Mathematik: Koordinatensysteme

Gehört zu: Tensoren
Siehe auch: Metrik-Tensor, Astronomische Koordinatensysteme, Raumkrümmung
Benutzt: Latex-Plugin

Stand: 23.10.2024

Medien-Hinweise

Prof. Wagner: https://youtu.be/c07r4pARzHw

Koordinatensysteme

In der Geometrie führt man gerne Koordinatensysteme ein, um die geometrischen Objekte (Punkte, Linien, Geraden, Flächen,…) mithilfe von Zahlen (Koordinaten) zu beschreiben und zu untersuchen. Das führt zur sog. Analytischen Geometrie.

Man spricht gerne von der Eukidischen Geometrie, dem Euklidischen Raum und den Euklidischen Koordinaten.

Kartesische Koordinaten

Nach Rene Decartes (1596-1650) nennt man die Euklidischen Koordinaten auch “Kartesische Koordinaten”.

Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) haben wir ja die klasssichen Kartesischen Koordinaten mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…

Koordinatensysteme und Mannigfaltigkeiten

Man hat eine Menge M (Punktmenge) und ordnet jedem Element (Punkt) aus M ein-ein-deutig ein n-Tupel von Koordinaten zu. Dann kann man statt der Punkte über diese n-Tupel (also die n Koordinaten) sprechen.
So eine Koordinate ist im einfachsten Fall eine reelle Zahl, dann sind die Koodinaten also n-Tupel reeller Zahlen, also Elemente aus dem \( \mathbb{R}^n \). Im allgemeinen Fall nehmen wir für die Koordinaten einen Körper.

Wir hätten also eine ein-ein-deutige (d.h. bijektive) Abbildung zwischen Punkten aus M und n-Tupeln:

\( M \to \mathbb{R}^n \)

So eine Menge zusammen mit einem Koordinatensystem nennen wir (nach Bernhard Riemann 1816-1866) eine Mannigfaltigkeit.

In der Mathematik werden Mannigfaltigkeiten für sich noch sehr detailliert in genauer als hier behandelt. Für uns ist es wichtig zu einem Koordinatensystem zu kommen.

Kartesische Koordinaten

Im herkömmlichen unserer Anschauung entsprechenden dreidimensionalen Raum \(\mathbb{R}^3 \) habe wir ja die klasssichen Kartesischen Koordinaten mit den Symbolen: x, y, z. Im höherdimensionalen Falle schreibt man dann eher x1, x2, x3, x4,…

Krummlinige Koordinaten

Bei nicht-kartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Kartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Typische Beispiele für krummlinige Koordinaten sind z.B.

  • Ebene Polarkoordinaten
  • Kugel-Koordinaten
  • Zylinder-Koordinaten

Krummlinige Koordinaten gibt es auch in einem “flachen” Raum; z.B. ebene Polarkoordinaten.
Kartesische Koordinaten im “gekrümmten” Raum sind (global) nicht möglich (Raumkrümmung -> Krümmungstensor).

Kurven und Tangenten

Eine Kurve in einer Manigfaltigkeit M wird gegeben durch eine Abbildung von einem reellen Intervall auf Punkte in die Manigfaltigkeit. Man nennt so eine Abbildung auch eine Parameterdarstellung der Kurve.

Den Parameter aus einem reellen Intervall können wir schreiben als: \( t \in [t_a, t_e] \)

Die Abbildung ist dann:

\( [t_a, t_e] \to M \\\)

Wir haben also zu jedem Parameterwert \( t \in [t_a, t_e] \) einen Punkt aus der Manigfaltigkeit M.

Wenn wir den Punkt durch seine Koordinaten \( \left(q^i\right) \) ausdrücken, ist die  Kurve also eine Abbildung:

\( [t_a, t_e] \to \mathbb{R}^n \\\)

Wo also die Koordinaten qi eine Funktion des Parameters t sind: \( q^i = q^i(t) \)

Wenn die Kurve differenzierbar ist (also die Koordinaten der Parameterdarstellung), hat die Kurve auch Tangentenvektoren:

\(\vec{T}(t) = \left(T^i(t)\right) = \Large \left(\frac{dq^i}{dt} \right) \)

Die Kurve selbst liegt in der Manigfaltigkeit; der Tangentenvektor aber nicht, er ist an die Mannigfaltigkeit sozusagen “angeheftet”.

Die Tangentenvektoren liegen in einem eigenen Vektorraum

Koordinatenlinien

Ganz einfache Formen einer Kurve sind die sog. Koordinatenlinien.

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem erhält man eine Koordinatenlinie indem man n-1 Koordinaten festhält und genau eine Koordinate als Parameter laufen lässt. So eine Koordinatenlinie kann man als (unendliche) Kurve auffassen.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right)\) gehen dann n Koordinatenlinien: \( L_j\) mit \( j=1, 2,\ldots, n \).

Die Koordinatenlinie \( L_j\)  hat den Parameter \( t = q^j \) und die Werte:

\( q^i(t) = p^i \enspace (\text{falls } i \neq j)  \)
\( q^i(t) = t \enspace (\text{falls } i = j)  \)

Schöneres Latex:

\( q^i(t) = \left \{  \begin{array}{ll}   p^i & \text{falls } i \neq j \\ t & \text{falls } i = j \\    \end{array} \right. \)

Koordinaten-Hyperflächen

Bei einem n-dimensionalen Koordinatensystem bekommt man Koordinaten-Hyperflächen in dem man genau eine Koordinate festhält und alle anderen laufen lässt.

Durch jeden Raumpunkt \( (p^i) = \left( p^1, p^2,\ldots, p^n \right) \)  gehen dann n Koordinaten-Hyperflächen.

So eine Koordinaten-Hyperfläche kann man als sog. Teil-Mannigfaltigkeit auffassen.

Vektorbasis zu einem Koordinatensystem

Nun kann man an jedem Raumpunkt anhand des Koordinatensystems eine Vektorbasis definieren…

In jedem Raumpunkt kann man nun Basisvektoren so definieren, dass deren Länge 1 sei und sie Tangenten an die Koordinatenlinien durch diesen Punkt sind.

Astronomische Koodinatensysteme

Hierzu habe ich einen eigenen Artikel Astronomische Koordinatensysteme geschrieben.

Physik: Einstein ART Allgemeine Relativitätstheorie

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Kosmologie, Expansion des Universums, Metrik-Tensor, Singularität
Benutzt: Latex-Plugin

Stand: 20.10.2024

Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie (ART) geht es um die Gravitation, die ja schon von Newton beschrieben wurde. Die Gravitation bewirkt, dass es keine Inertialsysteme gibt – und damit die SRT nur als vereinfachende Idealisierung verstanden werden kann.

Ein Ausgangspunkt für die ART ist das sog. Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugssystem nicht von einem Bezugssystem mit einem homogenen Gravitatiosfeld unterschieden werden kann. Formelmäßig ist dann die sog. “träge Masse” identisch mit der “schweren Masse”….

Quelle: Youtube Video https://youtu.be/hU0Mcd2-XH4

Bekannt sind seine berühmten sog. Feldgleichungen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Die obige Gleichung kann so kompakt hingeschrieben werden, weil sog. Tensoren verwendet werden. Solche Tensoren sind unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem (invariant gegen Koordinatentransformationen).

Bei gegebenem Energie-Impuls-Tensor (auf der rechten Seite) beschreibt die linke Seite der Gleichung die dadurch verursachte Geometrie der Raumzeit (d.h. die Krümmung der Raumzeit).

