Physik: Arbeit, Energie und Wirkung

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Linienelement, Lagrange, Newton

Stand: 25.02.2023

Die physikalische Größen Arbeit, Energie und Wirkung

Diese physikalischen Größen kennen wir in der Mechanik. Später in der Thermodynamik (Wärmelehre) und in der Quantenmechanik werden wir einiges davon gebrauchen.

Die physikalische Größe “Arbeit”

Arbeit, so haben wir in der Schule gelernt, ist Kraft mal Weg.

Das übliche Formelzeichen für Arbeit ist W (work) und die SI-Einheit das Joule: 1 J = 1 Nm = 1 kg  m2/s2.

\( W = F \cdot s \\ \)

Gemeint ist immer die Kraftkomponente in Richtung des Weges. Genau genommen also das Skalarprodukt der Vektoren:

\( W = \vec{F} \cdot \vec{s} = || F || \cdot ||s|| \cdot \cos(\angle \left( \vec{F}, \vec{s} \right))    \\ \)

Wenn der Weg nicht geradeaus ist, sondern entlang einer Kurve von s1 nach s2, müssen wir entlang dieser Kurve integrieren.

\( \Large W = \int_{s_1}^{s_2} \vec{F}(\vec{s}) \cdot d\vec{s} \\ \)

Das ist analog zur bereits besprochenen Länge so einer Kurve im Raum. Das hatten wir ja schon (siehe: Linienelement) erklärt:
Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Historische gesehen, war diese Definition der physikalischen Größe “Arbeit” ursprünglich umstritten: Decartes wollte Arbeit als Kraft mal Zeit definieren, aber die Definition als Kraft mal Weg von Leibniz hat sich durchgesetzt.

Arbeit kann in verschiedener Weise eingesetzt werden z.B. als Arbeit zur Bescheunigung eines Körpers oder als Arbeit zur Ortsveränderung in einem Kraftfeld oder …

Die physikalische Größe “Energie”

Die Energie in einem mechanischen System kann in Arbeit umgesetzt werden, bedeutet also eine Art “Arbeitsfähigkeit”…

Kinetische Energie

Die Kinetische Energie nennt man auch “Bewegungsenergie”, weil sie mit der Geschwindigkeit eines Massepunkts zusammenhängt.
Wenn ich einen Massepunkt von einer Anfangsgeschwindigkeit v=v0 (in einem Inertialsystem gemessen) durch Einwirkung einer konstanten Kraft (Größe und Richtung konstant) auf eine Endgeschwindigkeit v=v1 bringe, habe ich eine Arbeit geleistet, die nun in dem Massepunkt als sog. Kinetische Energie steckt.

Die Kraft war:  \(  F = m \cdot a \)

Der Weg war: \(  s = \frac{1}{2} a t^2 \)

Damit ist die geleistete Arbeit:

\( W = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot a^2 t^2 \\ \)

Wenn man nun einsetzt: v = a t erhält man:

\( W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Krafteinwirkung als “Kinetische Energie” in dem schneller bewegten Massepunkt. Beispiel: Eine geworfene Bowlingkugel enthält Kinetische Energie, die wir benutzen, um die Pins am Ende der Bahn umzustoßen.

Potentielle Energie

Die Potentielle Energie nennt man auch “Energie der Lage”. Damit ein Massepunkt seine Lage verändert, brauchen wir Kräfte, die auf den Massepunkt einwirken; denn ohne solche Kräfte verharrt der Massepunkt in Ruhe. Wenn an jedem Ort im Raum (Ortsvektor r) eine Kraft wirkt, sprechen wir von einem Kraftfeld F(r).

Die Frage ist nun, welche Arbeit (gegen dieses Kraftfeld) geleistet werden muss, um einen Massepunkt m von einem Punkt r1 zu einem Punkt r2 zu verschieben.
Wir nehmen dazu eine (glatte) Kurve α, die von r1 nach r2 führt; beispielsweise parametrisiert als α: [0,1] -> Rn  mit α(0) = r1 und α(1) = r2.

Die geleistete Arbeit ist dann ja Kraft mal Weg, aufsummiert über diese Kurve – als Integral:

\( \Large W_\alpha = \int_0^1 \vec{F}(\vec{r})  \cdot d\vec{r}  \\\ \)

Diese Arbeit steckt nun am Ende der Ortsveränderung als “Potentielle Energie” in der neuen Lage des Massepunkts im Kraftfeld. Beispiel: Ein Stausee enthält viel Potentielle Energie, die man benutzen kann, um Strom (elektrische Energie) zu erzeugen.

Wenn diese Arbeit für alle Wege, die von r1 nach r2 führen, die gleiche ist, sprechen wir von einem konservativen Kraftfeld und können die physikalische Größe Potenzial definieren. Ein Beispiel für so ein konservatives Kraftfeld ist die Gravitation.

Die physikalische Größe “Wirkung”

Die physikalische Größe “Wirkung” (englisch: action) ist definiert als Arbeit, die entlang eines Weges in einer Zeitspanne geleistet wird.

Als Wirkung haben wir:

\(  \Large S = \int_a^b (E_{kin} – E_{pot}) dt  \)

 

Computer: Software – MailStore Home

Gehört zu: Datensicherung und Archivierung
Siehe auch: E-Mail

Stand: 22.09.2022

Welche E-Mails habe ich eigentlich?

Alle meine E-Mails sind primär gespeichert beim Internet-Provider Strato  in sog. IMAP-Konten.

