Mathematik: Matrizenrechnung – Vektorraum

12. February 202120. February 2021 dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Lineare Algebra
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Matrizen als Lineare Abbildungen

Jede (nxm)-Matrix ist per Matrixmultipikation eine lineare Abbildung von $\mathbb{R}^m$ nach $\mathbb{R}^n$

Quelle: https://www.mathematik.de/algebra/74-erste-hilfe/matrizen/2429-lineare-abbildungen

Lineare Abbildungen als Matrizen

Eine Lineare Abbildung kann eindeutig beschrieben werden durch die Werte auf die die Basis-Vektoren einer Basis abgebildet (transformiert) werden.

Beispielsweise heisst das im Vektorraum $\mathbb{R}^2$ mit dem kanonischen Koordinatensystem und den Basisvektoren $ \hat{i} $ und $ \hat{j} $ folgendes:

Wenn wir einen Vektor $ \vec{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \end{array} \right] = x \hat{i} + y\hat{j} $ betrachten, so wirkt eine Lineare Transformation L wie folgt:

$ L(\vec{v}) = x L(\hat{i}) + y L(\hat{j} ) $

Wenn wir also die transformierten Basisvektoren $ L(\hat{i}) $ und $ L(\hat{j}) $ kennen, ist damit die Lineare Transformation L vollständig festgelegt.

Diese transformierten Basis-Vektoren können im verwendeten Koordinatensystem als Matrix schreiben.

Wenn bei unserer Linearen Transformation beispielsweise $ L(\hat{i}) = \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \end{array} \right] $ und $ L(\hat{j}) = \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \end{array} \right] $ wäre, bekämen wir eine Matrix:

$ \left[ L(\hat{i}) | L(\hat{j}) \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right] $

Wir “konkatenieren” also die transformierten Basis-Vektoren vertikal als Spalten.
Die Lineare Transformation kann im benutzten Koordinatensystem als Matrixmultiplikation aufgefasst werden:

$\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\\ y \end{array} \right] = x \left[ \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \end{array} \right] + y \left[ \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3x+2y \\\ -2x+1y \end{array} \right] \\$

Völlig analog werden auch Lineare Transformationen in drei oder mehr (endlichen) Dimensionen behandelt.

Eigenschaften von Matrizen

Viele der Überlegungen, die wir mit Linearen Abblidungen vorgenommen haben, können wir also gleichermaßen auf Matrizen übertragen.

Sei also A die (nxn)-Matrix zur Linearen Abblidung L von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W (beide über dem gleichen Körper K)

$ L: V \to W \\$

So haben wir beispielsweise zu L im Falle dim(V) = dim(W) = 3 eine (3×3)-Matrix A:

$\Large A = \left( \begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \\$

Das Bild einer Matrix

Das Bild (engl. image) der Matrix A ist die Menge:

$ im(A) =\{ y \in W \,| \,\exists x \in V \, : \, Ax = y \} \\$

im(A) ist wiederum ein Untervektorraum von W.

Der Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren der Matrix.
Bei einer quadratischen $(n \times n)$ -Matrix bedeutet dies, er ist höchstens $n$ .

Rang(A) = dim(im(A))

Der Kern einer Matrix

Der Kern der Matrix A ist die Menge der Vektoren, die auf den Null-Vektor abgebildet werden:

$ ker(A) =\{ x \in V \,| \, Ax = 0 \} \\$

ker(A) ist wiederum ein Untervektorraum von V.

Mit anderen Worten: Der Kern von A ist also die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems Ax=0

Die Determinante einer Matrix

Bei einer quadratischen $(n \times n)$ -Matrix ist die Determinante genau dann 0 ist, wenn ihr Rang der Matrix kleiner $n$ ist.

Physik: Arbeit, Energie und Wirkung

26. January 202126. February 2023 dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Linienelement, Lagrange, Newton

Stand: 25.02.2023

Die physikalische Größen Arbeit, Energie und Wirkung

Diese physikalischen Größen kennen wir in der Mechanik. Später in der Thermodynamik (Wärmelehre) und in der Quantenmechanik werden wir einiges davon gebrauchen.

Die physikalische Größe “Arbeit”

Arbeit, so haben wir in der Schule gelernt, ist Kraft mal Weg.

Das übliche Formelzeichen für Arbeit ist W (work) und die SI-Einheit das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 kg m²/s².

$ W = F \cdot s \\ $

Gemeint ist immer die Kraftkomponente in Richtung des Weges. Genau genommen also das Skalarprodukt der Vektoren:

$ W = \vec{F} \cdot \vec{s} = || F || \cdot ||s|| \cdot \cos(\angle \left( \vec{F}, \vec{s} \right)) \\ $

Wenn der Weg nicht geradeaus ist, sondern entlang einer Kurve von s₁ nach s₂, müssen wir entlang dieser Kurve integrieren.

