Gehört zu: Helligkeit, Astronomie
Siehe auch: Gegenschein, Physikalische Größen, Lichtverschmutzung, SQM
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Stand: 16.07.2023
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Flächenhelligkeit von M101: https://youtu.be/rzBTMLCKpPg?si=GloV53Qm7mmcOYkJ
Praxis: Welche dunklen Objekte kann ich am Himmel noch erkennen?
Wenn man anhand von Zahlen und Formeln herausbekommen will, ob man ein Objekt am Himmel mit dem bloßen Auge oder einer Fotokamera erkennen kann (sei es mit Teleskop oder anders), kann das nach den untenstehenden Formeln einigermaßen “fummelig” werden.
Alternativ hilft immer: ausprobieren.
Vergleiche auch: https://www.astronomie.de/einstieg-in-die-astronomie/sterne-beobachten/wahrnehmung-von-flaechenhaften-objekten
Punktförmige Lichtquellen
Von einem Stern der Scheinbaren Helligkeit m (gemessen in Magnituden) geht ein Lichtstrom Φv (gemessen in Lumen) aus von:
\( \Large \Phi_v = 10^{(-m-14.2064)/2.5} \enspace Lumen \\ \)
Ein Stern, von dem ein Lichtstrom Φv (in Lumen) ausgeht, erscheint in einer Scheinbaren Helligkeit m (gemessen in Magnituden) von:
\( \Large m = -14.2064 – 2.5 \log{\Phi_v} \enspace mag \)
Addition von punktförmigen Helligkeiten
Zur Addition von Helligkeiten muss man eine lineare Skala verwenden. Die Scheinbaren Helligkeiten (logarithmische Skala in Magnituden) werden dafür in Lichtströme (lineare Skala in Lumen) umgerechnet.
Man sollte im Kopf behalten, dass die Magnituden-Skala eine logarthimische Teilung hat und so skaliert ist, dass 5 Magnituden einen Helligheitsunterschied vom Faktor 100 ausmachen.
Bei einer engen Konjunktion zweier Planeten oder auch bei Doppelsternen verschmelzen die Einzel-Helligkeiten zu einer Gesamt-Helligkeit einer punktförmigen Lichtquelle.
Nehmen wir als Beispiel die enge Konjunktion von Jupiter und Saturn vom 21.12.2020.
- Die scheinbare Helligkeit des Jupiters war: -1.97 mag = 1.2748 10-5 Lumen als Lichtstrom
- Die scheinbare Helligkeit des Saturns war: 0,63 mag = 0.1163 10-5 Lumen als Lichtstrom
- Diese Lichströme kann man addieren und bekommt als Summe also 1.3911 10-5 Lumen.
- Das entspricht einer (scheinbaren) Gesamt-Helligkeit von zusammen -2.06 mag.
So können wir also die Gesamthelligkeit aus den Einzelhelligkeiten mehrerer punktförmiger Lichtquellen (z.B. enge Konjunktion, Doppelstern etc.) ermitteln.
Zur Addition von Helligkeiten kann man natürlich irgendeine lineare Helligkeits-Skala nehmen, es muss nicht der Lichtstrom in Lumen sein.
Beispielsweise:
\( \Large m_{1+2} = -2.5 \cdot \log(10^{-\frac{m_1}{2.5}} + 10^{-\frac{m_2}{2.5}}) \)
Was ist Flächenhelligekeit?
Wenn ein astronomisches Objekt nicht mehr als punktförmige Lichtquelle behandelt werden kann, verwendet man die physikalische Größe “Flächenhelligkeit”. Das ist ganz einfach:
Flächenhelligkeit = Helligkeit / Fläche.
Mit “Helligkeit” ist die sog. “Gesamthelligkeit” gemeint, also die Helligkeit des Objekts wenn es punktförmig wäre.
Normalerweise betrachten wir die “scheinbaren” Helligkeiten; also so wie sie uns von der Erde aus erscheinen.
Genaugenommen hängt die Fläche eines Objekts von seiner Form ab:
- Rechteck: Höhe x Breite
- Kreis: Pi * Radius²
- Ellipse: Pi * Große Halbachse * Kleine Halbachse
- etc.
Eine so berechnete Flächenhelligkeit ist einfach ein Durchnittswert. Wenn das Objekt eine Struktur hat, sind Teile heller und Teile dunkler.
Maßeinheiten allgemein (SI)
Als Helligkeit messen wir den Lichtstrom Φv (in Lumen) oder besser die Beleuchtungsstärke Ev (in Lux = Lumen/m²).
Der Astronom nimmt stattdessen Magnituden (s.u.).
Wenn wir die Fläche als Raumwinkel in Sterad messen (der Astronom nimmt stattdessen arcsec²), erhalten wir als Maßeinheit für die Flächenhelligkeit Lux/Sterad = Candela/m².
