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Physik: Mexican Hat

dkracht

Gehört zu: Quantenmechanik
Siehe auch: Symmetrie, Potential, Phasenübergang, Quantenfluktuation

Stand: 14.11.2024

Potential als Mexican Hat

Youtube-Video: https://youtu.be/hrJViSH6Klo?si=4faayg0xGdABbYe8

Wenn ein Potiential in einem Feld die Form einer Parabel z = a x2 + b hat, so haben wir eine klassische Bewegungsgleichung und die Lösung ist ein harmonischer Oszillator.  Dieser Zustand ist rotationssymmetrisch um die z-Achse (was man U(1) nennt) und hat seine niedrigste Enegie bei x=0.

Wenn sich das Potentialgebirge dann verändert in Richtung eines sog. “Mexican Hat” (die Amerikaner kennen keinen Sombrero), dann sieht man zwei Gleichgewichtszustände wo sich ein Teilchen aufhalten könnte: Einmal der ursprüngliche Ort bei x=0, der aber nun nicht mehr der niedrigste ist, sondern die tiefer liegende Rinne in der Krempe des “Mexican Hat”. Das Teilchen wird also auf das niedrigere Niveau streben, aber der Zustand wäre dann nicht mehr rotationssymmetrisch (nicht mehr U(1)). Deshalb spricht man von einem Symmetriebruch.

Abbildung 1: Mexican Hat (Github: MexicaHat.svg)

Physik: Quantencomputing

dkracht

Gehört zu: Quantenphysik
Siehe auch: Wellenfunktion, Superposition, Verschränkung, von Neumann

Stand: 08.11.2024

Eine Umfrage zum persönlichen astronomischen Hintergrund: Umfrage.

Was ist ein Quantencomputer?

Ein Quantencomputer hat als Speicher keine “normalen” Bits, die also genau zwei Zustände (Null oder Eins) annehmen können, sondern sog. “Qubits”.

So ein Qubit ist ein quantenmechanisches Element, das durch eine Wellenfunktion Ψ beschrieben wird; wobei ein Qubit eine Superposition zweier Zustände |0> und |1> ist und alle Überlagerungen vorkommen können:

\( |\Psi \rangle = \alpha \cdot |0 \rangle + \beta \cdot |1 \rangle  \\ \)

Wobei \(  \alpha^2 + \beta^2 = 1 \) sein muss.

Das Qubit ist ein quantenmechanisches Element, wobei eine Observable ausgelesen werden kann, die genau zwei unterschiedliche Werte anzeigen wird.

Superposition und Verschränkung sind erforderliche Mechanismen; d.h. die Wellenfunktion darf nicht kollabieren.

Der Quantencomputer muss dann Operationen haben, die das Schreiben und Lesen von Qubits erlauben sowie eine Art “Berechnung”, die aus zwei Eingangs-Qubits ein oder mehrere Ergebnis-Qubits erzeugt (Rechenwerk). Dies macht man mit sog. Gattern.

Für das Funktionieren eines Quantencomputers ist wichtig, wie lange der Zustand der Qubits “kohärrent” bleibt. Durch jede Wechselwirkung mit anderen Teilchen kollabieren die Wellenfunktionen; d.h. der Zustand wird “inkohärent”. Diese sog. Kohärenzzeit muss lange genug dauern, um die erwünschte Rechenoperation und das Auslesen der Ergebnisse zu ermöglichen.

Technische Realisierung von Qubits

Ursprünglich hat man solche Qubits realisiert durch supraleitende Schaltkreise. Heutzutage spricht man über folgende prinzipielle Realisierungsmöglichkeiten:

  • Supraleitende Schaltkreise
  • Ionenfalle
  • Kalte Neutralatome
  • Halbleiter Spin
  • Stickstoff-Fehlstellen in Diamanten
  • Photonen

xxx

Mathematik: Wahrscheinlichkeit

dkracht

Gehört zu Mathematik
Siehe auch: Wellenmechanik

Stand: 06.10.2024

YouTube-Video von Edmund Weitz: https://youtu.be/BYUKbEXXmG4?feature=shared

Die die Anfänge der Wahrscheinlichkeitstheorie stammen wohl aus der Spieltheorie z.B. Würfelspiele etc.

In der klassische Definition hat man:

  • Eine Menge von Elementarereignissen Ω, die alle gleich wahrscheinlich sein sollen
  • Ein Zufallsexperiment bei dem ein Element x ∈ Ω gezogen wird.
  • Man definiert eine Teilmenge A ⊂ Ω.
  • Dann fragt man sich, mit welcher Wahrscheinlichkeit das gezogene Element in der Teilmenge A liegen wird.

Anzahl “günstige” Fälle / Anzahl aller möglichen Fälle

Als Formel:

\( P(A) = \Large\frac{|A|}{|Ω|}  \\ \)

Das ist die sog. Laplace-Wahrscheinlichkeit.

Solange die Menge Ω endlich ist funktioniert das ja bestens.

Man nennt diese Sichtweise auch die “frequentistische”. Da geht es also um relative Häufigkeiten und wiederholbare Versuche, die langfristig sich der “wahren” Wahrscheinlichkeit annähern.

Axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903-1987) hat die Wahrscheinlichkeitsrechnung axiomatisch aufgebaut.

Sei Ω eine beliebige nicht leere Menge und P eine Funktion (Abbildung), die Teilmengen von Ω eine reelle Zahl zuordnet.
Eine Teilmenge von A ⊂ Ω nennen wir auch ein “Ereignis” und die zugeordnete Zahl P(A) die “Wahrscheinlichkeit” des Ereignisses A.

  1. Für alle Ereignisse A ist P(A) ≥ 0
  2. Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Ω ist P(Ω) = 1
  3. Wenn wir zwei Ereignisse A und B betrachten, die “unvereinbar” sind; soll heissen A ∩ B = Ø, dann gilt:
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Problematisch wird das, wenn die Grundmenge Ω überabzählbar ist. Dann kann man nicht jeder Teilmenge A ⊂ Ω eine reelle Zahl P(A) zuordnen, so dass die obigen Axiome erfüllt sind. Der Definitionsbereich der Funktion P muss dann etwas “trickreicher” definiert werden, was man mit Hilfe der Maßtheorie hinbekommt (Stichwort: σ-Algebra).

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass das Eintreten von B bereits bekannt ist schreibt man als: P(A|B).

\( P(A|B) = \Large\frac{P(A \, \cap \, B)}{P(B)} \)

Aufgepasst: die Ereignisse A und B können zeitlich in beliebiger Reihenfolge eintreten. Ein Kausalzusammenhang ist erst recht nicht gemeint.

Wahrscheinlichkeit nach Thomas Bayes

Man nennt diese bisherigen Betrachtungen auch die “frequentistisch”. Da geht es also um relative Häufigkeiten und wiederholbare Versuche, die langfristig sich der “wahren” Wahrscheinlichkeit annähern.

Wir beginnen mal mit der “Bedingten Wahrscheinlichkeit” von oben. Man kann die Formel dafür auch anders schreiben:

\( P(A|B) = \Large \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \)

Dieses wird auch genannt “Satz von Bayes“.

Wenn ein Ereignis nicht wiederholbar ist, versagt die frequentistisch Definition von Wahrscheinlichkeit.

Beispiele:

  • “Die Inflation wird im nächten Jahr mehr als 2% sein”
  • “Wie wahrscheinlich ist ein Wahlsieg des ehemaligen Präsidenten?”
  • “Wie hoch ist morgen die Regenwahrscheinlichkeit?”

Hier wird der Begriff “wahrscheinlich” umgangssprachlich verwendet – so in etwa in dem Sinne:

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Sicherheit der (persönlichen) Einschätzung eines Sachverhalts.

