Wie werden Wellen beschrieben und wie helfen Covektoren dabei?
Vektoren und Covektoren
Ein Vektor ist wie ein Pfeil, also etwas, was eine Richtung und eine Größe hat.
Ein Covektor ist wie ein “Stack”, also etwas was eine Richtung und eine Dichte hat.
So ein Feld von Covektoren ordnet jedem Vektor eine Zahl zu, nämlich die Zahl an “Stack-Linien”, die der Vektor in seiner Länge kreuzt; wobei da auch nicht-ganze Zahlen und auch negative Zahlen sein können. Vermutlich ist das bei genauerer Betrachtung ein Differentialquotient.
Etwas genauer gesagt ist ein Covektor also eine Abbildung, die jedem Vektor aus einem Vektorraum V über K eine Zahl aus dem Körper K zuordnet:
\( \alpha : V \to K \)
Die Kovektoren α verhalten sich “linear” bei Vektoraddition und Skalierung und bilden also selber einen Vektorraum (Symbol V*). In Formeln also:
\( \alpha(a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{w}) = a \cdot \alpha(\vec{u}) + b \cdot \alpha(\vec{w}) \)
Mit einer Vektorbasis kommt man zur Darstellung eines Vektors durch sog. Komponenten. Die Komponenten von (normalen) Vektoren verhalten sich “kontravariant” und wir schreiben den Index oben, die Komponenten von Kovektoren verhalten sich “kovariant” und wir schreiben den Index unten.
Beschreibung von Wellen
Bei einer Welle ändert sich eine physikalische Größe periodisch sowohl mit der Zeit als auch mit dem Ort.
Die periodische Veränderung über den Ort wiederholt sich nach eine Wellenlänge (Symbol: Lambda \( \lambda \)).
Man misst auch die Anzahl Schwingungen pro Längeneinheit, was Wellenzahl genannt wird (Symbol: Kappa κ).
Die periodische zeitliche Veränderung wiederholt sich nach eine Periodenlänge (Symbol: T). Man misst das auch als Frequenz (Einheit: Schwingungen pro Sekunde = Hertz)
In Formeln:
\( \kappa = \frac{1}{\lambda} \)
Insofern kann man eine Welle sehr gut als Covektor-Feld beschreiben, wo wir eine Richtung haben und eine Dichte d.h. wieviel Wellen pro Zeiteinheit…
Obwohl ich eigentlich vorrangig an Astronomie interessiert bin, habe ich doch auch einige Fragen der Physik rechechieren müssen, um z.B. bei der Astrophysik und Kosmologie ein bisschen mehr zu verstehen…
Die Wikipedia ist eine kostenlose Ezyplopädie im WordWideWeb. Gegründet 2001 konnte anfangs jeder mitmachen und beliebige “schlaue” Artikel schreiben, die nur einer gewissen Netikette genügen mussten. Nach und nach wurden die Anforderungen an den Wahrheitsgehalt und an die Nachweise hochgeschraubt. Nachwievor sollte man nicht alles glauben, was in der Wikipedia steht. Aber trotzdem mit dem erforderlichen eigenen Urteilsvermögen ist die Wikipedia eine unschätzbare Quelle allen Wissens.
Speziell interessant sind dauch die Abbildungen und grafischen Darstellungen, die als “Wikimedia” größtenteils ohne ein groß einschränkendes Copyright allgemein verfügbar sind.
Abbildungen aus dieser Wikimedia kann man beispielsweise ganz leicht in seine WordPress-Artikel einzügen…
Welche Arten von Energie gibt es? In welchen Maßeinheiten misst man Energie?
Wärme-Energie: Die Engergie, die ich brauche, um ein Kilogramm Wasser um 1 Grad Celsius zu erwärmen: Das war die gute alte Kilokalorie. Seit dem 1.1.1978 in der EG abgelöst durch die Maßeinheit Joule und Kilojoule.
Elektrische Engergie: Eine Gühlampe von 100 Watt soll zehn Stunden leuchten. Das ist die Energiemenge von 1 Kilowattstunde (1 kWh). Die Stadt Hamburg verbraucht im Jahr ca. 12.000.000.000.000 Wattstunden, das nennt man 12 Terawattstunden (12 TWh).
Mechanische Engergie ist Kraft mal Weg: Ein Gewicht von 75 Kilo um einen Meter hochheben (dafür benötige ich eine bestimmte Energiemenge) – wenn ich das innerhalb von 1 Sekunde tue, leiste ich 1 Pferdestärke (1 PS).
Bewegungsenergie: Wenn ich einen Körper der Masse 1 Kilogramm von Null auf eine Geschwindigkeit von 1 m/sec beschleunige, hat er eine kinetische Energie von ½mv² d.h. 0,5 Joule.
Wenn ich das ganze in einer Sekunde vollbringe, leiste ich 0,5 Joule/s = 0,5 Watt.
Die Beschleunigung beträgt 1 m/sec²; d.h. ich habe eine Kraft von 1 Newton aufgebracht.
Explosionsenergie: Die Atombombe von Hiroschima hatte eine Sprengkraft von 20 Kilotonnen TNT, die erste Wasserstoffbombe von 10 Megatonnen TNT.
Der Asteroid, der vor 65 Mio Jahren auf der Erde aufschlug und die Dinosaurier zum Aussterben brachte soll eine Sprengkraft von 10 Millionen Megatonnen TNT gehabt haben.
Vulkanausbrüche: Der Ausbruch des Vesuvs im Jahre 79 soll VEI=6 gehabt haben.
