uhr morgens: Die beiden hellen Sterne sind Deneb (oben) und Wega (unten über dem Berggipfel), die Spur von Atair ist links neben der Radioschüssel zu sehen.
Die Satelliten Echo I und Echo II waren ja als “passive” Kommunikationssatelliten konzipiert und “nur” große Ballon-Satelliten mit einer reflektierenden Oberfläche.
Nach dem erfolgreichen Start des ersten aktiven (und zivilen) Kommunikationssatelliten Telstar am 10. Juli 1962 wurde die Antenne in Holmdel frei und konnte für die Astronomie eingesetzt werden.
Moderne Messungen der CMB
Um genauere und umfassende Messungen der CMB zu erzielen, wurden Erdsatelliten und Raumsonden verwendet:
COBE (1989-1993)
WMAP (2001-2010)
PLANCK (2010-2013)
Messungen der CMB durch COBE
Der Erdsatellit COBE (= Cosmic Background Explorer) hat die Kosmische Hintergrundstrahlung (Mission 1989-1993) besser und genauer vermessen.
Wilson und Penzias hatten nur auf einer Frequenz gemessen. Mit dem Erdsatelliten COBE konnte nun ein ganzes Frequenzspektrum vermessen werden. Die Strahlungsintensität in Abhängigkeit von der Frequenz ist in dem folgenden Diagramm grafisch dargestellt.
Abbildung 4: Kosmische Hintergrundstrahlung gemessen vom Erdsatelliten COBE (Copyright Wikimedia)
Kosmische Hintergrundstrahlung gemessen vom Erdsatelliten COBE (Copyright Wikimedia)
Dieser gemessene Kurvenverlauf passt genau zum Strahlungsspektrum eines Planckschen Schwarzkörpers bei einer Temperatur von 2,73 Kelvin. Das ist sehr ungewöhnlich, weil kein anderes Objekt im Kosmos so genau der Funktion einer Schwarzkörperstrahlung folgt.
Ausserdem hat COBE die räumliche Verteilung der Strahlungsintensität (Temperatur) vermessen. Die CMB ist nahezu perfekt “isotrop” d.h. aus allen Richtungen kommt die gleiche Stahlung. Wenn etwas nicht mehr “isotrop” ist, nennt man das “an-isotrop”. Erst bei starker Steigerung der Messgenauigkeiten konnte COBE solch winzige Fluktuationen feststellen. Messungen der Anisotropie der CMB sind also Messungen der Fluktuationen. Davon stammt das bekannte Bild, das die Fluktuationen farbkodiert zeigt:
Abbildung 5: COBE: Fluktuationen in der Kosmischen Hintergrundstrahlung (Copyright: Wikimedia)
COBE: Fluktuationen in der Kosmischen Hintergrundstrahlung (Copyright: Wikimedia)
Das Bild stellt die CMB-Messungen in allen Richtungen als Kugeloberfläche in Mollweide-Projektion dar.
Bei geringerer Genauigkeit (±0,01 K), erscheint die CMB in der Tat völlig isotrop und homogen. Die Messungen des Satelliten COBE ergeben eine mittlere Temperatur der CMB von T0 =2,726 K. Die Messungen zeigten aber erstmals, dass die CMB nicht vollkommen isotrop ist. Kleine Fluktuationen (Anisotropien) sind in dem Bild sichtbar, die allerdings nahe an der Messgenauigkeit von COBE liegen. Die Messgenauigkeit liegt bei \( \frac{\Delta T}{T_0} \approx 10^{-3} … 10^{-6} \)
Später hat die Raumsonde WMAP (Mission 2001-2010) noch genauere Messungen vornehmen können (±10-6 K). WMAP wurde am 30. Juni 2001 gestartet und auf dem Lagrange-Punkt L2 positioniert. Ursprünglich war der Name der Raumsonde MAP (Microwave Anisotropy Probe), sie wurde nach dem Tode von David Wilkinson (s.o.) in WMAP umbenannt.
Die Messungen durch WMAP und Planck zeigten in verscheidenen Richtungen minimale Schwankungen der Temperatur des CMB.
Abbildung 6: WMAP Cosmic Microwave Background Radiation (Copyright: G. Hinshaw, J. L. Weiland, R. S. Hill, arXiv:0803.0732v2)
WMAP Cosmic Microwave Background Radiation (Copyright: G. Hinshaw, J. L. Weiland, R. S. Hill, arXiv:0803.0732v2)
Die Mikrowellen-Karte des Himmels, die WMAP gemessen hat. Die Farbkodierung soll kleinste Schwankungen (Fluktuationen) der Temperatur der Hintergrundstrahlung verdeutlichen. Dabei werden Schwankungen im Bereich von Millionstel Kelvin sichtbar gemacht. Rötliche Farben signalisieren “wärmere” (+200 µK) und bläuliche “kältere” (-200 µK) Regionen.
