Astronomie: Olbers

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Gehört zu: Sonnensystem
Siehe auch: Asterroiden

Stand: 03.12.2023

Wer war Wilhelm Olbers ?

Wilhelm Olbers (1758-1840) war ein Arzt, der in Bremen in der Sandstrasse seine Praxis hatte.

Die Sternwarte Lilienthal war eine astronomische Forschungseinrichtung, die 1782 von Johann Hieronymus Schroeter im Dorf Lilienthal bei Bremen gegründet wurde.

Zusammen mit Franz Xaver von Zach und Schröter gründete Olbers 1800 in Lilienthal die Astronomische Gesellschaft.

Im Jahre 1800 entstand auch die sog. Himmelspolizey, eine internationale Gruppe von Sternwarten, die systematisch nach einem Planeten zwischen den Bahnen von Mars und Jupiter suchen wollte.

Die Entdeckungen von Wilhelm Olbers

Nachdem Guiseppe Piazzi  (1746- 1826) im Januar 1801 tatsächlich ein Objekt, das er zunächst für einen Kometen hielt, entdeckte musste er seine Beobachtungsreihe im Februar 1801 wegen einer Krankheit beenden. Erst dann veröffentlichte er seine Beobachtungsdaten.  Andere Beobachter konnten das Objekt nicht wieder finden, weil es nun zu nahe an der Sonne stand.

Wilhelm Olbers konnte aber aus den Beobachtungen vom Januar und Februar die Bahn berechnen, wobei er die von Karl-Friedrich Gauss entwickelte Methode der kleinsten Quadrate anwenden konnte.  Damit konnte das Objekt im Dezember 1801 wieder gefunden werden.

Die Bahnberechnungen von Olbers ergaben tasächlich eine große Halbachse von 2,77 A.E. was die Erwartungen voll erfüllte.  Das Objekt erhielt den Namen Ceres und wurde, da es ideal in die Titus-Bode-Reihe passte, auch als “Planet” klassifiziert.

Auch die danach in kurzer Reihenfolge entdeckten Pallas, Juno und Vesta wurden als Planeten angesehen.
Vesta wurde als vierter Kleinplanet 1807 von Wilhelm Olbers in Bremen entdeckt.

(1) Ceres: 1801 von Giuseppe Piazzi an der Sternwarte Palermo enteckt
(2) Pallas 1802 von Wilhelm Olbers in Bremen entdeckt
(3) Juno 1804 von Karl Ludwig Harding an der Sternwarte Lilienthal entdeckt
(4) Vesta 1807 von Wilhelm Olbers in Bremen entdeckt

Erst nachdem ab 1845 immer mehr solche Objekte entdeckt wurden (Astraea etc.), konnte man diese doch nicht alle als “Planeten” ansehen. Herschel machte den Vorschlag, diese Objekte “Asteroiden” zu nennen (Asteroid = sternenartig), weil er keines dieser Objekte in seinem Fernrohr als Scheibchem auflösen konnte und sie also in Herschels Teleskop “wie Sterne” aussahen.

Die Olbersgesellschaft in Bremen

Die astronomische Vereinigung in Bremen nannte sich “Olbersgesellschaft”- gegründet 1920.

Sie betreibt ein Kleinplanetarium und eine Sternwarte in der ehemaligen Seefahrtsschule (später: Hochschule für Nautik, heute: HSB Hochschule Bremen, Campus Werderstrasse) und organisiert regelmäßig Vorträge.

Nach dem Kriege domizlierte die Olbersgesellschaft ab 1949 in der Schule an der Elsflether Straße und zog dann 1958 in die neu gebaute Seefahrtsschule an der Werderstrasse um.

Astronomie: Tycho Tracker

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Gehört zu: Astrometrie
Siehe auch: Astrofotografie, Stacking, Lichtkurve, Asteroiden, FITS-Header
Stand: 02.12.2023

Was ist Tycho Tracker ?

Tycho Tracker ist eine Software, die von Daniel Parrott entwickelt wurde. Mit hilfe von Tycho kann man Asteroiden und NEOs leichter finden/entdecken  und berechnen.

Website: https://www.tycho-tracker.com/
Tutorial: https://telescope.live/tutorials/tycho-tracker-introduction-ultimate-asteroid-discovery-tool

Tycho verwendet die Methode des “Sythetic Tracking”.

Unser Problem ist ja, dass wir lichtschwache Objekte (wenig SNR)  haben, die sich auch noch bewegen. So etwas wird nun gestackt, indem alle möglichen Bewegungs-Vektoren ausprobiert werden, bis man ein gutes Bild  erhält.

Das ist also eine Art “brute force approach”, der enorm viel Compter-Leistung erfordert und deshalb erst mit den heutigen (2023) modernen Computern möglich wurde.

Der erste Schritt ist ja das Sichtbarmachen des Objekts, das leistet “Synthetic Tracking”. Als nächstes möchte man ja vielleicht die Bahnelemente bestimmen (“Find Orbit”) oder eine Lichtkurve messen.

Installation von Tycho Tracker

Download von: https://www.tycho-tracker.com/download

Einstellungen / Konfiguration

  1. CPU only oder auch GPU
  2. Persönliche Daten eingeben: Observer, Teleskop,…
  3. Known Objects: Datenbanken laden
  4. Sternkatalog laden
  5. Platesolving einstellen

Mein Workflow mit Tycho Tracker

  1. Fotos (Light Frames) laden: Image Manager -> List -> Add Images   (Input: ds1)
  2. View the Images: Action -> View Images
  3. Calibrate: Action -> Calibrate Images (Input: ds1, Output: ds1_c)
  4. Align the Images: Action -> Align Images (Input: ds1_c, Output: ds1_c_a)
  5. Platesolve the Images:  Action -> Plate Solve Images
  6. Kontrolle des Platesolvings:
    1. Image Viewer: File -> Load Star Catalog
    2. Image Viewer: Display Catalog Stars

Diese Schritte laufen automatisch ab mit: Main Menue -> Action -> Express Mode

Observations

Um aus solchen Astrofotos auch eine richtige “Beobachtung” zu machen, müssen wir auch das “Observatory” aussuchen, von dem aus diese Fotos gemacht wurden.

In diesem Fall ist das Siding Spring Observatorium mit dem MPC Code Q62.

Dies geben wir ein und machen es mit Rechtsklick “active”.

Nun können wir auch die “Known Objects” in unser Image einblenden.

Notizen

Mein Asteroid ist: 331105 Giselher

 

 

Computer: Rufus

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Gehört zu: Computer
Siehe auch: Windows 10 einrichten, Windows 11,  Live CD, Partitionierung

Stand: 16.12.2023

Das Rufus-Tool

Mithilfe von Rufus kann man bootbare USB-Sticks herstellen.

Dazu benötigt man ein ISO-Abbild des zu bootenden Betriebssystems.

Beispielsweise kann man Windows 11 so von einem USB-Stick booten oder auch vom USB-Stick auf eine Festplatten-Partition installieren und zwar ohne Zwangsbedingungen von Microsoft (TPM 2.0 etc.).

Erstellen von bootbaren Notfall-USB-Sticks

Der Computer muss so eingestellt sein, das ein Booten vom USB-Stick möglich ist.

Der USB-Stick wird mit dem Tool Rufus  (Download: https://rufus.ie/de/) präpariert.

Ich habe Rufus Version 4.3 auf meinem Windows-Computer installiert.

Bei einem Windows-USB-Stick benötigt man Rufus nicht. Man kann Windows vom USB-Stick nur installieren (nicht live laufenlassen!!!).

