Astronomie: Mein Workflow mit N.I.N.A.

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: N.I.N.A., APT, Mein Workflow mit APT
Benutzt: Grafiken aus GithubFotos aus Google Drive

Stand: 12.05.2023

Link:

Warum N.I.N.A. für meine Astrofotografie?

Nachdem ich auf die neue Astro-Software N.I.N.A. aufmerksam geworden bin, möchte ich mal zum Test nachstellen, ob und wie ich mit N.I.N.A. mindestens das Gleiche machen kann, wie mit APT.

Darüber hinaus hätte N.I.N.A. für mich echte Vorteile:

  1. Modernere, flexibleOberfläche (konfigurierbare Fenster)
  2. Autofokus mit HFR-Messung
  3. Bildausschnitt (“Framing”) mithilfe diverser Sternkarten und direkter Übenahme in den Sequencer (Aufnahmeplan).
  4. Manueller Rotator
  5. Mosaik-Assistent mit diversen Sternkarten
  6. Funktionserweiterungen durch Plugins
  7. Kostenlos und Open Source

Voraussetzungen für meinen Workflow mit N.I.N.A.

Bevor es losgeht, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein:

  • Ein Windows-Computer ist vor Ort vorhanden, hat Strom und die nötige Software ist installiert
  • N.I.N.A. ist installiert und konfiguriert (Planetariumsprogramm: Stellarium oder Cartes du Ciel)
  • Meine Montierung HEQ5 Pro ist aufgebaut und über EQMOD mit dem Computer verbunden
  • In EQMOD sind Standorte mit den genauen geografischen Koordinaten definiert
  • Das Teleskop mit Flattener und Kamera ist fokussiert.
  • Alle Geräte (die Montierung, der USB-Hub, die Kamera,…) sind mit Strom versorgt
  • Alle Geräte (die Montierung, die Kamera, der Motorfokusser,…) sind mit meinem Windows-Computer über Kabel (USB-Kabel; ggf. USB-Hub) verbunden

Mein N.I.N.A.-Workflow: Schritt für Schritt

Mein vorsichtiger Workflow besteht aus diesen Schritten:

  1. Anfangstellung herstellen
  2. Fokussieren
  3. Platesolving testen
  4. Polar Alignment
  5. Setzen von Alignment-Points
  6. Setzen eines ersten Alignment-Points
    1. Ein Zielobjekt anfahren (“Slew”)
    2. Foto machen
    3. Platesolving
    4. SYNC
    5. Kontrolle des ersten SYNC-Points
  7. Setzen eines zweiten Alignment-Points (SYNC-Point)
  8. Setzen eines dritten Alignment-Points (SYNC-Point)
  9. Foto-Sequenz erstellen
  10. Optional: Autoguiding anstellen
  11. Foto-Sequenz starten (Aufnehmen Light Frames)
  12. Aufnehmen Flat Frames
  13. Parken in Home-Position

Schritt 1: Anfangsstellung herstellen

Wir wollen den Ausgangspunkt für Gotos (bei N.I.N.A. “Slew” genannt) herstellen.

  • Montierung aufbauen und in die Waagerechte bringen
  • Ausbalancieren
  • Grobe Fokussierung auf terrestrisches Objekt
  • Montierung (HEQ5 Pro) gut auf die Home-Position ausrichten.
  • Strom an der Montierung anschalten.
  • Die Software N.I.N.A. mit der Montierung (über EQMOD) verbinden.
  • Im EQMOD-Hauptfenster:
    • Kontrolle: Anzeige zeigt: Deklination 90,0 Grad und Azimut Null Grad (das ist wichtig für das erste “Goto” bzw. “Slew”, wie es in N.I.N.A. heisst).
    • EQMOD Tracking anschalten auf “siderial” (das wäre wichtig für SYNC-Points und Autofokus, da dann HFR besser berechnet werden kann)
    • EQMOD-Zusatzfenster öffen durch Klick auf Schaltfläche “Schraubenschlüssel >>>”
  • Im EQMOD-Zusatzfenster
    • Site Information
    • Alignment/Sync Point Count=0

Abbildung 2: EQMOD Anfangsstellung (Google Drive: NINA-Workflow-01.jpg)

Schritt 2: Warten auf erste Sterne und mit der Software SharpCap fokussieren

Dazu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 3: Platesolving testen

Dazu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 4: Polar Alignment

Dazu habe einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 5: Setzen von Alignment Points

Ich will zunächst drei Alignment-Points setzen. Die prinzipielle Vorgehenweise ist für jeden Alignment-Point diese:

  1. Koordinaten des geplanten Alignment Points besorgen (z.B. aus Stellarium oder Cartes du Ciel)
  2. Mit N.I.N.A. dann:
    1. einen “Slew” (=Goto) auf dieses Target durchführen
    2. dann ein schönes Foto machen (Objekt kann ruhig verfehlt sein)
    3. dieses Foto plate solven
    4. bei erfolreichem Solve gleich ein Sync machen
  3. In EQMOD kann man kontrollieren, ob der Sync-Point dort angekommen ist

Abbildung 3: N.I.N.A. Workflow für einen SyncPoint (Github: NINA_Workflow.svg)

Schritt 6: Setzen eines ersten Alignment Points

In diesem Schritt wollen wir einen Alignment-Point auf ein Objekt nicht so weit von der Home-Position machen. Ich habe mir dazu Alpha Cephei ausgesucht. Dazu müssen wir die Koordinaten von Alpha Cephei als Ziel-Koordinaten in N.I.N.A. übernehmen, einen Slew (=Goto) auf das Zielobjekt machen, davon ein Foto machen, dieses Foto “platesolven” und schliesslich darauf “SYNCen”.

Um mit N.I.N.A. einen “Slew” (=Goto) Zielkoordinaten für ein Objekt zu erhalten, gibt es mehrere Möglichkeiten:

  • Möglichkeit 1: Im N.I.N.A. “Framing” die Ziel-Koordinaten aus dem Planetariumsprogramm übernehmen (im Abschnitt “Coordinates” auf das “GPS-Symbol” klicken
  • Möglichkeit 2: Im N.I.N.A. “Framing” die Ziel-Koordinaten vom Teleskop übernehmen
  • Möglichkeit 3: Im N.I.N.A. auf “Imaging” und dann in der Leiste oben rechts auf das Stern-Symbol klicken, aus dem Drop-down das Zielobjekt auswählen und “Slew”
  • Möglichkeit 4: …

Wir nehmen mal die erste Möglichkeit:

  • Das Planetariumsprogramm starten (Cartes du Ciel, Stellarium) und das erste Ziel dort auswählen (hier: Alpha Cephei)
  • In der Software N.I.N.A. den Reiter “Framing” aufrufen und im Bereich “Coordinates”  auf “übernehmen von Planetarium klicken” (21h 18m 35s, +62° 35′ 9″).
  • N.I.N.A. übernimmt dann die Ziel-Koordinaten vom ausgewählten Zielobjekt aus dem Planetariumsprogramm (und den Rotationswinkel)
  • N.I.N.A. holt dann ein Bild des Zielobjekts aus dem als “Image Source” ausgewählten SkyAtlas. Die Größe des Bildes richtet sich nach dem “Field Of View”.
  • Bildschauschnitt evtl. korrigieren (“Framing”)
  • Schaltfläche “Slew”   (N.I.N.A.’s Wort für “Goto”)

Abbildung 4: N.I.N.A. Framing -> Coordinates (Google Drive: NINA-Workflow-04.jpg)

Schritt 6.1: Ein Zielobjekt anfahren


N.I.N.A. Framing: Target Coordinates

In diesem Schritt  wollen wir auf das Zielobjekt Alpha Cephei schwenken (Slew = Goto).

