Physik: Plancksches Strahlungsgesetz

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Gehört zu: Physik
Siehe auch: Teilchenphysik, Von Pythagoras bis Einstein, Lineare Algebra, Quantenmechanik
Benötigt: WordPress Latex-Plugin, Fotos von Wikipedia

Stand: 14.08.2024

Anfänge der Quantenmechanik

Im Jahr 1900 formulierte Max Planck (1858-1947) sein Strahlungsgesetz und seine Quantenhypothese. Erst um 1925 entwickelte sich daraus eine Quantentheorie/Quantenmechanik, die die physikalische Systeme im Allerkleinsten (z.B. Elementarteilchen, Atome,…). gut beschreibt.

Abbildung 1: Flammarion Holzschnitt (Wikipedia: FlammarionWoodcut.jpg)

Flammarion Holzschnitt (Wikipedia)

Strahlungsgesetze vor Max Planck

Man kannte früher schon die abgestrahlte Gesamt-Energie (Stefan-Boltzmann-Gesetz) und auch die Wellenlänge bei der das Maximum an Energie abgestrahlt wird (Wiensches Verschiebungsgesetz).

Dieses nach Wilhelm Wien (1864-1928) benannte Wiensche Verschiebungsgesetz besagt, dass  ein Schwarzer Körper der absoluten Temperatur T die intensivste Strahlung bei einer Wellenlänge λmax abgibt, die umgekehrt proportional zu seiner Temperatur ist; als Formel:

\( \lambda_{max} = 2897,8 \mu m \cdot \frac{1}{T}\)   (T in Kelvin)

Aus der Farbe eines thermischen Strahlers kann so auf seine Temperatur zurückgeschlossen werden. Zum Beispiel teilt man die Sterne gemäß ihrer Farbe in Spektralklassen ein, denen eine Temperaturskala entspricht.

Wilhelm Wien fand auch schon 1893 eine Formel für die spektrale Verteilung der Energie, die recht gut zu den experimentellen Messungen passte:

\( \rho(\lambda) = \Large \frac{c_1}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^\frac{c_2}{\lambda T}} \)

Raleigh (John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) veröffentlichte im Jahre 1900 sein Gesetz für die Energieverteilung mit einem noch falschen Vorfaktor, das wurde 1905 von James Jeans wie folgt korrigiert:

\( \rho(\lambda) = \Large \frac{2c\pi}{\lambda^4} \normalsize \cdot k_B T \)

Diese früheren Formeln zur Verteilung der Energie über die Wellenlängen waren beide unbefriedigend.

Das Wiensche Strahlungsgesetz von 1893 passte zwar für kleine Wellenlängen ganz gut, aber für größere Wellenlängen wich es durchaus ab von den gemessenen Werten.
Das Strahlungsgesetz von Rayleigh und Jeans von 1905 war gut für größere Wellenlängen, führte aber bei kurzen Wellenlängen zur sog. “Ultraviolettkatastrophe”.

Das Plancksche Strahlungsgesetz

Max Planck (1858-1947) beschäftigte sich mit die Strahlung eines sog. “Schwarzen Strahlers”. Speziell ging es ihm darum, wie sich in Abhängigkeit von der Temperatur die abgestrahlte Energie über die Wellenlängen hin verteilt.

Planck konnte im Jahre 1900 ein Strahlungsgesetz entwickeln, das zeigt welche Strahlungsenergie ein “Schwarzer Strahler” einer bestimmten Temperatur (T) in Anhängigkeit von der Wellenlänge (\(\rho(\lambda)\)) oder der  Frequenz  (\(\rho(\nu)\)) aussendet. Plancks Strahlungsgesetz ist eigentlich nur eine Formel wie viele andere in der Physik auch, die endlich die Verteilung der Strahlungsenergie in Abhängigkeit von der Frequenz bzw. der Wellenlänge der Strahlung “richtig” darstellt.

\(  \rho(\nu) = \Large \frac{8 \cdot \pi  \cdot h \cdot \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^\frac{h \nu}{k T} – 1}\\\)

oder in Abhängigkeit der Wellenlänge:

\(  \rho(\lambda) = \Large \frac{8 \cdot \pi  \cdot h \cdot c}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^\frac{h \nu}{k T} – 1}\\\)

Wobei die Formel im ersten Fall die Strahlungsleitsung pro infinitesimalem Frequenzintervall  \( d\nu \) und im zweiten Fall pro infinitesimalem Wellenlängenintervall \( d\lambda \) ergibt.

Abbildung 2: Verteilung der Stahlungsenergie

Planksches Strahlungsspektrum (Wikipedia)

Wir sehen, dass je nach Temperatur, das Maxium der Strahlung bei einer anderen Wellenlänge (einer anderen Farbe) liegt.

Im Grenzfall \( h\nu \gg kT\) ergibt sich das Wiensche Strahlungsgesetz; im Grenzfall \( h\nu \ll  kT \) das Rayleigh-Jeanssche Strahlungsgesetz.

In Plancks Formel kommt eine vom ihm so genannte “Hilfskonstante” h vor, die später als das legendäre Plancksche Wirkungsquantum interpretiert wurde. Die physikalische Größe “Wirkung” bezeichnet eine Energie (Joule), die in einer bestimmten Zeit  (Sekunden) etwas “bewirkt”. Die Planck’sch Hilfskonstante ist:

h = 6,626069 ⋅ 10-34 J ⋅ s

h = 6,626   069 ⋅ 10 − 34   J ⋅ s

Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes

Dieses Youtube-Video von Rene Matzdorf  an der Uni Kassel versucht, die Herleitung der Planck’schen Formel (Strahlungsgesetz) über die Strahlung den schwarzen Körpern, sog. Hohlraumstrahlung und darin existierenden stehenden Wellen (Hohlraum-Resonator) herzuleiten:

Der Zusammenhang ist für mich nicht so leicht nachvollziehbar. Aber man muss das Placksche Schrahlungsgesetz ja überhaupt nicht “herleiten” – hat Newton bei seiner Gravitationstheorie ja auch nicht gemacht.

Planck selbst hat die Herleitung seines Strahlungsgesetzes am 14.12.1900 in Berlin vor der Deitschen Physikalischen Gesellschaft gezeigt.

