Mathematik: Äquivalenzrelation

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Gruppentheorie
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Stand: 10.09.2023

Eine Äquivalenzrelation

Bei meiner Beschäftigung mit der Gruppentheorie bin ich auf das klassische Thema Äquivalenzklassen gestoßen.

Eine Äquivalenzrelation in der Mathematik ist ersteinmal eine “Relation”. Dann soll diese Relation inetwa die Eigenschaften haben, die wir von der klassischen Äquivalenz her kennen: Gleichheit oder Ungleichheit.

Allgemein: Was ist eine Relation?

Auf einer Menge M können wir eine Relation R einfach definieren als eine Teilmenge der geordneten Paare. Also

\( R \subseteq M \times M \\\)

So eine Relation wird dann Äquivalenzrelation genannt, wenn sie noch zusätzlich drei wichtige von der Gleichheitsrelation bekannten Eingenschaften besitzt: reflexiv, symmetrisch, transitiv.

Reflexiv: \( (a,a) \in R \text{ für alle } a \in M \\\)

Symmetrisch:  \( \text{Wenn } (a,b) \in R \text{ dann ist auch } (b,a) \in R \\\)

Transitiv: \( \text{Wenn } (a,b) \in R \text{ und } (b,c) \in R \text{ dann ist auch } (a,c) \in R \\\)

Wenn es aus dem Kontext klar ist, welche Relation gemeint ist, schreibt man auch einfach: \( a \sim b\text{  für } (a,b) \in R \)

Äquivalenzklassen

Wenn ich eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge M habe, kann ich damit zu jedem Element m ∈ M eine Teilmenge von M definieren:

\( [m]_R =  \{ x \in M \,|\, (m,x) \in R \} \\\)

Diese Teilmenge nennt man Äquivalenzklasse von m (bezüglich der Relation R auf M). Wenn man zwei Äquvalenzklassen betrachtet, sind diese entweder identisch oder disjunkt.
Da jedes Element der Menge M auch in einer (genau einer) Äquivalenzklasse vorkommt, bilden die Äquivalenzklassen also eine (disjunkte) Partition von M.

Faktor-Mengen

Wenn wir die Menge der Äquivalenzklassen betrachten ist aus unserer ursprünglichen Relation dort die Gleichheitsrelation geworden.
Die Menge der Äquivalenzklassen zu einer Relation R über M bezeichnet man auch als Faktor-Menge oder Quotienten-Menge und schreibt:

\( M/R = \{ [m]_R \,|\,  m \in M \} \\ \)

Beispiele von Konstruktionen mit Hilfe von Faktormengen

Generell kann man mit diesem Mechanismus viele interessante mathematische Gebilde konstruieren…

Die Menge der ganzen Zahlen: \( \mathbb{Z} = (\mathbb{N}^2 \times \mathbb{N}^2) / R_1 \)
Wobei die Relation R1 definiert wird als: (n1, n2) ∼ (m1, m2) genau dann wenn n2 + m1 = m2 + n1

Die Menge der rationalen Zahlen: \( \mathbb{Q} = (\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2) / R_2 \)
Wobei die Relation R2 definiert wir als: (n1, n2) ∼ (m1, m2) genau dann wenn n2 · m1 = m2 · n1

Äquivalenzklassen in der Gruppentheorie

In der Gruppentheorie kann man mittels einer Untergruppe H einer Gruppe G sog.  “Cosets” zu jedem Element g aus G bilden:

\(  gN = \{ x \in G \, | \, \exists h \in H \text{ with } x = g \cdot h \} \\\)

Diese Cosets (deutsch: Nebenmengen) bilden eine disjunkte Überdeckung der Gruppe G.

Ich kann mir auch ganz einfach eine Äquivalenzrelation R definieren, die diese gleichen Nebenmengen als Äquivalenzklassen erzeugt. Dazu muss ich nur definieren, wann zwei Elemente x und y aus G  zueingabder in Relation stehen sollen…

Ich versuche es einmal mit: \( R = \{ (x,y) \, | \, \exists h \in H : h\cdot x = h \cdot y \} \\ \)

Ist das wirklich eine Äquivalenzrelation (1) und erzeugt sie tatsächlich die gewünschen Äquivalenzklassen (2)?

Ad (1): Als Äquivalenzrelation wäre zu überprüfen:

Reflexivität; d.h. ist (x,x) immer in R? Offensichtlich stimmt das.

Symmetrie: d.h. wenn (x,y) in R liegt, liegt dann auch (y,x) in R?

Wenn demnach (x,y) in R liegt, existiert ein h in H sodass hx = hy. Dann ist mit dem gleichen h aus H auch hy = hx. Also ist R symmetrisch.

Transitivität:

Wenn (x.y) und (y,z) in R liegen, so heisst das: Es gibt ein h1 und ein h2 in H sodass gilt: h1 x = h1 y und h2 y = h2 z.
Man könnte es mit h = h1 h2 versuchen, was bei einer kommutativen (abelschen) Gruppe funktionieren würde…

Vertiefung

YouTube-Video:https://www.youtube.com/watch?v=E8gItS9vGKg

YouTupe-Video zum Tensor-Produkt:https://www.youtube.com/watch?v=KnSZBjnd_74

Mathematik: Gruppentheorie

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Standardmodell der Elementarteilchenphysik, Symmetrien, Äquivalenzrelation
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Stand: 30.8.2023

Was ist eine Gruppe?

Bei meiner Beschäftigung mit dem Standardmodell der Elementarteilchen bin ich auf das klassische Thema der Gruppentheorie gestoßen.

Eine Gruppe in der Mathematik ist eine Menge mit einer “inneren” Verküpfung (die man gerne mit dem Symbol “+” schreibt) und die bestimmten, unten aufgeführten Axiomen genügt.

