Mathematik: Metrik, Abstand und Geometrie

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Krümmung, Vektorraum, Wirkung, Schwarzschild-Metrik, Metrik-Tensor
Benutzt: WordPress-Plugin Latex, GeoGebra Grafikrechner

Stand: 19.10.2021

Metrik, Abstand und Geometrie

Auf einer Menge M kann man eine Metrik definieren; dadurch dass man je zwei Punkten einen Abstand (relle Zahl >= Null) zuordnet.

d: M x M -> R

So eine Abstandsfunktion muss drei Axiome erfüllen, um Metrik genannt werden zu dürfen.

Oft ist den Beispielen die Menge M ein Vektorraum z.B. R2 oder R3.

Mit Hilfe einer solchen Metrik kann man eine ganze “Geometrie” definieren, also ein Regelwerk für Punkte, Geraden, Winkel, Dreiecke etc. Klassisch ist die Geometrie nach Euklid; andere Geometrien bezeichnet man als “Nicht-Euklidische Geometrie”…

Euklidische Geometrie

In der sog. Euklidischen Geometrie wird der Abstand im zweier Punkte im Raum (also die Metrik) durch den Satz des Pythagoras definiert.

Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwenden wir ein Koordinatensystem z.B.  im R3 eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse:

\(\Large d((x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b)) = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2 – (z_b-z_a)^2} \\\  \)

Dieser Abstand ist auch die Länge der geraden Strecke zwischen den Punkten a und b.

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\(\Large L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Siehe auch: Integralrechnung

Wir können zeigen, dass diese Längendefinition für Kurven mit der Metrik für Punktabstäde im Euklidischen Raum überein stimmt (ohne Beschänkung der Allgemeinheit: t ∈ [0,1]):

\( \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} x_1 + (x_2-x_1) \cdot t \\\ y_1 + (y_2-y_1)\cdot t  \\\  z_1 + (z_2-z_1)\cdot t\end{array}\right)  \\\  \)

Die erste Ableitung ist:

\( \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} (x_2-x_1)  \\\ (y_2-y_1) \\\  (z_2-z_1) \end{array}\right)  \\\  \)

Die Norm der Ableitung ist dann:

\( || \alpha^\prime(t) || = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ \)

Wenn wir das in die obige Längendefinition einsetzen erhalten wir:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \int_0^1 dt  = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \\\ \)

Die Länge einer geraden Strecke ist also auch mit der allgemeinen Integral-Formel genauso wie nach Pythagoras oben.

Das Linienelement

Gerne verwendet man auch ein sog. Linienelement um eine Metrik zu definieren. Für die Euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum mit einem Chartesischen Koordinatensystem (x,y,z) haben wir das Linienelement:

\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\  \)

Was ergibt:

\( ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \\\  \)

Was für eine parametrisierte Kurve s: [a,b] -> R3 bedeutet:

\( \Large \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\  \)

Was als Kurvenlänge von t=a bis t=b ergibt:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt \\\  \)

Wenn man nun bedenkt dass:

\(\Large  s^\prime = \frac{ds}{dt} = \left( \begin{array}{c} \frac{dx}{dt}  \\\ \frac{dy}{dt} \\\  \frac{dz}{dt} \end{array}\right) \\\  \)

ist, ergibt sich die Norm zu:

\( ||\Large s^\prime || = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ \)

Eingesetzt ergibt das:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b || s^\prime || dt \\\ \)

was genau der ersten Definition (oben) entspricht.

Man kann auch zeigen, dass die so definierte Länge einer parametrisierten Kurve bei Umparametrisierungen der Kurve gleich bleibt.

Der Metrik-Tensor

Im allgemeinen Fall drücken wir das Linienelement in einem Koordinatensystem mithilfe des “Metrik-Tensors” \(g_{\mu\nu}\) aus:

\( ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \\\ \)

Im Falle der Euklidischen Geometrie im R3 ist im Chartesischen Koordinatensystem der metrische Tensor:

\( g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Ein “Tensor” in diesem Sinne ist nichts anderes als eine (n x n)-Matrix für die man noch einige zusätzliche Regeln hat.

Weiterführende Anmerkungen

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie ART von Einstein, verändert die Anwesenheit von Materie den Raum, was auch “Gravitation” genannt wird.

Wir können das als eine Nicht-Euklidische Metrik verstehen, für die beispielsweise Karl Schwarzschild schon 1916 im vereinfachten Fall einer Kugelmasse (Schwarzes Loch) eine Formel gefunden hat.

Zu Veranschaulichung so einer Nicht-Euklidischen Metrik wird häufig von einer “Krümmung” der Raumzeit gesprochen. Diese “Krümmung” ist aber eigentlich nur eine andere Metrik, trotzdem stellt man sich die Abweichung von der herkömmlichen Euklidischen Metrik gern als “Krümmung” vor,

Da diese “Krümmung” (also Abweichung von der Euklidischen Metrik) aber nicht in eine weitere Dimension, sondern “in sich” d.h. als Stauchung bzw. Streckung erfolgt, würde ich gerne eine solche Abweichung durch ein Verbiegen des Koordinatengitters veranschaulichen. Also durch den optischen Vergleich der Koordinatengitter zweier Metriken.

===> Das Gitter, was ich hier meine, ist ein durch gleiche Abstände in der jeweiligen Metrik gegebenes Gitter – ist also eigentlich kein schlichtes Koordinatengitter, sondern ein Metrik-Gitter…

GeoGebra Gitternetz

Schwarzschild-Metrik

Ich habe zum Thema Schwarzschild-Metrik einen eigenen Artikel geschrieben.