In physikalischen Formeln wird auch häufig ein sog. “Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum” mit dem Symbol “h quer” verwendet. Es ist definiert als: \( \hbar = \Large\frac{h}{2\pi} \)

Quelle: http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/historisch/schwarze_korper.html

Plancks Quantenhypothese

Häufig hört man, dass aus Plancks Formel angeblich die Aussendung der Energie in sog. Quanten (ganzzahlige Vielfache  von h mal ν) folgt. Das kann man aber aus der Formel selbst überhaupt nicht ableiten. Vielmehr ist es so, dass Planck (angeblich) auf diese Formel kam indem er elektromagnetische Strahlung (das Licht) als Teilchen modellierte, die sich wie ein Gas verhalten sollten. Die unterschiedlichen Geschwindigkeiten solcher Teilchen modelliert Planck als unterschiedliche Wellenlängen der Strahlung…

Ein solches Teilchen sollte eine von der Frequenz seiner Strahlung abhängige Energie haben. Das ist die zentrale Formel (Quantenhypothese) von Planck:   \(E = h \cdot \nu \)

Die Formeln für das Strahlungsgesetz hat Planck zunächst durch Probieren herausgefunden und dann später eine Herleitung auf Basis seiner Quantenhypothese gefunden. Planck glaubte jedoch damals noch nicht an eine allgemeine Quantelung, diese war nur eine Annahme, um die Theorie in Einklang mit den Messungen bringen zu können.

Später versuchte Planck sein Strahlungsgesetz nicht durch eine “Hohlraumstrahlung” sonden durch Atome als Oszillator zu interpretieen.

Das Plancksche Wirkungsquantum

Das Plancksche Wirkungsquantum als Naturkonstante wird heute zur Definition der SI-Einheit Kilogramm benutzt.

Im Zusammenhang mit dem Wirkungsquantum spricht man auch von einer einer “Planck-Länge”, einer “Planck-Zeit” etc., denn Planck hatte herausgefunden, dass man aus den Naturkonstanten G, c, h eine ganze Schaar von Einheiten ableiten kann (durch Probieren und Beachten der Dimensionen):

Planck-Länge:

\(  \Large l_p = \sqrt{\frac{\hbar \cdot G}{c^3}} = 6.616 10^{-35}m\\ \)

Was diese Planck-Länge bedeutet, ist zunächst völlig offen. Es ist “nur” eine ausprobierte Formel, die als Dimension eine Länge hat.

Im Zusammenhang mit der Heisenbergschen Unschärferelation versucht man, diesen Planck-Größen eine physikalische Bedeutung beizumessen.

 

 

Astronomie: Asteroiden

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Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: Sonnensystem, IAU, Bahnelemente

Stand: 26.06.2024

Asteroiden kann man entdecken und dann kann der Entdecker einen Namesvorschlag beim Minor Planet Center der IAU einreichen.

Asteroiden entdecken

Mein Bruder Rainer Kracht, Jost Jahn, etc.

Dazu benötigt man mehrere Beobachtungen mit guten Koordinaten und Zeiten, sodass Bahnelemente ermittelt werden können.

Namen für Asteroiden

Nach einer bestätigten Entdeckung wird des Objekt numeriert; z.B. (499367) 2010 AB, was in einem elektronischen Zirkular “MPEC” veröffentlicht wird.

Der Entdecker kann dann einen Namensvorschlag machen.

Die Regeln der WGSBN (Working Group Small Body Nomenclature)  sind folgende:
https://www.wgsbn-iau.org/documentation/NamesAndCitations.pdf

Dazu bräuchten wir eine sog. “citation”

Liste von Asteroiden-Namen

(499367) 2010 AB       Monikasirp

16.01.2024 2010 AB = KRA037 = 499367 has been named Monikasirp

(499367) Monikasirp = 2010 AB
Discovery: 2010-01-05 / R. Kracht * / Sierra Stars / G68
Monika Sirp (b. 1958) was drawn to physics and mathematics from Asimov’s science-
fiction novels. In her professional life, she has worked in the energy field, focusing on
fossil-free possibilities. Monika supports her husband, Dietrich Kracht, a German amateur
astronomer

(331105)    Gieselher

14.04.2017 2009 XG9 = KRA033 = 331105 has been named Giselher (orbit diagram and citation):

(331105) Giselher = 2009 XG9 Discovered 2009 Dec. 13 by R. Kracht at Sonoita (IRO).
Dietrich Giselher Kracht (b. 1944) is the elder brother of the discoverer,
who introduced him to astronomy at the observatory of the Olbers-Gesellschaft in Bremen.

(464150) 2014 YN5  Kresken

08.11.2023 2010 AA = KRA036 = 2014 YN4 = 454150 has been named Kresken:

(464150) Kresken = 2014 YN5
Discovery: 2010-01-04 / R. Kracht * / Sierra Stars / G68
Rainer Kresken (b. 1962) is a German amateur astronomer and a professionnal space flight
engineer with ESA. He discovered more than 10 asteroids and is very active in astro clubs in
Germany. He introduces and teaches kids and amateurs in practical astronomical topics. Rainer is
one of the leaders of the public observatory at Heppenheim.

10.12.2011 2010 EQ45 = KRA052 = 301638 has been named Kressin (orbit diagram and citation):

(301638) Kressin Discovered 2010 Mar. 14 by R. Kracht at the Iowa Robotic Observatory, Sonoita.
     Named after the old Pomeranian family Kressin.  Margarete Kressin
(1891-1980) was the grandmother of the discoverer and taught him the
star names.


233967 Vierkant Discovered 2010 Jan. 24 by R. Kracht at the Sierra Stars Observatory.
Gisela Vierkant (b. 1919), mother of the discoverer, lived for many years in the city of Bremen, where
Wilhelm Olbers discovered (2) Pallas and (4) Vesta at the Lilienthal Observatory.


 


 

			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
Raumsonden: SOHO


				

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Gehört zu: Raumsonden

Siehe auch: Sonne, Lagrange-Punkte, Mindmap Sonnensystem


Stand: 19.06.2024


Die Raumsonde SOHO


Im Dezember 1995 startete das SOHO (Solar and Heliospheric Observatory). Es ist ein Gemeinschaftsprojekt von NASA und ESA und soll die Sonne unterbrechungsfrei beob­achten. Deshalb wurde SOHO nicht in eine Erdumlaufbahn geschossen, sondern auf dem Langrange-Punkt L1 des Sonne-Erde-Systems geparkt. L1 liegt ca 1,5 Mio km (1/100 AE) von der Erde in Richtung Sonne. Das besondere ist, dass obwohl dieser Punkt näher an der Sonne liegt, die Umlaufzeit trotzdem auch genau ein Jahr beträgt.


