Gehört zu: Atomphysik
Siehe auch: Quantentheorie, Coulomb, Zentrifugalkraft
Stand: 20.9.2024
Das Bohrsche Atommodell
Niels Bohr (1885-1962) stellte 1913 das berühmte Bohrsche Atommodell auf. 1922 erhielt er den Nobelpreis für Physik.
Das Atommodell von Niels Bohr stellt eine Verfeinerung des Atommodells von Ernest Rutherford dar.
Rutherford konnte schon zeigen, dass das Atom einen sehr kleinen Kern besitzt in dem praktisch die gesammte Masse des Atoms vereinigt ist und der positiv geladen ist. Um den Kern herum gibt es die praktisch leere Atomhülle in der die negativ geladenen Elektronen herum schwirren.
Das Atommodell von Niels Bohr besagt, dass die Elektronen den Atomkern auf Kreisbahnen bestimmter Energie umrunden. Da man wusste, dass beschleunigte Elektronen (Kreisbahn = Beschleunigung) Energie in Form elektromanetischer Strahlung abstrahlen müssen, stellte Bohr zusäzliche Postulate auf, die zunächst ohne physikalische Begründung blieben:
1. Dem Elektron stehen nicht alle klassisch möglichen Bahnen zur Verfügung, sondern nur bestimmte ausgewählte von ihnen. Auf diesen Bahnen erzeugt es keine elektromagnetische Strahlung, sondern behält seine Energie. Dies sind die stationären Zustände des Atoms.
2. Ein Elektron kann von einem stationären Zustand in einen anderen springen. Bei diesem als Quantensprung bezeichnete Vorgang, wird elektromagnetische Strahlung emittiert oder absorbiert. Dabei ergibt sich die Frequenz ν der Strahlung durch die Energiedifferenz der beiden Zustände zu \(\nu = \Delta E \cdot h \)
3. Die stabilen Elektronenbahnen zeichnen sich dadurch aus, dass der Bahndrehimpuls des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums ist:
\( L = n \cdot \hbar \, \, (n=1,2,3,\ldots) \)
Dies bezeichnet man auch als die Quantenbedingungen und n als sog. Hauptquantenzahl.
Diese nicht-klassischen Postulate sollen sich im Grenzfall klassischen Gesetzen anhähern (Korrespondenzprinzip).
Maßeinheiten
Das Wirkungsquantum können wir messen in den SI-Einheiten: \( J\,s = \frac{kg \, m^2}{s^2} s = \frac{kg \, m^2}{s} \)
Einen Drehimpuls (s.u.) messen wir in den SI-Einheiten: \( N \, m\, s = \frac{kg \, m^2}{s} \)
Drehimpuls
Klassischerweise ergibt sich der Drehimpuls L als Trägheitsmoment J mal Winkelgeschwindigkeit ω, also:
\( L = J \cdot \omega \)
Und das Tägheitsmoment einer Kreisbewegung eines Teilchens der Masse m auf einer Bahn mit dem Radius r wäre:
\( J = m \cdot r^2 \)
Die Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn ergibt sich aus Radius r und Bahngeschwindigkeit v wie folgt:
\( \omega = \frac{v}{r} \)
und bekommen als Bahndrehimpuls:
\( L = r \cdot m \cdot v \)
Nun können wir v ermitteln, denn Anziehungskraft und Zentripedalkraft müssen sich auf einer Kreisbahn die Waage halten:
XYZ
Elektrostatische Kraft im Wasserstoffatom
Link: https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/aufgabe/elektrische-kraefte-im-wasserstoffatom
Wobei im Wasserstoffatom gilt:
- Elektrische Ladung eines Elektrons: \( q_e = -1.6 \cdot 10^{-19} C \)
- Elektrische Ladung eines Protons: \( q_p = +1.6 \cdot 10^{-19} C \)
- Masse eines Elektrons: \( m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} kg \)
- Angenommene Entfernung Proton-Elektron: \( r = 5.29 \cdot 10^{-11} m \) (Bohrscher Radius)
Damit errechnet sich die elektrische Anziehungskraft zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom (unter Vernachlässigung anderer Kräfte) zu:
\( \Large F = \frac{1}{4 \cdot 3.1415 \cdot 8.8541 \cdot 10^{-12}} \cdot \frac{1.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-38}}{5.29^2 \cdot 10^{-22}} N \\\ \)
Ausgerechnet:
\( \Large F = \frac{1}{111.2639 \cdot 10^{-12}} \cdot 0.0914805 \cdot 10^{-16} N \)
Weiter gerechnet:
\( \Large F = \frac{ 0.0914805}{111.2639} \cdot 10^{-4} N = 0.0008221939 \cdot 10^{-4} N = 8.221939 \cdot 10^{-8} N \)
Kreisbahn im Wasserstoffatom
Für eine Kreisbahn ist eine Zentripedalkraft in gleicher Höhe wie die zentrale Anziehungskraft erforderlich. Bei einer Bahngeschwindigkeit von v und einem Bahnradius von r ist die Zentripedalkraft:
\( \Large F = \frac{m \cdot v^2}{r} = 8.221939 \cdot 10^{-8}N \)
Also
\( \Large v =\sqrt{\frac{8.221939 \cdot 5.29 \cdot 10^{-19}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} m/s = \sqrt{4.779568 \cdot 10^{12}} m/s = 2.186222 \cdot 10^6 m/s \)
Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit
Im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit von 299792 km/s = 2.99792 · 108 m/s sind das ca. 0,73% also noch nicht “relativistisch”.
Das Problem dieses “simplen” Atommodells ist also nicht, dass die (theoretische) Bahngeschwindigkeit des Elektrons zu schnell sein müssste; verglichen zur Lichtgeschwindigkeit, sondern das Problem liegt darin, dass ein bewegtes (und beschleunigtes) Elektron eine elektromagnetische Welle abstrahlen müsste (siehe Dipolformel) und damit laufend Energie verlieren würde und dadurch nach kurzer Zeit in den Atomkern stürzen müsste.