Die Verknüpfung

Die Menge bezeichnen wir mal mit M und nehmen dann zwei Elemente aus dieser Menge:

\( a \in M \) und \( b \in M \)

Dann soll die Verknüpfung (geschieben als +) von a und b wieder in der Menge M liegen:

\( a + b \in M \)

Die Axiome

Damit das ganze dann eine Gruppe ist, müssen folgende Axiome gelten:

Assoziativgesetz:

\( (a + b) + c = a + (b + c) \\ \)

Existenz eines “neutralen Elements” e, sodass:

\( \exists e \in M \space \forall a \in M: a + e = a \\\)

Existenz eines inversen Elements zu jedem Element der Gruppe:

\( \forall a \in M \space \exists b \in M : a + b = e \\ \)

Beispiel 1: Die ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) mit der Addition als Verknüpfung bildet eine Gruppe.

Beispiel 2: Die Kleinsche Vierergruppe

Die Kleinsche Vierergruppe (nach Felix Klein 1849-1925) besteht aus vier Elementen, wobei jedes Element mit sich selbst invers ist.

Die Menge schreiben wir als:
V = {e, a, b, c}

Die Verknüpfung definieren wir über eine Verknüpfungstafel (auch Cayley Table genannt):

e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

Wie man leicht sieht, werden mit der so definierten Verknüpfung die Gruppenaxiome erfüllt.

Beispiel 3: Die komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis

In der komplexen Zahlenebene \(\mathbb{C}\) ist er Einheitskreis einfach die Teilmenge S der komplexen Zahlen, die wir definieren als:

\(S = \{ z \in \mathbb{C} \space : \space  |z| = 1  \} \\ \)

Als Verknüpfung auf dieser Menge nehmen wir die Multiplikation der komplexen Zahlen; geometrisch können wir uns das als Drehungen vorstellen.

Damit wird das Ganze eine Gruppe.

Symmetrien und Drehungen

Gruppen kann man also ganz axiomatisch Definieren, wie oben; in der Praxis sind die Elemente einer Gruppe typischerweise die Symmetrien eines Objekts.

Ganz allgemein bilden die Symmetrien eines Objekts eine Gruppe. Eine speziell Art von Symmetrien sind Drehungen.

Die Leute, die sich mit den verschiedenen Arten von “Drehungsgruppen” als Spezialgebiet beschäftigen, bezeichnen die Gruppe der komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis auch gerne als U(1); wobei die “1” bedeuten soll, dass wir nur eine Drehachse haben und das “U” steht für “unitär”, was man gerne zu einer Verknüpfung (Abbildung) sagt, wenn die Länge gleich bleibt (“längentreu”) – allerdings müsste man dann den Begriff “Länge” noch definieren.

Solche Gruppen, die aus Drehungen bestehen, spielen später im Standardmodell der Elementarteilchenphysik eine wichtige Rolle. Wobei eine Drehung auch als sog. “kontinuierliche Symmetrie” bezeichnet wird.

Da solche Drehungen ja “kontinuierlich” (im Gegensatz zu Spiegelungen) um auch beliebig kleine Winkel stattfinden können, kommt man damit auch in das Gebiet der Differentialgeometrie und letztlich zum Begriff der Lie-Gruppen (nach Sophus Lie, 1842-1899).

Vergleiche hierzu auch das YouTube-Video von Josef Gassner: https://www.youtube.com/watch?v=zFhjF6sfY4o

Nur für Mathematiker:
Drehungen im n-dimensionalen komplexen Raum sind lineare Abbildungen und damit als eine spezielle Art von nxn-Matrizen darstellbar.
\(U(n) = \{ U \in \text{ nxn Matrix } | \space U^\dagger U = I \} \)
Die nxn-Matrizen werden auch “General Linear Group” genannt und man schreibt sie als: \(GL(n,\mathbb{C}) \), wobei man zusätzlich fordert: det(U)>0 damit jede Matrix U invertierbar ist und so \(GL(n,\mathbb{C}) \) eine Gruppe ist.

Direktes Produkt von Gruppen

Wenn wir zwei Gruppen G und H haben, können wir das sog. “Direkte Produkt” dieser zwei Gruppen bilden, indem wir von den Mengen das cartesische Produkt \(G \times H\) nehmen und eine Verknüpfung auf diesem cartesischen Produkt komponentenweise definieren.
Wenn wir die Verknüpfungen mit dem Zeichen “+” schreiben, wäre das also:

\((g_1,h_1) + (g_2,h_2) = (g_1+g_2,h_1+h_2) \text{ wobei } g_1, g_2 \in G \text{ und } h_1,h_2 \in H\\\)

Wobei uns klar ist, dass das Symbol “+” hier für drei verschiedene Verknüpfungen benutzt wird.
Die Menge \(G \times H\) ausgestattet mit der so definierten Verknüpfung bezeichnet man als “Direktes Produkt” der Gruppen G und H und schreibt das als \(G \oplus H\).

Physik: Tscherenkow-Strahlung

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elementarteilchen, Lichtgeschwindigkeit, Brechungsindex

Stand: 3.8.2023

Tscherenkow-Strahlung

auch: Cherenkov-Strahlung

Tscherenkow-Strahlung ist eine elektromagnetische Strahlung, die durch den Tscherenkow-Effekt entsteht. Benannt nach Pawel Alexejewitsch Tscherenkow (1904-1990), der  zusammen mit Kollegen 1934 diese Strahlung entdeckte. Nobelpreis 1958.

Der Tscherenkow-Effekt entsteht, wenn schnelle elektrisch geladene Teilchen (z.B. Elektronen) in ein Medium eintreten, in dem die Lichtgeschwindigkeit kleiner ist, als die Geschwindigkeit der Teilchen.