Genaugenommen befindet sich SOHO nicht direkt auf dem Lagrange-Punkt L1, der ja instabil ist, sondern auf einer sog. Halo-Bahn um den L1.


SOHO beobachtet die Sonne mit mehreren Instrumenten, dazu gehören:


    

  • EIT (Extreme ultraviolet Imaging Telescope) 304, 195 und 171
    • 

  • LASCO (Large Angle and Spectrometric Coronagraph) C2 und C3
    • 

  • MDI/SOI (Michelson Doppler Imager/Solar Oscillations Investigation)
    • 



http://sohowww.nascom.nasa.gov/data/realtime-images.html


SOHO Kometen


Die Bilder des Instruments LASCO werden auch von Sternfreunden benutzt, um darauf Kometen in der Sonnenumgebung zu finden.


Für eine “offizielle” Kometen-Entdeckung muss man die Bahnelemente bestimmen.


Typisch für diese SOHO-Kometen ist, dass sie in sog. Gruppen auftreten:


    

  • Kreutz-Gruppe
    • 

  • Meyer-Gruppe
    • 

  • Marsden-Gruppe
    • 

  • Kracht-Gruppe
    • 



So eine Kometen-Gruppe zeichnet sich durch ähnliche Bahnelemente aus. Man nimmt an, dass es sich bei so einer Gruppe um Fragmente eines früheren, größeren Objekts handelt.

			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
Physik: Zeitmessung


				

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Zeitmessung und Navigation


Kopie aus: web.kr8.de/zeitmessung.htm


Stand: 11.12.2004


Stichworte


Harrison Chronometer H.4, Zeitmessung, Uhr, Navigation, Räderuhr, Pendeluhr, Huygens, Cook, Eisenbahn, Zeitzone, GMT, Zeitzeichen, Sommerzeit, Quarzuhr, Atomuhr, Schaltsekunde, UTC, PTB, GPS, Venusdurchgang, Astrolabe, Oktant, Sextant, Meridian, …


Überblick


    

  • 750 In der Literatur werden erstmals Sanduhren erwähnt.
    • 

  • 1284 Die erste mechanische Turmuhr wird an der Kathedrale von Exeter (England) in Betrieb genommen.
    • 

  • 1288 Die Westminster Hall zu London erhält eine mechanische Türmeruhr. Die Tageseinteilung in zweimal zwölf gleich lange Stunden beginnt.
    • 

  • 1300 In Florenz wird die erste öffentliche mechanische Stadtuhr aufgestellt,
    • 

  • 1336 In Florenz wird eine Turmuhr mit Schlagwerk bekannt
    • 

  • 1344 In Padua vollendet Jacopo de Dondi eine öffentliche Schlagwerkuhr.
    • 

  • 1345 (spätestens) Die Stunde wird in 60 Minuten zu 60 Sekunden eingeteilt
    • 

  • 1348 London erhält seine erste öffentliche Schlagwerkuhr, Big Tom genannt.
    • 

  • 1511 Der Nürnberger Schlosser Peter Henlein baut tragbare Uhren – vermutlich gab es tragbare Uhren aber auch schon früher…
    • 

  • 1655 Christiaan Huygens (1629-1695) entdeckt in Den Haag mit seinem Fernrohr den ersten Saturnmond (Titan).
    • 

  • 1656 Christiaan Huygens entdeckt die Saturnringe und den Orionnebel…
    • 

  • 1656 Christiaan Huygens erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?).
    • 

  • 1665 oder 1674 Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz).
    • 

  • 1761 Das von John Harrison gebaute Chronometer H.4 wird auf einer Reise nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden.
    • 

  • 1768-1771 Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise den H.4 noch nicht mitnehmen.
    • 

  • 1772-1775 Zweite Reise von James Cook (HMS Resolution) mit Harrisons H.4 Chronometer…
    • 

  • 1776-1779 Dritte Reise von James Cook. Tod auf Hawaii.
    • 

  • 1825 Eröffnung der ersten Eisenbahnstrecke in England zwischen Stockton und Darlington am 17.09.1827. George Stephenson (1781-1848), der Erbauer der Lokomotive, steuert sie selbst.
    • 

  • 1835 Eisenbahn Nürnberg-Fürth
    • 

  • 1840-47 Einführung der Railway Time in England.
    • 

  • 1880 In Großbritannien wird die Greenwich Mean Time GMT eingeführt
    • 

  • 1893 Im Deutschen Reich wird die Mitteleuropäische Zeit MEZ eingeführt
    • 

  • 1926 Die GMT wird durch die Universal Time UT abgelöst
    • 

  • 1929 wurde die erste Quarzuhr von dem amerikanischen Uhrmacher Warren A. Marrison gebaut.
    • 

  • 1946 Am 6. Dezember stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby (1949 Radiocarbon-Methode) seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die Atomuhr, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.
    • 

  • 1967 Definition der SI-Sekunde anhand der Cäsium-Atomuhr (9 192 631 770 Schwingungen sind eine Sekunde)
    • 

  • 1972 Einführung der Universal Time Controlled UTC anstelle der UT von 1926
    • 

  • 1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS Global Positioning System. 24 Satelliten mit Atomuhren an Bord…
    • 



Uhren


Die ersten Methoden zur Zeitmessung: Sonnenuhr, Wasseruhr, Sanduhr. Wichtiger Meilenstein: Die Erfindung der Mechanischen Räderuhr. Diese Art von Uhren gab es am Anfang vor allem in Klöstern. Die schweren Gewichte trieben auch die Mechanik des Stundenschlag an…


Wann, wo und von wem die ersten Räderuhren mit mechanischem Hemmwerk gebaut wurden, ist nicht bekannt. Jedenfalls geschah dies im ausgehenden 13. Jahrhundert, möglicherweise in Spanien, aber auch Frankreich kommt als Heimat der Räderuhr in Frage.


Um 1300 werden Räderuhren mit Gewichtantrieb, Spindelhemmung und Waag werden zunehmend hergestellt. Daraufhin beginnt etwa ab 1310 die Ausstattung von Kirchen, Rathäusern, Klöstern und Türmen mit großen Räderuhren und Schlagwerken. Doch man musste immer wieder mit der Sonnenuhr die Zeit überprüfen und die Uhren neu stellen, denn die Ganggenauigkeit betrug so 1 Stunde pro Tag.


Christiaan Huygens erforscht die Pendelbewegungen (unabhängig von Galilei zum zweiten Mal) und erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?) . Solche Uhren waren, bzw. sind so genau, dass sie nur wenige Minuten pro Tag abweichen! Aber nur unter der Voraussetzung, dass die Uhr an einem Ort stehenblieb.


Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz). Die neuen Uhren mit Spiralfeder und Unruh haben eine deutlich bessere Ganggenauigkeit, als die bisher üblichen Taschenuhren. Deshalb wird jetzt der Minutenzeiger eine ständige Einrichtung bei den moderen Uhren (früher liess man ihn oft weg, u.a. wegen der Ungenauigkeit).


Gegen 1680 Die erreichte Präzision und die Genauigkeit der Pendeluhren führen zum allgemeinen Einsatz des Minutenzeigers im Zentrum des Zifferblattes (“koaxial”). Minutenzeiger waren bis dato eher ein optionales Beiwerk.


Das von John Harrison (1693-1776) gebaute Chronometer H.4 wird 1761 auf einer Reise der HMS Deptfort nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden. Das entspricht einer Abweichung von 1,25′ in der Bestimmung der geographischen Länge; d.h. 2,2 km. Harrison erfüllte damit die Bedingungen des Board of Longitude Acts von 1714, mit dem ein Preisgeld von 20000 Pfund ausgesetzt wurde für eine Abweichung kleiner 30 Meilen.


Navigation


Der Navigator auf See konnte seine geografische Breite sehr gut mit dem Sextanten bestimmen (z.B. Höhe der Mittagssonne). Zur Ermittlung der geografischen Länge muss man z.B. die Zeit des Meridiandurchgangs (etwa der Sonne) bestimmen, wozu man aber die Zeit ersteinmal genau genug kennen musste. Eine Zeitungenauigkeit von 4 Sekunden bedeut eine um 1,8 km (eine Seemeile) verfälschte Positionsbestimmung (am Äquator).


1598 König Philipp II. von Spanien setzte einen Preis für eine Methode zur Bestimmung der geografischen Länge aus (Williams, 1992:78).


1674 Setzte König Charles II von England eine Kommission ein, die das Problem der Längenbestimmung lösen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde dann das 1675 gegründete Royal Greenwich Observatory beauftragt.


22.10.1707 Die halbe englische Flotte geht bei den Scilly Inseln (westlich von Cornwall) verloren. Admiral Sir Clowdisley Shovel und seine Navigatoren hatten auf dem Rückweg von siegreichen Schlachten die Position der Flotte (wegen ungenauer Schiffsuhren???) so falsch ermittelt, dass es zur Katastrophe kam, bei der 2000 Seeleute ums Leben kamen. Geschockt von diesem Unglück befasste sich das House of Commons mit der Thematik.


08.07.1714 Aufgrund einer Empfehlung des House of Commons unterschreibt Queen Anne einen Act, der für die Entwicklung genauerer Methoden für die praktische Längenbestimmung auf See einen Preis aussetzte: Auf einer sechswöchigen Reise nach Westindien (Karibik) für eine Längenabweichung bis 60 Meilen: 10000 Pfund, bis 40 Meilen: 15000 Pfund und bis 30 Meilen: 20000 Pfund. Das dafür ins Leben gerufene Board of Longitude sollte eingehende Vorschläge prüfen und über die Vergabe des Preis entscheiden (Quill, 1966:7).


Wesentliche Ursachen für Gangungenauigkeiten der damaligen Uhren mit Feder/Unruh: Zu empfindlich gegenüber äußeren Erschütterungen und Temperaturschwankungen…


1759 Konstruierte John Harrison (1693-1776) das H.4 genannte Schiffs-Chronometer, welches 1761 diese Prüfung erfolgreich bestand: Auf einer zweimonatigen Reise von England nach Jamaica mit der HMS Deptfort ging die H.4 nur 5 Sekunden falsch, was einer Längenabweichung von weniger als 2 Meilen entsprach. Auf der geografischen Breite von Jamaica (18 Grad Nord) entsprechen 5 Sekunden genau 2,2 km. (H.4 Durchmesser: 5 1/4 Zoll, Technologie “Remontoire”). Den Preis erhielt Harrison erst 11 Jahre später auf Grund einer Intervention von König George III nachdem sich dieser von den Erfolgen des Nachfolgemodells H.5 (1772) persönlich überzeugt hatte.


Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise (1768-1771 HMS Endeavour, Venusdurchgang Tahiti 3.6.1769) den H.4 noch nicht mitnehmen.


Auf seiner zweiten Reise (1772-1775 HMS Resolution) verwendete Cook den H.4 Chronometer und konnte so die genaue Kartierung des südlichen Indischen Ozeans (der sich zwischen 40 und 60 Grad Süd einfach als leer erwies), Australiens, Neuseelands und fast aller Gebiete des Pazifiks durchführen.


Dritte Reise von Cook (1776-1779) (Namen der Schiffe?? H.4 an Bord??). Tod auf Hawaii.


Das Ergebnis der letzten beiden Reisen von Cook mit dem H.4 war: Umfassende und genaue Kartografierung der Welt. Es gab keine unbekanten Gegenden mehr. Die seit Jahrhunderten erhoffte Terra Australis Incognita gab es nicht. Das Zeitalter der Entdeckungen war beendet. Als letzte Herausforderungen blieben noch die Arktis/Antartis und der Weltraum…


Schiffs-Chronometer waren anfangs ziemlich teuer und fanden deshalb zunächst keine große Verbreitung. Später konnten Zeitsignale der Greenwich Mean Time (GMT) per Radiowellen gesendet werden und so auch die Zeitabweichungen billigerer Uhren korrigiert werden. Die Erfindung der Quarz-Uhr machte dann auch das Radio-Zeitzeichen überflüssig. Schießlich wurde durch die Einführung von GPS und die Verfügbarkeit kleiner und erschwinglicher GPS-Empfänger die Navigation zu einem Kinderspiel…


 Zeitmessung und Kalender


 Babylonische Zeiteinheiten


Die Babylonier sollen den Tag in 24 Stunden zu ja 60 Minuten eingeteilt haben….


 


 Sommerzeit in Deutschland


Erstmals wurde die Sommerzeit in Deuschland am 01.05.1916 eingeführt. Sie galt in Deutschland:


    

  • 1916 – 1918
    • 

  • 1942 – 1949
    • 

  • 1980 – heute (Vorgeschieben für die ganze EU)
    • 



 


 Zeitzonen


Es war üblich, dass jeder Ort die seiner geografischen Länge entsprechende Ortszeit benutzte. Der Uhrmeister der Kirchturmuhr bestimmte die Ortszeit. Bei Reisen von Ort zu Ort musste man am Ankunftsort seine Taschenuhr auf die neue Zeit einstellen. Durch die Verbreitung der Eisenbahn entwickelte sich aus diesem Zeitsystem schnell ein Chaos.