Auf diese E-Mails kann ich bequem von meinen diversen Geräten (Windows-Computer, SmartPhone,…) mit einem E-Mail-Client (z.B. Thunderbird auf meinen Windows-Computern) zugreifen.

Die E-Mails summieren sich ja über die Zeit immer weiter auf, sodass ich für E-Mails ein Archivierungskonzept benötige.

Beim Provider Strato habe ich einen Packet “STRATO PowerWeb Plus”, bei dem es für jedes E-Mail-Konto einen begrenzten Speicherplatz von 5 GB gibt. Ich kann aber beliebig viele E-Mail-Konten anlegen. Deshalb habe ich eine Reihe von E-Mail-Konten bei Strato:

  • dietrich@kr8.de       (meine primäre E-Mail bei Strato)
  • archiv-01@kr8.de    (E-Mail-Archiv bei Strato: 2014-2015-2016)
  • archiv-02@kr8.de    (E-Mail-Archiv bei Strato: 2017-2018-2019)
  • archiv.bluehost@dkracht.com     (E-Mail-Archiv bei Strato: E-Mails vom früheren Provider Bluehost)
  • gartner.kunden@dkracht.com     (E-Mail-Archiv bei Strato: E-Mails bei meinem letzten Arbeitgeber)
  • h-wuthe@t-online.de                  (aktuelle E-Mail meiner Schwiegermutter bei der Telekom)

Solange ich die  Speicherung auch der älteren E-Mails so beim Provider machen kann, kann ich auch bequem mit dem E-Mail-Client Thunderbird auf beliebige – auch alte – E-Mails zugreifen und habe auch eine gewisse Suchfunktion.

Was kann die Software MailStore Home

Ich habe auf meinem Windows-Computer “Asusbaer” die Software “MailStore Home portable” installiert.

“Portable” bedeutet, dass ich das EXE-File in irgendeinem Ordner auf dem Windows-Computer habe und dass dann auch der MailStore-Speicher in diesem Ordner sein wird / sein muss.

Mit MailStore Home kann ich im Prinzip folgendes machen:

E-Mail Import

E-Mails werden von irgendwelchen Quellen in den proprietären MailStore-Speicher geholt.

Als Quellen für einen solchen Import unterstützt MailStore Home:

  • E-Mail-Clients
  • E-Mail-Server
    • Ein IMAP-Postfach
    • Ein Exchange-Postfach
    • Eine E-mail-Adresse via SMTP
  • E-Mail-Dateien auf einem lokalen Computer
    • EML-Dateien auf dem lokalen Computer
    • MSG-Dateien auf dem lokalen Computer

E-Mail Export

E-Mails können aus dem proprietären MailStore-Speicher herausgeholt werden und im Dateisystem als EML-Dateien abgelegt werden.

 

 

Physik: Newtonsche Mechanik

Gehört zu: Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch: Gravitation, Potential, Algebren, Lagrange-Formalismus, Keplersche Gesetze, Phasenraum
Benutzt WordPress-Plugin MathJax-Latex

Stand: 02.06.2024 (Schrödinger, Lagrange)

Newtons Gesetze

In der Newtonschen Mechanik wird “alles” durch die Wirkung von Kräften erklärt.

Aus der Schule kennen wir: Kraft = Masse mal Beschleunigung

Das bedeutet, dass wenn wir an einer Masse eine beschleunigte Bewegung messen, so erklären wir diese beschleunigte Bewegung als Wirkung einer Kraft.

Im SI-System ist dementsprechend die Maßeinheit für die physikalische Größe “Kraft” das Newton (1 Newton= 1 N = 1 kg m /s2).

Newton formulierte 1687 die bekannten drei “Gesetze”:

  1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.  “Trägheitsgesetz”
  2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: \( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)   “Aktionsprinzip”
  3. Kraft gleich Gegenkraft.   “Actio gleich Reactio”

Diese Gesetze bilden das Fundament der Klassischen Mechanik.

Das obige Newtonsche Aktionsprinzip wird auch Impulssatz genannt, weil der Impuls \(\vec{p}=m \cdot \vec{v}\) ist; also
\( \vec{F} = \dot{\vec{p}}  \)

Diese Newtonsche Mechnik arbeitet gern mit Vektoren und Cartesischen Koordinaten. Bei anderen Koordinatensystemen (z.B. Polar, Sphärisch) werden diese Newtonschen Gleichungen schnell “sperrig”. Da versucht die Lagrange-Mechanik einen anderen Ansatz.

Intertialsysteme

Diese drei Newtonschen Gesetze (auch Axiome genannt) gelten in sog. Inertialsystemen, das sind Bezugssysteme, die sich gradlining mit gleichbleibender Geschwindigkeit gegeneinander bewegen.
Besser definieren wir, dass ein Intertialsystem genau ein Bezugssystem ist, in dem diese drei Newtonschen Gesetze gelten. Alle gleichförmig (auch “ruhende”) und natürlich gradlinig dazu bewegten Bezugssysteme sind dann auch Intertialsysteme.