$ \Large W = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s} \\ $

Das ist analog zur bereits besprochenen Länge so einer Kurve im Raum. Das hatten wir ja schon (siehe: Linienelement) erklärt:
Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rⁿ und definieren als Länge L der Kurve α:

$ L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ $

Historische gesehen, war diese Definition der physikalischen Größe “Arbeit” ursprünglich umstritten: Decartes wollte Arbeit als Kraft mal Zeit definieren, aber die Definition als Kraft mal Weg von Leibniz hat sich durchgesetzt.

Arbeit kann in verschiedener Weise eingesetzt werden z.B. als Arbeit zur Bescheunigung eines Körpers oder als Arbeit zur Ortsveränderung in einem Kraftfeld oder …

Die physikalische Größe “Energie”

Die Energie in einem mechanischen System kann in Arbeit umgesetzt werden, bedeutet also eine Art “Arbeitsfähigkeit”…

Kinetische Energie

Die Kinetische Energie nennt man auch “Bewegungsenergie”, weil sie mit der Geschwindigkeit eines Massepunkts zusammenhängt.
Wenn ich einen Massepunkt von einer Anfangsgeschwindigkeit v=v₀ (in einem Inertialsystem gemessen) durch Einwirkung einer konstanten Kraft (Größe und Richtung konstant) auf eine Endgeschwindigkeit v=v₁ bringe, habe ich eine Arbeit geleistet, die nun in dem Massepunkt als sog. Kinetische Energie steckt.

Die Kraft war: $ F = m \cdot a $

Der Weg war: $ s = \frac{1}{2} a t^2 $

Damit ist die geleistete Arbeit:

$ W = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot a^2 t^2 \\ $

Wenn man nun einsetzt: v = a t erhält man:

$ W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ $

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Krafteinwirkung als “Kinetische Energie” in dem schneller bewegten Massepunkt. Beispiel: Eine geworfene Bowlingkugel enthält Kinetische Energie, die wir benutzen, um die Pins am Ende der Bahn umzustoßen.

Potentielle Energie

Die Potentielle Energie nennt man auch “Energie der Lage”. Damit ein Massepunkt seine Lage verändert, brauchen wir Kräfte, die auf den Massepunkt einwirken; denn ohne solche Kräfte verharrt der Massepunkt in Ruhe. Wenn an jedem Ort im Raum (Ortsvektor r) eine Kraft wirkt, sprechen wir von einem Kraftfeld F(r).

Die Frage ist nun, welche Arbeit (gegen dieses Kraftfeld) geleistet werden muss, um einen Massepunkt m von einem Punkt r₁ zu einem Punkt r₂ zu verschieben.
Wir nehmen dazu eine (glatte) Kurve α, die von r₁ nach r₂ führt; beispielsweise parametrisiert als α: [0,1] -> Rⁿ mit α(0) = r₁ und α(1) = r₂.

Die geleistete Arbeit ist dann ja Kraft mal Weg, aufsummiert über diese Kurve – als Integral:

$ \Large W_\alpha = \int_0^1 \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r} \\\ $

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Ortsveränderung als “Potentielle Energie” in der neuen Lage des Massepunkts im Kraftfeld. Beispiel: Ein Stausee enthält viel Potentielle Energie, die man benutzen kann, um Strom (elektrische Energie) zu erzeugen.

Wenn diese Arbeit für alle Wege, die von r₁ nach r₂ führen, die gleiche ist, sprechen wir von einem konservativen Kraftfeld und können die physikalische Größe Potenzial definieren. Ein Beispiel für so ein konservatives Kraftfeld ist die Gravitation.

Die physikalische Größe “Wirkung”

Die physikalische Größe “Wirkung” (englisch: action) ist definiert als Arbeit, die entlang eines Weges in einer Zeitspanne geleistet wird.

Als Wirkung haben wir:

$ \Large S = \int_a^b (E_{kin} – E_{pot}) dt $

Physik: Newtonsche Mechanik

19. January 20212. June 2024 dkracht

Gehört zu: Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch: Gravitation, Potential, Algebren, Lagrange-Formalismus, Keplersche Gesetze, Phasenraum
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Stand: 02.06.2024 (Schrödinger, Lagrange)

Newtons Gesetze

In der Newtonschen Mechanik wird “alles” durch die Wirkung von Kräften erklärt.

Aus der Schule kennen wir: Kraft = Masse mal Beschleunigung

Das bedeutet, dass wenn wir an einer Masse eine beschleunigte Bewegung messen, so erklären wir diese beschleunigte Bewegung als Wirkung einer Kraft.

Im SI-System ist dementsprechend die Maßeinheit für die physikalische Größe “Kraft” das Newton (1 Newton= 1 N = 1 kg m /s²).

Newton formulierte 1687 die bekannten drei “Gesetze”:

Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. “Trägheitsgesetz”
Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: $ \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}} $ “Aktionsprinzip”
Kraft gleich Gegenkraft. “Actio gleich Reactio”

Diese Gesetze bilden das Fundament der Klassischen Mechanik.