Wahrscheinlichkeiten in diesem Sinne werden auch vergleichend (“komperativ”) gebraucht:  “Die Wahrscheinlichkeit für Regen morgen ist höher als für Regen übermorgen”.

Insofern könnte man eine so gemeinte Wahrscheinlichkeit auch sinnvoll durch eine Zahl zwischen Null und Eins ausdrücken. Man muss dieses o.g. “Maß” also irgendwie quantifizieren.

Für so eine Quantifizierung der Bayesschen Wahrscheinlichkeit gibt es zwei Ansätze.

Ansatz 1: de Finetti

Die Idee ist, dass man Gewissheit durch eine Art Wette quantifizieren kann.

Zu jedem Ereignis A, dem ich eine Wahrscheinlichkeitszahl zuordnen will mache ist ein Los, für das der Käufer einen “Gewinn” von 1 Euro von mir bekommt, wenn das Ereignis A eintrifft. Die Frage ist, zu welchem Preis ich so ein Los verkaufen würde. Dieser Preis, den ich festlege ist so etwas wie die von mir (subjektiv) eingeschätzte Sicherheit/Wahrscheinlichkeit mit der ich glaube, dass das Ereignis eintreten wird.

Ich muss zu diesem Preis (oder höher) verkaufen, wenn ein Käufer das anbietet; ich muss zu diesem (oder einem niedrigeren) Preis selber (zurück)kaufen, wenn ein Verkäufer das von mir verlangt.

Ansatz 2: Erweiterung der klassische Logik

Nachwievor arbeiten wir mit Aussagen die entweder (ganz) wahr oder (ganz) falsch sind, wir wissen es nur nicht genau. Daher ordnen wir solchen Aussagen Plausibilitäten zu (auf Grund von Tatsachen, die wir kennen).

Im Prinzip betrachten wir nicht allein Aussagen, sondern Kombinationen von Aussagen und Informationsständen und schreiben als Plausibilität von A bei einem Informationsstand I:

(A,I) ∈ [0,1]

Wobei das eine reelle Zahl zwischen o und 1 sein soll und bei gleichem A und gleichem I auch (A,I) immer gleich sein soll (Plausibilitäsroboter – also nicht subjektiv).

Das ganze soll nicht der Aussagenlogik widersprechen, was wir in einfachen Axiomen hinschreiben könnten.

Physik: QED Quantenelektrodynamik

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Elementarteilchenphysik, Quantenfeldtheorie

Stand: 30.9.2024

Die Quantenelektrodynamik ist eine Quantenfeldtheorie und soll die Grundkraft “Elektromagnetismus” erklären.

Betroffene Teilchen sind: Proton, Neutron und Elektron

Austauschteilchen: Photon

Gruppentheorie: U(1)

Begonnen hat die Entwicklung der QED mit Paul Dirac. Später brachten Richard Feynman u.a. sie zur Vollendung. Nobelpreis 1965.

Physik: Quanten-Verschränkung

dkracht

Gehört zu: Quantenmechanik
Siehe auch: Wellenfunktion

Stand: 25.9.2024

Quanten-Verschränkung – Entanglement

YouTube: https://youtu.be/WSD24yvMj1w?feature=shared

Zwei Teilchen (Quanten-Teilchen) können “verschränkt” sein – engl. “entangled”.

Zwei verschränkte Teilchen können entstehen, wenn ein ursprüngliches Teilchen in zwei Teilchen zerfällt. Wenn das ursprüngliche Teilchen eine Erhaltungseigenschaft hatte, muss diese in den entstandenen zwei Teilchen in Summe unverändert auftauchen.

Man sagt auch, dass die zwei Teilchen eine gemeinsame Wellenfunktion haben.

Manchmal hört man auch, dass ein Quanten-System aus zwei Teilchen als Wellenfunktion das Produkt der beiden einzelnen Wellenfunktionen hat.

Wie enstehen verschränkte Teilchen?

Die Standard-Methode verschränkte Teilchen zu erzeugen ist die sog. “Paarerzeugung”; d.h. ein energiereiches einzelnen Teilchen zerfällt in ein Paar von Teilchen. Typischer Weise ein Teilchen und sein Antiteilchen; beispielsweise:

  • Elektron und Positron
  • Ein hochenegetisches Photon zerfällt in zwei Photonen mit halber Energie (halber Frequenz) z.B. beim Durchgang durch einen nichtlinearen Kristall

Die beiden so entstandenen Teilchen haben dann in der Summe die Eigenschaften des ursprünglichen Teilchens. soweit es sich um Erhaltungsgrößen handelt. Z.B. Ladung, Spin, Energie, Impuls etc. In diesem Sinne sind die beiden Teilchen also über diese Erhaltungsgrößen mit einander verbunden.

Die beiden verschränkten Teilchen haben dann eine gemeinsame Wellenfunktion. Wenn man an einem der beiden Teilchen eine Messung einer Observablen vornimmt, kollabiert die ganze Wellenfunktion instantan (s. Kopenhagener Deutung) und der Wert der Observablen für beide Teilchen (auch wenn sie weiter von einander entfernt sind) wird gleichzeitig “scharf”.

Physik: Kopenhagener Deutung

dkracht

Gehört zu: Quantenpysik
Siehe auch: Wellenfunktion, Materiewellen

Stand: 25.9.2024

Nach der sog. Kopenhagener Deutung (1927 Niels Bohr und Werner Heisenberg) ergibt sich aus der Wellenfunktion eines Teilchens eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x,t) für den Aufenthaltsort und zwar wird dabei der Betrag der Wellenfunktion zum Quadrat genommen:.

\( \Large \rho(x,t) = | \Psi(x,t) |^2 \\\)

Aus dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ergibt sich der Erwartungswert für den Ort des Teilchens zum Zeitpunkt t:

\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, \rho(x,t) \, dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \, | \Psi(x,t) |^2 \, dx \\\)

Da der Betrag einer komplexen Zahl z definiert ist über: \( | z |^2 = z \cdot z^* \) folgt daraus…

\(\Large \langle x \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi^*(x,t) \, x \, \Psi(x,t)  \, dx \\\)

In dieser Form sehen wir schon einen ersten Operator (s.u.), der auf die Wellenfunktion wirkt und uns ein Observable (den Ort) als Erwartungswert bringt. Zum Erwartungswert siehe auch: Susskind.

Im Falle einer Wellenfunktion mit einer ganz dünnen und hohen Spitze und ansonsten Null können wir den Erwartungswert des Ortes <x> gleichsetzen mit dem definitiven Ort des Teilchens und bekommen- nach einigem Rechnen – die Newtonsche Mechanik. So zeigt es im Prinzip Paul Ehrenfest.

Physik: Das Bohrsche Atommodell

dkracht

Gehört zu: Atomphysik
Siehe auch: Quantentheorie, Coulomb, Zentrifugalkraft

Stand: 20.9.2024

Das Bohrsche Atommodell

Niels Bohr (1885-1962) stellte 1913 das berühmte Bohrsche Atommodell auf. 1922 erhielt er den Nobelpreis für Physik.

Das Atommodell von Niels Bohr stellt eine Verfeinerung des Atommodells von Ernest Rutherford dar.

Rutherford konnte schon zeigen, dass das Atom einen sehr kleinen Kern besitzt in dem praktisch die gesammte Masse des Atoms vereinigt ist und der positiv geladen ist. Um den Kern herum gibt es die praktisch leere Atomhülle in der die negativ geladenen Elektronen herum schwirren.