Atomteilchen: Wenn man ein Elektron durch eine Spannung von 1 Volt beschleunigt, hat es eine Energiemenge von 1 Elektronenvolt dazubekommen (1 eV).
Kinetische Energie – Potentielle Engergie
Masse ist Energie E = mc2, nach Einstein.
Energie und Arbeit sind im Prinzip das Gleiche. Das ist nur eine sprachliche Feinheit z.B. Ich leiste eine bestimmte Arbeitsmenge d.h. ich setze eine bestimmte Energiemenge ein, verbrauche sie – oder genaugenommen setze sie in eine andere Energieform um (Energie-Erhaltungssatz). Die offizielle Maßeinheit für Energie und Arbeit ist das Joule. Was was eigentlich ist, später.
Leistung ist sozusagen die “Arbeitsgeschwindigkeit”, also Arbeit pro Zeiteinheit oder “Engergieverbrauchsgeschwindigkeit”, also Energie pro Zeiteinheit. Gemessen also in Joule/sec, was immer das eigentlich ist.
Zeitmessung, Zeitzonen, Atomuhr, Schaltsekunde: Zeit
Physikalische Größen, die wir bisher erwähnt haben: Temperatur (Celsius, Fahrenheit, Kelvin), Kraft/Gewicht (?), Weg (m, km), Zeit (Sekunde, Stunde, Jahre), Geschwindigkeit (km/h, m/sec) elektrische Leistung (Watt), elektrische Spannung (Volt), Masse (kg).
Generell kann jede Maßeinheit mit Vorsilben versehen werden, um größere Mengen einfacher ausdrücken zu können. Beispiel: Gramm, Kilogramm. Manche sind allgemein bekannt, andere nur in bestimmten Zusammenhängen “üblich”:
Tabelle 1: Vorsilben für Masseinheiten
Vorsilbe
Zehnerpotenz
Ausgeschriebene Zahl
Beispiel
kilo
103
1.000
Kilometer, Kilogramm
Mega
106
1.000.000
Megabyte, Megawatt, Megahertz
Giga
109
1.000.000.000
Gigabyte, Gigahertz
Tera
1012
1.000.000.000.000
Terawatt
Peta
1015
1.000.000.000.000.000
Exa
1018
1.000.000.000.000.000.000
Physikalische Größen und ihre Maßeinheiten (sog. SI-Einheiten)
Ein Körper (z.B. ein Asteroid) der Masse m bewegt sich mit der Geschwindigkeit v durch die Gegend (z.B. den Weltraum). Er hat eine Bewegungsenergie von ½mv². Diese wird beim Aufschlag auf der Erde in “Zerstörungsenegie” umgesetzt, d.h. Wärme (Joule, kWh,…) oder Explosionskraft (Megatonnen TNT).
In der Physik misst man die Helligkeit einer Lichtquelle in der SI-Einheit “Candela” (Einheitenzeichen: cd).
Ausserdem kennt man noch: Lux und Lumen – was ist das denn das alles? Wir unterscheiden zwischen physikalischer Größe (z.B. Länge) und der Maßeinheit (z.B. Meter). Wir betrachten hier lichttechnische physikalische Größen und zwar:
Lichtstrom (flux) in Lumen – SI-Einheit – Formelzeichen Φv – Wieviel Licht (Lichtmenge) wird pro Zeiteinheit von einer Lichtquelle insgesamt abgegeben
Beleuchtungsstärke in Lux – SI-Einheit – Formelzeichen Ev -Wieviel Licht (Lichtmenge) trifft pro Zeiteinheit auf eine Fläche auf
Lichtstärke einer punktförmigen Lichtquelle in Candela – SI-Einheit – Formelzeichen Iv – Im Prinzip “Lichtstrom durch Raumwinkel” (1 Candela = 1 Lumen pro Sterad)
Leuchtdichte einer flächigen Lichtquelle in cd/m² – Formelzeichen Lv -Wieviel Licht strahlt eine flächige Lichtquelle pro Flächeneinheit ab
Youtube Video:
Hintergründe und Problematik
Traditionell wurde die Lichtstärke in verschiedenen Ländern mit einfachen technischen Geräten definiert und gemessen: z.B. in Deutschland mit Hilfe der sog. Hefnerkerze (HK).
Die Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) wollte diese lichttechnischen physikalischen Größen und ihre Messung neu wissenschaftlich festlegen und mit den anderen bereits definierten SI-Einheiten verbinden.
Früher gab es im Prinzip nur eine Technik, Licht zu erzeugen: die sog. Glühbirne. Da konnte man das abgegebene Licht von Glühbirnen einfach anhand der aufgenommenen elektischen Leistung (Watt) vergleichen. Heutzutage gibt es viele unterschiedliche Techniken, Licht zu erzeugen (Energiesparlampen, LEDs etc.) bei denen aus der gleichen aufgenommenen elektischen Leistung in Watt ganz unterschiedlich viel Licht (und damit unterschiedliche Helligkeit) erzeugt werden kann. Deswegen wird heuzutage (2021) bei jedem Leuchtmittel die Lichtmenge angegeben, die pro Sekunde abgegeben wird: das ist der sog. Lichtstrom gemessen in Lumen.
Um Helligkeiten in einer für menschliche Zwecke brauchbaren Form zu messen, benötigt man “augenrelevante” Größen (sog. photometrische Größen), um das Helligkeitsempfinden des menschlichen Auges zu berücksichtigen.