  • Dazu scrollen wir im gleichen Fenster (Framing Assistent) herunter bis unter dem Bereich “Targets” die Schaltflächen “Recenter Image”, “Slew” etc. sichtbar werden.
  • Dann auf die Schaltfläche “Slew” (=Goto) klicken (“Slew” ist ausgegraut, wenn wir die Montierung noch nicht verbunden haben)
  • Das Zielobjekt wird jetzt nicht hundertprozentig getroffen sein, da der Ausgangspunkt des “Slew” (=Goto) nur die etwas ungenaue Home-Postion war. Das macht aber nichts, wir wollen ja hier nur einen ersten Alignment-Point (SYNC) setzten.

Abbildung 5: N.I.N.A. Framing -> Slew (Google Drive: NINA-Workflow-05.jpg)

Schritt 6.2: Foto machen

In diesem Schritt wollen wir ein erstes Foto machen.

  • In N.I.N.A. die Kamera (meine ASI294 MC Pro) verbinden und die Kühlung anstellen.
  • In N.I.N.A. auf den Reiter “Imaging” gehen und ein Foto machen (dazu Belichtungszeit und Gain so einstellen, das Sterne zu sehen sind).

Achtung: Nur wenn wir den Schiebeschalter “Save” auf “On” stellen, wird das Foto auch auf dem Computer gespeichert.

Abbildung 6: N.I.N.A. Imaging (Google Drive: NINA-Workflow-06.jpg)

N.I.N.A. Workflow: Imaging

Schritt 6.3: Plate Solving

In diesem Schritt wollen wir nun die tatsächlichen Koordinaten des Bildmittelpunkts ermitteln: Mit diesem Foto auf “Platesolving” gehen.
Als Ergebnis des Platesolving wurden die Koordinaten des Bildmittelpunkts ermittelt zu: RA 21 28 32 Decl +68 08 34 – was ein ganzes Stück entfernt ist (Error 5°) von dem angepeilten Ziel Alpha Cephei. Das macht aber nichts, das Telekop zeigt eben dorthin und wir haben einen ersten korrekten Alignment Point (weil wir Sync auf “On” gesetzt hatten).

Achtung: Bei N.I.N.A. gibt es die Besonderheit, dass die Funktion “Platesolve” selbständing ersteinmal ein Foto schiesst, Also Belichtungszeit und Gain dafür nochmals eingeben….

Abbildung 7: N.I.N.A Reiter Imaging, Funktion Platesolving (Google Drive: NINA-Platesolving-02.jpg)

Schritt 6.4: Sync

In diesem Schritt soll N.I.N.A. ein sog. “Sync” machen. Das macht N.I.N.A. ganz von alleine im Anschluss an das erfolgreiche Platesolving, denn wir hatten ja den Schiebeschater “Sync” auf “On” gestellt, damit werden die Koordinaten des durch Platesolving gefundenen Bildmittelpunkts als Sync-Point in EQMOD übernommen (im Beispiel: RA 21 28 32 Decl +68 08 34).

Schritt 6.5: Kontrolle des Sync Points

In diesem Schritt wollen wir kontrollieren, ob der Sync Point von N.I.N.A. auch in der Teleskopsteuerung EQMOD angekommen ist.

Abbildung 8: EQMOD Liste der Alignment Points  (Google Drive: NINA_EQMOD_SyncPoints.jpg)

Schritt 7: Setzen eines zweiten Alignment Points

Koordinaten von Beta Cas aus Cartes du Ciel: 00h 09m 12s, +59° 08′ 55″

Abbildung 9: NINA Framing Assistent: Target Coordinates (Google Drive: NINA-Workflow-36.jpg)

Nach Slew und Foto nun das Platesloving. Es ergibt: 00h 22m 08s, 59° 49′ 16′ (Error 1° 46′)

Abbildung 10: N.I.N.A. PLatesolving und SYNC (Google Drive: NINA-Workflow-38.jpg)

Abbildung 11: EQMOD Kontrolle der Alignment Points (Google Drive: NINA-Workflow-39.jpg)

Schritt 8: Setzen des dritten Alignment Points

Als dritten Alignment Point nehmen wir jetzt das “echte” Zielobjekt NGC281

Nach Slew und Foto nun das Platesloving. Es ergibt: 00h 07m 26s, 59° 07′ 32′ (Error 00° 13′)

Abbildung 12: NINA: After Slew now a new Platesolving (Google Drive: NINA-Workflow-42.jpg)

Schritt 9: Die Fotosequenz erstellen

Positionieren auf das Zielobjekt

In diesem Schritt geht es auf das “echte” Zielobjekt NGC281

Da ich von meiner Terrasse aus nur eine sehr begrenzte freie Sicht auf den Himmel habe, plane ich jetzt Beta Cassiopeia und NGC281 als Ziele zu nehmen.

  • In Stellarium das “echte” Beobachtungsobjekt auswählen (jetzt also: NGC281).
  • In N.I.N.A. Reiter “Framing” und Coordinates aus Planetariumsprogramm übernehmen.
  • Dort jetzt den Bildschimauschnitt schön einstellen (= Frame) und die Schaltfläche “Recenter Image” drücken.
  • Dann Schaltfläche “Replace as Sequence” klicken. Dadurch öffnet sich der Reiter “Sequence” und wir stellen dort ein, wieviele Aufnahmen wir machen wollen (Total #) und welche Belichtungszeit (Time) das Einzelfofo haben soll. Wir können auch das “Gain” und das “Dithering” einstellen.
    Bevor wir die Sequence starten sollten wir Überlegen, ob wir Autoguiding brauchen.

Framing auf NGC281 (Koordinaten 00h 52m 25s, +56° 33′ 53″)

Abbildung 13: NINA Framing an NGC281 (Google Drive: NINA-Workflow-44.jpg)

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Slew und Platesolving ergibt die Koordinaten 00h 52m 35s, 56° 34′ 19″ (Error 01′ 21″)

Abbildung 14: NINA Workflow: Final Platesolving (Google Drive: NINA-Workflow-45.jpg)

Nun gehe ich zurück zum “Framing” und klicke da auf die Schaltfläche “Replace as Sequence”

Abbildung 15: N.I.N.A. Sequence (Google Drive: NINA-Workflow-46.jpg)

In der Sequenz trage ich zusätzlich ein

  • Total # = 20
  • Time = 60

Entweder hatte ich schon vorher das Teleskop auf meine Zielposition gefahren oder ich schalte jetzt in der Sequenz “Slew to target” ein.

Ggf. kann ich an dieser Stelle auch aufhören und meine soweit eingerichtete Sequenz für späteren Gebrauch abspeichern.