 

 

Physik: Krümmung der Raumzeit

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum, Gravitation, Schwarze Löcher, Metrik, Koordinatensysteme

Krümmung der Raumzeit

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) basiert auf dem Postulat der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung.

Aus diesem Äquivalenzprinzip ergibt sich die Lichtablenkung in Gravitationsfeldern.

Wenn man trotzdem davon ausgehen möchte, dass das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, muss die Gravitation den Raum (besser die Raumzeit) entsprechend krümmen, sodass eine Metrik entsteht bei der der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten nicht unbedingt die Euklidische gerade Linie ist.

Wir wollen hier zunächsteinmal den Begriff der “Krümmung” ganz allgemein diskutieren.

Umgangssprachlich denkt man bei “Krümmung”, dass sich etwas in eine zusätzliche Dimension krümmt (s.u. die vielen Beispiele). Bei der von Einstein postulierten Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit wird aber für diese Krümmung keine 5. Dimension gebraucht. Die vierdimensionale Raumzeit ist nach Einstein  “in sich” gekrümmt; d.h. wir haben einen anderen Abstandsbegriff (eine andere Metrik, ein anderes Linienelement).

Krümmung bei Euklidischer Metrik

Unter der Krümmung eines geometrischen Objekts versteht man die Abweichung von einem geraden Verlauf; dazu bedarf es (mindestens) einer weiteren Dimension in die die Krümmung verläuft oder der Begriff “gerade” muss umdefiniert werden. Eine Kurve verläuft “gerade” wenn beim Durchlaufen mit konstanter Geschwindigkeit, keine Beschleunigungen “seitwärts”, sonder höchstens in der Normalen auftreten.

Wir betrachten eine Gerade. Solange sie wirklich geradeaus verläuft ist sie nicht gekrümmt. Wenn sie eine Kurve nach links (oder rechts) macht, haben wir eine Krümmung – und wir brauchen dafür (mindestens) eine zweite Dimension. Die Stärke der Krümmung kann mehr oder weniger sanft oder kräftiger sein. Wir messen die Stärke der Krümmung an einer Stelle durch einen sog. Krümmungskreis. Das ist ein Kreis, der sich in dem betrachteten Punkt am besten an die Kurve anschmiegt. Ein großer Krümmungskreis bedeutet eine kleine Krümmung ein kleiner Krümmungskreis ein starke Krümmung. Der Kehrwert des Radius ist das Maß für die Krümmungsstärke.

Die andere Frage ist, welche geometrischen Objekte sind es, die da “gekrümmt” werden?  Im einfachsten Fall ist es eine eindimensionale Linie in einer zweidimensionalen Ebene; also z.B. ein Funktionsgraph oder eine sog. Kurve. Kurven sind in diesem Zusammenhang sehr interessant als Teilmenge eines Vektorraums, die durch eine Abbildung von einem reellen Intervall in den Vektorraum  als sog. “parametrisierte” Kurve dargestellt werden kann. Das “Umparametrisieren” ist dann eine Äquivalenzrelation zwischen parametrisierten Kurven. Eine “Kurve” kann dann als Äquivalenzklasse solcher parametrisierten Kurven verstanden werden. Als Repräsentant einer Äquivalenzklasse nimmt man dann gerne eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve.

Wenn wir uns mit Kurven beschäftigen und speziell dann mit der Länge einer Kurve oder der Krümmung von Kurven, haben wir es mit Differentialgeometrie zu tun.
Dazu gibt es eine Reihe von sehr schönen Youtube-Videos:

Schritt 1: Krümmung einer Linie in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt ein Funktionsgraph von beispielsweise y = f(x) in der Ebene ist, können wir die Krümmung leicht berechnen:

Für eine zweimal differenzierbare Funktion  y = f(x) ergibt sich der Krümmungsradius an einem Punkt x zu:

\( \Large  r(x) = \left\vert \frac{(1+(f^\prime(x))^2)^\frac{3}{2}}{f^{\prime\prime}(x)} \right\vert  \)

Als Beispiel nehmen wir mal eine Parabel f(x) = 0,5 * x2
Dazu haben wir die Ableitungen:
f‘(x) = x
f“(x) = 1
Der Krümmungsradius beispielsweise am Punkt x0 = 0 beträgt dann laut obiger Formel:

\( \Large r(x_0) = \frac{(1+{x_0}^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 1 \\\ \)

Und zur Probe nehmen wir noch x=1:

\( \Large r(1) = \frac{(1+1^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 2^\frac{3}{2} = 2 \sqrt{2} \)

Dieses Beispiel habe ich entnommen aus https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/kurveneigenschaften-im-ebenen-raum/kruemmung/kruemmungsradius.html
Es wird grafisch veranschaulicht durch:

Schritt 2: Krümmung einer Kurve in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt eine “richtige” Kurve in der Ebene ist, wird die Krümmung anders berechnet.

Als “richtige” Kurve (in der Ebene) betrachten wir von der obigen Parabel das Kurvenstück von x=-1 bis x=1. Als Parametrisierte Kurve, wobei der Parameter t auch von -1 bis 1 laufen möge, (was wir uns z.B. als Zeit vorstellen könnten) sieht das dann so aus:

\( \Large \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} t \\\ \frac{1}{2}t^2  \end{array}\right)  \\\  \)

Um die Krümmung zu brechnen ermitteln wir zuerst:

\( \Large \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ t  \end{array}\right)  \)

womit dann:

\( \Large ||\alpha^\prime(t)||^2 =  1 +  t^2   \\\  \)

und mit:

\( \Large \alpha^{\prime\prime}(t) = \left( \begin{array}{c}  0 \\\ 1  \end{array}\right)  \)

ergibt sich:

\( \Large det(\alpha^\prime(t), \alpha^{\prime\prime}(t)) = 1  \\\ \)

und damit ergibt sich dann die Krümmung zu:

\( \Large \kappa_\alpha(t) = \frac{1}{(1 + t^2 )^\frac{3}{2}}  \)

Bei t=0 ist dann die Krümmung:

\( \Large \kappa_\alpha(0) = 1 \\\  \)

und zur Probe nehmen wir noch t=1:

\( \Large \kappa_\alpha(1) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\\ \)

Weil t=x ist, stimmt das mit den Berechnungen des Krümmungsradius (s.o. Schritt 1) exakt überein.

