Eine der Voraussetzungen zum Verständnis vieler Dinge (z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik) sind sog. Vektorräume und Tensoren.
Ein Vektorraum kann axiomatisch wie folgt definiert werden:
Axiom 1: Vektorräume verfügen über eine Operation, die Vektor-Addition (Vektor plus Vektor ergibt einen Vektor) genannt wird und eine kommutative (abelsche) Gruppe bildet. Axiom 2: Jeder Vektorraum muss einen Körper haben, dessen Elemente Skalare genannt werden. Mit solchen Skalaren können wir die Vektoren mutiplizieren (“skalieren“); d.h. Skalar mal Vektor ergibt Vektor.
Man spricht dann von einem Vektorraum “über” einem Körper K seiner Skalaren oder kurz von einem K-Vektorraum.
Solche Axiome ergeben eine abstrakte Definition von Eigenschaften; die Frage ist allerdings, ob es tatsächlich “Gebilde” gibt, die diese Axiome erfüllen. Tatsächlich gibt es viele “Gebilde”, die die Vektorraum-Axiome erfüllen: d.h. die tatsächlich Vektorräume sind. Beispiele für Vektorräume sind u.a.:
Ein \(\mathbb{R}^n \) wird mit den naheliegenden Operationen Vektorraum über \(\mathbb{R}\)
Ein \(\mathbb{C}^n \) wird mit den naheliegenden Operationen Vektorraum über \(\mathbb{C}\)
Die Menge der Funktionen auf \(\mathbb{R}\) kann auch als Vektorraum ausgestattet werden…
Ein abstrakter Vektorraum kann auch veranschaulicht werden:
Physik: Der Physiker stellt sich Vektoren gern als “Pfeile” vor, die also eine Richtung und eine Länge haben, also eher “geometrisch“.
Computer: Der Computer-Mensch stellt sich Vektoren eher als Liste von Komponenten vor (Vektor = Liste) – wozu man aber ersteinmal ein System von Basis-Vektoren (nicht: Koordinatensystem) haben muss.
Mathematik: Der abstrakte Mathematiker sagt, Vektoren sind einfach “etwas”, was man addieren kann (Gruppe) und was man mit “Skalaren” skalieren kann – fertig, einfach ein paar Axiome und das war’s.
Linearkombinationen
Mit einem Satz von Vektoren kann man eine sog. Linearkombination bilden, beispielsweise:
Zu einem Satz Vektoren \( \vec{g_1}, \vec{g_2}, …, \vec{g_n} \) wäre eine Linearkombination etwa:
Wobei wir jeden Vektor \( \vec{g_i} \)mit einem Skalar \( a_i \) multiplizieren und die Summe bilden.
Vektorbasis und Dimension
Wenn ich mit einem Satz von Vektoren jeden Vektor des Vektorraums durch eine Linearkombination darstellen kann, sagt man “der Satz von Vektoren spannt den Vektorraum auf”. Ist so ein Satz von Vektoren minimal und die Darstellung eines Vektors durch eine Linearkombination damit eindeutig, so nennt man den Satz von Vektoren eine Vektorbasis.
Soweit ist dies eine axiomatische Definition von Eigenschaften, welche eine Vektorbasis erfüllen muss. Die Frage ist allerdings, für einen bestimmten Vektorraum, ob dort auch tatsächlich eine solche Vektorbasis exsitiert.
Die Antwort lautet: Jeder Vektorraum hat (mindestens) eine Vektorbasis.
Falls ein Vektorraum mehrere Vektorbasen hat sind alle diese Vektorbasen gleich mächtig. Die Kardinalzahl (Mächtigkeit) heist Dimension des Vektorraums, geschrieben dim(V).
Eine Einheitsbasis (normal basis) ist eine Basis, bei der alle Basisvektoren die Länge 1 haben (“auf die Länge 1 normiert sind”).
Was die Länge eines Vektors sein könnte, kommt weiter unten.
Beispiel:
Der euklidische Vektorraum: \(\mathbb{R}^n\)
Dort haben wir z.B. eine Vektorbasis: \( \vec{e}_i = (\delta_{i}^j) \)
Wobei das Kronecker-Delta bekanntlich definiert ist als:
Damit ich mit einem Vektor so schön herumrechnen kann, ist es enorm praktisch, den Vektor durch “seine” Komponenten darzustellen. Solche “Komponenten” beziehen sich immer auf eine sog. Vektorbasis.
Den Satz von Skalaren mit dem ein Vektor bezüglich einer Vektorbasis als Linearkobination eindeutig dargestellt werden kann nennt man auch die Komponenten des Vektors. Man schreibt also:
Dabei sind also die ai die Komponenten des Vektors a bezüglich des gewählten Basisvektorsystems. Der Begriff von Koordinaten in einem Koordinatensystem unterscheidet sich von diesem Begriff der Komponenten bezüglich eines Basisvektorsystems.
Der Physiker möchte die Formeln noch kompakter aufschreiben und führt eine impliziete Summenkonvention ein (nach Einstein). Danach verwenden wir Indizes teilweise unten (klassisch) und auch teilweise oben (neu). Wenn ein gleicher Index oben und unten auftaucht, soll darüber summiert werden (ohne dass man es expliziet schreiben muss). Also in unserem Fall:
\( \vec{a} = a^i \vec{g_i} \)
Man nennt Größen mit einem Index unten “kovariant” und mit einem Index oben “kontravariant” – was man damit eigentlich sagen will werden wir später erfahren.