Der Tscherenkow-Effekt kann nur in Medien mit Brechungsindex n>1 auftreten, weil im Gegensatz zur Lichtgeschwindigkeit im Vakuum von c = 299 792,458 km/s z. B. die Lichtgeschwindigkeit in Wasser nur etwa c′ ≈ 225 000 km/s beträgt und so Teilchen dort schneller sein können als dort das Licht.

Die ausgesandte Strahlung entlang der Flugbahn beschreibt einen sogenannten Mach-Kegel. Das Tscherenkow-Licht ist somit das optische Analogon zum Überschallkegel, der entsteht, wenn Flugzeuge sich schneller als der Schall fortbewegen.

Wo kann man Tscherenkow-Strahlung beobachten?

Im Abklingbecken von Kernkraftwerken

In der Hochatmoshäre, ausgelöst durch kosmische Strahlung

Astronomie: Pulsar

dkracht

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Synchrotronstrahlung, Sternentwicklung, Kernfusion

Stand: 1.8.2023

Pulsare sind Neutronensterne

Der Zentralbereich eines massereichen Sterns kollabiert zu einem kleinen, sehr dichten Stern, den man Neutronenstern nennt.

Der typische Durchmesser eines solchen Neutronensterns ist ca. 20km. Da der Drehimpuls des ursprünglichen Sterns (genauer: des Zentralbereichs) erhalten bleibt, rotiert der Neutronenstern extrem schnell.

Durch das Kollabieren wird auch das Magnetfeld komprimiert und wird extrem stark (Millionen Tesla).

Da elektrisch geladene Teilchen sich nur längs der Feldlinien frei bewegen können, werden sie von dem Magnetfeld festgehalten. Nur an den magnetischen Polen können die geladenen Teilchen (Plasma) in einem kleinen Kegelbereich in den interstellaren Raum (sog. Jets) entkommen.

Das Plasma durchquert das starke inhomogene Magnetfeld und sendet deswegen Synchrotronstrahlung aus. Da die Richtung der Synchrotronstrahlung in Richtung der Plasma-Bewegung zeigt, geht sie also radial aus den magnetischen Polen heraus.

Pulsar

Wenn bei einem solchen Neutronenstern die Achse des Magnetfeldes identisch ist mit der Rotationsachse des Sterns, so ist die Richtung der Strahlung konstant und nur für Beobachter “sichtbar”, die sich genau in dieser Richtung befinden. Ein solcher Beobachter würde eine konstante Strahlung erhalten.

Wenn bei einem solchen Neutronenstern die Achse des Magnetfeldes aber gekippt ist zur Rotationsachse des Sterns…

Liegt die Erde im Strahlungskegel, empfängt sie wie von einem Leuchtturm regelmäßig wiederkehrende Signale. Beobachtbar sind dann diese Pulse.

Die Pulsperioden liegen typisch zwischen 0,0015 und 4,5 Sekunden,

Die Pulse werden vorwiegend im Radiobereich empfangen, einige Pulsare lassen sich aber auch im Röntgen- und Gamma- sowie im optischen Bereich nachweisen.

Geschichte

Jocelyn Bell Burnell (1943-) und ihr Doktorvater Antony Hewish (1924-2021) entdeckten den ersten Pulsar bei der Suche nach Radioquellen am 28. November 1967 am Mullard Radio Astronomy Observatory bei Cambridge. Die Signale pulsierten in einer ungewöhnlichen Regelmäßigkeit, so dass Bell und Hewish sie zunächst für ein künstliches Signal – eventuell einer extraterrestrischen Zivilisation – hielten (Little Green Man 1). Antony Hewish wurde 1974 für die Entdeckung der Pulsare mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet.

Astronomie: Synchrotron-Strahlung

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Elementarteilchen

Stand: 02.08.2023

Synchrotron-Strahlung

Wenn sich elektrisch geladene Teilchen (z.B. Elektronen) gleichförmig bewegen, geschieht nichts besonderes.

Wenn sich solche Teilchen (z.B. Elektronen) aber nicht gleichförmig bewegen, also bescheunigt werden, gebremst werden oder ihre Richtung verändern, dann entsteht elektromagnetische Strahlung; d.h. es werden Photonen abgestrahlt, die der Energiedifferenz entsprechen. Allgemein heisst so eine Strahlung “Bremsstrahlung”.

Abbildung 1: Bremsstrahlung (Wikipedia)

Bremsstrahlung

Abbildung 2: Bremsstrahlung (http://microanalyst.mikroanalytik.de/info1.phtml)

Klassische Bremsstrahlung

Ein klassische Anwendung dieses Effekts ist das Erzeugen von Röntgen-Strahlen. Dazu werden Elektronen beschleunigt und dann auf ein Stück Metall geschossen, wo sie durch das Coulomb-Feld der Metallatome abgebremst werden.

Relativistische Bremsstrahlung

Wenn man zu sehr hohen Energien (v > 0,9 c) kommt, kann man  relativistische Effekte nicht mehr vernachlässigen; man spricht dann von “relativistischen” Teilchen (z.B. Elektronen). Diese Art Bremsstrahlung nennt man “Synchrotron-Strahlung”; auch weil solche hohen Energien praktisch nur in Teilchenbescheunigern mit Magnetfeldern erzielt werden können.

Die Richtung dieser Synchrotron-Strahlung ist tangential zur Bahn des bewegten Teilchens – vorrangig nach vorne, aber auch etwas nach hinten.