Bei einem Linux-USB-Stick kann man Linux LIVE vom USB-Stick aus laufen lassen.

Linux Live USB-Stick

Erstellen enes Linux Live USB-Sticks

Ein Linux-Medium (ein ISO-Image) bekommt man von beispielsweise von: https://www.linuxmint.com/download.php

Dort klicken wir auf Linux Mint 21.2 Cinnamon Edition Download und wählen dann einen geeigneten Download-Server.

Das Erstellen des Linux-USB-Sticks geht wie folgt:

  1. Rufus aufrufen
  2. Im Rufus-Fenster eingeben
    1. Laufwerk: Hier den USB-Stick auswählen (Achtung der Stick wird komplett überschrieben)
    2. Startart: “Laufwerk oder ISO-Image”    (Default-Einstellung)
    3. Auswahl: Hier das oben downgeloadete ISO-Image auswählen.
    4. Partitionsschema: GPT
    5. Zielsystem: UEFI (ohne CSM)
    6. Dateisystem: FAT32 (Default-Einstellung)
    7. Schaltfläche “START”

Booten vom USB-Stick

nun will ich von dem gerade erstellten Linux Live USB Stick booten, also den Computer hochfahren. Wie geht das?

Mit F2 komme ich ins BIOS (bei meinem Laptop Acer Swift 3 muss ich gleichzeitig die Fn-Taste drücken).

Im BIOS aktiviere ich unter “Main” das F12 Bootmenü (und dies speichern).

Wenn ich nun bei eingestecktem USB-Stick den Computer hochfahre und dabei auf F12 (und gleichzeitig die Fn-Taste) drücke, komme ich in den Boot Manager…

Arbeiten mit Linux

Die Oberfläche der Linux Mint 21.2 Cinnamon Edition ist recht ähnlich der Oberfläche von Windows.

Wir haben unten eine “Taskleiste”, wo wir rechts das WLAN einstellen können und wo links das menü und einige häufig benutzte Anwendungen stehen.

Wie komme ich ins Internet?  Das geht per WLAN-Symbol rechts unten.

Wie arbeite ich mit einem Beamer als zweitem Bildschirm?

Physik: Wärmepumpe

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Gehört zu: Physik
Siehe auch: Thermodynamik

Stand: 25.10.2023

Prinzip der Wärmepumpe

Gestern (24.10.2023) konnte ich als Ringvorlesung “Physik im Alltag”  von Herrn Prof. Dr. Markus Drescher hören, der über das Thema “Physik der Wärmepumpe” sprach.
Link: https://www.physik.uni-hamburg.de/oeffentlichkeit/veranstaltungen/ringvorlesung.

Der physikalische Prozess ist ja im Prinzip einfach ein umgekehrter Carnotscher Kreisprozess. Wir haben also vier thermodynamische Zustände, mit vier  Zustandsveränderungen, die am Ende wieder beim Ausgangszustand landen. So ein Kreisprozess ist schon seit längerem bekannt und technisch realisiert in unseren elektrischen Kühlschränken (auch: Wäschtrockner, Klimaanlage,…).

Wir haben ein externes Wärmereservoir mit der Temperatur T1. Die Wärmepumpe soll dort Wärme entnehmen und in einen zu heizenden Raum pumpen.

Zustand 1: Das Arbeitsmedium ist gasförmig und habe einen Druck von p1 und eine Temperatur T1 . Diese Anfangstemperatur T1 soll die Temperatur des externen Wärmereservoirs sein.

Zustandsübergang 1 nach 2: Kompression durch Verrichtung mechnischer Arbeit.
Das gasförmige Arbeitsmedium wird mit mechanischer Arbeit W zusammengedrückt (durch einen Kompressor).
Die Temperatur und der Druck des Arbeitsmediums erhöhen sich.
Das Arbeitsmedium muss so weit zusammengedrückt werden, dass die Temperatur oberhalb der Temperatur des Heizwassers (Vorlauftemperatur) liegt.

Zustand 2: Der Druck ist auf p2 und  die Temperatur auf T2 gestiegen.

Zustandsübergang 2 nach 3: Wärmetransport vom Arbeitsmedium zu der Heizflüssigkeit im zu heizenden Raum (Vorlauftemperatur).
Das warme Arbeitsmedium wird durch Kontakt mit dem Heizwasser im zu heizenden Raum (Wärmetauscher) soweit abgekühlt , dass ein Temperaturausgleich stattfindet. Das heisst, es wird eine gewisse Wärmemenge ΔQ in das Heizwasser transportiert.

Zustand 3: Die Temperatur des  des Arbeitsmediums ist gesunken auf T3. Beim unverändert hohen Druck ist das Arbeitsmedium jetzt flüssig geworden.

Zustandsübergang 3 nach 4: Das Arbeitsmedium wird entspannt d.h. der Druck wird von p2 zurück auf p1 entspannt. Dabei kühlt sich das Arbeitsmedium stark ab, so dass die Temperatur unterhalb der Temperatur des externen Wärmereservoirs liegt; sagen wir auf T4 < T1.

Zustand 4: Die Temperatur des Arbeitsmediums ist weiter gesunken auf T4, der Druck ist wieder bei p1.

Zustandsübergang 4 nach 5: Wärmetransport vom externen Wärmereservoir in das Arbeitsmedium. Durch Kontakt mit dem  Wärmereservoir (Wärmetauscher) wird die Temperatur auf den ursprünglichen Wert T1 erhöht. D.h. es wird eine gewisse Wärmemenge ΔQ aus dem externen Wärmereservoir entnommen.

Zustand 5 = Zustand 1
Temperatur T1 Druck p1, Das Arbeitsmedium ist jetzt wieder gasförmig geworden.

In jedem Zyklus investieren wir also eine mechanische Arbeit von W und gewinnen (pumpen) eine Wärmemenge ΔQ.

Effizienz einer Wärmepumpe

In jedem Zyklus der Wärmepumpe stecken wir also eine Energiemenge (W), als mechanische Arbeit zur Kompression, hinein und entnehmen dem externen Reservoir eine Energiemenge ΔQ (Wärmemenge). Als Kennzahl für die “Effizienz” dieses Prozesses nehmen wir die sog. “Leistunsgzahl” (englisch: “Coefficient of Performance” COP):

\( \Large  COP = \frac{\Delta Q}{W} \\   \)

Dieser COP besagt also, wieviel Wärmemenge bekomme ich heraus (gepumpt) im Verhältnis zur hineingesteckten mechanischen Energie.

Der Prozess in der Wärmepumpe entspräche genau einem umgekehrten Carnotschen Kreisprozess, wenn er “reversibel” wäre. Dazu müssten in den Wärmetauschern am Ausgang tatsächlich die beiden Temperaturniveaus identisch sein. Für diesen Idealfall kann man das physikalisch berechnen als:

\( \Large  COP = \frac{T_3}{T_3 – T_1} \\   \)

Dies ist aber “nur” der physikalisch maximal mögliche COP. In der technischen Realisierung haben wir es aber immer mit unvollkommenen Prozessen und Verlusten zu tun, sodass in den real exsitierenden Wärmepumpen wir tatsächlich nur so etwa die Hälfte dieses physikalisch möglichen Werts erreichen.

Wenn die Temperatur des externen Wärmereservoirs jahreszeitlich schwankt (wenn man z.B. Aussenluft als Reservoir nimmt) wird vielfach ein sog. Seasonal COP (“SCOP“) genommen. Der ist ein Mittelwert aus vier COP-Werten bei vier unterschiedlichen Außentemperaturen.

