Astronomie: Die Lagrange-Punkte

dkracht

Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Newtonsche Mechanik, Sonnensystem, Raumsonden
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Das Drei-Körper-Problem

Wenn man die Bewegung der Körper im Sonnensystem untersucht, sagt einem ja die Himmelsmechanik, dass das allgemeine Dreikörperproblem nicht geschlossen analytisch lösbar ist. Aber beim sog. eingeschränkten Dreikörperproblem hat man gute Lösungen, die berühmten Lagrange-Punkte L1, L2 etc. wo ja gerne Raumsonden, wie SOHO, hingeschickt werden.

Das eingeschränkte Drei-Körper-Problem

Beim sog. “eingeschränkten Drei-Körper-Problem” geht man vereinfachend davon aus, dass eines der drei Objekte viel weniger Masse hat als die anderen beiden, so dass man seine gravitative Wirkung vernachlässigen kann. Man hat dann zwei Himmelskörper, die sowohl einander als auch den kleinen dritten Körper beeinflussen, der selbst aber keine gravitative Wirkung auf die anderen beiden ausübt. Ein gutes Beispiel dafür ist die Bewegung eines Asteroiden in der Nähe eines großen Planeten.

Lösungen des eingeschränkten Drei-Körper-Problems

Google Slides: Himmelsmechanik: Die Lagrange-Punkte

Die bekannten Lösungen sind die Lagrange-Punkte L1, L2, L3, L4 und L5

Abbildung 1: Die Lagrange Punkte (GitHub: Lagrange_very_massive.svg)

Langrange-Punkte (aus GitHub Lagrange_very_massive.svg)

Langrange-Punkte

Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lagrange_very_massive.svg

Im System Sonne-Erde befindet sich der L1 bekanntlich 1,5 Millionen Kilometer entfernt von der Erde in Richtung Sonne, der L2 ist ebenfalls 1,5 Mio Kilometer entfernt von der Erde, nur in Gegenrichtung. Da sich die Erde um die Sonne bewegt, bewegen sich die Lagrangepunkte ebenfalls und folgen ihr, also mit gleicher Winkelgeschwindigkeit.

Die Punkte L1 und L2 sind mit Satelliten besetzt. In L1 befinden sich Sonnenbeobachtungssatelliten wie z.B. SOHO. An diesem Punkt haben sie immer freie Sicht auf die Sonne. L2 ist gut für Weltraumteleskope geeignet. Hinter der Erde sind sie vor der starken Sonneneinstrahlung geschützt und können ungestört ihrer Arbeit nachgehen. Der WMAP-Satellit (gestartet 30.6.2001) untersuchte von hier aus die kosmische Hintergrundstrahlung und die Satelliten Herschel und Planck (gestartet 14.5.2009) sowie Gaia (gestartet 19.12.2013) sind hier plaziert. Auch das kürzlich (25.12.2021) gestartete James-Web-Teleskop ist auf dem L2 plaziert.

Berechnung des Lagrange-Punkts L1

Fragen wir uns mal, wo genau der Lagrange-Punkt L1 liegt. Der erste Gedanke ist, na ja, da wo die Anziehungskräfte von Sonne und Erde sich aufheben.
Das können wir ja mal ganz einfach durchrechnen mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz:

\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2} \\ \)

Wir nehmen folgende Ausgangsgrößen an:

Tabelle 1: Ausgangsgrößen zur Berechnung des Lagrange-Punkts L1

Größe Wert Einheit
Abstand Sonne-Erde 149.597.870.700 m
Gravitationskonstante 6,67259 10-11 N m2 / kg2
Masse der Sonne 1,98892 1030 kg
Masse der Erde 5,9722 1024 kg

Dann können wir die Anziehungskräfte wie folgt berechnen:

Tabelle 1: Anziehungskräfte im Sonnensystem (Google Drive: Lagrange-Punkte.xls)

Tabelle 2: Anziehungskräfte und Sonne und Erde

Entfernung von der Sonne Entfernung von der Erde Gravitation der Sonne Gravitation der Erde Gravitation Summe
1,49300000 1011 2,978707 108 -5,954 10-3 +4,491 10-3 -1,462 10-3
1,49339090 1011 2,587807 108 -5,951 10-3 +5,951 10-3 -3,602 10-9
1,49400000 1011 1,978707 108 -5,946 10-3 +1,018 10-2 +4,232 10-3

In einer Entfernung von 258 781 km von der Erde in Richtung Sonne, heben sich die Gravitationskräfte von Sonne und Erde also auf. Dort ist aber nicht der Lagrange-Punkt.

Unser “erster Gedanke” zur Berechnung der Lage des Lagrange-Punkts L1 war zu einfach. Nur im “mitrotierenden Bezugssystem” hat der Lagrange-Punkt eine feste Lage. So ein “mitrotierendes Bezugssystem” ist kein Intertialsystem und es treten zusätzlich sog. Scheinkräfte (Trägkeitskräfte) auf. In jedem Falle tritt die Fliehkraft auf und bei einem sich bewegenden Objekt käme auch noch die Corioliskraft hinzu.

Begrifflich spricht man von einem “effektiven” Gravitationsfeld, wenn  man zusätzlich zur eigentlichen Gravitationskraft die Fliehkraft hinzunimmt. Für dieses “effektive” Gravitationsfeld gibt es dann ein “effektives” Potential (als skalares Feld).

Der Lagrange-Punkt L1 mit Fliehkraft

In einem rotierenden Bezugssystem haben wir eine Fliehkraft von:

\( F(r) = m \frac{v^2}{r} = m \frac{4 \pi^2}{T^2} r \\ \)

Wobei v die Bahngeschwindigkeit bzw. T die Umlaufszeit wäre.

Zur Berechnung der Fliehkraft benötigen wir also die siderische Umlaufszeit der Bahn der Erde um die Sonne:

Größe Wert Einheit
Umlaufszeit  Sonne-Erde 31.558.149,54 s

Damit können wir berechnen, wo die Summe aus den Anziehungskräften (Beschleunigungen) und der Fliehkraft (Beschleunigung) sich aufheben:

Tabelle 3: Anziehungskräfte und Fliehkraft im System Sonne-Erde

Entfernung von der Sonne Entfernung von der Erde Gravitation der Sonne Gravitation der Erde Fliehkraft Summe
1,481000 1011 1,4978707 109 -6,051 10-3 +1,776 10-4 +5,871 10-3 -2,304 10-6
1,481064 1011 1,4914707 109 -6,050 10-3 +1,791 10-4 +5,871 10-3 –1,385 10-10
1,482000 1011 1,3938707 109 -6,042 10-3 +2,039 10-4 +5,875 10-3 +3,614 10-5

In einer Entfernung von 1 491 470,7 km von der Erde in Richtung Sonne, heben sich die Gravitationskräfte von Sonne und Erde zusammen mit der Fliehkraft des rotierenden Systems also auf. Dort ist der Lagrange-Punkt L1.

Eigentlich ist ja klar, dass die Fliehkraft hier eine wesentliche Rolle spielen muss. Denn wenn die Gravitation der Erde Null wäre, würde es nur noch darum gehen, wann sich die Anziehungskraft der Sonne und die Fliehkraft der Rotation aufheben würden. Das ist logischerweise in diesem Fall genau auf der Erdbahn der Fall.

Der in etwa kugelförmige Bereich um die Erde mit dem Radius 1,491 Mio km wird auch die Hill-Sphäre genannt. Dort überwiegt also die (effektive) Anziehungskraft der Erde.

Bahnen um den Lagrangepunkt L2 des Systems Erde-Sonne

Die Lagrangepunkte L2 und L1 werden gerne benutzt, um dort bzw. in der Nähe Raumsonden (Erdsatelliten) zu plazieren, da diese der Erde folgen, aber mit Abstand. Die Raumsonden werden dabei nicht genau auf dem Lagrangepunkt plaziert, sondern in einer gewissen Bahn um den Lagrangepunkt.

Gern benutzte Bahnen um einen Lagrangepunkt sind:

  • Lissajous-Bahnen
  • Halo-Bahnen

Solche Bahnen sind aber Himmelsmechanisch nicht stabil. Es bedaf also eines Treibstoffvorrats, um ab und zu kleine Bahnkorrekturen vorzunehmen.

Grafiken zu den Lagrange-Punkten

Effektives Potential im System Sonne-Erde

In der Wikipedia finden wir folgendes Bild zu den Lagrange-Punkten:

Abbildung 2: Effektives Potential (Wikipedia: Lagrange_points2.svg)

Lagrange_points2.svg

Lagrange_points2.svg (Copyright: Wikimedia Commons

Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Lagrange_points2.svg

Rote Pfeile: abwärts zum Lagrange-Punkt; Blaue Pfeile: abwärts weg vom Lagrange-Punkt.

Effektives Potential in einem engen Doppelsternsystem

Die Suche nach “Langrange” und “Roche” in der Wikipedia liefert uns auch für ein enges Doppelsternsystem (binary system) eine Grafik mit den Lagrange-Punkten, dem Center of Mass “CM” einigen Äquipotentialflächen und den Mittelpunkten der beiden Sterne.

Abbildung 3: Roche-Volumen (Wikipedia: Roche_potential_contours_q%3D3.svg)

Roche_potential_contours_q%3D3.svg

Copyright: WikiMedia Commons

Link: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Roche_potential_contours_q%3D3.svg

Dort, wo Äquipotentialflächen des linken Sterns die Äquipotentialflächen des rechten Stern berühren (L1), wäre ein möglicher Übergangspunkt, wo Materie von einem Stern zum anderen überfließen könnte. Die tropfenförmigen inneren Bereiche um die beiden Sterne nennt man auch die Roche-Volumen (Roche Lobe) der beiden Sterne.