Eine Region ist etwas kälter, weil die Massendichte dort etwas größer ist. Wenn eine Region etwas wärmer ist, kommt das davon, daß die Massendichte dort etwas geringer ist.
Was ist die Ursache für diese Dichteschwankungen? “Ausgefrorene Quantenfluktuationen” sagt man…
Messungen der CMB durch PLANCK
Nachfolger des 2009 abgeschalteten WMAP wurde die Raumsonde Planck.
Das Hauptziel der Planck-Mission ist, die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung mit einer Winkelauflösung von 5 bis 10 Bogenminuten und einer Empfindlichkeit von einem Millionstel Kelvin abzubilden.
Im Jahre 2013 wurde PLANCK endgültig abgeschaltet, nachdem zuvor schon das flüssige Helium, das als Kühlmittel für ein Instrument (das HFI) diente, verbraucht war.
Abbildung 7: Verschiedene Messungen der Kosmischen Hintergrundstrahlung: (https://archive.briankoberlein.com/wp-content/uploads/cmb1.jpg)
Um so feine Schwankungen sichtbar zu machen, mussten vorher diverse störende Muster aus dem sog. Vordergrund herausgerechnet werden – man sagt “gefiltert” werden.
Bei der Filterung wollen wir als erstes starke lokale Radioquellen, wie z.B. den Crab-Nebel und andere Supernova-Überreste modellieren und subtrahieren.
Als nächstes modelliert man die Radiostrahlung unser Milchstraße als Ganzes und subtrahiert dieses Signal.
Die verbleibenden Messwerte zeigen dann noch ein auffälliges Dipolmuster: Das Maximum der Strahlung aus einer ganz bestimmten Richtung (ungefähr entgegengesetzt der momentanen Rotationsrichtung des Sonnensystems in der Milchstraße) ist deutlich blauverschoben, in entgegengesetzter Richtung rotverschoben (Dopplereffekt). Die beobachtete Temperaturdifferenz ist 3,353 mK. Das wird damit erklärt, dass sich unser Sonnensystem mit etwa 370 km/s gegenüber einem Bezugssystem bewegt, in dem die Strahlung isotrop ist. Dieses Dipolmuster (“Dipolanisotropie”) wird subtrahiert.
Stichworte: ILC (=Internal Linear Combination), Wiener Filter,…
Um die sehr kleinen Temperaturdifferenzen genauer zu untersuchen, stellt man die Messungen als sog. “Leistungsspektrum”, auch “Winkelleistungsspektrum” genannt, dar. Dazu werden immer zwei Messungen in einem bestimmten Winkelabstand gemacht und die Messwerte miteinander korreliert.
Abbildung 8: Leistungsspektrum der CMB (Copyright Wikipedia: PowerSpectrumExt.svg)
Leistungsspektrum (Copyright Wikipedia)
Vereinfacht gesagt ist auf der x-Achse (Abszisse) der Winkelunterschied von je zwei Messungen aufgetragen und auf der y-Achse (der Ordinate) der Temperaturunterschied der beiden Messungen. Das erste Maximum ist bei einem Winkelunterschied von ca. 0,9°, das zweite Maximum liegt bei einem Winkelunterschied von ca. 0,3°. Man nennt das auch “Angular Power Spectrum”. Die Analyse ist analog einer klassischen Fourier-Analyse in der Ebene.
Man kann diese Kurve nun vergleichen, mit entsprechenden Kurven, die sich aus bestimmten mathematischen Modellen der Entwicklung des Universums ergeben.
Das sog. Lambda-CDM-Modell zeigt bei bestimmter Wahl seiner Parameter eine gute Übereinstimmung mit diesem gemessenen Winkelleistungsspektrum.
Die Astrophysiker haben ein mathematisches Modell entworfen, das die Entwicklung des Universums seit dem Urknall beschreibt. Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate kann man die Modellparameter, die die beste Passung ergeben bestimmen. Das ganze nennt sich “Lambda-CDM-Modell”, was auch als “Standardmodell der Kosmologie” bezeichnet wird.
Die Parameter des Lambda-CDM-Modells
Das sog. Lambda-CDM-Modell zeigt bei bestimmter Wahl seiner Parameter eine gute Übereinstimmung mit dem von PLANCK gemessenen Winkelleistungsspektrum. Es liefert u.a. folgende Werte:
ist ein hinreichend verdünntes Gas, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen (als elasischer Stoß) keinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.