Eine noch realistischere Kennzahl ist die JAZ (Jahresarbeitszahl). Da wird die übers Jahr tatsächlich “erzeugte” Wärmemenge ins Verhältnis gesetzt zur tatsächlich eingesetzten Strommenge; dazu muss man diese beiden Werte mit speziellen Zählern einzeln messen.

Beispiel:

Das externe Wärmereservoir sei die Aussenluft mit einer Temperatur T1 von 0° C.
Die Temperatur beim Wärmeaustausch (gewünschte Vorlauftemperatur der Heizung) möge sein: T3 = 40° C.

Um obige Formel anwenden zu können, müssen wir die Temperaturen in Kelvin umrechnen:

T1 = 273 K
T3 = 313 K

Damit bekommen wir:

\(  \Large COP = \frac{273}{313 – 273} = \frac{273}{40} =  6,825   \\\)

In der technischen Realisierung könnten wir uns freuen, wenn wir einen COP von 3 erreichen würden.

Phasenübergänge

Besonders effizient arbeitet eine Wärmepumpe dann, wenn das Arbeitsmedium bei der Wärmeaufnahme und der Wärmeabgabe die Temperatur nicht großartig ändert, sondern stattdessen ein sog. Phasenübergang stattfindet.

Statt einer großen Temperaturdifferenz bei der Erwärmung, wäre ein Phasenüberang von flüssig zu gasförmig gut; also beim Zustandsübergang 4 nach 1.
Statt einer großen Temperaturdifferenz beim Abkühlen, wäre ein Phasenübergang von gasförmig zu flüssig gut; also beim Zustandsübergang 2 nach 3.

Die Abgabe von Wärme und die Aufnahme von Wärme erfolgt in sog. Wärmetauschern.  In den beiden Wärmetauschern arbeitet man mit einem geeigneten Druck, sodass genau in dem Wärmetauscher ein Phasenübergang stattfindet (bei gegebenen Temperaturverhältnissen und gegebenem Arbeitsmedium). Beispielsweise 2 bar bei der Wärmeaufnahme und 12 bar bei der Wärmeabgabe.

Youtube-Video: Ganteföhr Energie und Klima

Technische Realisierung einer Wärmepumpe

Das Arbeitsmedium in der Wärmepumpe wird technisch auch “Kältemittel” genannt. Es wird nicht verbraucht, sondern befindet sich in einem geschlossenen System in einem ewigen Kreislauf. Nach dem heutigen Stand der Technik (2023) kommt hierfür praktisch nur Butan (früher: FCKW) zum Einsatz.

Die zu leistende mechanische Arbeit wird ein kleiner Elektromotor besorgen. Woher der Strom dafür kommt, wäre eine weitere Frage…

Das externe Wärmereservoir muss sehr groß sein; so groß, dass eine Entnahme einer kleinen Wärmemenge die Temperatur des Reservoirs unverändert lässt. Als so ein Wärmereservoir kommt in der Praxis infrage:

  • Das Grundwasser
  • Das Erdreich
  • Die Aussenluft
  • Fließende Gewässer
  • Das Meer
  • …

Interessant zu wisssen ist, dass auch wenn es draussen richtig kalt ist, trotzdem diese “kalte” Draussenluft sehr viel Wärme-Energie enthält.
Erst bei einer Temperatur von -273° C wäre keine Wärme-Energie mehr da.

 

 

 

 

 

Astronomie: Pariser Observatorium

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Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Ole Römer, Meridian von Greewich, Meridian von Altona

Stand: 06.10.2023

Der Französische König Ludwig XIV, der Sonnenkönig,  lies im Jahre 1667 in Paris ein astronomisches Obseratorium errichten.

Es wurde an der Stelle errichtet, wo zuvor der Meridian von Paris von Mitgliedern der Académy Royal de Sciences mit einer Linie markiert wurde.

Der erste Direktor des Pariser Observatoriums wurde Giovanni Cassini (1625-1712).

Bis zur französischen Revolution (1789-1799) blieb der Posten des Direktors in der Familie Cassini:

  • Giovanni Cassini (Direktor:  1671–1712)
  •  Jacques Cassini (Direktor: 1712–1756) (genannt Cassini II)
  •  César-François Cassini de Thury (Direktor: 1756-1784)  (genannt Cassini III)
  • Jean-Dominique, Cassini IV  (Direktor: 1784-1793)

Von 1672 bis 1681 arbeitete Ole Römer (1644-1710) am Pariser Observatorium als Assistent von Cassini.

 

Astrophysik: Lichtgeschwindigkeit im 17. Jahrhundert

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Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Gallileo, SI-System, Zeitmessung, Entfernungsbestimmung, Pariser Observatorium
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress, SVG-Grafik aus Github, Fotos aus Google Drive

Stand: 14.10.2023

Ole Römer (Ole Rømer)

Ole Christensen Rømer (1644-1710) war ein dänischer Astronom. Bekannt wurde er u.a. durch das 1676 veröffentlichte Verfahren zur Messung der Lichtgeschwindigkeit durch Beobachtung der Jupitermonde.

Durch die genaue Beobachtung der Jupitermonde gelangte er zur Erkenntnis, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist (was zu dieser Zeit höchst umstritten war).

Heutzutage ist die Lichtgeschwindigkeit im SI-System als Naturkonstante auf 299792,458 km/s festgelegt und dadurch wird dann die Längeneinheit “Meter” definiert:

1983 hat die  17. Generalkonferenz für Maß und Gewicht das Verhältnis zwischen Lichtgeschwindigkeit und Meterdefinition umgekehrt.
Dabei wurde die Lichtgeschwindigkeit als Naturkonstante definiert zu 299 792 458 m/s und das Meter definiert als “Die Strecke, die Licht im Vakuum während der Zeit von 1/299 792 458 Sekunden zurücklegt”.

Die Jupitermonde

Gallileo Gallilei (1564- 1642) benutzte als einer der ersten Forscher ein Fernrohr zur Himmelsbeobachtung.

Er entdeckte 1610 die vier größten Monde des Jupiter: Io, Europa, Ganymed, Kallisto. Derzeit sind 92 Monde bekannt, die Jupiter umrunden.

Abbildung 1: Jupiter mit den vier Galileischen Monden (Google Drive: JupiterMonde.jpg)


Screenshot aus Stellarium: Dietrich Kracht

Io, der innerste Mond, umkreist den Jupiter in 42,5 h. Er stellt eine wertvolle Uhr dar, mit deren Hilfe damals Seefahrer auf hoher See die Uhrzeit und damit die geographische Länge bestimmen konnten.

Um den Seefahrern eine bessere Orientierung zu ermöglichen, legte der französische Astronom Giovanni Cassini (1625-1712)  die Verfinsterung der Jupitermonde in Zeittafeln nieder. Cassini war damals Direktor des Königlichen Observatoriums Paris (gegr. 1667)

Jean Picard (1620-1682) kam 1671 im Auftrag der französischen Académy des Sciences nach Uraniborg, dem ehemaligen Observatorium von Tycho Brahe (1546-1601) auf der Insel Ven, um dort die genauen geografischen Koordinaten zu vermessen, damit die umfangreichen Beobachtungsdaten von Tycho Brahe weiter zu Forschungszwecken verwendet werden konnten. Bei der Durchführung seiner Arbeiten zur Längengradbestimmung anhand der Verfinsterungen der Jupitermonde assistierte ihm Ole Römer. Auf Empfehlung von Jean Picard kam Ole Römer dann im Jahre 1672, 28 Jahre alt, an das Pariser Observatorium als Assistent von Cassini.

