Physik: Thermodynamik – Wärmelehre

dkracht

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Stand: 29.06.2023   (neu: Zustandsgrößen)

Die Thermodynamik

Die Thermodynamik oder Wärmelehre ist eine natur- und ingenieurwissenschaftliche Disziplin. Das hauptsächliche Thema ist das Studium der Dampfmaschinen und die Frage, wie man Wärme in mechanische Arbeit umwandeln kann.

In der Thermodynamik (=Wärmelehre) werden wir erstmals irreversible Prozesse sehen. So etwas gab es in der klassischen Mechanik nicht.

Es gibt zwei Ansätze in der Thermodynamik: die statistische Sicht und die phänomenologische Sicht.  Statistisch werden ganz viele “Mikrozustände” betrachtet – Phänomenologisch geht es um die nach außen sichtbaren “Makrozustände”. Generell geht man davon aus, das sich die Mikrozustände in gewisser Weise vollkommen ungeordnet, eben stochastisch, verhalten.

Die physikalische Größe “Temperatur” wird in der Thermodynamik neu in die Physik eingeführt und ist eben eine “makroskopische” Größe.
Ausserdem wird eine weitere physikalische Größe, die “Entropie” eingeführt, die sehr schwer zu verstehen ist (dazu weiter unter: Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

Phänomenologisch beschreiben wir den Zustand eines Systems oft durch die physikalischen Größen  Volumen, Druck und Temperatur (sog. Zustandsgrößen). Ein und der gleiche so beschriebene phänomenologischer Zustand kann dann aber durch viele unterschiedliche “mikroskopische” Zustände zustande kommen – eben statistisch.

Zustandsgrößen

Eine Zustandsgröße ist eine physikalische Größe, die – ggf. zusammen mit anderen – den Zustand eines physikalischen Systems zu einem gegebenen Zeitpunkt beschreibt und zwar unabhängig davon, auf welchem Wege er zustande gekommen ist; also unabhängig von der “Vorgeschichte” des Systems.

So sind beispielsweise Druck und Temperatur klassische Zustandsgrößen, aber die physikalische Größe “Arbeit” nicht. Letztere bezeichnet man dann als  sog. “Prozessgröße”.

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  • Wärme, Temperatur, Entropie
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Temperatur – Thermodynamisches Gleichgewicht

Bringt man zwei Körper unterschiedlicher Temperatur zueinander in Kontakt, so stellt sich nach einer gewissen Zeit ein sog. “thermodynamisches Gleichgewicht” ein. Dann sind die Temperaturen beider Körper gleich.

So können wir schon einmal sagen, wann zwei Temperaturen gleich sind, aber haben noch keine Messskalen.

Temperatur – Messung der Temperatur

Die Temperatur ist eine Basis-Einheit des SI-Systems. Historisch wurde die Temperaturskala durch bestimme Fixpunkte festgelegt zwischen denen man dann interpolieren musste.

Als solche Fixpunkte hatte man benutzt Schmelzpunkte bzw. Gefrierpunkte von Wasser, Wasserstoff, Gold etc. Später ging man auch dazu über sog. Trippelpunkte als Fixpunkte zu benutzen.

Zur Interpolation zwischen solchen Fixpunkten nutzt man temperaturabhängege Eigenschaften von Körpern; wie z.B. die Längenausdehnung eines Metallstabes oder die Volumenausdehnung von Flüssigkeiten.

1948 wurde durch die 9. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) festgelegt, dass eine absolute thermodynamische Skala den Tripelpunkt des Wassers als einzigen fundamentalen Fixpunkt haben sollte. Vor allem die starke Abhängigkeit des Siedepunkts vom Luftdruck hatte die Temperatureichung über die bisherigen Fixpunkte schwierig gemacht. Der Tripelpunkt hingegen war leicht und eindeutig reproduzierbar.

1954 wurde das Kelvin von der CGPM in der bis zum 19. Mai 2019 gültigen Form definiert und zur Basiseinheit erklärt. Dadurch bekam zugleich das Grad Celsius eine neue Definition. Die Bezeichnung war zunächst „Grad Kelvin (°K)“ und wurde 1967 auf „Kelvin (K)“ geändert. Die Definition lautete seitdem: „Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.“.

2019: Anbindung an die thermische Energie: Die thermodynamische Temperatur ist direkt proportional zur thermischen Energie, mit der Boltzmann-Konstanten als Proportionalitätsfaktor  (1.380649 * 10–23 Joule/Kelvin). Solange die Einheiten von Energie (Joule) und Temperatur (Kelvin) unabhängig voneinander definiert waren, musste die Boltzmann-Konstante experimentell bestimmt werden. Diese Messungen wurden im Laufe der Zeit immer präziser und erreichten schließlich die Genauigkeit der Realisierung des Kelvin über den Tripelpunkt des Wassers. Damit war die Existenz zweier konkurrierender Definitionen nicht mehr zu rechtfertigen. Der Boltzmann-Konstanten wurde ein fester Wert in der Einheit J/K zugewiesen und das Kelvin dadurch direkt an das Joule gekoppelt. Der Wert der Boltzmann-Konstanten, die seitdem ein nur durch Konvention festgelegter Skalierungsfaktor ist, wurde so gewählt, dass das neue Kelvin möglichst genau mit dem alten übereinstimmte. Diese Änderung trat mit der Revision des Internationalen Einheitensystems am 20. Mai 2019 in Kraft.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine besondere Form des Energieerhaltungssatzes aus der Mechanik. In Worten bedeutet dies: Die Änderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems ist gleich der Summe der Änderung der Wärmemenge und der Änderung der Arbeit.

In Formeln kann man das so ausdrücken:

\( \Delta U = \Delta Q + \Delta W \)

wobei:

  • U innere Energie des Systems
  • Q der Wärmeinhalt (Wärmemenge) des Systems – positiv, wenn dem System zugeführt – negativ, wenn aus dem System abgeführt
  • W die vom System geleistete mechanische Arbeit – positiv, wenn dem System zugeführt – negativ, wenn nach außen geleistet

Zweiter Haupsatz der Thermodynamik

Vorzugsrichtung von Prozessen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Formulierung von Rudolph Clausius (1822-1888) lautet: „Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.

Zustandsveränderungen können reversibel (wie in der klassischen Mechanik) oder irreversibel sein. Irreversible Prozesse laufen nur in einer Richtung ab und nicht umgekehrt. Bei reversiblen Prozessen bleibt die Entropie gleich, bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu.

Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik kann mit Hilfe des Begriffs der Entropie auch so formuliert werden, dass die Entropie (eines geschlossenen Systems) niemals abnehmen kann.

Damit bekommt die Zeit eine Richtung.

Ideale Gase

Das Einfachste, mit dem sich die Thermodynamik gern befasst, sind die sog. Idealen Gase.

Boltzmann

Der österreichische Physiker Ludwig Boltzmann (1844-1906) beschreibt mit seiner “Boltzmann-Gleichung” die Dynamik eines idealen Gases und definiert die physikalische Größe Entropie über Mikro- und Makro-Zustände…

Thermodynamische Zustandsänderungen

Ein thermodynamischer Prozess kann zu einer thermodynamischen Zustandsänderung führen. Solche Zustandsänderungen (Prozesse) können reversibel oder irreversibel sein.

Zustandsgrößen beschreiben den Zustand eines thermodynamischen Systems; wobei es egal ist, auf welchem Wege man den betreffenden Zustand erreicht.

Typische Zustandsgrößen sind:

  • Volumen: V
  • Druck: p
  • Innere Energie: U
  • Entropie: S

Zustandsänderungen eines thermodynamischen Systems werden durch die Veränderung von Zustandsgrößen beschrieben.

  • Isotherme Zustandsänderung: Keine Temperaturänderung, also T=const. bzw. Δ U = 0
  • Adiabatische Zustandsänderung: Kein Wärmeaustausch, also Δ Q = 0

Veranschaulichen kann man sich solche Zustandsänderungen gut an einem p-V-Diagramm.

Klassische Definition der Entropie

Schon früher haben wir physikalische Größen kennengelernt, die “unabhängig vom Weg”  waren: In einem konservativen Kraftfeld war die Arbeit, die nötig ist, um von A nach B zu kommen weg-unabhängig. Deshalb konnen wir da die potentielle Energie und das Potential einführen.

Analoges macht in der Thermodynamik Rudolf Clausius (1822-1888) mit seiner klassischen Definition der Entropie (Formelzeichen: S). Die Entropie stellt so etwas wie ein Maß für die “Irreversibilität” dar. Die SI-Maßeinheit der Entropie ist Joule/Kelvin.

Zunächst betrachten wir nur Zustandsveränderungen – also Deltas. Damit definieren wir Entropieveränderungen als:

\( \Large \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} \)

Der bekannte Carnot’schen Kreisprozess beschreibt im p-V-Diagramm ja eine geschlossene Kurve und ist insgesamt auch reversibel, da er ja aus vier Prozessschritten besteht, wovon jeder einzelne reversibel ist. Unsere Berechnungen des Carnot’schen Kreisprozesses hatten ja für die zwei isothermen Prozessschritte (w=warm, k=kalt) ergeben:

\( \Large\frac{\Delta Q_w}{T_w} + \frac{\Delta Q_k}{T_k} = 0  \)

Was uns zu einer generellen Formel (ohne Beweis) führt:

\( \Large \oint_\alpha \frac{d Q}{T} = 0 \)

für reversible Prozesse, die im p-V-Diagramm eine geschlossene Kurve “α” bilden.