Zur Idealisierung gehört auch, dass die Gasmoleküle als Punktmassen verstanden werden können. D.h. für die Bewegung hat man nur die drei Freiheitsgrade der Translation, keine Rotation und keine Oszillation.
Neben dem hier beschriebenen “Idealen Gas” gibt es natürlich auch ein Nichtideales Gas und auch ein Entartetes Gas und noch schlimmer ein Relativistisches entartetes Gas. Diese Begriffe werden gerne bei der Untersuchung von sog. Elektronengas benutzt.
Bei einem “Idealen Gas” gilt als Zustandsgleichung die sog. “Ideale Gasgleichung” (s.u.). Bei einem entarteten Gas hängt die Zustandsgröße Druck nicht mehr von der Temperatur ab, sondern nur noch von der Dichte.
Robert Boyle und Edme Mariotte fanden unabhängig von einander 1662 bzw. 1676 das nach ihnen benannte Boyle-Mariotte’sche Gesetz:
\( p \cdot V = const. \\\ \)
Wobei die Temperatur konstant gehalten wird (und auch die Stoffmenge) und zwar dadurch dass man die Veränderungen im Volumen ganz langsam durchführt, sodass immer wieder das thermodynamisches Gleichgewicht mit der Umgebung erhalten bleibt.
Abbildung 1: Das Boyle-Mariottesche Gesetz (Github: Boyle-Marriot-Gesetz.svg)
Boyle-Marriot-Gesetz (GeoGebra Classic)
Gay-Lussac
Wenn man nun den Druck konstant hält (und auch die Stoffmenge gleich bleibt) und dann die Temperatur variiert, bekommt man das Gay-Lussac (1787-1850) Gesetz. Lord Kelvin (1824-1907) hatte 1848 die absolute Temperaturskala vorgeschlagen, wodurch sich das Gay-Lussac’sche Gesetz sehr einfach in seiner heutigen Form schreiben lässt:
Abbildung 2: Das Gay-Lussacsche Gesetz (Github: Gay-Lyssac-Gesetz.svg)
Gay-Lussac-Gesetz – Dietrich Kracht 21.3.2021 GeoGebra Classic
Amontos
Der fanzösische Physiker Guillaume Amontos (1663-1705) entdeckte schon sehr früh die Proportionalität von Druck und Temperatur – bei konstantem Volumen und konstanter Stoffmenge.
\( \frac{p}{T} = const. \)
Avogadro
Auf Amadeo Avogadro (1776-1856) geht zurück:
\( \frac{V}{n} = const. \\ \)
Wenn man also den Druck und die Temperatur konstant hält, ist das Volumen V proportional zur Stoffmenge n.
Etwas umgeschrieben ist das die berühmte Zustandsgleichung für ideale Gase:
\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T \\ \)
Dabei ist p der Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge (messen wir in mol), R die allgemeine Gaskonstante (8,3145 Joule/(mol*Kelvin)) ist und T die absolute Temperatur ist.
Interessant dabei ist, dass dies unabhängig von der Art des Gases ist – also Helium, Stickstoff etc. Es muss einfach nur ein “ideales Gas” sein. Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.
Wenn wir die Stoffmengen mit der Avogadroschen Zahl NA (6,02214076 1023 mol-1) in eine Teilchenzahl N umrechnen, also:
\( N = N_A \cdot n \)
bekommen wir als Gasgleichung (mit der Avogadroschen Zahl):
\( p \cdot V = N \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T \\\ \)
Später werden wir sehen, dass \( \frac{R}{N_A} = k_B \) die sagenhafte Boltzmann-Konstante ist.
Anwendung der idealen Gasgleichung
Masse und Stoffmenge
Häufig kommt es vor, dass wir die Masse kennen und daraus aber die Stoffmenge ermitteln müssen.
Hilfreich ist dabei die mittlere molare Masse des betrachteten Gases:
\( \mu = \frac{Masse}{Stoffmenge} \\\) (also in kg/mol)
Die Masse von Atomen bekommt man aus dem Periodensystem (in sog. Atomaren Einheiten). Allerdings steht dort das Mittel aus den in der Natur vorkommenden Isotopen, gewichtet mit ihren natürlichen Häufigkeiten.
Für Moleküle muss man die Massen der enthaltenen Atome addieren. Die so ermittelte Atommasse eines Moleküls ist in sehr guter Näherung die Masse von einem Mol in Gramm (Beispiele s.u.).
Die Atommasse wird in sog. “atomaren Einheiten” mit dem Formelzeichen “u” angegeben. 1 u ist definiert als 1/12 der Masse eines isolierten 12C-Atoms im Grundzustand.