Das obige Newtonsche Aktionsprinzip wird auch Impulssatz genannt, weil der Impuls $\vec{p}=m \cdot \vec{v}$ ist; also
$ \vec{F} = \dot{\vec{p}} $

Diese Newtonsche Mechnik arbeitet gern mit Vektoren und Cartesischen Koordinaten. Bei anderen Koordinatensystemen (z.B. Polar, Sphärisch) werden diese Newtonschen Gleichungen schnell “sperrig”. Da versucht die Lagrange-Mechanik einen anderen Ansatz.

Intertialsysteme

Diese drei Newtonschen Gesetze (auch Axiome genannt) gelten in sog. Inertialsystemen, das sind Bezugssysteme, die sich gradlining mit gleichbleibender Geschwindigkeit gegeneinander bewegen.
Besser definieren wir, dass ein Intertialsystem genau ein Bezugssystem ist, in dem diese drei Newtonschen Gesetze gelten. Alle gleichförmig (auch “ruhende”) und natürlich gradlinig dazu bewegten Bezugssysteme sind dann auch Intertialsysteme.

Der so definierte Kraftbegriff gilt relativ zu einem benutzten Bezugssystem. Da die Beschleunigung eines Körpers in allen Inertialsystemen gleich ist, ist auch die Kraft auf diesen Körper in allen Inertialsystemen gleich.
Sobald ich aber ein Nicht-Intertialsystem benutze (z.B. geradlinig beschleunigte oder rotierende Bezugssysteme), muss ich fürchterlich aufpassen. Dort beobachte ich Beschleunigungen, die in Inertialsystem gar nicht auftreten und denen man dann auch Kräfte zuordnet, die dann aber Scheinkräfte (Trägheitskräfte) genannt werden.
Beispiel 1: (Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem): Andruck bei Bescheunigung im Auto auch bei Geradeausfahrt.
Beispiel 2: (Rotierendes Bezugsystem): Zentrifugalkraft, Corioliskraft.

Bewegungsgleichungen

Man möchte ja die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems (die Bewegung eines Teilchens) unter Einwirkung äußerer Einflüsse (z.B. eines Kraftfelds) beschreiben. Im Allgemeinen sucht man also:

Ortsvektor in Abhängigkeit von der Zeit: $ \vec{s}(t) $
Geschwindigkeitsvektor in Abängigkeit von der Zeit: $ \vec{v}(t) $

Wobei gegeben ist ein Kraftfeld: $ F(r,t) $

Man findet diese beiden Funktionen als Lösung von sog. Bewegungsgleichungen, die z.B. diese äußeren Einflüsse (z.B. das Kraftfeld) beschreiben. Ausgangspunkt ist dabei immer das Newtonsche Gesetz (s.o.):

$ \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}} $

Nur bei ganz kleinen Teilchen ist die Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung) gefragt.

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

$ F = G \frac{m \cdot M}{r^2} $

aus dem sich auch die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besonere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Massen erzeugen also eine “Gravitation”, die man auch als Schwerefeld bezeichnet. Dieses ist ein konservatives Kraftfeld und kann demzufolge auch durch sein Potiential beschrieben werden.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante $ \gamma $ wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

$ \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} $

Beispiel: Freier Fall nach Newton

Der äußere Einfluss ist hier die Erdanziehung, die auf eine punktförmige Masse m eine Kraft $ \vec{F} = m \cdot \vec{g} $ ausübt; wobei wir die Gravitationsbeschleunigung $ \vec{g} $ idealisiert mit konstanter Größe und konstanter Richtung annehmen.

Die Fragestellung ist nun, wie sich ein Massepunkt, der zur Zeit t=0 die Anfangsbedingungen s(0)=0 und v(0)=0 erfüllt, in der Zeit weiter bewegt.
Die Bewegungsgleichung hierfür ist: $ m \cdot \dot{\vec{v}}(t) = m \cdot \vec{g} $

Die Lösung dieser Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration. Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergibt sich:

$ \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t $
$ \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 $

Neben der klassischen graphischen Darstellung dieser beiden Funktionen können wir auch einen sog. Phasenraum verwenden.

Computer: Mathematik – Algebren

17. January 202129. February 2024 dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Vektorräume, Quantenfeldtheorie
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Stand: 23.2.2022

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

$ V \times V \to V $

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abbildung wird “Produkt” (auch: Multiplikation) genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also: a · b oder einfach ab. In dieser Schreibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

$ (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z \\ $
$ x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \\ $
$ a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\ $

Dabei sind x, y und z Vektoren aus V und a ein Skalar aus K.

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer $ a \cdot b = b \cdot a $ oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer $ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c $ oder nicht?

Beispiele für Algebren:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine assoziative Algebra.