Der Name Synchrotron-Strahlung

Man nennt das “Synchrotron-Strahlung”, weil diese Strahlung zu erst (1947) in Teilchenbeschleunigern, die man Sychrotron nannte, auftrat und nachgewiesen wurde. In einem solchen Teilchenbeschleuniger werden geladene Teilchen (z.B. Elektronen) durch Magnete so abgelenkt, dass ein Kreisbahn entsteht, was eine Beschleunigung bedeutet.

Stärke der Synchrotron-Strahlung

Je größer die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit (also die Beschleunigung als Vektor) ist, desdo intensiver ist auch die Synchrotron-Strahlung, wobei ein breites Spektrum entsteht: vom Infrarot bis zum Röntgenbereich…

Da viele Elektronen unterschiedlich stark abgelenkt bzw. abgebremst werden, entstehen Photonen mit unterschiedlichen Energien. Die Energieverteilung der Photonen ist deswegen kontinuierlich und breit. Bremsstrahlung hat ein kontinuierliches Spektrum.

Wenn man besonders starke Synchrotron-Strahlung herstellen will, reichen “einfache” Teilchenbescheuniger, wie Synchrotrons den Forschern aber nicht mehr aus. Man muss dann die bewegten geladenen Teilchen durch  Parcours von starken Magneten schicken, sodass sie bei diesen vielen Richtungswechseln tausendmal stärker als in den Kurven eines klassischen Ringbeschleunigers strahlen.

Synchrotron-Strahlung in der Astronomie

Synchrotronstrahlung gibt es nicht erst seit es Teilchenbeschleuniger gibt, sondern auch im Weltall gibt es Quellen.

In der Astronomie beobachtet man Synchrotronstrahlung immer dann, wenn sich ein heißes Plasma in einem Magnetfeld befindet. Beispiele für kosmische Synchrotronquellen sind Pulsare, Radiogalaxien und Quasare.

Bei astronomischen Synchrotronquellen, kann es auch weniger energetische Synchrotronstrahung geben, die dann Frequenzen im Radiobereich hat.

Familie: Software Ahnenblatt

dkracht

Gehört zu: Familie
Siehe auch: Archivieren

Stand: 31.07.2023

Die Software Ahnenblatt

Mein Bruder Rainer, hat vor längerer Zeit angefangen, etwas Ahnenforschung zu betreiben.
Dazu hat er seinerzeit u.a. die Software Ahnenblatt eingesetzt.

Bezugsquelle: https://www.ahnenblatt.de/download/

Die Informationen speichert die Software Ahnenblatt in Dateien mit der Endung “*.ahn”.

Das Ahnenblatt unserer Familie

Rainers Ahnenblatt-Datei liegt bei mir im Ordner: C:\03-Ablage\Familie\Rainer

Bilder der Pesonen im Ahnenblatt liegen bei mit im Ordner:  C:\04-ArchivKopie\Pictures\20230731_Album_Ahnenblatt

Für die Suchmaschine

Hier sollte noch sehr viel mehr Text stehen. Aber mir fällt nichts ein. Ein wenig Labern sollte doch wohl möglich sein, oder? Ich war überrascht, als einer der Teilnehmer an meiner wöchentlichen Computer-Sprechstunde ebenfalls mit der Software Ahnenblatt arbeitete.

Es sollten schon mindestens 300 Worte in soeinem Text stehen. Aber was sagen schon Worte?

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Astronomie: Raumsonden

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Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Lagrange-Punkte, Swing-by-Manöver, Himmelsmechanik, Künstliche Erdsatelliten

Stand: 26.7.2023

Raumsonden gestartet 2023

Kürzlich gestatet: EUCLID

Gestartet am 1.7.2023 von einem ESA-Konsortium mit einer Falcon-9 von Cape Caneveral

Zielort: Halo-Bahn um den Langrange-Punkt L2 ca. 30 Tage nach dem Start

Aufgabe:
Kartierung der räumlichen Verteilung von mehreren Milliarden Galaxien. Mit den Daten erhoffen sich die sechs aus Deutschland beteiligten Institute des internationalen Euclid-Konsortiums Aufschluss über den Einfluss der dunklen Materie und dunklen Energie auf die Struktur des Universums.

Aktuell: JUICE

Gestartet am 14.4.2023 von der ESA mit einer Ariane 5 vom Weltraumbahnhof Kourou

Zielort: Jupiter-Orbit im Juli 2031

Aufgabe: Erforschung der Jupiter-Monde Europa, Ganymed

Raumsonden gestartet 2021

James Web Space Telescope

Gestartet am 25.12.2021 vom Weltraumbahnhof Kourou

Umlaufbahn: Lissajous-Bahn um den Lagrangepunkt L2

Raumsonden gestartet 2013

Astrometrie-Satellit Gaia

Gestartet am 19. Dezember 2013 in Kourou in Auftrag der ESA

Umlaufbahn: Lissajous-Bahn um den Lagrangepunkt L2

Aufgabe: Hochgenaue dreidimensionale optische Durchmusterung des Himmels

Raumsonden historisch

Weltraumteleskop Kepler

Start: 7. März 2009 von Cape Canaveral (NASA)

Bahn: um die Sonne, etwas hinter der Erde zurückbleibend

Aufgabe: Entdeckung von extrasolaren Planeten

Instrument: Schmidt-Teleskop (1,4 Meter Spiegel, 0,95 Meter Schmidt-Platte)

Weltraumteleskop Herschel

Gestartet am 14.5.2009 von Kourou

Zielort: Halo-Bahn um den Lagrangepunkt L2

Aufgabe: Untersuchung junger Galaxien im Infrarot, Sternentstehung u.a.

