Gehört zu: Physik
Siehe auch: Vektorraum, Relativitätstheorie, Schwarze Löcher, Gravitation, Sphärische Trigonometrie, Metrik
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Stand: 28.11.2021

Raumkrümmung durch Metrik

Wenn man sich mit der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) beschäftigt, kommt der Begriff der “Krümmung der Raumzeit” auf z.B. um die Lichtablenkung an einer großen Masse zu “erklären”.

Wenn man in diesem Zusammenhang von “Raumkrümmung” oder so spricht, meint man nicht, dass sich der Raum in eine andere (zusätzliche) Dimension krümmt (das ist der alltägliche Begriff von Krümmung), sondern, dass wir in dem Raum bleiben und “nur” eine andere Metrik definieren, die im Vergleich zur üblichen Metrik (Euklid, flacher Raum) Abstände definiert, die variabel “gestaucht” bzw.  “gestreckt” aussehen.

Um das zu veranschaulichen könnte man sich ein Gitter aus Koordinatenlinien vorstellen, die voneinander gleiche Abstände (also Metrik) haben. Koordinatenlinien sind Linien in einem Koordinatensystem auf denen, bis auf jeweils eine, alle Koordinaten konstant sind.

Schwarzschild-Metrik

Den Einfluss der Gravitation auf die Metrik (aka Krümmung) der Raumzeit kann man z.B. an einem Schwarzen Loch studieren. Dafür hat Karl Schwarzschild (1873 – 1916) schon einfache Formeln gefunden (als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen in einem speziellen Fall). Diese Schawrzschild-Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen hate ich in einem separaten Blog-Artikel beschrieben.

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Entfernungsbestimmung, Friedmann-Gleichung, Einsteinsche Feldgleichungen, Delta Cepheiden

Stand: 02.05.2023

Expansion des Universums

Youtube Videos von Josef Gassner:

• Expansion • Skalenfaktor • Kosmologische Rotverschiebung • Hubble-Gesetz   vAzS (69): https://youtu.be/8avR8-2ndOA
• Häufige kosmologische Irrtümer vAzS(nn): https://youtu.be/MoZZvUCSae8

Edwin Hubble (1889-1953) hatte 1929 durch Beobachtungen herausgefunden, dass Galaxien eine Rotverschiebung aufweisen – und zwar um so mehr, je weiter sie von uns entfernt sind. Die Rotverschiebung (Symbol z) misst man unmittelbar im Spektrum, zur Bestimmung der Entfernung (Symbol R) konnte Hubble die von Henrietta Leawitt (1868-1921) im Jahre 1912 am Harvard College Observatory entwicklete Methode der Delta-Cephedien als Standardkerzen nutzen. Das nach ihm benannte Hubble-Gesetz ist also:

Rotverschiebung = z = const. * R

Wenn man die Rotverschiebung (s.u.) als verursacht durch eine Art “Fluchtgeschwindigkeit” (v  ≈ c * z) versteht, kann man also schreiben:

v = H * R

Wegen der Grundannahmen von Homogenität und Isotropie des Universums, geht man nicht davon aus, das wir im Mittelpunkt dieser Bewegungen stehen, sonden dass eine allgemeine und allseitige Längen-Skalierung stattfindet. Alle Längen (Symbol R) im Universum verändern sich mit der Zeit mit einem Faktor, was man als kosmologischen Skalenfaktor a(t) beschreibt. Eine Länge R₀ zum Zeitpunkt t=0 ist dann zum Zeitpunkt t:

R(t) = a(t) * R₀

Dies ist also eine Ausdehnung (oder Kontraktion) des Raumes allein. Die Zeit ist von diesem Skalenfaktor (des Raumes) nicht unmittelbar betroffen. Es wäre also falsch zu sagen, die Raumzeit dehnt sich aus – es ist nur der Raum, der skaliert.

Zum Zeitpunkt des “Urknalls” war a=0; heute ist a=1 (Konvention).