Die Umlaufzeit des Io konnte man sehr genau durch Messung der Zeiten der Verfinsterung (Eintritt des Mondes in den Jupiterschatten) messen. Dabei wurde die Bewegung des Jupiters auf seiner Bahn um die Sonne (Umlaufszeit ca. 12 Jahre) während eines Io Umlaufs vernachlässigt.

Als Ole Römer zur Verbesserung der Cassinischen Zeittafeln die Monde des Jupiter nochmals beobachtete, stellte er größere Abweichungen fest.

Quelle: https://www.leifiphysik.de/optik/lichtausbreitung/geschichte/messung-der-lichtgeschwindigkeit-nach-romer

Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Ole Römer

Die Abweichungen zu Cassinis Tafeln waren je nach Stellung des Jupiter, sei es in Opposition, sei es nahe der Konjunktion anders.

Abbildung 2: Opposition und Konjunktion bei äußeren Planeten (Github: Opposition_Konjunktion.svg)

Wenn die Erde dem Jupiter am nächsten war (in der Oppositionsstellung), stimmte alles vorzüglich (d.h. man stellte eine Umlaufdauer von 42,5h fest), doch im nächsten halben Jahr “ging der Jupiter nach” d.h. der erneute Austritt des Mondes aus dem Jupiterschatten erfolgte nicht nach 42,5 Stunden, sondern Umlauf für Umlauf ein paar Sekunden später.

Im Jahre 1676 ermittelte Ole Römer eine aufgelaufene Verspätung im Maximum (bei der Konjunktionsstellung) von 22 Minuten. Im nächsten halben Jahr kam der Schatteneintritt wieder früher und als die Erde wieder die Oppositionsstellung erreichte, war alles wieder im Lot.
Eine Beobachtung direkt in der Konjunktionsstellung war natürlich nicht möglich, aber Ole Römer hat die 22 Minuten dann quasi “hochgerechnet” aus einer langen Reihe von Beobachtungen, die er im Laufe der Zeit von der Opposition bis zur Konjunktion messen konnte.

Ole Römer versuchte diese Abweichungen durch die unterschiedlichen Entfernungen Jupiter-Erde zu erklären. Er hat damals den Erdbahndurchmesser noch nicht genau genug gekannt, hatte aber mit seiner Messung der Lichtlaufzeit von 22 Minuten einen ersten Nachweis, der Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit.

Heute weiss man, dass der “richtige” Wert für die Lichtlaufzeit bei ca. 18 Minuten liegt. An dieser großen Abweichung sieht man auch, dass die Vernachlässigung feinerer Einzelheiten (z.B. Bahnbewegung des Jupiter, Störungen der Bahn des Jupitermondes Io durch andere gravitative Einflüsse)  bei diesem ersten Ansatz  irrelevant waren. Das Ergebnis war einfach: Die Lichtgeschwindigkeit ist endlich.

Siehe: “Demonstration touchant de mouvement de la lumiere trouvé par M. Römer” (Journal des Scavans, Dec. 7, 1676).
Link: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56527v

Zur Genauigkeit der Zeitmessung schreibt Birgit Bender (http://www.diplom.de/e-book/218507/methoden-zur-messung-der-lichtgeschwindigkeit-und-aspekte-zur-konstanz):
“…dass diese Entdeckungen mit der Konstruktion der Pendeluhr durch Christiaan Huygens im Jahr 1657 möglich wurden. Huygens verbesserte hiermit die Genauigkeit der Zeitmessung entscheidend. Seine Uhren konnten auf einen Gang von wengigen Sekunden pro Tag reguliert werden.”
https://books.google.de/books?id=adl7AQAAQBAJ&pg=PA1&lpg=PA1&dq=die+messungen+von+ole+roemer&source=bl&ots=ZhDvjwBvST&sig=ACfU3U1LwPn5vivI4xCqmd0MfKVyCIGdZw&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjzidiC0N6BAxUwgv0HHTCDClI4FBDoAXoECAIQAw#v=onepage&q=die%20messungen%20von%20ole%20roemer&f=false

Christiaan Huygens (1629-1695) ermittelte  1678  die Entfernung Erde-Sonne zu 11 000 Erddurchmessern, also etwa 141 000 Millionen Kilometer. Dazu benutzte er die Angabe der Sonnenparallaxe von 9,5 Bogensekunden, die Cassini 1673 aus einer Marsbeobachtung erhalten hatte.

Damit errechnete er:

\( \Large c = \frac{2 \cdot 141 000}{22 \cdot 60} \enspace km/s = 213636 \enspace km/s \\\)

was um 29% vom heute bekannten Wert abweicht.

Spätere Messungen der Lichtgeschwindigkeit

Nach dem allerersten Ansatz von Ole Römer im Jahre 1676 gab es immer wieder zahlreiche physikalische Anstrengungen, den Wert der Lichtgeschwindigkeit genauer und genauer zu bestimmen. Die Methode der Jupitermonde wurde aber für die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nicht weiter verwendet.

Beispielsweise zeigte die Messung der Aberation durch Bradley 1727 ebenfalls die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit.

Im Jahre 1848 maß er französische Physiker Hippolyte Fizeau (1819-1896) die Lichtgeschwindigkeit mit seinem berühmten Zahnradexperiment noch genauer: 313000 km/sec

Anhang

Abbildung 3: Facsimile Ole Roemer Paper (Google Drive: OleRoemer-1.jpg)

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Astrofotografie: FITS Header

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Gehört zu: Astrofotografie
Siehe auch: FITS Format,  Metadaten, Fitswork, Stacking, Platesolving, Deep Sky Stacker, Astro Pixel Processor, N.I.N.A., SiriL

Stand: 02.10.2023

Der FITS Header

Das beliebteste Dateiformat für Astrofotos ist das FITS-Format, welches von der NASA entwickelt wurde und von der IAU empfohlen wird.

Astro-Kameras erzeugen oft direkt Bilddateien im FITS-Format; beispielsweise macht das meine Astro-Kamera ZWO ASI294MC Pro so.

Ein besonderer und sehr wichtiger Teil bei Fotos im FITS-Format ist der sog. FITS-Header, in dem wichtige sog. Metadaten über das Astrofoto gespeichert werden. Die Einheiten im FITS Header nennen Spezialisten auch HDUs (=Header Data Units).

Im FITS Header steht u.a.:

  • Name des Beobachtungsobjekts
  • Ort der Beobachtung
  • Aufnahmedatum
  • Belichtungszeit
  • Brennweite
  • etc.

Wem der Inhalt des FITS-Headers egal ist, braucht nicht mehr weiterzulesen.

Die Einzelaufnahmen (Sub Exposures) bei solchen Kameras werden also von der Aufnahme-Software im FITS-Format (mit FITS Header) gespeichert, aber dann kommt die Stacking-Software und macht ein “Summenbild” aus den Einzelbildern. Sofort erhebt sich die Frage, ob denn im FITS-Header des Summenbildes auch alle relevanten Informationen aus den FITS-Headern der Einzelbilder übernommen werden.

Betrachten der Daten im FITS Header

Praktisch jede Software, die Bilddateien im FITS-Format bearbeiten kann, hat auch irgendwo eine Anzeigemöglichkeit für die Daten des FITS Headers. Beispiele: Fitswork, Siril

Editieren der Daten im FITS Header

Wenn man aber selber Veränderungen am FITS Header vornehmen möchte (weil z.B. durch Stacking-Software Informationen verloren gingen) gibt es sogut wie garnichts.