Die Generalkonferenz (CGPM) hatte sich also einigen Herausforderungen zu stellen:
Exakte Definitionen, die von der Systematik her in das SI-System passen
Kompatibilität bzw. Anbindung an ältere Maßeinheiten
Berücksichtigung des Helligkeitsempfindens durch das menschliche Auge
Die Definitionen stammen von der 26. General Conference on Weights and Measures (CGPM) und wurden zum Mai 2019 inkraft gesetzt.
Es werden hier also eigenständige physikalische Größen mit ihren Einheiten neu definiert. Die Lichtstärke als neue SI-Basiseinheit, gemessen in Candela und der Lichtstrom und die Beleuchtungsstärke als zwei abgeleitete SI-Einheiten, gemessen in Lumen und Lux. Die Leuchtdichte dagegen wird nicht zur SI-Einheit erhoben.
Die Lichtmenge
Bleibt die generelle Frage “Was ist genau mit Lichtmenge gemeint?”. Im Prinzip ist die “Lichtmenge” eine Engergiemenge, wobei so eine Energiemenge einerseits klar und eindeutig physikalisch gemessen werden kann (in Joule) und eine Energiemenge pro Zeiteinheit in Joule pro Sekunde, also in Watt. Das nennt man die “Strahlungsleistung” mit dem Formelzeichen Φe.
Das menschliche Auge empfindet Licht bei unterschiedlichen Wellenlängen unterschiedlich stark. Zur photometrischen Definition betrachten wir deswegen (zunächst) monochromatisches Licht der Frequenz 540 1012 Hz (ca. 555 nm). Als Lichtstärke 1 Candela ist dann definiert eine Strahlungsleistung von 1/683 W pro Sterad. Bei anderen Lichtwellenlängen kommt dann eine sog. “phototopic luminosity function” K(λ) ins Spiel, die aber für andere Wellenlängen nicht weiter genormt ist.
Die physikalischen Größen Lichtstrom und Beleuchtungsstärke sollen geeignet sein, für die Bemessung menschlicher Angelegenheiten (z.B. Helligkeit von Leuchtmitteln, Beleuchtung von Arbeitsplätzen,…) deshalb wird die Helligkeitswahrnehmung von Licht verschiedener Wellenlängen durch das menschliche Auge hier eingebaut:
\( \Phi_v = K(\lambda) \cdot \Phi_e \) wobei K(555 nm) = 683 Lumen/Watt
Abbildung 1: Lichtstrom von 5000 Lumen bei einem industriellen Leuchtmittel (Google Drive: DK_20210608_Lumen.jpg)
Wenn man die Lichtmenge als Energiemenge in Joule misst, entspricht einem Fluss von 1 Joule pro Sekunde (= 1 Watt) ein Lichtstrom von 683 Lumen bei einer Lichtwellenlänge von 555 nm.
Ursprünglich wollte die 26. General Conference on Weights and Measures (CGPM) als SI-Basiseinheit nicht mehr die Candela nehmen, sondern das Lumen. Dieses Vorhaben wurde aber zurückgestellt, um die offizielle Verabschiedung nicht hinauszuzögern. Im Folgenden stelle ich das Lumen schon als SI-Basiseinheit dar und das Candela als davon abgeleitet – ich finde, das ist einfacher…
Helligkeitsempfindlichkeit des Auges
Wenn wir von den radiometrischen (pysikalischen) Einheiten zu den photometrischen übergehen wollen, müssen wir das Helligkeitsempfinden des Auges berücksichtigen. Unser Auge nimmt Licht, also elektromagnetische Strahlung, im Bereich von ca. 400 nm bis 700 nm wahr mit einer maximalen Empfindlichkeit bei etwa 555 nm.
In rot ist das Tagessehen, in blau das Nachtsehen dargestellt.
In Deutschland ist die rote Kurve in DIN 5031 genormt.
Mit dieser relativen spektralen Empfindlichkeit V(λ) wird unsere oben genannte Kurve:
K(λ) = V(λ) * 683 lm/W
Wobei die 683 von der CGPM so gewählt wurde, das die alte Definition von Lumen bzw. Candela gut mit dieser neuen Definition übereinstimmt.
Der Lichtstrom
Tabelle 1: Strahlungsleistung und Lichtstrom
physikalisch (radiometrisch)
photometrisch (biologisch)
Physikalische Größe
Strahlungsleistung
Lichtstrom
Formelzeichen
Φe
Φv
Messeinheit
Watt (W)
Lumen (lm)
Definition als SI-Basiseinheit
./.
Eine monochromatische (λ=555 nm) Lichtquelle mit einer Strahlungsleistung von 1/683 Watt gibt einen Lichtstrom von 1 Lumen ab.
oder abgeleitete Definition
./.
1 lm = 1 cd sr
Die Lichtstärke
Tabelle 2: Strahlstärke und Lichtstärke
physikalisch (radiometrisch)
photometrisch (biologisch)
Physikalische Größe
Strahlstärke
Lichtstärke
Formelzeichen
Ie
Iv
Messeinheit
Watt/Sterad (W/sr)
Candela (cd)
Definition als SI-Basiseinheit
./.
Eine monochromatische (λ=555 nm) Lichtquelle mit einer Strahlungsleistung von 1/683 Watt in einen Raumwinkel von 1 sr hat eine Lichtstärke von Candela
oder abgeleitete Definition
./.
1 cd = 1 lm sr-1
Die Beleuchtungsstärke
Tabelle 3: Strahlstärke und Lichtstärke
physikalisch (radiometrisch)
photometrisch (biologisch)
Physikalische Größe
Bestrahlungsstärke
Beleuchtungsstärke
Formelzeichen
Ee
Ev
Messeinheit
Watt/m²
Lux (lx)
Abgeleitete Definition
./.