Der so definierte Kraftbegriff gilt relativ zu einem benutzten Bezugssystem. Da die Beschleunigung eines Körpers in allen Inertialsystemen gleich ist, ist auch die Kraft auf diesen Körper in allen Inertialsystemen gleich.
Sobald ich aber ein Nicht-Intertialsystem benutze (z.B. geradlinig beschleunigte oder rotierende Bezugssysteme), muss ich fürchterlich aufpassen. Dort beobachte ich Beschleunigungen, die in Inertialsystem gar nicht auftreten und denen man dann auch Kräfte zuordnet, die dann aber Scheinkräfte (Trägheitskräfte) genannt werden.
Beispiel 1: (Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem): Andruck bei Bescheunigung im Auto auch bei Geradeausfahrt.
Beispiel 2: (Rotierendes Bezugsystem): Zentrifugalkraft, Corioliskraft.

Bewegungsgleichungen

Man möchte ja die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems (die Bewegung eines Teilchens) unter Einwirkung äußerer Einflüsse (z.B. eines Kraftfelds) beschreiben. Im Allgemeinen sucht man also:

Ortsvektor in Abhängigkeit von der Zeit: \( \vec{s}(t) \)
Geschwindigkeitsvektor in Abängigkeit von der Zeit:  \( \vec{v}(t) \)

Wobei gegeben ist ein Kraftfeld: \( F(r,t) \)

Man findet diese beiden Funktionen als Lösung von sog. Bewegungsgleichungen, die z.B. diese äußeren Einflüsse (z.B. das Kraftfeld) beschreiben. Ausgangspunkt ist dabei immer das Newtonsche Gesetz (s.o.):

\( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)

Nur bei ganz kleinen Teilchen ist die Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung) gefragt.

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich auch die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besonere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Massen erzeugen also eine “Gravitation”, die man auch als Schwerefeld bezeichnet. Dieses ist ein konservatives Kraftfeld und kann demzufolge auch durch sein Potiential beschrieben werden.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante \( \gamma \) wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

 

Beispiel: Freier Fall nach Newton

Der äußere Einfluss ist hier die Erdanziehung, die auf eine punktförmige Masse m eine Kraft \( \vec{F} = m \cdot \vec{g} \) ausübt; wobei wir die Gravitationsbeschleunigung \( \vec{g} \) idealisiert mit konstanter Größe und konstanter Richtung annehmen.

Die Fragestellung ist nun, wie sich ein Massepunkt, der zur Zeit t=0 die Anfangsbedingungen s(0)=0 und v(0)=0 erfüllt, in der Zeit weiter bewegt.
Die Bewegungsgleichung hierfür ist:  \( m \cdot \dot{\vec{v}}(t) = m \cdot \vec{g} \)

Die Lösung dieser Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration. Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergibt sich:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Neben der klassischen graphischen Darstellung dieser beiden Funktionen können wir auch einen sog. Phasenraum verwenden.

 

Computer: Mathematik – Algebren

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Vektorräume, Quantenfeldtheorie
Benutzt:  WordPress Plugin for Latex

Stand: 23.2.2022

Algebren

Ein Vektorraum V über einem Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung:

\(  V \times V \to V \)

wird eine Algebra genannt.

Die bilineare Abbildung wird “Produkt” (auch: Multiplikation) genannt und auch so wie ein Produkt hingeschrieben; also:  a · b  oder einfach ab. In dieser Schreibweise bedeutet die Bilinearität einfach folgendes:

\(   (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z  \\ \)
\(   x \cdot (y + z)  = x \cdot y + x \cdot z  \\ \)
\( a (x \cdot y) = (ax) \cdot y = x \cdot (ay) \\ \)

Dabei sind x,  y und z Vektoren aus V und a ein Skalar aus K.

Das “besondere” an Algebren ist die “Multiplikation”. Deswegen unterscheidet man  Algebren auch nach den Eigenschaften dieser Multiplikation:

Kommutative – nicht-kommutative Algebren: Ist immer \( a \cdot b  =  b \cdot a \) oder nicht?

Assoziative – nicht-assoziative Algebren: Ist immer \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \) oder nicht?

Beispiele für Algebren:

Die n × n Matrizen über einem Körper mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als “Multiplikation” bilden eine assoziative Algebra.

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine nicht-assoziative Algebra.

Lie-Algebren

Bestimmte Algebren heissen “Lie-Algebren” (nach Sophus Lie 1842-1899), dort wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben und “Lie-Klammer” genannt.
Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten:

  • [x,x] = 0
  • [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 (“Jacobi-Identität”)

Beispiel für eine Lie-Algebra:

Ein Vektorraum V mit dem Kreuzprodukt als Multipikation bildet eine Lie-Algebra.

Kommutator

Im allgemeinen definiert man als Kommutator in Ringen und assoziativen Algebren: [a,b] = ab – ba
So ein Kommutator kann in bestimmten Algebren als Lie-Klammer fungieren. Beispielsweise kann man aus der oben erwähnten Algebra der n x n Matrizen mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation eine Lie-Algebra machen, indem man den Kommutator der Matrixmultiplikation als Lie-Klammer nimmt.

Lie-Algebren in der Physik

Solche Lie-Algebren werden in der Quantenfeldtheorie praktisch gebraucht.

Computer: Cloud-Speicher – Dropbox

Gehört zu: Cloud-Speicher
Siehe auch: BitTorrentSync, Updraft,…

Stand: 15.03.2022

Cloud-Speicher: Dropbox

Der erste “Cloud-Speicher”, mit dem ich in Berührung kam war die Dropbox.

Ein ehemaliger Arbeitskollege, der immer die neuesten Gadgets haben musste, gab gerne und überall mit seinem neuen iPad an.