In Analogie zum Potentialbegriff in einem Kraftfeld können wir auch hier ein “Potential” definieren, das wir “Entropie S(A)” am Aufsetzpunkt “A” nennen:

\( \Large S(A) = \int_O^A \frac{d Q}{T} \)

Mit einem festzusetzenden Referenzpunkt “O” .
Die physikalische Größe Entropie kann man in diesem Sinne sehr abstrakt definieren. Der Vorteil ist, dass die Entropie nun tatsächlich eine Zustandsgröße ist.

Statistische Definition der Entropie

Ludwig Boltzmann wird 50 Jahre nach Clausius eine schöne statistische Definition der physikalischen Größe Entropie geben.

Ein thermodynamischer Makrozustand (z.B. Druck eines Gases) kann durch sehr viele Mikrozustände der Gas-Moleküle (also Orte und Impulse) realisiert werden. Da wir es mit gigantisch großen Anzahlen von Molekülen zu tun haben setzen wir die Statistik ein und kommen zu Aussagen über Wahrscheinlichkeiten von Anordnungen (oder Unordnungen).

Die klassische Definition der Größe Entropie ist:

\( \Large S = k_B \log{P} \)

Wobei kB die Boltzmann-Konstante ist und P die Wahrscheinlichkeit mit der ein Makrozustand durch Mikrozustände eigenommen wird.

Durch die Benutzung des Logarithmus’ wird die Entropie zu einer richtigen extensiven (d.h. mengenartigen) physikalischen Größe. Wir können Entropie-Mengen sinnvoll addieren.

Die Frage ist dann noch, wo wir den Nullpunkt der Entropie setzen. Dazu hat Max Planck vorgeschlagen dass der Nullpunkt da liegen soll, wo es nur noch einen einzigen Mikrozustand gibt, durch den der Makrozustand realisiert werden kann. Das wäre ein ideales Kristallgitter in absoluter Ruhe. Also bei T=0 soll auch S=0 sein. Statt der Wahscheinlichkeit P benutzen wir dann also die Anzahl Mikrozustände Ω, die den Makrozustand realisieren. Max Planck war es auch, der vorgeschlagen hatte, die in der Formel vorkommende Konstante “Boltzmann-Konstante” zu nennen.

Damit kommen wir zu der berühmten Folmel, die auch auf Boltzmanns Grabstein auf dem Wiener Zentralfriehof steht:

\(\Large S = k_B \ln{\Omega} \)

 

 

 

Astronomie: Die Schwarzschild-Metrik

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Stand: 28.11.2021

Schwarzschild-Metrik

Den Einfluss der Gravitation auf die Metrik (aka Krümmung) der Raumzeit kann man z.B. an einem Schwarzen Loch studieren. Dafür hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon einfache Formeln gefunden (als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen in einem speziellen Fall).

Schwarzschild behandelt das Gravitationsfeld einer Punktmasse bzw. einer homogenen kugelförmigen Masse (nicht rotierend und nicht elektrisch geladen).
Zur Beschreibung werden sich dann besonders gut Kugelkoordinaten eignen.

Schwarzschilds Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen

Hierzu habe ich bei Youtube gefunden: https://www.youtube.com/watch?v=3NFqXgH-4tg

Die Einsteinschen Feldgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie lauten ja bekanntlich (wenn wir den Term mit der kosmologischen Konstante gleich weglassen):

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu \nu}   \)

Unter dem “Lösen” dieser Tensor-Gleichung verstehen wir Folgendes: Der Engergie-Impuls-Tensor \( T_{\mu \nu} \) sein irgendwie gegeben, gesucht ist dann der Metrik-Tensor \(g_{\mu \nu} \) wenn wir weiter davon ausgehen, dass der Ricchi-Tensor und der Ricchi-Skalar sich aus dem Metrik-Tensor ergeben.

Bei der sog. Schwarzschild-Lösung betrachten wir nur den Raum ausserhalb eines Massekörpers und gehen davon aus, dass der Energie-Impuls-Tensor dort Null ist; sog. “Vakuum-Lösung”. Wir haben dann also “nur” noch zu lösen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = 0  \)

Wir erhalten die Spuren der Tensoren (Matrizen), wenn wir die Gleichung mit dem inversen Metrik-Tensor \( g^{\mu \nu} \) multiplizieren:

\( \Large R_{\mu \nu} g^{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu}  g^{\mu \nu}= 0  \)

Die Spuren sind dann:

\(\Large R_\mu ^\mu – \frac{1}{2} R \, \delta_\mu ^\mu = 0 \)

Da die Spur des Ricchi-Tensors der Ricchi-Skalar ist, bleibt also:

\( \Large R – \frac{1}{2} R \cdot 4 \)

Also ist auch der Ricchi-Skalar Null und es bleibt von der obigen Einsteinschen Feldgleichung nur noch übrig:

\( \Large R _{\mu \nu} = 0 \)

Zur Lösung dieser Gleichung suchen wir also einen Metrik-Tensor \(g_{\mu \nu} \) zu dem wir “Connection Coeffizienten” \( \Gamma_{\mu \nu}^\sigma \) ermitteln können, aus denen sich dann ein solcher Ricchi-Tensor \( R_{\mu \nu} \) ergibt.

Einfache Lösung mit Schul-Physik

Dazu habe ich ein sehr gutes Papier im Internet gefunden unter: http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/viewFile/336/454

Das Linienelement der Minkowski-Metrik in kartesischen Koordinaten ist:

\( ds^2 = c^2 t^2 – (dx^2 + dy^2 + dz^2) \)

In Kugelkoodinaten (r, θ, φ) wäre das:

\( ds^2 = c^2 t^2 – \left(dr^2 + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2{\theta} d\phi^2\right) \)

Wegen der Kugelsymmetrie sind die Winkel “Länge” und “Breite” uninteressant. Von Interesse ist nur noch die radiale Raum-Dimension r und die Zeit-Dimension t. Ein Raum-Zeit-Diagramm in diesen Koordinaten (r und t) ist also in der linken Hälfte (r < 0) leer und das Metrik-Gitter hätte bei r = RS eine Singularität.

\( ds^2 = c^2 dt^2 – dr^2 \)

Als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für den Spezialfall einer einzigen kugelsymmerischen Masse (M) hat Schwarzschild eine Metrik gefunden mit folgendem Linienelement in der radialen Dimension von (für r > RS) :

\( \Large d s^2 =  g_{rr} \cdot d r^2 = \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)

Mit dem Schwarzschild-Radius von:

\( \Large R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)
Anders als beim Euklidischen Linienelement ist hier der Vorfaktor grr (Element im Metrik-Tensor g) nicht mehr konstant, sondern seinerseits eine Funktion von r.

In dieser Metrik (Schwarzschild-Metrik) wäre also der Abstand von r1 bis r2 nicht r2 – r1 sondern größer; nämlich:

\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)

Dieses Integral habe ich kopiert aus: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrik

GeoGebra Blatt 2: ds/dr

Kruskal-Szekeres-Koordinaten

Sind Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik, die am Ereignishorizont (r=RS) nicht singulär werden und deswegen gern für die Beschreibung Schwarzer Löcher eingesetzt werden.

Von Arstoteles zur Stringtheorie

Herr Gassner beschreibt in seinem Youtube-Video “Von Aristoteles zur Stringtheorie – Folge 20” als Linienelement:

\( ds^2 = -(1-\frac{R_S}{r}) c^2 t^2 + \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r} }dr^2 \)

Wobei der Schwarzschildradius gegeben ist durch:

\( R_S = \frac{2 G M}{c^2} \)

Damit reduzieren wir die Koordinaten auf nur eine Raum-Koordinate und die Zeit-Koordinate, wie wir das weiter unten auch vollständig analytisch aus dem Schwarzschild-Tensor ableiten.

Im obigen Papier wird eine “Senkrechte” betrachtet und das Linienelement der Schwarzschild-Metrik bestimmt. Wenn man dieses Linienelement integriert (numerisch) und dem Euklidischen Abstand gegenüberstellt, bekommt man folgendes Bild:

Abbildung 1: Schwarzschild-Metrik (Github: Schwarzschild-Metrik-02.svg)

Schwarzschild-Metrik in der “Senkrechten”

Ein erster Schritt zum Verständnis ist der Begriff der “Metrik”, der zwei Punkten in einem Vektorraum (oder auch Riemann Raum) einen Abstand zuordnet.

Man sagt auch, dass ein Raum durch eine Metrik eine “Geometrie” bekommt und spricht so vom “Euklidischen Raum” bzw. der “Euklidischen Geometrie”, wenn man die “Euklidische Metrik” verwendet.

Allgemein definiert man den Abstand zweier Punkte  \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) im Vektorraum durch die Länge der Differenz:

\( \Large Abstand =  || \vec{a}  – \vec{b} ||   \)

Metriktensor

Chartesische Koordinaten

Link: Josef M. Gaßner (18) Tensor Feldgleichung  https://youtu.be/keQUeGEkCtQ

Der “Metriktensor” ist ganz einfach eine Matrix mit deren Hilfe wir die Länge eines jeden Vektors definieren können. Beispielsweise in einem drei-dimensionalen Koordinatensystem:

\(\Large g =  \left[ \begin{array}{rrr} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\  g_{21} & g_{22} & g_{23} \\  g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{array} \right]  \\\)

Nicht jede belibige solche Matrix (Tensor) definiert eine Metrik. Die definierte Metrik muss (1) unabhängig vom Koordinatensystem sein (2) Die definierte Metrik muss den allgemenen Metrik-Axiomen genügen.