1 lx = 1 lm m-2
Die Leuchtdichte
Die Leuchtdichte drückt aus wieviel Licht (z.B. Candela) eine flächige Lichtquelle pro Fläche (z.B. m²) abstrahlt.
Der Lichtstrom von 1 Lumen mit λ=555 nm erzeugt also einen Energiestrom (Strahlungsleistung) von 1/683 Joule pro Sekunde = 1,4641 10-3 J/s.
Der Wellenlänge λ=555 nm entspricht eine Frequenz von ν = c/λ = 540 1012 Hz.
Ein Photon der Wellenlänge λ=555 nm hat eine Energie von E = h * ν = h * 540 1012 Hz = 6,62607 * 540 * 10-22 J = 3,579 * 10-19 J
Dem Lichtstrom von 1 Lumen bei einer Wellenlänge von 555 nm entspricht also ein Photonenstrom von 1,4641 10-3 / 3,579 10-19 = 4,09 1015 Photonen pro Sekunde.
Der Raumwinkel (Einheit: Sterad)
Ein Raumwinkel ist die Oberfläche dividiert durch die Entfernung zum Quadrat. Ein voller Raumwinkel ist also die Kugeloberfläche dividiert durch den Kugelradius zum Quadrat.
\( Kugeloberfläche = 4 \pi r^2 \\\ \)
Damit ist der volle Raumwinkel also:
\( \Omega = 4 \pi = 12,56637 sr\)
Der physikalische Größe “Raumwinkel” ist (eigentlich) dimensionslos. Man nimmt aber gerne als Einheitenzeichen “sr” um damit anzudeuten welche physikalische Größe gemeint ist.
In der Astronomie verwendet man ab und zu auch gerne die Winkeleinheiten Grad, Bogenminute und Bogensekunde und kommt damit auf:
Lichtstärke (cd) und Lichtstrom (lm) beziehen sich auf einen Sender (eine Lichtquelle) – Die Beleuchtungsstärke (Lux) bezieht sich auf das, was bei einem Empfänger ankommt.
Die in Candela gemessene “Lichtstärke” und der in Lumen gemessene “Lichtstrom” sind über den Raumwinkel, in den das Licht abgestrahlt wird mit einander verbunden.
Der Lichtstrom (in Lumen) ist die gesamte Lichtmenge, die eine Lichtquelle in alle Richtungen – also in den vollen Raumwinkel von 12,56637 sr (= 4 π) – ausstrahlt; während die Lichtstärke (in Candela) einer Lichtquelle bezogen wird auf den – normalerweise kleineren – Raumwinkel, in den die Lichtquelle die Lichtmenge tatsächlich abstrahlt.
\( Lichtstärke = \frac{Lichtstrom}{Raumwinkel} \)
Ein Lichtstrom von 12,56637 Lumen würde in eine Lichtstärke von 12,56637 / 12,56637 = 1 Candela bewirken.
Lichtverschmutzung / Himmelshelligkeit
Die Qualität (Dunkelheit) des Sternhimmels messen wir ja mit dem SQM in Einheiten von Magnituden pro Quadratbogensekunde. Die Website http://clearoutside.com zeigt die Himmelsqualität neben der SQM-Zahl auch in Einheiten von Milli-Candela pro Quadratmeter an – also als “Leuchtdichte“; beispielsweise war dort heute für meinen Standort in Hamburg eine Himmelsqualität von SQM 18,61 bzw. 3,88 mcd/m² angezeigt.
Jetzt müssten wir nur noch die traditionellen Magnituden in Candela umrechnen. Also die Frage, wie war nocheinmal die “Magnitude” physikalisch definiert?
Von einem Stern der scheinbaren Helligkeit m geht ein Lichtstrom (gemessen in Lumen) aus von:
\( \Phi_v = 10^{(-m-14.2064)/2.5} Lumen \\\ \)
Diese Umrechnung verwenden wir auch bei den Betrachtungen zur Belichtungszeit von Astrofotos.
ist ein hinreichend verdünntes Gas, sodass ausser bei Kollisionen von Molekülen (als elasischer Stoß) keinerlei Wechselwirkung zwischen ihnen geschieht.
Das bedeutet u.a., dass wir weit entfernt von Phasenübergängen (fest – flüssig – gasförmig) sein müssen.
Zur Idealisierung gehört auch, dass die Gasmoleküle als Punktmassen verstanden werden können. D.h. für die Bewegung hat man nur die drei Freiheitsgrade der Translation, keine Rotation und keine Oszillation.
Neben dem hier beschriebenen “Idealen Gas” gibt es natürlich auch ein Nichtideales Gas und auch ein Entartetes Gas und noch schlimmer ein Relativistisches entartetes Gas. Diese Begriffe werden gerne bei der Untersuchung von sog. Elektronengas benutzt.
Bei einem “Idealen Gas” gilt als Zustandsgleichung die sog. “Ideale Gasgleichung” (s.u.). Bei einem entarteten Gas hängt die Zustandsgröße Druck nicht mehr von der Temperatur ab, sondern nur noch von der Dichte.
Robert Boyle und Edme Mariotte fanden unabhängig von einander 1662 bzw. 1676 das nach ihnen benannte Boyle-Mariotte’sche Gesetz:
\( p \cdot V = const. \\\ \)
Wobei die Temperatur konstant gehalten wird (und auch die Stoffmenge) und zwar dadurch dass man die Veränderungen im Volumen ganz langsam durchführt, sodass immer wieder das thermodynamisches Gleichgewicht mit der Umgebung erhalten bleibt.