Die Eisenbahngesellschaft Great Western Railway (London-Bristol) führte im November 1840 die Londoner Zeit für alle Fahrplähne und Bahnhöfe ein. Die “railway time” wird damit Vorläufer der Greenwich Mean Time.


Anschläge in Londoner Bahnhöfen: “London Time is kept at all the stations on the Railway, which is four minutes earlier than Reading time; 7 1/2 minutes before Chippenham time; 11 minutes before Bath and Bristol time; and 18 minutes before Exeter time.”


Öffentliche Uhren wurden nun mit zwei Minutenzeigern versehen: “railway time” (in schwarz) und “local time” (in rot). Als Relikt aus dieser Zeit trägt noch heute die grosse Uhr über der Old Corn Exchange in Bristol diese zwei Minutenzeiger.


Für das tägliche Leben im Eisenbahnzeitalter wird nun die Bahnhofsuhr (z.B. Paddington Clock, Foto oben) wichtiger als die Kirchturmuhr.


Beispielsweise galt in Bayern die Münchener Ortszeit und in Berlin die Berliner Ortszeit. Da Berlin knapp 2° östlicher als München liegt, gingen dort die Uhren 7 Minuten vor gegenüber den Uhren in München.


1878 machte der Canadische Eisenbahn-Ingenieur Sandford Fleming (1827-1915) den Vorschlag, statt der bis dahin üblichen vielen verschiedenen Zeiten für Städte und Länder, ein weltweites System mit nur 24 Zeitzonen einzuführen. Alle 15 Grad geografischer Länge sollte eine neue Zeitzone beginnen mit einer um 1 Stunde anderen Uhrzeit (15 Grad = 360 Grad / 24). Die Eisenbahngesellschaften in Amerika führten das Flemingsche System der Zeitzonen am 18.11.1883 ein. Am 1. November 1884 wurde von der Internationalen Meridiankonferenz in Washington D.C. beschlossen, dieses System weltweit einzuführen (World Time Convention). Der Meridian von Greenwich wird als “Nullmeridian” festgelegt. Auf den “gegenüberliegenden” Seite der Erde befindet sich die Datumsgrenze.

Quellen: http://www.crooksville.k12.oh.us/5thgrade/timezone.html http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Sandford-Fleming


Seit dem 01.04.1893 gilt für Deutschland, dass genau am 15. Längengrad Ost gelegene Görlitz als Maßstab der Mitteleuropäischen Zeit (MEZ). So beschlossen es die Gesetzgeber am 12. März 1893. Die Eisenbahn benutzte schon ab dem 30.07.1890 die MEZ.


    

  • Großbritannien: Seit 01.01.1880 GMT
    • 

  • Belgien: Seit 01.05.1891 GMT
    • 

  • Dänemark: Seit 01.01.1894 MEZ
    • 



http://www.themamundi.de/aws/tabel/tbzone.htm http://www.willi-stengel.de/page5.htm http://www.uhrzeit.org/technik.html http://www.surveyor.in-berlin.de/himmel/himmel.04.11.html#gmt


 Einführung der Universal Time “UT”


1926 wird die GMT durch die UT abgelöst. Die UT wird vermittels einer festgelegten Formel aus der Sternzeit berechnet. Die Sternzeit wird durch astronomische Beobachtungen ermittelt. Die Sekunde als der 86400. Teil eines Tages ist wegen der Schwankungen der Tageslänge auch eine entsprechend leicht schwankende Zeiteinheit.


 


 Atomzeit


Am 06.12.1946 stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.


Zur Weiterentwicklung des Metrischen Systems wurde die Generalkonferenz für Maße und Gewichte (Conférence Générale des Poids et Mésures, CGPM) geschaffen. Die 11. CGPM beschloß 1960, daß das SI (Internationales Einheitensystem, Systéme International d’Unités) als Einheitensystem für die Mitgliedsstaaten der Meterkonvention angenommen werden soll. Das SI ist inzwischen in über 100 Staaten verbindlich eingeführt. In Deutschland wurde das SI mit Wirkung vom 1.1.1978 im amtlichen und geschäftlichen Verkehr obligatorisch.


Im Oktober 1967 erfolgte die Neudefinition der Sekunde durch die 13. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) in Paris. Die “SI-Sekunde” wird nun durch die Schwingungen des in der Atomuhr (Libby 1946) verwendeten Caesiums definiert:

“Die Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.”

(Gleichzeitig wurde die Maßeinheit Kelvin für die Temperatur beschlossen.)


Die 14. CGPM beschiesst 1971 parallel zur Universal Time (UT1) von 1926, die Atomzeit (TAI) auf Basis der SI-Sekunde (“Atom-Sekunde”) einzuführen.


Auf der 17. CGPM 1983 wird das Meter neudefiniert auf der Basis der SI-Sekunde und der Lichtgeschwindigkeit…


 PTB Physikalisch Technische Bundesanstalt


1969 nimmt die Physikalisch Technische Bundesanstalt “PTB” in Braunschweig die erste Atomuhr CS1 (Caesium-Eins) in Betrieb.


Am 01.01.1972 beschiesst die CCIR, die Universal Time UT durch die Universal Time Controlled UTC abzugelösen. 1975 schiesst sich auch die 15. CGPM dem an (Quelle: Bureau International des Poids et Mesures).


UTC verwendet als Sekundenlänge nicht mehr den 86400. Teil eines Tages (so die UT-Definition von 1926), sondern die SI-Sekundenlänge (“Atomsekunde”). Damit die Abweichung zwischen UT (genauer UT1) und UTC immer kleiner als 0,9 s bleibt, wurde die UTC bereits um 10 Sekunden versetzt gegenüber der Atomzeit (TAI) gestartet. Danach werden bei Bedarf Schaltsekunden in die UTC ein- oder ausgefügt (bisher 22 Sekunden). Damit differieren UTC und Atomzeit (TAI) bis Mitte 2003 bereits um 32 Sekunden.


Zum Ausgleich der gravitativen Zeitdilatation wird an den Gängen der primären Atomuhren, die in der Höhe h über dem Geoid aufgestellt sind, eine Korrektion von -1,09·10-16·(h/m) angebracht. Für die Atomuhren der PTB beispielsweise, die auf einer Höhe von h = 75 m über dem mittleren Meeresspiegel aufgestellt sind, beträgt die entsprechende relative Korrektur -8,2·10-15. Damit wird also berücksichtigt, dass die in der Atomuhrenhalle der PTB realisierten Sekundenintervalle um 8,2·10-15 s kürzer sind als bei einer auf dem Geoid aufgestellten Uhr.