Instrument: 3,5 Meter Spiegel aus Silizium-Carbid

Weltraumteleskop Planck

Gestartet am 14.5.2009 von Kourou

Zielort: Lissajous-Bahn um den Lagrangepunkt L2

Aufgabe: Untersuchung der kosmischen Hintergrundstrahlung

Instrument: Hauptspiegel 1,75 Meter mit den Instrumenten HFI und LFI

WMAP-Satellit

Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

Gestartet am 30.6.2001 (NASA)

Zielort: Lissajous-Bahn um den Lagrangepunkt L2

Aufgabe: Messung der Kosmischen Hintergrundstrahlung

Weltraumteleskop Hubble

Start: 24.04.1990 von der Raumfähre Discovery

Bahn: Erdumlaufbahn  (also eigentlich ein künstlicher Erdsatellit und keine Raumsonde)

Aufgabe:

Instrument: Speigelteleskop 2,4 Meter Spiegeldurchmesser

Astronomie: Flächenhelligkeit

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Gehört zu: Helligkeit, Astronomie
Siehe auch: Gegenschein, Physikalische Größen, Lichtverschmutzung, SQM
Benutzt: Latex-Plugin

Stand: 16.07.2023

YouTube

Flächenhelligkeit von M101: https://youtu.be/rzBTMLCKpPg?si=GloV53Qm7mmcOYkJ

Praxis: Welche dunklen Objekte kann ich am Himmel noch erkennen?

Wenn man  anhand von Zahlen und Formeln herausbekommen will, ob man ein Objekt am Himmel mit dem bloßen Auge oder einer Fotokamera erkennen kann (sei es mit Teleskop oder anders), kann das nach den untenstehenden Formeln einigermaßen “fummelig” werden.

Alternativ hilft immer: ausprobieren.

Vergleiche auch: https://www.astronomie.de/einstieg-in-die-astronomie/sterne-beobachten/wahrnehmung-von-flaechenhaften-objekten

Punktförmige Lichtquellen

Von einem Stern der Scheinbaren Helligkeit m (gemessen in Magnituden) geht ein Lichtstrom Φv (gemessen in Lumen) aus von:

\( \Large \Phi_v = 10^{(-m-14.2064)/2.5}  \enspace Lumen \\ \)

Ein Stern, von dem ein Lichtstrom Φv (in Lumen) ausgeht, erscheint in einer Scheinbaren Helligkeit m (gemessen in Magnituden) von:

\( \Large m = -14.2064 – 2.5 \log{\Phi_v} \enspace mag \)

Addition von punktförmigen Helligkeiten

Zur Addition von Helligkeiten muss man eine lineare Skala verwenden. Die Scheinbaren Helligkeiten (logarithmische Skala in Magnituden) werden dafür in Lichtströme (lineare Skala in Lumen) umgerechnet.

Man sollte im Kopf behalten, dass die Magnituden-Skala eine logarthimische Teilung hat und so skaliert ist, dass 5 Magnituden einen Helligheitsunterschied vom Faktor 100 ausmachen.

Bei einer engen Konjunktion zweier Planeten oder auch bei Doppelsternen verschmelzen die Einzel-Helligkeiten zu einer Gesamt-Helligkeit einer punktförmigen Lichtquelle.

Nehmen wir als Beispiel die enge Konjunktion von Jupiter und Saturn vom 21.12.2020.

  • Die scheinbare Helligkeit des Jupiters war: -1.97 mag  = 1.2748 10-5 Lumen als Lichtstrom
  • Die scheinbare Helligkeit des Saturns war: 0,63 mag = 0.1163 10-5 Lumen als Lichtstrom
  • Diese Lichströme  kann man addieren und bekommt als Summe also 1.3911 10-5 Lumen.
  • Das entspricht einer (scheinbaren) Gesamt-Helligkeit von zusammen -2.06 mag.

So können wir also die Gesamthelligkeit aus den Einzelhelligkeiten mehrerer punktförmiger Lichtquellen (z.B. enge Konjunktion, Doppelstern etc.) ermitteln.

Zur Addition von Helligkeiten kann man natürlich irgendeine lineare Helligkeits-Skala nehmen, es muss nicht der Lichtstrom in Lumen sein.

Beispielsweise:

\( \Large m_{1+2} = -2.5 \cdot \log(10^{-\frac{m_1}{2.5}} + 10^{-\frac{m_2}{2.5}}) \)

Was ist Flächenhelligekeit?

Wenn ein astronomisches Objekt nicht mehr als punktförmige Lichtquelle behandelt werden kann, verwendet man die physikalische Größe “Flächenhelligkeit”. Das ist ganz einfach:

Flächenhelligkeit = Helligkeit / Fläche.

Mit “Helligkeit” ist die sog. “Gesamthelligkeit” gemeint, also die Helligkeit des Objekts wenn es punktförmig wäre.
Normalerweise betrachten wir  die “scheinbaren” Helligkeiten; also so wie sie uns von der Erde aus erscheinen.

Genaugenommen hängt die Fläche eines Objekts von seiner Form ab:

  • Rechteck: Höhe x Breite
  • Kreis: Pi * Radius²
  • Ellipse:  Pi * Große Halbachse * Kleine Halbachse
  • etc.

Eine so berechnete Flächenhelligkeit ist einfach ein Durchnittswert. Wenn das Objekt eine Struktur hat, sind Teile heller und Teile dunkler.

Maßeinheiten allgemein (SI)

Als Helligkeit messen wir den Lichtstrom Φv (in Lumen) oder besser die Beleuchtungsstärke Ev (in Lux = Lumen/m²).
Der Astronom nimmt stattdessen Magnituden (s.u.).

Wenn wir die Fläche als Raumwinkel in Sterad messen (der Astronom nimmt stattdessen arcsec²), erhalten wir als Maßeinheit für die Flächenhelligkeit Lux/Sterad = Candela/m².