Wenn wir die Masse eines 12C-Atoms messen, erhalten wir damit die Umrechnung in Gramm:
\( 1u = 1,66053906660*10^{-24}g \)
Um die Molare Masse eines Stoffes zu ermitteln, müssen uns fragen, welche Masse 1 mol des betrachteten Stoffes hat. Dazu ermitteln wir die Masse (Atommasse) eines Moleküls und multiplizieren die mit der Anzahl Moleküle in 1 mol, also mit der Avogadroschen Zahl NA = 6,02214076*1023 mol-1.
Die folgenden Beispiele wurden angeregt durch:
Abbildung 4: Ideale Gasgleichung
Beispiel: Methan CH4
Aus dem Periodensystem bekommen wir die Atommassen.
Ein Kohlenstoffatom (C) hat die Atommasse 12,011u (gewichtetes Mittel der natürlichen C-Isotope)
Vier Wasserstoffatome (H) haben die Atommasse 4 x 1,0080u
Zusammen hat also ein Molekül Methan eine Atommasse von 16,033u = 26,62343782*10-24 g
Multipliziert mit der Avogadroschen Zahl (der Anzahl Molekülen in 1 mol), ergibt das: 16,033 g
Was sagt uns das?
Erstens sehen wir, dass die neue Definition der Einheit mol im SI-System von 2019 “1 mol = eine Stoffportion bestehend aus NA Teilchen” gut übereinstimmt mit der alten Definition “1 mol = Atommasse in Gramm”.
Zweitens können wir jetzt mit der Gasgleichung ausrechnen, wieviel Volumen unser Methan unter “Laborbedingungen” (20° C und 1 atm) einnimmt.
Als Beispiel nehmen wir:
Masse Methan: m = 0,1 g
Molare Masse Methan: M= 16,003 g/mol
Stoffmenge Methan: n = 0,1/16,033 mol =0,00625 mol
Temperatur: T = 293,15 K (20° C)
Druck: p = 101,325 kPa = 101325 Pa = 101325 N m-2 (1 atm)
Gaskonstante R = 8,314 J mol-1 K-1
Dann können wir mit der idealen Gasgleichung das Volumen berechnen:
\( V = \frac{n \cdot R \cdot T}{p} = \frac{0,00625 \cdot 8,314 \cdot 293,15}{101325} m^3 = 0,000157 m^3\\\)
Das Methan nimmt also unter Laborbedingungen ein Volumen von 0,157 Liter ein.
Kinetische Energie
Wenn wir die Kinetik der Moleküle betrachten, also die Bewegungen, entsteht der Druck durch Impulsübertrag auf die Aussenwand des Gefäßes.
Das Gesetz von Bernoulli sagt dafür:
\( p = \frac{1}{3} \cdot n \cdot \mu \cdot <v^2> \\\ \)
wobei n hier die Teilchendichte, also Anzahl Teilchen pro Volumen, ist und die spitzen Klammern für den Mittelwert stehen..
Wenn wir diese Gleichung mit V multiplizieren, erhält man:
\( p \cdot V = \frac{1}{3} \cdot N \cdot \mu \cdot <v^2> = \frac{2}{3} \cdot N \cdot <E_{kin}> \\\ \)
wobei N die Anzahl der Teilchen ist.
Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls eines Idealen Gases (also nur translatorische Bewegung in drei Freiheitsgraden) ist:
\( <E_{kin}> = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \\\ \)
Ausblick:
Auf dieser Basis wird die physikalische Größe “Temperatur” dann als “thermodynamische Temperatur” beliebiger Substanzen wirklich definiert.
Zusätzlich zum Mittelwert von Geschwindigkeiten bzw quadrierten Geschwindigkeiten wird auch noch die Breite der Verteilung von Interesse sein, was uns zur Maxwell-Verteilung führen wird…
Flüssigkeiten
Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von einer Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.
Das Jeans-Kriterium
Das Jeans-Kriterium, benannt nach James Jeans (1877-1946), soll ja angeben, unter welchen Bedingungen eine Gaswolke im Universum unter dem Einfluss ihrer Gravitation kontrahiert, dabei wärmer wird und ggf. eine Kernfusion “zündet”.
Zur Abschätzung der kritischen Jeans-Masse bieten sich zwei Wege an:
Für eine Gaswolke aus atomaren Wasserstoff ergibt sich mit doppelt logarithmischen Skalen folgendes Bild:
Abbildung 5: Die Jeans-Masse (Github: JeansMasse.svg)
Jeans-Masse Dietrich Kracht 24.3.2021
Beispielsweise können wir ablesen: Eine Gaswolke (atomarer Wasserstoff) von 10 Sonnenmassen würde bei einer Dichte von 10-16 kg/m³ und einer Temperatur von 10 K anfangen sich unter ihrer eigenen Gravitation zusammen zu ziehen…
Die physikalische Größe Stoffmenge wird in Mol gemessen. Auf der Schule (ca. 1960) hatte ich gelernt: 1 Mol ist das Atomgewicht in Gramm.