Wenn ein Stern größer als sein Roche-Volumen wird, fließt in der Tat Materie zum anderen Stern. Die überfließende Materie hat in der Regel auch einen Drehimpuls, der erhalten bleibt. Es bildet sich deshalb eine Akkretionsscheibe um den aufnehmenden Stern.

Astronomie: Kosmische Hintergrundstrahlung – CMB

dkracht

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Siehe auch: Kosmologie, Erdsatelliten, Lagrange-Punkte, Expansion des Universums
Benutzt: Fotos aus Google Archiv, Fotos aus Wikimedia

Stand: 24.06.2024

Die Entdeckung der Kosmischen Hintergrundstrahlung

CMB = Cosmic Microwave Background Radiation, also die Hintergrundsrahlung

Heute messen wir eine Plancksche Schwarzkörperstrahlung von 2,7 K isotrop

Die sog. Kosmische Hintergrundstrahlung (engl. CMB = Cosmic Microwave Background Radiation), wurde 1964 von Robert Woodrow Wilson (*1936) und Arno Penzias (1933-2024) von den Bell Labs zufällig (als Störstrahlung) entdeckt. Eigentlich wollten Wilson und Penzias mit einer großen Horn-Antenne in Holmdel, New Jersey, die Kommunikation über Erdsatelliten testen. Das war das “Projekt Echo”.

Abbildung 1: Horn-Antenna in Holmdel New Jersey (Copyright: Wikimedia)

Horn_Antenna-Holmdel New Jersey

Horn-Antenna in Holmdel New Jersey (Copyright: Wikimedia)

Gleichzeitig haben die Astrophysiker Robert Dicke (1916-1997), James Peebles (*1935) und David Wilkinson (1935-2002) im nahe gelegenen Princton, die auf dem Gebiet der Kosmologie forschten,  ein mathematisches Modell entwickelt, was die Entstehung und Entwicklung des Universums darstellen sollte. Dieses mathematische Modell kann als Vorläufer des heute (2021) mehrheitlich akzeptierten “Lambda CDM” (CDM = Cold Dark Matter) angesehen werden.
Dieses Modell, das sog. “Big-Bang-Modell” sagte, sozusagen als “Nachhall” des Big Bangs, eine kosmische Hintergrundstrahlung voraus, die noch heute messbar sein müsste. Eine solche Strahlung musste “nur noch” praktisch nachgewiesen werden.

Wilson und Penzias erhielten 1978 den Nobelpreis für die Entdeckung der CMB.
Robert Dicke erhielt nie einen Nobelpreis, da er selbst nichts entdeckt hatte, sondern nur etwas “interpretiert” hatte.
James Peebles erhielt 2019 den Nobelpreis für seine grundlegenden Beiträge zur Kosmologie.
David Wilkinson wurde nach seinem Tode durch die Namensänderung der Raumsonde MAP zu WMAP geehrt.

Eine Strahlung aus dem intergalaktischen Raum als Folge eines Urknalls wurde in den 1940ern von George Gamow, Ralph Alpher und Robert Herman postuliert. Diesen Arbeiten wurden aber zunächst kein großes Gewicht beigemessen. Erst 1964 war es dann soweit (s.o.).

Das Projekt Echo

Die Bell Labs in USA wollten in den 1960er Jahren die Telekommunikation über Erdsatelliten testen. Die Versuche begannen mit den  sog. “passiven” Kommunikationssatelliten der Echo-Serie.

  • Ballonsatellit Echo I: gestartet 12.8.1960
  • Ballonsatellit Echo II: gestartet 25.1.1964

Den Echo II habe ich zusammen mit meinem Schulfreund Hajo damals sehr oft von der Parzelle auf dem Bremer Stadtwerder mit freiem Auge beobachten können. Ebenso konnten wir schöne Fotos von den Durchgängen des Erdsatelliten Echo II machen. Diese Fotos sind aber heute nicht mehr in meinem Besitz.

Mein Bruder Rainer hat noch ein schönes Foto von 1964 gefunden. Er hat es am 25. November 1964 um ca 18:15 UT von unserem Haus in Bremen aufgenommen. Die Unterbrechungen wurden ca. alle 5 Sekunden vorgenommen, um die Geschwindigkeiten anzuzeigen. Der helle Stern im linken oberen Quadranten ist Atair (α Aql).

Abbildung 2: Bremen 1964, Echo I und Echo II (Google Drive: 1964-11-25b.jpg)

Im Internet fand ich noch ein Foto, wo neben Echo I die Radioschüssel von Goldstone zu sehen ist:

Abbildung 3: Goldstone mit Echo I (Copyright JPL-Caltech/NASA) (Google Drive: Goldstone_Echo.jpg)

Mit Hilfe der Software Stellarium konnte ich herausfinden, welche Sterne auf diesem Bild zu sehen sind. Aufgenommen wurde es ja am 12.8.1960 in Goldstone bei Las Vegas. Die Sternspuren sagen, dass wir ungefähr nach Nordwest blicken. Stellarium zeigt dann gegen 4 Uhr morgens: Die beiden hellen Sterne sind Deneb (oben) und Wega  (unten über dem Berggipfel), die Spur von Atair ist links neben der Radioschüssel zu sehen.

Die Satelliten Echo I und Echo II waren ja als “passive” Kommunikationssatelliten konzipiert und “nur” große Ballon-Satelliten mit einer reflektierenden Oberfläche.
Nach dem erfolgreichen Start des ersten aktiven (und zivilen) Kommunikationssatelliten Telstar am 10. Juli 1962 wurde die Antenne in Holmdel frei und konnte für die Astronomie eingesetzt werden.

Moderne Messungen der CMB

Um genauere und umfassende Messungen der CMB zu erzielen, wurden Erdsatelliten und Raumsonden verwendet:

  • COBE (1989-1993)
  • WMAP (2001-2010)
  • PLANCK (2010-2013)

Messungen der CMB durch COBE

Der Erdsatellit COBE (= Cosmic Background Explorer) hat die Kosmische Hintergrundstrahlung (Mission 1989-1993) besser und genauer vermessen.
Wilson und Penzias hatten nur auf einer Frequenz gemessen. Mit dem Erdsatelliten COBE konnte nun ein ganzes Frequenzspektrum vermessen werden. Die Strahlungsintensität in Abhängigkeit von der Frequenz ist in dem folgenden Diagramm grafisch dargestellt.

Abbildung 4: Kosmische Hintergrundstrahlung gemessen vom Erdsatelliten COBE (Copyright Wikimedia)

Kosmische Hintergrundstrahlung gemessen vom Erdsatelliten COBE (Copyright Wikimedia)

Kosmische Hintergrundstrahlung gemessen vom Erdsatelliten COBE (Copyright Wikimedia)

Dieser gemessene Kurvenverlauf passt genau zum Strahlungsspektrum eines Planckschen Schwarzkörpers bei einer Temperatur von 2,73 Kelvin. Das ist sehr ungewöhnlich, weil kein anderes Objekt im Kosmos so genau der Funktion einer Schwarzkörperstrahlung folgt.

Ausserdem hat COBE die räumliche Verteilung der Strahlungsintensität (Temperatur) vermessen. Die CMB ist nahezu perfekt “isotrop” d.h. aus allen Richtungen kommt die gleiche Stahlung. Wenn etwas nicht mehr “isotrop” ist, nennt man das “an-isotrop”.  Erst bei starker Steigerung der Messgenauigkeiten konnte COBE solch winzige Fluktuationen feststellen. Messungen der Anisotropie der CMB sind also Messungen der Fluktuationen. Davon stammt das bekannte Bild, das die Fluktuationen farbkodiert zeigt:

Abbildung 5: COBE: Fluktuationen in der Kosmischen Hintergrundstrahlung (Copyright: Wikimedia)

Fluktuationen in der Kosmischen Hintergrundstrahlung

COBE: Fluktuationen in der Kosmischen Hintergrundstrahlung (Copyright: Wikimedia)

Das Bild stellt die CMB-Messungen in allen Richtungen als Kugeloberfläche in Mollweide-Projektion dar.

Bei geringerer Genauigkeit (±0,01 K), erscheint die CMB in der Tat völlig isotrop und homogen. Die Messungen des Satelliten COBE ergeben eine mittlere Temperatur der CMB von T0 =2,726 K. Die Messungen zeigten aber erstmals, dass die CMB nicht vollkommen isotrop ist. Kleine Fluktuationen (Anisotropien) sind in dem Bild sichtbar, die allerdings nahe an der Messgenauigkeit von COBE liegen. Die Messgenauigkeit liegt bei  \( \frac{\Delta T}{T_0} \approx 10^{-3} …  10^{-6}  \)

Quelle: http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/gebhardt/gebhardt_files/skripten/WS1314-BB/9.Fluktuation_der_Hintergrundstrahlung.pdf

Quelle: arXiv:astro-ph/9605054.

Messungen der CMB durch WMAP

Später hat die Raumsonde WMAP (Mission 2001-2010) noch genauere Messungen vornehmen können (±10-6 K). WMAP wurde am 30. Juni 2001 gestartet und auf dem Lagrange-Punkt L2 positioniert. Ursprünglich war der Name der Raumsonde MAP (Microwave Anisotropy Probe), sie wurde nach dem Tode von David Wilkinson (s.o.) in WMAP umbenannt.