Das Atommodell von Niels Bohr besagt, dass die Elektronen den Atomkern auf Kreisbahnen bestimmter Energie umrunden. Da man wusste, dass beschleunigte Elektronen (Kreisbahn = Beschleunigung) Energie in Form elektromanetischer Strahlung abstrahlen müssen, stellte Bohr zusäzliche Postulate auf, die zunächst ohne physikalische Begründung blieben:

1. Dem Elektron stehen nicht alle klassisch möglichen Bahnen zur Verfügung, sondern nur bestimmte ausgewählte von ihnen. Auf diesen Bahnen erzeugt es keine elektromagnetische Strahlung, sondern behält seine Energie. Dies sind die stationären Zustände des Atoms.

2. Ein Elektron kann von einem stationären Zustand in einen anderen springen. Bei diesem als Quantensprung bezeichnete Vorgang, wird elektromagnetische Strahlung emittiert oder absorbiert. Dabei ergibt sich die Frequenz ν der Strahlung durch die Energiedifferenz  der beiden Zustände zu \(\nu = \Delta E \cdot h \)

3. Die stabilen Elektronenbahnen zeichnen sich dadurch aus, dass der Bahndrehimpuls des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums ist:

\( L = n \cdot \hbar \, \, (n=1,2,3,\ldots) \)

Dies bezeichnet man auch als die Quantenbedingungen und n als sog. Hauptquantenzahl.

Diese nicht-klassischen Postulate sollen sich im Grenzfall klassischen Gesetzen anhähern (Korrespondenzprinzip).

Maßeinheiten

Das Wirkungsquantum können wir messen in den SI-Einheiten:  \(  J\,s = \frac{kg \, m^2}{s^2} s = \frac{kg \,  m^2}{s} \)

Einen Drehimpuls (s.u.) messen wir in den SI-Einheiten: \( N \, m\, s  = \frac{kg \, m^2}{s} \)

Drehimpuls

Klassischerweise ergibt sich der Drehimpuls L als Trägheitsmoment J mal Winkelgeschwindigkeit ω, also:

\( L = J \cdot \omega \)

Und das Tägheitsmoment einer Kreisbewegung eines Teilchens der Masse m auf einer Bahn mit dem Radius r wäre:

\( J = m \cdot r^2 \)

Die Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn ergibt sich aus Radius r und Bahngeschwindigkeit v wie folgt:

\( \omega = \frac{v}{r} \)

und bekommen als Bahndrehimpuls:

\( L = r \cdot m \cdot v \)

Nun können wir v ermitteln, denn Anziehungskraft und Zentripedalkraft müssen sich auf einer Kreisbahn die Waage halten:

XYZ

Elektrostatische Kraft im Wasserstoffatom

Link: https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/aufgabe/elektrische-kraefte-im-wasserstoffatom

Wobei im Wasserstoffatom gilt:

  • Elektrische Ladung eines Elektrons: \( q_e = -1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Elektrische Ladung eines Protons: \( q_p = +1.6 \cdot 10^{-19} C \)
  • Masse eines Elektrons: \( m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} kg \)
  • Angenommene Entfernung Proton-Elektron: \( r = 5.29 \cdot 10^{-11} m  \)  (Bohrscher Radius)

Damit errechnet sich die elektrische Anziehungskraft zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom (unter Vernachlässigung anderer Kräfte) zu:

\( \Large F = \frac{1}{4 \cdot 3.1415 \cdot 8.8541 \cdot 10^{-12}}   \cdot \frac{1.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-38}}{5.29^2 \cdot 10^{-22}}  N \\\ \)

Ausgerechnet:

\( \Large F = \frac{1}{111.2639 \cdot 10^{-12}}   \cdot   0.0914805 \cdot 10^{-16}   N  \)

Weiter gerechnet:

\( \Large F = \frac{ 0.0914805}{111.2639}  \cdot 10^{-4}   N = 0.0008221939 \cdot 10^{-4} N = 8.221939 \cdot 10^{-8} N \)

Kreisbahn im Wasserstoffatom

Für eine Kreisbahn ist eine Zentripedalkraft in gleicher Höhe wie die zentrale Anziehungskraft erforderlich.  Bei einer Bahngeschwindigkeit von v und einem Bahnradius von r ist die Zentripedalkraft:

\( \Large F = \frac{m \cdot v^2}{r} = 8.221939 \cdot 10^{-8}N \)

Also

\( \Large v =\sqrt{\frac{8.221939 \cdot 5.29 \cdot 10^{-19}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} m/s = \sqrt{4.779568 \cdot 10^{12}} m/s = 2.186222 \cdot 10^6 m/s \)

Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit

Im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit von 299792 km/s = 2.99792 · 108 m/s sind das ca. 0,73% also noch nicht “relativistisch”.

Das Problem dieses “simplen” Atommodells ist also nicht, dass die (theoretische) Bahngeschwindigkeit des Elektrons zu schnell sein müssste; verglichen zur Lichtgeschwindigkeit, sondern das Problem liegt darin, dass ein bewegtes (und beschleunigtes) Elektron ein Magnetfeld abstrahlen müsste und damit laufend Energie verlieren würde.

Physik: Die Schrödinger-Gleichung

dkracht

Gehört zu: Quantenmechanik
Siehe auch: Wellenfunktionen

Stand: 20.09.2024 (Quanten-Verschränkung)

Die Schrödinger-Gleichung

Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887-1961) für die Ausbreitung von Materiewellen (Wellenmechanik) aufgestellt und bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung des Spektrums des Wasserstoffatoms genutzt.

Der Zustand eines Quantensystemens soll durch eine Wellenfunktion beschrieben werden (also Aufenthaltswahrscheinlichkeiten etc.). Die Wellenfunktion erhält man als Lösung der Schrödinger-Gleichung (nicht-relativistisch oder auch relativistisch).

Analog zur Newtonschen Mechanik suchte man nun nach einer Diffentialgleichung, deren Lösungen dann Wellenfunktionen sind.
Generell sind Differentialgleichungen, das was der Physiker braucht: Beschreibung von Veränderung bei gegebenen Anfangsbedingungen.

Da man wusste, das Wellenfuktionen überlagert werden sollen; d.h. eine Linearkombination von Wellenfunktionen sollte wieder eine Wellenfunktion sein (also eine Lösung der Differentialgleichung), sollte diese Differentialgleichung linear sein.

Man spricht von “freien” Teilchen, wenn kein Kraftfeld einwirkt. Wenn ein Kraftfeld einwirkt, will man dieses durch ein Potential (Potenzial) beschreiben, was bei sog. konservativen Kraftfeldern immer geht.

Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung mit einer gewissen Potentialfunktion (aka Kraftfeld) sind die gesuchten Wellenfunktionen.

Abbildung 1: Youtube-Video von Josef Gassner (https://www.youtube.com/watch?v=hY2AdjYcTro&t=905s)

Von Erwin Schroedinger stammt die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche und räumliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems unter Einfluss eines Potentials. Wobei man sich so ein Potential als Einfluss eines Kraftfeldes vorstellen kann: \( F(r,t) = \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t}\).

Die Lösungen dieser Wellengleichung heissen Wellenfunktionen.
Gegeben ist dabei eine Potentialfunktion V(r,t) und gesucht wird als Lösung die dazu passende Wellenfunktionen \(\Psi(r,t)\):

\( \Large i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t) = – \frac{\hbar}{2m} \Delta \Psi(r,t)+ V(r,t) \Psi(r,t)= (- \frac{\hbar}{2m} \Delta + V(r,t)) \Psi(r,t) \\\)

Mit dem Laplace-Operator: \( \Delta f = div(grad f)) \) der so etwas wie die “zweite Ableitung” darstellt.
Benannt nach Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Gegeben ist dabei ein Potential V(r,t) und eine Masse m, gesucht wird eine Wellenfunktion \(\Psi(r,t) \).