Wir zogen ihn dann gerne mit der fehlenden Konnektivität des iPad auf z.B. fragten wir: wie schickst du eine Datei von deinem iPad auf ein anderes Gerät usw.?

Und die Antwort auf jede unserer Fragen war: “das tue ich in meine Drooooopbox” – und keiner wusste damals, was eine Dropbox eigentlich ist.

Wofür verwende ich Dropbox?

Für folgende Zwecke verwende ich Dropbox regelmäßig:

  • Sicherung meines WordPress-Blogs mit dem WordPress-Plugin “Updraft”
  • Austausch der Schlüsseldaten von BitTorrentSync (Resilio) zwischen meinen Geräten
  • Kurzfristige Sicherung von wichtigen Dokumenten
  • Upload von Fotos

Cloud-Speicher bei Dropbox

Automatisch bekommt man bei Dropbox 2GB kostenlosen Cloud-Speicher.

Synchronisation per spezieller Dropbox-Software.

Upload per E-Mail-Anhang nicht möglich

Automatischer Update kann in der Registry abgestellt werden:

  • HKLM\SYSTEM\CurrentControlSet\services\dbupdate
  • HKLM\SYSTEM\CurrentControlSet\services\dbupdatem

Automatischer Foto-Upload möglich.

Einrichtung meiner Dropbox-Konten

Ich habe mehrere Dropbox-Konten für mich angelegt:

dietrich@kr8.de

  • Speicher 7,4 GB
  • auf den Computern:
    • Computer Asusbaer
    • Computer Graumann2
    • Smartphone (Samsung Galaxy S5)
    • Tablet iPad
    • Tablet Samsung Active
  • für folgende Zwecke
    • Datenaustausch BitTorrent-Schlüssel
    • Datensicherungsziel meiner WordPress-Blogs mit Updraft (Dez. 2017-March 2013…) für:
      • Africa_by_Train
      • Notizbuch_Dietrich
      • Blog_Dietrich

dietrich.kracht@gmail.com

  • Speicher 6,25 GB
  • auf den Computern:
    • Computer Asusbaer

rubaschow@gmail.com

  • Speicher 5,5 GB
  • auf den Computern: XYZ

bunsch@gmail.com

  • Speicher 5,25 GB
  • auf den Computern: XYZ
  • Datensicherungsziel meiner WordPress-Blogs mit Updraft in den Jahren 2016-2017
    • Africa_by_Train
    • Notizbuch_Dietrich
    • Blog_Dietrich

Für diese verschiedenen Dropbox-Konten benutze ich entsprechend verschiedene Ordner zum Synchronisieren:

z.B. auf ComputerAcerbaer:

  • C:\data\dropbox\dietrich@kr8.de
  • C:\data\dropbox\bunsch@gmail.com

etc.

Aus dem Dropbox-Ordner kann man sich die Sicherungsdatei nehmen und diese in eine andere WordPress-Installation einspielen. Die Datei ist ein SQL-Skript im Text-Format. Die kann man z.B. mit SQLyog wieder in eine Datenbank einspielen.
Es ist dabei folgendes zu Bedenken:

  • Das SQL-Skript spielt SQL-Tabellen in der aktuellen Datenbank ein
  • Der Table-Prefix ist wp_

Anmeldung bei einem Dropbox-Konto – Login

Die Anmeldung an ein Dropbox-Konto erfolgt in Internet bei: https://www.dropbox.com/login

Computer: BitTorrentSync

Gehört zu: Datensicherung, Synchronisation
Siehe auch: NAS-Server, Cloud-Speicher

Stand: 15.09.2021

Synchronisation meiner Daten

Ich möchte meine wesentlichen Daten plattformübergreifend verwenden und auch eine erste Form der Sicherung (weil redundant) realisieren.

MIt Hilfe der Software “BitTorrent Sync” (Neuer Name: Resilio) synchronisiere ich wichtige Daten-Bereiche meiner Computer untereinander und auf mein NAS (Synology Diskstation DS414).

Danach wäre der nächste Schritt, die Daten auf dem NAS-Speicher auf einen externen Cloud-Speicher  zu sichern, was wohl wegen der Datenmenge kostenpflichtig werden würde.

BitTorrentSync ist eine Synchronisation, die auch als Prozess auf der Diskstation läuft (BitTorrentSync wurde verkauft und heisst jetzt “Resilio”).

Zur Zeit synchronisiere ich alle Unterordner des Ordners “Documents” zwischen den Computern Graumann2, Asusbaer und Diskstation.

Die Software BitTorrentSync

  • Name: Resilio (früher: BitTorrentSync)
  • Download von: https://www.resilio.com/platforms/desktop/
  • Plattform: ComputerAsusbaer mit Windows 10, ComputerGraumann2 mit Windows 10
  • Installierte Version: 2.3.8

Installation der Software BitTorrentSync auf meinen Windows-Computer

BittTorrentSync wird installiert in den Ordner: C:\Users\dkracht\AppData\Roaming\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\Startup   (auch “autostart” genannt).

Dieses Programm muss beim Hochfahren von Windows automatisch gestartet werden.

Installation der Software BitTorrentSync auf meinen Android-Geräten

Nicht installiert, da nicht genügend Platz auf Android-Smartphone und Android-Tablet.