Der Skalenfaktor a(t) beschreibt die globale, gleichförmige Ausdehnung des Universums. Lokal sind “kleinere” Abweichungen möglich. Diese globale, gleichförmige Ausdehnung des Universums nennt man auch den “Hubble Flow“.

Oft wird auch gesagt,  dass sich Objekte im Universum sich nicht wirklich von uns entfernen mit einer sog. Fluchtgeschwindigkeit, sondern, dass der Raum zwischen uns und dem Objekt expandiert (was irgendwie auf das Gleiche herauskommt).

Um die Geschwindigkeit zu bekommen, differenziere ich obige Gleichung nach der Zeit (t):

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot R_0  \)

Nun setzte ich R₀ = R(t) / a(t) ein und erhalte:

\( v = \dot{R} = \dot{a}(t) \cdot \frac{R(t)}{a(t)}  \)

und damit:

\( v = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} R(t) \)

Was genau das Hubble-Gesetz ist, mit der Hubble-Konstanten:

\( \displaystyle \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}=H(t) \\\)

Als gegeben gilt für uns also die Expansion des Universums, die durch den Hubble-Parameter H(t) bzw. den Skalenfaktor a(t) beschrieben ist.

Quelle: https://youtu.be/8avR8-2ndOA

Diese Expansion des Universums mit dem Hubble-Gesetz hatte George Lemaître (1894-1966) im Jahre 1927 bereits theoretisch (also ohne praktische Beobachtungen) aus den Einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet. Da Lemaître also bereits zwei Jahre vor Hubble den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und Entfernung herausbekommen hatte nennt man das Hubble-Gesetz auch manchmal “Hubble-Lemaître-Gesetz”.

Die zeitliche Entwicklung des Universums (und speziell des Skalenfaktors a(t)) ist Gegenstand der sog. Kosmologischen Modelle. Eine wesentliche Rolle spielen dabei die Friedman Gleichungen und die Robertson-Walker-Metrik.

Der Urknall (Big Bang)

Wenn man heute beobachtet, dass sich das Universum ausdeht, könnte man das “zurückrechnen” und käme irgendwann zu einem Zustand, bei dem das gesammte Universum auf einen ganz kleinen Punkt kompremiert wäre. Von diesem Zustand aus müsste das Universum dann expandiert sein, was man als Urknall bezeichnet.

Der Begriff “Urknall” (engl. Big Bang) stammt von Fred Hoyle, der ein Anhänder des sog. Steady State Modells (also keine Expansion) war.

Dieser Urknall bezeichnet keinen Ort im Raum, sondern einen Zeitpunkt.

Das heute (2021) gängige Modell der Entstehung des Universums (genannt: “Standardmodell”) geht von einem sog. “Big Bang” aus; d.h. einer “Singularität” bei der die gesamte Masse und Energie des Universums in einem einzigen sehr heissen Punkt entstand und sich dann ausdehnte und abkühlte. Zunächst war das ein heisses Plasma aus Protonen, Elektronen und Photonen. In dieser frühen Phase des Universums konnte die Strahlung, also die Photonen, sich nicht frei bewegen, da die Photonen ständig von den freien Elektronen eingefangen und dann in zufällige Richtungen gestreut wurden. Dadurch leuchtete das ganze Plasma wie ein Feuerball.

Am Anfang war demnach ein “Big Bang”. Das Universum bestand aus sehr heißem Plasma (10³² Kelvin) und kühlte dann aber ab.
Das Universum bestand aus Materie (Protonen und freien Elektronen) sowie aus Strahlung (Photonen).
Die Photonen konnten nicht herausfliegen, weil sie extrem oft mit den freien Elektronen kollidierten.

Erst als das Universum soweit abgekühlt war, dass sich die Elektronen an die Protonen binden konnten (“Rekombination”) um Wasserstoffatome zu bilden, war der Weg für die Photonen frei; d.h. das Universum wurde durchsichtig. Das war bei einer Temperatur von ca. 3000 K der Fall und muss so etwa 380000 Jahre nach dem Urknall gewesen sein. Die damals frei gewordene Strahlung empfangen wir heute als “Kosmische Hintergrundstrahlung”. Diese Hintergrundstrahlung zeigt also ein Bild des Universums von der Zeit in der sich die Strahlung von der Materie entkoppelte.