Wenn es sich um ein “freies” Teilchen handelt, ist das Potential Null, d.h. es fällt in der Gleichung weg.
Wenn die Wellenfunktion nicht von der Zeit abhängt, sprechen wir von einer “stationären” Lösung. Die Wellenfunktion ist dann nicht mehr komplexwertig, sondern nimmt nur noch Werte aus den reelen Zahlen an.

Kompakt kann man die allgemeine Schrödiner-Gleichung schreiben als:

\( \Large i \cdot \hbar \cdot \dot{\Psi}(r,t) = \hat{H} \Psi(r,t) \\ \)

Mit dem geheimnisvollen Hamilton-Operator:

\(\hat{H} \Psi(t)= i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t) \).

Der nach William Rown Hamilton (1805-1865) benannte Hamilton-Operator.

Hintergrund dieser Schödinger-Gleichung ist der Satz von der Erhaltung der Energie.

Superposition

Eine Wellenfunktion ist also die Lösung der oben stehenden Schrödinger-Gleichung (mit einer bestimmten Potentialfunktion V). Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, sind auch beliebige Linearkombinationen von Lösungen wiederum Lösungen. So eine Linearkombination würde man Superposition nennen. Wenn beispielsweise die Wellenfunktionen ψ1 und ψ2 Lösungen einer Schrödinger-Gleichung sind, ist auch \( \Psi = a \cdot \Psi_1 + b \cdot \Psi_2 \\\) Lösung dieser Schrödinger-Gleichung.
Das heisst, dass alle Wellenfunktionen \( \Psi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C} \), die Lösung einer Schrödinger-Gleichung sind, einen Vektorraum bilden. Wenn wir noch ein Skalarprodukt (inneres Produkt) von zwei Wellenfunktionen definieren, wir dieser Vertorraum zum Prä-Hilbertraum und möglicherweise zu einem echten Hilbertraum:

\( \Large \langle \Psi_1 | \Psi_2 \rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi_1^\ast(x) \Psi_2(x) dx \\ \)

Quantenphysiker verwenden auch gerne eine Bra-Ket-Notation (s.u. Diriac) und schreiben:

\( |\Psi\rangle = a \cdot |\Psi_1\rangle + b \cdot |\Psi_2\rangle \\ \)

Zunächst ist das eine formale mathematische Notation.

Eine für Physiker interessante Eigenschaft von Wellenfunktionen ist, dass ein Zustand aus mehreren einfachen Zuständen zusammensetzen werden kann. Sind die Zustände mit “exklusiv oder” verbunden (z.B. alternative Wege), werden die Wellenfunktionen addiert (sog. Überlagerung, auch Superposition genannt), Sind die Zustände mit “und” verbunden (z.B. eine Sequenz), werden die Wellenfunktionen multipliziert.

Ein ganz einfaches Beispiel für Wellenfunktionen und Superposition ist die Teil-Reflektion. Die beiden Wellenfunktionen werden addiert, normiert und danach wird das Quadrat des Betrags genommen.

Abbildung 2: Eine schöne Einführung gibt das Youtube-Video von Alexander FufaeV (Youtube: https://youtu.be/SqQbsBOsaA8)

Vereinfachung: Eindimensionale Schrödinger-Gleichung

Wenn wir bestimmte Vereinfachungen vornehmen, wird die Schrödinger-Gleichung auch einfacher:

  • Die Wellenfunktionen möge in einfachen Fällen nicht von der Zeit, sondern nur vom Ort abhängen ==> zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
  • Der Ort wird in einfachen Fällen nicht durch drei Raumkoordinaten (Ortsvektor r), sondern nur durch eine Dimension (x-Achse) beschrieben. ==> Eindimensionale Schrödinger-Gleichung

Als (vereinfachte) eindimensionale, zeitunabhängige Schödinger-Gleichung haben wir:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + W_{pot} \Psi\)

Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung

Mit dreidimesionalen Ortskoordinaten ergibt sich:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} \right) + W_{pot} \Psi\)

Zur kompakteren Schreibweise wird der Nabla-Operator (\( \nabla^2 \) wird auch Laplace-Operator genannt) eingeführt:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi + W_{pot} \Psi\)

Noch kompakter kann man es mit dem sog. Hamilton-Operator schreiben:

\( W \Psi = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \nabla^2 + W_{pot} \right) \Psi = \hat{H} \Psi \)

mit dem Hamilton-Operator:

\( \hat{H} = \nabla^2 + W_{pot} \)

Quanten-Verschränkung – Entanglement

Hierzu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben: Verschränkung.

Die Dirac-Notation und Hilbertraum

In der Quantenphysik arbeiten wir mit Vektorräumen V über den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) die unendliche Dimension haben. So einen Vektor

\( \vec{v} \in V \)

scheibt man in der Quantenphysik gern als sog. Ket-Vektor:

\( |v\rangle \)

Dies ist Betandteil der sog. Bra-Ket-Notation von  Jean Paul Dirac (1902-1984), bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Um ein Skalarprodukt (inneres Produkt) zu definieren brauchen wir noch zu jedem Ket-Vektor einen sog. Bra-Vektor.

\( \langle v | := \left[ | v \rangle \right]^\dagger = {\left[ | v \rangle \right]^\ast}^T \)

Wobei v* der komplex konjugierte und vT der transponierte Vektor ist. Man nennt das Ganze “hermitisch konjugiert” und schreibt das mit dem hochgestellten Dagger-Symbol.

Bei einem reelen Vektorraum wäre der Bra-Vektor einfach nur der Zeilen-Vektor und der Ket-Vektor der normale Spalten-Vektor.

Damit können wir das Skalarprodukt der Vektoren v und w schreiben als
\( \langle v | w \rangle \)

Aber wie wird dieses Skalarprodukt berechnet (definiert)?

Dazu wählen wir eine Basis des Vektorraums: \( \{ |b_1\rangle, |b_2\rangle, |b_3\rangle,…\} \). Das geht immer, da jeder Vektorraum eine Basis hat und definieren das Skalarprodukt zunächt für diese Basisvektoren (damit wir eine orthonormale Basis bekommen):

\( \langle b_i | b_j \rangle := \delta_{ij} \)

Mit diesem Skalarprodukt ist die Basis per Konstruktion “orthonormal”.

Wenn wir nun unsere Vektoren v und w als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben:

\( | v \rangle  = \sum{v_i |  b_i \rangle} \)
und
\( | w\rangle = \sum{w_i | b_i \rangle} \)

definieren wir als Skalarprodukt der Vektoren v und w einfach:
\( \langle v | w \rangle := \sum{{v_i}^\ast \cdot w_i}  \)

Nun müssen wir der guten Ordnung halber noch zeigen, dass dieses allgemeine Skalarprodukt tatsächlich eine Erweiterung des für unsere Basisvektoren definierten Skalarprodukts ist. Wir bilden nehmen also zwei Basisvektoren |bi> und |bj> und bilden das Skalarprodukt nach der erweiterten Regel:

Die Komponenten von |bi> sind δij und die Komponenten von |bj> sind δji .
Und damit ist das Skalarprodukt nach erweiterter Definition:

\( \langle b_i |  b_j \rangle = \sum{{\delta_{ij}}^\ast  \delta_{ji} } = \delta_{ij} \)

Was übereinstimmt mit der ursprünglichen Definition des Skalarprodunkts zweier Basisvektoren.

Hilbertraum

Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum von unendlicher Dimension, der ein Skalarprodukt hat (Prä-Hilbertraum) und vollständig ist.