Näheres dazu unter Helligkeiten.

Maßeinheiten in der Astronomie

Die klassischen physikalischen Größen in der Astronomie sind:

  • Helligkeit eines Objekts misst man  gern in sog. Magnituden (mag) – auch Größenklassen genannt
  • Fläche am Himmel misst man gerne in Quadrat-Bogensekunden (arcsec²) oder in Quadrat-Bogenminuten (arcmin²)

Damit würde man eine Flächenhelligkeit in mag/arcsec² oder mag/arcmin² ausdrücken. Man muss dann fürchterlich aufpassen, ob Bogenminuten oder Bogensekunden gemeint sind.

Der Amerikaner schreibt auch gerne MPSAS = Magnitudes per square arc second.

Beispiele:

  • Die Himmelshelligkeit in der Stadt Hamburg beträgt ca. 18 mag/arcsec²   (siehe auch: Lichtverschmutzung)
  • Die Flächenhelligkeit von M31 beträgt 13.31 mag/arcmin² (laut Stellarium)
  • Die Flächenhelligkeit von M101 beträgt 14.86 mag/arcmin² (laut Stellarium)
  • Die Flächenhelligkeit des Gegenscheins beträgt ca. 22,17 mag/arcsec2

Flächige Lichtquellen

Bei einer flächigen Lichtquelle verteilt sich die Gesamthelligkeit über die Fläche der Lichtquelle. In astronomischen Werken wird gerne die Gesamthelligkeit von Objekten ausgewiesen, seltener aber auch deren Flächenhelligkeit.

Wenn  wir die Flächenhelligkeit selber ausrechnen wollen, müssen wir die Fläche der Lichtquelle kennen.
Für die Verteilung der Gesamthelligkeit (m) auf die Fläche brauchen wir statt der logarithmischen Skala eine lineare Skala. Dafür können wir z.B. den Lichtstrom (Φv) in Lumen nehmen. Also (Formel s.o.):

\( \Large \Phi_v = 10^{(-m-14.2064)/2.5}  \enspace Lumen \\ \)

Für das Beispiel M31 bekommen wir mit:

  • Gesamthelligkeit: 3,4 mag    (laut Stellarium)
  • Größe: 3° 9′ x 1° 2′ = 189 arcmin x 62 arcmin  (laut Stellarium)

Die Fläche ist inetwa eine Ellipse mit den Halbachsen a=94,5 arcmin und b=31 arcmin. Damit ist die Fläche π * a * b = 9203,3 arcmin²
Der Lichtstrom ist: Φv = 10 ((-3,4 – 14.2064)/2.5) = 10 -7.04256 = 9,0665 10-8 Lumen.
Diesen Lichtstrom verteilen wir nun (gleichmäßig) auf die Fläche von 9203,3 arcmin².
Das macht also 9,0665 10-8 / 9203,3 = 9,851358 10-12  Lumen/arcmin²

Der Astronom hat aber gerne Magnituden (logarithmische Skala) statt Lumen (lineare Skala), also rechnen wir:
\( m = -14.2064 – 2.5 \log{\Phi_v} \enspace mag \)

Bmag = -14.2064 – 2.5 * (0,9934961017 – 12) =  13,31  mag/arcmin²

Für das Beispiel M101 bekommen wir mit:

  • Gesamthelligkeit: 7,90 mag    (laut Stellarium)
  • Größe:  28,8 arcmin x 26,9 arcmin    (laut Stellarium)

Die Fläche ist inetwa kreisförmig mit einem Radius von. ca. 14 arcmin. Damit ist die Fläche π * r² = 615,75 arcmin²
Der Lichtstrom ist: Φv = 10 ((-7,9 – 14.2064)/2.5) = 10 -8,84256 = 1,43694452 10-9 Lumen.
Diesen Lichtstrom verteilen wir nun (gleichmäßig) auf die Fläche von 615,75  arcmin².
Das macht also 1,43694452 10-9 / 615,75 =   2,3336492 10-12  Lumen/arcmin²

Der Astronom hat aber gerne Magnituden (logarithmische Skala) statt Lumen (lineare Skala), also rechnen wir:

Bmag = -14.2064 – 2.5 * (0,3680355724 – 12) =  14,87  mag/arcmin²

Formel für Flächenhelligkeiten

Da wir zur Ermittlung der Flächenhelligkeit ja “nur” die Gesamthelligeit durch die Anzahl Flächeneinheiten (arcmin²) dividieren müssen, können wir uns zu Nutze machen, dass  bei einer logarithmischen Skala die Division einer Subtraktion entspricht (minus minus = plus) und wir erhalten eine einfache Formel:

Bei einer Gesamthelligkeit von m (in Magnituden) und einer Fläche von F  haben wir eine Formel zur Berechnung der Flächenhelligkeit:

\( B_{mag} = m  + 2.5 \log{F}  \\ \)

Wenn wir die Fläche F in Einheiten von arcmin² einsetzen, ergibt die obige Formel die Flächenhelligkeit in mag/arcmin². Wenn wir die Fläche F in arcsec² angeben, erhalten wir die Flächenhelligkeit in mag/arcsec².

Für unsere Beispiele erhalten wir damit:

M31 (m = 3,4  F = 9203,3 arcmin² = 33131880 arcsec²)

  • Flächenhelligkeit: 3,4 + 2,5 * 3,963943579 = 3,4 + 9,9098589475 = 13,31 mag/arcmin²   (13,31 laut Stellarium)
  • Flächenhelligkeit: 3,4 + 2,5 * 7,5202460797 = 3,4 +18,8006151993 = 22,20 mag/arcsec²

M101  (m = 7,9  F = 615,75 arcmin² = 2216700 arcsec²)

  • Flächenhelligkeit:  7,9 + 2,5 * 2,7894044205 = 7,9 + 6,9735110513 = 14,87 mag/arcmin²  (14,86 laut Stellarium)
  • Flächenhelligkeit:  7,9 + 2,5 * 6,3457069213 = 7,9 + 15,8642673033 = 23,76 mag/arcsec²

Addition von flächigen Lichtquellen

Hier geht es typischerweise darum die Flächenhelligkeit des Himmels und die Flächenhelligkeit eines flächigen Beobachtungs-Objekts zu betrachten.