Die Messungen durch WMAP und Planck zeigten in verscheidenen Richtungen minimale Schwankungen der Temperatur des CMB.

Abbildung 6: WMAP Cosmic Microwave Background Radiation (Copyright: G. Hinshaw, J. L. Weiland, R. S. Hill, arXiv:0803.0732v2)

WMAP Cosmic Microwave Background Radiation

WMAP Cosmic Microwave Background Radiation (Copyright: G. Hinshaw, J. L. Weiland, R. S. Hill, arXiv:0803.0732v2)

Die Mikrowellen-Karte des Himmels, die WMAP gemessen hat. Die Farbkodierung soll kleinste Schwankungen (Fluktuationen) der Temperatur der Hintergrundstrahlung verdeutlichen. Dabei werden Schwankungen im Bereich von Millionstel Kelvin sichtbar gemacht. Rötliche Farben signalisieren “wärmere” (+200 µK) und bläuliche “kältere” (-200 µK) Regionen.

Eine Region ist etwas kälter, weil die Massendichte dort etwas größer ist. Wenn eine Region etwas wärmer ist, kommt das davon, daß die Massendichte dort etwas geringer ist.
Was ist die Ursache für diese Dichteschwankungen? “Ausgefrorene Quantenfluktuationen” sagt man…

Messungen der CMB durch PLANCK

Nachfolger des 2009 abgeschalteten WMAP wurde die Raumsonde Planck.

Das Hauptziel der Planck-Mission ist, die kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung mit einer Winkelauflösung von 5 bis 10 Bogenminuten und einer Empfindlichkeit von einem Millionstel Kelvin abzubilden.

Im Jahre 2013 wurde PLANCK endgültig abgeschaltet, nachdem zuvor schon das flüssige Helium, das als Kühlmittel für ein Instrument (das HFI) diente, verbraucht war.

Abbildung 7: Verschiedene Messungen der Kosmischen Hintergrundstrahlung: (https://archive.briankoberlein.com/wp-content/uploads/cmb1.jpg)

https://archive.briankoberlein.com/wp-content/uploads/cmb1.jpg

https://archive.briankoberlein.com/wp-content/uploads/cmb1.jpg

Filterung der CMB-Messungen

Um so feine Schwankungen sichtbar zu machen, mussten vorher diverse störende Muster aus dem sog. Vordergrund herausgerechnet werden – man sagt “gefiltert” werden.

Bei der Filterung wollen wir als erstes starke lokale Radioquellen, wie z.B. den Crab-Nebel und andere Supernova-Überreste modellieren und subtrahieren.

Als nächstes modelliert man die Radiostrahlung unser Milchstraße als Ganzes und subtrahiert dieses Signal.

Die verbleibenden Messwerte zeigen dann noch ein auffälliges Dipolmuster: Das Maximum der Strahlung aus einer ganz bestimmten Richtung (ungefähr entgegengesetzt der momentanen Rotationsrichtung des Sonnensystems in der Milchstraße) ist deutlich blauverschoben, in entgegengesetzter Richtung rotverschoben (Dopplereffekt). Die beobachtete Temperaturdifferenz ist 3,353 mK. Das wird damit erklärt, dass sich unser Sonnensystem mit etwa 370 km/s gegenüber einem Bezugssystem bewegt, in dem die Strahlung isotrop ist. Dieses Dipolmuster (“Dipolanisotropie”) wird subtrahiert.

Stichworte: ILC (=Internal Linear Combination), Wiener Filter,…

Link: arXiv:1006.0916v1 [astro-ph.CO]

Deutung der Temperatur-Fluktuationen in der CMB

Quelle: http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/gebhardt/gebhardt_files/skripten/WS1314-BB/9.Fluktuation_der_Hintergrundstrahlung.pdf

Um die sehr kleinen Temperaturdifferenzen genauer zu untersuchen, stellt man die Messungen als sog. “Leistungsspektrum”, auch “Winkelleistungsspektrum” genannt, dar. Dazu werden immer zwei Messungen in einem bestimmten Winkelabstand gemacht und die Messwerte miteinander korreliert.

Abbildung 8: Leistungsspektrum der CMB (Copyright Wikipedia: PowerSpectrumExt.svg)

Leistungsspektrum (Copyright Wikipedia)

Leistungsspektrum (Copyright Wikipedia)

Vereinfacht gesagt ist auf der x-Achse (Abszisse) der Winkelunterschied von je zwei Messungen aufgetragen und auf der y-Achse (der Ordinate) der Temperaturunterschied der beiden Messungen. Das erste Maximum ist bei einem Winkelunterschied von ca. 0,9°, das zweite Maximum liegt bei einem Winkelunterschied von ca. 0,3°. Man nennt das auch “Angular Power Spectrum”. Die Analyse ist analog einer klassischen Fourier-Analyse in der Ebene.

Links: http://www.quantumfieldtheory.info/cmb_vers_2.pdf

Man kann diese Kurve nun vergleichen, mit entsprechenden Kurven, die sich aus bestimmten mathematischen Modellen der Entwicklung des Universums ergeben.
Das sog. Lambda-CDM-Modell zeigt bei bestimmter Wahl seiner Parameter eine gute Übereinstimmung mit diesem gemessenen Winkelleistungsspektrum.

Die Astrophysiker haben ein mathematisches Modell entworfen, das die Entwicklung des Universums seit dem Urknall beschreibt. Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate kann man die Modellparameter, die die beste Passung ergeben bestimmen. Das ganze nennt sich “Lambda-CDM-Modell”, was auch als “Standardmodell der Kosmologie” bezeichnet wird.

Die Parameter des Lambda-CDM-Modells

Das sog. Lambda-CDM-Modell zeigt bei bestimmter Wahl seiner Parameter eine gute Übereinstimmung mit dem von PLANCK gemessenen Winkelleistungsspektrum. Es liefert u.a. folgende Werte:

Tabelle 1: Parameter des Lambda-CDM-Modells

Parameter Wert Bemerkung
Alter des Universums 13,8 Mia Jahre
Hubble-Parameter
 67,7 km/s /Mpc heute
Baryonische Materie   4,9% „normale“ Materie
Dunkle Materie 25,9%
Dunkle Energie 69,1%
Zeit der Entkopplung/Rekombination 377 700 Jahre z=1090
…

Physik: Ideales Gas – Thermodynamik

dkracht

Gehört zu: Thermodynamik
Siehe auch: GeoGebra, Hertzsprung-Russel-Diagramm, Hydrostatisches Gleichgewicht, Wäremepumpe
Benutzt: WordPress-Plugin Latex, Grafiken von Github, Grafik von Wikipedia

Stand: 16.10.2022

Ideales Gas

ist ein hinreichend verdünntes Gas, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen (als elasischer Stoß) keinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.

Zur Idealisierung gehört auch, dass die Gasmoleküle als Punktmassen verstanden werden können. D.h. für die Bewegung hat man nur die drei Freiheitsgrade der Translation, keine Rotation und keine Oszillation.

Neben dem hier beschriebenen “Idealen Gas” gibt es natürlich auch ein Nichtideales Gas und auch ein Entartetes Gas und noch schlimmer ein Relativistisches entartetes Gas. Diese Begriffe werden gerne bei der Untersuchung von sog. Elektronengas benutzt.

Bei einem “Idealen Gas” gilt als Zustandsgleichung die sog. “Ideale Gasgleichung” (s.u.). Bei einem entarteten Gas hängt die Zustandsgröße Druck nicht mehr von der Temperatur ab, sondern nur noch von der Dichte.

Links:

Boyle-Mariotte

Robert Boyle und Edme Mariotte fanden unabhängig von einander 1662 bzw. 1676  das nach ihnen benannte Boyle-Mariotte’sche Gesetz:

\( p \cdot V = const. \\\ \)

Wobei die Temperatur konstant gehalten wird (und auch die Stoffmenge) und zwar dadurch dass man die Veränderungen im Volumen ganz langsam durchführt, sodass immer wieder das thermodynamisches Gleichgewicht mit der Umgebung erhalten bleibt.

Siehe auch: GeoGebra

Abbildung 1: Das Boyle-Mariottesche Gesetz  (Github: Boyle-Marriot-Gesetz.svg)

Boyle-Marriot-Gesetz.svg

Boyle-Marriot-Gesetz (GeoGebra Classic)

Gay-Lussac

Wenn man nun den Druck konstant hält (und auch die Stoffmenge gleich bleibt) und dann die Temperatur variiert, bekommt man das Gay-Lussac (1787-1850) Gesetz.
Lord Kelvin (1824-1907) hatte 1848 die absolute Temperaturskala vorgeschlagen, wodurch sich das Gay-Lussac’sche Gesetz sehr einfach in seiner heutigen Form schreiben lässt:

\( \frac{V}{T} = const. \\\ \)

Wobei hier T die absolute Temperatur ist …

Siehe auch: GeoGebra

Abbildung 2: Das Gay-Lussacsche Gesetz (Github: Gay-Lyssac-Gesetz.svg)

Gay-Lussac-Gesetz.svg

Gay-Lussac-Gesetz – Dietrich Kracht 21.3.2021 GeoGebra Classic

Amontos

Der fanzösische Physiker Guillaume Amontos (1663-1705) entdeckte schon sehr früh die Proportionalität von Druck und Temperatur – bei konstantem Volumen und konstanter Stoffmenge.