Mit Hilfe eines solchen Metriktensors definieren wir dann die Länge des Vektors \(\vec{x}\) ganz einfach als Matrixprodukt:

\(\Large || \vec{x} ||^2  =  \left[ \begin{array}{c} x_1 & x_2 & x_3  \end{array} \right]  g  \left[ \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3  \end{array} \right] \\\)

In einem Koordinatensystem ergibt sich die Länge als:

\( \Large ||  \vec{x} ||^2 =  \sum\limits_{ij} x_i  \cdot x_j \cdot g_{ij} \\ \)

Oder als Linienelement geschrieben heisst das (mit Einsteinscher Summenkonvention):

\(d s^2 = dx^i \cdot dx^j \cdot g_{ij} \\ \)

So ein infenitesimales Linienelement brauchen wir immer dann, wenn die gij nicht konstant sind, sondern noch von den Koordinaten xi in irgendeiner Form abhängen (also ortsabhängig). Wir müssten dann nämlich ggf. integrieren…

Je nach Koordinatensystem wird die Euklidische Metrik wird durch andere Metriktensoren definiert.
In Chartesischen Koordinaten wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie (also das Kronecker Delta)…

\(\Large g_{chartesisch} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Womit wir die Euklidische Länge (und damit den Abstand) wie klassich haben:

\( \Large ||  \vec{x} ||^2 =  \sum\limits_{i} x_i^2  \)

Andere Koordinatensysteme

Je nach dem, welches Koordinatensystem wir wählen, bekommen wir einen anderen Metriktensor, denn die Basisvektoren sind ja die Tangenten an die Koordinatenlinien.
Beispielsweise haben wir:

In Polar-Koordinaten \((r, \vartheta) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{polar} =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & r^2  \end{array} \right]  \\\)

Schon bei diesem einfachen Beipiel sehen wir, das die Komponenten des Metriktensors nicht konstant sind, sondern vom Punkt im Raum abhängig sind.
Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 \\ \)

In Zylinder-Koordinaten \((r, \vartheta, z) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{zylinder} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & r^2 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 + d z^2\\ \)

In Kugel-Koordinaten \((r, \vartheta, \varphi) \) wäre der Metriktensor für die Euklidische Metrik/Geometrie:

\(\Large g_{kugel} =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & r^2 & 0 \\  0 & 0 & (r \cdot \sin{\vartheta})^2 \end{array} \right]  \\\)

Das Linienelement wäre dann:

\(d s^2 = dr^2 + r^2 \cdot d \vartheta^2 + r^2 \cdot (\sin{\vartheta})^2 \cdot d \varphi^2\\ \)

Schwarzschild-Metrik für die Dimension “Senkrechte”

Wenn wir die “Raumkrümmung” durch eine (große) Masse verstehen wollen, können wir am einfachsten mit einem sog. “Schwarzen Loch” anfangen, denn da hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für uns parat.

Die Schwarzschild-Metrik wird klassischerweise in Kugelkoordinaten dargestellt. Zur Vereinfachung wollen wir zunächst nur eine (Raum-)dimension betrachten: den Abstand r gemessen vom Mittelpunkt eines Objekts mit dem Radius RS. Dieses r bezeichnen wir als “die Senkrechte”.

Der Schwarzschild-Radius eines jeden Objekts der Masse M (in der Senkrechten) berechnen wir zu:

\( R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \\ \)

Dazu müssen wir den Metriktensor bestimmen.

\( g_{rr} = \frac{d s^2}{d r^2} \)

Von dieser unbekannten Funktion können wir uns zwei Werte leicht klar machen:

  • Bei r gegen unendlich geht der Wert gegen 1.
  • Bei r gegen RS geht der Wert gegen unendlich.

Diese beiden Eigenschaften hat folgende Funktion (geraten bzw. als “Regression” durch zwei Punkte konstruiert):

\( g_{rr}(r) = \Large \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \\ \)

Unser Linienelement wäre damit also:

\( d s^2 = \Large \frac{1}{1 – \frac{R_S}{r}} \cdot d r^2 \)

In dieser Metrik wäre also der Abstand von r1 bis r2 nicht r2 – r1 sondern größer; nämlich:

\( \Delta R = \Large \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{R_S}{r}}} = \left[ r \sqrt{1 – \frac{R_S}{r}} + \frac{R_S}{2} \ln{\frac{1+\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}}} \right]_{r_1}^{r_2} \)

Dieses Integral habe ich kopiert aus: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrik

Schwarzschild-Metrik für die Dimension “Zeit”

Wenn wir nur die Dimension “Zeit” betrachten, ist im Metriktensor:

\( \Large g_{tt} = \frac{d \tau^2}{d t^2} \)

Von dieser unbekannten Funktion können wir uns zwei Werte leicht klar machen:

  • Bei r gegen unendlich geht der Wert gegen 1.
  • Bei r gegen RS geht der Wert gegen 0

Diese beiden Eigenschaften hat folgende Funktion (geraten bzw. als “Regression” durch zwei Punkte konstruiert):

\( g_{tt}(r) = \Large 1 – \frac{R_S}{r} \\ \)

Schwarzschild-Tensor

Der Metriktensor der Schwarzschild-Metrik wäre vollständig:; d.h. mit den Kugel-Koordinaten \( (ct, r, \vartheta, \varphi) \) :

\(\Large g_{\mu \nu} =  \left[ \begin{array}{rrrr} 1 – \frac{R_S}{r} & 0 & 0 & 0\\  0 & – \frac{1}{1- \frac{R_S}{r}} & 0 & 0 \\  0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (r \cdot \sin{\vartheta})^2 \end{array} \right]  \\\)

Wenn man dabei jetzt nur die ersten beiden Dimesionen, also die Zeit und den radialen Abstand vom Mittelpunkt betrachte, also die Winkel \(\varphi\) und \(\vartheta\) ausser acht lässt; d.h. konstant lässt, erhält man als so vereinfachjte Sicht:

\(\Large g_{\mu \nu} =  \left[ \begin{array}{rr} 1 – \frac{R_S}{r} & 0 \\  0 & – \frac{1}{1- \frac{R_S}{r}}   \end{array} \right]  \\\)

Wie in https://youtu.be/ZS22sw4NRDY

Damit haben wir die Schwarzschild-Metrik auf eine Raumdimension (r) und die Zeitdimension (ct) reduziert und können uns an einem zweidimensionalen Raum-Zeit-Diagramm verdeutlichen, was da bei einem Schwarzen Loch nach Schwarzschild geschieht.

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Physik: Gravitation

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Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Die Keplerschen Gesetze, Schwarzes Loch, Newton, Langrange-Punkte, Ebbe und Flut, Kraftfeld und Potential
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Stand: 25.2.2022

Kraftfelder und Potential

Kraftfelder, wie das der Gravitation, können wir durch das zugehörige Potential-Feld beschreiben.

In einem sog. “konservativen” Kraftfeld \( \vec{F}(r) \) können wir eine Potentielle Energie (bzw. ein Potential) definieren.  Der Begriff konservativ bedeutet dabei, dass der Energieerhaltungssatz gilt. Die entlang eines Weges im Kaftfeld geleistete Arbeit ist unabhängig von Weg und nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängig. So kann eine skalares Feld, das Potential, definiert werden.

Ist das betrachtete Kraftfeld das Gravitationsfeld einer ruhenden Masse M, so ist das “Gravitationspotential” einfach:

\(  \Large V(r) = \space – G  \frac{M}{r}  \\ \)

Ist das betrachtete Kraftfeld das Elektrische Feld einer ruhenden elektrischen Ladung Q, so ist das “Coulomb-Potential” einfach:

\(  \Large V(r) = \space – \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}  \\ \)

Und umgekehrt ist das Kraftfeld \( \vec{F}(r) \) einfach der Gradient des Potentials. Also:

\( \vec{F}(r) = \enspace – k \enspace \nabla V(r) \)   (wobei k die Ladung bzw. Masse ist)

Das Gravitationsgesetz

Die Gravitation ist eine der vier Gundkräfte (Wechselwirkungen) im Standardmodell der Teilchenphysik.

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besondere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Zu den Zeiten Newtons beschäftigte sich die Physik in der Hauptsache und fast ausschließlich mit Mechanik. Newton (und Leibnitz) entwickelten die Infenitesimalrechung (engl. Calculus) mit der die Bewegung mechanischer Systeme durch die Wirkung von Kräften berechenbar gemacht werden konnte. Siehe dazu mein separater Artikel Newtonsche Mechanik.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.

Die Gezeitenkraft

Ein ausgedehner Körper wird in einem Gravitationsfeld auseinander gezogen, weil die Gravitationskraft ja mit der Entfernung abnimmt. Die “Vorderseite” eines Körpers wird stärker angezogen als die “Hinterseite”. Je größer die Abmessung des Körpers in Richtung Vorderseite/Hinterseite ist, desto größer die auseinanderziehende “Gezeitenkraft” als Differenz der Kräfte vorne/hinten..

Die Erdanziehung

Wie wir alle aus der Schule wissen, haben wir auf der Erdoberfläche eine Gravitationsbeschleunigung von ca. 9,81 m/s2

Das Gravitationsgesetz (s.o.) können wir auch schreiben als:

\( \Large a = G \frac{M}{r^2}  \)

Wenn wir Kraft = Masse mal Beschleuigung, also F = m * a, benutzen.