Im SI-System ist als Maßeinheit für die Stoffmenge das Mol festgelegt.
1971: Ein Mol ist die Menge einer Substanz, in der gleichviel Moleküle sind, wie in 12 g von Kohlenstoff 12C.
2019: Eine Stoffmenge von 1 Mol (= 1 mol) enthält die durch die Avogadro-Konstante (NA = 6.02214076 * 1023 mol−1) festgelegte Teilchenzahl. Die Avogadro-Konstante ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der Stoffmenge und der Teilchenzahl N(X). Teilchen können hier Atome, Ionen, Moleküle, Formeleinheiten oder auch Elektronen sein. Formelzeichen und Teilchenart X werden zusammen als nX oder n(X) angegeben.
Avogadro
Der italienische Physiker Amedeo Avogadro (1776-1856) erkannte bereits 1811, dass gleiche Volumina verschiedener idealer Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl Moleküle enthalten. Dies nennt man das Avogadrosche Gesetz.
Die Anzahl der Moleküle in einer Stoffmenge von 1 mol nennt man die Avogadro-Konstante. Die SI-Einheit 1 Mol wurde so festgelegt, das die Avogadrosche Zahl exakt:
NA = 6.02214076 * 1023 mol−1
beträgt.
Wenn man die Stoffmenge n einer Gaswolke kennt, kann man also die Teilchenzahl N in dieser Gaswolke berechnen als:
\( N = N_A \cdot n \\\ \)
Anwendung in der Chemie
Bei chemischen Reaktionen schreibt mal ja als Reaktionsgleichung auf, mit welchen Molekülen eine chemische Reaktion abläuft. Beispielsweise wird aus Aluminiumcarbid und Wasser Methan und Aluminiumhydroxid:
\( Al_4C_3 + 12 H_2O \to 3 CH_4 + 4 Al(OH)_3 \)
Was die Stoffmengen betrifft heist das, dass aus 1 Mol Aluminiumcarbid durch Zugabe von Wasser 3 Mol Methan entstehen.
Entnommen aus dem Youtube-Video: https://www.youtube.com/watch?v=dGsxo05xR7g
Die molare Masse M eines Stoffes ist die Masse pro Stoffmenge oder, anders gesagt, der Proportionalitätsfaktor zwischen Masse m und Stoffmenge n.
\( m = M \cdot n \\\ \)
Die SI-Einheit ist kg/mol; in der Chemie ist g/mol üblich.
Anwendung in der Thermodynamik
In der Thermodynamik haben wir die Ideale Gasgleichung…
Durch die Verschmelzung (Fusion) leicherer Atomkerne (z.B. Wasserstoff) zu schwereren Atomkernen (z.B. Helium) kann Energie gewonnen werden, da ein kleiner Teil der Masse in Energie umgewandelt wird; nach der berühmten Formel von Einstein:
\( E = m \cdot c^2 \)
Damit solche Prozesse ablaufen können, sind ziemlich hohe Temperaturen bzw. Drücke erforderlich. Solche Bedingungen herrschen regelmäßg in Inneren von Sternen (Stellare Nukleosynthese) und bei Supernova-Explosionen, sollen aber auch kurz nach dem Urknall und noch vor der Bildung von Sternen geherrscht haben. Letzteres nennt man die Primordiale Nukleosynthese.
Durch Fusion wird Energie gewonnen, solange die Bindungsenegie pro Nukleon mit zunehmender Nukleonenzahl im Atomkern größer wird; also bis zum Eisen (Fe), wie die Grafik zeigt. Mit schwereren Atomkernen kann man dann Energie nur durch Spaltung gewinnen.
Im Inneren von Sternen finden solche Kernfusionsprozesse statt. Man spricht gerne auch vom “Brennen”; damit ist aber immer eine Kernfusion gemeint.
Abbildung 1: Bindungsenegie pro Nukleon (Wikimedia: Binding_energy_curve_-_common_isotopes-de.svg)
Mittlere Bindungsenergie pro Nukleon in Abhänggkeit von der Größe des Atomkerns (Copyright Wikimedia)
Primordiale Nukleosynthese
Nach dem sog. Standardmodell der Kosmologie haben sich kurz nach dem Urknall aus einem Quark-Gluon-Plasma zuerst Protonen und Neutronen in gleicher Anzahl gebildet.