Der Metrik-Tensor ist \( g_{\mu \nu} \). Gemäß Konvention laufen die Indices μ und ν = 0,1, 2, 3 wobei 0 die Zeit-Koordinate bedeutet.

Den Metrik-Tensor habe ich wohl verstanden und im Einzelnen in einem separaten Blog-Post beschrieben.

\( T_{\mu \nu} \\\) ist der sog. Energie-Impuls-Tensor, den man im Vakuum einfach auf Null setzt (sog. Vakuumlösungen).

Energie und Impuls werden gemäß der speziellen Relativitätstheorie mit sog. Vierervektoren beschrieben.  Wenn man noch Druck und Stress hinzunimmt, bekommt man den Energie-Impuls-Tensor.

Der Vierervektor der Raumzeit ist:

\(\vec{R} = \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\\ \end{array} \right) \\ \)

Der Vierervektor von Energie und Impuls ist:

\(\vec{P} = \left( \begin{array}{c} E \\ p_x c\\ p_y c\\ p_z c\\ \end{array} \right) \\ \)

Diese Vierervektoren sind aber noch abhängig vom benutzen Koordinatensystem. Um unabhägig vom Koordinatensystem zu werden, müssen wir Tensoren bemühen. Dazu bilden wir die kovariante Ableitung nach der Eigenzeit.

Der Engergie-Impuls-Tensor soll Massendichte, Energiedichte, Druck, Impuls, und Stress beschreiben. Dieser Tensor ist für die Entwicklung des Universums wichtig; siehe: Expansion des Universums.

Der Energie-Impuls-Tensor schreibt sich also:

\( T_{\mu \nu} =  \left( \begin{array}{rrrr} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\T_{20} & T_{21} & T_{22}  & T_{23}\\T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33}\\    \end{array} \right) \)

Λ (großes Lambda) ist die sog. kosmologische Konstante, die ursprünglich (1915) nicht in der Gleichung stand, sondern später von Einstein eingeführt wurde, um dem gravitativen Kollaps des Universums entgegen zu wirken.

\( R_{\mu \nu} \) ist der sog. Ricci-Tensor – keine Ahnung, was das sein soll.

Manchmal sieht mit die Einsteinschen Feldgleichungen auch in einer etwas anderen Form:

\( \Large G_{\mu \nu}  = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Mit dem sog. Einstein-Tensor:

\( \Large G_ {\mu \nu}  = R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}  \\\)

Was man immer wieder hört, ist dass nach Einstein große Massen die Raumzeit krümmen. Wobei die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit nicht in eine weitere Dimension (die fünfte) geht, sondern die Raumzeit “in sich” gekrümmt wird, soll wohl heissen, dass nicht mehr die Euklidische Metrik gilt, sondern eine andere Metrik, eine “Nichteuklidische Metrik“.

Lösungen

Unter bestimmten zusätzlichen Annahmen bekommt man Lösungen der obigen Formeln; z.B. bekommt man unter den Annahmen von Homogenität und Isotropie als Lösung die sog. Friedmann Gleichungen.

Eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen nennt man eine Raumzeit.

Siehe hierzu: Krümmung der Raumzeit

 

Mathematik: Der Metrik-Tensor

Gehört zu: Vektoranalysis
Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie, Koordinatensysteme, Vektorbasis, Tensoren, Gekrümmter Raum

Der Metrik-Tensor

Stand: 26.10.2021

Youtube-Videos von Prof. Paul Wagner:

Wir betrachten eine Riemansche Manigfaltigkeit; d.h. eine Punktmenge mit einem Koordinatensystem. Zu so einem Koordinatensystem, gehört ein Metrik-Tensor, der uns auch ein Linienelement definiert und damit so etwas wie eine Metrik.

Wir kommen aber nicht in einem Schritt von einem Koordinatensystem zu einem Metrik-Tensor, sondern betrachten zunächst, wie ein Koordinatensystem eine Vektorbasis definiert. Zu so einer Vektorbasis haben wir dann einen Metrik-Tensor.

Schlussendlich wollen wir ja Vektorfelder beschreiben. Dabei handelt es sich ja um eine Abbildung von Raumpunkten auf Vektoren. Dabei wird der Raumpunkt durch seine Koordinaten im Koordinatensystem und der Vektor durch seine Komponenten bezügliche “seiner” Vektorbasis beschieben. Wenn wir dann beispielsweise die Veränderung eines Vektors bei kleinen Veränderungen des Raumpunkts untersuchen, müssen wir nicht nur die Veränderung der Vektorkomponenten, sondern ggf. auch die Veränderung der Basisvektoren berücksichtigen, da die Basisvektoren ja im Allgemeinen (z.B. bei krummlinigen Koodinaten) auch vom Ort im Raum abhängig sein werden.
Das wird uns dann zur sog. Kontravarianten Ableitung führen.

Koordinatensystem und Vektorbasis

Zu einem Koordinatensystem bekommmen wir nämlich zwei möglicherweise verschiedene Vektorbasen:

1) Die Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien: sog. kovariante Basis

2) Die Basisvektoren stehen normal (senkrecht) auf den Koordinatenhyperflächen: sog. kontravariante Basis

Bei Chartesischen Koordinaten sehen wir Besonderheiten:

  1. Kovariante Vektorbasis = Kontravarinate Vektorbasis
  2. Die Vektorbasis ist unabhängig vom betrachteten Raumpunkt, also überall die gleiche.

Bei nicht-chartesischen Koordinatensystemen (sog. krummlinigen) wird das beides anders sein.

Bei solchen nicht-chartesischen Koordinaten, die wir als “allgemeine Koordinaten” bezeichnen, verwenden wir im allgemeinen die Symbole qi (i=1,2,..). Diese “allgemeinen Koordinaten” nennt man, um den Gegensatz zu den Chartesischen Koordinaten deutlich zu machen, auch gerne krummlinige Koordinaten.

Wir betrachten nun einen Raum mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten: \( q^\alpha \) mit α =1,2,…,n und einem hilfsweise dahinterliegenden Chartesischen Koordinaten: \( x^i \) mit 1= 1,2,….n.

Als Hilfsmittel ziehen wir anfangs gerne die Chartesischen Koordinaten hinzu, wo wir dann im Fall von beliebig vielen Dimensionen die Symbole xi (i=1,2,…) verwenden, oder bei zwei und oder drei Dimensionen, manchmal auch: x,y,z.

Die kovarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}_\alpha \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Tangenten an die Koordinatenlinien. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\(\Large \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Die kontravarianten Basisvektoren nennen wir:

\(\Large {\vec{g}}^{\,\alpha} \)    wobei α=1,2,..,n

Diese Basisvektoren sind Normalen auf den Koordinatenhyperflächen. Demnach sind die Komponenten (i=1,2,…n) dieser Basisvektoren im Chartesischen Koordinatensystem:

\( \Large \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \)

Vektorbasis und Metrik-Tensor

Wenn wir eine Vektorbasis gefunden haben; z.B.:

Eine Vektorbasis: \( \vec{g}_\alpha \)  (α= 1,2,…,n)

Erhalten wir zu dieser Vektorbasis den dazugehörigen Metrik-Tensor als: \( \left(g_{ij}\right) = \vec{g}_i \cdot \vec{g}_j  \)

Merke: Zu einer Vektorbasis haben wir einen Metrik-Tensor.

Die Riemann-Metrik

Wir können auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ein Tensor-Feld \( g_{ij} \) definiert haben, mit dem wir einen Abstandsbegriff (d.h. eine Metrik) definieren; genauer gesagt, mit dem wir die Länge einer Kurve in der Mannigfaltigkeit definieren wie folgt:

\(\Large s = \int\limits_{t_a}^{t_b} \sqrt{g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}} \, dt  \)

So einen Tensor \( g_{ij} \) nennen wir Metrik-Tensor.