In der Quantenphysik verwendet man ja immer Hilberträume über den komplexen Zahlen. Die Elemente eines solchen Hilbertraums sind also Vektoren, die wir als Zustände des betrachteten quantenphysikalischen System verstehen. Statt der Wellenfunktion, die den Zustand beschreibt haben wir jetzt einfach einen Vektor \(\vec{v}\), der den Zustand beschreibt.

Um mit dieser Wellenfunktion etwas “netter” umzugehen, hat Jean Paul Dirac (1902-1984) die nach ihm benannte Dirac-Notation erfunden, bei der man sogenannte Bra-Vektoren und Ket-Vektoren hat; zusammen gibt das das Wort “Braket”.

Zunächst schreibt man also ganz normale Vektoren als Ket-Vektoren. Also statt: \( \vec{w} \) schreibt man: \( |w\rangle \). Generell sind Ket-Vektoren “normale” Vektoren aus einem Vektorraum V über \(\mathbb{C}\). Man kann sie sich als “normale” Spaltenvektoren vorstellen.

Ein Bra-Vektor geschrieben \( \langle v|\) ist eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\). Bra-Vektoren kann man sich als Zeilenvektoren vorstellen.

So ein Bra \( \langle v|\) kann dann auf einen Ket \( | w \rangle\) angewendet werden, was man schreibt als: \( \langle v|w \rangle \in \mathbb{C} \).

Wenn man so eine lineare Form \( v: V \to \mathbb{C}\) als Zeilenvektor auffasst, dann ist <v | w> das Skalarprodukt (innere Produkt) der beiden Vektoren.

In einer Bra-Ket-Notation verwendet man innerhalb der Notation häufig Kurz-Symbole für den Vektor oder die Linearform. Beispielsweise statt:

\( a  |\Psi_1\rangle + b  |\Psi_2\rangle \\ \)

schreibt man einfach:

\( a  |1\rangle + b  |2\rangle \\ \)

Physik: Plancksches Strahlungsgesetz

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Teilchenphysik, Von Pythagoras bis Einstein, Lineare Algebra, Quantenmechanik
Benötigt: WordPress Latex-Plugin, Fotos von Wikipedia

Stand: 14.08.2024

Anfänge der Quantenmechanik

Im Jahr 1900 formulierte Max Planck (1858-1947) sein Strahlungsgesetz und seine Quantenhypothese. Erst um 1925 entwickelte sich daraus eine Quantentheorie/Quantenmechanik, die die physikalische Systeme im Allerkleinsten (z.B. Elementarteilchen, Atome,…). gut beschreibt.

Abbildung 1: Flammarion Holzschnitt (Wikipedia: FlammarionWoodcut.jpg)

Flammarion Holzschnitt (Wikipedia)

Strahlungsgesetze vor Max Planck

Man kannte früher schon die abgestrahlte Gesamt-Energie (Stefan-Boltzmann-Gesetz) und auch die Wellenlänge bei der das Maximum an Energie abgestrahlt wird (Wiensches Verschiebungsgesetz).

Dieses nach Wilhelm Wien (1864-1928) benannte Wiensche Verschiebungsgesetz besagt, dass  ein Schwarzer Körper der absoluten Temperatur T die intensivste Strahlung bei einer Wellenlänge λmax abgibt, die umgekehrt proportional zu seiner Temperatur ist; als Formel:

\( \lambda_{max} = 2897,8 \mu m \cdot \frac{1}{T}\)   (T in Kelvin)

Aus der Farbe eines thermischen Strahlers kann so auf seine Temperatur zurückgeschlossen werden. Zum Beispiel teilt man die Sterne gemäß ihrer Farbe in Spektralklassen ein, denen eine Temperaturskala entspricht.

Wilhelm Wien fand auch schon 1893 eine Formel für die spektrale Verteilung der Energie, die recht gut zu den experimentellen Messungen passte:

\( \rho(\lambda) = \Large \frac{c_1}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^\frac{c_2}{\lambda T}} \)

Raleigh (John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) veröffentlichte im Jahre 1900 sein Gesetz für die Energieverteilung mit einem noch falschen Vorfaktor, das wurde 1905 von James Jeans wie folgt korrigiert:

\( \rho(\lambda) = \Large \frac{2c\pi}{\lambda^4} \normalsize \cdot k_B T \)

Diese früheren Formeln zur Verteilung der Energie über die Wellenlängen waren beide unbefriedigend.

Das Wiensche Strahlungsgesetz von 1893 passte zwar für kleine Wellenlängen ganz gut, aber für größere Wellenlängen wich es durchaus ab von den gemessenen Werten.
Das Strahlungsgesetz von Rayleigh und Jeans von 1905 war gut für größere Wellenlängen, führte aber bei kurzen Wellenlängen zur sog. “Ultraviolettkatastrophe”.

Das Plancksche Strahlungsgesetz

Max Planck (1858-1947) beschäftigte sich mit die Strahlung eines sog. “Schwarzen Strahlers”. Speziell ging es ihm darum, wie sich in Abhängigkeit von der Temperatur die abgestrahlte Energie über die Wellenlängen hin verteilt.

Planck konnte im Jahre 1900 ein Strahlungsgesetz entwickeln, das zeigt welche Strahlungsenergie ein “Schwarzer Strahler” einer bestimmten Temperatur (T) in Anhängigkeit von der Wellenlänge (\(\rho(\lambda)\)) oder der  Frequenz  (\(\rho(\nu)\)) aussendet. Plancks Strahlungsgesetz ist eigentlich nur eine Formel wie viele andere in der Physik auch, die endlich die Verteilung der Strahlungsenergie in Abhängigkeit von der Frequenz bzw. der Wellenlänge der Strahlung “richtig” darstellt.

\(  \rho(\nu) = \Large \frac{8 \cdot \pi  \cdot h \cdot \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^\frac{h \nu}{k T} – 1}\\\)

oder in Abhängigkeit der Wellenlänge:

\(  \rho(\lambda) = \Large \frac{8 \cdot \pi  \cdot h \cdot c}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^\frac{h \nu}{k T} – 1}\\\)

Wobei die Formel im ersten Fall die Strahlungsleitsung pro infinitesimalem Frequenzintervall  \( d\nu \) und im zweiten Fall pro infinitesimalem Wellenlängenintervall \( d\lambda \) ergibt.

Abbildung 2: Verteilung der Stahlungsenergie

Planksches Strahlungsspektrum (Wikipedia)

Wir sehen, dass je nach Temperatur, das Maxium der Strahlung bei einer anderen Wellenlänge (einer anderen Farbe) liegt.

Im Grenzfall \( h\nu \gg kT\) ergibt sich das Wiensche Strahlungsgesetz; im Grenzfall \( h\nu \ll  kT \) das Rayleigh-Jeanssche Strahlungsgesetz.

In Plancks Formel kommt eine vom ihm so genannte “Hilfskonstante” h vor, die später als das legendäre Plancksche Wirkungsquantum interpretiert wurde. Die physikalische Größe “Wirkung” bezeichnet eine Energie (Joule), die in einer bestimmten Zeit  (Sekunden) etwas “bewirkt”. Die Planck’sch Hilfskonstante ist:

h = 6,626069 ⋅ 10-34 J ⋅ s

h = 6,626   069 ⋅ 10 − 34   J ⋅ s

Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes

Dieses Youtube-Video von Rene Matzdorf  an der Uni Kassel versucht, die Herleitung der Planck’schen Formel (Strahlungsgesetz) über die Strahlung den schwarzen Körpern, sog. Hohlraumstrahlung und darin existierenden stehenden Wellen (Hohlraum-Resonator) herzuleiten:

Der Zusammenhang ist für mich nicht so leicht nachvollziehbar. Aber man muss das Placksche Schrahlungsgesetz ja überhaupt nicht “herleiten” – hat Newton bei seiner Gravitationstheorie ja auch nicht gemacht.