\( \frac{p}{T} = const. \)

Avogadro

Auf Amadeo Avogadro (1776-1856) geht zurück:

\( \frac{V}{n} = const. \\ \)

Wenn man also den Druck und die Temperatur konstant hält, ist das Volumen V proportional zur Stoffmenge n.

Ideale Gasgleichung

Zusammengefasst (Boyle-Mariotte, Gay Lussac, Amontis, Avogadro), ergibt sich:

\( \frac{p \cdot V}{n \cdot T} = const. \\\)

Etwas umgeschrieben ist das die berühmte Zustandsgleichung für ideale Gase:

\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T   \\ \)

Dabei ist p der Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge (messen wir in mol), R die allgemeine Gaskonstante (8,3145 Joule/(mol*Kelvin)) ist und T die absolute Temperatur ist.
Interessant dabei ist, dass dies unabhängig von der Art des Gases ist – also Helium, Stickstoff etc.  Es muss einfach nur ein “ideales Gas” sein. Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.

Wenn wir die Stoffmenge n mit der Avogadroschen Zahl NA  (6,02214076 1023 mol-1) in eine Teilchenzahl N umrechnen, also:

\( N = N_A \cdot n \)

bekommen wir als Gasgleichung (mit der Avogadroschen Zahl):

\( p \cdot V = N \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T   \\\ \)

Später werden wir sehen, dass \( \frac{R}{N_A} = k_B \) die sagenhafte Boltzmann-Konstante ist.

Anwendung der idealen Gasgleichung

Masse und Stoffmenge

Häufig kommt es vor, dass wir die Masse kennen und daraus aber die Stoffmenge ermitteln müssen.

Hilfreich ist dabei die mittlere molare Masse des betrachteten Gases:

\( \mu = \frac{Masse}{Stoffmenge} \\\)   (also in kg/mol)

Die Masse von Atomen bekommt man aus dem Periodensystem (in sog. Atomaren Einheiten). Allerdings steht dort das Mittel aus den in der Natur vorkommenden Isotopen, gewichtet mit ihren natürlichen Häufigkeiten.
Für Moleküle muss man die Massen der enthaltenen Atome addieren. Die so ermittelte Atommasse eines Moleküls ist in sehr guter Näherung die Masse von einem Mol in Gramm (Beispiele s.u.).

Abbildung 3: Periodensystem der Elemente (aus Google gemeinfrei https://de.wikipedia.org/wiki/Periodensystem)

Die Atommasse wird in sog. “atomaren Einheiten” mit dem Formelzeichen “u” angegeben. 1 u ist definiert als 1/12 der Masse eines isolierten  12C-Atoms im Grundzustand.
Wenn wir die Masse eines 12C-Atoms messen, erhalten wir damit die Umrechnung in Gramm:

\( 1u = 1,66053906660*10^{-24}g \)

Um die Molare Masse eines Stoffes zu ermitteln, müssen uns fragen, welche Masse 1 mol des betrachteten Stoffes hat. Dazu ermitteln wir die Masse (Atommasse) eines Moleküls und multiplizieren die mit der Anzahl Moleküle in 1 mol, also mit der Avogadroschen Zahl NA = 6,02214076*1023 mol-1.

Die folgenden Beispiele wurden angeregt durch:

Abbildung 4: Ideale Gasgleichung

Beispiel: Methan CH4

Aus dem Periodensystem bekommen wir die Atommassen.
Ein Kohlenstoffatom (C) hat die Atommasse 12,011u  (gewichtetes Mittel der natürlichen C-Isotope)
Vier Wasserstoffatome (H) haben die Atommasse 4 x 1,0080u
Zusammen hat also ein Molekül Methan eine Atommasse von 16,033u = 26,62343782*10-24 g
Multipliziert mit der Avogadroschen Zahl (der Anzahl Molekülen in 1 mol), ergibt das: 16,033 g

Was sagt uns das?

Erstens sehen wir, dass die neue Definition der Einheit mol im SI-System von 2019 “1 mol = eine Stoffportion bestehend aus NA Teilchen” gut übereinstimmt mit der alten Definition “1 mol = Atommasse in Gramm”.

Zweitens können wir jetzt mit der Gasgleichung ausrechnen, wieviel Volumen unser Methan unter “Laborbedingungen” (20° C und 1 atm) einnimmt.

Als Beispiel nehmen wir:

  • Masse Methan: m = 0,1 g
  • Molare Masse Methan: M= 16,003 g/mol
  • Stoffmenge Methan: n = 0,1/16,033 mol =0,00625 mol
  • Temperatur: T = 293,15 K  (20° C)
  • Druck: p = 101,325 kPa = 101325 Pa = 101325 N m-2 (1 atm)
  • Gaskonstante R = 8,314 J mol-1 K-1

Dann können wir mit der idealen Gasgleichung das Volumen berechnen:

\( V = \frac{n \cdot R \cdot T}{p} = \frac{0,00625 \cdot 8,314 \cdot 293,15}{101325} m^3 = 0,000157 m^3\\\)

Das Methan nimmt also unter Laborbedingungen ein Volumen von 0,157 Liter ein.

Kinetische Energie

Wenn wir die Kinetik der Moleküle betrachten, also die Bewegungen, entsteht der Druck durch Impulsübertrag auf die Aussenwand des Gefäßes.

Das Gesetz von Bernoulli sagt dafür:

\( p = \frac{1}{3} \cdot n \cdot \mu \cdot <v^2> \\\ \)

wobei n hier die Teilchendichte, also Anzahl Teilchen pro Volumen, ist und die spitzen Klammern für den Mittelwert stehen..

Wenn wir diese Gleichung mit V multiplizieren, erhält man:

\( p \cdot V = \frac{1}{3} \cdot N \cdot \mu \cdot <v^2> = \frac{2}{3} \cdot N \cdot <E_{kin}> \\\ \)

wobei N die Anzahl der Teilchen ist.

Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls eines Idealen Gases (also nur translatorische Bewegung in drei Freiheitsgraden) ist:

\( <E_{kin}> = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \\\ \)

Ausblick:

  • Auf dieser Basis wird die physikalische Größe “Temperatur” dann als “thermodynamische Temperatur” beliebiger Substanzen wirklich definiert.
  • Zusätzlich zum Mittelwert von Geschwindigkeiten bzw quadrierten Geschwindigkeiten wird auch noch die Breite der Verteilung von Interesse sein, was uns zur Maxwell-Verteilung führen wird…

Flüssigkeiten

Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von einer Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.

Das Jeans-Kriterium

Das Jeans-Kriterium, benannt nach James Jeans (1877-1946), soll ja angeben, unter welchen Bedingungen eine Gaswolke im Universum unter dem Einfluss ihrer Gravitation kontrahiert, dabei wärmer wird und ggf. eine Kernfusion “zündet”.

Zur Abschätzung der kritischen Jeans-Masse bieten sich zwei Wege an:

  1. Druck: Gasdruck = Gravitationsdruck
  2. Energie: Potentielle Energie = Kinetische Energie

Vergleiche hierzu auch: Hydrostatisches Gleichgewicht

Gasdruck

Wir betrachten eine kugelförmige (Radius R) homogene Gaswolke der Masse M.

Der Gasdruck ist nach der idealen Gasgleichung (s.o.):

\( p = \frac{N}{V} \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T \\\ \)

Ein Teilchen (Gasmolekül) habe nun die Masse μ. Dann gilt für die Masse:

\( M = N_A \cdot n \cdot \mu = N \cdot \mu \\\ \)

Die Dichte der Gaswolke ist demnach:

\( \rho = \frac{M}{V} = \frac{N \cdot \mu}{V} = \frac{N}{V} \mu \\\ \)

Also ist

\( \frac{N}{V} = \frac{\rho}{\mu} \)

Wenn wir das oben einsetzen ergibt sich:

\(\Large p_{Gas} = \frac{\rho}{\mu} \cdot k_B \cdot T \\\ \)

Gravitationsdruck

Der Gravitationsdruck ist (will ich noch richtig ausrechnen, mit Integral und so):

\( \Large p_{grav} = \frac{3 G M^2}{8 \pi r^4} \\\ \)

Jeans-Masse

Wann ist der Gravitationsdruck mindestens genauso groß wie der Gasdruck?

\( M_{Jeans} = \sqrt{\frac{6}{\pi}} \sqrt{\frac{1}{\rho} (\frac{k_B T}{G \mu})^3}\\\ \)

Für eine Gaswolke aus atomaren Wasserstoff ergibt sich mit doppelt logarithmischen Skalen folgendes Bild:

Abbildung 5: Die Jeans-Masse (Github: JeansMasse.svg)

JeansMasse.svg

Jeans-Masse Dietrich Kracht 24.3.2021

Beispielsweise können wir ablesen: Eine Gaswolke (atomarer Wasserstoff) von 10 Sonnenmassen würde bei einer Dichte von 10-16 kg/m³ und einer Temperatur von 10 K anfangen sich unter ihrer eigenen Gravitation zusammen zu ziehen…

Physik: Stoffmenge

dkracht

Gehört zu: SI-Einheiten
Siehe auch: Thermodynamik

Die physikalische Größe “Stoffmenge”

Die physikalische Größe Stoffmenge wird in Mol gemessen. Auf der Schule (ca. 1960) hatte ich gelernt: 1 Mol ist das Atomgewicht in Gramm.