Solange die Temperatur schön heiß war, konnten die freien Elektronen nicht dauerhaft an die Protonen gebunden werden. Die Bindungsenergie eines Elektrons im Wasserstoffatom liegt bei 13,6 eV, was so ca. einer Temperatur von 3000 K entspricht. Erst bei einer Abkühlung auf ca. 3000 K konnten also die freien Elektronen an Protonen gebunden werden und sich so neutrale Wasserstoffatome bilden. Man nennt dieses “Rekombination” (obwohl es ja keine “erneute Kombination” war – aber der Begriff ist historisch). Nun gab es nur noch wenige freie Elektronen und der Weg war frei für die Photonen das Plasma zu verlassen.

Damit gab es zum ersten Mal “Licht” im Universum. Modellrechnungen ergaben, das diese “Rekombination” so etwa 380000 Jahre nach dem Urknall geschah.

Raumausdehnung im Nahbereich – Gebundene Systeme

Wie würde sich eine Expansion des Raumes gemäß dieser Hubble-Konstante auf räumlich ausgedehnte Objekte (also keine als punktförmig gedachten Objekte) im Universum auswirken? Z.B. ändert sich der Abstand Erde-Mond ein klein wenig?

Die Frage ist: Hat die globale kosmologische Expansion einen Einfluss auf lokale Dynamik (Kräfte) bzw. lokale Kinematik (Entfernungen, Zeit). Man spricht da von “gebundenen Systemen” oder einem “gebundenen Zustand”; d.h. ein Zustand, wo mehrere Teilchen so aneinander gebunden sind, dass sie sich nach aussen wie ein Teilchen verhalten. Was man auch hört sind die Begriffe “gravitativ gebunden” und “elektromagetisch gebunden”.

Dazu dieses Google Sheet

Messung der Hubble-Konstante

Die nach Edwin Hubble benannte Hubble-Konstante, beschreibt die gegenwärtige Expansionsgeschwindigkeit des Universums.

Messungen zu Beginn des 21. Jahrhunderts ergaben Werte zwischen \(68 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) und \(74 \frac{km}{s \cdot Mpc}\) .
Wobei 1 Mega Parsec = 3,086 * 10²² m ist.

Aus der Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Hubble-Konstante können wir entnehmen:

Unter Verwendung von Daten des Spitzer-Weltraumteleskops, basierend auf Beobachtungen im 3,6-μm-Bereich (mittleres Infrarot) zur Neukalibrierung der Cepheiden-Distanzskala, erhielten die Wissenschaftler des Carnegie Hubble Programs neue, hochgenaue Werte für die Hubble-Konstante. Dadurch konnte dieser nun um einen Faktor 3 genauer bestimmt werden. Er beträgt (74,3 ± 2,1) km/(s·Mpc). Damit hat die Hubble-Konstante nur noch eine Unsicherheit von drei Prozent (Stand 16. August 2012).

\(\displaystyle H_{0}\approx (74{,}3\pm 2{,}1)\ {\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {s\cdot Mpc} }} \)

Die Hubble-Zeit

Als Hubble-Zeit bezeichnet man die Zeit, die seit dem Urknall vergangenen ist. In kosmologischen Modellen mit einer für alle Zeiten konstanten Expansionsgeschwindigkeit des Universums ist das der Kehrwert der Hubble-Konstanten.

Das ergibt sich wie folgt:

Betrachten wie eine Galaxis, die von uns einen Abstand von s₁ hat. So hat diese eine Fluchtgeschwindigkeit von v₁ = H₀ * s₁. Die Hubble-Zeit  wäre also die Zeit, wo diese Galaxis bei uns in einem Punkt, dem Urkanall, zusammen war. Wie lange brauchte die Galaxis um bei einer konstanten Geschwindigkeit v₁ die Strecke s₁ zurückzulegen? Das ist einfach:

\( {HubbleZeit} = \Large \frac{s_1}{v_1} = \frac{s_1}{H_0 \cdot s_1} =  \frac{1}{H_0} \)