Früher dachte ich, dass ein Beobachtungsobjekt in der Helligkeit des Hintergrunds verschwindet, wenn es zu schwach ist. Es ist aber so, dass sich die beiden Flächenhelligkeiten immer addieren. Das Beobachtungsobjekt hat dann effektiv als Flächenhelligkeit die Summe der beiden Flächenhelligkeiten und die Frage ist nur, ob sich  diese Summen-Flächenhelligkeit noch genug von der Flächenhelligkeit des Himmels abhebt. Ob es da also genügend “Kontrast” gibt.

Bevor wir zwei Flächenhelligkeiten einfach so addieren, solten wir aber sicherstellen, dass beide in gleichen Masseinheiten angegeben sind; also beispielsweise beide in mag/arcsec².

Der Himmel in Hamburg-Eimsbüttel: 18 mag/arcsec²

Dann können wir einfach addieren für M31 (habe ich mit Excel gemacht):

m = -2,5 * log(10^-22,20/2,5  + 10^-18,00/2.5) = -2,5 * log( 10^-8,88  +  10^-7,2) = -2,5 * log( 1,31826E-9 + 6,30957E-8) = -2,5 * log(6,441396E-8) = -2,5 * -7,191020 = 17,977550

Und für M101 erhalten wir auf gleiche Weise (habe ich mit Excel gemacht):

m = -2,5 * log(10^-23,76/2,5  + 10^-18,00/2.5) = -2,5 * log( 10^-9,504  +  10^-7,2) = -2,5 * log(3,133286 E-10 + 6,30957E-8) = -2,5 * log(6,340906E-8) = -2,5 * -7,197849 = 17,994622

Beispielsweise (FH = Flächenhelligkeit):

Objekt FH in mag/arcmin² FH in mag/arcsec² Himmel in mag/arcsec² FH Summe in mag/arcsec²
M31 13,31 22,20 18,00 17,9775
M101 14,87 23,76 18,00 17,9946

Bei einem Hamburger Großstadt-Himmel von 18 mag/arcsec² ist also

  • M31 gerade mal 0,0225 mag heller als der Himmelshintergrund
  • M101 gerade mal 0,0054 mag heller als der Himmelshintergrund

Wo da bei visueller Beobachtung die Grenzen sind, weiß ich nicht.
Bei fotografischer Beobachtung kann ich das Foto so lange belichten, bis das Histogramm sich vom linken Rand löst und dann das Histogramm so bearbeiten, dass M101 knapp sichbar wird.

Der Himmel in Handeloh 21 mag/arcsec²

Wenn wir das Gleiche nicht in Hamburg City, sondern in Handeloh machen, sieht das schon ganz anders aus.
In Handeloh gehen wir mal von einer Himmelshelligheit von 21 mag/arcsec² aus.

Damit ergibt sich (FH Summe mit Excel errechnet):

Objekt FH in mag/arcsec² Himmel in mag/arcsec² FH Summe in mag/arcsec²
M31 22,20 21,00 20,6894
M101 23,76 21,00 20,9177

Unter einem dunklerem Himmel von 21 mag/arcsec² ist also

  • M31  schon 0,3 mag heller als der Himmelshintergrund
  • M101 schon 0,1 mag heller als der Himmelshintergrund

Conclusio: Nicht ist besser als ein noch dunklerer Himmel

Astronomie: Aberration

dkracht

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Parallaxe, Nikolaus Kopernikus, Koordinatensysteme, Lichtgeschwindigkeit

Stand: 5.7.2023

Fixstern-Aberration

Aberation bedeutet im Wortsinne eigentlich soetwas wie “Abweichung” oder “Ablenkung”. Aber Abweichung von was? Und wodurch wird so eine Abweichung bewirkt?

So eine Fixstern-Aberration wurde im Jahre 1727 von James Bradley (1693-1762) entdeckt. Bradley beschäftigte sich längere Zeit mit der Vermessung von Sternörtern (Astrometrie). Zu diesem Zwecke hatte er sich ein sog. Zenith-Fernrohr bauen lassen, mit dem er zenith-nahe Objekte sehr genau vermessen konnte.

Am Stern Etamin (Gamma Draconis) wollte James Bradley die Parallaxe bestimmen. Was er statt dessen messen konnte war die Aberration.

Bei der Beobachtung von Fixsternen misst man kleine Verschiebungen der Sternposition am Himmel, weil sich die Erde um die Sonne bewegt (Bahngeschwindigkeit ca. 30 km/s) und das Licht ja nur eine endliche Geschwindigkeit (ca. 300.000 km/s) hat.

Abbildung 1: Aberration im Regen (https://www.gutefrage.net/frage/mechanik-vektoraddition-regentropfen-aus-meiner-sichtweise)

GuteFrage.org

Die Größe der Fixstern-Aberration durch die jährliche Bewegung der Erde hängt dann nur noch von der Lichtgeschwindigkeit ab. Heute weiss man, dass die Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) immer gleich ist und weder von der Entfernung noch von der Bewegung eines Fixsterns abhängt – auch einen Äther, der evtl. mitbewegt sein könnte, gibt es nicht. Damit ist auch die Fixstern-Aberration unabhängig von der Entfernung des Fixsterns und unabhängig von vielem anderen. Allerdings beschreibt die Aberration eines Fixsterns im Laufe des Jahres eine kleine Figur, die von der ekliptischen Breite des Stern abhängt.