Allgemeine Weisheiten zum Metrik-Tensor

Der Metrik-Tensor ist also ein Tensor-Feld, das auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert ist.

  • Wenn der Metrik-Tensor Elemente konstant sind (also nicht vom Ort abhängen) ist der Raum ein flacher Raum. Es kann dafür auch eine geeignete Koordinaten-Transformation benutzt werden.
  • Wenn die Komponenten des Metrik-Tensors aber vom Ort abhängen (keine Koordinaten-Transformation kann sie konstant machen), ist der Raum ein gekrümmten Raum.
  • So ein gekrümmer Raum kann in einen höherdimensionalen euklidischen (flachen) Raum eingebettet sein (z.B. die zweidimensionale Kugeloberfläche) muss es aber nicht.
  • Ein Euklidischer Raum, ist ein flacher Raum bei dem der Metrik-Tensor die Einheitsmatrix ist bzw. alle Diagonalelemente positiv sind.

Beipiel 1: Chartesische Koordinaten

Das Linienelement ist:

\( ds^2 = d{x_1}^2 + d{x_2}^2 + d{x_3}^2 + … \)

Also:

\( ds^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}{{dx_i}^2} \)

Der Metrik-Tensor ist dabei ja ein Tensor vom Rang 2 und ist in diesem chartesischen Falle identisch mit der Einheitsmatrix (beispielsweise mit 3 Dimensionen):

\(\Large (g_{ij}) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Dieser Metrik-Tensor definiert dann unser Linienelement:

\( (ds)^2 = \sum\limits_{i=1}^n{\sum\limits_{j=1}^n{dx_i dx_j g_{ij}}} \)

Oder in der Einsteinschen kompakten Schreibweise (mit der sog. Summenkonvention):

\( (ds)^2 = g_{ij} dx^i dy^j \)

Beispiel 2: Ebene Polarkoordinaten

Im zweidimensionalen Euklidischen Raum (Ebene) haben wir als Chartesische Koordinaten: x1 = x,  x2 = y

Als krummlinigen Koordinaten nehmen wir Polarkoordinaten: q1 = r und q2 = φ

Zum Rechnen verwenden wird als Hilfsmittel gern die Chartesischen Koordinaten. Damit haben wir Koordinaten-Transformationen in beiden Richtungen:

\( x = r \cdot \cos{\phi} \\ \\ y = r \cdot sin{\phi} \)

Und in der anderen Richtung ist:

\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi =\arctan{\frac{y}{x}} \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kovariante Vektorbasis (Basis Vektorsystem):

\( \left( \vec{g}_\alpha \right)^i = \frac{\partial x^i}{\partial q^\alpha} \)

Zu diesen kovarianten Basisvektoren bekommen wir als kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & r^2  \end{array} \right]  \\\)

Wobei dieses Beispiel zeigt: (1) Der Metrik-Tensor ist ortsabhängig und (2) Die zugrundeliegende Vektorbasis ist zwar orthogonal, aber nicht orthonormal.

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2 \\ \)

Zu diesen Koordinaten erhalten wir als kontravariante Vektorbasis:

\( \left( {{\vec{g}}^{\,\alpha}} \right)^i = \frac{\partial q^\alpha}{\partial x^i} \\\)

Zu diesen kontravarianten Basisvektoren bekommen wir als kontravarianten Metrik-Tensor (wir können die Komponenten des kontravarianten Metrik-Tensors ausrechnen oder nehmen einfach das Inverse des kovarianten Metriktensors):

\( \left(g^{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2   \)

Wir sehen auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 3: Zylinderkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x ,y, z die Zylinderkoordinaten (r, φ, z) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r,  \, q^2 = \phi, \, q^3 = z \)

Aufgrund der Koordinaten-Transformationen bekommen wir:

Für den  kovarianten Metrik-Tensor:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\phi^2  + dz^2 \\ \)

Und für den  kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2} d\phi^2 + dz^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 4: Kugelkoordinaten

Im dreidimensionalen euklidischen Raum können wir neben den Chartesischen Koordinaten x, y, z die Kugelkoordinaten (r, θ, φ) betrachten.
Dies sind also allgemeine (krummlinige) Koordinaten mit \( q^1 = r, \,  q^2 = \theta, \,  q^3 = \phi \)

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Radialachse” (Zenith/Nadir), die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + r^2 d\theta^2  + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Und als kontravarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0  & 0 \\  0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kontravariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  dr^2 + \frac{1}{r^2}d\theta^2  + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}d\phi^2 \)

Wiederum sehen wir auch, dass die beiden Metrik-Tensoren invers zueinander sind.

Beispiel 5: Kugeloberfläche

Die Oberfläche einer Kugel mit dem (festen) Radius R ist ein zweidimensionaler Raum, wo wir als Koordinatensystem gut mit dem entsprechenden Teil der Kugelkkordinaten arbeiten können.

Also mit den allgemeinen (krummlinigen) Koordinaten mit \(  q^1 = \theta, \,  q^2 = \phi \), was also auf der Erdoberfläche prinzipiell der geografischen Breite und der geografischen Länge entsprechen würde.

Als kovariante Vektorbasis bekommen wir wieder die Tangenten an die Koordinatenlinien, also an die “Meridiane” (Nord/Süd) und die “Breitenkreise” (Ost/West).

Der Metrik-Tensor ergiebt sich dann ganz analog aus dem Vorigen:

Als kovarianten Metrik-Tensor bekommen wir:

\( \left(g_{ij}\right) =  \left[ \begin{array}{rr}  R^2 & 0 \\  0 & R^2 \sin^2 \theta  \end{array} \right]  \\\)

Und entsprechend das kovariante Linienelement:

\( (ds)^2 =  R^2 d\theta^2  + R^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \\ \)

Der so definierte Riemansche Raum (Kugeloberfläche mit dem o.g. Koordinatensystem) ist ein Nichteuklidischer Raum, wie wir sehen werden. Zur Geometrie in solchen Nichteuklidischen Räumen haben wir ja noch nichts gesagt; aber die Standard-Weissheit ist ja die Winkelsumme im Dreieck und…

 

 

 

Astronomie: Expansion des Universums

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Entfernungsbestimmung, Friedmann-Gleichung, Einsteinsche Feldgleichungen, Delta Cepheiden

Stand: 02.05.2023

Expansion des Universums

Youtube Videos von Josef Gassner:

Edwin Hubble (1889-1953) hatte 1929 durch Beobachtungen herausgefunden, dass Galaxien eine Rotverschiebung aufweisen – und zwar um so mehr, je weiter sie von uns entfernt sind. Die Rotverschiebung (Symbol z) misst man unmittelbar im Spektrum, zur Bestimmung der Entfernung (Symbol R) konnte Hubble die von Henrietta Leawitt (1868-1921) im Jahre 1912 am Harvard College Observatory entwicklete Methode der Delta-Cephedien als Standardkerzen nutzen. Das nach ihm benannte Hubble-Gesetz ist also:

Rotverschiebung = z = const. * R

Wenn man die Rotverschiebung (s.u.) als verursacht durch eine Art “Fluchtgeschwindigkeit” (v  ≈ c * z) versteht, kann man also schreiben:

v = H * R

Wegen der Grundannahmen von Homogenität und Isotropie des Universums, geht man nicht davon aus, das wir im Mittelpunkt dieser Bewegungen stehen, sonden dass eine allgemeine und allseitige Längen-Skalierung stattfindet. Alle Längen (Symbol R) im Universum verändern sich mit der Zeit mit einem Faktor, was man als kosmologischen Skalenfaktor a(t) beschreibt. Eine Länge R0 zum Zeitpunkt t=0 ist dann zum Zeitpunkt t:

R(t) = a(t) * R0

Dies ist also eine Ausdehnung (oder Kontraktion) des Raumes allein. Die Zeit ist von diesem Skalenfaktor (des Raumes) nicht unmittelbar betroffen. Es wäre also falsch zu sagen, die Raumzeit dehnt sich aus – es ist nur der Raum, der skaliert.

