Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Grenzgröße, Lichtverschmutzung, Entfernungsbestimmung, SI-Einheiten, Emmissionsnebel, SQM, Hertzsprung-Russel-Diagramm
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Stand: 05.12.2022 (Pogson, Flux, Flächenhelligkeit, Parsec)
Die Helligkeit von Sternen
Sterne werden physikalisch als sog. “Punkförmige Lichtquellen” behandelt – im Gegensatz zu flächigen Objekten (dazu siehe unten).
Die (scheinbare) Helligkeit von Sternen misst der Astronom in „Größenklassen“, auch „Magnituden“ (mag) genannt.
Das geht auf die Babylonier zurück und wurde von Hipparch (190-120 v.Chr.) für seinen berühmten Sternkatalog übernommen.
Die hellsten Sterne sind „Größenklasse 1“ z.B. Antares, Regulus,…
Die dunkelsten, gerade noch sichtbaren Sterne sind „Größenklasse 6“.
Noch dunklere Sterne, die nur noch in Teleskopen sichtbar sind, haben also Größenklassen wie 7, 8, 9,…
Es gibt aber auch hellere Sterne z.B.
In der Neuzeit wurde für die Helligkeiten eine logarithmische Skala definiert, weil das Auge Helligkeiten nach dem Weber-Fechner’schen Gesetz logarithmisch wahrnimmt. Es war der britische Astronom Norman Robert Pogson (1829 – 1891) der 1856 die Helligkeitsskala der Sterne standardisierte, indem er das bereits von Hipparchos eingeführte System der Größenklassen in ein logarithmisches Verhältnis setzte:
\( \Delta m = m_1 – m_0 = \Large \frac{-5 \cdot \log_{10}\frac{ \Phi_1}{\Phi_0}}{\log_{10}(100)} \\ \) (auch im Folgenden ist immer der 10er Logarithmus gemeint)
Wobei Φ der Lichtstrom (gemessen in Lumen) ist, der von einer punkförmigen Lichtquelle ausgeht, was ich in meinem Artikel über die physikalischen Maßeinheiten näher erläutere.
Erhalten bleibt der klassische Helligkeitsunterschied von 5 Magnituden, der einen Helligkeitsunterschied vom Faktor 100 bedeutet. Ursprünglich wollte man die Helligkeitsskala so positionieren, das der Polarstern genau 2,0 mag hat.
Ein Stern, von dem ein Lichtstrom Φv (in Lumen) ausgeht, erscheint in einer scheinbaren Helligkeit (gemessen in Magnituden) von:
\( \Large m = -14.2064 – 2.5 \log\Phi_v \) [mag]
Der Faktor 2,5 ergibt sich aus der Skalierung: \( \frac{5}{\log 100} \). Die -14,2064 sind erforderlich, um den Nullpunkt so zu positionieren, dass die Zahlen von Hipparchos wieder herauskommen.
Nicht zu verwechseln ist das mit \( 100^\frac{1}{5} = 2,512 \), was den Intensitätsunterschied zwischen zwei Größenklassen ausmacht.
Von einem Stern der scheinbaren Helligkeit m (gemessen in Magnituden) geht ein Lichtstrom (gemessen in Lumen) aus von:
\( \Large \Phi_v = 10^{(-m-14.2064)/2.5} \\ \) [Lumen]
Einfacher wird dieser Zusammenhang, wenn man statt der SI-Einheit Lumen für den Lichtstrom, den in der Astronomie häufig verwendeten \( Flux = 10^{-\frac{m}{2,5}} \) nimmt. Damit gilt:
\( \Large m = -2,5 \log Flux \)
Lichtstrom heisst auf englisch: luminous flux. Der Begriff “Flux” alleine wird sehr vielfältig (z.B. auch in der Photometrie) verwendet und ist verschieden definiert; man muss so einen Flux immer umrechnen in andere definierte physikalische Größen. In diesem Falle beispielsweise:
\( \Large \Phi_v = 10^{-\frac{14,2064}{2,5}} \cdot Flux \\ \)
Die scheinbare Helligkeit eines Objekts beeinflusst auch seine Eignung als Beobachtungsobjekt (z.B. Grenzgröße, Lichtverschmutzung etc.).
Umrechnungen
Die Wikipedia gibt für einen “Sternklaren Nachthimmel” eine Leuchtdichte (also Flächenhelligkeit) von 0,001 cd m-2 an. Nach der unten stehenden Umrechnungsformel wären das 20,08 mag/arcsec².
Wobei “mag” für Größenklassen (Magnituden) der klassischen astronomischen Helligkeitsskala steht.
Formeln:
- 1 cd/m² = 12,58 mag/arcsec²
- Allgemein gilt: Astronomische Leuchtdichte in mag/arcsec² = 12,58 – 2,5 * lg(LV) (wobei LV: Leuchtdichte in cd/m² und lg der 10er Logarithmus ist)
- Umgekehrt erhalten wir die SI-Leuchtdichte in cd/m² durch: \( L_v = 10^{\frac{12,58 – SQM}{2.5}} \)
Addition von Scheinbaren Helligkeiten (Magnituden)
Wir betrachten als Beispiel die Große Konjunktion von Jupiter und Saturn, wo am 21.12.2020 die beiden Planeten sich bis auf ca. 6 Bogenminuten nahe kamen.
Bei punktförmigen Lichtquellen muss man zur Addition der Scheinbaren Helligkeiten die Lichtströme (in Lumen) addieren…
Die Helligkeit des Jupiters war: -1.97 mag = 1.2748 10-5 Lumen
Die Helligkeit des Saturns war: 0,63 mag = 0.1163 10-5 Lumen
In der Summe also 1.3911 10-5 Lumen, was einer scheinbaren Helligkeit von zusammen -2.06 mag entspricht.