Schritt 3: Krümmung einer Fläche im Raum

Analog können wir uns gekrümmte Flächen im Raum vorstellen. Hier kann allerdings der Krümmungsradius in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sein. Inetwa so die wir das von einem Gradienten kennen.

Auch in diesem Fall stellen wir uns das ganz klassisch geometrisch vor als Krümmung in eine weitere Dimension.

Krümmung per Nicht-Euklidischer Metrik

In der Allgemenen Relativitätstheorie spricht man auch von “Krümmung” z.B. Krümmung des Raumes oder Krümmung der Raumzeit.

Hier basiert die “Krümmung” nicht auf einer zusätzlichen Dimension, sondern auf einer speziellen Metrik in ein und demselben Raum. Unter “Metrik” versteht man ja eine Vorschrift, die zwei Punkten in dem betreffenden Raum einen Abstand zuordnet.  So eine Metrik definiert dann auch automatische die Längen von Linien…

Geodätische Linie

Die Linie, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten bildet, nennt man Geodät oder auch Geodätische LInie. Auf der Erdoberfläche kennen wir das z.B. bei der Seefahrt oder Luftfahrt wenn wir beispielsweise die Flugroute von London nach Los Angeles betrachten:

Geodätische LInie Moskau - Los Angeles

Das Licht läuft immer auf einer Geodäte, nimmt also die kürzeste Verbindung. Das kann “gekrümmt” aussehen…

Krümmung ohne zusätzliche Dimension

Für eine solche Krümmung benötigen wir aber nicht zwingend eine zusätzliche Dimension. Die Krümmung kann auch “in sich” durch andere Abstandsgesetze (= Metriken) bewirkt werden.
Siehe Schwarzschild-Metrik

 

Physik: Magnetisches Feld

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elektrisches Feld, Vektorraum, SI-Einheiten

Das Magnetische Feld

Analogie zum Elektrischen Feld

Schon seit Jahrhunderten kennt man den Kompass, dessen Magnetnadel sich in die Richtung des Magnetfeldes der Erde ausrichtet.

Ein “Magnet” erzeugt ein Magnetfeld. Wenn ich in ein solches Magnetfeld einen kleinen “Probemagneten” einbringe, so übt das magnetische Feld eine magnetische Kraft auf diesn kelinen “Probemagneten” aus…
Dann hätte man in Analogie zum elektrischen Feld:

Magnetische Feldstärke = Magnetische Kraft /  Magnetische Probeladung

Magnetfelder können verursacht werden durch:

  • magnetische Materialien, etwa einen Dauermagneten,
  • elektrische Ströme, z. B. eine stromdurchflossene Spule oder
  • zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes.

Die Definition eines magnetischen Feldes \( \vec{B} \) kann man durch folgende Formel erreichen:

\( \vec{F} = q \cdot \vec{v} \times \vec{B} \)

Dabei bewegt sich eine elektrische Ladung (q) mit der Geschwindigkeit \( \vec{v} \) und erfährt eine Kraft von \( \vec{F} \), die durch das Magnetfeld \( \vec{B} \) hervorgerufen wird.

Historisch gesehen gibt es den Begriff der “Feldstärke” beim Magnetfeld nicht. Wir haben aber eine Größe “Magnetische Flußdichte”, die soetwas ähnliches ist.

Eine besonders einfache Situation ist ein gerader elektrischer Leiter, der von einem konstanten elektrischen Strom durchflossen wird – das wurde schon von Hans Christian Oersted (1777-1851) untersucht. Für einen Strom der Stärke I durch den Leiter bekommen wir im Abstand r ein Magnetfeld von:

\( \vec{B} = \Large \frac{\mu \cdot I}{2 \pi \cdot r} \)

Fragen / Probleme

  • in welchen Masseinheiten misst man ein Magnetfeld  (Tesla, Gauß,…) ?
  • Eigentlich haben wir nur magnetische Dipole

Die sog. Lorentzkraft – Elektromagnetismus

Auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte elektrische Ladung q wirkt im elektromagnetischen Feld eine Kraft. Für diese sog. Lorentzkraft haben wir die Formel:

\( \vec{F} = q \cdot (\vec{E} + (\vec{v} \times \vec{B})) \)

Wo bei E die elektrische Feldstärke und B die magnetische Feldstärke (historisch: Flussdichte) sind.

Und dann gibt es noch einen Dynamo und ein Induktionsgesetz….

 

 

Physik: Elektrische Felder – Coulomb

dkracht

Gehört zu: Elektrodynamik
Siehe auch: Gravitation, Magnetisches Feld, Vektoren, SI-System, Niels Bohr
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Stand: 22.08.2021

Ruhendes Elektrisches Feld

In der Elektrostatik werden ruhende und zeitlich unveränderliche Elektrische Felder beschrieben.