Den klassischen Wert der Hubble-Konstanten schreibt man ja in den Einheiten Mpc und km/s . Wenn man das entsprechend umrechnet bekommt man in SI-Einheiten:

\(\displaystyle H_{0}\approx (74{,}3\pm 2{,}1)\ {\frac {10^3 \enspace m }{\mathrm {s\cdot 3{,}086 \enspace 10^{22} \enspace m} }} = (24{,}75 \pm 0.68) \cdot 10^{-19} s^{-1} \)

Damit bekommen wir:

\(  {HubbleZeit} =  \Large{\frac{1}{24{,}75}} \large\cdot  10^{19} \enspace s  \)

Wenn wir das in Jahren ausdrücken erhalten wir:

\(  {HubbleZeit} =  \Large\frac{10^{19}}{24{,}75 \cdot 365.25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60} \large Jahre =  12{,}8 \cdot 10^{9} Jahre\)

Entfernungen im expandierenden Universum

In einem expandierenden Universum (“Hubble Stream”) existiert kein eindeutiges Entfernungsmaß mehr. Dies widerspricht der menschlichen Alltagserfahrung im statischen Euklidischen Raum.

Link: http://www.atlasoftheuniverse.com/redshift.html

Wenn man die Entfernungen im Universum angeben will, stößt man schnell auf zwei (merkwürdige) Begriffe:

• Comoving Distance, Mitbewegte Entfernung:  D_c
• Proper Distance, Eigendistanz:   D_p

Die “Comoving Distance” zwischen zwei Objekten im Hubble Stream bleibt bei der Expansion des Universums immer gleich.

Die “Proper Distance” zwischen zwei Objekten im Hubble Stream nimmt zu mit der Expansion des Universums. Diese Definition von “Distance” ist rein theoretisch, denn wir können nicht sehen, wo ein Objekt “gerade jetzt” ist.

Es gilt die Beziehung:

\( D_p(t) = a(t) \cdot D_c \)

Link: https://scienceblogs.de/alpha-cephei/2018/05/28/was-ist-eine-mitbewegte-entfernung/

Rotverschiebung

In den Spektren von vielen Galaxien kann man eine Verschiebung der Linien zum Roten hin beobachten.

Als Rotverschiebung z definiert man den Quotienten der Differenz zwischen der Wellenlänge im Beobachtersystem (obs) und derjenigen im Emittersystem (em):

\(\displaystyle z = \frac {\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} \)

Edwin Hubble interpretierte die Rotverschiebung z als Dopplereffekt hervorgerufen durch eine Fluchtgeschwindigkeit v der Galaxien.

\(\displaystyle z \approx \frac{v}{c} \)    (für kleine Geschwindigkeiten)

Edwin Hubble konnte 1929 nachweisen, dass diese Rotverschiebung mit der Entfernung R der Galaxien zunimmt.  Es waren zwar nur 18 Galaxien, die Hubble untersuchte, doch mit wachsender Zahl hat sich dieses Ergebnis bestätigt. Dieser Zusammenhang ging als Hubble-Effekt in die Kosmologie ein und wird auch zur Entfernungsbestimmung benutzt.

\(\displaystyle v = H_0 \cdot R \)

Wenn man die Rotverschiebung als Effekt der Expasion des Universums (sog. Kosmologische Rotverschiebung) mit dem Skalenfaktor a(t)  interpretiert ist also:

\(\displaystyle z = \frac{\lambda_{obs} – \lambda_{em}}{\lambda_{em}} = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}} – 1 = \frac{1}{a} – 1 \\ \)

Oder, anders gesagt: Die Lichtwellenlänge wird gemäß dem Skalenfaktor “gedehnt”:

\( z + 1 = \Large \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{obs} \cdot a} = \frac{1}{a} \\\)

Das Hubble-Gesetz zeigt einen linearen Zusammenhang zwischen Fluchtgeschwindigkeit v (bzw. der Rotverschiebung z) und der Distanz R mit einer Proportionalitätskonstante, der Hubble-Konstanten H₀. Die Linearität hat jedoch nur im nahen Universum ihre Gültigkeit, nämlich bis zu einem maximalen Abstand von gut 400 Mpc oder z  kleiner als 0,1. Für weiter entfernte Objekte bricht die Linearität zusammen.

Bei größeren Geschwindigkeiten (d.h. relativ zur Lichtgeschwindigkeit) müssen zusätzlich die relativistischen Effekte berücksichtigt werden. Dazu schreibe ich etwas in den separaten Blog-Posts   “Robertson-Walker-Metrik” und “Friedmann-Gleichung“.

Was man “in echt” beobachten kann, ist die Rotverschiebung z. Alles andere sind Interpretationen…

Eine kosmologische Rotverschiebung von z=1 bedeutet einen Dehnungsfaktor von 1+z, also 2, d.h. dass das Licht ausgesendet wurde, als das Universum nur halb so groß war, wie heute.

Die Hubble-Sphäre

Die Hubble-Sphäre ist der um den Beobachter gedachte kugelfömige Teil des Universums ausserhalb dessen sich Objekte aufgrund der Expansion des Universums mit Überlichtgeschwindigkeit entfernen. Diese Hubble-Sphäre ist also das beobachtbare Universum.

Der “proper” Radius einer Hubble-Sphäre (genannt Hubble-Radius oder Hubble-Länge) beträgt: \(  \Large \frac{c}{H_0} \)

Mit der obenstehenden Hubble-Konstante von 68 km pro Sekunde und Mpc und der Lichtgeschwindigkeit von 299792 km pro Sekunde ergibt sich

\(  \Large r_H = \frac{299792}{68} \enspace  Mpc = 4408{,}71 Mpc  = 14{,}37 \enspace Gly\)

Der Ereignis-Horizont

Der Ereignis-Horizont r_E ist diejenige Entfernung von uns, in der heute ein Signal ausgesendet werden könnte  (z.B.  ein Lichtstrahl), das wir irgendwann in der Zukunft wahrnehmen könnten.

\( \Large r_E = c \cdot \int\limits_{heute}^\infty \frac{dt}{a(t)}  \approx 16.7 \enspace Gly\)

Der Partikel-Horizot

Der Partikel-Horizont r_P begrenzt den Teil des Universums, von dem die Erde seit dem Urknall Informationen erreicht haben können.

\( \Large r_P = c \cdot \int\limits_0^{heute} \frac{dt}{a(t)} \approx 46.5 \enspace Gly \)

Dieser Partikel-Horizont definiert das für uns beobachtbare Universum.

Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Expansion des Universums, Gravitation, Relativitätstheorie, Einsteinsche Feldgleichungen, Robertson-Walker-Metrik
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Stand: 21.04.2025

Die Friedmann-Gleichung

Link: Klaus-Peter Haupt

In der Kosmologie wollen wir das Universum als Ganzes beschreiben; d.h. die zeitlichen Entwicklung vom Urknall bis heute und weiter…
Am Ende kommen wir zum vielgenannten “Standardmodell der Kosmologie“…

Alexander Friedmann (1888-1925) wollte die Einsteinschen Feldgleichungen der ART als Ausgangspunkt benutzen, musste für sein kosmologisches Modell dann noch zusätzliche Annahmen über die Verteilung von Materie, Energie, etc. im Universum machen.

Das sog. Kosmologische Prinzip stellt sich solche Verteilungen als isotrop (das Universum sieht in alle Richtungen gleich aus) und homogen (das Universum sieht an jedem Punkt gleich aus) vor. Wobei das alles nur bei der Betrachtung sehr großer Skalen der Fall ist (hunderte von Mega Parsec).

Unter diesen einfachen Annahmen (Homogenität und Isotropie) konnte Friedmann  aus der Einsteinschen Formel der Allgemeinen Relativitätstheorie seine einfacheren sog. Friedmann-Gleichungen ableiten (s. unten).

Die Expansion des Universums

Zur Expansion des Universums hatte ich einen eigenen Blog-Post geschrieben.

Unter der Grundannahme von Homogenität und Isotropie können wir die Expansion des Universums durch den sog. Skalenfaktor a(t) beschreiben.

Kosmologie

Unter einem Kosmologischen Modell versteht man Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, bei denen einige wenige Parameter und Annahmen als Ausgangspunkt genommen werden und dann die Entwicklung des Kosmos im Laufe der Zeit (t) beschrieben werden kann.

Unter den von Friedmann gemachten Annahmen

• Robertson-Walker-Metrik (Kosmologisches Prinzip)
• Ideale Flüssigkeit (Perfect Fluid) (Energie-Impuls-Tensor)
• Einsteins Feldgleichungen  (Gravitation)

erhalten wir als  Lösungen die Friedmann-Gleichungen.

Wir kennen die Einstein’schen Feldgleichungen:
$$ \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\$$

Dort haben wir auf der rechten Seite den Energie-Impuls-Tensor. Für die Herleitung der Friedmann-Gleichung nimmt an, dass das Universum mit Materie, beschrieben als ideale Flüssigkeit (d.h. homogenen, isotrop und ohne Viskosität) angefüllt ist. Deshalb wird auch der Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit verwendet:

$$ \Large T_{\mu \nu} = \left[ \begin{array}{rrrr} -\rho c^2 & 0 & 0 & 0\\  0 & p & 0  & 0\\  0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p\end{array} \right]  \\ \\ $$

Wobei ρ(t) die Massendichte und p(t) der Druck ist.

Auf der linken Seite der Einsteinschen Feldgleichung haben wir den Metrik-Tensor, den wir aus der Robertson-Walker-Metrik kennen.

Die Friedmann-Gleichung

Die Friedmann-Gleichung können wir aus der Wikipedia entnehmen: (https://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichung)

$$ \Large \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho \, \,  – \frac{k\,c^2}{a^2}  + \frac{\Lambda \, c^2}{3}\\$$

In einem “flachen” Universum wäre k=0 und wenn wir die kosmologische Konstante weglassen, so erhalten wir vereinfacht:

$$ \Large \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho   \\$$

Kritische Dichte

In der Kosmologie wird die Dichte ρ gerne normiert mit der sog. kritischen Dichte ρ_c und wir schreiben als sog. Dichteparameter:

$$
\Omega(t) = \Large \frac{\rho(t)}{\rho_c(t)} \\
$$

Dichte umfasst alles, was Gravitation erzeugt – im relativistischen Fall also inklusive der Energie-Dichte. Diejenige Dichte, die genug Gravitation erzeugt, um der Expansion des Universums gerade so die Waage zu halten, wird “kritsche Dichte” genannt.

• Ω = 1 bedeutet ein “flaches” Universum (k=0)
• Ω < 1 bedeutet ein offenes Universum (k=-1)
• Ω > 1 bedeutet ein geschlossenes Universum (k=+1)

Die kritische Dichte ist laut Wikipedia:

$$ \rho_c (t) = \Large \frac{3 \, H^2(t)}{8 \pi G} \\ $$

Parameter in Kosmologischen Modellen

In dieser Friedmann-Gleichung stecken  einige Parameter, die wir für ein konkretes kosmologisches Modell setzen müssen.
Dabei teilen wir den Dichteparameter auf in: Ω = Ω_rad + Ω_m + Ω_Λ

• Strahlungsdichte:  Ω_rad
• Materiedichte: Ω_m (barionische und dunkle Materie)
• Dichte der dunklen Energie: Ω_Λ  (auch Vakuum-Energie genannt)
• Krümmungsparameter: k

Kosmologische Modelle als Lösung der Gleichungen

Ein wichtiger Bestanteil eines Kosmologischen Modells ist die zeitliche Entwicklung des Skalenfators a(t).

Je nach den Grundannahmen gibt es verschieden benannte Kosmologische Modelle.