Eine Software, die ich dafür gefunden habe ist F4W2HDU, was aber sehr kryptisch arbeitet und auch Beschränkungen hat.

Es soll noch eine weitere Software mit dem Namen WCSTools geben.

Für Suchen mit Tante Google würde ich den Suchbegriff “WCS-FITS” probieren.

Jetzt habe ich noch die Software QFitsView gefunden: https://youtu.be/wmbsJLAamPU?feature=shared

Der FITS Header nach der Einzelaufnahme

Als erstes machen wir mit einer Aufnahme-Software Einzelaufnahmen. Die dazu benutzte Software schreibt einiges in den FITS Header.

Als solche Aufnahme-Software (FITS Header: SWCREATE) habe ich im Einsatz:

Viele wichtige Metadaten schreibt die Aufnahme-Software gleich in den FITS Header jedes Einzelfotos. Teilweise kommen diese Daten von verbundenen Geräten (z.B. ASCOM-Montierung),  teilweise von Einstellungen, die in der Aufnahme-Software gemacht wurden (z.B. über Profile) oder von Daten der Einzelaufnahme gemäß eines Aufnahmeplans (Sequence) oder etc. etc. pp.

Beispiele von FITS-Headern, die meine Aufnahme-Software geschrieben hat, habe ich nach unten verschoben. Einen Vergleich zeigt folgende Tabelle:

Tabelle 1: FITS-Header und Aufnahme-Software

Metadatum FITS Header APT SharpCap N.I.N.A.
Name der Aufnahmesoftware SWCREATE Konstante Konstante Konstante
Name des Beobachters OBSERVER aus Settings aus Settings Nein
Name des Beobachtungsobjekts OBJECT Eingabe Ja, falls angegeben “Snapshot” oder Target aus Sequence
Ort der Beobachtung SITELAT, SITELONG Eingabe Nein, aber OBSLAT, OBSLOG Eingabe
Datum der Beobachtung
The UTC date and time at the start of the exposure		 DATE-OBS System Clock System Clock System Clock
Name der Kamera INSTRUME Eingabe Eingabe Eingabe
Pixel Size XPICSZ, YPICSZ Eingabe Eingabe Eingabe
Belichtungszeit EXPTIME Eingabe Eingabe Eingabe
Gain/ISO GAIN Eingabe Eingabe Eingabe
Name des Teleskops bzw. des Fotoobjektivs TELESCOP Eingabe aus Settings Eingabe
Brennweite FOCALLEN Eingabe Nein Eingabe
Equinoktikum EQUINOX Nein aus ASCOM-Teleskop aus ASCOM-Teleskop
Rektaszension OBJCTRA aus ASCOM-Teleskop aus ASCOM-Teleskop aus ASCOM-Teleskop
Deklination OBJCTDEC aus ASCOM-Teleskop aus ASCOM-Teleskop aus ASCOM-Teleskop

Je nachdem, wie die verwendete Montierung mithilfe der Aufnahme-Software auf das Beobachtungsobjekt gefahren wurde (z.B. GOTO), kennt die Aufnahme-Software die Himmelskoordinaten des Beobachtungsobjekts (im Pointing-Modell des ASCOM-Treibers der Montierung) und schreibt diese ebenfalls in den FITS Header als:

  • OBJCTRA
  • OBJCTDEC

Siehe dazu auch: https://forums.sharpcap.co.uk/viewtopic.php?t=734

Dabei bedeutet C2A  “Computer aided Astronomy” und ist ein Planetariumsprogramm (Link: http://www.astrosurf.com/c2a/english/)

Der FITS Header nach dem Stacken

Es gibt ja verschiedene Software, die man zum Stacken verwenden kann. Dabei gibt es einige Unterschiede beim eigentlichen Stacken (Kalibrieren, Registrieren und Stacken), aber auch Unterschiede bei der Behandlung der FITS Header.

Als Stacking-Software habe im Einsatz:

In das Summenbild übernimmt diese Stacking-Software aber nicht 100% aller möglichen und sinnvollen Werte:

Tabelle 2: FITS Header und Stacking-Software

Metadatum FITS Header DSS SiriL 1.2.0
Name der Software SWCREATE nein, stattdessen SOFTWARE nein, stattdessen PROGRAM
Name des Beobachters OBSERVER übernimmt aus erstem Bild
(Text aber nur bis zum ersten Blank)		 übernimmt aus erstem Bild
Name des Beobachtungsobjekts OBJECT nein übernimmt
Ort der Beobachtung SITELAT, SITELONG übernimmt nicht unterstützt
Datum der Beobachtung
The UTC date and time at the start of the exposure		 DATE-OBS nein übernimmt aus erstem Bild
Name der Kamera INSTRUME übernimmt übernimmt
Pixel Size XPICSZ, YPICSZ nein übernimmt
Anzahl Einzelbilder STACKCNT nein Anzahl gestackter Einzelbilder
Gesamte Belichtungszeit EXPTIME Summe aus den Einzelbilder Summe aus den Einzelbildern
Gain/ISO GAIN übernimmt übernimmt
Name des Teleskops bzw. des Fotoobjektivs TELESCOP übernimmt übernimmt
Brennweite FOCALLEN nein übernimmt
Equinoktikum EQUINOX nein übernimmt
Rektaszension (hms) OBJCTRA übernimmt übernimmt
Deklination (dms) OBJCTDEC übernimmt übernimmt

Der FITS Header nach dem Plate Solving (WCS Koordinaten)

Mit dem Plate Solving werden ja die Koordinaten (Himmelskoordinaten Rektaszension und Deklination) der  Bildmitte ermittelt sowie Drehwinkel und Abbildungsmaßstab.

Plate Solving wird einerseits eingesetzt, um das Teleskop auf das gewünschte Beobachtungsobjekt zu positionieren (also vor der Aufnahme); ggf. mit SYNC und GOTO  etc. Andererseits können auch nach der Aufnahme diese durch Plate Solving ermittelten Daten wichtig sein z.B. für eine fotometrische Farb-Kalibrierung oder auch ganz einfach für Annotationen.

Als Platesolving-Software auch ich im Einsatz:

Nach dem Platesolving hat man also einen Zusammenhang zwischen Bildkoordinaten (x,y in Pixeln) und astronomischen Koordinaten (Rektaszension, Deklination und genaugenommen noch Equinox). Diese astonomischen Koordinaten sind eine praktische Ausprägung des sog. “World Coordinate System (WCS)”.

Falls das “geplatesolvte” Astro-Foto im FITS-Foramat ist, werden die WCS Koordinaten durch folgende Einträge im FITS Header spezifiziert:

  • CTYPE1 = ‘RA—TAN’   (äquatoriale Koordinate ‘RA” in tangentialer (gnomonischer) Projektion)
  • CTYPE2 = ‘DEC–TAN’  (äquatoriale Koordinate “DEC” in tangentialer (gnomonischer) Projektion)
  • CRPIX1 = 2071   (x-Koordinate des Referenzpixels, normalerweise die Bildmitte)
  • CRPIX2 = 1411    (y-Koordinate des Referenzpixels, normalerweise die Bildmitte)
  • CRVAL1 =    WCS-Koordinate1 des Referenzpixels (normalerweise Rektaszension der Bildmitte)
  • CRVAL2 =    WCS-Koordinate2 des Referenzpixels (normalerweise Deklination der Bildmitte)
  • CDELT1 =     Pixelgröße in x-Richtung in Grad dezimal
  • CDELT2 =    Pixelgröße in y-Richtung in Grad dezimal

Häufig werden CRVAL1 und CRVAL2 auch weggelassen. weil diese Information ja schon in anderen KEY-Wörtern vorhanden ist.