Im SI-System ist als Maßeinheit für die Stoffmenge das Mol festgelegt.

1971: Ein Mol ist die Menge einer Substanz, in der gleichviel Moleküle sind, wie in 12 g von Kohlenstoff 12C.

2019: Eine Stoffmenge von 1 Mol (= 1 mol) enthält die durch die Avogadro-Konstante (NA = 6.02214076 * 1023 mol−1) festgelegte Teilchenzahl. Die Avogadro-Konstante ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der Stoffmenge und der Teilchenzahl N(X). Teilchen können hier Atome, Ionen, Moleküle, Formeleinheiten oder auch Elektronen sein. Formelzeichen und Teilchenart X werden zusammen als nX oder n(X) angegeben.

Avogadro

Der italienische Physiker Amedeo Avogadro (1776-1856)  erkannte bereits 1811, dass gleiche Volumina verschiedener idealer Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl Moleküle enthalten. Dies nennt man das Avogadrosche Gesetz.

Die Anzahl der Moleküle in einer Stoffmenge von 1 mol nennt man die Avogadro-Konstante. Die SI-Einheit 1 Mol wurde so festgelegt, das die Avogadrosche Zahl exakt:

NA = 6.02214076 * 1023 mol−1

beträgt.

Wenn man die Stoffmenge n einer Gaswolke kennt, kann man also die Teilchenzahl N in dieser Gaswolke berechnen als:

\( N = N_A \cdot n \\\ \)

Anwendung in der Chemie

Bei chemischen Reaktionen schreibt mal ja als Reaktionsgleichung auf, mit welchen Molekülen eine chemische Reaktion abläuft. Beispielsweise wird aus Aluminiumcarbid und Wasser Methan und Aluminiumhydroxid:

\( Al_4C_3 + 12 H_2O \to 3 CH_4 + 4 Al(OH)_3 \)

Was die Stoffmengen betrifft heist das, dass aus 1 Mol Aluminiumcarbid durch Zugabe von Wasser 3 Mol Methan entstehen.

Entnommen aus dem Youtube-Video: https://www.youtube.com/watch?v=dGsxo05xR7g

Die molare Masse M eines Stoffes ist die Masse pro Stoffmenge oder, anders gesagt, der Proportionalitätsfaktor zwischen Masse m und Stoffmenge n.

\( m = M \cdot n \\\ \)

Die SI-Einheit ist kg/mol; in der Chemie ist g/mol üblich.

Anwendung in der Thermodynamik

In der Thermodynamik haben wir die Ideale Gasgleichung…

Physik: Kernfusion – Nukleosynthese

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Sonne, Atomphysik, Weisser Zwerg, Kosmologie, Hertzsprung-Russel-Diagramm
Benutzt: WordPress-Plugin Latex, Bilder von Wikimedia, Fotos von Google Archiv

Stand: 20.12.2022 (Hertzsprung-Russel-Diagramm)

Kernfusion – Nukleosynthese

Durch die Verschmelzung (Fusion) leicherer Atomkerne (z.B. Wasserstoff) zu schwereren Atomkernen (z.B. Helium) kann Energie gewonnen werden, da ein kleiner Teil der Masse in Energie umgewandelt wird; nach der berühmten Formel von Einstein:

\( E = m \cdot c^2 \)

Damit solche Prozesse ablaufen können, sind ziemlich hohe Temperaturen bzw. Drücke erforderlich. Solche Bedingungen herrschen regelmäßg in Inneren von Sternen (Stellare Nukleosynthese) und bei Supernova-Explosionen, sollen aber auch kurz nach dem Urknall und noch vor der Bildung von Sternen geherrscht haben. Letzteres nennt man die Primordiale Nukleosynthese.

Durch Fusion wird Energie gewonnen, solange die Bindungsenegie pro Nukleon mit zunehmender Nukleonenzahl im Atomkern größer wird; also bis zum Eisen (Fe), wie die Grafik zeigt. Mit schwereren Atomkernen kann man dann Energie nur durch Spaltung gewinnen.

Im Inneren von Sternen finden solche Kernfusionsprozesse statt. Man spricht gerne auch vom “Brennen”; damit ist aber immer eine Kernfusion gemeint.

Abbildung 1: Bindungsenegie pro Nukleon (Wikimedia: Binding_energy_curve_-_common_isotopes-de.svg)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Binding_energy_curve_-_common_isotopes-de.svg

Mittlere Bindungsenergie pro Nukleon in Abhänggkeit von der Größe des Atomkerns (Copyright Wikimedia)

Primordiale Nukleosynthese

Nach dem sog. Standardmodell der Kosmologie haben sich kurz nach dem Urknall aus einem Quark-Gluon-Plasma zuerst Protonen und Neutronen in gleicher Anzahl gebildet.

Freie Neutronen zerfallen im sog. Beta-Zerfall in ein Proton und ein Elektron mit einer Halbwertszeit von ca. 10 Minuten:

\( n \to p + e^- + \bar{\nu_e} \)

Etwa 5 Minuten nach dem Urknall sind die Temperatur und die Teilchendichte im Universum durch die Expansion so weit abgesunken, dass eine weitere Helium-Synthese (aus Wasserstoffkernen bilden sich Heliumkerne 4He) nicht mehr möglich ist. Die Reaktionsketten laufen nur so lange, bis das Plasma entsprechend abgekühlt ist. Damit endet die Phase der Primordialen Nukleosynthese.

Beim Endzustand der Primordialen Nukleosynthese errechnet man die Anteile von Wasserstoffkernen bzw. Heliumkernen von 75% bzw. 25% (Massenanteile).

Kernfusion im Inneren von Sternen (Stellare Nukleosynthese)

Damit es zur Verschmelzung von Atomkernen kommt, muss die Abstoßungskraft der elektrisch ja gleichartig (positiv) geladenen Kerne überwunden werden. Dazu benötigt das Plasma eine hohe Temperatur und einen hohen Druck. Die Fusion von Wasserstoff zu Helium “zündet”, wenn im Inneren des Sterns die notwendige Temperatur von ca. 10 Millionen Kelvin erreicht sind.

Bei entsprechend höheren Temperaturen “zünden” auch Fusionsprozesse mit anderen Elementen wie die nachfolgende Tabelle zeigt. Dort ist ein Stern mit 40-facher Sonnenmasse zugrunde gelegt.

Tabelle 1: Kernfusionsprozesse in Sternen

Ausgangsmaterial Prozesse Endprodukte “Asche” Temperatur
Mio Kelvin		 Min. Masse Dauer bei 40 Sonnenmassen
Wasserstoff p-p-Prozess Helium 10-40 0,08 10 Mio Jahre
Helium 3 Alpha Kohlenstoff 100-190 0,25 1 Mio Jahre
Kohlenstoff Sauerstoff, Neon, Magnesium 500-740 4,0 10.000 Jahre
Neon Sauerstoff, Magnesium 1.600 10 Jahre
Sauerstoff Silizium 2.100 5 Jahre
Silizium Eisen 3.400 1 Woche

Wenn der Wasserstoff vollständig zu Helium fusioniert wurde, fällt diese Energiequelle weg. Der Stern kontrahiert etwas und die Temperatur im Inneren steigt an.  Es kann zunächst zu einem sog. Schalenbrennen kommen, wo Wasserstoff in einer Schale zu Helium fusioniert wird. Durch das Schalenbrennen steigt der innere Strahlungsdruck wieder stark an und der Stern dehnt sich aus zum sog. “Riesen”.
Wenn dann die Temperatur im Inneren (im Kern) ausreicht, kann die nächste Fusionstufe “zünden” und das Helium im Kern kann zu Kohlenstoff fusioniert werden

Wenn die Temperatur nicht ausreicht, um weitere Kernfusionen zu “zünden”, kann der Stern keine Energie mehr erzeugen und kollabiert zum Weissen Zwerg, der nur noch langsam seine vorhandene Wärmeenegie abgibt…

Bei unserer Sonne endet diese Serie mit dem sog. Heliumbrennen im Kern. Der Kohlenstoffkern kann nicht mehr weiter “zünden”, da die erforderliche Temperatur nicht erreicht wird.

Bei massereichen Sternen wird durch die Kontraktion die Temperatur soweit erhöht, das dann das Helium ein einer Schale um den Kern “züdet”, also dort Helium zu Kohlenstoff fusioniert, wo es heiss genug ist. Wir haben dann ein typisches Helium-Schalenbrennen.