Zum Zeitpunkt des “Urknalls” war a=0; heute ist a=1 (Konvention).

Der Skalenfaktor a(t) beschreibt die globale, gleichförmige Ausdehnung des Universums. Lokal sind “kleinere” Abweichungen möglich. Diese globale, gleichförmige Ausdehnung des Universums nennt man auch den “Hubble Flow“.

Oft wird auch gesagt,  dass sich Objekte im Universum sich nicht wirklich von uns entfernen mit einer sog. Fluchtgeschwindigkeit, sondern, dass der Raum zwischen uns und dem Objekt expandiert (was irgendwie auf das Gleiche herauskommt).

Um die Geschwindigkeit zu bekommen, differenziere ich obige Gleichung nach der Zeit (t):

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot R_0  \)

Nun setzte ich R0 = R(t) / a(t) ein und erhalte:

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot \frac{R(t)}{a(t)}  \)

und damit:

\( v = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} R(t) \)

Was genau das Hubble-Gesetz ist, mit der Hubble-Konstanten:

\( \displaystyle \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}=H(t) \\\)

Als gegeben gilt für uns also die Expansion des Universums, die durch den Hubble-Parameter H(t) bzw. den Skalenfaktor a(t) beschrieben ist.

Quelle: https://youtu.be/8avR8-2ndOA

Wenn der Hubble-Parameter H(t) zeitlich konstant wäre (H(t) = H0 für alle t), würde sich der Skalenfaktor a(t) ergeben als:

\( \Large a(t) = a_0 \cdot e^{H_0 \cdot t} \)

Ein Universum mit diesem Kosmologischen Modell nennt man ein de Sitter Universum

Diese Expansion des Universums mit dem Hubble-Gesetz hatte George Lemaître (1894-1966) im Jahre 1927 bereits theoretisch (also ohne praktische Beobachtungen) aus den Einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet. Da Lemaître also bereits zwei Jahre vor Hubble den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und Entfernung herausbekommen hatte nennt man das Hubble-Gesetz auch manchmal “Hubble-Lemaître-Gesetz”.

Der Urknall (Big Bang)

Wenn man heute beobachtet, dass sich das Universum ausdeht, könnte man das “zurückrechnen” und käme irgendwann zu einem Zustand, bei dem das gesammte Universum auf einen ganz kleinen Punkt kompremiert wäre. Von diesem Zustand aus müsste das Universum dann expandiert sein, was man als Urknall bezeichnet.

Der Begriff “Urkanll” (engl. Big Bang) stammt von Fred Hoyle, der ein Anhänder des sog. Steady State Modells (also keine Expansion) war.

Dieser Urknall bezeichnet keinen Ort im Raum, sondern einen Zeitpunkt.

Das heute (2021) gängige Modell der Entstehung des Universums (genannt: “Standardmodell”) geht von einem sog. “Big Bang” aus; d.h. einer “Singularität” bei der die gesamte Masse und Energie des Universums in einem einzigen sehr heissen Punkt entstand und sich dann ausdehnte und abkühlte. Zunächst war das ein heisses Plasma aus Protonen, Elektronen und Photonen. In dieser frühen Phase des Universums konnte die Strahlung, also die Photonen, sich nicht frei bewegen, da die Photonen ständig von den freien Elektronen eingefangen und dann in zufällige Richtungen gestreut wurden. Dadurch leuchtete das ganze Plasma wie ein Feuerball.

Am Anfang war demnach ein “Big Bang”. Das Universum bestand aus sehr heißem Plasma (1032 Kelvin) und kühlte dann aber ab.
Das Universum bestand aus Materie (Protonen und freien Elektronen) sowie aus Strahlung (Photonen).
Die Photonen konnten nicht herausfliegen, weil sie extrem oft mit den freien Elektronen kollidierten.

Erst als das Universum soweit abgekühlt war, dass sich die Elektronen an die Protonen binden konnten (“Rekombination”) um Wasserstoffatome zu bilden, war der Weg für die Photonen frei; d.h. das Universum wurde durchsichtig. Das war bei einer Temperatur von ca. 3000 K der Fall und muss so etwa 380000 Jahre nach dem Urknall gewesen sein. Die damals frei gewordene Strahlung empfangen wir heute als “Kosmische Hintergrundstrahlung”. Diese Hintergrundstrahlung zeigt also ein Bild des Universums von der Zeit in der sich die Strahlung von der Materie entkoppelte.

Solange die Temperatur schön heiß war, konnten die freien Elektronen nicht dauerhaft an die Protonen gebunden werden. Die Bindungsenergie eines Elektrons im Wasserstoffatom liegt bei 13,6 eV, was so ca. einer Temperatur von 3000 K entspricht. Erst bei einer Abkühlung auf ca. 3000 K konnten also die freien Elektronen an Protonen gebunden werden und sich so neutrale Wasserstoffatome bilden. Man nennt dieses “Rekombination” (obwohl es ja keine “erneute Kombination” war – aber der Begriff ist historisch). Nun gab es nur noch wenige freie Elektronen und der Weg war frei für die Photonen das Plasma zu verlassen.

Damit gab es zum ersten Mal “Licht” im Universum. Modellrechnungen ergaben, das diese “Rekombination” so etwa 380000 Jahre nach dem Urknall geschah.

Raumausdehnung im Nahbereich – Gebundene Systeme

Wie würde sich eine Expansion des Raumes gemäß dieser Hubble-Konstante auf räumlich ausgedehnte Objekte (also keine als punktförmig gedachten Objekte) im Universum auswirken? Z.B. ändert sich der Abstand Erde-Mond ein klein wenig?

Die Frage ist: Hat die globale kosmologische Expansion einen Einfluss auf lokale Dynamik (Kräfte) bzw. lokale Kinematik (Entfernungen, Zeit). Man spricht da von “gebundenen Systemen” oder einem “gebundenen Zustand”; d.h. ein Zustand, wo mehrere Teilchen so aneinander gebunden sind, dass sie sich nach aussen wie ein Teilchen verhalten. Was man auch hört sind die Begriffe “gravitativ gebunden” und “elektromagetisch gebunden”.

Dazu dieses Google Sheet

Messung der Hubble-Konstante

Die nach Edwin Hubble benannte Hubble-Konstante, beschreibt die gegenwärtige Expansionsgeschwindigkeit des Universums.

Messungen zu Beginn des 21. Jahrhunderts ergaben Werte zwischen \(68 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) und \(74 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) .
Wobei 1 Mega Parsec = 3,086 * 1022 m ist.

Aus der Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Hubble-Konstante können wir entnehmen:

Unter Verwendung von Daten des Spitzer-Weltraumteleskops, basierend auf Beobachtungen im 3,6-μm-Bereich (mittleres Infrarot) zur Neukalibrierung der Cepheiden-Distanzskala, erhielten die Wissenschaftler des Carnegie Hubble Programs neue, hochgenaue Werte für die Hubble-Konstante. Dadurch konnte dieser nun um einen Faktor 3 genauer bestimmt werden. Er beträgt (74,3 ± 2,1) km/(s·Mpc). Damit hat die Hubble-Konstante nur noch eine Unsicherheit von drei Prozent (Stand 16. August 2012).