Abbildung 1: Das Boyle-Mariottesche Gesetz (Github: Boyle-Marriot-Gesetz.svg)
Boyle-Marriot-Gesetz (GeoGebra Classic)
Gay-Lussac
Wenn man nun den Druck konstant hält (und auch die Stoffmenge gleich bleibt) und dann die Temperatur variiert, bekommt man das Gay-Lussac (1787-1850) Gesetz. Lord Kelvin (1824-1907) hatte 1848 die absolute Temperaturskala vorgeschlagen, wodurch sich das Gay-Lussac’sche Gesetz sehr einfach in seiner heutigen Form schreiben lässt:
Abbildung 2: Das Gay-Lussacsche Gesetz (Github: Gay-Lyssac-Gesetz.svg)
Gay-Lussac-Gesetz – Dietrich Kracht 21.3.2021 GeoGebra Classic
Amontos
Der fanzösische Physiker Guillaume Amontos (1663-1705) entdeckte schon sehr früh die Proportionalität von Druck und Temperatur – bei konstantem Volumen und konstanter Stoffmenge.
\( \frac{p}{T} = const. \)
Avogadro
Auf Amadeo Avogadro (1776-1856) geht zurück:
\( \frac{V}{n} = const. \\ \)
Wenn man also den Druck und die Temperatur konstant hält, ist das Volumen V proportional zur Stoffmenge n.
Etwas umgeschrieben ist das die berühmte Zustandsgleichung für ideale Gase:
\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T \\ \)
Dabei ist p der Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge (messen wir in mol), R die allgemeine Gaskonstante (8,3145 Joule/(mol*Kelvin)) ist und T die absolute Temperatur ist.
Interessant dabei ist, dass dies unabhängig von der Art des Gases ist – also Helium, Stickstoff etc. Es muss einfach nur ein “ideales Gas” sein. Umgekehrt sagen wir, ein Gas ist dann “ideal”, wenn es dieser Gleichung genügt.
Wenn wir die Stoffmengen mit der Avogadroschen Zahl NA (6,02214076 1023 mol-1) in eine Teilchenzahl N umrechnen, also:
\( N = N_A \cdot n \)
bekommen wir als Gasgleichung (mit der Avogadroschen Zahl):
\( p \cdot V = N \cdot \frac{R}{N_A} \cdot T \\\ \)
Später werden wir sehen, dass \( \frac{R}{N_A} = k_B \) die sagenhafte Boltzmann-Konstante ist.
Anwendung der idealen Gasgleichung
Masse und Stoffmenge
Häufig kommt es vor, dass wir die Masse kennen und daraus aber die Stoffmenge ermitteln müssen.
Hilfreich ist dabei die mittlere molare Masse des betrachteten Gases:
\( \mu = \frac{Masse}{Stoffmenge} \\\) (also in kg/mol)
Die Masse von Atomen bekommt man aus dem Periodensystem (in sog. Atomaren Einheiten). Allerdings steht dort das Mittel aus den in der Natur vorkommenden Isotopen, gewichtet mit ihren natürlichen Häufigkeiten.
Für Moleküle muss man die Massen der enthaltenen Atome addieren. Die so ermittelte Atommasse eines Moleküls ist in sehr guter Näherung die Masse von einem Mol in Gramm (Beispiele s.u.).
Die Atommasse wird in sog. “atomaren Einheiten” mit dem Formelzeichen “u” angegeben. 1 u ist definiert als 1/12 der Masse eines isolierten 12C-Atoms im Grundzustand.
Wenn wir die Masse eines 12C-Atoms messen, erhalten wir damit die Umrechnung in Gramm:
\( 1u = 1,66053906660*10^{-24}g \)
Um die Molare Masse eines Stoffes zu ermitteln, müssen uns fragen, welche Masse 1 mol des betrachteten Stoffes hat. Dazu ermitteln wir die Masse (Atommasse) eines Moleküls und multiplizieren die mit der Anzahl Moleküle in 1 mol, also mit der Avogadroschen Zahl NA = 6,02214076*1023 mol-1.
Die folgenden Beispiele wurden angeregt durch:
Abbildung 4: Ideale Gasgleichung
Beispiel: Methan CH4
Aus dem Periodensystem bekommen wir die Atommassen.
Ein Kohlenstoffatom (C) hat die Atommasse 12,011u (gewichtetes Mittel der natürlichen C-Isotope)
Vier Wasserstoffatome (H) haben die Atommasse 4 x 1,0080u
Zusammen hat also ein Molekül Methan eine Atommasse von 16,033u = 26,62343782*10-24 g
Multipliziert mit der Avogadroschen Zahl (der Anzahl Molekülen in 1 mol), ergibt das: 16,033 g
Was sagt uns das?
Erstens sehen wir, dass die neue Definition der Einheit mol im SI-System von 2019 “1 mol = eine Stoffportion bestehend aus NA Teilchen” gut übereinstimmt mit der alten Definition “1 mol = Atommasse in Gramm”.
Zweitens können wir jetzt mit der Gasgleichung ausrechnen, wieviel Volumen unser Methan unter “Laborbedingungen” (20° C und 1 atm) einnimmt.
