Physik: Phasenübergang

Gehört zu: Thermodynamik
Siehe auch: Mexican Hat

Stand: 19.11.2024

Phasenübergang

Warnung / Disclaimer

Diesen Blog-Artikel schreibe ich ausschließlich zu meiner persönlichen Dokumentation; quasi als mein elektronisches persönliches Notizbuch. Wenn es Andere nützlich finden, freue ich mich, übernehme aber kleinerlei Garantie für die Richtigkeit bzw. die Fehlerfreiheit meiner Notizen. Insbesondere weise ich darauf hin, dass jeder, der diese meine Notizen nutzt, das auf eigene Gefahr tut.
Wenn Podukteigenschaften beschrieben werden, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.

Ein Phasenübergang findet statt, wenn Eigenschaften einer Materie sich plötzlich an einem kritischen Punkt (z.B. einer kritischen Temperatur) qualitativ ändern.

Das bedeutet normalerweiser ein Wechsel in Ordnung und Symmetrie.

Die bekannteste Beispiele dafür sind der Übergang von Eis (Aggrgatzustand fest) zu Wasser (Aggregatzustand flüssig) bei 0∘C und der Übergang von Wasser zu Dampf (Aggregatzustand Gas) bei 100∘C.

Bei einem Phasenübergang ändert sich die Energie (wird frei bzw. wird investiert); z.B. Verdampfungswärme, …

Astrofotografie: Software StarNet++

Gehört zu: Astrofotografie
Siehe auch: Siril, ComputerFlachmann

Stand: 17.11.2024

Die Software StarNet

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Mit der Software StarNet++ kann man aus einem Astrofoto die Sterne “herausrechnen”. Man bekommt damit zwei Bilder: eins ohne die Sterne (z.B. nur der Nebel) und eins nur mit den Sternen.

Der Sinn der Sache ist, dass man Nebel und Sterne unterschiedlich bearbeitet (z.B. Nebel kontrastreicher, Sterne kleiner) und die beiden Bilder dann wieder zu einem zusammenfügt.

Die Software StarNet gibt es als sog. Stand-Alone-Version oder als eingebaute Zusatzfunktion in anderer Astro-Software z.B. Siril, PixInsight,…

Probleme mit StarNet

StarNet benutzt anscheinend  CPU-Instruktionen aus den “Advanced Vector Extensions” (AVX), die von der Intel N5030 CPU nicht unterstützt werden. Damit kann ich es auf meinem Astro-Computer ComputerFlachmann leider nicht einsetzen.

Physik: Mexican Hat

Gehört zu: Quantenmechanik
Siehe auch: Symmetrie, Potential, Phasenübergang, Quantenfluktuation

Stand: 14.11.2024

Potential als Mexican Hat

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Youtube-Video: https://youtu.be/hrJViSH6Klo?si=4faayg0xGdABbYe8

Wenn ein Potiential in einem Feld die Form einer Parabel z = a x2 + b hat, so haben wir eine klassische Bewegungsgleichung und die Lösung ist ein harmonischer Oszillator.  Dieser Zustand ist rotationssymmetrisch um die z-Achse (was man U(1) nennt) und hat seine niedrigste Enegie bei x=0.

Wenn sich das Potentialgebirge dann verändert in Richtung eines sog. “Mexican Hat” (die Amerikaner kennen keinen Sombrero), dann sieht man zwei Gleichgewichtszustände wo sich ein Teilchen aufhalten könnte: Einmal der ursprüngliche Ort bei x=0, der aber nun nicht mehr der niedrigste ist, sondern die tiefer liegende Rinne in der Krempe des “Mexican Hat”. Das Teilchen wird also auf das niedrigere Niveau streben, aber der Zustand wäre dann nicht mehr rotationssymmetrisch (nicht mehr U(1)). Deshalb spricht man von einem Symmetriebruch.

Abbildung 1: Mexican Hat (Github: MexicaHat.svg)

Physik: Quantencomputing

Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Wellenfunktion, Superposition, Verschränkung, von Neumann

Stand: 08.11.2024

Eine Umfrage zum persönlichen astronomischen Hintergrund: Umfrage.

Was ist ein Quantencomputer?

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Ein Quantencomputer hat als Speicher keine “normalen” Bits, die also genau zwei Zustände (Null oder Eins) annehmen können, sondern sog. “Qubits”.