Wenn wir den mittleren Erdradius als 6371 km annehmen, sind wir auf der Erdoberfläche also im Mittel 6371 km vom Erdmittelpunkt entfernt.
Die Erdmasse beträgt laut Wikipedia ca. 5,9772 * 1024 kg

Bei bekanntem Erdradius, bekannter Erdmasse und bekannter Gravitationskonstante kann man sich die mittlere Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche also ausrechnen:

\( \Large a = G \frac{5,9772 \cdot 10^{24}}{6371000^2} = 9,82  \)

Oder andersherum: Wenn man die Gravitationsbeschleunigung gemessen hat, den Erdradius kennt und die Gravitationskonstante misst (wie Henry Cavendish s.o.), kann man die Erdmasse bestimmen…

Die Kreisbahn (Kreisbewegung)

Für eine Kreisbahn mit dem Radius R wäre eine Zentripedalkraft erforderlich von:

\( F_Z = m \cdot \frac{v^2}{R}\)

So eine Zentripedalkraft soll durch die Gravitation des Zentralkörpers der Masse M bewirkt werden. Diese Gravitationskraft ist:

\( F_G = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2}\)

Rechnerisch ergibt sich daraus als Kreisbahngeschwindigkeit (sog. Erste kosmische Geschwindigkeit):

\( v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 7,91 km/s.
Das wäre eine (theoretische) Keisbahn mit dem Radius R; also einer Höhe von  Null Metern über der Erdoberfläche. Nehmen wir mal ein realistisches Beispiel: die ISS. Diese fliegt in ungefähr 400 km Höhe. Da kämen wir auf eine Geschwindigkeit von

\(\Large v = \sqrt{\frac{6.6743 \cdot 10^{-11} \cdot 5.9772 \cdot 10^{24}}{6371000 + 400000}} = 7.94 \enspace km/s \\ \)

Weiter draussen z.B. beim Mond ist die Kreisbahngeschwindigkeit kleiner. Da liegt die Kreisbahngeschwindigkeit nämlich so um 1 km/s.

Die Fluchtgeschwindigkeit

Damit ein Körper der Masse m von der Erdoberfläche entweichen kann, benötigt er eine kinetische Energie, die mindestens so groß ist wie seine potentielle Energie:

\( E_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 \)

Das Gravitationspotential auf der Erdoberfläche ist:

\( E_{pot} = \int\limits_{-\infty}^{R} G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} dr = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{-\infty}^R  =  -G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{R}\)

Rechnerisch ergibt sich die Fluchtgeschwindigkeit (sog. Zweite kosmische Geschwindigkeit) zu:

\( v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Was bei der Erde bedeuten würde: 11,2 km/s

Diese Zahl beruht ausschließlich auf der Gravitation der Erde; soll heissen andere Einflüsse wie Erdrotation oder etwaige Swing-By-Manöver könnten diese erforderliche Geschwindigkeit reduzieren – wie etwa bei den Mondflügen oder Voyager Raumsonden…

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)

Ein Schwarzes Loch

Bei einem Schwarzen Loch wäre die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c.  Wenn wir v2 = c setzen ergibt sich:

\( c = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}  \)

Aufgelöst nach dem Radius R ergibt sich:

\( R = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \)

Bei einem solchen Radius könnte also kein Licht entkommen; deshalb werden solche Objekte “Schwarze Löcher” genannt. Bei einem kleineren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit; bei einem größeren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Man nennt diesen Radius den “Schwarzschild-Radius” oder auch den Ereignishorizont.

Genaugenommen müsste man hier die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verwenden, da wir hier mit Sicherheit relativistische Effekte wegen der starken Raumkrümmung hätten. Interessanterweise ist die Formel für den Ereignishorizont (Schwarzschild-Radius) aber bei der ART die gleiche wie hier in der “Milchmädchenrechnung”.

 

Astronomie: Schwarzes Loch – Black Hole

dkracht

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Entfernungsbestimmung, Gravitation, Schwarzschild-Metrik, Hertzsprung-Russel-Diagramm

Stand: 28.9.2022

Was ist ein Schwarzes Loch?

Ein Schwarzes Loch ist ein Körper, der an seiner Oberfläche eine so starke Gravitation hat, dass die “Fluchtgeschwindigkeit” größer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Demnach kann kein Licht und auch keine elektromagnetische Strahlung ein solches Schwarzes Loch verlassen.

Diese Fluchtgeschwindigkeit beträgt bekanntlich:

\( v^2 = \frac{2 G M}{R} \)

Es kommt also darauf an, ein sehr starkes Gravitationsfeld zu haben. Je näher ich an eine Masse herankomme, desdo stärker wird das Gravitationsfeld – wenn die Masse gleich bleibt; d.h. man müsste die Masse stark komprimieren. Wenn ich eine Masse so stark komprimiere, dass der sog. Schwarzschild-Radius erreicht wird, kann Licht nicht mehr entkommen. Diesen Schwarzschild-Radius nennt man auch den Ereignishorizont.

\(\Large R_S = \frac{2 G M}{c^2} \)

Beispiel: Um unsere Sonne (Radius 700.000 km) zu einem Schwarzen Loch zu machen, müsste man sie auf einen Radius von 3 km komprimieren.

Obwohl Karl Schwarzschild schon in 1916 die Gravitation solcher “Schwarzer Löcher” beschrieben hat, wurde der Begriff “Schwarzes Loch” erst 1967 von John Wheeler geprägt.

Das Innere von Schwarzen Löchern

xyz da soll eine Singularität sein xyz

Entstehung von Schwarzen Löchern

Man unterscheidet verschiedene Arten von Schwarzen Löchern:

  • Stellare Schwarze Löcher   (Supernovaexplosion, Gravitationskollaps)
  • Supermassive Schwarze Löcher  (Zentren von Galaxien)
  • Primordiale Schwarze Löcher   (spekulativ: Urknall)

Stellare Schwarze Löcher

Stellare Schwarze Löcher entstehen aus Sternen. Es müssen im Universum also zunächst einmal Sterne entstanden sein und am Ende der “Lebenszeit” eines Sterns kann u.U. ein “stellares” Schwarzes Loch entstehen.

Ein Stern in der Endphase seines “Lebens” wird erst zu einem “Roten Riesen” und dann, wenn keine Kernfusion im Inneren mehr stattfindet, kollabiert er unter der Kraft seiner eigenen Gravitation. In Abhängigkeit von der Restmasse können unterschiedliche Stadien erreicht werden:

  • Restmasse <= 1.44 Sonnenmassen (sog. Chandrasekhar-Grenze): Weisser Zwerg
  • Restmasse > 1.44 Sonnenmassen: Nach Supernova entsteht ein Neutronenstern
  • Restmasse > 2.5 Sonnenmassen: Schwarzes Loch

Supermassive Schwarze Löcher

Supermassive Schwarze Löcher (im deutschen ganz korrekt eigentlich “super massereiche” Schwarze Löcher genannt) befinden sich im Zentrum von Galaxien…

Wie entstehen solche Supermassive Schwarze Löcher im Zentrum von Galaxien?

Primordiale Schwarze Löcher

sollen Schwarze Löcher sein, die bereits vor der Entstehung von Sternen, gleich nach dem Urknall (d.h. primordial) aus dem heißen Plasma auf Grund von Dichteschwankungen entstanden sein….

 

 

Astrofotografie: Meine persönliche astronomische Timeline

dkracht

Gehört zu: Astronomie

Meine Entwicklung in der Astronomie

1957/69: Schulzeit und mehr

Im Jahre 1957 gab es die Sensation: Die ersten Erdsatelliten Sputnik 1 und Sputnik 2 wurden gestartet. Den Sputnik 2 konnte ich im November 1957 mehrmals über den Himmel ziehen sehen.

Als Schüler in Bremen besuchte ich regelmäßig die Veranstaltungen der dortigen “Olbers-Gesellschaft”. Das waren regelmäßige Abende im Planetarium, Beobachtungsabende mit den Instrumenten der Olbersgesellschaft auf der Terrasse der Seefahrtsschule und sog. Hauptvorträge. Ich konnte auch den Umzug  der alten Seefahrtsschule von der Schule in der Elsflether Str. im Jahre 1958 in die neu gebaute Seefahrtsschule an der Werderstr. mitmachen.

Meinen Bruder Rainer hatte ich wohl auch astronomisch “infiziert”. Er ging unter die Spiegelschleifer und baute sich einen eigenen Newton-Reflektor, der im Garten der Karl-Lerbs-Strasse seine Aufstellung fand.

Zusammen mit Schulfreunden (Hajo, Peter) sparten wir auf ein kleines Teleskop, das E68 von Kosmos. Das E68 wurde schießlich auf einer Parzelle im Henriettenweg auf einer gemauerten Säule aufgestellt. Dort konnten wir 1960 den Kometen Burnham C/1959 Y1 mit händisch durchgeführter Nachführung im Sternbild UMi ablichten. Auch gelangen uns von der Parzelle aus später zahlreiche Fotos vom Erdsatelliten Echo 2, der 1964 gestartet wurde.

Im Februar 1961 nahmen Hajo und ich an einer sog. “Expedition” zur Totalen Sonnenfinsternis auf der Insel Brac im damaligen Jugoslawien teil, wo wir mit dem E68 schöne Fotos von der Sonnenfinsternis machen konnten.