Komponentenschreibweise
Unsere Rechenregeln für Vektoren kann man nun auch einfach in Komponentenschreibweise ausdrücken:
Geschrieben werden Vektoren meist als eine Liste ihrer Komponenten, aber nicht waagerecht, sondern senkrecht angeordnet (bei waagerechter Anordnung denkt man eher an einen Punkt im Raum).
\( \Large \vec{v} = \left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right) \)
oder auch in eckigen Klammern:
\( \Large \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array} \right] \)
Wenn ich Vektoren als Liste von Komponenten schreiben will, muss ich ersteinmal ein Basisvektorsystem haben.
Vektoren, und das ist wichtig, exisitieren auch ohne Basisvektorsysteme, also einfach geometrisch im Raum. Unabhängig von einem Basisvektorsystem hat jeder Vektor eine Länge und eine Richtung. Dies sind also sog. “Invarianten”; d.h. bei Änderung des Basisvektorsystems ändern sich diese Eigenschaften nicht.
Also: Vektoren ansich sind invariant gegenüber einem Wechsel des Basisvektorsystems. Aber die Vektorkomponenten verändern sich beim Wechsel des Basisvektorsystems, sind wie man sagt “variant“. Wie Vektorkomponenten bei Wechsel des Basisvektorsystems hin- und hergerechnet werden können, behandeln wir weiter unten. So ein Vektor ist damit der Sonderfall eines Tensors, nämlich ein Tensor vom Rang 1.
Lineare Abbildung (Lineare Transformation)
Wir betrachten zwei Vektorräume V und W über dem gleichen Körper K habe. Eine Abbildung \( f: V \to W \) nennt man auch Transformation. Wenn V=W ist spricht man auch von einer Operation auf V und nennt f einen Operator.
Lineare Transformationen sind Transformationen, bei denen Geraden Geraden bleiben und der Null-Punkt (Origin) unverändert bleibt.
Anschaulich gesagt, bleiben Parallelen parallel und die Koordinatengitter gleichmäßig unterteilt (was immer auch Parallelen und Koordinatengitter genau sein mögen). Man kann das auch abstrakt durch Formeln ausdrücken:
Eine solche Abbildung f von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W (beide über dem gleichen Körper K)
\( f: V \to W \\ \)
wird “linear” genannt, wenn sie additiv und homogen ist; d.h. wenn für alle \( \vec{v} \in V \text{ und alle } \vec{w} \in V \) gilt:
homogen: \( f(a \vec{v}) = a f(\vec{v}) \) (hierfür brauchen wir den gleichen Körper K)
allgemein also: \(f(a \vec{x} + b \vec{y}) = a f(\vec{x}) + b f(\vec{y}) \)
General Linear Group
Zu einem Vektorraum V über K können wir die Menge der linearen invertierbaren Abbildungen \( f: V \to V \) betrachten. Diese nennen wir: General Linear Group und schreiben GL(V). Wenn man die allgemeine Verknüpfung von Abbildungen als Guppenverknüpfung nimmt, ist GL(V) tatsächlich eine Gruppe.
Die GL(V) ist ein schönes Beispiel für eine nicht abelsche (nicht kommutative) Gruppe.
Siehe hierzu auch das schöne Youtube-Video von Josef Gassner:
In der Quantenmechanik (Quantenphysik) sind die Untergruppen von GL(V) sehr interessant.
Dualer Raum
Zu einem Vektorraum V über dem Körper K definieren wir eine “Dualen Vektorraum” V* wie folgt:
Als Menge V* nehmen wir alle linearen Abbildungen \( f: V \to K \)
Als Vektor-Addition in V* definieren wir: \( (f+g)(v) = f(v) + g(v) \)
Und als Skalar-Multiplikation in V* nehmen wir: \( (\lambda \cdot f)(v) = \lambda \cdot f(v) \)
Bilinerarform
Hier geht es um zwei Variable (zwei = bi); also eine Abbildung:
\( f: V \times V \to K \\\) (mit V Vektorraum über dem Körper K)
So eine Abbildung heisst “bilinear“, wenn sie “in beiden Variablen” linear ist, was heisst:
Ein Vektorraum verfügt nicht notwendig über ein Skalarprodukt. Auf einem Vektorraum kann ein Skalarprodukt definiert sein (Vektor mal Vektor ergibt einen Skalar) – Dies ist inspiriert aus der Physik durch Arbeit = Kraft mal Weg.
Wir werden sehen, dass so ein Skalarprodukt dann eine “Norm” induziert und damit eine Metrik, wodurch z.B. Grenzwertprozesse möglich werden.
Einen \(\mathbb{R}\)-Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch einen Euklidischen Raum, einen \(\mathbb{C}\)-Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch Hilbertraum – genauer Prähilbertraum.
Für die Anwendungen z.B. in der Physik spielt es eine große Rolle, welches der Körper zum Vektorraum ist. In der Quantenphysik benötigt man dazu den Körper der Komplexen Zahlen: \(\mathbb{C}\)
Definition des Skalarprodukts
Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird axiomatisch wie folgt definiert.