Als Beispiel nehmen wir:
Masse Methan: m = 0,1 g
Molare Masse Methan: M= 16,003 g/mol
Stoffmenge Methan: n = 0,1/16,033 mol =0,00625 mol
Temperatur: T = 293,15 K (20° C)
Druck: p = 101,325 kPa = 101325 Pa = 101325 N m-2 (1 atm)
Gaskonstante R = 8,314 J mol-1 K-1
Dann können wir mit der idealen Gasgleichung das Volumen berechnen:
\( V = \frac{n \cdot R \cdot T}{p} = \frac{0,00625 \cdot 8,314 \cdot 293,15}{101325} m^3 = 0,000157 m^3\\\)
Das Methan nimmt also unter Laborbedingungen ein Volumen von 0,157 Liter ein.
Kinetische Energie
Wenn wir die Kinetik der Moleküle betrachten, also die Bewegungen, entsteht der Druck durch Impulsübertrag auf die Aussenwand des Gefäßes.
Das Gesetz von Bernoulli sagt dafür:
\( p = \frac{1}{3} \cdot n \cdot \mu \cdot <v^2> \\\ \)
wobei n hier die Teilchendichte, also Anzahl Teilchen pro Volumen, ist und die spitzen Klammern für den Mittelwert stehen..
Wenn wir diese Gleichung mit V multiplizieren, erhält man:
\( p \cdot V = \frac{1}{3} \cdot N \cdot \mu \cdot <v^2> = \frac{2}{3} \cdot N \cdot <E_{kin}> \\\ \)
wobei N die Anzahl der Teilchen ist.
Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls eines Idealen Gases (also nur translatorische Bewegung in drei Freiheitsgraden) ist:
\( <E_{kin}> = \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \\\ \)
Ausblick:
Auf dieser Basis wird die physikalische Größe “Temperatur” dann als “thermodynamische Temperatur” beliebiger Substanzen wirklich definiert.
Zusätzlich zum Mittelwert von Geschwindigkeiten bzw quadrierten Geschwindigkeiten wird auch noch die Breite der Verteilung von Interesse sein, was uns zur Maxwell-Verteilung führen wird…
Flüssigkeiten
Ein weitergehendes Konzept ist das von Flüssigkeiten. Die werden im physikalischen Teilgebiet Hydrodynamik behandelt. Von einer Flüssigkeit spicht man, wenn die mittlere freie Weglänge der Teilchen sehr, sehr klein gegenüber der Größe des betrachteten Systems ist.
Das Jeans-Kriterium
Das Jeans-Kriterium, benannt nach James Jeans (1877-1946), soll ja angeben, unter welchen Bedingungen eine Gaswolke im Universum unter dem Einfluss ihrer Gravitation kontrahiert, dabei wärmer wird und ggf. eine Kernfusion “zündet”.
Zur Abschätzung der kritischen Jeans-Masse bieten sich zwei Wege an:
Für eine Gaswolke aus atomaren Wasserstoff ergibt sich mit doppelt logarithmischen Skalen folgendes Bild:
Abbildung 5: Die Jeans-Masse (Github: JeansMasse.svg)
Jeans-Masse Dietrich Kracht 24.3.2021
Beispielsweise können wir ablesen: Eine Gaswolke (atomarer Wasserstoff) von 10 Sonnenmassen würde bei einer Dichte von 10-16 kg/m³ und einer Temperatur von 10 K anfangen sich unter ihrer eigenen Gravitation zusammen zu ziehen…
Die physikalische Größe Stoffmenge wird in Mol gemessen. Auf der Schule (ca. 1960) hatte ich gelernt: 1 Mol ist das Atomgewicht in Gramm.
Im SI-System ist als Maßeinheit für die Stoffmenge das Mol festgelegt.
1971: Ein Mol ist die Menge einer Substanz, in der gleichviel Moleküle sind, wie in 12 g von Kohlenstoff 12C.
2019: Eine Stoffmenge von 1 Mol (= 1 mol) enthält die durch die Avogadro-Konstante (NA = 6.02214076 * 1023 mol−1) festgelegte Teilchenzahl. Die Avogadro-Konstante ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der Stoffmenge und der Teilchenzahl N(X). Teilchen können hier Atome, Ionen, Moleküle, Formeleinheiten oder auch Elektronen sein. Formelzeichen und Teilchenart X werden zusammen als nX oder n(X) angegeben.
Avogadro
Der italienische Physiker Amedeo Avogadro (1776-1856) erkannte bereits 1811, dass gleiche Volumina verschiedener idealer Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur die gleiche Anzahl Moleküle enthalten. Dies nennt man das Avogadrosche Gesetz.
Die Anzahl der Moleküle in einer Stoffmenge von 1 mol nennt man die Avogadro-Konstante. Die SI-Einheit 1 Mol wurde so festgelegt, das die Avogadrosche Zahl exakt:
NA = 6.02214076 * 1023 mol−1
beträgt.
Wenn man die Stoffmenge n einer Gaswolke kennt, kann man also die Teilchenzahl N in dieser Gaswolke berechnen als:
\( N = N_A \cdot n \\\ \)
Anwendung in der Chemie
Bei chemischen Reaktionen schreibt mal ja als Reaktionsgleichung auf, mit welchen Molekülen eine chemische Reaktion abläuft. Beispielsweise wird aus Aluminiumcarbid und Wasser Methan und Aluminiumhydroxid:
\( Al_4C_3 + 12 H_2O \to 3 CH_4 + 4 Al(OH)_3 \)
Was die Stoffmengen betrifft heist das, dass aus 1 Mol Aluminiumcarbid durch Zugabe von Wasser 3 Mol Methan entstehen.
Entnommen aus dem Youtube-Video: https://www.youtube.com/watch?v=dGsxo05xR7g
Die molare Masse M eines Stoffes ist die Masse pro Stoffmenge oder, anders gesagt, der Proportionalitätsfaktor zwischen Masse m und Stoffmenge n.