\(\displaystyle H_{0}\approx (74{,}3\pm 2{,}1)\ {\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {s\cdot Mpc} }} \)

Die Hubble-Zeit

Als Hubble-Zeit bezeichnet man die Zeit, die seit dem Urknall vergangenen ist. In kosmologischen Modellen mit einer für alle Zeiten konstanten Expansionsgeschwindigkeit des Universums ist das der Kehrwert der Hubble-Konstanten.

Das ergibt sich wie folgt:

Betrachten wie eine Galaxis, die von uns einen Abstand von s1 hat. So hat diese eine Fluchtgeschwindigkeit von v1 = H0 * s1. Die Hubble-Zeit  wäre also die Zeit, wo diese Galaxis bei uns in einem Punkt, dem Urkanall, zusammen war. Wie lange brauchte die Galaxis um bei einer konstanten Geschwindigkeit v1 die Strecke s1 zurückzulegen? Das ist einfach:

\( {HubbleZeit} = \Large \frac{s_1}{v_1} = \frac{s_1}{H_0 \cdot s_1} =  \frac{1}{H_0} \)

Den klassischen Wert der Hubble-Konstanten schreibt man ja in den Einheiten Mpc und km/s . Wenn man das entsprechend umrechnet bekommt man in SI-Einheiten:

\(\displaystyle H_{0}\approx (74{,}3\pm 2{,}1)\ {\frac {10^3 \enspace m }{\mathrm {s\cdot 3{,}086 \enspace 10^{22} \enspace m} }} = (24{,}75 \pm 0.68) \cdot 10^{-19} s^{-1} \)

Damit bekommen wir:

\(  {HubbleZeit} =  \Large{\frac{1}{24{,}75}} \large\cdot  10^{19} \enspace s  \)

Wenn wir das in Jahren ausdrücken erhalten wir:

\(  {HubbleZeit} =  \Large\frac{10^{19}}{24{,}75 \cdot 365.25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60} \large Jahre =  12{,}8 \cdot 10^{9} Jahre\)

Entfernungen im expandierenden Universum

In einem expandierenden Universum (“Hubble Stream”) existiert kein eindeutiges Entfernungsmaß mehr. Dies widerspricht der menschlichen Alltagserfahrung im statischen Euklidischen Raum.

Link: http://www.atlasoftheuniverse.com/redshift.html

Wenn man die Entfernungen im Universum angeben will, stößt man schnell auf zwei (merkwürdige) Begriffe:

  • Comoving Distance, Mitbewegte Entfernung:  Dc
  • Proper Distance, Eigendistanz:   Dp

Die “Comoving Distance” zwischen zwei Objekten im Hubble Stream bleibt bei der Expansion des Universums immer gleich.

Die “Proper Distance” zwischen zwei Objekten im Hubble Stream nimmt zu mit der Expansion des Universums. Diese Definition von “Distance” ist rein theoretisch, denn wir können nicht sehen, wo ein Objekt “gerade jetzt” ist.

Es gilt die Beziehung:

\( D_p(t) = a(t) \cdot D_c \)

Link: https://scienceblogs.de/alpha-cephei/2018/05/28/was-ist-eine-mitbewegte-entfernung/

Rotverschiebung

In den Spektren von vielen Galaxien kann man eine Verschiebung der Linien zum Roten hin beobachten.

Als Rotverschiebung z definiert man den Quotienten der Differenz zwischen der Wellenlänge im Beobachtersystem (obs) und derjenigen im Emittersystem (em):

\(\displaystyle z = \frac {\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} \)

Edwin Hubble interpretierte die Rotverschiebung z als Dopplereffekt hervorgerufen durch eine Fluchtgeschwindigkeit v der Galaxien.

\(\displaystyle z \approx \frac{v}{c} \)    (für kleine Geschwindigkeiten)

Edwin Hubble konnte 1929 nachweisen, dass diese Rotverschiebung mit der Entfernung R der Galaxien zunimmt.  Es waren zwar nur 18 Galaxien, die Hubble untersuchte, doch mit wachsender Zahl hat sich dieses Ergebnis bestätigt. Dieser Zusammenhang ging als Hubble-Effekt in die Kosmologie ein und wird auch zur Entfernungsbestimmung benutzt.

\(\displaystyle v = H_0 \cdot R \)

Wenn man die Rotverschiebung als Effekt der Expasion des Universums (sog. Kosmologische Rotverschiebung) mit dem Skalenfaktor a(t)  interpretiert ist also:

\(\displaystyle z = \frac{\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}} – 1 = \frac{1}{a} – 1 \\ \)

Oder, anders gesagt: Die Lichtwellenlänge wird gemäß dem Skalenfaktor “gedehnt”:

\( z + 1 = \Large \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{obs} \cdot a} = \frac{1}{a} \\\)

Das Hubble-Gesetz zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit v (bzw. der Rotverschiebung z) und der Distanz R mit einer Proportionalitätskonstante, der Hubble-Konstanten H0. Die Linearität hat jedoch nur im nahen Universum ihre Gültigkeit, nämlich bis zu einem maximalen Abstand von gut 400 Mpc oder z  kleiner als 0,1. Für weiter entfernte Objekte bricht die Linearität zusammen.

Bei größeren Geschwindigkeiten (d.h. relativ zur Lichtgeschwindigkeit) müssen zusätzlich die relativistischen Effekte berücksichtigt werden. Dazu schreibe ich etwas in den separaten Blog-Posts   “Robertson-Walker-Metrik” und “Friedmann-Gleichung“.

Was man “in echt” beobachten kann, ist die Rotverschiebung z. Alles andere sind Interpretationen…

Eine kosmologische Rotverschiebung von z=1 bedeutet einen Dehnungsfaktor von 1+z, also 2, d.h. dass das Licht ausgesendet wurde, als das Universum nur halb so groß war, wie heute.

Die Hubble-Sphäre

Die Hubble-Sphäre ist der um den Beobachter gedachte kugelfömige Teil des Universums ausserhalb dessen sich Objekte aufgrund der Expansion des Universums mit Überlichtgeschwindigkeit entfernen. Diese Hubble-Sphäre ist also das beobachtbare Universum.

Der “proper” Radius einer Hubble-Sphäre (genannt Hubble-Radius oder Hubble-Länge) beträgt: \(  \Large \frac{c}{H_0} \)

Mit der obenstehenden Hubble-Konstante von 68 km pro Sekunde und Mpc und der Lichtgeschwindigkeit von 299792 km pro Sekunde ergibt sich

\(  \Large r_H = \frac{299792}{68} \enspace  Mpc = 4408{,}71 Mpc  = 14{,}37 \enspace Gly\)

Der Ereignis-Horizont

Der Ereignis-Horizont rE ist diejenige Entfernung von uns, in der heute ein Signal ausgesendet werden könnte  (z.B.  ein Lichtstrahl), das wir irgendwann in der Zukunft wahrnehmen könnten.

\( \Large r_E = c \cdot \int\limits_{heute}^\infty \frac{dt}{a(t)}  \approx 16.7 \enspace Gly\)

Der Partikel-Horizot

Der Partikel-Horizont rP begrenzt den Teil des Universums, von dem die Erde seit dem Urknall Informationen erreicht haben können.

\( \Large r_P = c \cdot \int\limits_0^{heute} \frac{dt}{a(t)} \approx 46.5 \enspace Gly \)

Dieser Partikel-Horizont definiert das für uns beobachtbare Universum.