Axiomatische Definition
Generell ist das Skalarprodukt f in einem Vektorraum über dem Körper K eine Abbildung:
\( f: V \times V \to K \)
Man schreibt auch gerne das Skalarprodukt als:
\( \Large f(x,y) = \langle x,y \rangle \)
\( \Large f(x,y) = \vec{x} \cdot \vec{y} \)
Für den Fall eines Vektorraums über dem Körper der reelen Zahlen, müssen für x, y, z ∈ V und λ ∈ \(\mathbb{R} \) folgende Axiome gelten:
Linearität in beiden Argumenten
<x+y,z> = <x,z> + <y,z>
<x,y+z> = <x,y> + <x,z>
<λx,y> = λ <x,y>
<x,λy> = λ <x,y>
Symmetrie: <x,y> = <y,x>
Positiv definit:
<x,x> ≥ 0
<x,x> = 0 genau dann, wenn x=0 ist
Das reelle Skalarprodukt ist also eine positiv definite, symmetrische Bilinearform.
Für den Fall eines Vektorraums über dem Körper der komplexen Zahlen, ist die Sache etwas schwieriger.
Da wir aber in der Quantenphysik Vektorräume über den komlexen Zahlen benötigen, müssen wir auch diesen etwas komplizierteren Fall näher betrachten.
Es müssen für x, y, z ∈ V und λ ∈ \(\mathbb{C} \) folgende Axiome gelten:
Semilinear im ersten Argument:
\( <\lambda x, y> = \bar{\lambda} <x,y> \)
Linear im zweiten Argument:
\( <x, \lambda y> = \lambda <x,y> \)
Hermitisch:
\( <x,y> = \overline{<y,x>} \)
Positiv definit:
<x,x> ≥ 0
<x,x> = 0 genau dann, wenn x=0
Das komplexe Skalarprodukt ist also eine positiv definite, hermitische Sesquillinearform.
Existenz eines Skalarprodukts bei endlicher Dimension
Soweit ist dies eine axiomatische Definition von Eigenschaften, welche ein Skalarprodukt erfüllen muss. Die Frage ist allerdings, für einen bestimmten Vektorraum, ob dort auch tatsächlich ein solches Skalarprodukt definiert werden kann.
Aus unserem Vektorraum V über K nehmen wir zwei Vektoren \(\vec{x}\) und \(\vec{y}\) und versuchen deren Skalarprodukt zu definieren. Im Falle einer endlichen Dimension des Vektorraums dim(V)=n können wir das leicht über die Komponentendarstellung dieser Vektoren zu einer ausgewählten Vektorbasis erreichen:
Wir könnten das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren also definieren, wenn wir nur das Skalaprodukt von je zwei Basisvektoren so definieren, dass dann die Axiome des Skalarprodukts eingehalten würden. Mit anderen Worten: Bei geeigneter Festlegung einer Matrix:
\( g_{ij} = \vec{g}_i \cdot \vec{g}_j \tag{1}\)
Könnten wir das Skalarprodukt einfach definieren als:
Wir bekommen also ein Objekt aus zweifach indizierten Skalaren (genannt Metrik-Koeffizienten). Diese Metrik-Koeffizienten bilden also eine quadratische Matrix, die wir später auch gerne “Metrik-Tensor” nennen werden.
Der Metrik-Tensor besteht also aus den paarweisen Skalarprodukten der verwendeten Basisvektoren.
Beispiel:
Wie nehmen einen euklidischen Vektorraum: \(\mathbb{R}^3\)
mit der Vektorbasis: \( \vec{e}_i = (\delta_{i}^j) \)
Wir nehmen als Metrik-Tensor: \( \eta_i^j = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \)
Aus Gleichung (2) mit dem obigen Metrik-Tensor ergibt sich als Skalarprodukt:
Um hier das Skalarprodukt auszurechnen nach Gleichung (2) müssen wir die Komponenten der Vektoren bestimmen. Dazu nehmen wir ersteinmal die Komponenten der einzelnen Vektoren:
Somit ist das Skalarprodukt im ersten Argument linear unabhängig von der Wahl des Metrik-Tensors.
Das Skalarprodukt ist auch im zweiten Argument linear, wenn der Skalaren-Körper \(\mathbb{R}\) ist – dann gilt die obige Herleitung identisch.
Das zweite zu überprüfende Axiom wäre die Symmetrie
Nach unserer Definition des Skalarprodukts in Gleichung (2) gilt:
\( \langle x, y \rangle = x^i y^j g_{ij} \)
und
\( \langle y, x \rangle = y^j x^i g_{ji} = x^i y^j g_{ji}\)
Wir sehen also, dass wenn der Metrik-Tensor symmerisch ist (gij = gji), dann ist auch das damit definierte Skalarprodukt symmetrisch.
Das dritte zu überprüfende Axiom wäre die Positive Definitheit
Dies ergibt sich auch ganz einfach.
Skalarprodukt bei nicht-endlicher Dimension
Ein Vektorraum nicht-endlicher Dimension über K ist so etwas wie ein Funktionenraum. Für \( f \in V \text{ und } g \in V \) definieren wir das Innere Produkt (Skalarprodukt) als:
Die komplexe Konjugation wird hier u.a. benötigt, damit die Länge eines Vektors (s.u.) eine reele Zahl wird.
Unitäre Abbildung (Unitäre Transformation)
Eine Abbildung (auch Transformation genannt) von einem Vektorraum V in einen anderen W wird “unitär” genannt, wenn sie das Skalarprodukt “erhält” (Da die Länge eines Vektors über das Skalarprodukt definiert ist, ist eine unitäre Abbildung längentreu)
Nehmen wir zwei Vektorräume V und W, jeweils mit einem Skalarprodukt, sowie eine Abbildung:
\( f: V \to W \)
Dann soll für je zwei Vektoren u und v aus V gelten:
\( <f(u),f(v)> = <u,v>\\ \)
Man kann zeigen, dass solche unitären Abbildungen auch stets lineare Abbildungen sind.