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine nicht-assoziative Algebra.

Lie-Algebren

Bestimmte Algebren heissen “Lie-Algebren” (nach Sophus Lie 1842-1899), dort wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben und “Lie-Klammer” genannt.
Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten:

[x,x] = 0
[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 (“Jacobi-Identität”)

Beispiel für eine Lie-Algebra:

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine Lie-Algebra.

Kommutator

Im allgemeinen definiert man als Kommutator in Ringen und assoziativen Algebren: [a,b] = ab – ba
So ein Kommutator kann in bestimmten Algebren als Lie-Klammer fungieren. Beispielsweise kann man aus der oben erwähnten Algebra der n x n Matrizen mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation eine Lie-Algebra machen, indem man den Kommutator der Matrixmultiplikation als Lie-Klammer nimmt.

Lie-Algebren in der Physik

Solche Lie-Algebren werden in der Quantenfeldtheorie praktisch gebraucht.

Mathematik: Metrik, Abstand und Geometrie

21. December 202031. May 2024 dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Krümmung, Vektorraum, Wirkung, Schwarzschild-Metrik, Metrik-Tensor
Benutzt: WordPress-Plugin Latex, GeoGebra Grafikrechner

Stand: 19.10.2021

Metrik, Abstand und Geometrie

Auf einer Menge M kann man eine Metrik definieren; dadurch dass man je zwei Punkten einen Abstand (relle Zahl >= Null) zuordnet.

d: M x M -> R

So eine Abstandsfunktion muss drei Axiome erfüllen, um Metrik genannt werden zu dürfen.

Oft ist den Beispielen die Menge M ein Vektorraum z.B. R² oder R³.

Mit Hilfe einer solchen Metrik kann man eine ganze “Geometrie” definieren, also ein Regelwerk für Punkte, Geraden, Winkel, Dreiecke etc. Klassisch ist die Geometrie nach Euklid; andere Geometrien bezeichnet man als “Nicht-Euklidische Geometrie”…

Euklidische Geometrie

In der sog. Euklidischen Geometrie wird der Abstand im zweier Punkte im Raum (also die Metrik) durch den Satz des Pythagoras definiert.

Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwenden wir ein Koordinatensystem z.B. im R³ eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse:

$\Large d((x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b)) = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2 – (z_b-z_a)^2} \\\ $

Dieser Abstand ist auch die Länge der geraden Strecke zwischen den Punkten a und b.

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rⁿ und definieren als Länge L der Kurve α:

$\Large L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ $

Siehe auch: Integralrechnung

Wir können zeigen, dass diese Längendefinition für Kurven mit der Metrik für Punktabstäde im Euklidischen Raum überein stimmt (ohne Beschänkung der Allgemeinheit: t ∈ [0,1]):

$ \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} x_1 + (x_2-x_1) \cdot t \\\ y_1 + (y_2-y_1)\cdot t \\\ z_1 + (z_2-z_1)\cdot t\end{array}\right) \\\ $

Die erste Ableitung ist:

$ \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} (x_2-x_1) \\\ (y_2-y_1) \\\ (z_2-z_1) \end{array}\right) \\\ $

Die Norm der Ableitung ist dann:

$ || \alpha^\prime(t) || = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ $

Wenn wir das in die obige Längendefinition einsetzen erhalten wir:

$ L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \int_0^1 dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ $

Die Länge einer geraden Strecke ist also auch mit der allgemeinen Integral-Formel genauso wie nach Pythagoras oben.

Das Linienelement

Gerne verwendet man auch ein sog. Linienelement um eine Metrik zu definieren. Für die Euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum mit einem Chartesischen Koordinatensystem (x,y,z) haben wir das Linienelement:

$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\ $

Was ergibt:

$ ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \\\ $

Was für eine parametrisierte Kurve s: [a,b] -> R³ bedeutet:

$ \Large \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ $

Was als Kurvenlänge von t=a bis t=b ergibt:

$ \Large L(a,b) = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt \\\ $

Wenn man nun bedenkt dass:

$\Large s^\prime = \frac{ds}{dt} = \left( \begin{array}{c} \frac{dx}{dt} \\\ \frac{dy}{dt} \\\ \frac{dz}{dt} \end{array}\right) \\\ $

ist, ergibt sich die Norm zu:

$ ||\Large s^\prime || = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ $

Eingesetzt ergibt das:

$ \Large L(a,b) = \int_a^b || s^\prime || dt \\\ $

was genau der ersten Definition (oben) entspricht.

Man kann auch zeigen, dass die so definierte Länge einer parametrisierten Kurve bei Umparametrisierungen der Kurve gleich bleibt.