 GPS Global Positioning System


Das Global Positioning System GPS besteht aus einem Netz von Erdsatelliten in ca. 12-stündigen Umlaufbahnen. Jeder Satellit hat eine Atomuhr an Bord.


1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS.


Gerade das GPS-System liefert heute ein Argument dafür, die Schaltsekunden aufzugeben und die reine Atomzeit (TAI) als Weltzeit zu definieren: Bei der notwendigen sorgfältigen Synchronisation der GPS-Satelliten wurden die Schaltsekunden nicht berücksichtigt. Seit Einführung von GPS im Jahr 1980 hat sich die Differenz zwischen der internen GPS-Zeit und der offiziellen Weltzeit UTC auf 13 Sekunden aufsummiert. Eine versehentliche Verwechslung der Zeiten, etwa bei der Navigation von Flugzeugen, könnte zu Katastrophen führen.


Die ersten Eisenbahnlinien






27.09.1825
Stockton – Darlington
9 Meilen. George Stephenson “Locomotion”




15.09.1830
Liverpool – Newton – Manchester
31 Meilen. George Stephenson.




07.12.1835
Nürnberg – Fürth
5 km, Lokomotive Adler, Ingenieur …




1836-1838
London – Deptfort – Greenwich





04.07.1837
Newton Junction – Birmingham
82 Meilen, Grand Junction Railway




17.09.1838
London (Euston St.) – Birmingham





29.10.1838
Berlin – Zehlendorf – Potsdam
26 km, 07.08.1846 bis Magdeburg




07.04.1839
Leipzig – Dresden
Johann Andreas Schubert funktionsfähige erste Dampflokomotive Deutschlands




30.03.1840
London (Paddington) – Reading
Great Western Rayway (GWR), Chief Engineer Brunel




30.06.1841
London (Paddington) – Reading – Bath – Bristol
118 Meilen, Great Western Rayway (GWR), Chief Engineer Brunel




1849
Saar – Rhein (Ludwigshafen)







Quellen


    

  • Quill, H. 1966 John Harrison. The Man Who Found Longitude. John Baker Publishers. London.
    • 

  • Williams, J.E.D. 1992 From Sails to Satellites. The Origin and Development of Navigational Science. Oxford University Press. Oxford.
    • 

  • Jonathan Medwin: The Discovery of Longitude: An Historical Account of Maritime Navigational Practice and the subsequent invention of the Chronometer http://rubens.anu.edu.au/student.projects97/naval/
    • 

  • Bureau International des Poids et Mesures: Beschlüsse der CGPM
    • 

  • PTB: Die Geschichte der Zeiteinheit – Definition der Sekunde
    • 



Weiterführende Links





Stoffsammlung


Erst wurden nur in Klöstern die mechanischen Räderuhren verwendet. Ihre großen Gewichte dienten nicht nur zum Antrieb, sondern sie dienten auch dazu, die Mechanik des Stundenschalges anzutreiben!


Die von den Babyloniern erfundene Wasseruhr wurde von den Ägyptern übernommen und später von den Griechen und den Römern immer mehr verbessert. Die Griechen benutzen ihre verfeinerten Wasseruhren im täglichen Gebrauch. Diese Uhren waren genauer, doch auf Reisen waren sie einfach nicht zu gebrauchen.


Die Babylonier gaben dem Tag seine 24 Stunden zu 60 Minuten. Bei den Ägyptern wie bei den Römern hatte der Tag 12 Stunden, genauso wie die Nacht. Doch im Sommer waren die Tage länger und die Nächte kürzer. Umgekehrt im Winter: Die Tagstunden waren kürzer, während die Nachtstunden länger waren. Stunde war also eine ziemlich variable Einheit.


One of the scientific instruments that the conquering Europeans were eventually to develop as a direct result of their conquests and exposure to new learning was the Sea Astrolabe. Developed about 1470 the Sea Astrolabe was based on the design of the much earlier planispheric astrolabe, which had its origins with the Greek philosophers and astronomers immediately prior to the European conquest which had ended the Dark Ages. The Sea Astrolabe was used to plot the attitude of the sun near the meridian. It came into use on ships – the Spanish Armada (1588) carried it (Turner, 1980:31).


By 1726 James and John Harrison had manufactured two clocks which lost no more than one second a month. This was a remarkable achievement and advanced far beyond any existing technologies of the day (Quill, 1966:8).



			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
Mathematik: Singularität


				

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Gehört zu: Mathematik

Siehe auch: Koordinatensysteme, Schwarzes Loch, Kosmologie, Einsteinsche Feldgleichungen


Stand: 12.06.2024


Der Begriff  Singularität wird ein wenig unterschiedlich verstanden. Beispielsweise soll der Urknall eine Singularität gewesen sein. Auch in Schwarzen Löchern spricht man gern über Singularitäten


Singularität im engeren Sinne


Im engeren Sinne hat eine Funktion f(x) eine Singulatität an einem Punkt x1, wenn sich  der Funktionswert dem Unendlichen nähert, wenn der x-Wert sich dem Punkt x1 nähert.

\( \lim  \limits_{x \to x_1} f(x) = \infty \\\)

So eine mathematische Singularität würde zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge ungeeignet sein, da es soetwas in der physikalischen Wirklichkeit nicht gibt.


Außerdem wird hier mit kontinuierlichen Variablen gearbeitet, obwohl hier eine quantenpysikalische Betrachtung erforderlich wäre.


Singularität im weiteren Sinne


Im weiteren Sinne versteht man als Singularität einfach einen Ort (oder Zeitpunkt), wo ein “ungewöhnliches”, besonderes Verhalten zu beobachten ist; also eine Einzigartigkeit…


Eine Frage ist dabei auch, “wer” sich da ungewöhnlich verhält. Um sich genauer auszudrücken, sollte man das adjektivisch formulieren; z.B.


    

  • eine Funktion ist singulär
    • 

  • eine Raumzeit ist singulär (z.B. die Raumkrümmung wird irgendwo unendlich)
    • 



Unter “eine Raumzeit” versteht man eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen; also beipielsweise die Schwarzschild-Lösung oder die Kerr-Lösung….