Installation der Software BitTorrentSync auf meinem NAS-Server

xyz

Einrichtung der Synchronisation meiner Daten-Ordner

Die Synchronisation für einen Ordner auf meinem ComputerAsusbaer richte ich ein, in dem ich im Hauptfenster von BitTorrentSync/Resilio Oben links auf “Ordner hinzufügen” klicke,

Wenn der zu synchroniserende Ordner so ausgewählt ist, erscheint er in der Liste im Hauptfenster von BitTorrentSync/Resilio.

In dem betreffenden Ordner wird dadurch ein Unterordner namens “.sync” angelegt, in dem BitTorrentSync interne technische Daten ablegt. Diesen Ordner darf ich auf keinen Fall löschen.
Dann merke ich mir den geheimen Schlüssel “Lese- und Schreibschlüssel kopieren” indem ich ihn ion eine kleine Text-Datei namens “<ordner-name>.txt” schreibe

Auf den anderen Computern gehe ich im Hauptfenster von BitTorrentSync/Resilio oben rechts auf das Zahnrad klicke und dann auf “Manuelle Verbindung…”. In dem dann aufgehenden Popup-Fenster gebe ich dann den von dem anderen Gerät erzeugten (geheimen) Schlüssel ein (habe ich auf meiner Dropbox gespeichert) und wähle dann auf dem lokalen Computer den zu synchronisierenden Ordner aus. Als Bestätigung erhalte ich in der Regel  ein Popup “Zielordner ist nicht leer. Trotzdem hinzufügen?” was ich mit “OK” bestätige. Nun erscheint der Ordner in der Orderliste im Hauptfenster von BitTorrentSync / Resilio…

Astronomie: Backfokus für die ASI294MC Pro

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: ASI294MC Pro, Flattener, Liste meiner Astro-Geräte
Benutzt: Grafiken aus GitHub

Was ist Backfokus?

Als Backfokus bezeichnet man den genauen Abstand, den die Sensor-Ebene der Kamera vom Ende des Teleskops haben muss.

Meist ist das Endstück eines Teleskops ein Flattener/Reducer bzw. ein Koma-Korrektor.

Bei der Längenberechnung werden die Gewinde nicht mitgezählt, denn die sollten ja nach dem Reindrehen “verschwunden” sein. Also immer von Flansch zu Flansch zählen.

Ich habe einen Satz von Verlängerungshülsen gekauft, die M42-Gewinde (eins innen, eins außen) haben. Damit kann ich den erforderlichen Backfokus in aller Regel erreichen.

Backfokus für die Kamera ZWO ASI294MC Pro

Bei der Kamera selbst ist die Sensorfläche 6,5 mm hinter der Vorderkante der Kamera, wo sich direkt ein M42 Aussengewinde befindet.

Da man üblicherweise ein M42 Innengewinde kameraseitig benötigt, ist ein kleiner Adapter mit M42 Innengewinde vorn und hinten erforderlich. Dieser hat eine optische Länge von 11 mm.

Damit hat die so ausgestattete Kamera schon 6,5 mm + 11 mm = 17,5 mm optisch wirksamen Abstand vor der Sensorfläche.

Anschluss in Namibia an APM Apo 107/700 mit Riccardi-Reducer

Der Riccardi_Reducer hat kameraseitige ein M82-Gewinde.

Der Backfokus des Reducers ist 80 mm.

Dabei ist ein Adapter M82 -> M48 mit der Baulänge 3 mm

Dabei ist eine variable M48-Verlängerung mit der Baulänge 17-23 mm.

Soweit macht das zusammen 20-26mm; es fehlen also noch 54-60mm zum Backfokus.

Meine Kamera ZWO ASI294MC pro verfügt (s.u.) über Stücke der Gesamtlänge von 55mm. Das würde reichen…

Anschluss in Namibia an Foto-Newton mit Paracorr Komakorrektor

Der Paracorr hat kameraseitig ein M48*0,75 Aussengewinde.

Der Backfokus soll 55 mm betragen.

Anschluss in Namibia an TS APO 90/600 mit TS-Flattener 1.0x

Der TS-Flattener hat kameraseitig ein M48*0,75 Gewinde.

Der Backfokus soll 113.114 mm betragen.

Anschluss an mein Teleskop ED80/600 mit Flattener

Der Flattener hat kameraseitig ein M48*0,75-Aussengewinde.

Der Backfokus soll 55 mm betragen.

Anschluss an das Teleskop ggf. den Flattener/Reducer des Teleskops

Die Kamera ASI294MC Pro selbst hat einen M42*0.75-Aussengewinde (das wird auch T2-Gewinde genannt) als primären Anschluss.

Mit der Kamera kommen folgende Verlängerungsstücke bzw. Adapter mit:

  • M42/M42 Verlängerung um 11 mm (vor-eingebaut)
  • M42/M42 Verlängerung um 21 mm
  • M48/M42 Verlängerung um 16,5 mm

Backfocus der Kamera ohne alle Adapter: 6,5 mm
Insgesamt also 6,5 + 11 + 21 + 16,5  = 55 mm

Für alle Fälle habe ich mit zusätzlich einen Satz von M42-Verlängerungshülsen mit unterschiedlichen Längen gekauft.

Der Flattener/Reducer hat am kameraseitigen Ende ein M48*0,75 Aussengewinde…

Hinzu kommt der Adapter SKFlat von Teleskop-Service. Dieser 2-Zoll-Stutzen vorne ein M48x0.75 Innengewinde, in das man 2-Zoll-Filter schrauben kann.

Wo sollte ein Filter eingeschraubt werden?