So ein Qubit ist ein quantenmechanisches Element, das durch eine Wellenfunktion Ψ beschrieben wird; wobei ein Qubit eine Superposition zweier Zustände |0> und |1> ist und alle Überlagerungen vorkommen können:

\( |\Psi \rangle = \alpha \cdot |0 \rangle + \beta \cdot |1 \rangle  \\ \)

Wobei \(  \alpha^2 + \beta^2 = 1 \) sein muss.

Das Qubit ist ein quantenmechanisches Element, wobei eine Observable ausgelesen werden kann, die genau zwei unterschiedliche Werte anzeigen wird.

Superposition und Verschränkung sind erforderliche Mechanismen; d.h. die Wellenfunktion darf nicht kollabieren.

Der Quantencomputer muss dann Operationen haben, die das Schreiben und Lesen von Qubits erlauben sowie eine Art “Berechnung”, die aus zwei Eingangs-Qubits ein oder mehrere Ergebnis-Qubits erzeugt (Rechenwerk). Dies macht man mit sog. Gattern.

Für das Funktionieren eines Quantencomputers ist wichtig, wie lange der Zustand der Qubits “kohärrent” bleibt. Durch jede Wechselwirkung mit anderen Teilchen kollabieren die Wellenfunktionen; d.h. der Zustand wird “inkohärent”. Diese sog. Kohärenzzeit muss lange genug dauern, um die erwünschte Rechenoperation und das Auslesen der Ergebnisse zu ermöglichen.

Technische Realisierung von Qubits

Ursprünglich hat man solche Qubits realisiert durch supraleitende Schaltkreise. Heutzutage spricht man über folgende prinzipielle Realisierungsmöglichkeiten:

  • Supraleitende Schaltkreise
  • Ionenfalle
  • Kalte Neutralatome
  • Halbleiter Spin
  • Stickstoff-Fehlstellen in Diamanten
  • Photonen

xxx

Familie: Mein Vater Günter Kracht

Gehört zu: Familie
Siehe auch: Kolberg, Bremen

Stand: 27.10.2024

Günter Kracht

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Von meinem Bruder Rainer hatte ich mit Datum 8.3.2013 00:58 eine E-Mail mit Attachment namens “papa.txt” bekommen. Dort hat er aufgeschrieben, was er aus Erzählungen und einigen Dokumenten so über unseren Vater heraubekommen hat. Der Text lautet:

Papa geboren 10.10.1908 in Loitz, Vorpommern
Hebamme Sophie Müller (s. Geburtsurkunde)

Nach Danzig gezogen mit etwa zweieinhalb Jahren

Bruder Gerhard (April geboren) mit 6 Jahren an Scharlach gestorben

[späterer Eintrag: * 18.04.1910, + Dezember 1915, 5 Jahre alt]

Papa wohnte in Danzig-Neufahrwasser

Er ging zum Gymnasium Peter und Paul, Oberrealschule ohne Latein.
Die Schule war 8 km entfernt, er wollte mit der Staßenbahn allein dahin fahren, seine Mutter saß dann im zweiten Wagen als er sechs Jahre alt war. Es gab keine Grundschule, sondern eine dreijährige Vorschule.

1927 Abitur

Studium in München nur ein oder zwei Semester.

Dann nach Berlin, für zwei Jahre?
Hat dort Schulden gemacht, Brief an die Eltern
Unklar ob von ihm oder Verwandten
[in Potsdam war seine Tante Bertha Kracht verh. Klockow
und in Berlin seine verwitwete Tante Minna Kracht/Bischof]

Opa ist auf die Bahn nach Berlin und hat 1000 RM bezahlt,
dann wurde in Danzig studiert (Germanistik).

Bruno [Gramse] und Anneliese, Dr. Jost studierten da auch.

Seine Doktorarbeit über Sudermann (Westpreussen) und Max Halbe
war halb fertig, aber kein Termin für Prüfung.

1934 Auftrag vom Vorposten: Kritik zu Vortrag schreiben
aus drei Seiten [von ihm] wurden 10 Zeilen [im Vorposten]
es gab weitere Aufträge.

Papa fängt an beim Danziger Vorposten als freier Mitarbeiter,
später feste Anstellung.