Schritt 10: Optional: Autoguiding aktivieren

Bevor ich die Sequenz starte muss ggf. noch das Autoguiding gestartet werden.

Im nächsen Schritt aktiviere ich mein Autoguiding (optional)

  • Mit N.I.N.A. habe ich schon auf mein Zielobjekt geschwenkt (die Position wird zum Fotografieren also nicht mehr verändert)
  • Ich starte dann die Software PHD2 und verbinde die GuideCam und die Montierung
    • dort gehe ich  auf das “Loop”-Symbol und wenn ein paar Sterne zu sehen sind, lasse PHD2 automatisch einen Leitstern auswählen
    • dann auf das “Guide”-Symbol mit Shift-Klick zum Kalibrieren.
    • nach erfolgreicher Kalibrierung das Guiding in paar Minuten laufen lassen.
  • Dann zurück nach N.I.N.A.

Schritt 11: Foto-Sequenz starten (Light Frames aufnehmen)

In diesem Schritt können wir nun endlich die Foto-Sequenz starten

  • Im N.I.N.A. Reiter “Sequence” sehen wir unsere geplante Foto-Sequenz.
  • Wir sollten kontrollieren, ob jetzt wirklich bei der Montierung in EQMOD “Tracking Siderial”  aktuell ist

Schritt 12: Flat Frames aufnehmen

Dazu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben.

Schritt 13:  Abschalten

Im letzten Schritt schalten wir wieder ab:

  • Kamera langsam aufwärmen
  • Teleskop auf Park-Position
  • N.I.N.A. abschalten
  • Computer herunterfahren
  • Strom abschalten
  • Teleskop wetterfest bedecken

 

Computer: Mathematik – Vektorräume – Lineare Algebra

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: GrundlagenAlgebren, Matrizenrechnung, Tensor-Algebra, Relativitätstheorie, Metrik-TensorElektrisches Feld, Magnetisches Feld
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Stand: 27.11.2022  (Drehmoment, Archimedes, Skalarprodukt, Vektorbasis)

Youtube-Videos zur Vektor- und Tensorrechnung (für Physiker)

Youtube Videos von Prof. Wagner zur Vektor- und Tensorrechnung

  • VT I – 01 Affine und Euklidische Vektorräume:https://www.youtube.com/watch?v=NxQTRW-5vpk
  • VT I – 02 Inhalt und Winkel:https://www.youtube.com/watch?v=1cyrZZnhjjs
  • VT I – 03 Vektorbasen und Vektorkomponenten:https://www.youtube.com/watch?v=BD-Xb9Wj0I8
  • VT I – 04 Ko- und Kontravariante Vektorbasen:https://www.youtube.com/watch?v=XBMRx4rXPPg
  • VT I – 05 Anwendungen des Metriktensors:https://www.youtube.com/watch?v=okkfJEeEqk4
  • VT I – 06 Transformation zwischen Basen – Beispiele:https://www.youtube.com/watch?v=iieCaxYj2RQ
  • VT II – 01 Differentialoperatoren:https://www.youtube.com/watch?v=0tjWWS2DGmU&t=127s
  • VT II – 02 Anschauliche Interpretation der Differentialoperatoren:https://www.youtube.com/watch?v=Cyqahzn-cXw&t=3s
  • VT II – 03 Anwendungsbeispiele für Differtialoperatoren:https://www.youtube.com/watch?v=DfPGExmGRrs
  • VT II – 04 Kurven und Hyperflächen:https://www.youtube.com/watch?v=c07r4pARzHw
  • VT II – 05 Krummlinige Koordinaten:https://www.youtube.com/watch?v=yQlbJN8I6kk
  • VT II – 06 Krummlinige Koordinaten – Beispiele:https://www.youtube.com/watch?v=s1E_XeIgCpI&t=545s
  • VT II – 07 Transformationsverhalten, Tensoren:https://www.youtube.com/watch?v=srGlFECRijo&t=928s
  • VT II – 08 Bogenlänge von Kurven, Metrik:https://www.youtube.com/watch?v=2FCEKDMnKew&t=2075s
  • VT II – 09 Kovartiante Ableitung, Christoffel Symbole:https://www.youtube.com/watch?v=OnR5Ny47IXw
  • VT II – 10 Beispiele zur kovarianten Ableitung:https://www.youtube.com/watch?v=jQjsEK7GAVY
  • VT II – 11 Vektor-Differentaloperatoren in krummlinigen Koordinaten:https://www.youtube.com/watch?v=7PXs4_9RHWo&t=107s
  • VT II – 12 Eigenschaften der kovarianten Ableitung, Riemannscher Krümmungstensor:https://www.youtube.com/watch?v=I-OAGrUX580&t=429s
  • VT II – 13 Vom Riemannschen Krümmungstensor zu den Einsteinschen Feldgleichungen:https://www.youtube.com/watch?v=NqiV8SCtHCA&t=203s
  • VT II – 14 Geodätische Linien, Parallele Vektoren:https://www.youtube.com/watch?v=TfeTfqLa8vI

Vektorfelder und Skalarfelder

Was meint man mit dem Begriff “Feld”?

Das Wort “Feld” wird gerne gebraucht, wenn eigentlich eine ganz normale Abbildung (auch Funktion oder auch Verknüpfung genannt) gemeint ist – “just to confuse the Russians”.

Der Definitionsbereich so einer Abbildung ist ein “Raum”. Das kann ein sog. Euklidischer Raum oder auch eine Riemannsche Mannigfaltigkeit sein. Die Punkte (Orte) in so einem Raum kann man durch Koordinaten beschreiben.
Je nach dem ob der Wertebereich ein Vektorraum oder ein Körper (von Skalaren) ist, spricht man von “Vektorfeld” oder “Skalarfeld” und man schreibt gerne:

  • für ein skalares Feld: \( \Phi(r) \)
  • für ein Vektorfeld: \(  \vec{V}(r) \)

Wobei r ein Punkt aus dem Definitionsbereich ist (kein Vektor, sondern ein durch Koordinaten beschriebener Punkt)

Beispiele

  • Temperatur: Wenn wir jedem Punkt im Raume seine Temperatur zuordnen, haben wir ein Skalarfeld.
  • Höhe: Wenn wir jedem Punkt auf einer Landkarte die Höhe über dem Meeresspiegel zuordnen, haben wir ein Skalarfeld.
  • Wind: Wenn wir jedem Punkt auf einer Landkarte die Windrichtung und Windstärke zuordnen, haben wir ein Vektorfeld.
  • Gravitation: Wenn wir jedem Punkt im Raum die Richtung und Stärke der Gravitationskraft zuordnen (wäre mit einem kleinen Probekörper zu bestimmen), haben wir ein Vektorfeld, genannt Gravitationsfeld
  • Ein elektrisches Feld (ein Vektorfeld) gibt für jeden Punkt im Raum die Richtung und Stärke der elektrischen Kraft an, die auf ein kleines Probeteilchen der elektrischen Ladung +1 wirkt
  • Ein magnetisches Feld (ein Vektorfeld) gibt für jeden Punkt im Raum die Richtung und Stärke der magnetischen Kraft an, die auf ein kleines Probeteilchen wirkt

Visuelle Veranschaulichung von Feldern

Skalarfelder kann man beispielsweise durch Linien im Definitionsbereich, die alle einen gleichen Skalarwert haben, veranaschaulichen (z.B. Isotermen, Isohypsen etc.)