Da mein Tri-Narrowband-Filter (2 Zoll astronomischer Filter) nicht für alle Beobachtungsobjekte verwendet werden soll, muss ich ihn immer wieder ausschrauben und einschrauben. Aber wo?

Vom Gewinde her würde der Filter zwischen Flattener und das 16.5 mm Verlängerungsstück passen. Aber das würde den Backfokus ruinieren. Der Filter muss also ganz vorne an den “Adapter SKFlat” geschraubt werden – oder wir haben eine Filterschublade (s.u.), die genau anstelle des 21mm-Stücks passt.

Das 11mm lange M42-Gewinde (s. Bild unten) scheint ziehmlich fest an der ASI-Kamera zu stecken.

Abbildung 1: Zusammenbau ASI294 mit Flattener (GitHub: Flattener02.svg)

Filterschubladen

Wenn ich in diesen Optical Train eine Filterschublade einbauen will, ohne den Backfokus zu zerstören, nehme ich am einfachsten eine sog. “ZWO-Filterschublade”, die hat dann eine optische LÄnge von genau 21mm. Die Frage ist dann noch, welchen vorderen Anschluss man hat.

Filterschublade zum Anschluss an Canon Foto-Objektive

An das M42-Innen-Gewinde des ersten (11mm) Adapters kommt dann gleich die EOS-Filterschublade, die vorne ein Canon-Bajonett hat…

Filterschublade zum Anschluss an M48-Gewinde

An das M42-Innen-Gewinde des ersten (11mm) Adapters kommt dann gleich die M48-Filterschublade, die vorne ein M48-Innen-Gewinde hat…

Computer: Tabellenkalkulation

Gehört zu: Office Software

Software zur Tabellenkalkulation

Zur Tabellenkalkulation verwenden Firmen sehr häufig Microsft Excel, was Bestandteil des Pakets Microsoft Office ist.

Microsoft Office ist aber kostenpflichtig und ich habe als Privatmann und Rentner keinen Zugriff mehr auf Firmenlizenzen.

Deshalb suche ich nach kostenfreien Lösungen. Da bietet sich Libre Office mit seinem Modul “Calc” an oder auch Google Tabellen…

Lösungen für Tabellenkalkulation (Heute – 2024)

  • Microsoft Excel
  • Libre Office Calc
  • Google Sheets
  • xyz

Migration von Microsoft Excel auf Libre Office Calc

xyz

Historie

Lotus 1-2-3, Microsoft Multiplan

Dan Bricklin: VisiCalc

 

Mathematik: Metrik, Abstand und Geometrie

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Krümmung, Vektorraum, Wirkung, Schwarzschild-Metrik, Metrik-Tensor
Benutzt: WordPress-Plugin Latex, GeoGebra Grafikrechner

Stand: 19.10.2021

Metrik, Abstand und Geometrie

Auf einer Menge M kann man eine Metrik definieren; dadurch dass man je zwei Punkten einen Abstand (relle Zahl >= Null) zuordnet.

d: M x M -> R

So eine Abstandsfunktion muss drei Axiome erfüllen, um Metrik genannt werden zu dürfen.

Oft ist den Beispielen die Menge M ein Vektorraum z.B. R2 oder R3.

Mit Hilfe einer solchen Metrik kann man eine ganze “Geometrie” definieren, also ein Regelwerk für Punkte, Geraden, Winkel, Dreiecke etc. Klassisch ist die Geometrie nach Euklid; andere Geometrien bezeichnet man als “Nicht-Euklidische Geometrie”…

Euklidische Geometrie

In der sog. Euklidischen Geometrie wird der Abstand im zweier Punkte im Raum (also die Metrik) durch den Satz des Pythagoras definiert.

Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwenden wir ein Koordinatensystem z.B.  im R3 eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse:

\(\Large d((x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b)) = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2 – (z_b-z_a)^2} \\\  \)

Dieser Abstand ist auch die Länge der geraden Strecke zwischen den Punkten a und b.

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\(\Large L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Siehe auch: Integralrechnung

Wir können zeigen, dass diese Längendefinition für Kurven mit der Metrik für Punktabstäde im Euklidischen Raum überein stimmt (ohne Beschänkung der Allgemeinheit: t ∈ [0,1]):

\( \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} x_1 + (x_2-x_1) \cdot t \\\ y_1 + (y_2-y_1)\cdot t  \\\  z_1 + (z_2-z_1)\cdot t\end{array}\right)  \\\  \)

Die erste Ableitung ist:

\( \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} (x_2-x_1)  \\\ (y_2-y_1) \\\  (z_2-z_1) \end{array}\right)  \\\  \)

Die Norm der Ableitung ist dann:

\( || \alpha^\prime(t) || = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ \)

Wenn wir das in die obige Längendefinition einsetzen erhalten wir:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \int_0^1 dt  = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \\\ \)

Die Länge einer geraden Strecke ist also auch mit der allgemeinen Integral-Formel genauso wie nach Pythagoras oben.