Der Metrik-Tensor

Im allgemeinen Fall drücken wir das Linienelement in einem Koordinatensystem mithilfe des “Metrik-Tensors” $g_{\mu\nu}$ aus:

$ ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \\\ $

Im Falle der Euklidischen Geometrie im R³ ist im Chartesischen Koordinatensystem der metrische Tensor:

$ g = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\$

Ein “Tensor” in diesem Sinne ist nichts anderes als eine (n x n)-Matrix für die man noch einige zusätzliche Regeln hat.

Weiterführende Anmerkungen

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie ART von Einstein, verändert die Anwesenheit von Materie den Raum, was auch “Gravitation” genannt wird.

Wir können das als eine Nicht-Euklidische Metrik verstehen, für die beispielsweise Karl Schwarzschild schon 1916 im vereinfachten Fall einer Kugelmasse (Schwarzes Loch) eine Formel gefunden hat.

Zu Veranschaulichung so einer Nicht-Euklidischen Metrik wird häufig von einer “Krümmung” der Raumzeit gesprochen. Diese “Krümmung” ist aber eigentlich nur eine andere Metrik, trotzdem stellt man sich die Abweichung von der herkömmlichen Euklidischen Metrik gern als “Krümmung” vor,

Da diese “Krümmung” (also Abweichung von der Euklidischen Metrik) aber nicht in eine weitere Dimension, sondern “in sich” d.h. als Stauchung bzw. Streckung erfolgt, würde ich gerne eine solche Abweichung durch ein Verbiegen des Koordinatengitters veranschaulichen. Also durch den optischen Vergleich der Koordinatengitter zweier Metriken.

===> Das Gitter, was ich hier meine, ist ein durch gleiche Abstände in der jeweiligen Metrik gegebenes Gitter – ist also eigentlich kein schlichtes Koordinatengitter, sondern ein Metrik-Gitter…

GeoGebra Gitternetz

Schwarzschild-Metrik

Ich habe zum Thema Schwarzschild-Metrik einen eigenen Artikel geschrieben.

Physik: Krümmung der Raumzeit

19. December 202023. October 2024 dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum, Gravitation, Schwarze Löcher, Metrik, Koordinatensysteme

Krümmung der Raumzeit

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) basiert auf dem Postulat der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung.

Aus diesem Äquivalenzprinzip ergibt sich die Lichtablenkung in Gravitationsfeldern.

Wenn man trotzdem davon ausgehen möchte, dass das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, muss die Gravitation den Raum (besser die Raumzeit) entsprechend krümmen, sodass eine Metrik entsteht bei der der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten nicht unbedingt die Euklidische gerade Linie ist.

Wir wollen hier zunächsteinmal den Begriff der “Krümmung” ganz allgemein diskutieren.

Umgangssprachlich denkt man bei “Krümmung”, dass sich etwas in eine zusätzliche Dimension krümmt (s.u. die vielen Beispiele). Bei der von Einstein postulierten Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit wird aber für diese Krümmung keine 5. Dimension gebraucht. Die vierdimensionale Raumzeit ist nach Einstein “in sich” gekrümmt; d.h. wir haben einen anderen Abstandsbegriff (eine andere Metrik, ein anderes Linienelement).

Krümmung bei Euklidischer Metrik

Unter der Krümmung eines geometrischen Objekts versteht man die Abweichung von einem geraden Verlauf; dazu bedarf es (mindestens) einer weiteren Dimension in die die Krümmung verläuft oder der Begriff “gerade” muss umdefiniert werden. Eine Kurve verläuft “gerade” wenn beim Durchlaufen mit konstanter Geschwindigkeit, keine Beschleunigungen “seitwärts”, sonder höchstens in der Normalen auftreten.

Wir betrachten eine Gerade. Solange sie wirklich geradeaus verläuft ist sie nicht gekrümmt. Wenn sie eine Kurve nach links (oder rechts) macht, haben wir eine Krümmung – und wir brauchen dafür (mindestens) eine zweite Dimension. Die Stärke der Krümmung kann mehr oder weniger sanft oder kräftiger sein. Wir messen die Stärke der Krümmung an einer Stelle durch einen sog. Krümmungskreis. Das ist ein Kreis, der sich in dem betrachteten Punkt am besten an die Kurve anschmiegt. Ein großer Krümmungskreis bedeutet eine kleine Krümmung ein kleiner Krümmungskreis ein starke Krümmung. Der Kehrwert des Radius ist das Maß für die Krümmungsstärke.

Die andere Frage ist, welche geometrischen Objekte sind es, die da “gekrümmt” werden? Im einfachsten Fall ist es eine eindimensionale Linie in einer zweidimensionalen Ebene; also z.B. ein Funktionsgraph oder eine sog. Kurve. Kurven sind in diesem Zusammenhang sehr interessant als Teilmenge eines Vektorraums, die durch eine Abbildung von einem reellen Intervall in den Vektorraum als sog. “parametrisierte” Kurve dargestellt werden kann. Das “Umparametrisieren” ist dann eine Äquivalenzrelation zwischen parametrisierten Kurven. Eine “Kurve” kann dann als Äquivalenzklasse solcher parametrisierten Kurven verstanden werden. Als Repräsentant einer Äquivalenzklasse nimmt man dann gerne eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve.