Vektorfelder veranschaulicht man sich gerne durch sog. “Feldlinien“; diese zeigen dann immer in die Richtung des Werte-Vektors. Beispiel: Feldlinien im Magnetfeld, die in Richtung der magnetischen Kraft zeigen…

Die Physiker sprechen gern von sog. Kraftfeldern. Der Begriff “Feld” hilft, die Vorstellung der Fernwirkung zu vermeiden (sagt Feynman). Die vier konzeptionellen Stufen der Kraftwirkung sind:

  • Die Kraft bewirkt eine Beschleunigung   (Newton)
  • Ein Feld bewirkt eine Kraft
  • Kraft durch Raumkrümmung (geometrische Vorstellung) (Einstein)
  • Kraft durch virtuelle Austauschteilchen

Eigenvektoren und Eigenwerte

Bei Linearen Abbildungen in den gleichen Vektorraum, also:

\(  f: V  \to V \\\)

sind Eigenvektoren dieser Linearen Abbildung Vektoren, die durch diese Abbildung nicht in ihrer Richtung verändert werden; d.h.:

\(  f(\vec{x}) = \lambda \vec{x} \\\)

und den Skalar λ nennt man dann den Eigenwert.

Häufig verwendet man Eigenvektoren und Eigenwerte, wenn die Lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben wird.

In der Quantenphysik spielt dies Konzept eine wichtige Rolle. Dort werden Eigenwerte als Messwerte bei einem Experiment interpretiert.

Das Skalarprodukt von Vektoren

Auf einem Vektorraum kann ein Skalarprodukt definiert sein (Vektor mal Vektor ergibt einen Skalar) –  Dies ist inspiriert aus der Physik durch Arbeit = Kraft mal Weg.

Vektorräume müssen aber nicht notwendig ein Skalarprodukt haben.

Wir werden sehen, dass so ein Skalarprodukt dann eine “Norm” induziert und damit eine Metrik, wodurch z.B. Grenzwertprozesse möglich werden.

Einen \(\mathbb{R}\)-Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch einen Euklidischen Raum, einen \(\mathbb{C}\)-Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch Hilbertraum – genauer Prähilbertraum.

Das innere Produkt zweier Vektoren v und w (auch Skalarprodukt oder Dot Product genannt) ist schreibt man:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} \) \( \Large \langle v,w \rangle \)

Definition des inneren Produkts

Man kann das innere Produkt geometrisch und anschaulich definieren oder aber auch mathematisch über Axiome.

Geometrische Definition

Unabhängig von einem Koordinatensystem – geometrisch definiert als:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} = ||  \vec{v} || \enspace || \vec{w} || \cos(\angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)) \)

Als Schlussfolgerung kann man die Länge eines Vektors auch per innerem Produkt darstellen als:

\( \Large || \vec{v} ||  = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} \\\ \)

In einem chartesischen Koordinatensystem (s.u.) berechnet sich das innere Produkt (Skalarprodukt) der Vektoren

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right]  \) und   \( \Large \vec{w} = \left[ \begin{array}{c} w_1 \\\ w_2 \\\ w_3  \end{array} \right]  \)

als   \( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 \)

Soweit haben wir das innere Produkt (Skalarprodukt) zweier Vektoren durch Winkel und Länge anschaulich definiert. Wir können auch umgekehrt Länge und Winkel durch das Skalarprodukt definieren:

Länge:

\( \Large || \vec{v} ||  = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} \\\ \)

Winkel:

\( \Large \cos(\angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right))  = \frac{ ||  \vec{v} || \enspace || \vec{w} ||}{ \vec{v} \cdot \vec{w}    }  \)

Das funktioniert aber nur, wenn wir schon ein Skalarprodukt haben.

Sprechweise: Tensoren statt Vektoren und Matrizen

Die Tensoren und die Tensorrechnung stammen eigentlich aus der Physik und sind für ganz praktische physikalische Problemlösungen “erfunden” worden. Ein Tensor in diesem Sinne ist einfach ein indiziertes Objekt. Die Indizes laufen normalerweise von 1 bis n, der Dimensionszahl des Raumes in dem wir arbeiten.

Ein Objekt mit einem Index wäre ein Tensor der Stufe 1, ein Objekt mit zwei Indizes ein Tensor 2. Stufe etc. Die “Objekte”, die man indiziert sind meist Reelle oer Komplexe Zahlen – allgemein gesagt Elemente eines Körpers – die man auch Skalare nennt.

Einen Tensor 1. Stufe schreibt man gerne \( a_i \) also mit einem Index – meist unten aber manchmal auch oben \( a^i \) .

Man kann so einem Tensor 1. Stufe auch einen Vektor zuordnen, wobei die indizierten Größen dann die Komponenten eines Vektors zu einer bestimmten Vektorbasis (s.u.) werden. Wenn man so einen Vektor meint, schreibt man das Ganze in Klammern – womit dann alle Komponenten des Tensors gemeint sind:

\( (a_i)  \)

Einen Tensor 2. Stufe schreibt man gerne \( {a_i}^j \) also mit zwei Indizes – teilweise unten und teilweise auch oben.

Man kann so einem Tensor 2. Stufe auch eine Matrix zuordnen, wobei die indizierten Größen dann als Zeilen und Spalten in der Matrix abgelegt werden. Wenn man so eine Matrix meint, schreibt man das Ganze in Klammern (da sind dann eben alle Komponenten drin):

\( ({a_i}^j) \\\ \)

Bei mehreren Indizes (also Tensoren der Stufe 2 und höher) ist es wichtig, dass die Reihenfolge der Indizes immer ersichtlich ist. Verwechselungsgefahr besteht ja speziell wenn man Indizes unten und oben hinschreibt.

Wenn ich zwei Tensoren 2. Stufe habe, kann ich die zugehörigen Matrizen ganz einfach multiplizieren indem wir mit der Einsteinschen Summenkonvention über den inneren Index (hier j) summieren:

\( ({a_i}^j)({b_j}^k) = ({a_i}^j \cdot {b_j}^k) \)

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Eigenschaften von Vektoren

Aus geometrischer und intuitiver Sicht spricht man auch von Längen und Winkeln:

  • Für die Länge eines Vektors (man sagt auch “Norm”) schreibt man:  \( \Large ||  \vec{v}  ||  \)
  • Für den Winkel zwischen zwei Vektoren schreibt man: \( \Large  \angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)  \)

Das äußere Produkt von Vektoren

Das äußere Produkt zweier Vektoren (auch Vektorprodukt oder Kreuzprodukt genannt) ist definiert als ein Vektor:

\( \Large \vec{v} \times \vec{w} = \vec{u} \)

Der Vektor u steht senkrecht auf beiden Vektoren v und w und hat die Länge \( \Large ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin(\angle \left( \vec{v}, \vec{w} \right)) \)

In einem chartesischen Koordinatensystem (s.u.) berechnet sich das äußere Produkt (Vektorprodukt) der Vektoren