Abbildung 2: Schalenbrennen in einem AGB-Stern (Google Drive: agb-schematic.jpg)


Copyright: Falk Herwig, University of Victoria http://www.astro.uvic.ca/~fherwig/sevol.html

http://www.astro.uvic.ca/~fherwig/sevol.html

Temperatur und kinetische Energie

Gemäß SI-System ist die thermodynamische Temperatur (T) durch die mittlere thermische Enegie (E) eines freien Teilchens definiert:

\( E_{therm} = k_B \cdot T \\\)

Wobei die Bolzmankonstante festgelegt wird zu:

kB = 1,38064852 10-23 J/K

bzw. in eV:

kB = 8,61733262 10-5 eV/K

Bei einem punkförmigen Teilchen verteilt sich die mittlere kinetische Engergie zu gleichen Anteilen auf seine 3 Freiheitsgrade:

\( \langle E_{kin} \rangle = \frac{3}{2} \cdot E_{therm} = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \\\)

Für die Entwicklungs des Universums vom Urknall bis zur Kosmischen Hintergrundstrahlung bedeutet dies:

(Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Primordiale_Nukleosynthese)

Tabelle 2: Abkühlung des frühen Universums

Zeit nach Urknall Temperatur Kinetische Energie Bemerkung
1/100 Sekunde 10 Milliarden K 1,3 MeV Quarks kondensieren zu Protonen und Neutronen 1:1
1 Sekunde 600 Millionen K 80 keV erstmals können sich (instabile) Deuteronen bilden
60 Sekunden 60 Millionen K 8 keV stabile Bildung von Deuteronen
… … … …
105215 K 13,6 eV Waserstoffatome vollständig ionisiert (Grundzustand)
380000 Jahre 3000 K 0,4 eV Rekombination: kosmische Hintergrundstrahlung entsteht

 

Computer: Notizen mit OneNote

dkracht

Gehört zu: Computer
Siehe auch: Notizbuch, Evernote, Microsoft Office, Cloud-Speicher

Software für Notizen: Microsoft OneNote, Evernote,…

Bei Microsoft wird die Funktion “Notizen” (Note Taking) nicht so klar mit Software unterstützt. Viel besser macht es die Spezial-Software Evernote.

Nun bietet Microsoft eine Vielzahl von Varianten seiner “OneNote” genannten Software zusammen mit Microsoft Office an.

Vorgänger von OneNote soll Microsoft Journal gewesen sein…

Auch Google bietet mit “Google Notebook” bzw. “Google Keep” etwas Ähnliches an – für die Betriebssysteme Android und ChromeOS….

Versuch mit Microsoft OneNote

Microsoft-Account

Man benötigt einen Microsoft-Account. Damit bekommt man kostenlos eine kleine Cloud von 5 GB. Einige Funktionen von OneNote benötigen dies – zumindestens zeitweise für die Einrichtung.

Im Zusammenhang mit meinem Office365-Abo habe ich ja bereits einen Microsoft-Account mit einem Cloud-Speicher von 1 TB.

Datenmigration von Evernote zu OneNote

Für die Import-Funktion muss ich einen separate Software den StartOneNoteImporter.exe von der Website www.OneNote.com herunterladen.

Das Ziel eines Imports ist dann immer meine OneDrive Cloud, bei der ich mich ersteinmal anmelden muss; alle importierten Notizbücher landen dort im Ordner “Dokumente”.    https://d.docs.live.net/4794afcd190435c9/Dokumente

Als Quelle eines Imports kann man entweder Notizbücher aus dem lokal installierten Evernote auswählen oder man kann  mit dem Importer einzelne .enex-Dateien nach OneNote importieren. Der Import von Evernote ist also sehr flexibel und geht auch schnell. Meine 2476 Evernote-Notizen habe ich weniger als 2 Stunden in OneNote importiert.

Lokale Kopie von OneNote-Notizbüchern

Nun hat man alle seine Evernote-Notizbücher in die Microsoft OneDrive-Cloud (Ordner “Dokumente”) importiert. Ich möchte diese nun auf mein lokales Notebook herunterladen, weil ich auch “disconnected” d.h. ohne die Cloud, arbeiten möchte…

Mein erster Ansatz um zu lokalen Kopien der OneNote-Notizbücher zu kommen, ist die OneDrive-Synchronisation. Da kommen aber auf meiner lokalen Platte nicht die Dateien an sondern “nur” Shortcuts auf die auf der Cloud befindlichen Notizbücher. Das will ich ja nicht. Ich will “echte” Kopien meiner OneNote-Dateien haben.

Mein zweiter Ansatz ist “Herunterladen”. OneDrive gestattet es wohl, lokale Dateien auf OneDrive hochzuladen, das Herunterladen einzelner Dateien auf das lokale Notebook ist aber nicht so ohne Weiteres möglich. OneDrive erlaubt der Funktion “Herunterladen” nur für Ordner und nicht für einzelne Dateien.

Also behelfe ich mir zunächst damit, dass ich einen extra Ordner namenes “temp” auf OneDrive einrichte in den ich dann eine gewünschten eiznelnen OneDrive-Dateien kopiere und dann diesen Ordner herunterlade. Auf dem lokalen Notebook kommt dann ein ZIP-Archiv namens “temp.zip” an. Darin befinden sich tatsächlich meine OneDrive-Dateien, die ich an die gewünschte Stelle auf meinem Notebook kopieren kann. Pro Notizbuch kommt dann ein Ordner mit folgendem Inhalt an. Beispielsweise sieht das bei meinem Notizbuch “Afrika” so aus:

  • Ordner Afrika, darin folgendes:
    • Ordner OneNote_RecycleBin
    • Datei Notizbuch öffnen.onetoc2
    • Datei Pages 1-100.one
    • Datei Pages 201-200.one

Nun kann ich tatsächlich auf die Datei “Notizbuch öffnen.onetoc2” doppel-klicken und das Notizbuch wird mir im OneNote Desktop angezeigt. Hurra! Die Evernote-Notizen werden dabei offensichtlich in Päckchen a max. 100 Stück in OneNote-Abschnitte importiert (altenativ: je Evernote-Tag ein neuer Notizbuch-Abschnitt – da muss man seine Evernote-Tags super aufgeräumt haben).

Nun kommt eine neue Überraschung. Die Notizbücher (Abschnitte, Notizen) können nicht bearbeitet werden, sie sind schreibgeschützt. Ein Textbalken am oberen Rand sagt es uns genau:

Dieser Abschnitt kann nicht bearbeitet werden, da er in einem Archivformat vorliegt. Klicken Sie hier um die Bearbeitung zu aktivieren.

Wenn man nun darauf klickt, wird garnichts “aktiviert”, nein man wird jetzt aufgefordert, die Notizen irdendwo hin zu kopieren. Aber wohin denn bloss? Das liegt am verwendeten OneNote-Client. Als Client gibt es nämlich:

  • den Internet-Browser  “OneNote Online“
  • eine lokale Software (stand alone) “OneNote Desktop“
  • und einen “OneNote 2016“, das Bestandteil on Office 2016 ist.

Nur mit der letzteren OneNote-Client-Version kann man lokale Notizbücher anlegen, öffnen etc…

OneNote-Versionen und Speicherorte:

Fast alle der derzeit acht(!) unterschiedlichen OneNote-Versionen erlauben nur Microsofts Cloud-Speicher OneDrive als Lagerort für Notizbücher. Manche lassen auch SharePoint-Bibliotheken zu; nur eine unterstützt auch das Speichern auf lokalen Datenträgern oder im LAN. Hier eine Übersicht:

Tabelle 1: Übersicht OneNote-Versionen

Quelle: http://onenote-blog.de/wolkenlos-onenote-ohne-onedrive/

Verschiedene Funktionen bei OneNote

Notizen sortieren: Die Notizen eines Notizbuch-Abschnitts können leider nicht auf Knopfdruck sortiert werden (nach Titel, nach Datum etc.) das muss man bei OneNote mit der Hand machen – Microsoft seid ihr noch bei Troste?

Liste der Notizbücher: Das OneNote Desktop merkt sich zwar alle von mir geöffneten Notizbücher (in einem Dropdown), zeigt die Liste der Notizbücher aber nicht auf der Oberfläche an – schade, bei Evernote ist das praktischer…

Seitenregister links: Das findet man in: One Note Optionen -> Anzeige

Neues Notizbuch: Anlegen eines neuen Notizbuchs:

  • Menüleiste -> Datei -> Neu
  • Nun den “Ort” also “OneDrive” oder “Computer” auswählen  – – – > diese Auswahl ist ganz wichtig, wenn man z.B. nicht in die Cloud will, sondern lokal
  • Namen für das neue Notizbuch eingeben
  • Klicken auf Schaltfläche “Notizbuch erstellen”

In welchem Ordner eine neues Notizbuch erstellt wird, bestimme ich vorher durch:

  • Menüleiste -> Datei -> Optionen -> Speichen und Sichern -> Notizbuch Standardspeicherort ->  Speichern

Synchronisation: Ausschalten der automatischen Synchronisation

  • Menüleiste -> Datei -> Informationen -> Snychronisationsstatus anzeigen -> manuell

Power Toys

Es gibt einige nützliche Tools für OneNote, z.B. bei: http://www.onenote-tips.com/powertoys.html

Hier findet man z.B.: OneNote2007SortPages.zip

OneTastic:  https://getonetastic.com/download

OneTastic Sort Pages: https://getonetastic.com/macroland&id=091883EFBE344BFCBE73A7E113FE0190

Web-Clipper

Einen Web-Clipper gibt es für praktisch alle Web-Browser; auch Mozilla Firefox wird unterstützt.

Im Mozilla Firefox sieht man oben rechts ein kleines OneNote-Symbol, das man klicken kann, um die aktuelle Web-Seite als OneNote-Notiz auszuschneiden….

Der OneNote-Web-Clipper bietet drei alternative Möglichkeiten:

  • Ganze Seite:  Es wird ein Screenshot erstellt; d.h. die Notiz sieht dannn schön aus, aber aus den Texten sind Pixel geworden   – schlecht
  • Bereich: Es wird ein Screenshot erstellt; d.h. die Notiz sieht dannn schön aus, aber aus den Texten sind Pixel geworden   – schlecht
  • Artikel: Es wird der Text der Web-Seite als Notiz kopiert; die Bilder sind futsch!    – auch schlecht

Die “geclippte” Notiz erhält automatisch Datum und Uhrzeit und am Ende einen Link auf die Original-Web-Seite.