Ein klassisches Beispiel ist die Gruppe U(1) der komplexer Zahlen vom Betrag Eins, wobei die Gruppen-Verknüpfung die Multiplikation der komplexen Zahlen (also die Drehung) ist. Diese Gruppe spielt bei dem Standardmodell der Teilchenphysik eine wichtige Rolle. Die Gruppe U(1) bildet ein mathematisches Modell der Elektrostatischen Wechselwirkung in der Quanten-Elektrodynamik mit dem Photon als Austauschteilchen.
Länge eines Vektors
Der Begriff “Metrik-Tensor” hat schon einen Sinn, wenn wir sehen, dass damit auch die Länge eines Vektors definiert werden kann:
N.I.N.A. unterstützt ja schon immer als Gerät einen Motorfokussierer.
Für mein “großes” Teleskop den ED 80/600 hatte ich mir ja nach mehreren Versuchen den ZWO EAF zugelegt.
Nun (2022) kam für meine “kleine” Lösung auf der Reisemontierung AZ GTi das Gerät von AstroMechanics hinzu.
The Lazy Geek brachte ein schönes Youtube-Video zum Thema Fokussieren mit N.I.N.A: Setting up my Focuser in N.I.N.A. from Scratch.
Wie immmer geht da aber alles sehr schnell. Deshalb versuche ich hier, das nocheinmal ganz sinnig Schritt für Schritt aufzuschreiben.
Vorgehensweise bei N.I.N.A. mit dem AstroMechanics Adapter
Schritt 1: “Close to Focus”
Ich nehme ein beliebiges Sternfeld und versuche die Sterne scharf einzustellen – wozu ich in N.I.N.A. meinen AstroMechanics-Adapter als Fokusser mit ASCOM-Treiber eingestellt habe. Ich mache also ein Foto mit N.I.N.A. und vergrößere es, damit ich gut sehen kann, bei welcher Fokus-Position die Sterne maximal scharf sind (kleinste Scheibchen). In meinem Fall scheint die beste Fokus-Postion bei 5075 zu sein.
Die Step Size ist jetzt ersteinmal 10, weil das in den “Settings” so angegeben war.
Damit bedeutet der einfache Pfeil “>” eine Bewegung des Fokus um 0,5 * StepSize, also 5.
Der Doppelpfeil bewirkt eine Bewegung des Fokus um 5 * StepSize, also 50 Schritte.
Einen evtl. vorhandenen Backlash ignorieren wir zunächst.
Schritt 2: “Out of Focus”
Um eine passende Schrittweite (für den Autofokus-Prozess) zu ermitteln, verstelle ich den Fokus jetzt in ganz kleinen Schritten und mache immer ein neues Foto, bis die Sternscheibchen deutlch größer werden. Man sagt so 20% bis 50% sollte das Sternscheibchen größer werden. Das scheint in meinem Fall bei einer Fokus-Position von 5100 der Fall zu sein.
Schritt 3: “Step Size”
Die oben festgestellte Differenz war 5100-5075=25. Ich gehe mal vorsichtig heran und probiere es mit einer Step Size von 20.
Jetzt stelle ich in N.I.N.A. bei Options -> AF die Autofocus Stepsize ein.
Schritt 4: “Start Autofocus”
Mit diesen Einstellungen klicken In N.I.N.A. in der Kachel (Pane) “Autofocus” auf die Schaltfläche “Start autofocus”.
N.I.N.A. misst auf jeben Foto die sog. HFD, also quasi den Durchmesser der Stenscheibchen und trägt den Wert auf der Y-Achse auf.
Hier ist das Ergebnis eine Fokusposition von 5071 wobei die Hyperbel durch die Messpunkte mit R2 = 1 bestens passt. Als HFR wird als Minimum 2,54 erreicht.
Abbildung 2: N.I.N.A. Autofocus mit Schrittweite 20 (Google Archiv 20221118_NINA_Autofocus1.jpg)
Als zweiten Versuch habe ich eine Step Size von 25 eingestellt.
Hier ist das Ergebnis eine Fokusposition von 5064 wobei die Hyperbel durch die Messpunkte mit R2 = 1 bestens passt. Als HFR wird als Minimum 2,14 erreicht.
Abbildung 3: N.I.N.A. Autofocus mit Schrittweite 25 (Google Archiv 20221118_NINA_Autofocus2.jpg)
Vergehensweise bei N.I.N.A. mit dem ZWO EAF Fokussierer
Fokussieren erster Schritt: Manuell den Fokus beurteilen
Die Step Size ist jetzt ersteinmal 10, weil das in den “Settings” so angegeben war.
Damit bedeutet der einfache Pfeil “>” eine Bewegung des Fokus um 0,5 * StepSize, also 5.
Der Doppelpfeil bewirkt eine Bewegung des Fokus um 5 * StepSize, also 50 Schritte.
Abschätzung des Backlash
Erster Schritt: Hypothese zum Backlash
50 Schritte nach rechts (also nach draussen) und ein Foto aufnehmen.
Wenn sich keine Veränderung in den Sternscheibchen zeigt, sind wir noch innerhalb des Backlash.
wir machen weiter: 50 Schritte nach rechts und Foto, bis wir einen Unterschied sehen.