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right]  \) und   \( \Large \vec{w} = \left[ \begin{array}{c} w_1 \\\ w_2 \\\ w_3  \end{array} \right]  \)

als   \( \Large   \vec{v} \times \vec{w} =   \left[ \begin{array}{c} v_2 w_3 – v_3 w_2  \\\ v_3 w_1 – v_1 w_3  \\\ v_1 w_2 – v_2 w_1  \end{array} \right]        \)

Anwendungen

Eine Anwendung für das Kreuzprodukt ist beispielsweise die Kreisbewegung, wo sich die Bahngeschwindingkeit aus Winkelgeschwindigkeit ω und Radius r wie folgt ergibt:

\( \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \\ \)

Bei der Rotation ergibt sich das sog. Drehmoment \(\vec{M}\)  aus dem Kraftvektor \(\vec{F}\) und dem Ortsvektor \( \vec{r} \) vom Bezugspunkt zum Angriffspunkt der Kraft:

\( \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \)

Hierin steckt auch das aus der Schulzeit bekannte Hebelgesetz (Archimedes von Syrakus 287 v.Chr. – 212 v.Chr.): Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

\(  V \times V \to V \)

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abblidung wird “Produkt” genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also:  a · b  oder einfach ab. In dieser Schweibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

\(   (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z  \\\ \)

 

\(   x \cdot (y + z)  = x \cdot y + x \cdot z  \\\ \)

 

\( a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\\ \)

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man  Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer \( a \cdot b  =  b \cdot a \) oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) oder nicht?

Beispiele:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine (assoziative) Algebra.

Hilbertraum und Operatoren

Ein Vektorraum über \(\mathbb{R} \) oder \(\mathbb{C} \) mit einem Skalarprodukt heisst “Prä-Hilbertraum”. Wenn so ein “Prä-Hilberraum” auch noch “vollständig” ist; d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert (bezüglich der Metrik), dann hat man einen echten Hilbertraum; Nach David Hilbert (1862-1943).

Abbildungen von einem Hilbertraum in sich selbst heissen auch “Operatoren“.

Beispiel: Differentialoperatoren

Koordinatensystem, Dimension

In einem Vektorraum V kann ich viele Koordinatensysteme haben. Jedes Koordinatensystem ist bestimmt durch eine Menge sog. Basis-Vektoren.

Dann kann jeder Vektor des Vektorraums als sog. Linearkombination aus den Basis-Vektoren dargestellt werden kann. Eine solche “Linearkombination” ist eine Summe von Basis-Vektoren, die mit geeigneten Skalaren multipliziert wurden.

Beispiel für eine Linearkombination:

\( \Large a  \vec{v} + b \vec{w} + c \vec{u} \)

Ganz genau genommen, spannt eine Basis nicht nur den ganzen Vektorraum auf (das wäre ein Erzeugendensystem), sondern enthält dabei eine minimale Anzahl von Vektoren (was äquivalent ist mit der eindeutigen Darstellung aller Vektoren des Vektorraums in Form von Linearkombinationen).

Beispiel für eine Basis (im Vektorraum \(\mathbb{R}^3\) ):

\( \hat{i} =\left[ \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0  \end{array} \right]   \hat{j} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0  \end{array} \right] \hat{k} =\left[ \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array} \right] \)

Und man schreibt dann auch gerne:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z  \end{array} \right] = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}\)

Ein Vektorraum kann mehrere Basen haben, die jeweils ein Koordinatensystem definieren. Dabei werden die Koordinaten (Komponenten) ein und desselben Vektors in verschiedenen Koordinatensystem auch verschieden sein, der Vektor selbst aber ist “invariant”. Wenn man einen Vektor als Liste von Koordinaten hinschreibt, muss man immer sagen. welche Basis gemeint ist.

Ein Vektorraum kann mehrere Basen haben, aber die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist immer die gleiche. Diese Anzahl nennt man “Dimension” des Vektorraums und schreibt:

Dimension des Vektorraums V: dim(V)

Beschreibung durch Basis-Vektoren: Lineare Transformationen

Eine Lineare Transformation kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren \( \hat{i} \) und \( \hat{j}  \) folgendes:

Wenn wir einen Vektor \( \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} \) betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

\( L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} )  \)

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren \( L(\hat{i}) \) und \( L(\hat{j}) \)  kennen, ist damit die Lineare Transformation L vollständig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise \( L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] \)   und \( L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] \)  wäre, bekämen wir eine Matrix:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right] \)

Wir schreiben also in den Spalten der Matrix die transformierten Basisvektoren.
Die Lineare Transformation könnte im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

\(\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\  -2 & 1 \\  \end{array} \right]  \left[ \begin{array}{c} x \\\ y  \end{array} \right] = x  \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2  \end{array} \right] + y  \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y  \end{array} \right]\)

Völlig analog werden auch Lineare Transformationen in drei oder mehr Dimensionen behandelt.

Beschreibung durch Basis-Vektoren: Wechsel von Koordinatensystemen

Wenn wir zwei Koordinatensysteme betrachten, dann haben die also zwei Basen (wir nennen sie “alte Basis” und “neue Basis”). Intuitiv ist klar, dass wenn die neue Basis z.B. längere Basisvektoren hat, dann sind die Vektorkomponenten kürzer (weil ja der gleiche Vektor wieder herauskommen soll). Die Vektorkomponenten verhalten sich also “umgekehrt” wie die Längen der Basisvektoren. Deshalb nennt man diese Vektoren “kontravariant“.

Wir können das auch haarklein ausrechnen:

  • Die “alte Basis” sei: \( \vec{e}_i  \)
  • Die “neue Basis” sei: \( \tilde{\vec{e}}_i  \)

Dann transformieren sich die Basisvektoren wie folgt:

Alt -> Neu (“Foreward”):

\(  \tilde{\vec{e}}_i =  \sum\limits_{k=1}^{n} F_{ki} \vec{e_k}\)

Neu -> Alt (“Backward”):

\(  \vec{e}_i =  \sum\limits_{j=1}^{n} B_{j i} \widetilde{\vec{e_j}}\)

Für die Komponenten eines Vektors \( \vec{v} \) gilt dann die umgekehrte Richtung (deshalb nennt man sie “kontravariant“)

Alt -> Neu:

\( \tilde{v_i} = \sum\limits_{j=1}^{n} B_{ij} v_j  \)

Neu -> Alt

\( v_i = \sum\limits_{j=1}^{n} F_{ij}\tilde{v_j}   \)

Berechnung der Länge eines Vektors aus seinen Komponenten

Länge eines Vektors im Chartesischen Koordinatensystem

Wir sind ja gewöhnt, die Länge eines z.B. dreidimensionalen Vektors über seine Koordinaten und den Lehrsatz des Pythagoras zu berechnen:

Im Beispiel sei der Vektor \( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right] \)

Dann wäre die Länge dieses Vektors gegeben durch: \( || \vec{v} ||= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \)  (der gute alte Pythagoras)

In verschiedenen Koordinatensystemen würde dieser Vektor aber mit verschiedenen Koordinaten (Komponenten) beschrieben und es würden mit obiger Formel dann unterschiedliche Längen heraus kommen.