Planck selbst hat die Herleitung seines Strahlungsgesetzes am 14.12.1900 in Berlin vor der Deitschen Physikalischen Gesellschaft gezeigt.

In physikalischen Formeln wird auch häufig ein sog. “Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum” mit dem Symbol “h quer” verwendet. Es ist definiert als: \( \hbar = \Large\frac{h}{2\pi} \)

Quelle: http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/historisch/schwarze_korper.html

Plancks Quantenhypothese

Häufig hört man, dass aus Plancks Formel angeblich die Aussendung der Energie in sog. Quanten (ganzzahlige Vielfache  von h mal ν) folgt. Das kann man aber aus der Formel selbst überhaupt nicht ableiten. Vielmehr ist es so, dass Planck (angeblich) auf diese Formel kam indem er elektromagnetische Strahlung (das Licht) als Teilchen modellierte, die sich wie ein Gas verhalten sollten. Die unterschiedlichen Geschwindigkeiten solcher Teilchen modelliert Planck als unterschiedliche Wellenlängen der Strahlung…

Ein solches Teilchen sollte eine von der Frequenz seiner Strahlung abhängige Energie haben. Das ist die zentrale Formel (Quantenhypothese) von Planck:   \(E = h \cdot \nu \)

Die Formeln für das Strahlungsgesetz hat Planck zunächst durch Probieren herausgefunden und dann später eine Herleitung auf Basis seiner Quantenhypothese gefunden. Planck glaubte jedoch damals noch nicht an eine allgemeine Quantelung, diese war nur eine Annahme, um die Theorie in Einklang mit den Messungen bringen zu können.

Später versuchte Planck sein Strahlungsgesetz nicht durch eine “Hohlraumstrahlung” sonden durch Atome als Oszillator zu interpretieen.

Das Plancksche Wirkungsquantum

Das Plancksche Wirkungsquantum als Naturkonstante wird heute zur Definition der SI-Einheit Kilogramm benutzt.

Im Zusammenhang mit dem Wirkungsquantum spricht man auch von einer einer “Planck-Länge”, einer “Planck-Zeit” etc., denn Planck hatte herausgefunden, dass man aus den Naturkonstanten G, c, h eine ganze Schaar von Einheiten ableiten kann (durch Probieren und Beachten der Dimensionen):

Planck-Länge:

\(  \Large l_p = \sqrt{\frac{\hbar \cdot G}{c^3}} = 6.616 10^{-35}m\\ \)

Was diese Planck-Länge bedeutet, ist zunächst völlig offen. Es ist “nur” eine ausprobierte Formel, die als Dimension eine Länge hat.

Im Zusammenhang mit der Heisenbergschen Unschärferelation versucht man, diesen Planck-Größen eine physikalische Bedeutung beizumessen.

 

 

Physik: Zeitmessung

dkracht

Zeitmessung und Navigation

Kopie aus: web.kr8.de/zeitmessung.htm

Stand: 11.12.2004

Stichworte

Harrison Chronometer H.4, Zeitmessung, Uhr, Navigation, Räderuhr, Pendeluhr, Huygens, Cook, Eisenbahn, Zeitzone, GMT, Zeitzeichen, Sommerzeit, Quarzuhr, Atomuhr, Schaltsekunde, UTC, PTB, GPS, Venusdurchgang, Astrolabe, Oktant, Sextant, Meridian, …

Überblick

  • 750 In der Literatur werden erstmals Sanduhren erwähnt.
  • 1284 Die erste mechanische Turmuhr wird an der Kathedrale von Exeter (England) in Betrieb genommen.
  • 1288 Die Westminster Hall zu London erhält eine mechanische Türmeruhr. Die Tageseinteilung in zweimal zwölf gleich lange Stunden beginnt.
  • 1300 In Florenz wird die erste öffentliche mechanische Stadtuhr aufgestellt,
  • 1336 In Florenz wird eine Turmuhr mit Schlagwerk bekannt
  • 1344 In Padua vollendet Jacopo de Dondi eine öffentliche Schlagwerkuhr.
  • 1345 (spätestens) Die Stunde wird in 60 Minuten zu 60 Sekunden eingeteilt
  • 1348 London erhält seine erste öffentliche Schlagwerkuhr, Big Tom genannt.
  • 1511 Der Nürnberger Schlosser Peter Henlein baut tragbare Uhren – vermutlich gab es tragbare Uhren aber auch schon früher…
  • 1655 Christiaan Huygens (1629-1695) entdeckt in Den Haag mit seinem Fernrohr den ersten Saturnmond (Titan).
  • 1656 Christiaan Huygens entdeckt die Saturnringe und den Orionnebel…
  • 1656 Christiaan Huygens erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?).
  • 1665 oder 1674 Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz).
  • 1761 Das von John Harrison gebaute Chronometer H.4 wird auf einer Reise nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden.
  • 1768-1771 Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise den H.4 noch nicht mitnehmen.
  • 1772-1775 Zweite Reise von James Cook (HMS Resolution) mit Harrisons H.4 Chronometer…
  • 1776-1779 Dritte Reise von James Cook. Tod auf Hawaii.
  • 1825 Eröffnung der ersten Eisenbahnstrecke in England zwischen Stockton und Darlington am 17.09.1827. George Stephenson (1781-1848), der Erbauer der Lokomotive, steuert sie selbst.
  • 1835 Eisenbahn Nürnberg-Fürth
  • 1840-47 Einführung der Railway Time in England.
  • 1880 In Großbritannien wird die Greenwich Mean Time GMT eingeführt
  • 1893 Im Deutschen Reich wird die Mitteleuropäische Zeit MEZ eingeführt
  • 1926 Die GMT wird durch die Universal Time UT abgelöst
  • 1929 wurde die erste Quarzuhr von dem amerikanischen Uhrmacher Warren A. Marrison gebaut.
  • 1946 Am 6. Dezember stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby (1949 Radiocarbon-Methode) seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die Atomuhr, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.
  • 1967 Definition der SI-Sekunde anhand der Cäsium-Atomuhr (9 192 631 770 Schwingungen sind eine Sekunde)
  • 1972 Einführung der Universal Time Controlled UTC anstelle der UT von 1926
  • 1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS Global Positioning System. 24 Satelliten mit Atomuhren an Bord…

Uhren

Die ersten Methoden zur Zeitmessung: Sonnenuhr, Wasseruhr, Sanduhr. Wichtiger Meilenstein: Die Erfindung der Mechanischen Räderuhr. Diese Art von Uhren gab es am Anfang vor allem in Klöstern. Die schweren Gewichte trieben auch die Mechanik des Stundenschlag an…

Wann, wo und von wem die ersten Räderuhren mit mechanischem Hemmwerk gebaut wurden, ist nicht bekannt. Jedenfalls geschah dies im ausgehenden 13. Jahrhundert, möglicherweise in Spanien, aber auch Frankreich kommt als Heimat der Räderuhr in Frage.

Um 1300 werden Räderuhren mit Gewichtantrieb, Spindelhemmung und Waag werden zunehmend hergestellt. Daraufhin beginnt etwa ab 1310 die Ausstattung von Kirchen, Rathäusern, Klöstern und Türmen mit großen Räderuhren und Schlagwerken. Doch man musste immer wieder mit der Sonnenuhr die Zeit überprüfen und die Uhren neu stellen, denn die Ganggenauigkeit betrug so 1 Stunde pro Tag.

Christiaan Huygens erforscht die Pendelbewegungen (unabhängig von Galilei zum zweiten Mal) und erfindet die Pendeluhr, die er 1657 zum Patent anmeldet. (franz. Patentamt?) . Solche Uhren waren, bzw. sind so genau, dass sie nur wenige Minuten pro Tag abweichen! Aber nur unter der Voraussetzung, dass die Uhr an einem Ort stehenblieb.

