Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Mathematik, Physik, Diagramm, Teilchenphysik, Entfernungsbestimmung, Relativitätstheorie
Benötigt: WordPress Latex-Plugin, Grafiken von GitHub, Bilder von Wikipedia
Kosmologie
In der Kosmologie wollen wir das Universum als Ganzes beschreiben inklusive der Entwicklung vom Urknall bis heute und weiter…
Am Ende kommen wir zum vielgenannten “Standardmodell der Kosmologie“…
Unsere Grundannahmen dabei sind: Isotropie (das Universum sieht in alle Richtungen gleich aus) und Homogenität (das Universum sieht an jedem Punkt gleich aus). Wobei das alles nur bei der Betrachtung sehr großer Skalen der Fall ist.
Expansion des Universums
Einsteins Gleichungen der Allgemenien Relativitätstheorie (ART) haben zwar eine statische Lösung (Einstein – De Sitter Universum), aber die allgemeinen Lösungen erheben ein dynamisches Universum z.B. mit einer Expansion.
Hierzu habe ich einen eigenen Blog-Post begonnen.
Die Friedmann-Gleichung
Auch hierzu habe ich einen eigenen Blog-Post begonnen.
Kosmische Hintergrundstrahlung
Am 15.5.2018 nahm ich an einem Gesprächskreis über die “CMB” (Cosmic Microwave Background radiation) teil.
Themen waren u.a.:
- Wie kommt es, dass die kosmische Hintergrundstrahlung (CMB) heute bei uns aus allen Richtungen gleichmäßig (“isotrop”) ankommt?
- Kann die Fluchtgeschwindigkeit von Galaxien bzw. die Expansionsgeschwindigket des Raumes schneller als die Lichtgeschwindigkeit sein?
- Woher kommt die Rotverschiebung der Galaxien?
Stichwörter
Da fielen eine Reihe von Stichwörtern, die mir nicht so geläufig waren:
- Minkowski-Raum d.h. ohne Gravitation –> Minkowski-Diagramm s.u.
- Friedmann Gleichung
- Robertson-Walker-Metrik
- Roger Penrose “CCC”
- Steinhardt Princeton
Entfernungen im Universum
In der Kosmologie hat man zwei verschiedene Maße für Entfernungen im Universum (Davis & Lineweaver 2004):
Proper Distance: Entfernung eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wegen der Expansion des Universums ändert sich die “Proper Distance” mit der Zeit.
Comoving Distance: Entfernung eines Objekts, die sich mit der Zeit nicht ändert – also die Expansion des Universums “herausgerechnet”. Die “Comoving Distance” wird definiert als identisch der “Proper Distance” zum jetzigen Zeitpunkt. Man spricht auch vom sog. Skalenfaktor a(t), der sich im Laufe der Zeit ändert. Zur Zeit t=heute ist a(heute)=1.
Minkowski (Raum, Diagramm, Metrik)
Hermann Minkowski (1864-1909) war Mathematiker und lehrte an den Universitäten Bonn, Königsberg, Zürich und hatte schließlich einen Lehrstuhl in Göttingen. In Zürich war er einer der Lehrer von Albert Einstein.
Auf Minkowski geht die Idee zurück, die Welt (wie Lorenztranformation und Spezielle Relativitätstheorie) als einen nicht-euklidischen vierdimensionalen Raum zu verstehen. Wobei er mit anschaulichen Bildern (grafischen Darstellungen) anstatt mit schwerer verständlichen Formeln arbeitete.
Zwei Begriffe kommen sofort bei “Minkowski” ins Gespräch:
- Minkowski-Raum
- Minkowski-Diagramm
Der Minkowski-Raum ist eine “größere Geschichte”: Ein vierdimensionaler Raum mit einer speziellen Metrik, denn in einem Raum möchte man ja Abstände zweier Punkte messen, Länge von Vektoren, Winkel und Flächen bestimmen. Eine solche Metrik kann man beispielsweise durch ein Skalarprodukt von Vektoren definieren.
Eine einfache Definition der Metrik im Minkowski-Raum ist gegeben durch (“Linienelement”):
ds² = c² dt² – (dx² + dy² + dz²)
Soetwas schreiben die Oberspezialisten gern als einen Tensor, auch “metrischer Tensor” genannt: \( ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}\) (bei einem Tensor wird “implizit” summiert.)