Uns ist ja klar, dass wir zu den Koordinaten (Komponenten) eines Vektors auch immer angeben müssen, in welchem Koordinatensystem diese gemessen werden; d.h. wir müssen zu den Koordinaten die dazugehörige Basis angeben – und berücksichtigen.

Wenn wir als Basis allgemein schreiben: \( \vec{e}_i  \)

dann können wir mit den Komponenten unseres Vektors zu dieser Basis schreiben:

\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right] = v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3\)

Im Spezialfall der orthonormalen Basis:

\( \vec{e}_1 = \hat{i}, \vec{e}_2 = \hat{j}, \vec{e}_3 = \hat{k}   \)

hätten wir die Länge unseres Vektors nach Pythagoras (s.o.); mit den Koordinaten zu einer anderen Basis müssten wir umrechnen…

Länge eines Vektors in einem beliebigen Koordinatensystem

Wir hatten die Länge eines Vektors unabhängig von einem Koordinatensystem (also invariant) definiert über:

\( \Large {||  \vec{v}  ||}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \\\)

Wir nehmen jetzt ein beliebiges Koordinatensystem definiert durch seine Basisvektoren \( \vec{e}_i\).
Dann können wir die Länge des Vektors wie folgt aus seinen Komponenten (Koordinaten) berechnen:

\( \Large  ||  \vec{v} ||^2 = (v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3) \cdot(v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3) \\ \)

Wenn wir das ausmultiplizieren bekommen wir:

\( \Large ||  \vec{v} ||^2 =  \sum\limits_{ij} v_i v_j  \enspace \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \\ \)

Um die Länge eines Vektors in einem beliebigen Koordinatensystem zu ermitteln, benötigen wir also “lediglich” alle Kombinationen der inneren Produkte der Basisvektoren dieses Koordinatensystems; d.h. alle \( \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \)

Als Matrix können wir diese Produkte so hinschreiben:

\(\Large g =  \left[ \begin{array}{rrr} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3\\  \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 \\  \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 \end{array} \right]  \\\)

Diese Matrix g nennt man auch den Metrik-Tensor des Koordinatensystems.

Mit Hilfe dieses Metrik-Tensors ergibt sich dann die Länge des Vektors \(\vec{v}\) ganz einfach als Matrixprodukt:

\(\Large || \vec{v} ||^2  =  \left[ \begin{array}{c} v_1 & v_2 & v_3  \end{array} \right]  g  \left[ \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array} \right] \\\)

Ganz allgemein kann man mit diesem Metrik-Tensor das innere Produkt zweier Vektoren aus den Komponenten berechnen:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} =  \left[ \begin{array}{c} v_1 & v_2 & v_3  \end{array} \right]  g  \left[ \begin{array}{c} w_1 \\\ w_2 \\\ w_3  \end{array} \right] \)

Das funktioniert, weil der Metrik-Tensor nicht “irgendeine” Matrix ist, sondern “invariant” ist; d.h. unabhängig vom gewählten Koordinatensystem kommt immer das gleiche Ergebnis heraus.

Der Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor definiert also eine (bilineare) Abbildung:

\(  g: V \times V \to \mathbb{R} \\\)

Ein Metrik-Tensor ist eine spezielle Bilineare Abbildung, die erstens symmetrisch ist und zweitens immer positive Werte liefert.

Dies ist auch im Prinzip der Metrik-Tensor, der in den Einsteinschen Feldgleichungen als \( g_{\mu \nu} \) vorkommt.

Oben hatten wir das innere Produkt zweier Vetoren ja versucht unabhängig von einem Koordinatensystem zu definieren.
Man kann das Ganze nun aber auch umgekehrt “aufzäumen”.  Wenn wir einen Vektorraum und eine Basis haben (damit also ein Koordinatensystem), brauchen wir nur noch einen Metrik-Tensor “g” und können damit ein inneres Produkt zwischen zwei Vektoren v und w als schlichte Matrix-Multiplikation definieren:

\( \Large \vec{v} \cdot \vec{w} =  \vec{v}^T   \enspace g  \enspace \vec{w} \\ \)

Wobei das hochgestellte T “transponiert” meint. So wird aus einem Spaltenvektor ein Zeilenvektor.

Beispielsweise definiert der folgende Metrik-Tensor die übliche Metrik für alle Koordinatensysteme mit einer orthonormaler Basis – denn das innere Produkt verschiedener Basisvektoren ist Null (weil orthogonal) und das innere Produkt eines Basisvektors mit sich selbst ist 1 (weil Länge 1):

\(\Large g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Das gilt z.B. für ein “normales” Koordinatensystem im Euklidischen Raum.
Mit dieser Metrik ist die Länge eines Vektors also:
\( || \vec{v} ||^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \)
und diese Länge ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen.

Und eine Minkowski-Metrik wird definiert durch den Metrik-Tensor:

\(\Large \eta =  \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\  0 & -1 & 0  & 0\\  0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array} \right]  \\\)

Mit dieser Metrik wäre die Länge eines Vektors also gegeben durch:

\( || \vec{v} ||^2  =  v_1^2 – v_2^2 – v_3^2 – v_4^2\)

Diese so definierte Länge wäre invariant gegenüber Lorentz-Transformationen, die wir später in der Speziellen Relativitätstheorie kennenlernen werden.

Was ist ein Tensor?

Der oben beschriebene Metrik-Tensor ist ein Tensor vom Rank 2. D.h. eine zweidimensionale (also “normale”) Matix, die sich bei Transformation der Koordinatensysteme “freundlich” verhält, sodass wir von “Invarianz” sprechen können.

Allgemein und formal ist ein Tensor T eine multilineare Abbildung von einem cartesischen Produkt von Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper von Skalaren in diesen Skalaren-Körper:

\( T: V_1 \times V_2 \times … \times V_n \to K \)

Wobei die \(V_i\) Vektorräume über K sind.

Das allgemeine Thema “Tensor” ist mathematisch vielschichtig, deshalb habe ich begonnen, einen separaten Artikel darüber zu geschrieben.

Link: https://youtu.be/8ptMTLzV4-I

Determinante und Rank

Diese Konzepte werden in Video 6 und Video 7 behandelt.

Bei einer Linearen Transformation wird die Fläche des Quadrats aus den Basisvektoren  um einen Faktor “transformiert”. Damit wird auch jede beliebige Fläche um diesen Faktor “transformiert”. Diesen “Faktor” nennen wir die Determinante der Linearen Transformation.

Entsprechend ist das auch in höheren Dimensionen z.B. mit drei Dimensionen, wo die Größe des Volumens transformiert wird.

Eine negative Determinante bedeutet, dass sich bei der linearen Transformation die “Orientierung” des Vektorraums umkehrt.

Der Rank meint die Dimension des Ausgaberaums einer Linearen Transformation. Wenn der Rank einer Transformation nicht die volle Dimension (“full rank”) unseres Vektorraums ist, ist die Determinante dieser Transformation natürlich Null, aber der Rank kann etwas differenzierter aussagen was da los ist z.B. der Rank einer 3-dimensionalen Matrix (Transformation) könnte 2 sein, dann ist der Ausgaberaum eine Ebene (2 Dimensionen), wenn der Rank 1 wäre, hätten wir als Ausgaberaum eine Linie (eine Dimension) etc. Dieser “Ausgaberaum” wird auch “Column Space” genannt, weil die Spaltenvektoren diesen aufspannen…

 

Computer: Mathematik – Statistik

Mathematik: Statistik (aus Wiki)

Immer wieder werde ich als gelernter Mathematiker nach elementaren Themen der Statistik gefragt.