Huygens konstruiert aus Spiralfeder und Unruh ein Schwingungssystem für eine Taschenuhr, wofür er 1675 ein französiches Patent erhält. Prioritätsstreit mit R. Hooke (Elastizitätsgesetz). Die neuen Uhren mit Spiralfeder und Unruh haben eine deutlich bessere Ganggenauigkeit, als die bisher üblichen Taschenuhren. Deshalb wird jetzt der Minutenzeiger eine ständige Einrichtung bei den moderen Uhren (früher liess man ihn oft weg, u.a. wegen der Ungenauigkeit).

Gegen 1680 Die erreichte Präzision und die Genauigkeit der Pendeluhren führen zum allgemeinen Einsatz des Minutenzeigers im Zentrum des Zifferblattes (“koaxial”). Minutenzeiger waren bis dato eher ein optionales Beiwerk.

Das von John Harrison (1693-1776) gebaute Chronometer H.4 wird 1761 auf einer Reise der HMS Deptfort nach Jamaica getestet. Auf der zwei Monate langen Reise verliert der “Time Keeper” nur 5 Sekunden. Das entspricht einer Abweichung von 1,25′ in der Bestimmung der geographischen Länge; d.h. 2,2 km. Harrison erfüllte damit die Bedingungen des Board of Longitude Acts von 1714, mit dem ein Preisgeld von 20000 Pfund ausgesetzt wurde für eine Abweichung kleiner 30 Meilen.

Navigation

Der Navigator auf See konnte seine geografische Breite sehr gut mit dem Sextanten bestimmen (z.B. Höhe der Mittagssonne). Zur Ermittlung der geografischen Länge muss man z.B. die Zeit des Meridiandurchgangs (etwa der Sonne) bestimmen, wozu man aber die Zeit ersteinmal genau genug kennen musste. Eine Zeitungenauigkeit von 4 Sekunden bedeut eine um 1,8 km (eine Seemeile) verfälschte Positionsbestimmung (am Äquator).

1598 König Philipp II. von Spanien setzte einen Preis für eine Methode zur Bestimmung der geografischen Länge aus (Williams, 1992:78).

1674 Setzte König Charles II von England eine Kommission ein, die das Problem der Längenbestimmung lösen sollte. Mit dieser Aufgabe wurde dann das 1675 gegründete Royal Greenwich Observatory beauftragt.

22.10.1707 Die halbe englische Flotte geht bei den Scilly Inseln (westlich von Cornwall) verloren. Admiral Sir Clowdisley Shovel und seine Navigatoren hatten auf dem Rückweg von siegreichen Schlachten die Position der Flotte (wegen ungenauer Schiffsuhren???) so falsch ermittelt, dass es zur Katastrophe kam, bei der 2000 Seeleute ums Leben kamen. Geschockt von diesem Unglück befasste sich das House of Commons mit der Thematik.

08.07.1714 Aufgrund einer Empfehlung des House of Commons unterschreibt Queen Anne einen Act, der für die Entwicklung genauerer Methoden für die praktische Längenbestimmung auf See einen Preis aussetzte: Auf einer sechswöchigen Reise nach Westindien (Karibik) für eine Längenabweichung bis 60 Meilen: 10000 Pfund, bis 40 Meilen: 15000 Pfund und bis 30 Meilen: 20000 Pfund. Das dafür ins Leben gerufene Board of Longitude sollte eingehende Vorschläge prüfen und über die Vergabe des Preis entscheiden (Quill, 1966:7).

Wesentliche Ursachen für Gangungenauigkeiten der damaligen Uhren mit Feder/Unruh: Zu empfindlich gegenüber äußeren Erschütterungen und Temperaturschwankungen…

1759 Konstruierte John Harrison (1693-1776) das H.4 genannte Schiffs-Chronometer, welches 1761 diese Prüfung erfolgreich bestand: Auf einer zweimonatigen Reise von England nach Jamaica mit der HMS Deptfort ging die H.4 nur 5 Sekunden falsch, was einer Längenabweichung von weniger als 2 Meilen entsprach. Auf der geografischen Breite von Jamaica (18 Grad Nord) entsprechen 5 Sekunden genau 2,2 km. (H.4 Durchmesser: 5 1/4 Zoll, Technologie “Remontoire”). Den Preis erhielt Harrison erst 11 Jahre später auf Grund einer Intervention von König George III nachdem sich dieser von den Erfolgen des Nachfolgemodells H.5 (1772) persönlich überzeugt hatte.

Kapitän James Cook konnte auf seiner ersten Reise (1768-1771 HMS Endeavour, Venusdurchgang Tahiti 3.6.1769) den H.4 noch nicht mitnehmen.

Auf seiner zweiten Reise (1772-1775 HMS Resolution) verwendete Cook den H.4 Chronometer und konnte so die genaue Kartierung des südlichen Indischen Ozeans (der sich zwischen 40 und 60 Grad Süd einfach als leer erwies), Australiens, Neuseelands und fast aller Gebiete des Pazifiks durchführen.

Dritte Reise von Cook (1776-1779) (Namen der Schiffe?? H.4 an Bord??). Tod auf Hawaii.

Das Ergebnis der letzten beiden Reisen von Cook mit dem H.4 war: Umfassende und genaue Kartografierung der Welt. Es gab keine unbekanten Gegenden mehr. Die seit Jahrhunderten erhoffte Terra Australis Incognita gab es nicht. Das Zeitalter der Entdeckungen war beendet. Als letzte Herausforderungen blieben noch die Arktis/Antartis und der Weltraum…

Schiffs-Chronometer waren anfangs ziemlich teuer und fanden deshalb zunächst keine große Verbreitung. Später konnten Zeitsignale der Greenwich Mean Time (GMT) per Radiowellen gesendet werden und so auch die Zeitabweichungen billigerer Uhren korrigiert werden. Die Erfindung der Quarz-Uhr machte dann auch das Radio-Zeitzeichen überflüssig. Schießlich wurde durch die Einführung von GPS und die Verfügbarkeit kleiner und erschwinglicher GPS-Empfänger die Navigation zu einem Kinderspiel…

Zeitmessung und Kalender

Babylonische Zeiteinheiten

Die Babylonier sollen den Tag in 24 Stunden zu ja 60 Minuten eingeteilt haben….

 

Sommerzeit in Deutschland

Erstmals wurde die Sommerzeit in Deuschland am 01.05.1916 eingeführt. Sie galt in Deutschland:

  • 1916 – 1918
  • 1942 – 1949
  • 1980 – heute (Vorgeschieben für die ganze EU)

 

Zeitzonen

Es war üblich, dass jeder Ort die seiner geografischen Länge entsprechende Ortszeit benutzte. Der Uhrmeister der Kirchturmuhr bestimmte die Ortszeit. Bei Reisen von Ort zu Ort musste man am Ankunftsort seine Taschenuhr auf die neue Zeit einstellen. Durch die Verbreitung der Eisenbahn entwickelte sich aus diesem Zeitsystem schnell ein Chaos.

Die Eisenbahngesellschaft Great Western Railway (London-Bristol) führte im November 1840 die Londoner Zeit für alle Fahrplähne und Bahnhöfe ein. Die “railway time” wird damit Vorläufer der Greenwich Mean Time.

Anschläge in Londoner Bahnhöfen: “London Time is kept at all the stations on the Railway, which is four minutes earlier than Reading time; 7 1/2 minutes before Chippenham time; 11 minutes before Bath and Bristol time; and 18 minutes before Exeter time.”