Ein Minkowski-Diagramm ist eine ganz einfache grafische Darstellung, nämlich ein rechtwinkliges zweidimensionales Koordinatensystem mit einer Zeitachse und einer Raumachse (also der dreidimensionale Raum auf eine Dimension vereinfacht) .
Beobachter, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (Inertialsysteme) haben dann als sog. “Weltlinie” eine Gerade.
Abbildung 1: Weltlinie eines Photons (Github: weltlinie.svg)
Weltlinie eines Photons
Wenn man auf der Ordinate nicht die Zeit selbst, sondern c*t aufträgt, wird die “Weltlinie” eines Photons die 45° Gerade.
Wenn man unser Universum als Minkowski-Raum verstehen wollte, mit einer durch das Linienelement
ds² = c² dt² – (dx² + dy² + dz²)
definierten Metrik, wäre das ein “flacher” Raum, also nicht gekrümmt (so zu sagen ohne Gravitation).
In so einem Minkowski-Raum, also mit der Minkowski-Metrik, lässt sich die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) sehr einfach grafisch darstellen.
Expandierendes Universum
In einem expandierenden Universum kann man eine Metrik definieren durch ein Linienelement:
ds² = c² dt² – a²(t) (dx² + dy² + dz²)
Mit a(t) als sog. Expansionsfaktor, auch “Skalenfaktor” genannt.
Robertson-Walker-Metrik
Durch die Forderung nach Isotropie erhält man aus den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) das Robertson-Walker-Linienelement
\( {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a(t)^{2}R_{\mathrm {C} }^{2}\left({\frac {\mathrm {d} x^{2}}{1-k\ x^{2}}}+x^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)\ ,} \)
wobei der Krümmungsparameter k = + 1 , 0 , − 1 ist und \( {\displaystyle x=r/R_{\mathrm {C} }}\) .
Urknall: Geschichte des Universums
Abbildung 2: Geschichte des Universums (Wikipedia: History_of_the_Universe_lang.svg)
Notizen zum Vortrag im DESY am 6.2.2020
Siehe auch: Kosmische Hintergrundstrahlung
CMB = Cosmic Microwave Background Radiation, also die Hintergrundsrahlung
Heute messen wir eine Plancksche Schwarzkörperstrahlung von 2,7 K isotrop
Entdeckt wurde die CMB zufällig (als Störstrahlung) von Wilson & Penzias bei den Bell Labs New Jersey. Sie erhielten den Nobelpreis dafür.
Gleichzeitig haben Astrophysiker im nahe gelegenen Princton das Big-Bang-Modell mit einem mathematischen Modell dargestellt. Dieses Modell sagte eine kosmische Hintergrundstrahlung voraus. Man musste so eine Strahlung nur noch praktisch nachweisen.
Am Anfang war demnach ein “Big Bang”. Das Universum bestand aus sehr heißem Plasma (1032 Kelvin) und kühlte dann aber ab.
Das Universum bestand aus Materie (Protonen und freien Elektronen) sowie aus Strahlung (Photonen).
Die Photonen konnten nicht herausfliegen, weil sie extrem oft mit den freien Elektronen kollidierten.
Solange die Temperatur schön heiß war, konnten die freien Elektronen nicht dauerhaft an die Protonen gebunden werden. Die Bindungsenergie eines Elektrons im Wasserstoffatom liegt bei 13,6 eV, was so ca. einer Temperatur von 3000 K entspricht. Erst bei einer Abkühlung auf ca. 3000 K konnten dann die freien Elektronen an Protonen gebunden werden und sich so neutrale Wasserstoffatome bilden. Man nennt dieses “Rekombination” (obwohl es ja keine “erneute Kombination” war – aber der Begriff ist historisch). Nun gab es nur noch wenige freie Elektronen und der Weg war frei für die Photonen das Plasma zu verlassen.
Damit gab es zum ersten Mal “Licht” im Universum. Modellrechnungen ergaben, das diese “Rekombination” so etwa 380000 Jahre nach dem Urknall geschah.
Genauere Messungen der CMB wurden später mit Erdsatelliten gemacht.
- 1989-1993 COBE – Cosmic Background Explorer
- 2001-2010 WMAP – Wilkinson Microwave (im Lagrangepunkt L2)
- 2009-2013 ESA Planck-Mision (im Lagrangepunkt L2)
Der Satellit COBE hat die CMB bei verscheidenen Frequenzen gemessen und so sehr genau die Kurve eines Planckschen schwarzen Stralers erhalten. Die Temperatur dieses Schwarzen Strahlers (Mikrowellenhintergrund) beträgt 2,735 K
Noch genauere Messungen durch WMAP und Planck zeigten in verscheidenen Richtungen minimale Schwankungen dieser Temperatur.
Abbildung 3: CMB Temperatur Fluktuationen gemessen vom WMAP (Wikimedia: WMAP_2010.png)
CMB Temperatur Fluktuationen gemessen vom WMAP
Wenn man aus diesen minimalen Schwankungen (Frequenz bzw. Temperatur) die bekannten Bewegungen (Milchstraße, Sonne etc.) herausrechnet, bleiben relativ gleichmäßg verteilte kleinste Temperaturschwankungen übrig, von denen man das sog. “Leistungsspektrum” (Stärke der Schwankung in Abhängigkeit von der Winkelausdehnung) analysiert.
Die Astrophysiker haben ein mathematisches Modell entworfen, das die Entwicklung des Universums seit dem Urknall beschreibt. Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate kann man die Modellparameter, die die beste Passung ergeben bestimmen. Das ganze nennt sich “Lambda-CDM-Modell”, was auch als “Standardmodell der Kosmologie” bezeichnet wird.
Zu den Modellparametern dieses Standardmodells gehören:
- Anteil der baryonischen Materie: 4,9%
- Anteil der “dunklen” Materie: 26,8%
- Anteil der “Dunklen Energie”: 68,3%
- Hubblekonstante…
Das Alter des Universums ergibt sich zu 13,8 Millarden Jahren.
Stark vereinfachtes Modell
Dies stark vereinfachte Modell habe ich gefunden bei: http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/09/19/wie-gross-ist-das-beobachtbare-universum/
Nur eine Raumkoordinate: x und eine Zeitkoordinate: t
Messung der Zeit in Sekunden, Messung der Raumkoordinate in Lichtsekunden
Szenario 1:
Wir beobachten 7 Galaxien (n = 1, 2, …, 7), die sich vom Beobachter mit Fluchtgeschwindigkeit entfernen.
Anfangsbedingungen (zum Zeitpunkt t=0):
- Entfernung vom Beobachter: \( x_n(0) = n \)
- Fluchtgeschwindigkeit bezogen auf den Beobachter: \( \dot x_n(0) = \Large \frac{n}{4} \)
- Wir haben also zum Zeitpunkt t=0 eine Hubble-Konstante von \( H(0)= \Large \frac{\dot x(0)}{x(0)} = \large 0,25 \)
Differentialgleichung (Bewegungsgleichung): \( \dot x_n(t) = \Large \frac{n}{4} \)
Lösung: \( x_n(t) = \Large \frac{n}{4} t + n \)
Damit wäre der Hubble-Parameter in unserem “Vereinfachten Modell”:
\( H(t) = \Large \frac{\dot x}{x} = \frac{\Large \frac{n}{4}}{\Large \frac{n}{4} \cdot t + n} = \Large \frac{1}{t+4} \)
Abbildung 4: Raum-Zeit-Diagramm der 7 Galaxien (Github: Kosmologie-1.svg)
Raum-Zeit-Diagramm der 7 Galaxien
Szenario 2:
Zusätzlich zu Szenario 1 wird zum Zeitpunkt t=0 ein Lichtsignal von Galaxis 7 in Richtung des Beobachters gesendet.
Anfangsbedingungen (zum Zeitpunkt t=0):
- Entfernung des Signals vom Beobachter: x(0) = 7
- Geschwindigkeit des Signals in Bezug auf den Beobachter: v(0) = c – Fluchtgeschwindigkeit der Galaxie 7 also v(0) = 1 – (7/4) = – (3/4)
Bewegungsgleichung des Lichtsignals:
- v(t) = c – Fluchtgeschwindigkeit (x,t)
- \( \dot x = 1 – \Large \frac{x}{t + 4} \)
Abbildung 5: Raum-Zeit-Diagramm der 7 Galaxien mit einem Lichtsignal (Github: Kosmologie-2.svg)
7 Galaxien und ein Lichtsignal
