Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Die Keplerschen Gesetze, Schwarzes Loch, Newton, Langrange-Punkte, Ebbe und Flut, Kraftfeld und Potential
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Stand: 25.2.2022
Kraftfelder und Potential
Kraftfelder, wie das der Gravitation, können wir durch das zugehörige Potential-Feld beschreiben.
In einem sog. “konservativen” Kraftfeld \( \vec{F}(r) \) können wir eine Potentielle Energie (bzw. ein Potential) definieren. Der Begriff konservativ bedeutet dabei, dass der Energieerhaltungssatz gilt. Die entlang eines Weges im Kaftfeld geleistete Arbeit ist unabhängig von Weg und nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängig. So kann eine skalares Feld, das Potential, definiert werden.
Ist das betrachtete Kraftfeld das Gravitationsfeld einer ruhenden Masse M, so ist das “Gravitationspotential” einfach:
\( \Large V(r) = \space – G \frac{M}{r} \\ \)
Ist das betrachtete Kraftfeld das Elektrische Feld einer ruhenden elektrischen Ladung Q, so ist das “Coulomb-Potential” einfach:
\( \Large V(r) = \space – \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r} \\ \)
Und umgekehrt ist das Kraftfeld \( \vec{F}(r) \) einfach der Gradient des Potentials. Also:
\( \vec{F}(r) = \enspace – k \enspace \nabla V(r) \) (wobei k die Ladung bzw. Masse ist)
Das Gravitationsgesetz
Die Gravitation ist eine der vier Gundkräfte (Wechselwirkungen) im Standardmodell der Teilchenphysik.
Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:
\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2} \)
aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…
Das Besondere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…
Zu den Zeiten Newtons beschäftigte sich die Physik in der Hauptsache und fast ausschließlich mit Mechanik. Newton (und Leibnitz) entwickelten die Infenitesimalrechung (engl. Calculus) mit der die Bewegung mechanischer Systeme durch die Wirkung von Kräften berechenbar gemacht werden konnte. Siehe dazu mein separater Artikel Newtonsche Mechanik.
Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…
Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.
In der Wikipedia finden wir:
\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)
Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.
Die Gezeitenkraft
Ein ausgedehner Körper wird in einem Gravitationsfeld auseinander gezogen, weil die Gravitationskraft ja mit der Entfernung abnimmt. Die “Vorderseite” eines Körpers wird stärker angezogen als die “Hinterseite”. Je größer die Abmessung des Körpers in Richtung Vorderseite/Hinterseite ist, desto größer die auseinanderziehende “Gezeitenkraft” als Differenz der Kräfte vorne/hinten..
Die Erdanziehung
Wie wir alle aus der Schule wissen, haben wir auf der Erdoberfläche eine Gravitationsbeschleunigung von ca. 9,81 m/s2
Das Gravitationsgesetz (s.o.) können wir auch schreiben als:
\( \Large a = G \frac{M}{r^2} \)
Wenn wir Kraft = Masse mal Beschleuigung, also F = m * a, benutzen.
Wenn wir den mittleren Erdradius als 6371 km annehmen, sind wir auf der Erdoberfläche also im Mittel 6371 km vom Erdmittelpunkt entfernt.
Die Erdmasse beträgt laut Wikipedia ca. 5,9772 * 1024 kg
Bei bekanntem Erdradius, bekannter Erdmasse und bekannter Gravitationskonstante kann man sich die mittlere Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche also ausrechnen:
\( \Large a = G \frac{5,9772 \cdot 10^{24}}{6371000^2} = 9,82 \)
Oder andersherum: Wenn man die Gravitationsbeschleunigung gemessen hat, den Erdradius kennt und die Gravitationskonstante misst (wie Henry Cavendish s.o.), kann man die Erdmasse bestimmen…
Die Kreisbahn (Kreisbewegung)
Für eine Kreisbahn mit dem Radius R wäre eine Zentripedalkraft erforderlich von:
\( F_Z = m \cdot \frac{v^2}{R}\)
So eine Zentripedalkraft soll durch die Gravitation des Zentralkörpers der Masse M bewirkt werden. Diese Gravitationskraft ist:
\( F_G = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2}\)
Rechnerisch ergibt sich daraus als Kreisbahngeschwindigkeit (sog. Erste kosmische Geschwindigkeit):
\( v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}} \)
Was bei der Erde bedeuten würde: 7,91 km/s.
Das wäre eine (theoretische) Keisbahn mit dem Radius R; also einer Höhe von Null Metern über der Erdoberfläche. Nehmen wir mal ein realistisches Beispiel: die ISS. Diese fliegt in ungefähr 400 km Höhe. Da kämen wir auf eine Geschwindigkeit von
\(\Large v = \sqrt{\frac{6.6743 \cdot 10^{-11} \cdot 5.9772 \cdot 10^{24}}{6371000 + 400000}} = 7.94 \enspace km/s \\ \)
Weiter draussen z.B. beim Mond ist die Kreisbahngeschwindigkeit kleiner. Da liegt die Kreisbahngeschwindigkeit nämlich so um 1 km/s.
Die Fluchtgeschwindigkeit
Damit ein Körper der Masse m von der Erdoberfläche entweichen kann, benötigt er eine kinetische Energie, die mindestens so groß ist wie seine potentielle Energie:
\( E_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 \)
Das Gravitationspotential auf der Erdoberfläche ist:
\( E_{pot} = \int\limits_{-\infty}^{R} G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} dr = G \cdot m \cdot M \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{-\infty}^R = -G \cdot m \cdot M \cdot \frac{1}{R}\)
Rechnerisch ergibt sich die Fluchtgeschwindigkeit (sog. Zweite kosmische Geschwindigkeit) zu:
\( v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}} \)
Was bei der Erde bedeuten würde: 11,2 km/s
Diese Zahl beruht ausschließlich auf der Gravitation der Erde; soll heissen andere Einflüsse wie Erdrotation oder etwaige Swing-By-Manöver könnten diese erforderliche Geschwindigkeit reduzieren – wie etwa bei den Mondflügen oder Voyager Raumsonden…
Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Fluchtgeschwindigkeit_(Raumfahrt)
Ein Schwarzes Loch
Bei einem Schwarzen Loch wäre die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c. Wenn wir v2 = c setzen ergibt sich:
\( c = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}} \)
Aufgelöst nach dem Radius R ergibt sich:
\( R = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2} \)
Bei einem solchen Radius könnte also kein Licht entkommen; deshalb werden solche Objekte “Schwarze Löcher” genannt. Bei einem kleineren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit; bei einem größeren Radius wäre die Fluchtgeschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Man nennt diesen Radius den “Schwarzschild-Radius” oder auch den Ereignishorizont.
Genaugenommen müsste man hier die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verwenden, da wir hier mit Sicherheit relativistische Effekte wegen der starken Raumkrümmung hätten. Interessanterweise ist die Formel für den Ereignishorizont (Schwarzschild-Radius) aber bei der ART die gleiche wie hier in der “Milchmädchenrechnung”.