Nackte Singularität


Wenn man unter einer Singularität einen Punkt einer Raumzeit mit unendlicher Raumkrümmung meint, kann man noch unterscheiden, ob sich ein Ereignishorizont bildet oder nicht. Letzteres, also eine singuläre Raumkrümmung ohne Ereignishorizont, nennt man “Nackte Singularität”.


Beides ist nach der Allgemeinen Relativitätstheorie (theoretisch) möglich.


Für die SEO-Optimierung


Da soll mehr Text sein in so einem Artikel. Also labern wir da noch etwas dazu. Die Beantwortung der Frage, ob es in einem Schwarzen Loch eine Sigularität gibt, hängt davon ab, wie man den Begriff Singulatität eigentlich definiert. Roger Penrose und Stephen Hawking sollen da etwas mit Geodäten gemacht haben…


Es sollen mindestens 300 Zeichen sein. Also müssen wir ein wening herumlabern.

			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
Astronomie: Bahnelemente


				

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Gehört zu: Himmelsmechanik

Siehe auch: Sonnensystem


Benutzt: Fotos von Astrodictum Simplex


Stand: 11.06.2024


Was sind Bahnelemente?


Bahnelemente sind Werte, die die Bahn eines Körpers im Sonnensystem (Planet, Komet, Asteroid,…) beschreiben sollen.


Statt “im Sonnensystem” kann man auch analog andere himmelsmechanische Systeme betrachten z.B. den Jupiter mit seinen Monden, die Sterne, die um das Galaktische Zentrum kreisen etc.


Im Sonnensystem nimmt man gern die Bahn der Erde (Ekliptik) um die Sonne als Referenzobjekt. Dabei werden folgende Begriffe verwendet:


    

  • Knotenlinie: Schnittline der Bahnebene zur Ekliptikebene (Erdbahnebene)
    • 

  • Perihel bzw. Aphel: Sonnennächster bzw. sonnenfernster  Punkt der Bahn
    • 

  • Apsidenlinie: Verbindungslinie Perihel-Aphel
    • 



Als Bahnelemente bezeichnet man dann:


    

  • Lage der Bahn im Raum

      

    • Inklination: Neigung der Bahnebene gegen die Ekliptikebene
      • 

    • Länge des aufsteigenden Knotens: Heliozentrischer Winkel zwischen aufsteigendem Knoten und dem Frühlingspunkt (gemessen in der Ekliptikebene)
      • 

    • Perihellänge (auch: Argument des Perihels): Heliozentrischer Winkel zwischen Perihel und aufsteigendem Knoten (gemessen in der Bahnebene)
      • 

    

    • 

  • Gestalt der Bahn

      

    • Länge der großen Halbachse der Ellipsenbahn
      • 

    • Exzentrizität der Ellipsenbahn
      • 

    

    • 

  • Zeitpunkt eines Periheldurchgangs
    • 



Zur Bestimmung der Bahn benötigt man sechs Bahnelemente. Carl Friedrich Gauß (1777-1855) hat gezeigt, wie aus drei vollständigen Positionsbestimmungen diese sechs Bahnelemente gefunden werden können.


Zur Verdeutlichung, was “Lage im Raum” bedeutet, finden wir bei Astrodictum Simplex  folgende schöne Diagramme:


Copyright: http://www.astrodicticum-simplex.de/wordpress/2008/02/04/basics-bahnelemente/


Abbildung 1: Inklination (Astrodictum Simplex)




Abbildung 2: Länge des Aufsteigenden Knotens (Astrodictum Simplex)




Abbildung 3: Perihel (Astrodictum Simplex)



			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
Physik: Richard Feynman Pfadintegral


				

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Keyphrase: Richard Feynman


Gehört zu: Quantenphysik

Siehe auch: Schrödinger-Gleichung, Teilchenphysik, Integralrechnung


Stand: 04.09.2024


Richard Feynman (1918-1988) war Professor für Theoretische Physik an den Universitäten Cornell, Caltech u.a.


Photo from CalTech archives


Feynman gilt als einer der großen Physiker des 20. Jahrhunderts, der wesentliche Beiträge zum Verständnis der Quantenfeldtheorien geliefert hat. 1965 erhielt er den Nobelpreis zusammen mit Shin’ichirō Tomonaga und Julian Schwinger.

Besonders bekannt geworden ist Feynman durch:













Photo from CalTech archives


Das Pfadintegral nach Richard Feynman


Das auf Feynman zurückgehende “Pfadintegral” ist nicht ein Integral entlang eines Pfades von A nach B, sondern ein Integral über alle möglichen Pfade von A nach B.


Das Integral entlang eines Pfades heisst “Kurvenintegral”; dabei muss der Pfad (=die Kurve) parametrisiert werden.


Feynman-Diagramme


Der Witz am “Standardmodell der Elementarteilchenphysik” ist, dass neben der Aufzählung und Klassifikation der Elementarteilchen auch die Wechselwirkungen zwischen ihnen beschrieben werden. Um diese Wechselwirkungen zwischen Elementarteilen zu beschreiben, erfand Richard Feynman eine spezielle Art von Diagrammen, die nach ihm benannt wurden.


Richard Feynman: Seine berühmten Vorlesungen


Berühmt geworden sind die Vorlesungen von Richard Feynman, die man heute noch in Youtube findet.


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Und noch ein bisschen Text, damit wir die 300 Wörter erreichen.

			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
Astronomie: Dunkle Materie


				

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Gehört zu: Kosmologie

Siehe auch: Standardmodell der Kosmologie


Stand: 06.06.2024


Die Idee: Dunkle Materie


Der Begriff “Dunkle Materie” wird benutzt um Materie zu bezeichnen, die Gravitation verursacht, aber nicht sichtbar ist; also nicht durch elektromagnetische Wechselwirkungen (z.B. Licht) bemerkbar ist.


Gravitation


Große Massen irgendwo im Kosmos beeinflussen die Bewegung anderer Massen durch ihre Gravitation.


Dazu haben wir die Keplerschen Gesetze und das Newtonsche Gravitationsgesetz.


