Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie, Friedmann-Gleichung, Koordinatensysteme
Stand: 28.04.2025
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Robertson-Walker-Metrik
Warnung / Disclaimer
Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch.
Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber kleinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut.
Wenn Podukteigenschaften beschrieben werden, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.
Die Robertson-Walker-Metrik wird auch Friedmann-Le Maitre-Robertson-Walker-Metrik (kurz: FLRW-Metrik) genannt, weil Friedmann und Le Maitre sie unabhängig von Roberson und Walker fast gleichzeitig gefunden hatten.
Unter den Annahmen von (räumlicher) Homogenität und (räumlicher) Isotropie kann die FLRW-Metrik aus den Einsteinschen Feldgleichungen hergeleitet werden wobei auch eine konstante Krümmung vorausgesetzt wird. Im Gegenstz zur Schwarzschild-Metrik beschreibt die FLRW-Metrik die großräumige Entwicklung des gesamten Kosmos.
Eine Metrik kann durch ihr Linienelement oder durch ihren Metrik-Tensor anggeben werden. In jedem Falle benötigen wir ein Koordinatensystem.
In kartesischen Koordinaten (x, y, z) wäre das Linienelement im klassischen dreidimensionalen Raum:
\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\)Die Kosmologen benutzen gerne sphärische Koordinaten (r, θ, φ). Damit wäre das Linienelement im klassischen dreidimensionalen Raum:
\( ds^2 = (dr^2+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Nach der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) nehmen wie noch als vierte Dimension die Zeit hinzu und bekommen die sog. Minkowski-Metrik:
\( ds^2 = c^2 dt^2 – (dr^2+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Für die Expansion des Universums nehmen wir noch den Skalenfaktor a(t) hinzu und erhalten:
\( ds^2 = c^2 dt^2 – {a(t)}^2 (dr^2+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Jetzt berücksichtigen wir noch die Raumkrümmung der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) durch den sog. Krümmungsparameter k. Wobei wir hier alternativ drei verschiedene Fälle betrachten können: k=0 ein flaches Universum, k=1 ein geschlossenes Universum, k=-1 ein offenes Universum. Wegen der Annahme der Isotropie ist der Einfluß der Krümmung unabhängig von der Richtung, also unabhängig von den Winkeln θ und φ. Die Krümmung beeinflußt also lediglich die Koordinate r.
\( ds^2 = c^2 dt^2 – {a(t)}^2\Large (\frac{d r^2}{1 – k r^2} \normalsize+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta d \phi^2)\\ \)Genaugenommen sind das mitbewegte sphärische Koordinaten (r, θ, φ).
Der zugehörige Metrik-Tensor
in Matrixdarstellung ist: