Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Koordinatensysteme, Metrik, Lie-Gruppen

Stand: 27.08.2025

Warum und wozu Mannigfaltigkeiten

Warnung / Disclaimer

Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber keinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut. Wenn ich Produkteigenschaften beschreibe, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.

Mannigfaltigkeiten braucht man beispielsweise, wenn man Gegenstände behandeln will, die nicht so flach wie die Euklidische Ebene, sondern “gekrümmt” sind.

Das klassische Beispiel, mit dem Karl Friedrich Gauss (1777-1855) zu kämpfen hatte,  ist die Erdoberfläche, die er als zweidimensionale Mannigfaltigkeit behandeln wollte.

Gauss war der Doktorvater von Bernhard Riemann (1826-1866), der den Begriff der Mannigfaltigkeiten dann später einführte.

Topologischer Raum

Bevor wir Mannigfaltigkeiten behandeln, müssen wir uns noch kurz erinnern, wie das mit Topologischen Räumen war.

Video: https://youtu.be/3k93g0GZXUg

Da gibt es offene Mengen, Umgebungen, stetige Abbildungen, Grenzwerte, evtl. eine Ordnung, evtl. eine Metrik???

Man möchte die intuitiven Konzepte wie “Nähe” und “Grenzwert” für sehr allgemeine Mengen fassen (ohne eine Metrik zu benutzen).

Wir definieren zu einer Grundmenge M:

Eine Menge \( \mathbb{O} \) von Teilmengen von M heisst “Topologie” auf M, wenn folgendes gilt:

1. \( A \in \mathbb{O} \land B \in \mathbb{O} \Rightarrow A \cap B \in \mathbb{O} \)  (endlich viele)
2. \( \forall A_i \in \mathbb{O} \Rightarrow \bigcup\limits_i A_i \in \mathbb{O} \)  (auch unendlich viele)
3. \( \emptyset \in \mathbb{O} \land M \in \mathbb{O} \)

Die Elemente von \(\mathbb{O} \) nennt man “offene” Mengen.

Wenn wir einen Metrischen Raum haben, induziert die Metrik auf natürliche Weise eine Topologie.

Wir können aber einiges auch schon ohne Metrik, nur mit Topologie, definieren z.B.:

Stetigkeit

Intuitiv bedeutet “stetig” dass bei kleinen Änderungen im Argument, der Funktionswert sich auch nur “entsprechend” wenig ändert.

Für Topologische Räume können wir das formal so definieren:

Eine Abbildung f von einem Topologischen Raum A in einen anderen topologischen Raum B

\( f: A \to B \)

heißt stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wieder offene Mengen sind.

Homöomorphismus

Ein Homöomorphismus ist eine bijektive, stetige Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Wenn es zwischen zwei Topologischen Räumen einen Homöomorphismus gibt, nennt man die Räume homöomorph, was umgangssprachlich meint “sieht so aus wie”.

Grenzwert (Limes)

In einem Topologischen Raum M können wir den Begriff “Grenzwert” definieren, ohne eine Metrik zu benutzen.

Wir sagen eine Folge von Teilmengen  \(\left(x_i\right)_{ i \in N} \) konvergiert gegen einen Grenzwert x ∈ M, geschrieben:

\( x = \lim\limits_{i \to \infty} x_i  \)

genau dann, wenn es für jede (noch so kleine) offene Menge U mit x ∈ U ein i_o ∈ N gibt, sodass  x_i ∈ U für alle i ≥ i₀.

Umgebungen

Eine Teilmenge U von M heisst Umgebung eines Punktes x aus M, genau dann wenn es eine offene Menge O gibt, sodass:

\( x \in O \subset U \\ \)

Hausdoffraum

Ein Topologischer Raum M heißt Hausdorff Raum, wenn es für je zwei verschiedene Punkte x und y aus M  jeweils offene Umgebungen U_x und U_y gibt, die diese Punkte enthalten und sich nicht überschneiden.

Dies nennt man auch das “Trennungsaxiom”.

In einem Hausdorff Raum ist damit der Limes einer Folge eindeutig.

Abzählbarkeitsaxiom

xyz

Topologische Mannigfaltigkeit

Die Grundidee ist, dass eine solche Mannigfaltigkeit lokal Euklidisch ist; d.h. eine Euklidische Topologie hat.

Definition nach Prof. Weitz (vorläufig)  https://youtu.be/DYGLqS8A0IE?feature=shared

Eine (topologische) Mannigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum M, der lokal Euklidisch ist.

Das bedeutet, dass jeder Punkt x ∈ M eine Umgebung hat, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge eines Euklidischen Raums wie \( \mathbb{R}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3,\ldots\) ist.

Wir möchten für solche Topologischen Mannigfaltigkeiten einen Dimensionsbegriff haben. Deswegen definieren wir noch etwas anders:

Eine n-dimensionale (topologische) Mannigfaltigkeit ist ein Topologischer Raum, der lokal homöomorph zu \( \mathbb{R}^n \) ist.

Dann will man noch einige “pathologische” Fälle ausschließen. Deswegen fügen wir zur Definition noch zwei spezielle Forderungen hinzu und definieren nun:

• Das erste Abzählbarkeitsaxiom muss erfüllt sein.
• Der Raum ist ein Haussdorffraum.
• Der Raum ist lokal homöomorph zu \( \mathbb{R}^n \)

Neben dem Begriff der “Topologischen Mannigfaltigkeit” gibt es noch den Begriff der “Differenzierbaren Mannigfaltigkeit” das brauchen wir später bei den Lie-Gruppen und der Quantenphysik.

Karten

Eine Karte ist ein Paar (U,φ) wobei U eine offene Teilmenge der Mannigfaltigkeit M ist und \( \phi: U \to V \subset \mathbb{R}^n \) ein Homöomorphismus.

Der Homöomorphismus φ stellt für U lokale Koordinatensysteme bereit, wodurch man den Teilraum U ⊂  M wie einen Teilraum von \(  \mathbb{R}^n \) behandeln kann.

Atlas

Ein Atlas einer Mannigfaltigkeit M ist nun eine Menge (Familie) von Karten \( A = (U_i, \phi_i) \), die die Mannigfaltigkeit M vollständig abdeckt; also \( \cup \, U_i = M \)

Dabei kann es Überlappungsbereiche zwischen zwei Karten geben, etwa  \( U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset \). In so einem Überlappungsbereich können wir durch die Abbildung \( \phi_\alpha \cdot {\phi_\beta}^{-1} \) einen sog. Kartenwechsel vornehmen.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Objekt, das lokal wie ein euklidischer Raum aussieht und auf dem Differenzieren möglich ist.

Zunächst muss das ein n-dimensionaler Topologischer Raum (s.o.) sein.

Zusätzlich sollen die Übergänge zwischen den lokalen Darstellungen (Kartenwechsel) beliebig oft differenzierbar sein.