Eigentlich könnten CDELT1 und CDELT2 auch weggelassen werden, weil diese Information auch schon an anerer Stelle steht, aber SiriL braucht diese Einträge.

Wenn man Siril zum Platesolven einsetzt, werden alle diese Parameter auch tatsächlich in den FITS-Header geschrieben.

Bei Siril sind solche WCS Koordinaten dann erforderlich, um ein Koordinatennetz und/oder Annotationen (Namen von DSOs und/oder Sternen) automatisch anzuzeigen.

SiriL schreibt auch  PLTSOLVD=T (nicht F) in den FITS-Header, was aber für die Funktion “Annotation” nicht erforderlich ist.

Post Processing mit WCS Koordinaten

Falls im FITS Header gültige WCS Koordinaten gefunden werden, unterstützt bestimmte Software (z.B. Siril) weitere Funktionen:

  • Photometric Color Calibration
  • Annotations: Star names, DSO names
  • Äquatoriale Koordinatenlinien: Rektaszension, Deklination

Beispiele von FITS-Headern durch Aufnhame-Software

Beispiel: FITS-Header mit APT

SIMPLE = T / file does conform to FITS standard
BITPIX = 16 / number of bits per data pixel
NAXIS = 2 / number of data axes
NAXIS1 = 4144 / length of data axis 1
NAXIS2 = 2822 / length of data axis 2
EXTEND = T / FITS dataset may contain extensions
COMMENT FITS (Flexible Image Transport System) format is defined in ‘Astronomy
COMMENT and Astrophysics’, volume 376, page 359; bibcode: 2001A&A…376..359H
BZERO = 32768 / offset data range to that of unsigned short
BSCALE = 1 / default scaling factor
OBJECT = ‘M57 ‘ / The name of Object Imaged
TELESCOP= ‘EQMOD HEQ5/6’ / The Telescope used
INSTRUME= ‘ZWO ASI294MC Pro’ / The model Camera used
OBSERVER= ‘Dietrich Kracht’ / The name of the Observer
DATE-OBS= ‘2022-09-12T09:51:36’ / The UTC date and time at the start of the expo
HIERARCH CAMERA-DATE-OBS = ‘2022-09-12T09:51:36’ / The UTC date and time at the
EXPTIME = 0.002 / The total exposure time in seconds
CCD-TEMP= 23.5 / Temperature of CCD when exposure taken
XPIXSZ = 4.63 / Pixel width in microns (after binning)
YPIXSZ = 4.63 / Pixel height in microns (after binning)
XBINNING= 1 / Binning factor in width
YBINNING= 1 / Binning factor in height
XORGSUBF= 0 / Sub frame X position
YORGSUBF= 0 / Sub frame Y position
EGAIN = 1.00224268436432 / Electronic gain in e-/ADU
FOCALLEN= 50 / Focal Length of the Telescope in mm
JD = 2459834.91083333 / Julian Date
SWCREATE= ‘Astro Photography Tool – APT v.4.01’ / Imaging software
SBSTDVER= ‘SBFITSEXT Version 1.0’ / Standard version
SNAPSHOT= 1 / Number of images combined
SET-TEMP= 21. / The setpoint of the cooling in C
IMAGETYP= ‘Light Frame’ / The type of image
OBJCTRA = ’05 12 43′ / The Right Ascension of the center of the image
OBJCTDEC= ‘-03 29 58’ / The Declination of the center of the image
OBJCTALT= ‘8.2047 ‘ / Nominal altitude of center of image
OBJCTAZ = ‘252.5824’ / Nominal azimuth of center of image
AIRMASS = 7.00717254857843 / Air Mass value
SITELAT = ‘+53 00 00.000’ / The site Latitude
SITELONG= ‘+10 00 00.000’ / The site Longitude
GAIN = 120 / The gain set (if supported)
OFFSET = 8 / The offset/black level set (if supported)
BAYERPAT= ‘RGGB ‘ / The Bayer color pattern
END

Beispiel: FITS-Header mit SharpCap

SIMPLE = T / C# FITS: 09/12/2022 12:18:27
BITPIX = 16
NAXIS = 2 / Dimensionality
NAXIS1 = 4144
NAXIS2 = 2822
XBAYROFF= 0 /
YBAYROFF= 0 /
FRAMETYP= ‘Light ‘ /
SWCREATE= ‘SharpCap v4.0.9268.0, 32 bit’ /
DATE-OBS= ‘2022-09-12T10:18:27.3673948’ / System Clock:Est. Frame Start
DATE-AVG= ‘2022-09-12T10:18:27.3682758’ / System Clock:Est. Frame Mid Point
BAYOFFY = 0 /
FOCUSPOS= 5000 /
GAIN = 120 /
BLKLEVEL= 8 /
DATE-END= ‘2022-09-12T10:18:27.3691567’ / System Clock:Est. Frame End
BAYOFFX = 0 /
COLORTYP= ‘RGGB ‘ / Try GBRG if image upside down or R/B swapped.
FOCTEMP = 0 / CELCIUS
CCD-TEMP= 27.1 / C
YBINNING= 1 /
XBINNING= 1 /
YPIXSZ = 4.63 / microns, includes binning if any
XPIXSZ = 4.63 / microns, includes binning if any
EXPTIME = 0.001762 / seconds
ROWORDER= ‘TOP-DOWN’ /
BSCALE = 1 /
BZERO = 32768 /
EXTEND = T / Extensions are permitted
BAYERPAT= ‘RGGB ‘ / Try GBRG if image upside down or R/B swapped.
INSTRUME= ‘ZWO ASI294MC Pro’ /
END

Beispiel: FITS-Header mit N.I.N.A.

SIMPLE = T / C# FITS
BITPIX = 16 /
NAXIS = 2 / Dimensionality
NAXIS1 = 4144 /
NAXIS2 = 2822 /
BZERO = 32768 /
EXTEND = T / Extensions are permitted
IMAGETYP= ‘LIGHT’ / Type of exposure
EXPOSURE= 1.0 / [s] Exposure duration
EXPTIME = 1.0 / [s] Exposure duration
DATE-LOC= ‘2022-09-12T13:01:51.863’ / Time of observation (local)
DATE-OBS= ‘2022-09-12T11:01:51.863’ / Time of observation (UTC)
XBINNING= 1 / X axis binning factor
YBINNING= 1 / Y axis binning factor
GAIN = 120 / Sensor gain
OFFSET = 8 / Sensor gain offset
EGAIN = 1.00224268436432 / [e-/ADU] Electrons per A/D unit
XPIXSZ = 4.63 / [um] Pixel X axis size
YPIXSZ = 4.63 / [um] Pixel Y axis size
INSTRUME= ‘ZWO ASI294MC Pro’ / Imaging instrument name
SET-TEMP= -10.0 / [degC] CCD temperature setpoint
CCD-TEMP= 28.9 / [degC] CCD temperature
BAYERPAT= ‘RGGB’ / Sensor Bayer pattern
XBAYROFF= 0 / Bayer pattern X axis offset
YBAYROFF= 0 / Bayer pattern Y axis offset
USBLIMIT= 40 / Camera-specific USB setting
TELESCOP= ‘Canon’ / Name of telescope
FOCALLEN= 50.0 / [mm] Focal length
ROWORDER= ‘TOP-DOWN’ / FITS Image Orientation
EQUINOX = 2000.0 / Equinox of celestial coordinate system
SWCREATE= ‘N.I.N.A. 2.0.0.9001 ‘ / Software that created this file
END