Wenn wir uns mit Kurven beschäftigen und speziell dann mit der Länge einer Kurve oder der Krümmung von Kurven, haben wir es mit Differentialgeometrie zu tun.
Dazu gibt es eine Reihe von sehr schönen Youtube-Videos:

Was ist eine Kurve: https://youtu.be/SKUjWR9stmA
Umparametrisieren:
Länge einer Kurve https://youtu.be/H4oLS7CO7H8
Krümmung einer ebenen Kurve: https://youtu.be/5oOiXZapNKg
Krümmungskreis: https://youtu.be/4vO8HCK5Hdk

Schritt 1: Krümmung einer Linie in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt ein Funktionsgraph von beispielsweise y = f(x) in der Ebene ist, können wir die Krümmung leicht berechnen:

Für eine zweimal differenzierbare Funktion y = f(x) ergibt sich der Krümmungsradius an einem Punkt x zu:

$ \Large r(x) = \left\vert \frac{(1+(f^\prime(x))^2)^\frac{3}{2}}{f^{\prime\prime}(x)} \right\vert $

Als Beispiel nehmen wir mal eine Parabel f(x) = 0,5 * x²
Dazu haben wir die Ableitungen:
f^‘(x) = x
f^“(x) = 1
Der Krümmungsradius beispielsweise am Punkt x₀ = 0 beträgt dann laut obiger Formel:

$ \Large r(x_0) = \frac{(1+{x_0}^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 1 \\\ $

Und zur Probe nehmen wir noch x=1:

$ \Large r(1) = \frac{(1+1^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 2^\frac{3}{2} = 2 \sqrt{2} $

Dieses Beispiel habe ich entnommen aus https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/kurveneigenschaften-im-ebenen-raum/kruemmung/kruemmungsradius.html
Es wird grafisch veranschaulicht durch:

Schritt 2: Krümmung einer Kurve in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt eine “richtige” Kurve in der Ebene ist, wird die Krümmung anders berechnet.

Als “richtige” Kurve (in der Ebene) betrachten wir von der obigen Parabel das Kurvenstück von x=-1 bis x=1. Als Parametrisierte Kurve, wobei der Parameter t auch von -1 bis 1 laufen möge, (was wir uns z.B. als Zeit vorstellen könnten) sieht das dann so aus:

$ \Large \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} t \\\ \frac{1}{2}t^2 \end{array}\right) \\\ $

Um die Krümmung zu brechnen ermitteln wir zuerst:

$ \Large \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ t \end{array}\right) $

womit dann:

$ \Large ||\alpha^\prime(t)||^2 = 1 + t^2 \\\ $

und mit:

$ \Large \alpha^{\prime\prime}(t) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \end{array}\right) $

ergibt sich:

$ \Large det(\alpha^\prime(t), \alpha^{\prime\prime}(t)) = 1 \\\ $

und damit ergibt sich dann die Krümmung zu:

$ \Large \kappa_\alpha(t) = \frac{1}{(1 + t^2 )^\frac{3}{2}} $

Bei t=0 ist dann die Krümmung:

$ \Large \kappa_\alpha(0) = 1 \\\ $

und zur Probe nehmen wir noch t=1:

$ \Large \kappa_\alpha(1) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\\ $

Weil t=x ist, stimmt das mit den Berechnungen des Krümmungsradius (s.o. Schritt 1) exakt überein.

Schritt 3: Krümmung einer Fläche im Raum

Analog können wir uns gekrümmte Flächen im Raum vorstellen. Hier kann allerdings der Krümmungsradius in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sein. Inetwa so die wir das von einem Gradienten kennen.

Auch in diesem Fall stellen wir uns das ganz klassisch geometrisch vor als Krümmung in eine weitere Dimension.

Krümmung per Nicht-Euklidischer Metrik

In der Allgemenen Relativitätstheorie spricht man auch von “Krümmung” z.B. Krümmung des Raumes oder Krümmung der Raumzeit.

Hier basiert die “Krümmung” nicht auf einer zusätzlichen Dimension, sondern auf einer speziellen Metrik in ein und demselben Raum. Unter “Metrik” versteht man ja eine Vorschrift, die zwei Punkten in dem betreffenden Raum einen Abstand zuordnet. So eine Metrik definiert dann auch automatische die Längen von Linien…

Geodätische Linie

Die Linie, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten bildet, nennt man Geodät oder auch Geodätische LInie. Auf der Erdoberfläche kennen wir das z.B. bei der Seefahrt oder Luftfahrt wenn wir beispielsweise die Flugroute von London nach Los Angeles betrachten:

Das Licht läuft immer auf einer Geodäte, nimmt also die kürzeste Verbindung. Das kann “gekrümmt” aussehen…

Krümmung ohne zusätzliche Dimension

Für eine solche Krümmung benötigen wir aber nicht zwingend eine zusätzliche Dimension. Die Krümmung kann auch “in sich” durch andere Abstandsgesetze (= Metriken) bewirkt werden.
Siehe Schwarzschild-Metrik

Physik: Magnetisches Feld

17. December 202019. December 2020 dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elektrisches Feld, Vektorraum, SI-Einheiten

Das Magnetische Feld

Analogie zum Elektrischen Feld

Schon seit Jahrhunderten kennt man den Kompass, dessen Magnetnadel sich in die Richtung des Magnetfeldes der Erde ausrichtet.