Wenn wir nach drei Mal 50 Schritten endlich einen Unterschied sehen, wäre die Hypothese, dass der Backlash so bei 100 liegen könnte.
Zweiter Schritt: Verifikation der Hypothese
50 Schritte nach links (also nach innen) und ein Foto aufnehmen: keine Veränderung. Also ist der backlash mindestens 50
nocheinmal 50 Schritte nach links und Foto: fast keine Veränderung. vielleicht ist der Backlash leicht unter 100.
weitere 50 Schritte nach links und Foto: die Sternscheiben wurden kleiner. Gut wir bleiben bei unserer Annahme: Backlash ca. 100
Bereich der Sternerkennung (und HFD Berechnung)
Nun wäre die Frage, wieviel Spielraum nach links und nach rechst haben wir damit die Software noch die Sterne erkennt (und den HFD berechnet)?
Wir gehen immer weiter nach links, bis wir glauben so ungefär den “best focus” erreicht zuhaben
Der Weg bis zum “best focus” war ungefähr 150 Schritte; also kann N.I.N.A. in einem Bereich von plus-minus 150 Schritten um den “best focus” gut die Sterne erkennen und den HFD berechnen
Zur Kontrolle, wieviele Sterne von N.I.N.A. tatsächlich erkannt werden, können wir “Annotation” anschalten
Wir erkennen, dass die Belichtungszeit ruhig etwas mehr sein kann: 5 Sekunden (statt 1 Sekunde)
Abbildung 4: Sternerkennung mit “Annotation”
XYZ
Autofocus Stepsize
Die “Auto Focus Initial Offset Steps” sind ja auf 4 und die “Auto Focus Step Size” auf 10
Die Autofokus-Prozedur würde mit einer anfänglichen Bewegung nach rechts um 4 mal 10 starten…
Wir haben aber einen Spielraum von ca. plus-minus 150. Wenn wir den nur in etwas halb ausnutzen, landen wir immer noch bei 75 / 4 = 17
Wir setzen die “Auto Focus Step Size” deswegen auf 20.
Fokussieren zweiter Schritt: Autofokus-Prozedur noch mit Backlash 0
Wir gehen 100 Fokusser-Schritte nach links, damit die Autofokus-Prozedur ohne Backlash starten kann.
Wir starten die Autofokus-Prozedur
Die Autofokus-Kurve zeigt rechts einen Backlash von 2 mal 20 Steps
Abbildung 5: N.I.N.A. Autofocus ohne Backlash (Google Archiv: NINA-Focus-05.jpg)
Fokussieren dritter Schritt: Autofokus-Prozedur mit Backlash=100
Wir tragen den Backlash von 100 in beiden Richtungen ein
Wir starten die Autofokus-Prozedur erneut
Abbildung 6: N.I.N.A. Autofokus mit richtigem Backlash (Google Archiv: NINA-Focus-07.jpg)
Ungenauigkeit im Tracking durch Schneckenfehler: Periodic Error Correction
Der Antrieb der Achsen von astronomischen Montierungen erfolgt über Schrittmotoren mit einem Getriebe wobei zuletzt eine Schneckenwelle (worm) die Drehung auf ein auf der Achse befindliches Zahnrad überträgt. Durch kleinste Fehler in der Schnecke können Fehler in der Nachführung auftreten, die sich periodisch mit dem Zyklus des Schneckenrades wiederholen. Bei 135 Zähnen (bei meiner HEQ5 Pro.) wäre die Scheckenperiode: 86164/135 = 638 Sekunden.
Zur Berücksichtigung eines eventuellen Schneckenfehlers (Periodic Error Correction= PEC) gehen wir in folgenden Schritten vor:
Messen PE; also Abweichung des Trackings gegen den echten Himmel
Analysieren der PE; also der Abweichungen
Gegenmaßnahmen planen; d.h. PEC-Kurve erzeugen
Gegenmaßnahme bei der Montierung einbauen; d.h. PEC-Kurve laden
Messung des Schneckenfehlers
Dazu müssen wir den Schneckenfehler messen, also die Abweichungen zwischen mototischer Drehung per Montierung und tatsächlicher Drehung des Sternenhimmels messen und ein einer Datei festhalten. Solche Meßwerte bekommt man z.B. durch die Log-Dateien von Guiding-Programmen, wie PHD2 Guiding.
Das Programm PECPrep aus dem EQMOD Project (http://eq-mod.sourceforge.net/ppindex.html) kann Dateien mit den Messwerten von verschiedenen Programmen einlesen; z.B. Log-Dateien von PHD2 Guiding. Zur Auswertung wir der genaue Pixel-Maßstab der benötigt, also: Brennweite (GuideScope 180mm), Pixelgröße (GuideCam 3,87μ) und die Deklination des Himmelsobjekts. Dann kann PECPrep die Daten als Kurve darstellen und auswerten.
Damit ist sogar eine Fouriertransformation zur Bestimmung der verschiedenen Fehlerperioden möglich. Man findet eine ganze Anzahl von Anleitungen dazu.