Das Linienelement

Gerne verwendet man auch ein sog. Linienelement um eine Metrik zu definieren. Für die Euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum mit einem Chartesischen Koordinatensystem (x,y,z) haben wir das Linienelement:

\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\  \)

Was ergibt:

\( ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \\\  \)

Was für eine parametrisierte Kurve s: [a,b] -> R3 bedeutet:

\( \Large \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\  \)

Was als Kurvenlänge von t=a bis t=b ergibt:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt \\\  \)

Wenn man nun bedenkt dass:

\(\Large  s^\prime = \frac{ds}{dt} = \left( \begin{array}{c} \frac{dx}{dt}  \\\ \frac{dy}{dt} \\\  \frac{dz}{dt} \end{array}\right) \\\  \)

ist, ergibt sich die Norm zu:

\( ||\Large s^\prime || = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ \)

Eingesetzt ergibt das:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b || s^\prime || dt \\\ \)

was genau der ersten Definition (oben) entspricht.

Man kann auch zeigen, dass die so definierte Länge einer parametrisierten Kurve bei Umparametrisierungen der Kurve gleich bleibt.

Der Metrik-Tensor

Im allgemeinen Fall drücken wir das Linienelement in einem Koordinatensystem mithilfe des “Metrik-Tensors” \(g_{\mu\nu}\) aus:

\( ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \\\ \)

Im Falle der Euklidischen Geometrie im R3 ist im Chartesischen Koordinatensystem der metrische Tensor:

\( g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Ein “Tensor” in diesem Sinne ist nichts anderes als eine (n x n)-Matrix für die man noch einige zusätzliche Regeln hat.

Weiterführende Anmerkungen

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie ART von Einstein, verändert die Anwesenheit von Materie den Raum, was auch “Gravitation” genannt wird.

Wir können das als eine Nicht-Euklidische Metrik verstehen, für die beispielsweise Karl Schwarzschild schon 1916 im vereinfachten Fall einer Kugelmasse (Schwarzes Loch) eine Formel gefunden hat.

Zu Veranschaulichung so einer Nicht-Euklidischen Metrik wird häufig von einer “Krümmung” der Raumzeit gesprochen. Diese “Krümmung” ist aber eigentlich nur eine andere Metrik, trotzdem stellt man sich die Abweichung von der herkömmlichen Euklidischen Metrik gern als “Krümmung” vor,

Da diese “Krümmung” (also Abweichung von der Euklidischen Metrik) aber nicht in eine weitere Dimension, sondern “in sich” d.h. als Stauchung bzw. Streckung erfolgt, würde ich gerne eine solche Abweichung durch ein Verbiegen des Koordinatengitters veranschaulichen. Also durch den optischen Vergleich der Koordinatengitter zweier Metriken.

===> Das Gitter, was ich hier meine, ist ein durch gleiche Abstände in der jeweiligen Metrik gegebenes Gitter – ist also eigentlich kein schlichtes Koordinatengitter, sondern ein Metrik-Gitter…

GeoGebra Gitternetz

Schwarzschild-Metrik

Ich habe zum Thema Schwarzschild-Metrik einen eigenen Artikel geschrieben.

 

 

Physik: Krümmung der Raumzeit

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Vektorraum, Gravitation, Schwarze Löcher, Metrik, Koordinatensysteme

Krümmung der Raumzeit

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) basiert auf dem Postulat der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigung.

Aus diesem Äquivalenzprinzip ergibt sich die Lichtablenkung in Gravitationsfeldern.

Wenn man trotzdem davon ausgehen möchte, dass das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, muss die Gravitation den Raum (besser die Raumzeit) entsprechend krümmen, sodass eine Metrik entsteht bei der der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten nicht unbedingt die Euklidische gerade Linie ist.

Wir wollen hier zunächsteinmal den Begriff der “Krümmung” ganz allgemein diskutieren.

Umgangssprachlich denkt man bei “Krümmung”, dass sich etwas in eine zusätzliche Dimension krümmt (s.u. die vielen Beispiele). Bei der von Einstein postulierten Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit wird aber für diese Krümmung keine 5. Dimension gebraucht. Die vierdimensionale Raumzeit ist nach Einstein  “in sich” gekrümmt; d.h. wir haben einen anderen Abstandsbegriff (eine andere Metrik, ein anderes Linienelement).

Krümmung bei Euklidischer Metrik

Unter der Krümmung eines geometrischen Objekts versteht man die Abweichung von einem geraden Verlauf; dazu bedarf es (mindestens) einer weiteren Dimension in die die Krümmung verläuft oder der Begriff “gerade” muss umdefiniert werden. Eine Kurve verläuft “gerade” wenn beim Durchlaufen mit konstanter Geschwindigkeit, keine Beschleunigungen “seitwärts”, sonder höchstens in der Normalen auftreten.

Wir betrachten eine Gerade. Solange sie wirklich geradeaus verläuft ist sie nicht gekrümmt. Wenn sie eine Kurve nach links (oder rechts) macht, haben wir eine Krümmung – und wir brauchen dafür (mindestens) eine zweite Dimension. Die Stärke der Krümmung kann mehr oder weniger sanft oder kräftiger sein. Wir messen die Stärke der Krümmung an einer Stelle durch einen sog. Krümmungskreis. Das ist ein Kreis, der sich in dem betrachteten Punkt am besten an die Kurve anschmiegt. Ein großer Krümmungskreis bedeutet eine kleine Krümmung ein kleiner Krümmungskreis ein starke Krümmung. Der Kehrwert des Radius ist das Maß für die Krümmungsstärke.