Astronomie: Smart Telescopes

dkracht

Gehört zu: Teleskope
Siehe auch: Orion ED80/600, ZWO ASI294
Stand: 11.9.2023

Smart Telescopes

Man spricht ja seit einiger Zeit von EAA (= Electronically Assisted Astronomy). Elektronik bei der Astrofotografie zu verwenden ist ja eigentlich eine völlig normale Sache, die wir seit über 20 Jahren verwenden: Digitale Kameras auf Computer-gesteuerten Montierungen (ASCOM, Goto, Platesolving,…), Stacking, Post-Processing etc.  Die Hersteller, die heute von EAA sprechen, meinen damit aber ihre neuen Produkte, die besondes einfach zu benutzen sind und damit eine viel größere Zielgrauppe ansprechen als die sehr spezialisierten klassischen Amateur-Astronomen mit ihrem teueren und komplizierten Gerätschaften.

Typische Produkte sind z.B.:

DWARF Lab AP24/100

ZWO Seestar S50

Unistellar: EvScope2

…

Typische Merkmale eines “Smart Teleskop” sind:

Kann sehr schnell (und damit quasi spontan) zum Einsatz kommen

Ist klein und leicht (“kompakt”) und kann somit gut auf Reisen mitgenommen werden

Ergebnisse können schnell “sofort” bestrachtet werden (Live Stacking) – also für Laien, Journalisten etc.

Ganz einfache Bedienung: Smartphone, Akku bzw. Batterien, WiFi

Automatisches (motorisiertes) Positionieren auf das gewünschte Objekt: Goto mit Objektkatalog und Platesolving

Motorisierte Alt-Az-Montierung mit Alt-Az-Nachführung

Autofokus (Motorfokus)

 

Das DWARF Lab 2

Preis: 600,00 Euro bei https://www.astroshop.de/teleskope/dwarflab-teleskop-ap-24-100-dwarf-ii-deluxe-edition/p,77491

Gewicht: 1,2 kg

Montierung: Alt-Az motorisch, Goto, Nachführung

Optik: Zwei Linsen (Tele & Weitwinkel)

Brennweite: f=100mm

Öffnung: D=24mm

Sensor: Sony IMX415 CMOS ohne Kühlung

Sensorgröße: 5.6 x 3.2 mm  mit 1932 x 1096 Pixel

Pixelgröße: 2,9µ ( bei 2×2 Binning) bzw. 1.45µ (bei 1×1 Binning)

Field of View: 3° mit der Tele-Linse, 50° mit der Weitwinkel-Linse

Belichtungszeiten: max. 15 Sekunden

Gain: ?

Fokus: AF, MF?

Stacking: Live Stacking  (kann auch nach der Aufnahme “normal” auf dem PC gemacht werden)

Dark Frames

Transfer der Bilddateien auf PC:  USB Mass Storage oder SD-Karte (alle Einzelfotos können übertragen werden)

Tau-Beschlag: ???

Filter: ???

Das ZWO SeeStar S50

Preis: 699,– bei https://www.apm-telescopes.net/de/zwo-seestar-s50-smart-teleskop-2

Gewicht: 3 kg

Montierung: Alt-Az motorisch, Goto, Nachführung (Field Rotation?)

Optik: apochromatisches Triplett

Brennweite: f=250mm

Öffnung: D=50mm

Sensor: Sony IMX462 CMOS ohne Kühlung

Sensorgröße: 1080 x 1920 Pixel  (5,57 x 3,13 mm)

Pixelgröße: 2.9 µ

Field of View:  1,3° x 0,7°

Belichtungszeiten:  10 Sekunden  (fest eingestellt)

Gain: ?

Fokus: AF nicht perfekt, MF soll kommen

Stacking: nicht perfekt

Dark Frames: Jedes Mal

Transfer der Bilddateien auf PC:  USB or WiFi  Storage Drive

Heizung gegen Tau-Beschlag

Filter: UV/IR Cut und sog. Light Pollution, was in Wirklichkeit ein Dual Narrow Band (Ha 20 nm, OIII 30nm) ist (homofokal)

 

Mathematik: Äquivalenzrelation

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Gruppentheorie
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress

Stand: 10.09.2023

Eine Äquivalenzrelation

Bei meiner Beschäftigung mit der Gruppentheorie bin ich auf das klassische Thema Äquivalenzklassen gestoßen.

Eine Äquivalenzrelation in der Mathematik ist ersteinmal eine “Relation”. Dann soll diese Relation inetwa die Eigenschaften haben, die wir von der klassischen Äquivalenz her kennen: Gleichheit oder Ungleichheit.

Allgemein: Was ist eine Relation?

Auf einer Menge M können wir eine Relation R einfach definieren als eine Teilmenge der geordneten Paare. Also

\( R \subseteq M \times M \\\)

So eine Relation wird dann Äquivalenzrelation genannt, wenn sie noch zusätzlich drei wichtige von der Gleichheitsrelation bekannten Eingenschaften besitzt: reflexiv, symmetrisch, transitiv.

Reflexiv: \( (a,a) \in R \text{ für alle } a \in M \\\)

Symmetrisch:  \( \text{Wenn } (a,b) \in R \text{ dann ist auch } (b,a) \in R \\\)

Transitiv: \( \text{Wenn } (a,b) \in R \text{ und } (b,c) \in R \text{ dann ist auch } (a,c) \in R \\\)

Wenn es aus dem Kontext klar ist, welche Relation gemeint ist, schreibt man auch einfach: \( a \sim b\text{  für } (a,b) \in R \)

Äquivalenzklassen

Wenn ich eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge M habe, kann ich damit zu jedem Element m ∈ M eine Teilmenge von M definieren:

\( [m]_R =  \{ x \in M \,|\, (m,x) \in R \} \\\)

Diese Teilmenge nennt man Äquivalenzklasse von m (bezüglich der Relation R auf M). Wenn man zwei Äquvalenzklassen betrachtet, sind diese entweder identisch oder disjunkt.
Da jedes Element der Menge M auch in einer (genau einer) Äquivalenzklasse vorkommt, bilden die Äquivalenzklassen also eine (disjunkte) Partition von M.

Faktor-Mengen

Wenn wir die Menge der Äquivalenzklassen betrachten ist aus unserer ursprünglichen Relation dort die Gleichheitsrelation geworden.
Die Menge der Äquivalenzklassen zu einer Relation R über M bezeichnet man auch als Faktor-Menge oder Quotienten-Menge und schreibt:

\( M/R = \{ [m]_R \,|\,  m \in M \} \\ \)

Beispiele von Konstruktionen mit Hilfe von Faktormengen

Generell kann man mit diesem Mechanismus viele interessante mathematische Gebilde konstruieren…

Die Menge der ganzen Zahlen: \( \mathbb{Z} = (\mathbb{N}^2 \times \mathbb{N}^2) / R_1 \)
Wobei die Relation R1 definiert wird als: (n1, n2) ∼ (m1, m2) genau dann wenn n2 + m1 = m2 + n1

Die Menge der rationalen Zahlen: \( \mathbb{Q} = (\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2) / R_2 \)
Wobei die Relation R2 definiert wir als: (n1, n2) ∼ (m1, m2) genau dann wenn n2 · m1 = m2 · n1

Äquivalenzklassen in der Gruppentheorie

In der Gruppentheorie kann man mittels einer Untergruppe H einer Gruppe G sog.  “Cosets” zu jedem Element g aus G bilden:

\(  gN = \{ x \in G \, | \, \exists h \in H \text{ with } x = g \cdot h \} \\\)

Diese Cosets (deutsch: Nebenmengen) bilden eine disjunkte Überdeckung der Gruppe G.