Ich habe einen schönen Einführungskurs in die Statistik bei der Universität Newcastle, Australien, gefunden:

http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/t-table.html

http://www.anu.edu.au/nceph/surfstat/surfstat-home/

Statistik

Typen von Variablen (“Metriken”)

Qualitativ / Quantitativ

Man spricht von “qualitativen” Variablen, wenn die Beobachtungen durch Kategorien beschrieben werden.
Beispiele:

  • Augenfarbe: braun, grau, blau,…
  • Delivery Model: insourced, outsourced
  • Performance Rating: Less than Acceptable, Inconsistent, Fully Successful, Exceeds, Exceptional

Eine qualitative Variable heist “ordinal”, wenn es eine natürliche Reihenfolgebeziehung zwischen den Kategorien gibt, (Beispiel: Performance Rating).

Eine qualitative Variable heisst “nominal”, wenn es keine natürliche Reihenfolgebeziehung gibt, (Beispiel: Augenfarbe).

Man spricht von “quantitativen” Variablen, wenn die Beobachtungen durch numerische Werte beschrieben werden, d.h. durch Zählen oder Messen zustande kommen.
Beispiele:

  • Alter
  • Körpergröße
  • Anzahl Personen im Haushalt
  • Anzahl gerauchter Zigaretten am Tag
  • Einkommen im Jahr

Eine quantitative Variable heisst “diskret”, wenn die Beobachtungen ganzzahlige Werte sind (Beispiel: Anzahl Personen im Haushalt).

Eine quantitative Variable heisst “stetig” (continous), wenn sie durch (im Prinzip) beliebige Zahlen dargestellt wird (Beispiel: Körpergröße).

Normalverteilung mit Perzentil

Fragestellung zu einer Normalverteilung N(My,Sigma):

  • Gegeben sei My und P25
  • Gesucht ist Sigma
  • Lösung: sigma = (P25 – My) / NormInv(0,25; 0; 1)

Im übrigen gilt sowieso: P25 = NormInv(0,25; My; Sigma)

Logarithmische Normalverteilung

Zur Logarithmischen Normalverteilung habe ich einen gesonderten Artikel geschrieben.

Beta-Verteilung

Zur Beta-Verteilung habe ich einen gesonderten Artikel geschrieben.

— Dkracht 12:29, 24 March 2008 (CET)

Astronomie: Swing-by-Manöver

Gehört zu: Astronomie, Himmelsmechanik
Siehe auch: Sonnensystem

Stand: 29.07.2020

Was bringen Swing-by-Manöver?

Als Schüler war ich ja ein Fan von SciFi-Heften. Ich erinnere mich an eine SciFi-Geschichte, bei der der “geniale Held” auf die Idee kam, für eine längere Reise zum Saturn den Asteroiden (944) Hidalgo zu verwenden, um Treibstoff zu sparen.

Schon als Schüler war mir klar, das er statt auf dem Hidalgo zu landen (mit Relativgeschwindigkeit Null), auch mit der gleichen Energie einfach auf die Hidalgobahn einschwenken könnte und dann nach den Gesetzen der Himmelsmechanik exakt wie der Hidalgo selbst sich bewegen würde und schließlich an der Saturnbahn angekommen, müsste er mit der gleichen Energie wie sie zum Überwechseln von Hidalgo auf den Saturn benötigt wird, auch aus seiner Hidago nachempfundenen Bahn in die Saturnbahn einschwenken können. Er hätte also keine Energie (Treibstoff) gespart.

In der Raumfahrt der 70er Jahre hörte ich nun erneut von mir ähnlich klingenden “Wunder-Manövern” der Raumsonden Pioneer 10 und Pioneer 11, die Treibstoff sparen sollten. War das das gleiche (wie oben) Null-Summen-Spiel oder was steckte da dahinter (wenn die NASA mit so etwas ernsthaft arbeitet)?

Michael Minovitch, der am Jet Propulsion Laboratory (JPL) arbeitete, berechnete 1961 erstmals die Daten solcher “Swing-by” Manöver (auch “Gravitational Slingshot” oder “fly by” genannt) . Das war tatsächlich kein “Null-Summen-Spiel”, sondern eine realistische Möglichkeit durch solche Manöver Energie “einzusparen” und die “böse” Raketengleichung auszutricksen. Schon in der Frühzeit der Raumfahrt hatte die sowjetische Sonde Luna 3 (1959) die Swing-by-Technik ausgenutzt.

Quelle: MIT OpenCourseWare  (Youtube Video https://youtu.be/1s6_4qX-u2o)

Himmelsmechanik von Swing-by-Manövern

Nehmen wir mal ein stark vereinfachtes Gedankenmodell: Auf der Höhe der Saturnbahn nähert sich eine Raumsonde dem Saturn.

Zur Erklärung dieses “positiven” Swing-by-Effekts betrachten wir die Angelegenheit mal in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemen.

Im Koordinatensystem “Sonnensystem” sehen wir folgendes:

  • der Saturn bewege sich mit eine Bahngeschwindigkeit von vs  (ca. 9,65 km/s)
  • die Raumsonde bewege sich mit einer dreifach so großen Geschwindigkeit v1 genau entgegengesetzt auf den Saturn zu (also: v1 = -3 vs)
  • nach dem Swing-by bewege sich die Raumsonde mit einer Geschwindigkeit v2 in exakt der gleichen Richtung wie der Saturn

Wenn wir dieses Geschehen in einem Koordinatensystem “Saturn” (Relativgeschwindigkeiten in Bezug auf Saturn, Superscript “rel”) beschreiben, ergibt sich:

  • Geschwindigkeit des Saturn: vsrel = 0
  • Raumsonde ankommend (“initial”): v1rel = v1 – vs
  • Raumsonde wegfliegend (“final”):    v2rel = v2 – vs

Der Erhaltungssatz (Impuls) in Bezug auf das Koordinatensystem “Saturn” ergibt:

v1rel = – v2rel

Und damit:

v1 – vs = -v2 + vs

2 vs = v2 + v1

Wenn wir hierin einsetzen: v1 = -3vs bekommen wir:

v2 = 5 vs = – (5/3) v1

Die Geschwindigkeit der Raumsonde hat sich also deutlich (Faktor 1,666..) erhöht.

Genaugenommen ist die Bahngeschwindigkeit des Saturn vor dem Swing-by und nach dem Swing-by nicht ganz genau gleich. Wir vernachlässigen diesen winzigen Unterschied hier wegen der Massenverhältnisse (Saturnmasse 5,6 * 1026kg).

Computer: Ccleaner (aus Wiki)

CCleaner (aus Wiki)

Gehört zu: Computer
Siehe auch: Administration

Installation

  • Name: CCleaner
  • Version: v1.23

Was ist Ccleaner?

Cccleaner ist ein Dienstprogramm für Windows-Computer.