Die andere Frage ist, welche geometrischen Objekte sind es, die da “gekrümmt” werden?  Im einfachsten Fall ist es eine eindimensionale Linie in einer zweidimensionalen Ebene; also z.B. ein Funktionsgraph oder eine sog. Kurve. Kurven sind in diesem Zusammenhang sehr interessant als Teilmenge eines Vektorraums, die durch eine Abbildung von einem reellen Intervall in den Vektorraum  als sog. “parametrisierte” Kurve dargestellt werden kann. Das “Umparametrisieren” ist dann eine Äquivalenzrelation zwischen parametrisierten Kurven. Eine “Kurve” kann dann als Äquivalenzklasse solcher parametrisierten Kurven verstanden werden. Als Repräsentant einer Äquivalenzklasse nimmt man dann gerne eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve.

Wenn wir uns mit Kurven beschäftigen und speziell dann mit der Länge einer Kurve oder der Krümmung von Kurven, haben wir es mit Differentialgeometrie zu tun.
Dazu gibt es eine Reihe von sehr schönen Youtube-Videos:

Schritt 1: Krümmung einer Linie in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt ein Funktionsgraph von beispielsweise y = f(x) in der Ebene ist, können wir die Krümmung leicht berechnen:

Für eine zweimal differenzierbare Funktion  y = f(x) ergibt sich der Krümmungsradius an einem Punkt x zu:

\( \Large  r(x) = \left\vert \frac{(1+(f^\prime(x))^2)^\frac{3}{2}}{f^{\prime\prime}(x)} \right\vert  \)

Als Beispiel nehmen wir mal eine Parabel f(x) = 0,5 * x2
Dazu haben wir die Ableitungen:
f(x) = x
f(x) = 1
Der Krümmungsradius beispielsweise am Punkt x0 = 0 beträgt dann laut obiger Formel:

\( \Large r(x_0) = \frac{(1+{x_0}^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 1 \\\ \)

Und zur Probe nehmen wir noch x=1:

\( \Large r(1) = \frac{(1+1^2)^{\frac{3}{2}}}{1} = 2^\frac{3}{2} = 2 \sqrt{2} \)

Dieses Beispiel habe ich entnommen aus https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/kurveneigenschaften-im-ebenen-raum/kruemmung/kruemmungsradius.html
Es wird grafisch veranschaulicht durch:

Schritt 2: Krümmung einer Kurve in der Ebene

Wenn das betrachtete Objekt eine “richtige” Kurve in der Ebene ist, wird die Krümmung anders berechnet.

Als “richtige” Kurve (in der Ebene) betrachten wir von der obigen Parabel das Kurvenstück von x=-1 bis x=1. Als Parametrisierte Kurve, wobei der Parameter t auch von -1 bis 1 laufen möge, (was wir uns z.B. als Zeit vorstellen könnten) sieht das dann so aus:

\( \Large \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} t \\\ \frac{1}{2}t^2  \end{array}\right)  \\\  \)

Um die Krümmung zu brechnen ermitteln wir zuerst:

\( \Large \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ t  \end{array}\right)  \)

womit dann:

\( \Large ||\alpha^\prime(t)||^2 =  1 +  t^2   \\\  \)

und mit:

\( \Large \alpha^{\prime\prime}(t) = \left( \begin{array}{c}  0 \\\ 1  \end{array}\right)  \)

ergibt sich:

\( \Large det(\alpha^\prime(t), \alpha^{\prime\prime}(t)) = 1  \\\ \)

und damit ergibt sich dann die Krümmung zu:

\( \Large \kappa_\alpha(t) = \frac{1}{(1 + t^2 )^\frac{3}{2}}  \)

Bei t=0 ist dann die Krümmung:

\( \Large \kappa_\alpha(0) = 1 \\\  \)

und zur Probe nehmen wir noch t=1:

\( \Large \kappa_\alpha(1) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\\ \)

Weil t=x ist, stimmt das mit den Berechnungen des Krümmungsradius (s.o. Schritt 1) exakt überein.

Schritt 3: Krümmung einer Fläche im Raum

Analog können wir uns gekrümmte Flächen im Raum vorstellen. Hier kann allerdings der Krümmungsradius in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sein. Inetwa so die wir das von einem Gradienten kennen.

Auch in diesem Fall stellen wir uns das ganz klassisch geometrisch vor als Krümmung in eine weitere Dimension.

Krümmung per Nicht-Euklidischer Metrik

In der Allgemenen Relativitätstheorie spricht man auch von “Krümmung” z.B. Krümmung des Raumes oder Krümmung der Raumzeit.

Hier basiert die “Krümmung” nicht auf einer zusätzlichen Dimension, sondern auf einer speziellen Metrik in ein und demselben Raum. Unter “Metrik” versteht man ja eine Vorschrift, die zwei Punkten in dem betreffenden Raum einen Abstand zuordnet.  So eine Metrik definiert dann auch automatische die Längen von Linien…

Geodätische Linie

Die Linie, die die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten bildet, nennt man Geodät oder auch Geodätische LInie. Auf der Erdoberfläche kennen wir das z.B. bei der Seefahrt oder Luftfahrt wenn wir beispielsweise die Flugroute von London nach Los Angeles betrachten:

Geodätische LInie Moskau - Los Angeles

Das Licht läuft immer auf einer Geodäte, nimmt also die kürzeste Verbindung. Das kann “gekrümmt” aussehen…

Krümmung ohne zusätzliche Dimension

Für eine solche Krümmung benötigen wir aber nicht zwingend eine zusätzliche Dimension. Die Krümmung kann auch “in sich” durch andere Abstandsgesetze (= Metriken) bewirkt werden.
Siehe Schwarzschild-Metrik