Zur Messung des Scheckenfehlers sind folgende Schritte erforderlich:
1. Nachführen mit PHD2 Guiding mit Erzeugen eines schönen (mehrere Worm Periods) Log-Files
2. Laden dieses Log-Files in PECPrep (Dabei wird das File konvertiert)
3. Analysieren dieses Log-Files mit PECPrep
4. Als Gegenmaßnahme mit PECPrep eine PEC-Kurve erzeugen
5. xyz
Verbesserung des Trackings durch Periodic Error Correction
Eine kleine Ungeauigkeit im Tracking könnte sich durch einen Schneckenfehler (Periodic Error) bei der Monierung HEQ5 Pro einschleichen…
Viele Montierungen unterstützen dafür die sog. “Periodic Error Correction (PEC)” um Schneckenfehler auszugleichen. Auch meine Montierung HEQ5 Pro kann das per Handbox aber auch Hilfe von EQMOD.
Dazu mass man im ersten Schritt den Schneckenfehler, möglichst über mehrere Schneckenperioden messen und in einer Datei abspeichern (das nennt man “PEC Training“). Dann kan man im zweiten Schritt diese Datei zwecks Korrektur in EQMOD laden…
In den Jahren 2021/2022 kam dieser Begriff “Harmonic Drive” auf…
Solche Astro-Montierungen sind also recht neu und haben deswegen wohl einige Kinderkrankheiten….
Statt auf den klassischen Antrieb mit Schneckenrad setzte die RST135 auf ein sog. Strain wave gear (Well-Getriebe). Bewährt haben sich diese Antriebe in der Industrie bei Industrierobotern.
The German company Harmonic Drive SE manufactured the first series-produced gears under the product name or registered trademark Harmonic Drive.
Gear = Getriebe
Jetzt zeigte Trevor von Astrobackyard seine Montierung ZWO AM5
Harmonic Drives sind teuer (>2000 Euro)
Harmonic Drives funktionieren ohne Gegengewicht und sind deswegen leichter und als mobile Montierung besser geeignet. Das Gegengewicht wird nicht so nötig gebraucht, weil das Getriebe ein sehr hohes Drehmoment (torque) liefert.
Eine Harmonic Drive Montierung kann leichter umkippen, da ohne Gegengewicht der Schwerkpunkt stark vom geometrischen Mittelpunkt abweicht.
Hersteller:
Rainbow Astro: Rainbow RST 135
HobyM crux 140 (Cuiv hat es retourniert)
ArteSky BH17-H
ZWO AM5 (mit ASIAir gut, sonst: ASCOM-Treiber schlecht: nur eine Verbindung)
Albert Einstein (1879-1955) hat 1905 die sog. “Spezielle Relativitätstheorie” (SRT) formuliert. Sie basiert lediglich auf zwei Postulaten:
Die physikalischen Gesetze sind gleich in allen Intertialsystemen
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist gleich in allen Intertialsystemen
Die Koordinaten von Ereignissen in zwei Inertialsystemen S (t,x,y,z) und S’ (t’,x’,y’,z’), die sich relativ zueinander mit der konstanten Geschwindigkeit u bewegen, kann man mit Formeln umrechnen, die man Lorentz-Transformationen nennt.
Einstein gelingt es, diese Lorentz-Transformationen aus den o.g. Postulaten und der Homogenität und der Isotropie des Raumes herzuleiten.
Aber diese Herleitung ist mühsam und ich zeige sie deshalb hier nicht.
Aus diesen Lorentz-Transformationen ergeben sich einige, sog. relativistische, Phänomene:
Zeitdilatation
Längenkontraktion
Relativistische Geschwindigkeitsaddition
Relativistische Massen und Energien
….
Wie man die Zeitdilation und die Längenkontraktion aus den Lorentz-Transformationen herleiten kann, zeigt beispielsweise das YouTube-Video von MathePunk.
Koordinaten-Transformation
Zur Vereinfachung nehmen wir an:
Nur eine Raumdimension: x
Die Koordinatenachsen der beiden Inertialsystem S und S’ seinen parallel zueinander und der Ursprung sei zur Zeit t=0 der gleiche
Die konstante Bewegung der beiden Inertialsysteme S und S’ gegeneinander erfolge in x-Richtung
Mit dieser Vereinfachung erhalten wir ziehmlich einfache Transformationsgleichungen, die man auch “spezielle” Lorentz-Transformation nennt.
Der Lorentz-Faktor
In den folgenden Formeln kommt immer wieder ein Faktor vor, den wir “Lorentz-Faktor” nennen und mit dem griechischen Buchstaben Gamma schreiben:
Wobei u die konstante Geschwindigkeit ist, mit der sich die beiden Bezugssysteme (Inertialsysteme) relativ zueinander bewegen.
Dieser Gamma-Faktor ist also immer größer als 1. Das bedeutet: Multiplizieren mit Gamma macht einen Wert größer, dividieren durch Gamma macht einen Wert kleiner,
Lorentz-Transformation
Die Umrechung der Koordinaten x und t zwischen diesen beiden Bezugssystemen nennt man (spezielle) Lorentz-Transformation:
\( x’ = \gamma (x – u t) \tag{2}\\ \)
\( t’ = \gamma (t – \Large\frac{u}{c^2} x ) \tag{3}\\\)
\( x = \gamma (x’ + u t’) \tag{4}\\ \)
\( t = \gamma (t’ + \Large\frac{u}{c^2} x’) \tag{5} \\ \)
Raumzeit
In Gleichung (3) sieht man, dass die Zeit im System S’ auch abhängig von der Raumkoordinate ist; d.h. die Zeit vergeht unterschiedlich an unterschiedlichen Orten im Raum. Deswegen spricht man von der “Raumzeit”.