Name	Annahmen	Ergebnis	Bedeutung
De Sitter	ΩΛ = 1 (also Ωm=0 und Ωrad = 0) k = -1, 0, +1	Konstanter Hubble-Parameter a(t) = a0 e Ht	theoretisches Modell
Lambda CDM	Ωm=0.3, ΩΛ=0.7 (also Ωrad = 0)		zur Zeit favorisiert
Empty Universe	Ωm=0, ΩΛ=0, Ωrad = 0
Einstein – de Sitter	Ωm= 1 (also ΩΛ=0 und Ωrad = 0) k = 0	a(t) ∼ t2/3

Abbildung 1: Kosmologische Modelle

Ω_k = 1 bedeutet Ω=0 (weil Ω_k = 1 – Ω


Copyright: NASA/WMAP Science Team

Das de-Sitter-Universum

Das einfachste kosmologische Modell ist das sog. “de Sitter”-Modell, das 1917 vom niederländischen Astronomen Willem de Sitter entwickelt wurde.

Beim de-Sitter-Universum bleibt der  Hubble-Parameter als zeitlich konstant; also H(t) = H₀ für alle t. Daraus würde sich der Skalenfaktor a(t) ergeben als:

$$  \Large a(t) = a_0 \cdot e^{H_0 \cdot t}\\ $$

Ein Universum mit diesem Kosmologischen Modell nennt man ein De-Sitter-Universum.

Dieses kosmologische Modell ist geht von folgenden Annahmen aus:

1.   Λ > 0
2.   ρ = 0   (und damit Ω_m = 0)

Wobei $$ H = \sqrt{\Large\frac{\Lambda}{3}}$$   (Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. Principles and applications of the general theory of relativity. Wiley 1972, S. 615.)

Das Einstein-De-Sitter-Universum

Das Einstein-de-Sitter-Universum hingegen beschreibt ein flaches, materiedominiertes Universum ohne kosmologische Konstante. Also:

1.  Λ = 0
2.  Ω_m = 1

Die Friedmann-Gleichung mit Newtonscher Mechanik

Youtube-Video: Josef Gassner: Von Aristoteles zur Stringtheorie

Wenn man zunächst ohne Relativitätstheorie (also nur mit der Klassischen Newtonschen Mechanik) rechnet, ergibt sich allein aus unseren Grundprämissen (Isotropie und Homogenität) und der Erhaltung der Energie (kinetische + potentielle) schon die klassische Friedmann-Gleichung. Später werden wir sehen, wie sich das relativistisch rechnet und dann für große Massen und große Abstände gilt…

Wegen der Homogenität können wir irgendeinen ganz beliebigen Punkt im Universum betrachten.
An jedem solchen Punkt im Universum haben wir eine gleiche Dichte ρ deren Wirkung ein Gravitationsfeld ist.
Im Newtonschen Ansatz ist diese Dichte allein die Massendichte, im relativistischen Fall käme noch die Energiedichte hinzu, die ebenfalls gravitativ wirken würde.
Wir betrachten dann einen Testkörper der Masse m im Abstand R von diesem Punkt.

Aufgrund der Expansion des Universums verändert sich dieser Abstand R mit der Zeit t gemäß dem Skalenfaktor:

\( R(t) = a(t) \cdot R_0 \)  Wobei R₀ der heutige Abstand sein soll

Dieser Testkörper hat nun eine Potentielle Energie (E_pot) im Gravitationsfeld und eine Kinetische Energie (E_kin) aufgrund der Expansionsbewegung.

Als Kinetische Energie bekommen wir:

$$ E_{kin} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  $$

Die Potentielle Energie bekommen wir, wenn wir die Gravitationskräfte betrachten, die auf den Probekörper wirken.

Als Gravitationswirkung haben wir die Masse der Kugel vom Radius R um den betrachteten Punkt. Da wir eine homogene Dichte ρ haben, ergibt sich diese Masse zu:

$$ M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho  $$

Nach Newton können wir diesen Teil der Gravitation wie eine punktförmige Masse behandeln. Die Massen ausserhalb dieser Kugel heben sich nach dem Newtonschen Kugelschalen-Theorem gegenseitig zu Null  auf.