Ein “Magnet” erzeugt ein Magnetfeld. Wenn ich in ein solches Magnetfeld einen kleinen “Probemagneten” einbringe, so übt das magnetische Feld eine magnetische Kraft auf diesn kelinen “Probemagneten” aus…
Dann hätte man in Analogie zum elektrischen Feld:

Magnetische Feldstärke = Magnetische Kraft / Magnetische Probeladung

Magnetfelder können verursacht werden durch:

magnetische Materialien, etwa einen Dauermagneten,
elektrische Ströme, z. B. eine stromdurchflossene Spule oder
zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes.

Die Definition eines magnetischen Feldes $ \vec{B} $ kann man durch folgende Formel erreichen:

$ \vec{F} = q \cdot \vec{v} \times \vec{B} $

Dabei bewegt sich eine elektrische Ladung (q) mit der Geschwindigkeit $ \vec{v} $ und erfährt eine Kraft von $ \vec{F} $, die durch das Magnetfeld $ \vec{B} $ hervorgerufen wird.

Historisch gesehen gibt es den Begriff der “Feldstärke” beim Magnetfeld nicht. Wir haben aber eine Größe “Magnetische Flußdichte”, die soetwas ähnliches ist.

Eine besonders einfache Situation ist ein gerader elektrischer Leiter, der von einem konstanten elektrischen Strom durchflossen wird – das wurde schon von Hans Christian Oersted (1777-1851) untersucht. Für einen Strom der Stärke I durch den Leiter bekommen wir im Abstand r ein Magnetfeld von:

$ \vec{B} = \Large \frac{\mu \cdot I}{2 \pi \cdot r} $

Fragen / Probleme

in welchen Masseinheiten misst man ein Magnetfeld (Tesla, Gauß,…) ?
Eigentlich haben wir nur magnetische Dipole

Die sog. Lorentzkraft – Elektromagnetismus

Auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte elektrische Ladung q wirkt im elektromagnetischen Feld eine Kraft. Für diese sog. Lorentzkraft haben wir die Formel:

$ \vec{F} = q \cdot (\vec{E} + (\vec{v} \times \vec{B})) $

Wo bei E die elektrische Feldstärke und B die magnetische Feldstärke (historisch: Flussdichte) sind.

Und dann gibt es noch einen Dynamo und ein Induktionsgesetz….

Physik: Elektrische Felder – Coulomb

13. December 202021. September 2024 dkracht

Gehört zu: Elektrodynamik
Siehe auch: Gravitation, Magnetisches Feld, Vektoren, SI-System, Niels Bohr
Benutzt: WordPress-Plugin Latex

Stand: 22.08.2021

Ruhendes Elektrisches Feld

In der Elektrostatik werden ruhende und zeitlich unveränderliche Elektrische Felder beschrieben.

Die physikalische Größe elektrische Feldstärke (E) beschreibt die Stärke und Richtung eines elektrischen Feldes, also die Fähigkeit dieses Feldes, Kraft (F) auf Ladungen (q) auszuüben. Sie ist ein Vektor und ist in einem gegebenen Punkt definiert durch:

$ \Large \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \\\ $

Die Maßeinheit der Elektrische Feldstärke ist also Newton / Coulomb, was das Gleiche ist wie V / m.

Bewegtes Elektrisches Feld

Laut Wikipedia ist die klassische Elektrodynamik (auch Elektrizitätslehre) das Teilgebiet der Physik, das sich mit bewegten elektrischen Ladungen und mit zeitlich veränderlichen elektrischen und magnetischen Feldern beschäftigt. Die Elektrostatik als Spezialfall der Elektrodynamik beschäftigt sich mit ruhenden elektrischen Ladungen und ihren Feldern. Die zugrundeliegende Grundkraft der Physik heißt elektromagnetische Wechselwirkung.

Analogie: Gravitationsfeld

Analog müssten wir für das Gravitationsfeld einer Punktmasse M die Gravitationskraft (F) durch die “Probemasse” m dividieren, um die “Gravitationsfeldstärke” g zu erhalten:

$ \Large \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = G \frac{M}{r^2} \\\ $ (in radialer Richtung)

Diese “Gravitationsfeldstärke” wird aus historischen Gründen “Gravitationsbeschleunigung” genannt.