Nach dem Abitur 1963 studierte ich in Hamburg Mathematik und Astronomie, wobei ich ab und zu noch von der Parzelle am Heriettenweg zusammen mit Hajo amateurhafte Astronomie betreiben konnte.

Später nach dem Studienabschluss 1969 habe ich mich nur noch dem Berufsleben gewidmet und die astronomischen Aktivitäten blieben ganz auf Null.

1975 konnte ich einen kurzen Blick auf die Nova Cygni erhaschen.

2009: Erste Versuche mit der DSLR Panasonic Lumix

Im Jahre 2009 kaufte ich eine DSLR Panasonic Lumix DMC-FZ28 für meine erste Reise nach Afrika mit dem Rovos Train “Pride of Africa“.
Am 9.10.2009 konnte ich einen ersten zaghaften Versuch zur Astrofotografie aus dem in Kisaki, Tansania, stehenden Zug machen. Das Wide Field zeigte Atair, den Delphin und Jupiter.

Wenn man schon in Südafrika ist, denkt ein astronomisch vorbelasteter Mensch doch gleich an das Kreuz des Südens und die Magellanschen Wolken.  Die (mindestens) wollte ich fotografisch festhalten.

Bei Astrofotografie war schnell eine Nachführung erforderlich. Das sollte als leichte Lösung für die Reise in ferne Länder der NanoTracker sein (2012).

Die erste Golfreise nach Südafrika war in 2/2012 (Franschhoek, Phantom Forest, Shamwari, Oceana, Kapstadt,…).
In Franschhoek fragte mich Hermann, mein Golflehrer aus Paarl, auch schon nach dem Kreuz des Südens, was mir selbst zu dem Zeitpunkt noch nicht sehr vertraut war.
In Phantom Forest machte ich erste Versuche den Südhimmel zu fotografieren. Am 12.2.2012 zeigte ein erstes Astrofoto von Atlantic Beach aus: Sirius, Canopus und ganz schwach die LMC.
Von Tschukudu aus gelang mir am 15.2.2012 ein erstes Foto des “Kreuz des Südens” mit der Panasonic Lumix, wobei mir zwei englische Gäste erst zeigen mussten, wie ich mit Hilfe der sog. “Pointer Stars” das Kreuz des Südens am Sternenhimmel finden kann.

Da ich nun mit der Panasonic Lumix eine schöne DSLR hatte, besann ich mich vorsichtig auf meine astronomischen “Wurzeln”. Im klirrenden Winter (März 2013) versuchte ich über die Hamburger Aussenalster, mit Blickrichtung Westen den Kometen C/2011 L4 Panstarrs zu erhaschen…

2014: Wechselobjektive mit der DSLR Sony NEX-5R

Später (01/2014) habe ich auf eine Sony NEX-5R “aufgerüstet”, weil die Wechselobjektive und WLAN hatte.

Den NanoTracker und die neue Sony NEX-5R konnte ich dann am 1.3.2014 (zweite Golfreise nach Südafrika: Sun City, Entabeni, Buhala, Durban) in Trafalgar einsetzen um die Grosse Magellansche Wolke zu fotografieren. Beim Stacken der Einzelbilder hat mir später mein Bruder Rainer geholfen.

Ich begann auch, mich nach geeigneten Beobachtungsorten im Hamburger Umfeld, mit etwas weniger Lichtverschmutzung und einem freieren Blick auf den Horizont umzusehen. Zunächst kam ich auf das Niendorfer Gehege, später fuhr ich Autobahnparkplätze an der A23 und an der A24 ab z.B. Blievensdorf. Auch Fahrten nach Gülpe zum WHAT (Westhavelländer Astro-Treffen) und zum Örtchen Kollase in der Göhrde habe ich probiert. Am Ende habe ich mich für Handeloh (GvA ASW) als “dunkleren” Ort und meine heimische Terrasse als “bequemen” Ort entschieden.

Im Mai 2014 beendete ich, 70 Jahre alt,  meine Tätigkeit als Angestellter bei der Firma Gartner.

Im November 2014 konnte ich endlich das Polarlicht beobachten und fotografieren. Dazu habe ich es mir sehr bequem gemacht und das Ganze aus einem Flugzeug über Island gemacht. Als Kamera habe ich meine Sony NEX-5R verwendet, für die ich eigens ein neues Objektiv gekauft hatte, ein Vivitar 24mm, genannt “Lichtriese”.

Im Mai 2015 bin ich in den lokalen Astro-Club “GvA” im Hamburg eingetreten.

Im Sommer 2015 begann ich erste Kontakte zu kleinen freiberuflichen Projekten im Bereich Websites und WordPress zu spinnen.

Zum ernsthaften Einstieg in die Astrofotografie habe ich mir dann in 6/2015 eine motorisierte Goto-Montierung, die Celestron Advanced Series GT gebraucht gegönnt – ohne Teleskop, nur für DSLR..

Dann gab es die Perseiden-Nacht am 12.8.2015 wo ich eine Stunde lang mit der Sony NEX-5R vom Autobahn Parkplatz Steinburg an der A23 Sternschnuppen (wide field) fotografieren konnte.

In 2015/2016 habe ich nocheinmal als Freiberufler drei Tage die Woche in Frankfurt gearbeitet, wo ich viel mit “agilen Vorgehensweisen bei IT-Projekten” zu tun hatte.

Im Februar 2016 (dritte Golfreise nach Südafrika: Langebaan, Kagga Kamma, Hermanus, Kapstadt) in Kagga Kamma kam die Sony NEX-5R auf dem Nano Tracker erneut zum Einsatz.

Mit den Erfahrungen mit der Celestron-Montierung habe ich mir etwas systematischer meine Anforderungen an eine mobile Montierung überlegt und schliesslich in 04/2016 eine Montierung SmartEQ Pro von iOptron gekauft.

So konnte ich sehr schön mit er DSLR fotografieren mit Goto und Nachführung – super. Aber der Gedanke an ein “richtiges” Teleskop spukte in meinem Kopf herum. Ich wollte aber ganz rational ersteinmal mit DSLRs den Einsteig weitertreiben. Als Überbrückung musste dann in 6/2016 ein gebrauchtes LidlScope her.

2017: Der Mainstream mit HEQ5 Pro und Canon EOS 600Da

Da ich keinen festen Ort für meine Montierung habe, muss ich meine mobile Montierung (SmartEQ Pro und bald später dann die HEQ5 Pro) ja jedesmal, wenn ich sie neu aufstelle, gut einnorden. Das ist mit den “Bordmitteln” eines eingebauten Polfernrohrs recht mühseelig. Deshalb habe ich mir im Februar 2017 den QHY Polemaster zugelegt. Das hat super-gut funktioniert, nur war die Polemaster etwas teuer und machte nur ein “manuelles” Platesolving.

Bei meinen Astro-Kollegen in Hamburg hörte ich immer wieder “EQMOD” und auch hörte ich vom Pulse Guiding und Stepper-Motoren; da ergab sich die Möglichkeit eine gebrauchte Montierung Skywatcher HEQ5 Pro (7/2017) zu erwerben. Im Nachgang kam dann aus der gleichen Quelle eine DSLR Canon EOS 600Da. Damit wollte ich mich weiter auf den Mainstream (iOptron und Sony wurden von meinen Kollegen als “Exoten” bezeichnet) zu bewegen.

Die Canon EOS 600 Da konnte ich dann gleich bei meinem ersten Schnupper-Aufenthalt in Namibia im September 2017 weiter erproben. Da habe ich den Südhimmel erst richtig kennengelernt. Unter anderem konnte ich erstmals den Erdschattenbogen beobachten und fotografieren. Auch machte ich meine ersten Schritte, die DSLR vom Windows-Computer aus zu steuern; wozu als erstes die Canon-Software Digital Photo Professional (DPP) zum Einsatz kam und ich später auf die Software APT umgeschwenkt bin.

Nach diesen Erfahrungen mit “richtigen” Teleskopen war es dann bei mir auch so weit. Ich schaffte mir im November 2017 einen kleinen gebrauchten Refraktor “Orion ED80/600”  (genannt “Volks-APO)”) an.

Die Einnordung mit Fotostativ, Neiger und NanoTracker war doch ewas hackelig. Damit das Einstellen der Pohlhöhe sanfter und besser funktioniert, habe ich mir dafür eine Star Adventurer “Wedge” in Seevetal gekauft.

Für die kleine mobile Astrofotografie mit DSLR und eher wide-field habe ich dann noch den zur Wedge (s.o.) passenden Tracker im Mai 2018 gekauft den: Star Adventurer Mini (“SAM”).

Im Juni 2018 ging’s dann erneut nach Namibia; diesmal eine ganze Neumond-Periode als verantworlicher Astro-Betreuer auf Kiripotib. Dort konnte ich erstmals auch das Zodiakallicht fotografieren und auch der QHY Polmaster konnte sich auf der Südhalbkugel erfolgreich zum “Einsüden” bewähren. Der Astro-Gast Frank gabe mir noch den Tipp, die Polhöhe mit einem digitalen Neigungsmesser im Vorwege einzustellen.

2019: Der Beobachtungsplatz Hamburg-Eimsbüttel

Meine Montierung HEQ5 Pro mit dem Teleskop ED80/600 und der Kamera baue ich gerne auf meiner Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel auf; möchte dann aber die weitere Bedienung “remote” d.h. nicht direkt am Gerät sondern etwas entfernt vornehmen z.B. vom warmen Wohnzimmer aus. Es verfestigte sich die Entscheidung, die heimische Terrasse in Hamburg-Eimsbüttel als Haupt-Beobachtungsplatz zu definieren. Einmal im Jahr Namibia und für besondere Anlässe vielleicht mal Handeloh.