Das Gravitationspotential der Kugel ist also:

$$  \Phi(r) = – \frac{G \cdot M}{r}$$

und als Potentielle Energie unserer Probemasse ergibt sich:

$$ E_{pot} = \Phi(R) \cdot m = – \frac{G \cdot M \cdot m}{R} $$

Wenn wir hier die Masse M, nach obiger Formel einsetzen, erhalten wir:

$$  E_{pot} = – \frac{G  \cdot m}{R}  \cdot \frac{4}{3}  \pi R^3 \rho     $$

und schließlich:

$$ E_{pot} = – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho   $$

Die Sume aus kinetischer und potentieller Energie soll gleich bleiben:

$$  E_{kin} + E_{pot} = \frac{m}{2} \dot{R}^2  – \frac{4}{3}  \pi \cdot G  \cdot m  \cdot  R^2 \cdot \rho  = E = const.   $$

Wenn wir dass mit 2 multiplizieren und die Masse m herauskürzen bekommen wir:

$$   \dot{R}^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  R^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  $$

Wenn wir $$ \dot{R}(t) \: und \: R(t) $$ einsetzen bekommen wir::

$$ \displaystyle   (\dot{a} \cdot R_0)^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a \cdot R_0)^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m} = const.  $$

Dies können wir noch durch R₀² dividieren und bekommen:

$$    (\dot{a} )^2  – \frac{8}{3}  \pi \cdot G  \cdot  (a )^2 \cdot \rho  = 2 \frac{E}{m \cdot {R_0}^2} = const.  $$

Nun dividieren wir noch durch a² und bringen den Minus-Term nach rechts:

$$\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{const}{a^2} $$

Das ist schon die berühmte Friedman-Gleichung…

Damit die die Newtonsche Friedmann-Gleichung ganz analog der relativistischen aussieht, formen wir sie etwas um:

$$\Large \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8}{3} \pi \cdot G \cdot \rho \; – \: \frac{k \cdot c^2}{a^2} $$

k nennen wir Krümmungsparameter; das wäre also:

$$\Large k = \frac{2 E}{m \cdot c^2 \cdot {R_0}^2} $$

Dieser Krümmungsparameter wird uns später bei der Robertson-Walker-Metrik wieder begegnen.

Je nach dem wie der sog. Krümmungsparameter k ist sagt man:

• wenn k=0  ==> “flaches” Universum (Euklidische Metrik)
• wenn k>0  ==> “geschlossens” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Kugeloberfläche)
• wenn k<0 ==> “offenes” Universum (Zweidimensionale Metrik analog einer Sattelfläche)

Im Falle k=0 würde sich für die Dichte ergeben:

$$\Large \rho_0 =  \frac{3 \cdot \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2}{8 \pi G} $$

Oder, wenn wir für \(\frac{\dot{a}}{a} \) den Hubble-Parameter H einsetzen:

$$ \Large \rho_0 =  \frac{3 H^2}{8 \pi G} $$

Diese Dichte nennen die Kosmologen gern die “kritische Dichte” und messen in ihren Modellen die Dichte dann gerne im Verhältnis zu dieser “kritischen Dichte”:

$$ \Large \Omega = \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{8 \pi G}{3 H^2} \rho \\ $$

Aufgelöst nach ρ ergibt das:

\( \Large \rho = \frac{3 H^2}{8 \pi G}  \cdot \Omega\\ \)

Die Friedmann-Gleichung mit relativistischer Mechanik

Diesen Abschnitt muss ich noch überarbeiten…

Wir gehen aus von den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART)…

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Die Herleitung der Friedmann-Gleichung nimmt an, dass das Universum mit Materie, beschrieben als ideale Flüssigkeit (d.h. homogenen, isotrop und ohne Viskosität) angefüllt ist. Deshalb wurde auch der Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit verwendet:

\(\Large T_{\mu \nu} = \left[ \begin{array}{rrrr} -\rho c^2 & 0 & 0 & 0\\  0 & p & 0  & 0\\  0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p\end{array} \right]  \\ \)

Wobei ρ(t) die Massendichte und p(t) der Druck ist.

 

Siehe auch: Viererimpuls

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