\( m = M \cdot n \\\ \)
Die SI-Einheit ist kg/mol; in der Chemie ist g/mol üblich.
Anwendung in der Thermodynamik
In der Thermodynamik haben wir die Ideale Gasgleichung…
Durch die Verschmelzung (Fusion) leicherer Atomkerne (z.B. Wasserstoff) zu schwereren Atomkernen (z.B. Helium) kann Energie gewonnen werden, da ein kleiner Teil der Masse in Energie umgewandelt wird; nach der berühmten Formel von Einstein:
\( E = m \cdot c^2 \)
Damit solche Prozesse ablaufen können, sind ziemlich hohe Temperaturen bzw. Drücke erforderlich. Solche Bedingungen herrschen regelmäßg in Inneren von Sternen (Stellare Nukleosynthese) und bei Supernova-Explosionen, sollen aber auch kurz nach dem Urknall und noch vor der Bildung von Sternen geherrscht haben. Letzteres nennt man die Primordiale Nukleosynthese.
Durch Fusion wird Energie gewonnen, solange die Bindungsenegie pro Nukleon mit zunehmender Nukleonenzahl im Atomkern größer wird; also bis zum Eisen (Fe), wie die Grafik zeigt. Mit schwereren Atomkernen kann man dann Energie nur durch Spaltung gewinnen.
Im Inneren von Sternen finden solche Kernfusionsprozesse statt. Man spricht gerne auch vom “Brennen”; damit ist aber immer eine Kernfusion gemeint.
Abbildung 1: Bindungsenegie pro Nukleon (Wikimedia: Binding_energy_curve_-_common_isotopes-de.svg)
Mittlere Bindungsenergie pro Nukleon in Abhänggkeit von der Größe des Atomkerns (Copyright Wikimedia)
Primordiale Nukleosynthese
Nach dem sog. Standardmodell der Kosmologie haben sich kurz nach dem Urknall aus einem Quark-Gluon-Plasma zuerst Protonen und Neutronen in gleicher Anzahl gebildet.
Freie Neutronen zerfallen im sog. Beta-Zerfall in ein Proton und ein Elektron mit einer Halbwertszeit von ca. 10 Minuten:
\( n \to p + e^- + \bar{\nu_e} \)
Etwa 5 Minuten nach dem Urknall sind die Temperatur und die Teilchendichte im Universum durch die Expansion so weit abgesunken, dass eine weitere Helium-Synthese (aus Wasserstoffkernen bilden sich Heliumkerne 4He) nicht mehr möglich ist. Die Reaktionsketten laufen nur so lange, bis das Plasma entsprechend abgekühlt ist. Damit endet die Phase der Primordialen Nukleosynthese.
Beim Endzustand der Primordialen Nukleosynthese errechnet man die Anteile von Wasserstoffkernen bzw. Heliumkernen von 75% bzw. 25% (Massenanteile).
Kernfusion im Inneren von Sternen (Stellare Nukleosynthese)
Damit es zur Verschmelzung von Atomkernen kommt, muss die Abstoßungskraft der elektrisch ja gleichartig (positiv) geladenen Kerne überwunden werden. Dazu benötigt das Plasma eine hohe Temperatur und einen hohen Druck. Die Fusion von Wasserstoff zu Helium “zündet”, wenn im Inneren des Sterns die notwendige Temperatur von ca. 10 Millionen Kelvin erreicht sind.
Bei entsprechend höheren Temperaturen “zünden” auch Fusionsprozesse mit anderen Elementen wie die nachfolgende Tabelle zeigt. Dort ist ein Stern mit 40-facher Sonnenmasse zugrunde gelegt.
Tabelle 1: Kernfusionsprozesse in Sternen
Ausgangsmaterial
Prozesse
Endprodukte “Asche”
Temperatur
Mio Kelvin
Min. Masse
Dauer bei 40 Sonnenmassen
Wasserstoff
p-p-Prozess
Helium
10-40
0,08
10 Mio Jahre
Helium
3 Alpha
Kohlenstoff
100-190
0,25
1 Mio Jahre
Kohlenstoff
Sauerstoff, Neon, Magnesium
500-740
4,0
10.000 Jahre
Neon
Sauerstoff, Magnesium
1.600
10 Jahre
Sauerstoff
Silizium
2.100
5 Jahre
Silizium
Eisen
3.400
1 Woche
Wenn der Wasserstoff vollständig zu Helium fusioniert wurde, fällt diese Energiequelle weg. Der Stern kontrahiert etwas und die Temperatur im Inneren steigt an. Es kann zunächst zu einem sog. Schalenbrennen kommen, wo Wasserstoff in einer Schale zu Helium fusioniert wird. Durch das Schalenbrennen steigt der innere Strahlungsdruck wieder stark an und der Stern dehnt sich aus zum sog. “Riesen”.
Wenn dann die Temperatur im Inneren (im Kern) ausreicht, kann die nächste Fusionstufe “zünden” und das Helium im Kern kann zu Kohlenstoff fusioniert werden
Wenn die Temperatur nicht ausreicht, um weitere Kernfusionen zu “zünden”, kann der Stern keine Energie mehr erzeugen und kollabiert zum Weissen Zwerg, der nur noch langsam seine vorhandene Wärmeenegie abgibt…
Bei unserer Sonne endet diese Serie mit dem sog. Heliumbrennen im Kern. Der Kohlenstoffkern kann nicht mehr weiter “zünden”, da die erforderliche Temperatur nicht erreicht wird.