Um der Lichtverschmutzung in Hamburg Paroli zu bieten, hiess es viel länger zu belichten und ggf. Narrowband-Filter zu verwenden.

Im August und September dann wieder Namibia. Hier habe ich gelernt, länger zu belichten (3-5 Minuten) und das Autoguiding konsquent einzuetzen.

2020 Die Optimierung: Dedizierte Astro-Cam, Tri-Narrowband-Filter, Polar Alignment mit Sharpcap

Nachdem ich die Möglichkeiten von DSLRs ausgiebig erkundet hatte, wollte ich nun den Schritt zu einer sog. dedizierten Astro-Kamera machen. Ich habe im Januar 2020 eine ZWO ASI294MC Pro gebraucht erstanden. Der Sensor ist zwar etwas kleiner als APS-C aber der Vorteil ist die geregelte aktive Kühlung. Da ich ein bequemer Astro bin, habe ich mich für eine Farbkamera (“OSC”) entschieden, denn die Fummelei mit Filterrädern brauche ich nicht.

Bei der Polausrichtung bin ich jetzt auf SharpCap Pro umgestiegen, weil dort ein echtes Platesolving gemacht wird und weil ich es mit der vorhandenen Guiding-Ausrüstung machen kann; also ohne zusätzliche Teile.

Im Sommer 2020, mitten in der Zeit des Corona-Viruses, kam dann endlich ein Komet mit Schweif: NEOWISE, den ich zu mitternächtlicher Stunde vom Fußballplatz an der Gustav-Falke-Strasse aus fotografieren konnte.

Den bereits in 2019 angeschafften Tri-Narrowband-Filter habe ich jetzt einmal ernsthaft erprobt und eine schöne Aufnahme aus dem lichtverschmutzten Eimsbüttel vom Pacman-Nebel gemacht.

Weitere Entwicklungsstränge

  • ???

Astronomie in Namibia: NGC 3372 Der Eta-Carinae-Nebel

dkracht

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Nebel, Namibia, Meine Astrofotos
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 22.12.2022

NGC3372  Der Eta Carinae Nebel

NGC 3372 der sog. Eta Carinae Nebel klassischer Emissionsnebel auf der südlichen Hemisphäre im Sternbild Carina.

Mit einer scheinbaren Hellikeit von 3,0 mag und einer scheinbaren Ausdehnung von 120′ ist er ein klassisches Objekt für kleinere Teleskope im Süden.

NGC 3372 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha.

Entfernung 7500 Lichtjahre.

Im August 2019 habe ich ein Foto von NGC 3372 erstellen können:

Abbildung 1: NGC3372 Eta Carinae Nebel (Google Drive: 20190829-2827-2861_EtaCarinae_4b_beschriftet.jpg)

Diese Fotografie habe ich bei richtig dunklem Himmel in Kiripotib, Namibia gemacht. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astrofotografie: Dokumentation im Beobachtungsbuch

dkracht

Gehört zu: Astrofotografie
Siehe auch: Lessons learned, Fotobuch, Meine Astro-Geräteliste

Dokumentation meiner Foto-Sessons im Beobachtungsbuch

Alle meine astrofotografischen Aktivitäten halte in in meinem Beobachtungsbuch fest.

Dieses Beobachtungsbuch ist eine Excel-Datei.

Für jedes Jahr habe ich darin einen Reiter (einen TAB): z.B. “Tagebuch2020”, “Tagebuch2019”, “Tagebuch2018” usw.

Zusätzlich zu der Dokumentation der Foto-Sessions eines Jahres im Detail mache ich jährlich eine Zusammenstellung der für mich eindrucksvollsten Fotos (ggf. sogar als Fotobuch) und eine Zusammenstellung von “Lessons learned“.

Als Vorstufe zum Fotobuch habe ich zuerst ein Web-Album bei Flickr erstellt und die Fotos selbst auch beschriftet.

Zusammenstellung der eindruckvollsten Fotos

Beispiel:

Die schönsten Fotos aus 2020
Objekt Datum Ort Optik Reducer Filter Kamera Montierung Belichtung Bearbeitung Link Foto
M81 / M82 21.04.2020 Handeloh ASW Orion 80/600 0,85 x Tri Narrowband ZWO ASI294 MC Pro HEQ5 Pro 60 x 120 sec APP M81 / M82 DK_20200421_M81-RGB-Final-2_beschriftet.jpg
C/2020 F3 NEOWISE 11.07.2020 Eimsbüttel Fussballplatz Olympus 135mm ohne LPS Canon EOS 600 DA Fotostativ 4 sec C/2020 F3 NEOWISE DK_20200711_0067_beschriftet.JPG
NGC 281 (Pacman-Nebel) 20.09.2020 Eimsbüttel Terrasse Orion 80/600 0,85 x Tri Narrowband ZWO ASI294 MC Pro HEQ5 Pro 60 x 120 sec APP NGC 281 (Pacman-Nebel) 20200920_NGC281_G300_120s_beschriftet.jpg
Mars 05.10.2020 Eimsbüttel Terrasse ohne ohne keiner Sony NEX 5R Fotostativ 1 x 10 sec Mars DK_20201005_02353_beschriftet.JPG

Zusammenstellung von “Lessons learned”

Beispiel:

Lessons learned 2018
Polar Alignment Hat mit QHY PoleMaster gut und bequem funktioniert (auch auf Südhalbkugel)
Hilfreich kann es sein, den Polarstern schon früh mithilfe des Sucherfernrohrs einzustellen.
Im Süden kann es hilfreich sein, die Polhöhe (geografische Breite) schon vorher mithilfe eines Neigungsmessers einzustellen.
Stromversorgung Die Montierung HEQ5 Pro benötigt eine möglichst separate stabile Stromversorgung
Powerpacks mit automatischer Abschaltung sind ungeeignet zur Nachführung
Framing Nicht nur die Mitte des Bildausschnitts (Frame) planen, sondern auch den Rotationswinkel (mit Platesolving prüfen)
Nachführung Bevor PHD (mit Pulse Guiding)  gestartet wird, sollte die Montierung aligned bzw. gesynct sein.
Schlechtes Guiding nicht einfach weiter laufen lassen, nach Korrekturen von Parametern
sondern: Stopp, Stern auswählen, neues Guiding
Nicht wundern: Bei PHD2 Guiding startet die Kalibrierung, wenn man auf “Guiding” klickt. Nach so einer Kalibrirung startet das Guiding ohne weitere Meldung.

Dokumentation der einzelnen Foto-Sessions

Jede Beobachtungsnacht (Foto-Session) im Jahr dokumentiere ich in mehreren Rubriken:

  1. Ort, Zeit, verwendetes Equippment, Ziel/Zweck
  2. Ergebnisse
  3. Einzelfotos

Beispiel: Foto-Session, Rubrik 1

15.11.2018 Bundesstrasse Bundesstrasse
Ziel PHD2 Guiding und Belichtung mit Filter
Ort Bundesstrasse Zeit: UTC+2 53°34’18.2″N 09°58’15,7″ E
Teleskop Orion 80/600 7,50
Flattener/Reducer 0,85 x 6,80 510,00
Kamera Canon EOS 600D
Fokusser Autofocusser Pegasus
Capturing Software APT
Montierung HEQ5 Pro
Nachführung SyncScan  Tracking Siderial
Autoguiding mit PHD2 Guiding
Speicherorte
APT D:\Data\APT\Camera_1\2018-11-15
Local D:\Pictures\20181115_Bundesstrasse
Server P:\Alben\Album_Astronomie\20181115_Bundesstrasse

Als sog. “Ergebnisse” einer solchen Foto-Session scheibe ich in den Zeilen dahinter die gestackten und bearbeiteten Fotos auf.

Beispiel: Foto-Session, Rubrik 2 “Ergebnisse”

Ergebnisse
gut: Gain 300, Temperatur 0 Grad
schlecht: Norden ist nicht oben
Objekt Datum Ort Optik Reducer Kamera Montierung Belichtung Bearbeitung Link Foto Ordner
NGC281 20.09.2020 Bundesstrasse Orion ED80/600 0,85x ZWO ASI294MC Pro HEQ5 Pro 60 x 120 sec Stacking 60 Subs NGC281 20200920_NGC281_G300_120s_beschriftet.jpg D:\Pictures\Album_Astronomie\20200920_Bundesstrasse_Pacman

Beispiel: Foto-Session, Rubrik 3 “Einzelfotos”

Die Metadaten hole ich mit dem Programm ExifTool aus den JPG-Bildern heraus.