Bei Heirat 1938 [Erika Arke] war er das schon Christa geboren 1938 [17.10.1938],
im Januar 40 Klaus [20.01.1940]
Ehe ging nicht gut. Erika war 17, Papa 29 als sie heirateten.
[bei anderer Gelegenheit erzählte Mutti, dass er gern mit seinen
Kollegen in der Kneipe saß statt sich um die Familie zu kümmern]

Mathematik: Wahrscheinlichkeit

Gehört zu Mathematik
Siehe auch: Wellenmechanik

Stand: 06.10.2024

Wahrscheinlichkeit

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YouTube-Video von Edmund Weitz: https://youtu.be/BYUKbEXXmG4?feature=shared

Die die Anfänge der Wahrscheinlichkeitstheorie stammen wohl aus der Spieltheorie z.B. Würfelspiele etc.

In der klassische Definition hat man:

  • Eine Menge von Elementarereignissen Ω, die alle gleich wahrscheinlich sein sollen
  • Ein Zufallsexperiment bei dem ein Element x ∈ Ω gezogen wird.
  • Man definiert eine Teilmenge A ⊂ Ω.
  • Dann fragt man sich, mit welcher Wahrscheinlichkeit das gezogene Element in der Teilmenge A liegen wird.

Anzahl “günstige” Fälle / Anzahl aller möglichen Fälle

Als Formel:

\( P(A) = \Large\frac{|A|}{|Ω|}  \\ \)

Das ist die sog. Laplace-Wahrscheinlichkeit.

Solange die Menge Ω endlich ist funktioniert das ja bestens.

Man nennt diese Sichtweise auch die “frequentistische”. Da geht es also um relative Häufigkeiten und wiederholbare Versuche, die langfristig sich der “wahren” Wahrscheinlichkeit annähern.

Axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903-1987) hat die Wahrscheinlichkeitsrechnung axiomatisch aufgebaut.

Sei Ω eine beliebige nicht leere Menge und P eine Funktion (Abbildung), die Teilmengen von Ω eine reelle Zahl zuordnet.
Eine Teilmenge von A ⊂ Ω nennen wir auch ein “Ereignis” und die zugeordnete Zahl P(A) die “Wahrscheinlichkeit” des Ereignisses A.

  1. Für alle Ereignisse A ist P(A) ≥ 0
  2. Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Ω ist P(Ω) = 1
  3. Wenn wir zwei Ereignisse A und B betrachten, die “unvereinbar” sind; soll heissen A ∩ B = Ø, dann gilt:
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Problematisch wird das, wenn die Grundmenge Ω überabzählbar ist. Dann kann man nicht jeder Teilmenge A ⊂ Ω eine reelle Zahl P(A) zuordnen, so dass die obigen Axiome erfüllt sind. Der Definitionsbereich der Funktion P muss dann etwas “trickreicher” definiert werden, was man mit Hilfe der Maßtheorie hinbekommt (Stichwort: σ-Algebra).

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass das Eintreten von B bereits bekannt ist schreibt man als: P(A|B).

\( P(A|B) = \Large\frac{P(A \, \cap \, B)}{P(B)} \)

Aufgepasst: die Ereignisse A und B können zeitlich in beliebiger Reihenfolge eintreten. Ein Kausalzusammenhang ist erst recht nicht gemeint.

Wahrscheinlichkeit nach Thomas Bayes

Man nennt diese bisherigen Betrachtungen auch die “frequentistisch”. Da geht es also um relative Häufigkeiten und wiederholbare Versuche, die langfristig sich der “wahren” Wahrscheinlichkeit annähern.

Wir beginnen mal mit der “Bedingten Wahrscheinlichkeit” von oben. Man kann die Formel dafür auch anders schreiben:

\( P(A|B) = \Large \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \)

Dieses wird auch genannt “Satz von Bayes“.

Wenn ein Ereignis nicht wiederholbar ist, versagt die frequentistisch Definition von Wahrscheinlichkeit.

Beispiele:

  • “Die Inflation wird im nächten Jahr mehr als 2% sein”
  • “Wie wahrscheinlich ist ein Wahlsieg des ehemaligen Präsidenten?”
  • “Wie hoch ist morgen die Regenwahrscheinlichkeit?”

Hier wird der Begriff “wahrscheinlich” umgangssprachlich verwendet – so in etwa in dem Sinne:

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Sicherheit der (persönlichen) Einschätzung eines Sachverhalts.