Längenkontraktion
Wir haben ein Objekt, dessen Länge wir im “bewegten” Bezugssystem S’ bestimmen indem wir gleichzeitig den Anfangspunkt (x’1) und den Endpunkt (x’2) messen:
\( \Delta x’ = {x’}_2 – {x’}_1 \)
Die Frage ist nun, welche Länge ein Beobachter im “ruhenden” Bezugssystem S zur Zeit t1 = t2 bestimmen wird.
Da die Messung der beiden x-Koordinaten im System S gleichzeitig stattfindet, gilt also t2 – t1 = 0. Also:
\( \Delta x’ = \gamma \cdot \Delta x \)
bzw.
\( \Delta x = \Large\frac{\Delta x’}{\gamma} \)
Zusammenfassung
Strecken in einem bewegten Bezugssystem S’ erscheinen für den ruhenden Beobachter S verkürzt.
Vereinfacht: Bewegte Stecken sehen kürzer aus (aus Sicht des ruhenden Beobachters).
Für die Längenkontraktion gilt: \( \Delta x = \frac{\Delta x’}{\gamma} \)
Die Längenkontraktion findet nur in Bewegungsrichtung statt.
Zeitdilatation
Wir haben einen Prozess dessen Zeitdauer wir im “bewegten” Bezugssystem S’ bestimmen indem wir die Startzeit (t’1) und die Endezeit (t’2) messen (also die sog. Eigenzeit):
\( \Delta t’ = {t’}_2 – {t’}_1 \\\)
Die Frage ist nun, welche Zeitdauer ein Beobachter im “ruhenden” Bezugssystem S bestimmen wird.
Nach Gleichung (5) gilt:
Da der gemessene Prozess in S’ ortsfest ist, gilt also x’2 – x’1 = 0. Also:
\( \Delta t = \gamma \cdot \Delta t’ \)
Zusammenfassung
Eine Uhr im “bewegten” Bezugssystem S’ erscheint für einen “ruhenden” Beobachter S langsamer zu gehen.
Vereinfacht: Bewegte Uhren gehen langsamer (aus Sicht des ruhenden Beobachters).
Der Zusammenhang zwischen Zeit im ruhenden System S und der Zeit im bewegten System S’ ist \( \Delta t = \Delta t’ \cdot \gamma \)
Relativistische Addition von Geschwindigkeiten
Relativ zu einem “ruhenden” Beobachter (Inertialsystem) S möge sich ein zweiter Beobachter (Intertialsystem) S’ mit der konstanten Geschwindigkeit u in x-Richtung bewegen.
Ein Objekt möge sich im bewegten Bezugssystem S’ mit der gleichgerichteten Geschwindigkeit w entlang der x’-Achse bewegen:
\( \Large w = \frac{\Delta x’}{\Delta t’} \tag{6}\\\)
Im ruhenden Bezugssystem S messen wir dafür die Geschwindigkeit:
\( \Large v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \tag{7}\\\)
Unter Anwendung der Lorenztransformationen (4) bekommen wir:
\( \Delta x = x_2 – x _1 = \gamma ( {x’}_2 + u {t’}_2) – \gamma ( {x’}_1 + u {t’}_1) = \gamma \cdot (\Delta x’ + u \cdot \Delta t’)\tag{8}\\\)
Damit misst also auch der “ruhende” Beobachter S die gleiche Lichtgeschwindigkeit wie der “bewegte” Beobachter S’; d.h. die Lichtgeschwindigkeit ist für beide Beobachter gleich.
Impuls / Massen
Der Impulserhaltungssatz ist unantastbar. Also ist
\(\Large \vec{p} = m \cdot \vec{v} \tag{10}\\\)
invariant (gleich in allen Inertialsystemen).
In zwei Intertialsystemen messen wir ja unterschiedliche Geschwindigkeiten, also muss sich die Masse entsprechend verändern damit der Impuls gleich bleibt.
Diese Formel ist wegen der Linearisierung des Lorenzfaktors eigentlich falsch, soll heissen sie gilt so nur für kleine v (klein gegenüber c). Vollständig richt lautet sie:
Relativistische Effekte, wie die oben beschriebenen, kann man vernachlässigen, wenn die Geschwindigkeiten sehr klein sind gegenüber der Lichtgeschwindigkeit, wie die Betrachtung des Lorentzfaktors zeigt.
Abbildung 1: Der Lorentzfaktor in Abhängigkeit von u/c (Github: Lorentzfaktor.svc)
In der grafischen Darstellung sieht man, dass der Gamma-Faktor bei u=0 mit 1 startet und dann mit zunehmender Geschwindigkeit u immer größer wird. So ab 90% der Lichtgeschwindigkeit geht er so richtig hoch (über 2) und dann bei u=c asymptotisch gegen Unendlich.
Das bedeutet, dass so ungefähr ab 90% der Lichtgeschwindigkeit relativistische Effekte nicht mehr vernachlässigt werden können.
Bei einer flächigen ungleichmäßigen Verteilung einer physikalischen Größe (z.B. Elektrische Ladung) versuchen wir eine Summe von sog. Momenten zu nehmen. Wir haben dann:
Monopol: Gesamtverteilung als ein Mittelwert
Dipol: Verteilung in zwei Teilen
Quadropol: Verteilung in vier Teilen
Octopol: Verteilung in acht Teilen
etc.
Harmonische Analyse
Mathematically, the multipole moments arise from a spherical harmonic decomposition of the fluctuations in angle.