Analogie: Magnetisches Feld

Auch beim Magnetismus stellt man sich ein Kraftfeld vor: das Magnetische Feld…

Elektrostatik: Coulombsches Gesetz

Das Elektrische Feld einer Punktladung q ist:

$ \Large E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \\\ $ (in radialer Richtung)

Daraus ergibt sich das sog. Coulombsche Gesetz für die Anziehungskraft zweier elektrischer Ladungen:

$ \Large F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \\\ $

Bohrsches Atommodell

Siehe: Niels Bohr

Mathematik: Data Science

13. December 202012. October 2022 dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Python

Ein neues Buzzword: Data Science

Öfters habe ich schon Vorlesungen auf dem Youtube-Kanal von Prof. Dr. Weitz von der Hamburger Hochschule für Angewandte Wissenschaften (“HAW” – früher: Fachhochschule Berliner Tor) gehört.

Er arbeitet da mit Computer-Software wie:

MATLAB
Mathematica, was sehr teuer ist. Kann CDF-Dateien erzeugen, die mit einem CDF Player abgespielt werden können
jupyter: Link https://jupyter.org/
SymPy: Link https://www.sympy.org/en/index.html
GeoGebra Link: https://www.geogebra.org/?lang=de
WolframAlpha Link: https://www.wolframalpha.com/
p5.js Link: https://editor.p5js.org/
Anaconda (zum Installieren von Paketen etc.) Link: https://www.anaconda.com/individual-tutorial?source=win_installer

und anderen.

Herr Weitz unterscheidet sog. Computer Algebra Systeme (abgekürzt CAS) von Numerischen Systemen…

Als Programmiersprache kommt man wohl an JavaScript nicht vorbei, das sich in den letzten Jahren enorm weiterentwickelt hat: z.B. https://eloquentjavascript.net/Eloquent_JavaScript.pdf

Physik: Wellengleichung

30. November 202027. September 2024 dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Von Phythagoras bis Einstein, Schroedinger

Stand: 27.9.2024

Die Wellengleichung von D’Alembert

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\Large \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} – \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_i} = 0 $

für eine reelle Funktion u (t, x₁, x₂,…,x_n) der Raumzeit.

Hierbei bedeutet u die Auslenkung der Welle zur Zeit t am Ort x=(x₁, x₂,…,x_n) und n die Dimension des Raumes.
Der Parameter c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit.

Die eindimensionale Wellengleichung

Im einfachen Fall nur einer Raumdimension (n=1) bekommen wir als Wellengleichung:

$\Large \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} – \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \\$

Und als Lösung für harmonische Schwingungen bekommen wir als Wellenfunktion:

$ u(t,x) = A \sin (2\pi (\frac{c t}{\lambda} – \frac{x}{\lambda})) \\$

Wobei A die Amplitude und λ die Wellenlänge sein soll.

Manchmal benutzt man auch die sog. Wellenzahl $ k = \frac{1}{\lambda} $.

Eine einfache Lösung der Wellengleichung im eindimensionalen Raum wäre (mit A=1, λ = 2π):

$ u(t,x) = \sin(x + ct) $

Also eine eindimensionale Wellenfunktion.

Ebene Wellen

Eine ebene Welle ist eine Welle im dreidimensionalen Raum, deren Wellenfronten (d.h. Flächen gleichen Phasenwinkels) parallele Ebenen bilden. Die Ausbreitungsrichtung der Welle steht senkrecht dazu. Diese Richtung ist also räumlich konstant.

Siehe auch: Kugelwelle

Transversal – Longitudinal – Polarisierung

Eine Transversalwelle (Quer-, Schub- oder Scherwelle) ist eine Welle, bei der die Schwingung senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung erfolgt. Das Gegenteil ist eine Longitudinalwelle (Längswelle), bei der die Schwingung in Richtung der Ausbreitungsrichtung stattfindet.

Transversalwellen sind polarisierbar, da die Schwingung in der gesamten Ebene möglich ist, die senkrecht auf ihrer Ausbreitungsrichtung steht.

Stehende Wellen

Ein wichtiger Spezialfall sind sog. “Stehende Wellen”. Sie haben Knoten und Bäuche.

An einem festen Ende ist immer ein Knoten (Auslenkung Null) und an einem offenen Ende ist immer das Maximum eines Bauches.

Betrachten wir zwei feste Enden, so ist für die Gundschwingung: $ \frac{\lambda}{2} = L $ und die Oberschwingungen ungerade Vielfache von lambda/2.

Weiterführendes

Stehende Wellen spielen eine Rolle

beim Planck’schen Strahlungsgesetz
bei den Bahnen von Elektronen um den Atomkern (sog. Orbitale)
De Broglie: Materiewellen / Teilchen-Welle-Dualismus
Schrödinger Wellengleichung