FileName CreateDate UTC+2 ISO Exposure Time Focal Length FNumber GPSLongitude GPSLatitude Description Bemerkung Model FWHM (Pixel) Bildmitte R.A. Bildmitte Dekl.
Single__0231_ISO3200_15s__25C.JPG 2018:10:14 20:08:06 3200 15 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N Goto M31 Mitte Canon EOS 600D 00:42:44 +41:16:11
Single__0232_ISO3200_15s__24C.JPG 2018:10:14 20:10:13 3200 15 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N Drehwinkel von 118 auf 88 Grad Canon EOS 600D 00:42:55 +41:16:25
L_0233_ISO1600_60s__23C_M31.JPG 2018:10:14 20:18:06 1600 60 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Belichtung x2 Canon EOS 600D 00:42:48 +41:16:19
L_0234_ISO1600_60s__23C_M31.JPG 2018:10:14 20:19:11 1600 60 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Canon EOS 600D 00:42:48 +41:16:19
L_0235_ISO1600_120s__25C_M31.JPG 2018:10:14 20:23:50 1600 120 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Belichtung x2 Canon EOS 600D 00:42:47 +41:16:15
L_0236_ISO1600_120s__23C_M31.JPG 2018:10:14 20:25:56 1600 120 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Canon EOS 600D 00:42:47 +41:16:14
L_0237_ISO800_300s__26C_M31.JPG 2018:10:14 20:28:49 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Belichtung 300/800 Canon EOS 600D 00:42:47 +41:16:14
L_0238_ISO800_300s__25C_M31.JPG 2018:10:14 20:33:56 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Canon EOS 600D 00:42:47 +41:16:12
L_0239_ISO800_300s__28C_M31.JPG 2018:10:14 20:55:25 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Stack zentriert Canon EOS 600D 00:42:48 +41:16:02
L_0240_ISO800_300s__23C_M31.JPG 2018:10:14 21:00:31 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Stack Canon EOS 600D 00:42:48 +41:16:01
L_0241_ISO800_300s__27C_M31.JPG 2018:10:14 21:05:37 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Stack Canon EOS 600D 00:42:48 +41:16:00
L_0242_ISO800_300s__28C_M31.JPG 2018:10:14 21:10:44 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Stack Canon EOS 600D
L_0243_ISO800_300s__29C_M31.JPG 2018:10:14 21:15:51 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Stack Canon EOS 600D
L_0244_ISO800_300s__29C_M31.JPG 2018:10:14 21:20:58 800 300 510 6,8 09°49’47″E 53°14’6.3″N M31 Stack Canon EOS 600D

 

Astrofotografie: Lessons learned

dkracht

Gehört zu: Astrofotografie
Siehe auch: Mein Workflow mit APT, Mein Beobachtungsbuch, Meine Astro-Geräteliste

Stand: 06.03.2025

Astrofotografie: Lessons learned 2020 und 2021 und 2024

Im Jahre 2020 hatte ich unter den leider gegebenen Umständen (Corona) mehr Zeit als sonst und habe mal einige Erkenntnisse zur Verbesserung meiner persönlichen Fertigkeiten bei der Astrofotografie aus meinem Beobachtungsbuch herausgeholt und hier zusammengefasst.
Vielleicht ist für den einen oder anderen auch ein Denkanstoss dabei – oder ein Punkt zur Diskussion…

Tabelle 1: Lessons learned

Astro-Kamera Meine DSLR (Canon EOS 600D) entwickelte hohe Sensor-Temperaturen (30 Grad und mehr), die zudem noch veränderlich waren.
Jetzt habe ich mir eine echte (dedizierte) Astro-Kamera (ZWO ASI294 Pro) zugelegt, die diese Temperaturprobleme löst (geregelte Kühlung) und auch über APT ansteuerbar ist.
Allerdings ist die Live-View-Funktion unter APT bei der ASI294 schlechter als mit der Canon-DSLR.
Die Kamera (ZWO ASI294 Pro) ruhig auf minus zehn Grad kühlen (mindestens Null Grad); dann geht das thermische Rauschen stark zurück.
Der Gain sollte schon über 120 (sog. Unity Gain) liegen, dann ist das Ausleserauschen extrem gering. Gain 300 geht auch gut.
Barlow-Linse Um die effektive Brennweite meines Refraktors Orion ED80/600 zu erhöhen und damit den Abbildungsmaßstab zu vergrößeren, habe ich eine Barlow-Linse erstanden.
Geplant war, den Merkurdurchgang im November 2020 damit zu fotografieren. Das fiel wegen schlechten Wetters aus.
Auch in der Marsopposition im Oktober 2020 wollte ich die Barlow-Linse ausprobieren.
Problem 1: Welchen Abstand soll das Barlow-Element von der Sensorebene meiner Kamera haben?
Problem 2: Welche effektive Brennweite hat dann mein Teleskop ED80/600 mit der so montieren Barlow-Linse? Dies muss ich nämlich für das Platesolving wissen.
Belichtung Die Gesamtbelichtungszeit bei Deep Sky Objekten (DSOs) sollte schon bei mindestens 2 Stunden liegen.
Die maximale Belichtungszeit der Einzelaufnahmen wird begrenzt durch zweierlei: (1) Himmelshelligkeit (2) Nachführgenauigkeit
Beide Grenzen müssen immer wieder durch praktische Versuche ermittelt werden.
Bei zu langen Einzel-Belichtungszeiten kann das gefürchtete AmpGlow stören.
Beobachtungsbuch Mein schon seit vielen Jahren geführtes Beobachtungsbuch in Excel habe ich ergänzt um einen zusammenfassenden Abschnitt: “Die schönsten Fotos aus diesem Jahr”
Auf dieser Basis habe ich ein Fotobuch mit den für mich eindruckvollsten “Pretty Pictures” erstellt. Als Vorstufe zu diesem Fotobuch habe ich zuerst ein Web-Album bei Flickr angelegt.
Bildbearbeitung: Stacken Die Software Astro Pixelprocessor (“APP”) ist noch etwas besser als der Deep Sky Stacker (“DSS”)
APP scheint das Stacken selbst etwas genauer zu machen als DSS.
Bildbearbeitung: Stretchen Beim Stretchen wird aus einem linearen Bild ein nicht-linerares Bild.
Beim Stretchen darf links im Histogramm nicht abgeschnitten werden. Der dunkle Himmel ist nicht schwarz (0,0,0), sondern sollte schwach grau sein: (25,25,25).
Durch das Stretchen wird die Farbsättigung geschwächt. Gegenmaßnahme: +30% nach dem Stretchen.
Bildbearbeitung:
Background Extraction		 Mit APP wird dann auch gleich das erstellte Summenbild nachbearbeitet durch (1) Entfernen von Lichtverschmutzung und Gradienten (Background-Extraction) (2) Sternfarben-Kalibrierung (3) Farbsättigung
Software APP wird auch das PixInsight des kleinen Mannes genannt (geringere Kosten, schnellere Lernkurve).
Calibration Frames Darks zur Eliminierung des AmpGlow bei der ASI294 erforderlich (gleiche Temperatur kein Problem)
Flats zur Korrektur der Flecken (“Donuts”) erforderlich. Flatbox einsetzen.
Biases erforderlich, wenn ich Flats mache.
Flat Frames Flat Frames benötige ich immer. Damit das so einfach wie möglich geht, habe ich mir eine FlatBox angeschafft.
Die Belichtungszeiten sollten nicht zu kurz sein, dann könnte es Streifen geben. Etwas länger Belichten (z.B. 3 Sekunden) ist bei Flats besser, dazu muss ich die Helligkeit der Flats etwas herunterregeln.
Fokussieren Das manuelle Fokussieren hatte zwei Nachteile: (1) Beim manuellen Fokussieren zittert das Bild (2) Für einen Remote-Betrieb ist ein Motor-Fokusser erforderlich.
Ein Motor-Fokusser muss ganz fest am Okularauszug befestigt sein, ohne dass dabei Schrauben des OAZ verwendet werden, die am OAZ selbst eine wichtige Funktion haben.
Zum Fokussieren selbst benutze ich die Bahtinov-Masken nicht, sondern mache das auf Sicht: Also bei welcher Fokuseinstellung ist eine Sternenscheibchen am kleinsten und wo tauchen neben dem hellen Zielstern auf einmal viele schwächere Sternenpunkte auf?
Das mache ich mit der Software SharpCap, wo ich quasi ein Life-Bild habe und dieses auch schön vergrößern kann.
Voraussetzung: Ein heller Stern ist im Gesichtsfeld. Hell muss der Stern sein, wenn ich bereits einen Filter eingbaut habe oder auch wenn es noch nicht richtig dunkel ist.
Zur Einstellung so eines Sterns in Gesichtsfeld benutze ich zuerst ein Goto mit Cartes du Ciel. Zur Feineinstellung des Sterns in das Gesichtsfeld benutze ich mein sonst nutzloses Sucherfernrohr.
Das Sucherfernrohr justiere ich daher schon am Tage parallel zum Hauptrohr.
Der helle Zielstern darf nicht zu weit weg vom Fokus sein – Deshalb grobe Fokussierung schon am Tage an einem entfernten terrestischen Objekt.
Die Fokussierung muss mindestens so gut sein, dass ein Platesolving funktioniert.
Mit der Software N.I.N.A. habe ich sogar eine Auto-Fokus-Funktion, die mit einer V-Kurve arbeitet. Aber dann muss man N.I.N.A. ersteinmal lernen.
Lichtverschmutzung Tri-Narrowband-Filter in Hamburg sinnvoll auch mit Farbkamera (Beispiel: Pacman-Nebel) – schön lange belichten.
Da so ein Filter nur für Emissionsnebel sinnvoll ist, muss man in ausschrauben und wieder einschrauben – aber wo genau?
Plate Solving & Drehwinkel Das Plate Solving benötigt ein Foto mit einigermassen gut fokussierten Sternen. Es bestimmt dann die Koordinaten des Bildmittelpunkts und den Drehwinkel des Fotos gegenüber der Nordrichtung. Ich benutze die Funktion Plate Solving über meine Astro-Software APT.