So können wir also die Gesamthelligkeit aus den Einzelhelligkeiten mehrerer punktförmiger Lichtquellen (z.B. enge Konjunktion, Doppelstern etc.) ermitteln.
Allgemein gilt für die Gesamthelligkeit von mehreren punktförmigen Lichtquellen:
Wenn ich n punktförmige Lichtquellen habe mit den scheinbaren Helligkeiten in Magnituden von: m1, m2,…mn so habe ich Lichtströme wie folgt:
Hinweis: Wenn ich statt in SI-Einheiten wie Lumen mit dem Flux rechne, wird das alles viel einfacher. Ich wollte aber hier in vielen, kleinen Schritten zeigen, dass mit SI-Einheiten das gleiche bekannte Ergebnis heraus kommt.
\( \Large \Phi_k = 10^\frac{-m_k – 14,2064}{2,5} \\\)
Aufsummiert ergibt das einen Lichtstrom von:
\( \Large \Phi_{ges} = \sum\limits_{k=1}^{n} \Phi_k = \sum\limits_{k=1}^n 10^\frac{-m_k – 14,2064}{2,5} \\\)
Nun kann man eine Konstante aus dem Exponenten herausziehen und vor die Summe schreiben:
\( \Large \Phi_{ges} = \sum\limits_{k=1}^n 10^{\frac{-m_k}{2,5}} \cdot 10^{\frac{-14,2064}{2,5}} = 10^{\frac{-14,2064}{2,5}} \cdot \sum\limits_{k=1}^n 10^{\frac{-m_k}{2,5}} \)
Dieser Gesamtlichtstrom entspricht einer scheinbaren Gesamthelligkeit von:
\(\Large m_{ges} = -14,2064 – 2,5 \log\Phi_{ges} = -14,2064 – 2,5 \log ( 10^\frac{-14,2064}{2,5} \cdot \sum\limits_{k=1}^n 10^\frac{-m_k}{2,5} ) \\ \)
für den Logarithmus eines Produkts scheiben wir die Summe:
\(\Large m_{ges} = -14,2064 – 2,5 ( \frac{-14,2064}{2,5} + \log \sum\limits_{k=1}^n 10^\frac{-m_k}{2,5} ) \\ \)
und schießlich:
\(\Large m_{ges} = -2,5 \log \sum\limits_{k=1}^n 10^\frac{-m_k}{2,5} \\ \)
Absolute Helligkeit
Unter der absoluten Helligkeit versteht man in der Astronomie die scheinbare Helligkeit, die ein Stern in einer festgelegten Standardentfernung von 10 Parsec (32,6 Lichtjahre) haben würde. Das ist eine Zustandsgröße, die die Leuchtkraft eines Sterns beschreibt.
Die Differenz zwischen scheinbarer Helligkeit m und absoluter Helligkeit M wird Entfernungsmodul genannt, denn sie steht in festem Zusammenhang zur Entfernung r (gemessen in Parsec). Aus der Festlegung der Helligkeitsstufen folgt:
\(m – M = 5 \cdot \lg{(r – 1)} \)
Flächenhelligkeit
Die Helligkeit, die als sog. “Visuelle Helligkeit” angegeben wird, ist immer die Gesamthelligkeit. Bei flächigen Objekten verteilt sich diese Helligkeit auf die Fläche des Objekts.
Unter Fläche des Objekts ist die Ausdehnung des Objekts an der Himmelskugel gemeint, also ein Raumwinkel. Einen Raumwinkel misst man in Steradiant (sr), wobei der Astronom anstatt gerne Quadradgrad oder als kleinere Einheiten arcmin2 oder arcsec2 nimmt. Dabei ist ein Quadratgrad:
\( 1 \enspace deg^2 = \left( {\frac{2 \pi}{360}}\right)^2 sr \\ \)
und weiter:
\( 1 \enspace arcmin^2 = \left( {\frac{2 \pi}{360 \cdot 60}}\right)^2 sr = 8,4616 \, 10^{-8} \, sr\\ \)
Da wir später die Flächenhelligkeit eines Objekts immer nur in Relation zur Flächenhelligkeit eines anderen Objekts (und dann in gleichen Einheiten gemessen) sehen wollen, spielt so ein konstanter Faktor dafür keine Rolle.
Die Flächenhelligkeit wird dann üblicherweise in mag/arcmin2 oder mag/arcsec2 gemessen; letzteres kürzt der Amerikaner gern als MPSAS (Magnitudes per square arc second) ab z.B. in Artikeln bei Cloudy Nights.
Vergleiche hierzu speziell: SQM, Zodiakallicht
Bezeichnen wir die Gesamthelligkeit mit H [Lumen] und die Fläche am Himmel mit F [Raumwinkel Sterad], so erhalten wir als (durchschnittliche) Flächenhelligkeit B [Lumen/sr = Candela]:
\( B = \frac{H}{F} \)
Die Flächenhelligkeit in Magnituden ist dann:
\( B_{mag} = – 14,2064 -2,5 \cdot \log \frac{H}{F} \)
oder auch:
\( B_{mag} = -14,2054 -2,5 \log{H} + 2,5 \log{F} \\ \)
Da die ersten beiden Summanden zusammen einfach H in Magnituden ergeben, was wir mit dem Symbol m bezeichnen, erhalten wir schließlich:
\( B_{mag} = m + 2,5 \log{F} \\ \)