Die physikalische Größe elektrische Feldstärke (E) beschreibt die Stärke und Richtung eines elektrischen Feldes, also die Fähigkeit dieses Feldes, Kraft (F) auf Ladungen (q) auszuüben. Sie ist ein Vektor und ist in einem gegebenen Punkt definiert durch:

\( \Large \vec{E} =  \frac{\vec{F}}{q} \\\ \)

Die Maßeinheit der Elektrische Feldstärke ist also Newton / Coulomb, was das Gleiche ist wie V / m.

Bewegtes Elektrisches Feld

Laut Wikipedia ist die klassische Elektrodynamik (auch Elektrizitätslehre) das Teilgebiet der Physik, das sich mit bewegten elektrischen Ladungen und mit zeitlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern beschäftigt. Die Elektrostatik als Spezialfall der Elektrodynamik beschäftigt sich mit ruhenden elektrischen Ladungen und ihren Feldern. Die zugrundeliegende Grundkraft der Physik heißt elektromagnetische Wechselwirkung.

Analogie: Gravitationsfeld

Analog müssten wir für das Gravitationsfeld einer Punktmasse M die Gravitationskraft (F) durch die “Probemasse” m dividieren, um die “Gravitationsfeldstärke” g zu erhalten:

\( \Large \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = G \frac{M}{r^2} \\\ \)  (in radialer Richtung)

Diese “Gravitationsfeldstärke” wird aus historischen Gründen “Gravitationsbeschleunigung” genannt.

Analogie: Magnetisches Feld

Auch beim Magnetismus stellt man sich ein Kraftfeld vor: das Magnetische Feld…

Elektrostatik: Coulombsches Gesetz

Das Elektrische Feld einer Punktladung q ist:

\( \Large E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \\\ \) (in radialer Richtung)

Daraus ergibt sich das sog. Coulombsche Gesetz für die Anziehungskraft zweier elektrischer Ladungen:

\( \Large F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \\\ \)

Bohrsches Atommodell

Siehe: Niels Bohr

 

Mathematik: Data Science

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Python

Ein neues Buzzword: Data Science

Öfters habe ich schon Vorlesungen auf dem Youtube-Kanal von Prof. Dr. Weitz von der Hamburger Hochschule für Angewandte Wissenschaften (“HAW” – früher: Fachhochschule Berliner Tor) gehört.

Er arbeitet da mit Computer-Software wie:

  • MATLAB
  • Mathematica, was sehr teuer ist. Kann CDF-Dateien erzeugen, die mit einem CDF Player abgespielt werden können
  • jupyter: Link https://jupyter.org/
  • SymPy: Link https://www.sympy.org/en/index.html
  • GeoGebra Link: https://www.geogebra.org/?lang=de
  • WolframAlpha Link: https://www.wolframalpha.com/
  • p5.js Link: https://editor.p5js.org/
  • Anaconda (zum Installieren von Paketen etc.) Link: https://www.anaconda.com/individual-tutorial?source=win_installer

und anderen.

Herr Weitz unterscheidet sog. Computer Algebra Systeme (abgekürzt CAS) von Numerischen Systemen…

Als Programmiersprache kommt man wohl an JavaScript nicht vorbei, das sich in den letzten Jahren enorm weiterentwickelt hat: z.B. https://eloquentjavascript.net/Eloquent_JavaScript.pdf

 

 

Astrofotografie: ASCOM Remote Server – Alpaca

dkracht

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: ASCOM Platform
Benutzt: Fotos aus pCloud

Stand: 22.12.2022

Der ASCOM Remote Server – Alpaca

Unter dem Begriff “Alpaca” wird seit einiger Zeit mit ASCOM über Netzwerk also in Client/Server-Architektur herumgefummelt.

Seit der ASCOM Version 6.5 ist Alpaca unter dem Namen “ASCOM Remote” offiziell dabei. Den sog. “ASCOM Remote Server” muss man zusätzlich zur ASCOM Platform herunterladen und installieren.  ASCOM Remote Clients benötigt man bei der Version 6.5 nicht mehr zusätzlich; solche Clienets sind als sog. “dynamic clients” in der ASCOM Platform enthalten.

Meine vorhandenene Remote-Lösung mit Windows-Computern und VNC

Ich habe am Teleskop (also im Felde) einen kleinen Nano-Computer von Zotex namens “ZBox01”. Dieser Computer läuft unter Windows 10 Professionel. An diesen Computer sind alle Astro-Geräte angeschlossen und auf diesem Computer läuft meine komplette Astro-Software. Schlussendlich ist dieser kleine lokale Computer in meinem häuslichen Netzwerk eingebunden und ein VNC Server läuft darauf zwecks Bedienung per Remote Control.

Mein “Bedien-Computer” ist in der warmen Stube und ebenfalls mit meinem häuslichen Netzwerk verbunden. Auf diesem Computer ist keine Astro-Software installiert; lediglich per VNC Client kann ich mich auf den draussen am Teleskop befindlichen Nano-Computer aufschalten und ihn “remote” bedienen.

Diese Lösung gefiel mich von der Architektur her eignetlich nicht so sehr – schließlich muss der Nano-Computer draussen am Teleskop die ganze Arbeit machen. Aber diese Architektur ist total simpel und hat keine zusätzliche Komplexität und keine zusätzlichen Fehlermöglichkeiten.