Näheres dazu unter Helligkeiten.
Maßeinheiten in der Astronomie
Die klassischen physikalischen Größen in der Astronomie sind:
- Helligkeit eines Objekts misst man gern in sog. Magnituden (mag) – auch Größenklassen genannt
- Fläche am Himmel misst man gerne in Quadrat-Bogensekunden (arcsec²) oder in Quadrat-Bogenminuten (arcmin²)
Damit würde man eine Flächenhelligkeit in mag/arcsec² oder mag/arcmin² ausdrücken. Man muss dann fürchterlich aufpassen, ob Bogenminuten oder Bogensekunden gemeint sind.
Der Amerikaner schreibt auch gerne MPSAS = Magnitudes per square arc second.
Beispiele:
- Die Himmelshelligkeit in der Stadt Hamburg beträgt ca. 18 mag/arcsec² (siehe auch: Lichtverschmutzung)
- Die Flächenhelligkeit von M31 beträgt 13.31 mag/arcmin² (laut Stellarium)
- Die Flächenhelligkeit von M101 beträgt 14.86 mag/arcmin² (laut Stellarium)
- Die Flächenhelligkeit des Gegenscheins beträgt ca. 22,17 mag/arcsec2
Flächige Lichtquellen
Bei einer flächigen Lichtquelle verteilt sich die Gesamthelligkeit über die Fläche der Lichtquelle. In astronomischen Werken wird gerne die Gesamthelligkeit von Objekten ausgewiesen, seltener aber auch deren Flächenhelligkeit.
Wenn wir die Flächenhelligkeit selber ausrechnen wollen, müssen wir die Fläche der Lichtquelle kennen.
Für die Verteilung der Gesamthelligkeit (m) auf die Fläche brauchen wir statt der logarithmischen Skala eine lineare Skala. Dafür können wir z.B. den Lichtstrom (Φv) in Lumen nehmen. Also (Formel s.o.):
\( \Large \Phi_v = 10^{(-m-14.2064)/2.5} \enspace Lumen \\ \)
Für das Beispiel M31 bekommen wir mit:
- Gesamthelligkeit: 3,4 mag (laut Stellarium)
- Größe: 3° 9′ x 1° 2′ = 189 arcmin x 62 arcmin (laut Stellarium)
Die Fläche ist inetwa eine Ellipse mit den Halbachsen a=94,5 arcmin und b=31 arcmin. Damit ist die Fläche π * a * b = 9203,3 arcmin²
Der Lichtstrom ist: Φv = 10 ((-3,4 – 14.2064)/2.5) = 10 -7.04256 = 9,0665 10-8 Lumen.
Diesen Lichtstrom verteilen wir nun (gleichmäßig) auf die Fläche von 9203,3 arcmin².
Das macht also 9,0665 10-8 / 9203,3 = 9,851358 10-12 Lumen/arcmin²
Der Astronom hat aber gerne Magnituden (logarithmische Skala) statt Lumen (lineare Skala), also rechnen wir:
\( m = -14.2064 – 2.5 \log{\Phi_v} \enspace mag \)
Bmag = -14.2064 – 2.5 * (0,9934961017 – 12) = 13,31 mag/arcmin²
Für das Beispiel M101 bekommen wir mit:
- Gesamthelligkeit: 7,90 mag (laut Stellarium)
- Größe: 28,8 arcmin x 26,9 arcmin (laut Stellarium)
Die Fläche ist inetwa kreisförmig mit einem Radius von. ca. 14 arcmin. Damit ist die Fläche π * r² = 615,75 arcmin²
Der Lichtstrom ist: Φv = 10 ((-7,9 – 14.2064)/2.5) = 10 -8,84256 = 1,43694452 10-9 Lumen.
Diesen Lichtstrom verteilen wir nun (gleichmäßig) auf die Fläche von 615,75 arcmin².
Das macht also 1,43694452 10-9 / 615,75 = 2,3336492 10-12 Lumen/arcmin²
Der Astronom hat aber gerne Magnituden (logarithmische Skala) statt Lumen (lineare Skala), also rechnen wir:
Bmag = -14.2064 – 2.5 * (0,3680355724 – 12) = 14,87 mag/arcmin²
Formel für Flächenhelligkeiten
Da wir zur Ermittlung der Flächenhelligkeit ja “nur” die Gesamthelligeit durch die Anzahl Flächeneinheiten (arcmin²) dividieren müssen, können wir uns zu Nutze machen, dass bei einer logarithmischen Skala die Division einer Subtraktion entspricht (minus minus = plus) und wir erhalten eine einfache Formel:
Bei einer Gesamthelligkeit von m (in Magnituden) und einer Fläche von F haben wir eine Formel zur Berechnung der Flächenhelligkeit:
\( B_{mag} = m + 2.5 \log{F} \\ \)
Wenn wir die Fläche F in Einheiten von arcmin² einsetzen, ergibt die obige Formel die Flächenhelligkeit in mag/arcmin². Wenn wir die Fläche F in arcsec² angeben, erhalten wir die Flächenhelligkeit in mag/arcsec².