Kosmische Hintergrundstrahlung
Bei der Hintergrundstrahlung geht es ja zunächst darum, die Messwerte zu analysieren. Als Messwerte haben wir für jeden Punkt auf der Himmelskugel die dort gemessene Strahlungsintensität (bzw. Temperatur). Daraus machen wir zunächst eine sog. “Multipol”-Darstellung und bekommen ein “Angular Power Spectrum”. Das liefert das bekannte Bild.
Abbildung 1: Leistungsspektrum der CMB (Copyright Wikipedia: PowerSpectrumExt.svg)
Leistungsspektrum (Copyright Wikipedia)
Dieses “Angular Power Spectrum” gilt es dann zu analysieren. Dabei kommt soetwas wie eine “Harmonische Analyse” über die Sphäre ins Spiel…
Astrofotografie mit Remote Telescopes beim Anbieter iTelescope
Ich möchte einmal sog. Remote Telescopes – Remote Observatories – ausprobieren, weil mir das mit eigenen Geräten hier in Hamburg alles recht aufwendig vorkommt.
Im Dezember 2016 habe ich mir deshalb mal einen “Starter-Trial” bei http://www.itelescope.net gegönnt.
Wir versuchen eine kompliziertere Funktion in eine Summe einfacherer zu zerlegen.
Bei der Taylor-Entwicklung (Brook Taylor 1685 -1731) betrachten wir einen Punkt der Funktion und wollen in der Umgebung dieses Punktes die Funktion “vereinfachen”, dadurch dass wir sie als Summe aus einfacheren Funktionen annähern und im Grenzwert sie damit genau darstellen.
Bei der Fourier-Entwicklung (Jean Baptist Joseph Fourier 1768 – 1830) betrachten wir eine periodische Funktion und wollen diese für eine Periode durch eine Summe einfacherer periodischer Funktionen approximieren (im Grenzwert genau darstellen).
Taylor-Entwicklung
Wir wollen hier eine Funktion y=f(x) in der Nähe einer Stelle x0 durch eine Potenzreihe annähern:
Bleibt x in der Nähe von x0, so ist (x-x0) klein und wir können näherungsweise die Tayler-Entwicklung irgendwann abbrechen – wenn es genauer sein soll, müsen wir weitere Terme hinzunehmen.
Der Sinn einer solchen Taylor-Entwicklung ist häufig, dass die entstandene Potenzreihe einfacher zu handhaben ist als die Originalfunktion (z.B. in Formeln, z.B. die Ableitungen,…)
Physiker brechen gern nach dem zweiten Term ab und nennen das eine Linearisierung; also:
\( f(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0) \\\)
Das machten wir – schon in der Schule – beim Fadenpendel.
Und auch Einstein machte das bei seiner berühmten Formel E = mc2 .
In der Tat zeigt die Mathematik, unter bestimmten Voraussetzungen konvergiert diese Taylor-Reihe. Also
Wir betrachten eine etwas kompliziertere Funktion f(t); z.B. ein elektrisches oder akustisches Signal im Zeitverlauf. Die Funktion soll aber periodisch sein; etwa mit der Periode [-π,+π] (das wird gern genommen).
Wir wollen die Funktion durch eine Reihe von Sinus- und Cosinus-Funktionen, also durch Schwingungen, annähern:
Das ist eine Linearkombination von Sinussen und Cosinussen verschiedener Frequenzen (und Amplituden).
Der Sinn so einer Fourier-Entwicklung ist jetzt primär nicht, dass das Ergebnis “einfacher” wäre, sondern man möchte etwas herausbekommen über die Original-Funktion; beipielsweise wenn die Original-Funktion ein akustisches Signal ist (siehe MP3-Format).
Die Ermittlung der Fourier-Koeffizienten ak und bk nennt man auch Fourier-Analyse. Fourier selbst fand als analytische Lösung:
Eine Deutung so einer Fourier-Analyse ist, dass wir eine Funktion f(t) untersuchen und die Anteile verschiedener Frequenzen ermitteln. Man spricht deshalb auch von einem Frequenz-Spektrum…
Wenn wir die Fourier-Entwicklung nach dem n-ten Term abbrechen, schreiben wir:
Das nennen wir “Fourier-Polynom n-ten Grades zu f” (Sprachgebrauch, obwohl das kein Polynom im üblichen Sinne ist).
Statt Fourier-Analyse wird auch gern die Bezeichnung Harmonische Analyse verwendet.
Komplexe Zahlen
Gerne wird die Fourier-Analyse auch mit Komplexen Zahlen erklärt. So hilft die Eulerschen Formel dabei statt Sinus und Cosinus “einfach” eine Exponatialfunktion zu verwenden:
Was dann in der Regel zu komplexen Fourier-Koeffizenten ck führt.
Wir unterscheiden zwischen Fourier-Analyse und Fourier-Transformation…
Diskrete Fourier-Analyse
In der Praxis kennt man die Funktion f(t) meist nicht analytisch (also als Formel), sondern hat “nur” die Funktionswerte an diskreten Stellen. Man kommt dann zu einer sog. Diskreten Fourier-Transformation (DFT).
Wenn man Dateien speichern will (weil man sie vielleicht später weiterbearbeiten will), benötigt man ein Konto bei GeoGebra und dann muss man sich da anmelden.
Dann funktioniert im GeoGebra-Menü “Datei -> Öffnen”