Bekannte Schwachstellen meiner oben beschriebenen Remote-Lösung können sein:

  • Der draussen befindliche Nano-Computer muss stabil mit dem Nerzwerk verbunden sein (WLAN oder Kabel)
  • Der Remote Desktop Mechanismus muss stabil funktionieren. Ich verwende Tight VNC  (nicht TeamViewer und auch nicht Microsoft Remote Desktop)
  • Die Video-Übertragung vom Nano-Computer über VNC auf den häuslichen Computer muss leistungsfähig genug sein (für das, was ich astronomisch machen möchte)

Da ich nun von dem neuen ASCOM Remote gehört habe, möchte ich das einmal ausprobieren – vielleicht ist das ja auch für mich die Zukunft. Vom Grundsatz erkenne ich bei ASCOM Remote Server schon einmal folgende Restriktionen:

  • Astro-Geräte werden nur über die ASCOM-Treiber angesprochen (sog. “native” Treiber gehen nicht)
  • Eine Video-Übertragung ist (zur Zeit?) nicht möglich

ASCOM Remote: Installation und Konfiguration

Wie man ASCOM Remote auf so einer reinen Windows-Landschaft (wie oben beschrieben) aufbaut, habe ich den begeisterten Videos der ASCOM-Super-Freaks (z.B. der gute Robert B. Denny) leider nicht entnehmen können. Folgendes habe ich dann aber durch Trail and Error herausfinden können:

Auf dem Nano-Computer (=”Server”)

  1. ASCOM Remote Server auf dem Nano-Computer installieren. Der heist bei den ASCOM-Freaks jetzt “der Server”.
  2. Auf diesem (kleinen) Server auch die ASCOM-Platform 6.5 installieren
  3. Auf diesem (kleinen) Server auch die ASCOM-Treiber meiner Astro-Geräte instllieren (HEQ5 Pro, GP-CAM, ZWO ASI 294MC Pro, PegasusAstro Dual Mode Focusser)
  4. Astro-Geräte mit dem (kleinen) Server per Kabel verbinden
  5. Den ASCOM Remote Server auf dem Nano-Computer starten

Auf dem häuslichen “Bedien-Computer” (=”Client”)

  1. ASCOM-Platform 6.5 installieren
  2. Astro-Sofware installieren (APT, PHD2 Guiding, SharpCap,…)
  3. dann Geräte über ASCOM verbinden, also über den ASCOM Chooser as Gerät den “ASCOM Remote Client 1” auswählen…

Für jeden Geräte-Typ gibt es einen “Chooser”. Beispielsweise den ASCOM Camera Chooser:

Abbildung 1: ASCOM Camera Chooser (pCloud: ASCOM_Remote_11.jpg)

Erst wenn man den “ASCOM Remote Client 1” aus dem Drop-down ausgewählt hat, werden die Schaltflächen “Properties…” und “OK” aktiv.

(Man könnte auch oben in der Meüleiste auf “Alpaca” klicken und ein Discovery durchführen. Dann könnte man möglicherweise mit dynamischen clients arbeite, was bei mir aber leider nicht funktioniert hat. Dazu der Link: https://ascom-standards.org/Help/Platform/html/e3870a2f-582a-4ab4-b37f-e9b1c37a2030.htm)

Nun Klicken wir auf die Schaltfläche “Properties” und es erscheint das Konfigurations-Fenster für eine Kamera – evtl. sieht man dieses neue Fenster nicht, wenn es hinter anderen größeren fenstern versteckt ist…

Abbildung 2: ASCOM Camera Chooser Properties (pCloud: ASCOM_Remote_12.jpg)

Erst wenn wir dieses Fenster gefunden haben und dort auf “OK” geklickt haben, geht es weiter. Das Fenster schießt sich und das kleine Fenster des ASCOM Camera Choosers wird wieder sichtbar.

Und es passiert nichts, und wir warten, und es passiert nichts.

Erst wenn wir in diesem keinen Fenster des “ASCOM Camera Choosers” erneut auf “OK” klicken geht es wirklich weiter.

Dann sehen wir in unserer Astro-Software (hier im Beispiel APT) wie sich die Astro-Geräte am Nano-Computer (der “Server”) mit der Astro-Software auf dem häuslichen Bedien-Computer (der “Client”) verbinden:

Abbildung 3: APT Remote Connect (pCloud: ASCOM_Remote_13.jpg)

Mein Fazit

Allerdings ist ASCOM Remote für mich noch nicht routinemäßig nutzbar denn:

  • Meine Kamera ZWO ASI294MC Pro wird so nur über den ASCOM-Treiber verbunden und kann die Video-Funktionen des Windows-Treibers (“native”) nicht nutzen.
  • ASCOM-Remote kann generell Video-Bilder nicht übertragen
  • Für meine DSLR Canon EOS 600Da gibt es noch nicht einmal einen ASCOM-Treiber – aber APT kann “native” damit arbeiten

Also bleibe ich bei meiner Remote-Lösung mit VNC.

Consulting: Root-Artikel

dkracht

Gehört zu Consulting

Themen im Consulting

Ich habe im Laufe meines Berufslebens einiges zum Thema “Consulting” oder “Beratung” gesammelt. Es ist in der Tat zunächst einmal ein Sammelsurium:

Berufsleben im Consulting

Klöckner-Werke AG

xyz

IBM

xyz

GMO

xyz

Meta-Group

xyz

Gartner

6.6.2011 Firma Merck Seronno in Genf

 

Telekommunikation: Smartphone Samsung Galaxy S3 mini

dkracht

Gehört zu: Android, SmartPhones

Siehe auch: Android, Sony Xperia Z1 Compact

Telekommunikation: Mobiltelefon Samsung Galaxy S3 mini

Die Situation

Ein schönes altes Mobiltelefon SmartPhone Samsung Galaxy S3 mini habe ich in 2020 “geerbt”.
Die nicht mehr in Benutzung befindlichen Mobiltelefone liegen bei mir in einer Schublade.