Ich kann mir auch ganz einfach eine Äquivalenzrelation R definieren, die diese gleichen Nebenmengen als Äquivalenzklassen erzeugt. Dazu muss ich nur definieren, wann zwei Elemente x und y aus G  zueingabder in Relation stehen sollen…

Ich versuche es einmal mit: \( R = \{ (x,y) \, | \, \exists h \in H : h\cdot x = h \cdot y \} \\ \)

Ist das wirklich eine Äquivalenzrelation (1) und erzeugt sie tatsächlich die gewünschen Äquivalenzklassen (2)?

Ad (1): Als Äquivalenzrelation wäre zu überprüfen:

Reflexivität; d.h. ist (x,x) immer in R? Offensichtlich stimmt das.

Symmetrie: d.h. wenn (x,y) in R liegt, liegt dann auch (y,x) in R?

Wenn demnach (x,y) in R liegt, existiert ein h in H sodass hx = hy. Dann ist mit dem gleichen h aus H auch hy = hx. Also ist R symmetrisch.

Transitivität:

Wenn (x.y) und (y,z) in R liegen, so heisst das: Es gibt ein h1 und ein h2 in H sodass gilt: h1 x = h1 y und h2 y = h2 z.
Man könnte es mit h = h1 h2 versuchen, was bei einer kommutativen (abelschen) Gruppe funktionieren würde…

Vertiefung

YouTube-Video:https://www.youtube.com/watch?v=E8gItS9vGKg

YouTupe-Video zum Tensor-Produkt:https://www.youtube.com/watch?v=KnSZBjnd_74

Mathematik: Gruppentheorie

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Standardmodell der Elementarteilchenphysik, Symmetrien, Äquivalenzrelation
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress

Stand: 30.8.2023

Was ist eine Gruppe?

Bei meiner Beschäftigung mit dem Standardmodell der Elementarteilchen bin ich auf das klassische Thema der Gruppentheorie gestoßen.

Eine Gruppe in der Mathematik ist eine Menge mit einer “inneren” Verküpfung (die man gerne mit dem Symbol “+” schreibt) und die bestimmten, unten aufgeführten Axiomen genügt.

Die Verknüpfung

Die Menge bezeichnen wir mal mit M und nehmen dann zwei Elemente aus dieser Menge:

\( a \in M \) und \( b \in M \)

Dann soll die Verknüpfung (geschieben als +) von a und b wieder in der Menge M liegen:

\( a + b \in M \)

Die Axiome

Damit das ganze dann eine Gruppe ist, müssen folgende Axiome gelten:

Assoziativgesetz:

\( (a + b) + c = a + (b + c) \\ \)

Existenz eines “neutralen Elements” e, sodass:

\( \exists e \in M \space \forall a \in M: a + e = a \\\)

Existenz eines inversen Elements zu jedem Element der Gruppe:

\( \forall a \in M \space \exists b \in M : a + b = e \\ \)

Beispiel 1: Die ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) mit der Addition als Verknüpfung bildet eine Gruppe.

Beispiel 2: Die Kleinsche Vierergruppe

Die Kleinsche Vierergruppe (nach Felix Klein 1849-1925) besteht aus vier Elementen, wobei jedes Element mit sich selbst invers ist.

Die Menge schreiben wir als:
V = {e, a, b, c}

Die Verknüpfung definieren wir über eine Verknüpfungstafel (auch Cayley Table genannt):

e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

Wie man leicht sieht, werden mit der so definierten Verknüpfung die Gruppenaxiome erfüllt.

Beispiel 3: Die komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis

In der komplexen Zahlenebene \(\mathbb{C}\) ist er Einheitskreis einfach die Teilmenge S der komplexen Zahlen, die wir definieren als:

\(S = \{ z \in \mathbb{C} \space : \space  |z| = 1  \} \\ \)

Als Verknüpfung auf dieser Menge nehmen wir die Multiplikation der komplexen Zahlen; geometrisch können wir uns das als Drehungen vorstellen.

Damit wird das Ganze eine Gruppe.

Symmetrien und Drehungen

Gruppen kann man also ganz axiomatisch Definieren, wie oben; in der Praxis sind die Elemente einer Gruppe typischerweise die Symmetrien eines Objekts.

Ganz allgemein bilden die Symmetrien eines Objekts eine Gruppe. Eine speziell Art von Symmetrien sind Drehungen.

Die Leute, die sich mit den verschiedenen Arten von “Drehungsgruppen” als Spezialgebiet beschäftigen, bezeichnen die Gruppe der komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis auch gerne als U(1); wobei die “1” bedeuten soll, dass wir nur eine Drehachse haben und das “U” steht für “unitär”, was man gerne zu einer Verknüpfung (Abbildung) sagt, wenn die Länge gleich bleibt (“längentreu”) – allerdings müsste man dann den Begriff “Länge” noch definieren.

Solche Gruppen, die aus Drehungen bestehen, spielen später im Standardmodell der Elementarteilchenphysik eine wichtige Rolle. Wobei eine Drehung auch als sog. “kontinuierliche Symmetrie” bezeichnet wird.

Da solche Drehungen ja “kontinuierlich” (im Gegensatz zu Spiegelungen) um auch beliebig kleine Winkel stattfinden können, kommt man damit auch in das Gebiet der Differentialgeometrie und letztlich zum Begriff der Lie-Gruppen (nach Sophus Lie, 1842-1899).

Vergleiche hierzu auch das YouTube-Video von Josef Gassner: https://www.youtube.com/watch?v=zFhjF6sfY4o

Nur für Mathematiker:
Drehungen im n-dimensionalen komplexen Raum sind lineare Abbildungen und damit als eine spezielle Art von nxn-Matrizen darstellbar.
\(U(n) = \{ U \in \text{ nxn Matrix } | \space U^\dagger U = I \} \)
Die nxn-Matrizen werden auch “General Linear Group” genannt und man schreibt sie als: \(GL(n,\mathbb{C}) \), wobei man zusätzlich fordert: det(U)>0 damit jede Matrix U invertierbar ist und so \(GL(n,\mathbb{C}) \) eine Gruppe ist.

Direktes Produkt von Gruppen

Wenn wir zwei Gruppen G und H haben, können wir das sog. “Direkte Produkt” dieser zwei Gruppen bilden, indem wir von den Mengen das cartesische Produkt \(G \times H\) nehmen und eine Verknüpfung auf diesem cartesischen Produkt komponentenweise definieren.
Wenn wir die Verknüpfungen mit dem Zeichen “+” schreiben, wäre das also:

\((g_1,h_1) + (g_2,h_2) = (g_1+g_2,h_1+h_2) \text{ wobei } g_1, g_2 \in G \text{ und } h_1,h_2 \in H\\\)

Wobei uns klar ist, dass das Symbol “+” hier für drei verschiedene Verknüpfungen benutzt wird.
Die Menge \(G \times H\) ausgestattet mit der so definierten Verknüpfung bezeichnet man als “Direktes Produkt” der Gruppen G und H und schreibt das als \(G \oplus H\).