Mit Ccleaner könne administrative Aufgaben erledigt werde, wie z.B.

  • Freigabe von temporärem Plattenplatz
  • Bearbeiten elche Programme beim Systemstart geladen werden sollen
  • etc.

Computer: Barcode (aus Wiki)

Barcode (aus Wiki)

Gehört zu: Computer
Siehe auch: QR-Codes

Sog. 2D-Barcodes sind zweidimensionale Barcodes, die rechteckig (z.B. auf Lufhansa Boardkarten seit 2008) oder quadratisch (z.B. bei manchen Artikeln der Zeitung “Welt Kompakt”) vorkommen.

See also: MobilTelefon

Weblinks

Neoreader

The NeoReader is a universal barcode scanning application that transforms your mobile phone into a barcode scanner and allows you to access mobile web content by scanning codes from print ads, publication, packaging, billboards, retail display, broadcast media, or any other medium. Universal means that the NeoReader scans all the standard code types (Data Matrix, QR codes, Aztec Codes, EAN, UPC, and Code 128), so NeoReader is the only scanning software you’ll need.

Install the NeoReader barcode scanning software and you’re one easy click away from information you want – everywhere you go.

It’s so easy to use – launch the NeoReader, click on the barcode with your camera and ZIP…the content is delivered to your phone. No typing URLs into your browser, no painful search engines, no cumbersome menu’s to navigate.

QuickMark

Mit QuickMark auf meinem WindowsMobile-Telefon kann ich die QR-Codes, die z.B. in Welt Kompakt verwendet werden lesen.

— Dkracht 12:03, 7 October 2008 (CEST)

Computer: Backup-Software (aus Wiki)

Backup-Software

Software zur Datensicherung

Meine Anforderungen an Backup-Software

Es viele Angebote von Backup-Software mit ganz untercshiedlichen Ansätzen. Bei der Auswahl eines Produkts gilt es, einige Punkte zu beachten.

  • In welchem Format sichern?
    • System-Partition als Festplattenimage
    • Dateiweise
  • Wohin sichern?
    • Netzwerk-Shares
    • Externe USB-Platten
    • DVDs mit Splitten der Backup-Datei (Archiv)
  • Zurücksichern mit Stand-Alone-CD (ganze Partions und/oder einzelne Files)
  • Gesicherte Daten noch nach Jahren rücksicherbar (Offenes Format bzw. vertraunesvoller Hersteller)

Meine Shortlist

  • Acronis TrueImage
  • O&O Disk Image
  • Norton Ghost

Meine Auswahl

Für SEO Quality

Gallia est omnis divisa in pates tres. Quarum unam incolunt Belgae, quit in ipsorum linguae Celta apellantur

— Dkracht 09:15, 5 February 2010 (CET)

Computer: Archivieren und Wiederfinden (aus Wiki)

Archivieren und Wiederfinden (aus Wiki)

From Dietrich Blog (Strato)

Archivieren und Wiederfinden

  • SuchMaschinen
  • Scannen (Logitech PageScan USB)
  • ELO der Elektronische Leitzordner
  • Deskriptoren….
  • Welche Software nehme ich zum Scannen?
    • Omnipage
    • PageManager
    •  ?????

— Main.DietrichKracht – 27 Mar 2004

Computer: ZoneAlarm (aus Wiki)

ZoneAlarm Internet Security Suite

Gehört zu: Computer
Siehe auch: Internet, Firewall

ZoneAlarm Internet Security Suite

Eine Suite aus VirenScanner, PersonalFirewall und Spamfilter. Solche Kombi-Produkte InternetSecurity werden jetzt von praktisch allen Herstellern angeboten.

ZoneAlarm ist der Testsieger bei: http://www.pcpro.co.uk/labs/136/internet-security-suites/products.html

Background Info

  • Der Spamfilter im MicrosoftOutlook sortiert die verdächtige E-Mail in die Outlook-Ordner:
    • ZoneAlarm Challenged Mail
    • ZoneAlarm Junk Mail (mit Unterordner: ZoneAlarm Phishing Mail)
  • VirenScanner
    • Die Anti-Virus-Komponente stammt von CA “CA Anti-Virus”.
    • Diese hat CA früher eTrust® EZ Antivirus genannt
    • CA hat 2001 die Entwicklerfirma Cybec gekauft (Produktnamen: Inoculate, Vet)
  • Firewall
    • Für den erstklasssigen Firewall ist ZoneAlarm bekannt, die Firma wurde 2004 von Check Point Software übernommen.

Probleme und Lösungen

Konflikt mit PGP

Beim Installieren gab es einen Konflikt mit der vorhandenen Installation von PGP (“lsp-Konflikt”).
LSP steht für Layered Service Provider, was es in Winsock2 möglicht, sich in das TCP/IP-Protokoll einzuklinken…
Lösung: PGP entinstalliert (temporär)

Outlook-Plugin installiert sich nicht

Die Integration mit MicrosoftOutlook funktionierte nicht auf Anhieb. Mögliche Ursache ist, dass ich Laufwerk D: verwende.

Das Outlook-Plugin (auch “MailBuddy” genannt”) ist:

  • “D:/Programme/Zone Labs/ZoneAlarm/MailFrontier/mlfoshim.dll”.

Dies kann man im Outlook unter

  • “Extras>Optionen>Weitere>Erweiterte Optionen>COM-Add-Ins…”

manuell installieren.

— Main.DietrichKracht – 10 Dec 2006

Computer: Version Control mit ZeusSCC-CVS (aus Wiki)

Version Control mit ZeusSCC-CVS (aus Wiki)

Zeus SCC-Provider

Zum File-Editor (FileEditing) ZeusEdit gibt es einen sog. Source Code Control Provider (Microsoft API SCC).

Damit wird VersionControl mit CVS ermöglicht.

Alternativer SCC CVS Provider: Jalindi Igloo http://www.jalindi.com/igloo

Installation

  • Definitive Software Library ID: Zeus SCC-CVS
  • Name: Zeus SCC-CVS
  • Version: v 1.60
  • Hersteller/Bezugsquelle: http://www.zeusedit.com/archives/scccvs.html
  • Systemvoraussetzungen: CVS
  • Installations-Ordner: D:\Programme\ZeusSCC-CVS
  • Konfiguration

Dadurch werden zwei Dinge installiert:

  1. ein SCC-Provider (den man auch für andere IDEs nutzen kann, z.B. HomeSite, XmlSpy,…)
  2. ein Windows cvs.exe (das man auch unabhängig von Zeus nutzen kann s.u.)

Zeus SCC-Provider

Alle SCC-Provider sind im Registry eingetragen. Die Eintragung für Zeus SCC-CVS lautet:

[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\SourceCodeControlProvider\InstalledSCCProviders]
   "Zeus SCC-CVS"="SOFTWARE\Xidicone\ZeusSCC-CVS"
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Xidicone\ZeusSCC-CVS]
   "SCCServerName"="ZeusSCC-CVS"
   "SCCServerPath"="d:\Programme\ZeusSCC-CVS\zCVS.DLL"

Analog trägt sich z.B. auch CS-RCS als SCC-Provider so ein.

— Main.DietrichKracht – 22 Oct 2005