Astronomie: Friedmann-Gleichung

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Expansion des Universums, Gravitation, Relativitätstheorie, Einsteinsche Feldgleichungen
Benutzt: Latex-Plugin für WordPress

Stand: 07.05.2023

Die Friedmann-Gleichung

In der Kosmologie wollen wir das Universum als Ganzes beschreiben; d.h. die zeitlichen Entwicklung vom Urknall bis heute und weiter…
Am Ende kommen wir zum vielgenannten “Standardmodell der Kosmologie“…

Alexander Friedmann (1888-1925) wollte die Einsteinschen Feldgleichungen der ART als Ausgangspunkt benutzen, musste für sein kosmologisches Modell dann noch zusätzliche Annahmen über die Verteilung von Materie, Energie, etc. im Universum machen.

Das sog. Kosmologische Prinzip stellt sich solche Verteilungen als isotrop (das Universum sieht in alle Richtungen gleich aus) und homogen (das Universum sieht an jedem Punkt gleich aus) vor. Wobei das alles nur bei der Betrachtung sehr großer Skalen der Fall ist (hunderte von Mega Parsec).

Unter diesen einfachen Annahmen (Homogenität und Isotropie) konnte Friedmann  aus der Einsteinschen Formel der Allgemeinen Relativitätstheorie seine einfacheren sog. Friedman-Gleichungen ableiten (s. unten).

Die Expansion des Universums

Zur Expansion des Universums hatte ich einen eigenen Blog-Post geschrieben.

Unter der Grundannahme von Homogenität und Isotropie können wir die Expansion des Universums durch den sog. Skalenfaktor a(t) beschreiben.

Kosmologisches Modell

Unter einem Kosmologischen Modell versteht man Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, bei denen einige wenige Parameter und Annahmen als Ausgangspunkt genommen werden und dann die Entwicklung des Kosmos im Laufe der Zeit (t) beschrieben werden kann.

Unter den von Friedmann gemachten Annahmen (Kosmologisches Prinzip) suchen wir dann nur noch nach Lösungen der Friedman Gleichungen.

Parameter in Kosmologischen Modellen:

  • Strahlungsdichte:  Ωrad
  • Materiedichte: Ωm (barionische und dunkle Materie)
  • Dichte der dunklen Energie: ΩΛ  (auch Vakuum-Energie genannt)
  • Krümmungsparameter: k

Kosmologische Modelle als Lösung der Gleichungen

Ein wichtiger Bestanteil eines Kosmologischen Modells ist die zeitliche Entwicklung des Skalenfators a(t).

Je nach den Grundannahmen gibt es verschieden benannte Kosmologische Modelle:

Name Annahmen Ergebnis Bedeutung
De Sitter ΩΛ = 1 Konstanter Hubble-Parameter
a(t) = a0 e Ht
theoretisches Modell
Einstein – de Sitter Ωm= 1
Lambda CDM Ωm=0.3, ΩΛ=0.7 zur Zeit favorisiert

Abbildung 1: Kosmologische Modelle
Mplwp universe scale evolution.svg

Copyright: NASA/WMAP Science Team

Die Friedmann-Gleichung mit Newtonscher Mechanik

Youtube-Video: Josef Gassner: Von Aristoteles zur Stringtheorie

Wenn man zunächst ohne Relativitätstheorie (also nur mit der Klassischen Newtonschen Mechanik) rechnet, ergibt sich allein aus unseren Grundprämissen (Isotropie und Homogenität) und der Erhaltung der Energie (kinetische + potentielle) schon die klassische Friedmann-Gleichung. Später werden wir sehen, wie sich das relativistisch rechnet und dann für große Massen und große Abstände gilt…

Wegen der Homogenität können wir irgendeinen ganz beliebigen Punkt im Universum betrachten.
An jedem solchen Punkt im Universum haben wir eine gleiche Dichte ρ deren Wirkung ein Gravitationsfeld ist.
Im Newtonschen Ansatz ist diese Dichte allein die Massendichte, im relativistischen Fall käme noch die Energiedichte hinzu, die ebenfalls gravitativ wirken würde.
Wir betrachten dann einen Testkörper der Masse m im Abstand R von diesem Punkt.

Aufgrund der Expansion des Universums verändert sich dieser Abstand R mit der Zeit t gemäß dem Skalenfaktor:

\( R(t) = a(t) \cdot R_0 \)  Wobei R0 der heutige Abstand sein soll

Dieser Testkörper hat nun eine Potentielle Energie (Epot) im Gravitationsfeld und eine Kinetische Energie (Ekin) aufgrund der Expansionsbewegung.

Als Kinetische Energie bekommen wir:

\( E_{kin} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  \)

Die Potentielle Energie bekommen wir, wenn wir die Gravitationskräfte betrachten, die auf den Probekörper wirken.

Als Gravitationswirkung haben wir die Masse der Kugel vom Radius R um den betrachteten Punkt. Da wir eine homogene Dichte ρ haben, ergibt sich diese Masse zu:

\(  M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho  \)

Nach Newton können wir diesen Teil der Gravitation wie eine punktförmige Masse behandeln. Die Massen ausserhalb dieser Kugel heben sich nach dem Newtonschen Kugelschalen-Theorem gegenseitig zu Null  auf.

Das Gravitationspotential der Kugel ist also:

\(  \Phi(r) = – \frac{G \cdot M}{r}\)

und als Potentielle Energie unserer Probemasse ergibt sich:

\(  E_{pot} = \Phi(R) \cdot m = – \frac{G \cdot M \cdot m}{R}\)

Wenn wir hier die Masse M, nach obiger Formel einsetzen, erhalten wir:

\(  E_{pot} = – \frac{G  \cdot m}{R}  \cdot \frac{4}{3}  \pi R^3 \rho      \)

und schließlich:

\(  E_{pot} = – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho      \)

Die Sume aus kinetischer und potentieller Energie soll gleich bleiben:

\(  E_{kin} + E_{pot} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho  = E = const.   \)

Wenn wir dass mit 2 multiplizieren und die Masse m herauskürzen bekommen wir:

\(    \dot{R}^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  R^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  \)

Wenn wir \( \dot{R}(t) \: und \: R(t) \) einsetzen bekommen wir::

\(    (\dot{a} \cdot R_0)^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a \cdot R_0)^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  \)

Dies können wir noch durch R02 dividieren und bekommen:

\(    (\dot{a} )^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a )^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m \cdot {R_0}^2} = const.  \)

Nun dividieren wir noch durch a2 und bringen den Minus-Term nach rechts:

\(\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{const}{a^2} \)

Das ist schon die berühmte Friedman-Gleichung

Damit die die Newtonsche Friedmann-Gleichung ganz analog der relativistischen aussieht, formen wir sie etwas um:

\(\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{k \cdot c^2}{a^2} \)

k nennen wir Krümmungsparameter; das wäre also:

\( \Large k = \frac{2 E}{m \cdot c^2 \cdot {R_0}^2} \)

Dieser Krümmungsparameter wird uns später bei der Robertson-Walker-Metrik wieder begegnen.