Nach dem Dritten Keplerschen Gesetz gilt für die Umlaufszeiten Ti und die großen Halbachsen ai:

\( \Large \frac{T_1^2}{T_0^2} = \frac{a_1^3}{a_0^3} \\\)

Für unser Sonnensystem können wir die Erdbahn mit a = 1 AE und T = 1 Jahr nehmen und bekämen:

\( \Large T = a^{1.5} \\ \)

Die Bahngeschwindigkeit in einer Kreisbahn wäre:

\(  \Large v = \frac{2 \pi a}{T} = 2 \pi a^{-0.5}\\ \)

Abblidung 1: Kreisbahngeschwindigkeit (GitHub: Kepler.svg)




Der Coma Galaxienhaufen


Fritz Zwicky (1898-1974): Coma-Haufen


    

  • Schon 1930 hat Fritz Zwicky bei der Untersuchung des Coma Galaxienhaufens festgestellt, dass sich dort die Galaxien viel schneller bewegen als es nach der Abschätzung der Gesamtmasse des Galaxienhaufens sein sollte.
    • 

  • Zwicky postulierte deshalb die Anwesenheit von unsichtbarer Materie im Coma-Haufen.
    • 

  • Der Begriff „Dunkle Materie“ wurde geprägt.
    • 



Rotationskurven in Spiralgalaxien


Vera Rubin (1928-2016): Rotationskurve M31


Dieses berühmte Diagramm stammt aus der Arbeit Rotation of the Andromeda Nebula from a Spectroscopic Survey of Emission Regions, die Rubin im Jahr 1970 veröffentlichte.

Die x-Achse zeigt den Abstand zum Zentrum der Galaxie; die Einheiten sind oben in Kiloparsec angegeben und unten in Bogenminuten. Und man erkennt deutlich, dass die Kurve im rechten Bereich des Diagramms nicht – wie zu erwarten wäre – nach unten abfällt, sondern im Wesentlichen gerade verläuft.


Abbildung 2: Rubins Rotationskurve M31 (scr3.golem.de/screenshots/1701/verarubin/thumb620/rubin_1.jpg)


)


Credit: V. Rubin and K. Ford, Astrophysical Journal, vol. 159, p.379 (February 1970).

			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
WordPress: Namensliste


				

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Gehört zu: WordPress


Stand: 06.06.2024


WordPress Namensliste


In meinen WordPress-Beträgen erwähne ich viele Personen, die ich auch gerne über eine alfabetische Namesliste finden möchte:



 

			

		



			
				


	
	

	
			  
			
	

	

	

		
Mathematik: Variationsrechnung – Calculus of Variation


				

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Gehört zu: Mathematik

Siehe auch: Integralrechnung, Metrik, Lagrange-Formalismus, Pfad-Integral


Stand: 05.06.2024


YouTube: Dr. Juan Klopper


Idee der Variationsrechnung


Mit Hilfe der Variationsrechnung versucht man Minima zu finden.


Beispiele:


    

  • Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten
    • 

  • Die kürzeste Zeit einer Bewegung (Fermat’sches Prinzip)
    • 

  • Die kleinste Oberfläche eines Volumens
    • 

  • Die kleinste “Wirkung” in einem physikalischen System (s.u.)
    • 

  • …
    • 



Im Gegensatz zur Schul-Mathematik suchen wir jetzt nicht einen Punkt, bei dem eine Funktion ein Minimum hat, sondern einen Pfad (also eine Funktion) bei der ein “Funktional” (Funktion von Funktionen) ein Minimum hat.


Die Euler-Lagrange-Gleichung


Wir haben eine Funktion entlang eines Pfades. Wobei so ein Pfad definiert sei durch eine Funktion y = y(x) zwischen den Stellen x1 und x2. Wir können eine Funktion F entlang eines Pfades “aufsummieren” d.h. integrieren. Wir suchen nun zu einer gegebenen Funktion F  denjenigen Pfad, bei dem dieser Integralwert ein Mininimum wird.

\( S = \int\limits_{x_1}^{x_2} F(x, y, y^\prime) \, dx = Minimum \\\)

Um das Minimum dieses Integralwertes über alle Pfade zu finden, “differenziert” man S nach dem Pfad und schreibt δS=0; d.h. eine infinitesimal kleine Änderung im Pfad soll nur eine infinitesimal kleine Änderung in S bewirken. Man nennt einen solchen Pfad auch “stationär”.


Leonard Euler (1707-1783) entwickelte dazu die “Variationsrechnung”. Sein Trick war, “kleine Änderungen” eines Pfades mathematisch zu beschreiben und einen Methode zu finden, danach zu differenzieren.


Nach längerem Rechnen (auch mit Integration by Parts) bekommt man als Lösung der Minimum-Aufgabe die berühmte Euler-Lagrange-Gleichung,

\(\Large \frac{\partial F}{\partial y} – \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime}) = 0 \\\)

Beispiel


Mal ein ganz einfaches Beispiel: Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten P1 =(x1, y1) und P2 =(x2,y2):

\( S = \Large\int\limits_{P_1}^{P_2} ds = \int\limits_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2 }\, dx  = Minimum\\ \)

Wir haben in diesem Fall also:

\( F(x, y, y^\prime) = \Large\sqrt{1 + {y^\prime}^2 } \\\)

Wir wollen auf diese Funktion F die obenstehende Euler-Lagrage-Gleichung anwenden und bestimmen dazu zunächst die einzelnen Terme:

\( \frac{\partial F}{\partial y} = 0 \\ \)

und:

\( \frac{\partial F}{\partial y^\prime} = \frac{1}{2}  ( 1 +{ y^\prime}^2) ^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 y^\prime = \frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}}\\ \)

Wenn wir diese beiden Terme in die Euler-Lagrange-Gleichung einsetzen, erhalten wir schließlich:

\( \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime}) =  \frac{d}{dx}(\frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}}) = 0\\\)

Wann ist eine Ableitung einer Funktion gleich Null? Wenn die Funktion eine Konstante (c)  ist. Also ist:

\( \frac{y^\prime}{\sqrt{1 + {y^\prime}^2}} = c \\\)

Wenn wir dann diese Gleichung quadrieren und ein wenig umstellen erhalten wir:

\( (y^\prime)^2 = const. \\ \)

Damit ist auch y’ konstant und alle Lösungen dieser Differentialgleichung sind:

\( y = a x + b \\ \)

Also haben wir gerade Linien als Minimum des Abstands.


Somit  haben wir für einen ersten sehr simplen Fall die Richtigkeit der Euler-Langrange-Gleichung gezeigt.


Prinzip der kleinsten Wirkung


Wenn F = Ekin – Epot, nennt man das Integral, warum auch immer, “Wirkung” (engl. action) entlang des Pfades.

\( S = \int\limits_{x_1}^{x_2} (E_{kin}(x, y, y^\prime) – E_{pot}(x, y, y^\prime)) \, dx = Minimum \\\)

Daraus ergibt sich die sog. Lagrange Mechanik.


Genaugenommen müsste der Pfad dann noch mit der Zeit t parametrisiert werden…