Für unsere Beispiele erhalten wir damit:
M31 (m = 3,4 F = 9203,3 arcmin² = 33131880 arcsec²)
- Flächenhelligkeit: 3,4 + 2,5 * 3,963943579 = 3,4 + 9,9098589475 = 13,31 mag/arcmin² (13,31 laut Stellarium)
- Flächenhelligkeit: 3,4 + 2,5 * 7,5202460797 = 3,4 +18,8006151993 = 22,20 mag/arcsec²
M101 (m = 7,9 F = 615,75 arcmin² = 2216700 arcsec²)
- Flächenhelligkeit: 7,9 + 2,5 * 2,7894044205 = 7,9 + 6,9735110513 = 14,87 mag/arcmin² (14,86 laut Stellarium)
- Flächenhelligkeit: 7,9 + 2,5 * 6,3457069213 = 7,9 + 15,8642673033 = 23,76 mag/arcsec²
Addition von flächigen Lichtquellen
Hier geht es typischerweise darum die Flächenhelligkeit des Himmels und die Flächenhelligkeit eines flächigen Beobachtungs-Objekts zu betrachten.
Früher dachte ich, dass ein Beobachtungsobjekt in der Helligkeit des Hintergrunds verschwindet, wenn es zu schwach ist. Es ist aber so, dass sich die beiden Flächenhelligkeiten immer addieren. Das Beobachtungsobjekt hat dann effektiv als Flächenhelligkeit die Summe der beiden Flächenhelligkeiten und die Frage ist nur, ob sich diese Summen-Flächenhelligkeit noch genug von der Flächenhelligkeit des Himmels abhebt. Ob es da also genügend “Kontrast” gibt.
Bevor wir zwei Flächenhelligkeiten einfach so addieren, solten wir aber sicherstellen, dass beide in gleichen Masseinheiten angegeben sind; also beispielsweise beide in mag/arcsec².
Der Himmel in Hamburg-Eimsbüttel: 18 mag/arcsec²
Dann können wir einfach addieren für M31 (habe ich mit Excel gemacht):
m = -2,5 * log(10^-22,20/2,5 + 10^-18,00/2.5) = -2,5 * log( 10^-8,88 + 10^-7,2) = -2,5 * log( 1,31826E-9 + 6,30957E-8) = -2,5 * log(6,441396E-8) = -2,5 * -7,191020 = 17,977550
Und für M101 erhalten wir auf gleiche Weise (habe ich mit Excel gemacht):
m = -2,5 * log(10^-23,76/2,5 + 10^-18,00/2.5) = -2,5 * log( 10^-9,504 + 10^-7,2) = -2,5 * log(3,133286 E-10 + 6,30957E-8) = -2,5 * log(6,340906E-8) = -2,5 * -7,197849 = 17,994622
Beispielsweise (FH = Flächenhelligkeit):
| Objekt |
FH in mag/arcmin² |
FH in mag/arcsec² |
Himmel in mag/arcsec² |
FH Summe in mag/arcsec² |
| M31 |
13,31 |
22,20 |
18,00 |
17,9775 |
| M101 |
14,87 |
23,76 |
18,00 |
17,9946 |
Bei einem Hamburger Großstadt-Himmel von 18 mag/arcsec² ist also
- M31 gerade mal 0,0225 mag heller als der Himmelshintergrund
- M101 gerade mal 0,0054 mag heller als der Himmelshintergrund
Wo da bei visueller Beobachtung die Grenzen sind, weiß ich nicht.
Bei fotografischer Beobachtung kann ich das Foto so lange belichten, bis das Histogramm sich vom linken Rand löst und dann das Histogramm so bearbeiten, dass M101 knapp sichbar wird.
Der Himmel in Handeloh 21 mag/arcsec²
Wenn wir das Gleiche nicht in Hamburg City, sondern in Handeloh machen, sieht das schon ganz anders aus.
In Handeloh gehen wir mal von einer Himmelshelligheit von 21 mag/arcsec² aus.
Damit ergibt sich (FH Summe mit Excel errechnet):
| Objekt |
|
FH in mag/arcsec² |
Himmel in mag/arcsec² |
FH Summe in mag/arcsec² |
| M31 |
|
22,20 |
21,00 |
20,6894 |
| M101 |
|
23,76 |
21,00 |
20,9177 |
Unter einem dunklerem Himmel von 21 mag/arcsec² ist also
- M31 schon 0,3 mag heller als der Himmelshintergrund
- M101 schon 0,1 mag heller als der Himmelshintergrund
Conclusio: Nicht ist besser als ein noch dunklerer Himmel