Freie Neutronen zerfallen im sog. Beta-Zerfall in ein Proton und ein Elektron mit einer Halbwertszeit von ca. 10 Minuten:
\( n \to p + e^- + \bar{\nu_e} \)
Etwa 5 Minuten nach dem Urknall sind die Temperatur und die Teilchendichte im Universum durch die Expansion so weit abgesunken, dass eine weitere Helium-Synthese (aus Wasserstoffkernen bilden sich Heliumkerne 4He) nicht mehr möglich ist. Die Reaktionsketten laufen nur so lange, bis das Plasma entsprechend abgekühlt ist. Damit endet die Phase der Primordialen Nukleosynthese.
Beim Endzustand der Primordialen Nukleosynthese errechnet man die Anteile von Wasserstoffkernen bzw. Heliumkernen von 75% bzw. 25% (Massenanteile).
Kernfusion im Inneren von Sternen (Stellare Nukleosynthese)
Damit es zur Verschmelzung von Atomkernen kommt, muss die Abstoßungskraft der elektrisch ja gleichartig (positiv) geladenen Kerne überwunden werden. Dazu benötigt das Plasma eine hohe Temperatur und einen hohen Druck. Die Fusion von Wasserstoff zu Helium “zündet”, wenn im Inneren des Sterns die notwendige Temperatur von ca. 10 Millionen Kelvin erreicht sind.
Bei entsprechend höheren Temperaturen “zünden” auch Fusionsprozesse mit anderen Elementen wie die nachfolgende Tabelle zeigt. Dort ist ein Stern mit 40-facher Sonnenmasse zugrunde gelegt.
Tabelle 1: Kernfusionsprozesse in Sternen
Ausgangsmaterial
Prozesse
Endprodukte “Asche”
Temperatur
Mio Kelvin
Min. Masse
Dauer bei 40 Sonnenmassen
Wasserstoff
p-p-Prozess
Helium
10-40
0,08
10 Mio Jahre
Helium
3 Alpha
Kohlenstoff
100-190
0,25
1 Mio Jahre
Kohlenstoff
Sauerstoff, Neon, Magnesium
500-740
4,0
10.000 Jahre
Neon
Sauerstoff, Magnesium
1.600
10 Jahre
Sauerstoff
Silizium
2.100
5 Jahre
Silizium
Eisen
3.400
1 Woche
Wenn der Wasserstoff vollständig zu Helium fusioniert wurde, fällt diese Energiequelle weg. Der Stern kontrahiert etwas und die Temperatur im Inneren steigt an. Es kann zunächst zu einem sog. Schalenbrennen kommen, wo Wasserstoff in einer Schale zu Helium fusioniert wird. Durch das Schalenbrennen steigt der innere Strahlungsdruck wieder stark an und der Stern dehnt sich aus zum sog. “Riesen”.
Wenn dann die Temperatur im Inneren (im Kern) ausreicht, kann die nächste Fusionstufe “zünden” und das Helium im Kern kann zu Kohlenstoff fusioniert werden
Wenn die Temperatur nicht ausreicht, um weitere Kernfusionen zu “zünden”, kann der Stern keine Energie mehr erzeugen und kollabiert zum Weissen Zwerg, der nur noch langsam seine vorhandene Wärmeenegie abgibt…
Bei unserer Sonne endet diese Serie mit dem sog. Heliumbrennen im Kern. Der Kohlenstoffkern kann nicht mehr weiter “zünden”, da die erforderliche Temperatur nicht erreicht wird.
Bei massereichen Sternen wird durch die Kontraktion die Temperatur soweit erhöht, das dann das Helium ein einer Schale um den Kern “züdet”, also dort Helium zu Kohlenstoff fusioniert, wo es heiss genug ist. Wir haben dann ein typisches Helium-Schalenbrennen.
Abbildung 2: Schalenbrennen in einem AGB-Stern (Google Drive: agb-schematic.jpg)
Copyright: Falk Herwig, University of Victoria http://www.astro.uvic.ca/~fherwig/sevol.html
Software für Notizen: Microsoft OneNote, Evernote,…
Bei Microsoft wird die Funktion “Notizen” (Note Taking) nicht so klar mit Software unterstützt. Viel besser macht es die Spezial-Software Evernote.
Nun bietet Microsoft eine Vielzahl von Varianten seiner “OneNote” genannten Software zusammen mit Microsoft Office an.
Vorgänger von OneNote soll Microsoft Journal gewesen sein…
Auch Google bietet mit “Google Notebook” bzw. “Google Keep” etwas Ähnliches an – für die Betriebssysteme Android und ChromeOS….