Wenn man mal als bekannt voraussetzt:

  • Lichtgeschwindigkeit: ca. 300.000 km/s
  • Erdbahngeschwindigkeit: ca. 30 km/s

ergibt sich ein Aberationswinkel α von:

\( \Large \alpha = \frac{30}{300000} rad = \frac{1}{10000} rad = \frac{360 * 60 * 60}{10000 * 2* \pi} arcsec = 20 \enspace arcsec \\ \)

Die Verschiebung des Sternortes beträgt also einen Winkel von 20″ und zwar in Richtung der Erdbewegung. Ein Stern am Pol der Ekliptik (β=90º) beschreibt einen Kreis mit dem Durchmesser 20″. Sterne mit einer ekliptischen Breite von β < 90º eine Ellipse mit den Halbachsen 10″ und 10″ · cos β.

Eine genauere Erklärung der Fixstern-Aberration gibt die Spezielle Relativitätstheorie. Link: https://explainingscience.org/2019/05/28/stellar-aberration/

Eigentlich wollte Bradley die Parallaxe des Sterns Gamma Draconis bestimmen, die war aber mit  0,021 arcsec weit unterhalb der damaligen Messgenauigkeit. Auch die Richtung der Verschiebung bei Parallaxe und Aberration ist unterschiedlich (s.u.).

Abgesehen von den damals noch nicht so genau bekannten Eigenschaften der Lichtgeschwindigkeit war das auch ein erster Beweis des heliozentrischen Weltbildes des Nikolaus Kopernikus.

Unterschiede zwischen Fixstern-Aberration und Fixstern-Parallaxe

Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=3JaFVH36WHQ

Fixstern-Aberration Fixstern-Parallaxe
Ursache (der Ellipse) Änderung der Bewegungsrichtung der Erde beim jährlichen Umlauf um die Sonne Änderung des Ortes der Erde beim jährlichen Umlauf um die Sonne
Entdecker Bradley 1727 Bessel 1838
Veränderung mit der Entfernung Nein Ja, ändert sich umgekehrt proportional zur Entfernung. Nähere Sterne zeigen größere Parallaxe
Größe (der Ellipse) 20.5 arcsec (Durchmesser) 0.769 arcsec für den nähesten Stern, Proxima Centauri

 

Physik: Tunneleffekt

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Kernfusion, Quantenmechanik
Benutzt: Fotos vom Spiegel

Stand: 02.07.2013

Was ist der Tunneleffekt?

Tunneleffekt ist eine anschauliche Bezeichnung dafür, dass ein Teilchen eine Potentialschwelle auch dann überwinden kann, wenn seine Energie geringer als die „Höhe“ der Barriere (Schwelle)  ist. In der klassischen Physik ist das nicht möglich, aber in der Quantenphysik gibt es das mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit.

Der Spiegel

Quelle: https://www.spiegel.de/fotostrecke/erwischt-elektronen-beim-tunneln-fotostrecke-20657.html

Beispiel einer Potentialschwelle

Elektrisch gleichnamig geladene Teilchen stoßen sich ab –  wie z.B. zwei Protonen durch ihr elektrisches Feld (das Coulomb-Potential). Diese abstoßende Kraft steigt an, je näher sich die Teilchen kommen (mit r-2).

Eine “Potentialschwelle” kommt hier dadurch zustande, dass die Starke Kernkraft anziehend wirkt und bei kleineren Abständen stärker ansteigt, als die abstoßende elektromagnetische Kraft. Das Überwinden einer solchen Potentialschwelle, auch wenn die Energie dafür eigentlich nicht reicht, ist ein quantenmechanischer Effekt, der mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auftreten kann.

Die Stärke der sog. Starken Kernkraft, die zwei Protonen bei kleinem Abstand anzieht, ist nur durch sehr aufwendige Berechnungen zu ermitteln. Denn diese Starke Kernkraft wirkt primär zwischen den Quarks im Inneren eines Protons. Man spricht dann noch von einer “restlichen” Wirkung. Dazu das Stichwort: Gamow Peak.

Berechnung des Tunneleffekts

Zuerst müssten wir das Potential des betrachteten Teilchens in Abhängigkeit vom Ort  mit einer Funktion V(x) beschreiben.

Diese Potentialfunktion können wir dann in die stationäre Schrödinger-Gleichung einsetzen.

Diese Schrödinger-Gleichung ist damit eine Differentialgleichung, deren Lösung die Wellenfunktion Φ des betrachteten Teilchens ist. Damit haben wir sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |Φ|² des Teilchens in Abhängigkeit von seinem Ort, welche auch jenseits der Potientialschwelle größer als Null ist.

Beispiel des Tunneleffekts

Bei der Kernfusion in unserer Sonne findet in der Hauptsache der sog. p-p-Prozess statt. Der p-p-Prozess beginnt mit der Verschmelzung zweier Protonen und der anschließenden Umwandlung eines Protons in ein Neutron und eine Positron, sodass ein Deuterium-Kern 2H entsteht.

\( ^1H +  {^1H}  \to  {^2H} + e^+ + \nu_e + 0.42 MeV \\\)

Für diesen ersten Reaktionsschritt muss die Potentialschwelle zwischen den beiden Protonen 1H überwunden werden, was der Tunneleffekt ermöglicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aber so klein, dass die durchschnittliche Reaktionszeit  1.4 1010 Jahre (in unserer Sonne) beträgt.

Quelle: https://sternentstehung.de/von-wasserstoff-zu-helium-die-pp-kette