Fakten zum Galaxy S3 mini

  • Aufladen: über Micro-USB-Anschluss (unten, Mitte)
  • Anschalten: Knopf rechts, halb hoch
  • Akku: 1500 mAh bei 3,7 V – Li Polymer einfach wechselbar
  • Betriebssystem: Android 4.1.2 Jelly Bean
  • Prozessor: ST-Ericsson NovaThor U8500 taktet mit 1,2 GHz. (vor Qualcomm)
  • Gerätespeicher (intern): 8 GB
  • Externer Speicher: bis zu 32 GB mit microSD-Karte (intern)
  • Sensoren: Beschleunigungssensor, Gyroskop, Annäherungssensor, Kompass
  • Mobilfunk: 3G (UMTS/HSDPA)
  • GPS; ja
  • WLAN: ja
  • Bluetooth: ja

Einstellungen beim S3 mini

Betriebssystem Android 4.1.2 muß geflashed werden, da wichtige Anwendungen damit nicht laufen.

Mit Odin im Download.Modus CyanoMod aufgespielt mit Image von Android 5.1

Im Recovery-Modus GApps aufgespielt.

 

Physik: Wellengleichung

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Von Phythagoras bis Einstein, Schroedinger

Stand: 27.9.2024

Die Wellengleichung von D’Alembert

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

\(\Large  \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} – \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_i} = 0 \)

für eine reelle Funktion u (t, x1, x2,…,xn) der Raumzeit.

Hierbei bedeutet u die Auslenkung der Welle zur Zeit t am Ort x=(x1, x2,…,xn) und  n die Dimension des Raumes.
Der Parameter c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.

Die eindimensionale Wellengleichung

Im einfachen Fall nur einer Raumdimension (n=1) bekommen wir als Wellengleichung:

\(\Large  \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} –  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \\\)

Und als Lösung  für harmonische Schwingungen bekommen wir als Wellenfunktion:

\( u(t,x) = A \sin (2\pi (\frac{c t}{\lambda} – \frac{x}{\lambda})) \\\)

Wobei A die Amplitude und λ die Wellenlänge sein soll.

Manchmal benutzt man auch die sog. Wellenzahl \( k = \frac{1}{\lambda} \).

Eine einfache Lösung der Wellengleichung im eindimensionalen Raum wäre (mit A=1, λ = 2π):

\( u(t,x) = \sin(x + ct) \)

Also eine eindimensionale Wellenfunktion.

Ebene Wellen

Eine ebene Welle ist eine Welle im dreidimensionalen Raum, deren Wellenfronten (d.h. Flächen gleichen Phasenwinkels) parallele Ebenen bilden. Die Ausbreitungsrichtung der Welle steht senkrecht dazu. Diese Richtung ist also räumlich konstant.

Siehe auch: Kugelwelle

Transversal – Longitudinal – Polarisierung

Eine Transversalwelle (Quer-, Schub- oder Scherwelle) ist eine Welle, bei der die Schwingung senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung erfolgt. Das Gegenteil ist eine Longitudinalwelle (Längswelle), bei der die Schwingung in Richtung der Ausbreitungsrichtung stattfindet.

Transversalwellen sind polarisierbar, da die Schwingung in der gesamten Ebene möglich ist, die senkrecht auf ihrer Ausbreitungsrichtung steht.

Stehende Wellen

Ein wichtiger Spezialfall sind sog. “Stehende Wellen”. Sie haben Knoten und Bäuche.

An einem festen Ende ist immer ein Knoten (Auslenkung Null) und an einem offenen Ende ist immer das Maximum eines Bauches.

Betrachten wir zwei feste Enden, so ist für die Gundschwingung: \( \frac{\lambda}{2} = L  \) und die Oberschwingungen ungerade Vielfache von lambda/2.

Weiterführendes

Stehende Wellen spielen eine Rolle

Physik: Thermodynamik – Wärmelehre

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Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenmechanik, Physikalische Größen, Ideale Gase
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Stand: 29.06.2023   (neu: Zustandsgrößen)

Die Thermodynamik

Warnung / Disclaimer

Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber kleinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut.
Wenn Podukteigenschaften beschrieben werden, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.

Die Thermodynamik oder Wärmelehre ist eine natur- und ingenieurwissenschaftliche Disziplin. Das hauptsächliche Thema ist das Studium der Dampfmaschinen und die Frage, wie man Wärme in mechanische Arbeit umwandeln kann.

In der Thermodynamik (=Wärmelehre) werden wir erstmals irreversible Prozesse sehen. So etwas gab es in der klassischen Mechanik nicht.

Es gibt zwei Ansätze in der Thermodynamik: die statistische Sicht und die phänomenologische Sicht.  Statistisch werden ganz viele “Mikrozustände” betrachtet – Phänomenologisch geht es um die nach außen sichtbaren “Makrozustände”. Generell geht man davon aus, das sich die Mikrozustände in gewisser Weise vollkommen ungeordnet, eben stochastisch, verhalten.

Die physikalische Größe “Temperatur” wird in der Thermodynamik neu in die Physik eingeführt und ist eben eine “makroskopische” Größe.
Ausserdem wird eine weitere physikalische Größe, die “Entropie” eingeführt, die sehr schwer zu verstehen ist (dazu weiter unter: Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

Phänomenologisch beschreiben wir den Zustand eines Systems oft durch die physikalischen Größen  Volumen, Druck und Temperatur (sog. Zustandsgrößen). Ein und der gleiche so beschriebene phänomenologischer Zustand kann dann aber durch viele unterschiedliche “mikroskopische” Zustände zustande kommen – eben statistisch.