Versuch mit Microsoft OneNote
Microsoft-Account
Man benötigt einen Microsoft-Account. Damit bekommt man kostenlos eine kleine Cloud von 5 GB. Einige Funktionen von OneNote benötigen dies – zumindestens zeitweise für die Einrichtung.
Im Zusammenhang mit meinem Office365-Abo habe ich ja bereits einen Microsoft-Account mit einem Cloud-Speicher von 1 TB.
Datenmigration von Evernote zu OneNote
Für die Import-Funktion muss ich einen separate Software den StartOneNoteImporter.exe von der Website www.OneNote.com herunterladen.
Das Ziel eines Imports ist dann immer meine OneDrive Cloud, bei der ich mich ersteinmal anmelden muss; alle importierten Notizbücher landen dort im Ordner “Dokumente”. https://d.docs.live.net/4794afcd190435c9/Dokumente
Als Quelle eines Imports kann man entweder Notizbücher aus dem lokal installierten Evernote auswählen oder man kann mit dem Importer einzelne .enex-Dateien nach OneNote importieren. Der Import von Evernote ist also sehr flexibel und geht auch schnell. Meine 2476 Evernote-Notizen habe ich weniger als 2 Stunden in OneNote importiert.
Lokale Kopie von OneNote-Notizbüchern
Nun hat man alle seine Evernote-Notizbücher in die Microsoft OneDrive-Cloud (Ordner “Dokumente”) importiert. Ich möchte diese nun auf mein lokales Notebook herunterladen, weil ich auch “disconnected” d.h. ohne die Cloud, arbeiten möchte…
Mein erster Ansatz um zu lokalen Kopien der OneNote-Notizbücher zu kommen, ist die OneDrive-Synchronisation. Da kommen aber auf meiner lokalen Platte nicht die Dateien an sondern “nur” Shortcuts auf die auf der Cloud befindlichen Notizbücher. Das will ich ja nicht. Ich will “echte” Kopien meiner OneNote-Dateien haben.
Mein zweiter Ansatz ist “Herunterladen”. OneDrive gestattet es wohl, lokale Dateien auf OneDrive hochzuladen, das Herunterladen einzelner Dateien auf das lokale Notebook ist aber nicht so ohne Weiteres möglich. OneDrive erlaubt der Funktion “Herunterladen” nur für Ordner und nicht für einzelne Dateien.
Also behelfe ich mir zunächst damit, dass ich einen extra Ordner namenes “temp” auf OneDrive einrichte in den ich dann eine gewünschten eiznelnen OneDrive-Dateien kopiere und dann diesen Ordner herunterlade. Auf dem lokalen Notebook kommt dann ein ZIP-Archiv namens “temp.zip” an. Darin befinden sich tatsächlich meine OneDrive-Dateien, die ich an die gewünschte Stelle auf meinem Notebook kopieren kann. Pro Notizbuch kommt dann ein Ordner mit folgendem Inhalt an. Beispielsweise sieht das bei meinem Notizbuch “Afrika” so aus:
Ordner Afrika, darin folgendes:
Ordner OneNote_RecycleBin
Datei Notizbuch öffnen.onetoc2
Datei Pages 1-100.one
Datei Pages 201-200.one
Nun kann ich tatsächlich auf die Datei “Notizbuch öffnen.onetoc2” doppel-klicken und das Notizbuch wird mir im OneNote Desktop angezeigt. Hurra! Die Evernote-Notizen werden dabei offensichtlich in Päckchen a max. 100 Stück in OneNote-Abschnitte importiert (altenativ: je Evernote-Tag ein neuer Notizbuch-Abschnitt – da muss man seine Evernote-Tags super aufgeräumt haben).
Nun kommt eine neue Überraschung. Die Notizbücher (Abschnitte, Notizen) können nicht bearbeitet werden, sie sind schreibgeschützt. Ein Textbalken am oberen Rand sagt es uns genau:
Dieser Abschnitt kann nicht bearbeitet werden, da er in einem Archivformat vorliegt. Klicken Sie hier um die Bearbeitung zu aktivieren.
Wenn man nun darauf klickt, wird garnichts “aktiviert”, nein man wird jetzt aufgefordert, die Notizen irdendwo hin zu kopieren. Aber wohin denn bloss? Das liegt am verwendeten OneNote-Client. Als Client gibt es nämlich:
den Internet-Browser “OneNote Online“
eine lokale Software (stand alone) “OneNote Desktop“
und einen “OneNote 2016“, das Bestandteil on Office 2016 ist.