Wenn erforderlich, muss ich den vom Platesolving ermittelten Drehwinkel per Hand in die gewünschte Position bringen.
Polar Alignment Polar Alignment mit SharpCap funktioniert genau und bequem mit vorhandenem Gerät (Guiding-Rohr). PoleMaster verkauft.

Bei N.I.N.A. gibt es jetzt ein neues Plugin “TPPA” (Three Point Polar Alignment). Das funktioniert richtig gut. Vorteile:
1) Es benutzt die Haupt-Optik; d.h. es ist kein zusätzliches Rohr (z.B. Guiding Teleskop) erforderlich
2) Es ist keine freie Sicht auf den Himmelspol erforderlich
3) Die Abweichung vom Himmelspol wird numerisch (Bogenminuten, Bogensekunden) angezeigt
SYNC Bei einer Teleskopsteuerung durch ASCOM hat man den SYNC-Befehl. Der Befehl heisst in voller Schönheit “SyncToCoordinates”.
Die ASCOM-Teleskopsteuerung hat immer eine “angenommene Teleskop-Position” (Rektaszension und Deklination). So eine “angenommene Teleskop-Position” ist beim allerersten Anschalten der Himmelspol und ansonsten die Position des letzten Gotos.
Der SYNC-Befehl sagt der ASCOM-Teleskopsteuerung, dass die “angenommene Teleskop-Position” auf einem bestimmten Wert (Zielwert) gesetzt werden soll.
Ich mache das immer im Zusammenhang mit Platesolving. Die durch Platesolving ermittelten Koordinaten des akutellen Bildes werden dann per SYNC-Befehl der ASCOM-Teleskopsteuerung mitgeteilt und von nun an auch als “angenommene Teleskop-Postion” benutzt. Damit wird die “angenommene Postion” identisch mit der tatsächlichen Position des Teleskops. Früher (bevor ich Platesolving machte) habe ich dafür ein Three Star Alignment gemacht.
Um ein SYNC mit APT auszulösen, muss die Montierung (Teleskop) “connected” sein.
Um ein SYNC mit CdC auszulösen, muss die Montierung (Telekop) “verbunden” sein.Weitere Voraussetzungen für einen erfolgreichen SYNC sind “Unpark” und “Tracking”
Teleskopsteuerung Die Erprobung eines Raspberry Pi mit Linux war für mich nicht richtig zufriedenstellend. Raspberry Pi verkauft.
Die von Windows her gewohnte Software musste teilweise ersetzt werden
Die Remote-Bedienung über VNC habe ich nach einigem Fummeln schon hinbekommen.
Auch gibt es PHD2 Guidung wohl auf Linux; aber mit KStars und Ekos und INDI konnte ich mich nicht anfreunden.
Goto Voraussetzung für das Funktionieren der motorischen Goto-Funktion ist ein “Alignment“. Nur dadurch weiss die Montierung ihre “Ist-Position” und kann von dieser “Ist-Position” aus auf die gewünschte “Soll-Position” fahren. Die Goto-Funktion ermittelt immer die Differenz zwischen Soll und Ist. Falls die Ist-Position schon falsch ist, bewegt sich die Goto-Funktion möglicherweise komplett falsch und es kann zu Kollisionen kommen.
Mit Cartes du Ciel kann man diese Ist/Soll-Positionen sehr gut visuell überwachen. Die Ist-Position ist beim Einschalten der Himmelspol, d.h. das Teleskop sollte beim Einschalten auch dahin zeigen.
Veränderungen der Teleskop-Position bei gelösten Klemmen werden von der Computersteuerung nicht wahrgenommen.
Nur Veränderungen der Teleskop-Position durch Goto (und Sync nach Plate Solving) registriert die Computersteuerung.
Also: Vor jedem Goto auf eine neue “Soll-Position” zuerst kontrollieren, ob die “Ist-Position” die richtige ist.
Wetter Gute astronomische Wetterberichte gibt es z.B. bei: http://clearoutside.com und bei Kachelmann

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Mathematik: Komplexe Zahlen

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Quantenmechanik, Von Pytharoras bis Einstein, Schrödinger-Gleichung
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Stand: 29.7.2022

Die komplexen Zahlen

Ausgangspunkt ist die berühmte imaginäre Einheit: i2 = -1

Eine komplexe Zahl schreibt man gerne als Realteil und Imaginärteil:

z = x + i*y      x = Re(z)   und   y = Im(z)

Wobei x und y reelle Zahlen sind.

Mit den Komplexen Zahlen kann man auch die vier Grundrechnungsarten, so wie wir sie von den “normalen” d.h. reellen Zahlen her kennen, ausführen – Die komplexen Zahlen bilden, mathematisch gesagt, einen “Körper”.

Zu jeder Komplexen Zahl gibt es die “komplex konjugierte“, die mit gern mit einem Sternchen als Superskript schreibt:

zur komplexen Zahl: z = x + i*y
ist die konjugierte:   z* = x – i*y

Manchmal schreibt man die komplex konjugierte auch mit einem Strich über der Zahl. Also:

\( \overline{x + y \cdot i} = x – y \cdot i \)

 

Jede Komplexe Zahl hat auch einen “Betrag” (kann man sich als Länge vorstellen):

|z|2 = x2 + y2

Interessanterweise ist der Betrag (Länge) einer Komplexen Zahl auch:

|z|2 = z z*

Darstellung der komplexen Zahlen mit kartesischen Koordinaten

Die Reellen Zahlen konnte ich mir ja durch die sog. Zahlengerade gut veranschaulichen. Die Komplexen Zahlen würde ich mir dann durch die Punkte in einer Ebene veranschaulichen.

Polar-Darstellung der komplexen Zahlen

Wenn komplex Zahlen einfach als Punkte in der Ebene verstanden werden können, kann ich sie anstelle von kartesischen Koordinaten, alternativ auch in durch sog. Polarkoordinaten darstellen; d.h. durch die Entfernung vom Nullpunkt r und den Winkel mit der reellen Achse φ.

Für eine Komplexe Zahl z = x + i*y  gilt:

r² = x² + y²

tan φ = x/y

\(\displaystyle \tan{ \phi} = \frac{x}{y} \)

Exponential-Darstellung der komplexen Zahlen

Die Eulerschen Formel ist:

\(\Large  e^{i  \cdot \phi} = \cos \phi+i \cdot \sin \phi \\\)

Damit können wir jede komplexe Zahl auch in sog. Exponential-Darstellung schreiben:

\(\Large z ={r} \cdot e^{i  \cdot \phi} \\ \)

Das funktioniert so gut, weil die Multiplikation von Potenzen der Addition der Exponenten entspricht und das mit den Summenformeln der Trigonometrie übereinstimmt.

Den Winkel φ nennt man auch “die Phase”.

Wenn die Komplexen Zahlen den Betrag 1 haben, also auf dem Einheitskreis liegen, hat man:

\( e^{i \phi} = cos{\phi} + i sin{\phi} \)

und man spricht von einer “reinen Phase”.

In der Quantenmechanik wird diese Exponentialdarstellung gerne benutzt, u.a. weil man damit die Multiplikation komplexer Zahlen sehr anschaulich darstellen kann:

\(\Large z_1 \cdot z_2 = {r_1 \cdot r_2} \cdot e^{i  \cdot (\phi_1 + \phi_2)} \\ \)

Sie auch Youtube-Video:

Die Eulersche Zahl

Definition der Eulerschen Zahl

Die Zahl e wurde von Leonhard Euler (1707-1783) als Grenzwert der folgenden unendlichen Reihe definiert:

\(\displaystyle e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} +  \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + …   \)

Oder:

\(\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \)

Die Exponentialfunktion

Potenzen zur Basis e bilden die Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt:

f(x) = ex

Die Ableitung (Differentialquotient) der e-Funktion ist wiederum die e-Funktion:

f'(x) = ex

Damit ergibt sich als Taylorsche Reihenentwicklung um den Entwicklungspunkt x0 = 0

\(\displaystyle f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}  + …  + \frac{x^n}{n!} + …   \)

Allgemein wäre die Taylor-Reihe ja:

\( \displaystyle T_\infty(x;x_0) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^(k)(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \)

Da der Funktionswert und alle Ableitungen der e-Funktion an der Stelle x0 = 0 sämtlich 1 sind, vereinfacht sich die Darstellung wie oben gezeigt.

Physik: Teilreflektion

dkracht

Gehört zu: Physik, Quantenmechanik

Teilreflektion

Die Teilreflektion von Licht an einer Oberfläche hat schon Isaac Newton, der ja von einer Teilchennatur des Lichtes ausging, beschäftigt. Dies ist eines der Paradebeispiele der Quantenmechanik, die ja Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für Teilchen ausrechnen will.

Wenn ein monochromatischer Lichtstrahl auf eine Glasplatte scheint, haben wir das Phänomen der Teilreflektion.

Das Ereignis “Reflektion eines Photons an der Grenzschicht Luft/Glas”  habe die Wahrscheinlichkeit von 4% = 4/100 = 1/25. Die Wellenfunktion dieses Ereignisses wäre also ein Vektor der Länge Sqrt{1/25} = 1/5 = 0.2.

Die Drehung des Vektors wäre proportional der Zeit, die das Licht braucht um den Weg zurückzulegen. Wenn wir die Teilreflektion an der dünnen Glasschicht betrachten, spielt nur die Differenz der Laufzeiten eine Rolle, wenn wir die Differenz der Drehwinkel bestimmen wollen..

So bekommen wir gute Beispiele an denen sich Auswirkungen der Quantenphysik in alltälichen Phänomenen demonstieren lassen.