Zustandsgrößen

Eine Zustandsgröße ist eine physikalische Größe, die – ggf. zusammen mit anderen – den Zustand eines physikalischen Systems zu einem gegebenen Zeitpunkt beschreibt und zwar unabhängig davon, auf welchem Wege er zustande gekommen ist; also unabhängig von der “Vorgeschichte” des Systems.

So sind beispielsweise Druck und Temperatur klassische Zustandsgrößen, aber die physikalische Größe “Arbeit” nicht. Letztere bezeichnet man dann als  sog. “Prozessgröße”.

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Stichworte:

  • Wärme, Temperatur, Entropie
  • Ideales Gas
  • Irreversible Prozesse
  • Perpetuum mobile
  • Dampfmaschine
  • Thermodynamisches Gleichgewicht
  • Freiheitsgrade
  • Phasenraum

Temperatur – Thermodynamisches Gleichgewicht

Bringt man zwei Körper unterschiedlicher Temperatur zueinander in Kontakt, so stellt sich nach einer gewissen Zeit ein sog. “thermodynamisches Gleichgewicht” ein. Dann sind die Temperaturen beider Körper gleich.

So können wir schon einmal sagen, wann zwei Temperaturen gleich sind, aber haben noch keine Messskalen.

Temperatur – Messung der Temperatur

Die Temperatur ist eine Basis-Einheit des SI-Systems. Historisch wurde die Temperaturskala durch bestimme Fixpunkte festgelegt zwischen denen man dann interpolieren musste.

Als solche Fixpunkte hatte man benutzt Schmelzpunkte bzw. Gefrierpunkte von Wasser, Wasserstoff, Gold etc. Später ging man auch dazu über sog. Trippelpunkte als Fixpunkte zu benutzen.

Zur Interpolation zwischen solchen Fixpunkten nutzt man temperaturabhängege Eigenschaften von Körpern; wie z.B. die Längenausdehnung eines Metallstabes oder die Volumenausdehnung von Flüssigkeiten.

1948 wurde durch die 9. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) festgelegt, dass eine absolute thermodynamische Skala den Tripelpunkt des Wassers als einzigen fundamentalen Fixpunkt haben sollte. Vor allem die starke Abhängigkeit des Siedepunkts vom Luftdruck hatte die Temperatureichung über die bisherigen Fixpunkte schwierig gemacht. Der Tripelpunkt hingegen war leicht und eindeutig reproduzierbar.

1954 wurde das Kelvin von der CGPM in der bis zum 19. Mai 2019 gültigen Form definiert und zur Basiseinheit erklärt. Dadurch bekam zugleich das Grad Celsius eine neue Definition. Die Bezeichnung war zunächst „Grad Kelvin (°K)“ und wurde 1967 auf „Kelvin (K)“ geändert. Die Definition lautete seitdem: „Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.“.

2019: Anbindung an die thermische Energie: Die thermodynamische Temperatur ist direkt proportional zur thermischen Energie, mit der Boltzmann-Konstanten als Proportionalitätsfaktor  (1.380649 * 10–23 Joule/Kelvin). Solange die Einheiten von Energie (Joule) und Temperatur (Kelvin) unabhängig voneinander definiert waren, musste die Boltzmann-Konstante experimentell bestimmt werden. Diese Messungen wurden im Laufe der Zeit immer präziser und erreichten schließlich die Genauigkeit der Realisierung des Kelvin über den Tripelpunkt des Wassers. Damit war die Existenz zweier konkurrierender Definitionen nicht mehr zu rechtfertigen. Der Boltzmann-Konstanten wurde ein fester Wert in der Einheit J/K zugewiesen und das Kelvin dadurch direkt an das Joule gekoppelt. Der Wert der Boltzmann-Konstanten, die seitdem ein nur durch Konvention festgelegter Skalierungsfaktor ist, wurde so gewählt, dass das neue Kelvin möglichst genau mit dem alten übereinstimmte. Diese Änderung trat mit der Revision des Internationalen Einheitensystems am 20. Mai 2019 in Kraft.

Adiabatischer Prozess

Das Wort adiabatisch beschreibt in der Thermodynamik einen Prozess (eine Zustandsänderung), bei dem ein System keine Wärme mit seiner Umgebung austauscht. Das System ist also thermisch isoliert, sodass Änderungen nur durch Arbeit (z. B. Kompression oder Expansion) und nicht durch Wärmezufuhr oder -abgabe erfolgen.

Bei einer adiabatischen Zustandsänderung bleibt die zugeführte oder abgegebene Wärme ΔQ = 0.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine besondere Form des Energieerhaltungssatzes aus der Mechanik. In Worten bedeutet dies: Die Änderung der inneren Energie eines geschlossenen Systems ist gleich der Summe der Änderung der Wärmemenge und der Änderung der Arbeit.

In Formeln kann man das so ausdrücken:

\( \Delta U = \Delta Q + \Delta W \)

wobei:

  • U innere Energie des Systems
  • Q der Wärmeinhalt (Wärmemenge) des Systems – positiv, wenn dem System zugeführt – negativ, wenn aus dem System abgeführt
  • W die vom System geleistete mechanische Arbeit – positiv, wenn dem System zugeführt – negativ, wenn nach außen geleistet

Zweiter Haupsatz der Thermodynamik

Vorzugsrichtung von Prozessen. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Formulierung von Rudolph Clausius (1822-1888) lautet: „Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.

Zustandsveränderungen können reversibel (wie in der klassischen Mechanik) oder irreversibel sein. Irreversible Prozesse laufen nur in einer Richtung ab und nicht umgekehrt. Bei reversiblen Prozessen bleibt die Entropie gleich, bei irreversiblen Prozessen nimmt die Entropie zu.

Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik kann mit Hilfe des Begriffs der Entropie auch so formuliert werden, dass die Entropie (eines geschlossenen Systems) niemals abnehmen kann.

Damit bekommt die Zeit eine Richtung.

Ideale Gase

Das Einfachste, mit dem sich die Thermodynamik gern befasst, sind die sog. Idealen Gase.

Boltzmann

Der österreichische Physiker Ludwig Boltzmann (1844-1906) beschreibt mit seiner “Boltzmann-Gleichung” die Dynamik eines idealen Gases und definiert die physikalische Größe Entropie über Mikro- und Makro-Zustände…

Thermodynamische Zustandsänderungen

Ein thermodynamischer Prozess kann zu einer thermodynamischen Zustandsänderung führen. Solche Zustandsänderungen (Prozesse) können reversibel oder irreversibel sein.

Zustandsgrößen beschreiben den Zustand eines thermodynamischen Systems; wobei es egal ist, auf welchem Wege man den betreffenden Zustand erreicht.

Typische Zustandsgrößen sind:

  • Volumen: V
  • Druck: p
  • Innere Energie: U
  • Entropie: S

Zustandsänderungen eines thermodynamischen Systems werden durch die Veränderung von Zustandsgrößen beschrieben.

  • Isotherme Zustandsänderung: Keine Temperaturänderung, also T=const. bzw. Δ U = 0
  • Adiabatische Zustandsänderung: Kein Wärmeaustausch, also Δ Q = 0

Veranschaulichen kann man sich solche Zustandsänderungen gut an einem p-V-Diagramm.

Klassische Definition der Entropie

Schon früher haben wir physikalische Größen kennengelernt, die “unabhängig vom Weg”  waren: In einem konservativen Kraftfeld war die Arbeit, die nötig ist, um von A nach B zu kommen weg-unabhängig. Deshalb konnen wir da die potentielle Energie und das Potential einführen.

Analoges macht in der Thermodynamik Rudolf Clausius (1822-1888) mit seiner klassischen Definition der Entropie (Formelzeichen: S). Die Entropie stellt so etwas wie ein Maß für die “Irreversibilität” dar. Die SI-Maßeinheit der Entropie ist Joule/Kelvin.

Zunächst betrachten wir nur Zustandsveränderungen – also Deltas. Damit definieren wir Entropieveränderungen als:

\( \Large \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} \)

Der bekannte Carnot’schen Kreisprozess beschreibt im p-V-Diagramm ja eine geschlossene Kurve und ist insgesamt auch reversibel, da er ja aus vier Prozessschritten besteht, wovon jeder einzelne reversibel ist. Unsere Berechnungen des Carnot’schen Kreisprozesses hatten ja für die zwei isothermen Prozessschritte (w=warm, k=kalt) ergeben:

\( \Large\frac{\Delta Q_w}{T_w} + \frac{\Delta Q_k}{T_k} = 0  \)

Was uns zu einer generellen Formel (ohne Beweis) führt:

\( \Large \oint_\alpha \frac{d Q}{T} = 0 \)

für reversible Prozesse, die im p-V-Diagramm eine geschlossene Kurve “α” bilden.

In Analogie zum Potentialbegriff in einem Kraftfeld können wir auch hier ein “Potential” definieren, das wir “Entropie S(A)” am Aufsetzpunkt “A” nennen:

\( \Large S(A) = \int_O^A \frac{d Q}{T} \)

Mit einem festzusetzenden Referenzpunkt “O” .
Die physikalische Größe Entropie kann man in diesem Sinne sehr abstrakt definieren. Der Vorteil ist, dass die Entropie nun tatsächlich eine Zustandsgröße ist.

Statistische Definition der Entropie

Ludwig Boltzmann wird 50 Jahre nach Clausius eine schöne statistische Definition der physikalischen Größe Entropie geben.

Ein thermodynamischer Makrozustand (z.B. Druck eines Gases) kann durch sehr viele Mikrozustände der Gas-Moleküle (also Orte und Impulse) realisiert werden. Da wir es mit gigantisch großen Anzahlen von Molekülen zu tun haben setzen wir die Statistik ein und kommen zu Aussagen über Wahrscheinlichkeiten von Anordnungen (oder Unordnungen).

Die klassische Definition der Größe Entropie ist:

\( \Large S = k_B \log{P} \)

Wobei kB die Boltzmann-Konstante ist und P die Wahrscheinlichkeit mit der ein Makrozustand durch Mikrozustände eigenommen wird.

Durch die Benutzung des Logarithmus’ wird die Entropie zu einer richtigen extensiven (d.h. mengenartigen) physikalischen Größe. Wir können Entropie-Mengen sinnvoll addieren.

Die Frage ist dann noch, wo wir den Nullpunkt der Entropie setzen. Dazu hat Max Planck vorgeschlagen dass der Nullpunkt da liegen soll, wo es nur noch einen einzigen Mikrozustand gibt, durch den der Makrozustand realisiert werden kann. Das wäre ein ideales Kristallgitter in absoluter Ruhe. Also bei T=0 soll auch S=0 sein. Statt der Wahscheinlichkeit P benutzen wir dann also die Anzahl Mikrozustände Ω, die den Makrozustand realisieren. Max Planck war es auch, der vorgeschlagen hatte, die in der Formel vorkommende Konstante “Boltzmann-Konstante” zu nennen.

Damit kommen wir zu der berühmten Folmel, die auch auf Boltzmanns Grabstein auf dem Wiener Zentralfriehof steht:

\(\Large S = k_B \ln{\Omega} \)