Nur mit der letzteren OneNote-Client-Version kann man lokale Notizbücher anlegen, öffnen etc…
OneNote-Versionen und Speicherorte:
Fast alle der derzeit acht(!) unterschiedlichen OneNote-Versionen erlauben nur Microsofts Cloud-Speicher OneDrive als Lagerort für Notizbücher. Manche lassen auch SharePoint-Bibliotheken zu; nur eine unterstützt auch das Speichern auf lokalen Datenträgern oder im LAN. Hier eine Übersicht:
Notizen sortieren: Die Notizen eines Notizbuch-Abschnitts können leider nicht auf Knopfdruck sortiert werden (nach Titel, nach Datum etc.) das muss man bei OneNote mit der Hand machen – Microsoft seid ihr noch bei Troste?
Liste der Notizbücher: Das OneNote Desktop merkt sich zwar alle von mir geöffneten Notizbücher (in einem Dropdown), zeigt die Liste der Notizbücher aber nicht auf der Oberfläche an – schade, bei Evernote ist das praktischer…
Seitenregister links: Das findet man in: One Note Optionen -> Anzeige
Neues Notizbuch: Anlegen eines neuen Notizbuchs:
Menüleiste -> Datei -> Neu
Nun den “Ort” also “OneDrive” oder “Computer” auswählen – – – > diese Auswahl ist ganz wichtig, wenn man z.B. nicht in die Cloud will, sondern lokal
Namen für das neue Notizbuch eingeben
Klicken auf Schaltfläche “Notizbuch erstellen”
In welchem Ordner eine neues Notizbuch erstellt wird, bestimme ich vorher durch:
Einen Web-Clipper gibt es für praktisch alle Web-Browser; auch Mozilla Firefox wird unterstützt.
Im Mozilla Firefox sieht man oben rechts ein kleines OneNote-Symbol, das man klicken kann, um die aktuelle Web-Seite als OneNote-Notiz auszuschneiden….
Der OneNote-Web-Clipper bietet drei alternative Möglichkeiten:
Ganze Seite: Es wird ein Screenshot erstellt; d.h. die Notiz sieht dannn schön aus, aber aus den Texten sind Pixel geworden – schlecht
Bereich: Es wird ein Screenshot erstellt; d.h. die Notiz sieht dannn schön aus, aber aus den Texten sind Pixel geworden – schlecht
Artikel: Es wird der Text der Web-Seite als Notiz kopiert; die Bilder sind futsch! – auch schlecht
Die “geclippte” Notiz erhält automatisch Datum und Uhrzeit und am Ende einen Link auf die Original-Web-Seite.
Alternativ muss kann man die Notiz manuell erstellen und sich mit “Cut & Paste” die schönen Stücke aus der Web-Seite holen…..
Synchronisation der Notizbücher
OneNote hat einen eigenen Mechanismus zur Synchronisation der Notizbücher mit der Cloud. Die in der Microsoft-Cloud “OneDrive” vorhandene generelle Synchronisationsmöglichkeit für beliebige Dateien ist ein eigen Ding.
Werner Heisenberg (1901-1976) gilt als Begründer der mathematischen Quantenmechanik.
Berühmt geworden ist seine sog. Unschärferelation (uncertainty principle). Die Aussage der Quantenphysik ist, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Das bekannteste Beispiel für ein Paar solcher Eigenschaften sind Ort und Impuls.
\( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \\ \)
Dabei ist die Messung des Impulses (Teilcheneigenschft) gleichzusetzen mit der Messung der Wellenlänge (Welleneigenschaft); s. unten De Broglie.
Die Heisenbergsche Unschärferelation hat nichts mit der Messgenauigkeit oder Beeinflussungen einer Messung durch Messvorrichtungen zu tun, sie ergibt sich aus dem Welle-Teilchen-Dualismus: Ein Teilchen hat danach sowohl Teilchen-Eigenschaften als auch Wellen-Eigenschaften. Die Wellennatur der Materie selbst führt zur Unbestimmtheit ihrer Teilcheneigenschaften.
Man beschreibt ein Teilchen dann als Wellenpaket, bei dem wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Messung physikalischer Größen (sog. Observable) haben. Mit solchen Schreibweisen wie Δx ist in Wirklichkeit die Standardabeichung σ der Verteilung von x gemeint.
Materiewellen
Louis de Boglie (1892-1987) beschreibt den Welle-Teilchen-Dualismus ja durch sein berühmte Formel:
\( p = \frac{h}{\lambda} \\ \)
Die Messung des Impulses ist also gleichzusetzen mit der Messung der Wellenlänge. Wenn ich aber die Wellenlänge genau messe, ist der Ort der Welle sehr unbestimmt.
Komplementäre Eigenschaften im Sinne Heisenbergs sind z.B.