Je nach dem wie der sog. Krümmungsparameter k ist sagt man:

  • wenn k=0  ==> “flaches” Universum (Euklidische Metrik)
  • wenn k>0  ==> “geschlossens” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Kugeloberfläche)
  • wenn k<0 ==> “offenes” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Sattelfläche)

Im Falle k=0 würde sich für die Dichte ergeben:

\( \Large \rho_0 =  \frac{3 \cdot \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2}{8 \pi G} \)

Oder, wenn wir für \(\frac{\dot{a}}{a} \) die Hubble-Konstate H einsetzen:

\( \Large \rho_0 =  \frac{3 H^2}{8 \pi G} \)

Diese Dichte nennen die Kosmologen gern die “kritische Dichte” und messen in ihren Modellen die Dichte dann gerne im Verhältnis zu dieser “kritischen Dichte”:

\( \Large \Omega = \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{8 \pi G}{3 H^2} \rho \\ \)

Aufgelöst nach ρ ergibt das:

\( \Large \rho = \frac{3 H^2}{8 \pi G}  \cdot \Omega\\ \)

Die Friedmann-Gleichung mit relativistischer Mechanik

Diesen Abschnitt muss ich noch überarbeiten…

Wir gehen aus von den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART)…

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Die Herleitung der Friedmann-Gleichung nimmt an, dass das Universum mit Materie, beschrieben als ideale Flüssigkeit (d.h. homogenen, isotrop und ohne Viskosität) angefüllt ist. Deshalb wurde auch der Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit verwendet:

\(\Large T_{\mu \nu} = \left[ \begin{array}{rrrr} -\rho c^2 & 0 & 0 & 0\\  0 & p & 0  & 0\\  0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p\end{array} \right]  \\ \)

Wobei ρ(t) die Massendichte und p(t) der Druck ist.

 

Siehe auch: Viererimpuls

===================================================

Zur sog. Friedmann-Gleichung können wir der Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichung) folgendes entnehmen:

\( \displaystyle \frac{\dot a}{a}=H_{0}(\frac{\Omega_{m0}}{a^3}+(1-\Omega_{m0}))^{\frac{1}{2}} \)

Wobei hier die sog. Hubble-Konstante H, die ja nicht wirklich konstant ist, vorkommt. In neuerer Zeit wird statt “Hubble-Konstante” auch der Begriff “Hubble-Parameter” verwendet.

Omega M = Anteil an Materie (barionisch und dunkle)

Omega groß Lambda = Anteil an dunkler Energie

Omega rad = Anteil Strahlungsenergie

k = Krümmung

Link: https://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/friedmann-weltmodell/136

 

Astronomie: Rowan Belt Modification meiner Montierung HEQ5 Pro

Gehört zu: Meine Montierung
Siehe auch: Skywatcher HEQ5 Pro, Tracking

Astronomie: HEQ5 Pro Rowan Belt Modification

Die Situation

Ich habe schon viel gelesen, wie man die Montierung Skywatcher HEQ5 Pro gegenüber dem Auslieferungszustand noch verbessern kann.

Ich benutze meine Montierung HEQ5 Pro ja fast ausschließlich zum Fotografieren (nie visuell) und habe als bevorzugten Standort meine heimische Terrasse in Hamburg Eimsbüttel; d.h. hohe Lichtverschmutzung und sehr eingeschränkte Horizontsicht. Ausserdem ist die Montierung nicht fest aufgestellt, sondern muss als mobile Montierung ständig neu eingenordet werden.

Zum Fotografieren benutze ich als Teleskop eine Orion ED80/600 und als Kamera eine ZWO ASI294 MC Pro Cooled.

Nun will ich mal recherchieren, was es mit der Rowan Belt Modification eigentlich auf sich hat.

Das Problem

Schlechtes Tracking durch die Montierung. Siehe meine Grafik im Artikel Einnorden – Polar Alignment.

Die etwas merkwürdigen und lauten Geräusche der Montierung (Motoren, Getriebe) beim Goto sind nicht mein Problem. Meine Nachbarn sind weiter weg und ich mache nur wenige Gotos in einer Nacht…

Lösungsmöglichkeiten

Einige Sternfreunde und viele Forumsartikel berichten von einer “Rowan Belt Modifikation”. Was ist das und was bringt das?

Teleskop-Service

Bei Teleskop-Service wird ein Rowan Engineering Belt Modification Kit für EUR 159,- plus Versand angeboten (Artikel Nr. HEQ5bord):

Link 1: Teleskop-Service Rowan Belt Modification Kit

Hinzu kommt ein “Extractor” zu EUR 29,90  (Artikel-Nr. HEQ5EXT).

Bei der Beseitigung des lauten Geräuschs sind sich alle einig. In wieweit sich das Tracking verbessert, da schweigen soch viele aus.

Eine Tracking Verbesserung beschreibt aber beispielsweise: https://www.amateurastrophotography.com/heq5-pro-belt-improvement-1

Astroshop.eu

Da kostet das Kit EUR 189,– plus Versand…

 

 

 

 

 

Reisen: Namibia 2022 touristisch

Gehört zu: Namibia
Siehe auch: Namibia 2022

Reisen: Namibia 2022 touristisch

Neben meinen astronomischen Aktivitäten auf der Astrofarm Kiripotib, habe ich mal angefangen auch eine weitere touristische Erkundung des Landes zu planen. Ein Vorschlag dazu kam vom Reiseveranstalter Tourlane.

Reise-Angebot von Tourlane

7.6.2022 Fahrt von Windhoek nach Marienthal

8.6.2022 Fahrt von Marienthal nach Naukluft River Camp  (2 Nächte dort mit A/ÜF)

10.6.2022 Fahrt von Naukluft nach Swakopmund (2 Nächte, Golf möglich)


12.6.2022 Fahrt von Swakopmund nach Damaraland (ÜF)


14.6.2022 Fahrt von Damaraland zur Etosha Pan (3 Nächte, ÜF)

17.6.2022 Fahrt von Etosha nach Waterberg Plateau (2 Nächte, A/ÜF)

19.6.2022 Fahrt von Waterberg Plateau nach Windhoek International Airport

Danach Abholung zur Astrozeit 21.6. – 4.7.2022 auf Kiripotib

Physik: Wellen und Covektoren

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum

Wie werden Wellen beschrieben und wie helfen Covektoren dabei?

Vektoren und Covektoren

Ein Vektor ist wie ein Pfeil, also etwas, was eine Richtung und eine Größe hat.

Ein Covektor ist  wie ein “Stack”, also etwas was eine Richtung und eine Dichte hat.

So ein Feld von Covektoren ordnet jedem Vektor eine Zahl zu, nämlich die Zahl an “Stack-Linien”, die der Vektor in seiner Länge kreuzt; wobei da auch nicht-ganze Zahlen und auch negative Zahlen sein können. Vermutlich ist das bei genauerer Betrachtung ein Differentialquotient.

Etwas genauer gesagt ist ein Covektor also eine Abbildung, die jedem Vektor aus einem Vektorraum V über K eine Zahl aus dem Körper K zuordnet:

\( \alpha : V \to K \)

Die Kovektoren α verhalten sich “linear” bei Vektoraddition und Skalierung und bilden also selber einen Vektorraum (Symbol V*). In Formeln also:

\( \alpha(a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{w}) = a \cdot \alpha(\vec{u}) + b \cdot \alpha(\vec{w})  \)

Mit einer Vektorbasis kommt man zur Darstellung eines Vektors durch sog. Komponenten. Die Komponenten von (normalen) Vektoren verhalten sich “kontravariant” und wir schreiben den Index oben, die Komponenten von Kovektoren verhalten sich “kovariant” und wir schreiben den Index unten.

Beschreibung von Wellen

Bei einer Welle ändert sich eine physikalische Größe periodisch sowohl mit der Zeit als auch mit dem Ort.

Die periodische Veränderung über den Ort wiederholt sich nach eine Wellenlänge (Symbol: Lambda \( \lambda \)).
Man misst auch die Anzahl Schwingungen pro Längeneinheit, was Wellenzahl genannt wird (Symbol:  Kappa κ).