Wahrscheinlichkeiten in diesem Sinne werden auch vergleichend (“komperativ”) gebraucht:  “Die Wahrscheinlichkeit für Regen morgen ist höher als für Regen übermorgen”.

Insofern könnte man eine so gemeinte Wahrscheinlichkeit auch sinnvoll durch eine Zahl zwischen Null und Eins ausdrücken. Man muss dieses o.g. “Maß” also irgendwie quantifizieren.

Für so eine Quantifizierung der Bayesschen Wahrscheinlichkeit gibt es zwei Ansätze.

Ansatz 1: de Finetti

Die Idee ist, dass man Gewissheit durch eine Art Wette quantifizieren kann.

Zu jedem Ereignis A, dem ich eine Wahrscheinlichkeitszahl zuordnen will mache ist ein Los, für das der Käufer einen “Gewinn” von 1 Euro von mir bekommt, wenn das Ereignis A eintrifft. Die Frage ist, zu welchem Preis ich so ein Los verkaufen würde. Dieser Preis, den ich festlege ist so etwas wie die von mir (subjektiv) eingeschätzte Sicherheit/Wahrscheinlichkeit mit der ich glaube, dass das Ereignis eintreten wird.

Ich muss zu diesem Preis (oder höher) verkaufen, wenn ein Käufer das anbietet; ich muss zu diesem (oder einem niedrigeren) Preis selber (zurück)kaufen, wenn ein Verkäufer das von mir verlangt.

Ansatz 2: Erweiterung der klassische Logik

Nachwievor arbeiten wir mit Aussagen die entweder (ganz) wahr oder (ganz) falsch sind, wir wissen es nur nicht genau. Daher ordnen wir solchen Aussagen Plausibilitäten zu (auf Grund von Tatsachen, die wir kennen).

Im Prinzip betrachten wir nicht allein Aussagen, sondern Kombinationen von Aussagen und Informationsständen und schreiben als Plausibilität von A bei einem Informationsstand I:

(A,I) ∈ [0,1]

Wobei das eine reelle Zahl zwischen o und 1 sein soll und bei gleichem A und gleichem I auch (A,I) immer gleich sein soll (Plausibilitäsroboter – also nicht subjektiv).

Das ganze soll nicht der Aussagenlogik widersprechen, was wir in einfachen Axiomen hinschreiben könnten.

Physik: QED Quantenelektrodynamik

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elementarteilchenphysik, Quantenfeldtheorie

Stand: 30.9.2024

QED Quantenelektrodynamik

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Wenn Podukteigenschaften beschrieben werden, sind dies ausschließlich meine persönlichen Erfahrungen als Laie mit dem einen Gerät, welches ich bekommen habe.

Die Quantenelektrodynamik ist eine Quantenfeldtheorie und soll die Grundkraft “Elektromagnetismus” erklären.

Betroffene Teilchen sind: Proton, Neutron und Elektron

Austauschteilchen: Photon

Gruppentheorie: U(1)

Begonnen hat die Entwicklung der QED mit Paul Dirac. Später brachten Richard Feynman u.a. sie zur Vollendung. Nobelpreis 1965.

Physik: Quanten-Verschränkung

Gehört zu: Quantenmechanik
Siehe auch: Wellenfunktion

Stand: 25.9.2024

Quanten-Verschränkung – Entanglement

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YouTube: https://youtu.be/WSD24yvMj1w?feature=shared

Zwei Teilchen (Quanten-Teilchen) können “verschränkt” sein – engl. “entangled”.

Zwei verschränkte Teilchen können entstehen, wenn ein ursprüngliches Teilchen in zwei Teilchen zerfällt. Wenn das ursprüngliche Teilchen eine Erhaltungseigenschaft hatte, muss diese in den entstandenen zwei Teilchen in Summe unverändert auftauchen.

Man sagt auch, dass die zwei Teilchen eine gemeinsame Wellenfunktion haben.

Manchmal hört man auch, dass ein Quanten-System aus zwei Teilchen als Wellenfunktion das Produkt der beiden einzelnen Wellenfunktionen hat.

Wie enstehen verschränkte Teilchen?

Die Standard-Methode verschränkte Teilchen zu erzeugen ist die sog. “Paarerzeugung”; d.h. ein energiereiches einzelnen Teilchen zerfällt in ein Paar von Teilchen. Typischer Weise ein Teilchen und sein Antiteilchen; beispielsweise:

  • Elektron und Positron
  • Ein hochenegetisches Photon zerfällt in zwei Photonen mit halber Energie (halber Frequenz) z.B. beim Durchgang durch einen nichtlinearen Kristall

Die beiden so entstandenen Teilchen haben dann in der Summe die Eigenschaften des ursprünglichen Teilchens. soweit es sich um Erhaltungsgrößen handelt. Z.B. Ladung, Spin, Energie, Impuls etc. In diesem Sinne sind die beiden Teilchen also über diese Erhaltungsgrößen mit einander verbunden.

Die beiden verschränkten Teilchen haben dann eine gemeinsame Wellenfunktion. Wenn man an einem der beiden Teilchen eine Messung einer Observablen vornimmt, kollabiert die ganze Wellenfunktion instantan (s. Kopenhagener Deutung) und der Wert der Observablen für beide Teilchen (auch wenn sie weiter von einander entfernt sind) wird gleichzeitig “scharf”.

Physik: Kopenhagener Deutung

Gehört zu: Quantenpysik
Siehe auch: Wellenfunktion, Materiewellen

Stand: 25.9.2024

Kopenhagener Deutung

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Nach der sog. Kopenhagener Deutung (1927 Niels Bohr und Werner Heisenberg) ergibt sich aus der Wellenfunktion eines Teilchens eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x,t) für den Aufenthaltsort und zwar wird dabei der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat genommen:.

\( \Large \rho(x,t) = | \Psi(x,t) |^2 \\\)

Aus dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ergibt sich der Erwartungswert für den Ort des Teilchens zum Zeitpunkt t:

\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, \rho(x,t) \, dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, | \Psi(x,t) |^2 \, dx \\\)

Da der Betrag einer komplexen Zahl z definiert ist über: \( | z |^2 = z \cdot z^* \) folgt daraus…

\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^*(x,t) \, x \, \Psi(x,t)  \, dx \\\)

In dieser Form sehen wir schon einen ersten Operator (s.u.), der auf die Wellenfunktion wirkt und uns ein Observable (den Ort) als Erwartungswert bringt. Zum Erwartungswert siehe auch: Susskind.

Im Falle einer Wellenfunktion mit einer ganz dünnen und hohen Spitze und ansonsten Null können wir den Erwartungswert des Ortes <x> gleichsetzen mit dem definitiven Ort des Teilchens und bekommen- nach einigem Rechnen – die Newtonsche Mechanik. So zeigt es im Prinzip Paul Ehrenfest.

Physik: Das Bohrsche Atommodell

Gehört zu: Atomphysik
Siehe auch: Quantentheorie, Coulomb, Zentrifugalkraft

Stand: 20.9.2024

Das Bohrsche Atommodell

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Niels Bohr (1885-1962) stellte 1913 das berühmte Bohrsche Atommodell auf. 1922 erhielt er den Nobelpreis für Physik.

Das Atommodell von Niels Bohr stellt eine Verfeinerung des Atommodells von Ernest Rutherford dar.

Rutherford konnte schon zeigen, dass das Atom einen sehr kleinen Kern besitzt in dem praktisch die gesammte Masse des Atoms vereinigt ist und der positiv geladen ist. Um den Kern herum gibt es die praktisch leere Atomhülle in der die negativ geladenen Elektronen herum schwirren.

Das Atommodell von Niels Bohr besagt, dass die Elektronen den Atomkern auf Kreisbahnen bestimmter Energie umrunden. Da man wusste, dass beschleunigte Elektronen (Kreisbahn = Beschleunigung) Energie in Form elektromanetischer Strahlung abstrahlen müssen, stellte Bohr zusäzliche Postulate auf, die zunächst ohne physikalische Begründung blieben:

1. Dem Elektron stehen nicht alle klassisch möglichen Bahnen zur Verfügung, sondern nur bestimmte ausgewählte von ihnen. Auf diesen Bahnen erzeugt es keine elektromagnetische Strahlung, sondern behält seine Energie. Dies sind die stationären Zustände des Atoms.

2. Ein Elektron kann von einem stationären Zustand in einen anderen springen. Bei diesem als Quantensprung bezeichnete Vorgang, wird elektromagnetische Strahlung emittiert oder absorbiert. Dabei ergibt sich die Frequenz ν der Strahlung durch die Energiedifferenz  der beiden Zustände zu \(\nu = \Delta E \cdot h \)

3. Die stabilen Elektronenbahnen zeichnen sich dadurch aus, dass der Bahndrehimpuls des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums ist:

\( L = n \cdot \hbar \, \, (n=1,2,3,\ldots) \)

Dies bezeichnet man auch als die Quantenbedingungen und n als sog. Hauptquantenzahl.

Diese nicht-klassischen Postulate sollen sich im Grenzfall klassischen Gesetzen anhähern (Korrespondenzprinzip).

Maßeinheiten

Das Wirkungsquantum können wir messen in den SI-Einheiten:  \(  J\,s = \frac{kg \, m^2}{s^2} s = \frac{kg \,  m^2}{s} \)

Einen Drehimpuls (s.u.) messen wir in den SI-Einheiten: \( N \, m\, s  = \frac{kg \, m^2}{s} \)

Drehimpuls

Klassischerweise ergibt sich der Drehimpuls L als Trägheitsmoment J mal Winkelgeschwindigkeit ω, also:

\( L = J \cdot \omega \)

Und das Tägheitsmoment einer Kreisbewegung eines Teilchens der Masse m auf einer Bahn mit dem Radius r wäre:

\( J = m \cdot r^2 \)

Die Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn ergibt sich aus Radius r und Bahngeschwindigkeit v wie folgt:

\( \omega = \frac{v}{r} \)

und bekommen als Bahndrehimpuls:

\( L = r \cdot m \cdot v \)

Nun können wir v ermitteln, denn Anziehungskraft und Zentripedalkraft müssen sich auf einer Kreisbahn die Waage halten:

XYZ

Elektrostatische Kraft im Wasserstoffatom

Link: https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/aufgabe/elektrische-kraefte-im-wasserstoffatom

Wobei im Wasserstoffatom gilt:

  • Elektrische Ladung eines Elektrons: \( q_e = -1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Elektrische Ladung eines Protons: \( q_p = +1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Masse eines Elektrons: \( m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} kg \)
  • Angenommene Entfernung Proton-Elektron: \( r = 5.29 \cdot 10^{-11} m  \)  (Bohrscher Radius)

Damit errechnet sich die elektrische Anziehungskraft zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom (unter Vernachlässigung anderer Kräfte) zu:

\( \Large F = \frac{1}{4 \cdot 3.1415 \cdot 8.8541 \cdot 10^{-12}}   \cdot \frac{1.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-38}}{5.29^2 \cdot 10^{-22}}  N \\\ \)

Ausgerechnet:

\( \Large F = \frac{1}{111.2639 \cdot 10^{-12}}   \cdot   0.0914805 \cdot 10^{-16}   N  \)

Weiter gerechnet:

\( \Large F = \frac{ 0.0914805}{111.2639}  \cdot 10^{-4}   N = 0.0008221939 \cdot 10^{-4} N = 8.221939 \cdot 10^{-8} N \)

Kreisbahn im Wasserstoffatom

Für eine Kreisbahn ist eine Zentripedalkraft in gleicher Höhe wie die zentrale Anziehungskraft erforderlich.  Bei einer Bahngeschwindigkeit von v und einem Bahnradius von r ist die Zentripedalkraft:

\( \Large F = \frac{m \cdot v^2}{r} = 8.221939 \cdot 10^{-8}N \)

Also

\( \Large v =\sqrt{\frac{8.221939 \cdot 5.29 \cdot 10^{-19}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} m/s = \sqrt{4.779568 \cdot 10^{12}} m/s = 2.186222 \cdot 10^6 m/s \)

Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

Im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit von 299792 km/s = 2.99792 · 108 m/s sind das ca. 0,73% also noch nicht “relativistisch”.

Das Problem dieses “simplen” Atommodells ist also nicht, dass die (theoretische) Bahngeschwindigkeit des Elektrons zu schnell sein müssste; verglichen zur Lichtgeschwindigkeit, sondern das Problem liegt darin, dass ein bewegtes (und beschleunigtes) Elektron eine elektromagnetische Welle abstrahlen müsste (siehe Dipolformel) und damit laufend Energie verlieren würde und dadurch nach kurzer Zeit in den Atomkern stürzen müsste.