Alternativ muss kann man die Notiz manuell erstellen und sich mit “Cut & Paste” die schönen Stücke aus der Web-Seite holen…..

Synchronisation der Notizbücher

OneNote hat einen eigenen Mechanismus zur Synchronisation der Notizbücher mit der Cloud. Die in der Microsoft-Cloud “OneDrive” vorhandene generelle Synchronisationsmöglichkeit für beliebige Dateien ist ein eigen Ding.

 

Physik: Die Heisenbergsche Unschärferelation

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenphysik, Wellenfunktion

Stand: 7.3.2021

Die Heisenbergsche Unschärferelation

Werner Heisenberg (1901-1976) gilt als Begründer der mathematischen Quantenmechanik.

Berühmt geworden ist seine sog. Unschärferelation (uncertainty principle).  Die Aussage der Quantenphysik ist, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Das bekannteste Beispiel für ein Paar solcher Eigenschaften sind Ort und Impuls.

\( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \\ \)

Dabei ist die Messung des Impulses (Teilcheneigenschft) gleichzusetzen mit der Messung der Wellenlänge (Welleneigenschaft); s. unten De Broglie.

Die Heisenbergsche Unschärferelation hat nichts mit der Messgenauigkeit oder Beeinflussungen einer Messung durch Messvorrichtungen zu tun, sie ergibt sich aus dem Welle-Teilchen-Dualismus: Ein Teilchen hat danach sowohl Teilchen-Eigenschaften als auch Wellen-Eigenschaften. Die Wellennatur der Materie selbst führt zur Unbestimmtheit ihrer Teilcheneigenschaften.

Man beschreibt ein Teilchen dann als Wellenpaket, bei dem wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Messung physikalischer Größen (sog. Observable) haben. Mit solchen Schreibweisen wie Δx ist in Wirklichkeit die Standardabeichung σ der Verteilung von x gemeint.

Materiewellen

Louis de Boglie (1892-1987) beschreibt den Welle-Teilchen-Dualismus ja durch sein berühmte Formel:

\( p = \frac{h}{\lambda} \\ \)

Die Messung des Impulses ist also gleichzusetzen mit der Messung der Wellenlänge. Wenn ich aber die Wellenlänge genau messe, ist der Ort der Welle sehr unbestimmt.

Komplementäre Eigenschaften im Sinne Heisenbergs sind z.B.

  • Ort und Impuls (Geschwindigkeit)
  • Energie und Zeit
  • xxx

Physik: Quantenmechanik – Materiewellen

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch:   Quantenphysik , Quantenfeldtheorie, Potential
Benutzt: Videos von Youtube

Stand: 25.09.2024 (photoelektrischer Effekt, Compton-Streuung, Kopenhagener Deutung)

Quantenmechanik: Materiewellen

Die Idee eines Welle-Teilchen-Dualismus entstand Anfang des 20. Jahrhunderts weil einige Experimente mit elektromagnetischer Strahlung (z.B. Licht) sich nicht allein aus der bis dahin geltenden Wellennatur des Lichts (siehe das berühmte Doppelspalt-Experiment von Young 1802) erklären liessen.

Experimente, die nur durch den Teilchencharakter von Licht gut erklärt werden konnten waren (u.a.):

  • Der photoelektrische Effekt
  • Die Compton-Streuung

Louis de Broglie (1892-1987) postulierte im Jahre 1924 den Welle-Teilchen-Dualismus. Das war die kühne Idee, dass jedes Materieteilchen gleichzeitig auch einen Wellencharakter haben muss;  z.B. auch Elektronen.

Aus der Planck-Formel:

\( E = h \nu \)

und der Einsteinschen Energie-Masse-Äquivalenz:

\( E = m c^2 \)

ergibt sich rein rechnerisch die berühmte De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens der Masse m bzw. einem Impuls von p bei einer Geschwindigkeit von c.:

\( \lambda = \Large\frac{h}{p} \)

Einstein: Energie-Masse-Äquivalenz

Genaugenommen ist die aus der speziellen Relativitätstheorie bekannte Formel:

\( E = m c^2 \)

nur eine Näherung. Richtg müsste es heissen:

\( E^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2 \)

So erfordert es die Einstein’sche Spezielle Relativitätstheorie.

Die Lösungen sind periodische ebene Wellen.

In der Quantenfeldtheorie (QFT). muss dann jedes Elementarteilchen diese Gleichung erfüllen; denn in der QFT berückrichtigen wir ja erstmals die Spezielle Reletivitätstheorie (was wir in der Quantenmechanik ja nicht taten).

De Broglie Wellenlänge

Gemäß des Welle-Teilchen-Dualismus kann ein Teilchen mit dem Impuls p auch als Welle (Materiewelle) der De-Broglie-Wellenlänge

\( \lambda = \frac{h}{p} \)

aufgefasst werden.

Der Quantenmechaniker verwendet statt der Wellenlänge gern die sog. Wellenzahl:

\( k = \frac{2 \pi}{\lambda} \)

und statt des originären Planck’schen Wirkungsquantums h, gerne das sog. reduzierte Wirkungsquantum:

\( \hbar = \frac{h}{2 \pi} \)

Damit können wir den Impuls also schreiben als: \( p = \hbar k \)

bzw. die Wellenzahl als: \( k = \frac{p}{\hbar} \)

und kommen damit zur einer ebene Welle:

\( \Psi(x) = e^{i k x} \)

Die Wellenfunktion

Materieteilchen haben demnach auch einen Wellencharakter. Diese Wellen nennt man “Materiewellen“, die durch Wellenlänge (s.o.) und insgesamt durch eine Wellenfunktion beschrieben werden. Man kann sich dann fragen, was da eigentlich als Welle schwingt. Eine Interpretation der Materiewellen ist, das es Wahscheinlichkeitswellen sind (s. Kopenhagener Deutung).

Wenn demnach Materieteilchen auch Wellencharakter haben können, fragt man sich natürlich nach einer “klassischen” Wellenfunktion als Lösung einer Wellengleichung. Ernst Schroedinger fand später dazu seine berühmte Schroedinger-Gleichung.

Computer: Google Docs, Sheets, Slides

dkracht

Gehört zu: Google
Siehe auch: Google, Office Software, Lagrange-Punkte, Google Drive, WordPress
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 10.10.2023

Meine Ideen zu Google Docs, Sheets, Slides etc.

Viele Dienste von Google basieren auf “Google Drive“. Man kann beliebige Dateien auf seinem Google Drive speichern; sie sind dann in der “Cloud” und können auch für andere “freigegeben” werden.

Mit sog. Google-Apps kann ich Office-Dokumente wie Text (“Docs”), Tabellenkalkulationen (“Sheets”), Präsentationen (“Slides”) im Internet (in der Google Cloud)  im Web-Browser bearbeiten. So gespeicherte Dokumente kann ich auch für andere sichtbar machen, insbesondere auch aus meinem WordPress-Blog heraus per Link referenzieren.

Die Bearbeitung von solchen Dokumenten kann also auf unterschiedlichen Endgeräten an unterschiedlichen Orten von unterschiedlichen Personen vorgenommen werden.

Frage: Wie sieht das mit Zeichnungen (Vektor-Grafik), Fotos, Formeln , Landkarten/Stadtplänen, GPS-Tracks, Mindmaps, LaTeX-Formeln etc. aus?

Beispiel 1: Eine Tabellen-Datei auf meinem Google Drive

Eine Tabellen-Datei auf Google Drive kann sein:

  • Eine native Google-Drive-Datei, die wird sofort im Google Editor für Tabellen angezeigt
  • Eine XLSX-Datei, die wird von Google Drive als Tabellen-Datei erkannt und gleich im “Google Editor für Tabellen” angezeigt
  • Eine ODS-Datei, die wird von Google Drive nicht als Tabelle erkannt, sondern die Datei wird generisch angezeigt mit einem oben Mitte befindlichen Drop-Down, wo wir “Google Editor für Tabellen” auswählen können

Nun ist unsere Tabellen-Datei im Google Editor (für Tabellen).

Im Google Editor (für Tabellen) können wir in Menüleiste “Datei” dann “Freigeben”  und im Untermenü dann  “Im Web veröffentlichen” an klicken.
Im HTML-Schnipsel bekomme ich damit ein IFRAME, wo ich aber noch die Parameter width=”nnn” und height=”mmm”  hinzufüge, damit der Spreadsheet-Ausschnitt (= Range) gleich in der gewünschten Größe angezeigt wird und keine Scroll-Balken sichtbar werden.

Abbildung 1:  Beispiel einer Excel-Range aus Google Sheets (Google Drive: Lichtjahr.gsheet)

Beispiel 2: Embed-Funktion von Google Sheets (IFRAME)

Um das Tabellenblatt direkt in unser Web-Seite (WordPress Post) sichtbar zu machen, verwenden wir die “Embed”-Funktion von Google.

Dazu Öffnen wir das Tabellen-Dokument mit der Google-Tabellen-App und gehen dann in der Menüleiste auf “Datei” und dort auf “Freigeben” und dann im Untermenü auf “Im Web veröffentlichen”.

Nun können wir wählen, ob wir lediglich den Link haben wollen oder “Embedden”. Letztes bedeutet, dass wir ein kleines HTML-Schnipsel (mit iframe) bekommen, das wir direkt in unsere Web-Seite einbauen können.