Die periodische zeitliche Veränderung wiederholt sich nach eine Periodenlänge (Symbol: T). Man misst das auch als Frequenz (Einheit: Schwingungen pro Sekunde = Hertz)

In Formeln:

\( \kappa = \frac{1}{\lambda} \)

Insofern kann man eine Welle sehr gut als Covektor-Feld beschreiben, wo wir eine Richtung haben und eine Dichte d.h. wieviel Wellen pro Zeiteinheit…

Quelle: Youtube Video: https://youtu.be/Q8SfVDr4OjU

 

Physik: Entartetes Gas (Fermi)

Gehört zu: Weisser Zwerg
Siehe auch: Thermodynamik, Quantenphysik, Ideales Gas, Hertzsprung-Russel-Diagramm

Stand: 29.07.2022

Was ist ein entartetes Gas und wie verhält es sich?

Der Begriff “entartetes Gas” tritt beispielsweise bei Weissen Zwergen auf.

Weisse Zwerge sind Sterne in der Endphase ihrere Entwicklung wo die Kernfusion aufgehört hat. Ohne Kernfusion im Inneren steht dem Gravitationsdruck ja nichts mehr entgegen und der Stern müsste komplett kollabieren. Das passiert aber nicht, weil sich im Sterninneren doch ein Gegendruck bildet, der sogenannte Fermi-Druck des entarteten Elektronengases.

Wie reagiert ein solches Fermi-Gas auf Temperaturerhöhungen?

Was meint man mit dem Begriff “Entartetes Gas”?

Die hier gemeinte “Entartung” basiert auf dem Pauli-Prinzip der Quantenmechanik, welches generell für Fermionen gilt.

Fermionen sind u.a. Elektronen, Quarks, Neutronen, Protonen,…

Generell teilt man die Elementarteilchen in Fermionen und Bosonen ein. Für Ferminonen gilt in der Quantentheorie die Fermi-Dirac-Statistik und das Pauli-Prinzip.

Entartetes Elektronen-Gas

Für Elektronen gilt in der Quantenphysik das sog. Pauli-Prinzip. Das besagt, dass je zwei Elektronen in einem Atom nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen können.

Wenn die Dichte im Inneren eines Weissen Zwergs durch Gravitationsdruck ansteigt, kommen sich die Elektronen immer näher und aus dem Pauli-Prinzip folgt dann, dass sich je zwei Elektronen nicht auf dem gleichen Energie-Niveau befinden können; sie müssen also immer höhere Energie-Niveaus besetzten, weil die unteren bereits besetzt sind.

Das so entartete Elektronen-Gas übt einen Druck aus der Fermi-Druck oder auch Entartungsdruck genannt wird.
Beim “normalen” (idealen) Gas hängt der Druck von der Temperatur ab. Der Entartungsdruck hängt nicht mehr von der Temperatur ab. Damit ein Gegendruck zum Gravitationsdruck erreicht werden kann muss also die Temperatur nicht weiter ansteigen; d.h. höhere Temperaturen, die zu weiteren Kernfusionen notwendig wären, werden nicht erreicht.

Entartungsdruck in Weissen Zwergen

Der Fermi-Druck (Entartungsdruck) im Inneren eines weissen Zwergs wirkt also dem Graviationsdruck entgegen und verhindert einen Kollaps. Im Allgemeinen stellt sich ein stabiles Gleichgewicht ein und der Weisse Zwerg kann sehr lange leben…

Ist der nach aussen gerichtete Fermi-Druck stärker als der nach innen gerichtete Gravitationsdruck, kommt es zu einer Explosion des Weissen Zwergs; d.h. einer Supernova.

Ist der nach innen gerichtete Gravitationsdruck stärker als der nach aussen gerichtete Fermi-Druck, kollabiert der Weise Zwerg zu einem Neutronenstern. Der Gravitationsdruck ist dann größer als der Fermi-Druck, wenn die Masse des Weissen Zwergs die Chandrasekhar-Grenze übersteigt. Es kann aber auch sein, dass bei der Kontraktion durch die erhöhten Temperaturen eine neue Kernfusion beginnt und so eine Supernova vom Typ Ia entsteht.

 

 

 

Astronomie: Weißer Zwerg

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Sternentwicklung, Kosmologie, Kernfusion, Fermi-Druck

Stand: 04.10.2022

Was ist ein Weißer Zwerg?

Weiße Zwerge (engl. white dwarfs, WD) sind kompakte Objekte, die sich am Ende der Entwicklung von Sternen mit etwa einer Sonnenmasse bilden.

Die Entwicklung solcher Sterne läuft in etwa in folgenden Schritten ab, wobei die Kernfusion unterschiedliche Materialien “verbrennt”:

  1. “Wasserstoff-Brennen”: Wasserstoff im “Kern” fusioniert zu Helium (der Stern ist ein Hauptreihenstern – wie unsere Sonne heute). Im Kern sammelt sich das Helium an, was aber noch keine weitere Fusionsreaktion zeigt. Wasserstoff fusioniert weiter zu Helium, aber nun in einer Schale um den Helium-Kern herum.
  2. “Helium-Brennen”: Wenn Druck und Temperatur im Helium-Kern groß genug geworden sind, fusioniert das Helium zu Kohlenstoff und ggf. Sauerstoff (der Stern wird zu einem Roten Riesen)
  3. “Kohlenstoff-Brennen”: Wenn Druck und Temperatur im Kern groß genug geworden sind, fusioniert der Kohlenstoff und ggf. Sauerstoff über mehrere Stufen zur Endstufe Eisen

Bei unserer Sonne endet diese Serie mit dem sog. Helium-Brennen. Der Kohlenstoffkern kann nicht mehr weiter “zünden”, da die erforderliche Temperatur nicht erreicht wird.

Wenn also im Inneren des Sterns keine Kernfusion mehr stattfindet, überwiegt zunächst der Gravitationsdruck, und der Stern kontrahiert bis es schießlich durch den inneren Druck eines entarteten Elektronen-Gases (Fermi) zu einem Gleichgewicht kommt. Das ist dann ein sog. Weisser Zwerg. Wenn der Stern zu massereich ist, ist der Gravitationsdruck so groß, dass es zu keinem Gleichgewicht mit dem entarteten Elektronen-Gas kommt und so der Stern weiter kollabiert. Diese kritische Massengrenze ist die berühmte Chandrasekhar-Grenze.

Die Chandrasekhar-Grenze ist die theoretische Masse eines Sterns; wobei unterhalb der Chandrasekhar-Grenze ein Weisser Zwerg entsteht und oberhalb der Chandrasekhar-Grenze der Gavitationsdruck zu stark ist und der Stern weiter kollabiert zu einem Neutronenstern oder einem Schwarzen Loch. Die diese Genzmasse wurde 1930 vom indisch-amerikanischen Astrophysiker und Nobelpreisträger Subrahmanyan Chandrasekhar hergeleitet.

Die Chandrasekhar-Grenze ist nicht für alle Sterne gleich, sondern hängt von Art der Sternmaterie ab:

  • Bei einem Kohlenstoff-Stern liegt die Chandrasekhar-Grenze bei 1,457 Sonnenmassen.
  • Bei einem Eisen-Stern liegt die Chandrasekhar-Grenze bei 1,256 Sonnenmassen.

So ein Weisser Zwerg, gibt nur noch langsam seine vorhandene Wärmeenegie ab.

Da so ein Weisser Zwerg (aus Kohlenstoff) seinen ganzen Wasserstoff und auch alles Helium durch Kernfusion verbraucht hat, sind auch im seinem Spektrum keine Wasserstoff- und keine Helium-Linien zu sehen