Bei massereichen Sternen wird durch die Kontraktion die Temperatur soweit erhöht, das dann das Helium ein einer Schale um den Kern “züdet”, also dort Helium zu Kohlenstoff fusioniert, wo es heiss genug ist. Wir haben dann ein typisches Helium-Schalenbrennen.
Abbildung 2: Schalenbrennen in einem AGB-Stern (Google Drive: agb-schematic.jpg)
Copyright: Falk Herwig, University of Victoria http://www.astro.uvic.ca/~fherwig/sevol.html
Werner Heisenberg (1901-1976) gilt als Begründer der mathematischen Quantenmechanik.
Berühmt geworden ist seine sog. Unschärferelation (uncertainty principle). Die Aussage der Quantenphysik ist, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Das bekannteste Beispiel für ein Paar solcher Eigenschaften sind Ort und Impuls.
\( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \\ \)
Dabei ist die Messung des Impulses (Teilcheneigenschft) gleichzusetzen mit der Messung der Wellenlänge (Welleneigenschaft); s. unten De Broglie.
Die Heisenbergsche Unschärferelation hat nichts mit der Messgenauigkeit oder Beeinflussungen einer Messung durch Messvorrichtungen zu tun, sie ergibt sich aus dem Welle-Teilchen-Dualismus: Ein Teilchen hat danach sowohl Teilchen-Eigenschaften als auch Wellen-Eigenschaften. Die Wellennatur der Materie selbst führt zur Unbestimmtheit ihrer Teilcheneigenschaften.
Man beschreibt ein Teilchen dann als Wellenpaket, bei dem wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Messung physikalischer Größen (sog. Observable) haben. Mit solchen Schreibweisen wie Δx ist in Wirklichkeit die Standardabeichung σ der Verteilung von x gemeint.
Materiewellen
Louis de Boglie (1892-1987) beschreibt den Welle-Teilchen-Dualismus ja durch sein berühmte Formel:
\( p = \frac{h}{\lambda} \\ \)
Die Messung des Impulses ist also gleichzusetzen mit der Messung der Wellenlänge. Wenn ich aber die Wellenlänge genau messe, ist der Ort der Welle sehr unbestimmt.
Komplementäre Eigenschaften im Sinne Heisenbergs sind z.B.
Die Idee eines Welle-Teilchen-Dualismus entstand Anfang des 20. Jahrhunderts weil einige Experimente mit elektromagnetischer Strahlung (z.B. Licht) sich nicht allein aus der bis dahin geltenden Wellennatur des Lichts (siehe das berühmte Doppelspalt-Experiment von Young 1802) erklären liessen.
Experimente, die nur durch den Teilchencharakter von Licht gut erklärt werden konnten waren (u.a.):
Der photoelektrische Effekt
Die Compton-Streuung
Louis de Broglie (1892-1987) postulierte im Jahre 1924 den Welle-Teilchen-Dualismus. Das war die kühne Idee, dass jedes Materieteilchen gleichzeitig auch einen Wellencharakter haben muss; z.B. auch Elektronen.
Aus der Planck-Formel:
\( E = h \nu \)
und der Einsteinschen Energie-Masse-Äquivalenz:
\( E = m c^2 \)
ergibt sich rein rechnerisch die berühmte De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens der Masse m bzw. einem Impuls von p bei einer Geschwindigkeit von c.:
\( \lambda = \Large\frac{h}{p} \)
Einstein: Energie-Masse-Äquivalenz
Genaugenommen ist die aus der speziellen Relativitätstheorie bekannte Formel:
\( E = m c^2 \)
nur eine Näherung. Richtg müsste es heissen:
\( E^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2 \)
So erfordert es die Einstein’sche Spezielle Relativitätstheorie.
Die Lösungen sind periodische ebene Wellen.
In der Quantenfeldtheorie (QFT). muss dann jedes Elementarteilchen diese Gleichung erfüllen; denn in der QFT berückrichtigen wir ja erstmals die Spezielle Reletivitätstheorie (was wir in der Quantenmechanik ja nicht taten).
De Broglie Wellenlänge
Gemäß des Welle-Teilchen-Dualismus kann ein Teilchen mit dem Impuls p auch als Welle (Materiewelle) der De-Broglie-Wellenlänge
\( \lambda = \frac{h}{p} \)
aufgefasst werden.
Der Quantenmechaniker verwendet statt der Wellenlänge gern die sog. Wellenzahl:
\( k = \frac{2 \pi}{\lambda} \)
und statt des originären Planck’schen Wirkungsquantums h, gerne das sog. reduzierte Wirkungsquantum:
\( \hbar = \frac{h}{2 \pi} \)
Damit können wir den Impuls also schreiben als: \( p = \hbar k \)
bzw. die Wellenzahl als: \( k = \frac{p}{\hbar} \)
und kommen damit zur einer ebene Welle:
\( \Psi(x) = e^{i k x} \)
Die Wellenfunktion
Materieteilchen haben demnach auch einen Wellencharakter. Diese Wellen nennt man “Materiewellen“, die durch Wellenlänge (s.o.) und insgesamt durch eine Wellenfunktion beschrieben werden. Man kann sich dann fragen, was da eigentlich als Welle schwingt. Eine Interpretation der Materiewellen ist, das es Wahscheinlichkeitswellen sind (s. Kopenhagener Deutung).
Wenn demnach Materieteilchen auch Wellencharakter haben können, fragt man sich natürlich nach einer “klassischen” Wellenfunktion als Lösung einer Wellengleichung. Ernst Schroedinger fand später dazu seine berühmte Schroedinger-Gleichung.
λ