Abbildung 2: Eingebettet: Beispiel Excel-Range (Google Drive: Oversampling.gsheet)

Beispiel 3: Embedding mit Google Sheets Funktion

Abbildung 3: Beispiel für Embedding mit Google Sheets Funktion (Google Drive: Fotobuch_2020.xlsx)

Man muss wohl unterscheiden zwischen den Funktionen: Neu Anlegen, Speichern, Bearbeiten und Hosting:

  • Neue Dokumente anlegen (auch importieren von lokalem Computer)
  • Gespeichert werden alle diese Dokumente auf GoogleDrive im Ordner “Meine Ablage” (englisch: “My Drive“).
  • Bearbeitet werden können die Dokumente mit speziellen GoogleDrive-Apps. Für Text-Dokumente, Tabellen-Dokumente und Präsentationen gibt es diese Apps kostenlos von Google.
  • Hosting: Dokumente sollen im Internet “gehostet” werden; d.h. sie sind dann über eine URL verfügbar als Link und auch im Web-Browser als Viewer.

Erste Schritte mit Google Docs, Sheets, Slides etc.

Anmeldung bei Google

Zuerst benötige ich ein Google-Konto (Account), mit dem ich mich anmelden (Login) muss. Meist hat man ja sowieso ein Google-Konto mit seinem Android-Telefon.

Die Anmeldung geschieht dann bei: https://docs.google.com

Für jedes Google-Konto hat man dann kostenlosen Speicherplatz von 15 GB zusammen für Google Drive, Gmail und Google Fotos.

Wenn ich wissen möchten, wie viel Speicherplatz in einem Google-Konto noch verfügbar ist, rufe ich nach der Anmeldung bei einem Google-Konto auf einem Computer die Web-Seite google.com/settings/storage auf.

Da Google Docs, Sheets und Slides als Teil von Google Drive angesehen wird,  wird auch deren Speicher auf die 15 GB des Google-Kontos angerechnet.

Ende 2018 wurde Google One angekündigt. Das ist ein neu gestalteter Abo-Dienst (Bezahl-Dienst) für Google Drive.

Tabelle 1: Ich habe mehrere Google-Konten

Konto Speicher Ordner Bemerkung
dietrich@kr8.de 2,14 GB von 15 GB Astronomie
Audio
Computer
Familie
Pictures
Videos
dietrich.kracht@gmail.com 13,88 GB von 15 GB Astronomie
Bundesstrasse
Computer
Consulting
Familie
Golf
Physik
Reisen		 sehr voll -> verteilen auf andere Konten
rubaschow@googlemail.com 5,83 GB von 15 GB Reisen
Wordpress		 auf Drive sind viel weniger als 6 GB
bunsch@gmail.com 12,5 MB von 15 GB Notizen
Pictures		 praktisch leer

Die Spalten der obigen Tabelle bedeuten:

  • Konto: Voller Name eines meiner Google-Konten
  • Speicher: Belegter Speicher laut Google
  • Ordner: Namen der Unter-Ordner, die unter dem Ordner “Meine Ablage” (engl. “My Drive”) zu sehen sind

Auswahl eines Dokumenttyps (einer Google App)

Nach der Anmeldung an einem Google-Konto kann ich auswählen, welche der vielen Google-Dienste ich benutzen möchte (wofür benutzen?) . Dazu klicke ich auf das kreisrunde Symbol “Google Apps” mit den 3×3 kleinen Quadraten. Unter anderem steht da zur Auswahl:

  • Docs (Textverarbeitung)
  • Tabellen (Sheets)
  • Präsentation (Slides)

Als speziellere Dokumententypen (Apps) gibt es

  • Drawings unter: https://docs.google.com/drawings/
  • Maps
  • Mind Maps
  • Formeln
  • Fotos (?)
  • E-Mail (?)
  • xyz

Dokumente anlegen, importieren und speichern

Ein lokale Präsentation auf Google Slides bringen:

  1. URL:https://docs.google.com/presentation/u/0/
  2. Menü: Datei
  3. Folien importieren
  4. Hochladen

Eine lokale Tabellen-Datei auf Google Sheets bringen:

  1. xhttps://docs.google.com/spreadsheets/u/0/x
  2. Menü: Datei
  3. Tabelle importieren
  4. Hochladen

Eine lokale Text-Datei auf Google Docs bringen:

  1. URL:https://docs.google.com/document/u/0/
  2. Menü: Datei
  3. Datei öffnen
  4. Hochladen

Eine lokale Zeichnungs-Datei auf Google Drawings bringen:

  1. URL:https://docs.google.com/drawings/u/0/
  2. Menü: Datei
  3. Datei öffnen
  4. Hochladen

Dokumente bearbeiten

Text-Dokumente, Tabellen-Dokumente und Präsentationen kann man mit kostenfreien Google-Apps im Web-Brower bearbeiten.

Zur Bearbeitung anderer Dokumenttypen muss man zusätzliche Apps mit Google “connecten”.

Drawings (SVG-Dateien) kann ich zwar anlegen, importieren und speichern, aber…..(was geht nicht….?)  (Alternative: GitHub)

Dokumente in WordPress referenzieren

Wie geht das eigentlich genau???  Mit dem WordPress-Plugin “Google Drive Embed” ???

Ein Beispiel habe ich auf meiner WordPress-Seite:  http://blog.kr8.de/astronomie-lagrange-punkte/

Weitere Dokumenttypen

  • GPS-Tracks…
  • Drawings…   evtl. mit draw.io
  • Mind Maps… evtl. mit MIndMaster oder mit MindMap2 oder…

Ein Beispiel: Schritt-für-Schritt

Ich möchte meine Excel-Datei “Fotobuch_2020.xlsx” hochladen und in einem WordPress-Post referenzieren.
Dazu gehe ich schrittweise vor:

Schritt 1: Anmelden bei Google Drive mit meinem Google-Konto “dietrich@kr8.de”.

Also mit dem WebBrowser auf https://drive.google.com/

Das gewünschte Google-Konto auswählen

Abbildung 4: Bei Google Drive angemeldet (Google Drive: Google-Drive-01.jpg)

Auf Google Drive sehen wir im Ordner “Meine Ablage” die dort vorhandenen Unterordner (Astronomie, Audio,…) sowie u.a. auch die Speicherplatzbelegung.

Schritt 2: Ein leeres Tabellen-Dokument im Ordner “Astronomie” anlegen:

Den gewünschten Ordner (im Beispiel “Astronomie”) anklicken

Auf das Symbol “+ Neu” oben links klicken

Abbildung 5: Google Drive – leeres Tabellen-Dokument anlegen (Google Drive: Google-Drive-02.jpg)

Schritt 3: Lokal vorhandene Excel-Datei importieren in das leere Tabellen-Dokument

Mathematik: Matrizenrechnung – Vektorraum

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Lineare Algebra
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Matrizen als Lineare Abbildungen

Jede (nxm)-Matrix ist per Matrixmultipikation eine lineare Abbildung von \(\mathbb{R}^m\) nach \(\mathbb{R}^n\)

Quelle: https://www.mathematik.de/algebra/74-erste-hilfe/matrizen/2429-lineare-abbildungen

Lineare Abbildungen als Matrizen

Eine Lineare Abbildung kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren einer Basis abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren \( \hat{i} \) und \( \hat{j}  \) folgendes:

Wenn wir einen Vektor \( \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} \) betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

\( L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} )  \)

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren \( L(\hat{i}) \) und \( L(\hat{j}) \)  kennen, ist damit die Lineare Transformation L vollständig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise \( L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] \)   und \( L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] \)  wäre, bekämen wir eine Matrix:

\( \left[ L(\hat{i}) | L(\hat{j}) \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right] \)

Wir “konkatenieren” also die transformierten Basis-Vektoren vertikal als Spalten.
Die Lineare Transformation kann im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right]  \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x  \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] + y  \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y  \end{array} \right] \\\)

Völlig analog werden auch Lineare Transformationen in drei oder mehr (endlichen) Dimensionen behandelt.

Eigenschaften von Matrizen

Viele der Überlegungen, die wir mit Linearen Abblidungen vorgenommen haben, können wir also gleichermaßen auf Matrizen übertragen.

Sei also A die  (nxn)-Matrix zur Linearen Abblidung L von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W (beide über dem gleichen Körper K)

\(  L: V  \to W \\\)

So haben wir beispielsweise zu L im Falle dim(V) = dim(W) = 3  eine (3×3)-Matrix A:

\(\Large A =  \left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)  \\\)

Das Bild einer Matrix

Das Bild (engl. image) der Matrix A ist die Menge:

\(  im(A) =\{ y \in W \,| \,\exists x \in V \, : \, Ax = y \} \\\)

im(A) ist wiederum ein Untervektorraum von W.

Der Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren der Matrix.
Bei einer quadratischen (n×n)-Matrix bedeutet dies, er ist höchstens n.

Rang(A) = dim(im(A))

Der Kern einer Matrix

Der Kern der Matrix A ist die Menge der Vektoren, die auf den Null-Vektor abgebildet werden:

\(  ker(A) =\{ x \in V \,|  \, Ax = 0 \} \\\)

ker(A) ist wiederum ein Untervektorraum von V.

Mit anderen Worten: Der Kern von A ist also die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems Ax=0

Die Determinante einer Matrix

Bei einer quadratischen (n×n)-Matrix ist die Determinante genau dann 0 ist, wenn ihr Rang der Matrix kleiner n ist.