Öffentliche Uhren wurden nun mit zwei Minutenzeigern versehen: “railway time” (in schwarz) und “local time” (in rot). Als Relikt aus dieser Zeit trägt noch heute die grosse Uhr über der Old Corn Exchange in Bristol diese zwei Minutenzeiger.

Für das tägliche Leben im Eisenbahnzeitalter wird nun die Bahnhofsuhr (z.B. Paddington Clock, Foto oben) wichtiger als die Kirchturmuhr.

Beispielsweise galt in Bayern die Münchener Ortszeit und in Berlin die Berliner Ortszeit. Da Berlin knapp 2° östlicher als München liegt, gingen dort die Uhren 7 Minuten vor gegenüber den Uhren in München.

1878 machte der Canadische Eisenbahn-Ingenieur Sandford Fleming (1827-1915) den Vorschlag, statt der bis dahin üblichen vielen verschiedenen Zeiten für Städte und Länder, ein weltweites System mit nur 24 Zeitzonen einzuführen. Alle 15 Grad geografischer Länge sollte eine neue Zeitzone beginnen mit einer um 1 Stunde anderen Uhrzeit (15 Grad = 360 Grad / 24). Die Eisenbahngesellschaften in Amerika führten das Flemingsche System der Zeitzonen am 18.11.1883 ein. Am 1. November 1884 wurde von der Internationalen Meridiankonferenz in Washington D.C. beschlossen, dieses System weltweit einzuführen (World Time Convention). Der Meridian von Greenwich wird als “Nullmeridian” festgelegt. Auf den “gegenüberliegenden” Seite der Erde befindet sich die Datumsgrenze.
Quellen: http://www.crooksville.k12.oh.us/5thgrade/timezone.html http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Sandford-Fleming

Seit dem 01.04.1893 gilt für Deutschland, dass genau am 15. Längengrad Ost gelegene Görlitz als Maßstab der Mitteleuropäischen Zeit (MEZ). So beschlossen es die Gesetzgeber am 12. März 1893. Die Eisenbahn benutzte schon ab dem 30.07.1890 die MEZ.

  • Großbritannien: Seit 01.01.1880 GMT
  • Belgien: Seit 01.05.1891 GMT
  • Dänemark: Seit 01.01.1894 MEZ

http://www.themamundi.de/aws/tabel/tbzone.htm http://www.willi-stengel.de/page5.htm http://www.uhrzeit.org/technik.html http://www.surveyor.in-berlin.de/himmel/himmel.04.11.html#gmt

Einführung der Universal Time “UT”

1926 wird die GMT durch die UT abgelöst. Die UT wird vermittels einer festgelegten Formel aus der Sternzeit berechnet. Die Sternzeit wird durch astronomische Beobachtungen ermittelt. Die Sekunde als der 86400. Teil eines Tages ist wegen der Schwankungen der Tageslänge auch eine entsprechend leicht schwankende Zeiteinheit.

 

Atomzeit

Am 06.12.1946 stellt der amerikanische Physiker Willard F. Libby seine Atomuhr öffentlich vor. Seine Erfindung, die eine sehr genaue Zeitbestimmung möglich macht, weil sie in 300.000 Jahren weniger als eine Sekunde nachgeht, zählt die eigenen Schwingungen des Cäsium Atoms.

Zur Weiterentwicklung des Metrischen Systems wurde die Generalkonferenz für Maße und Gewichte (Conférence Générale des Poids et Mésures, CGPM) geschaffen. Die 11. CGPM beschloß 1960, daß das SI (Internationales Einheitensystem, Systéme International d’Unités) als Einheitensystem für die Mitgliedsstaaten der Meterkonvention angenommen werden soll. Das SI ist inzwischen in über 100 Staaten verbindlich eingeführt. In Deutschland wurde das SI mit Wirkung vom 1.1.1978 im amtlichen und geschäftlichen Verkehr obligatorisch.

Im Oktober 1967 erfolgte die Neudefinition der Sekunde durch die 13. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) in Paris. Die “SI-Sekunde” wird nun durch die Schwingungen des in der Atomuhr (Libby 1946) verwendeten Caesiums definiert:
“Die Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.”
(Gleichzeitig wurde die Maßeinheit Kelvin für die Temperatur beschlossen.)

Die 14. CGPM beschiesst 1971 parallel zur Universal Time (UT1) von 1926, die Atomzeit (TAI) auf Basis der SI-Sekunde (“Atom-Sekunde”) einzuführen.

Auf der 17. CGPM 1983 wird das Meter neudefiniert auf der Basis der SI-Sekunde und der Lichtgeschwindigkeit…

PTB Physikalisch Technische Bundesanstalt

1969 nimmt die Physikalisch Technische Bundesanstalt “PTB” in Braunschweig die erste Atomuhr CS1 (Caesium-Eins) in Betrieb.

Am 01.01.1972 beschiesst die CCIR, die Universal Time UT durch die Universal Time Controlled UTC abzugelösen. 1975 schiesst sich auch die 15. CGPM dem an (Quelle: Bureau International des Poids et Mesures).

UTC verwendet als Sekundenlänge nicht mehr den 86400. Teil eines Tages (so die UT-Definition von 1926), sondern die SI-Sekundenlänge (“Atomsekunde”). Damit die Abweichung zwischen UT (genauer UT1) und UTC immer kleiner als 0,9 s bleibt, wurde die UTC bereits um 10 Sekunden versetzt gegenüber der Atomzeit (TAI) gestartet. Danach werden bei Bedarf Schaltsekunden in die UTC ein- oder ausgefügt (bisher 22 Sekunden). Damit differieren UTC und Atomzeit (TAI) bis Mitte 2003 bereits um 32 Sekunden.

Zum Ausgleich der gravitativen Zeitdilatation wird an den Gängen der primären Atomuhren, die in der Höhe h über dem Geoid aufgestellt sind, eine Korrektion von -1,09·10-16·(h/m) angebracht. Für die Atomuhren der PTB beispielsweise, die auf einer Höhe von h = 75 m über dem mittleren Meeresspiegel aufgestellt sind, beträgt die entsprechende relative Korrektur -8,2·10-15. Damit wird also berücksichtigt, dass die in der Atomuhrenhalle der PTB realisierten Sekundenintervalle um 8,2·10-15 s kürzer sind als bei einer auf dem Geoid aufgestellten Uhr.

GPS Global Positioning System

Das Global Positioning System GPS besteht aus einem Netz von Erdsatelliten in ca. 12-stündigen Umlaufbahnen. Jeder Satellit hat eine Atomuhr an Bord.

1978 Start des ersten Satelliten für den Aufbau des GPS.

Gerade das GPS-System liefert heute ein Argument dafür, die Schaltsekunden aufzugeben und die reine Atomzeit (TAI) als Weltzeit zu definieren: Bei der notwendigen sorgfältigen Synchronisation der GPS-Satelliten wurden die Schaltsekunden nicht berücksichtigt. Seit Einführung von GPS im Jahr 1980 hat sich die Differenz zwischen der internen GPS-Zeit und der offiziellen Weltzeit UTC auf 13 Sekunden aufsummiert. Eine versehentliche Verwechslung der Zeiten, etwa bei der Navigation von Flugzeugen, könnte zu Katastrophen führen.

Die ersten Eisenbahnlinien

27.09.1825 Stockton – Darlington 9 Meilen. George Stephenson “Locomotion”
15.09.1830 Liverpool – Newton – Manchester 31 Meilen. George Stephenson.
07.12.1835 Nürnberg – Fürth 5 km, Lokomotive Adler, Ingenieur …
1836-1838 London – Deptfort – Greenwich
04.07.1837 Newton Junction – Birmingham 82 Meilen, Grand Junction Railway
17.09.1838 London (Euston St.) – Birmingham
29.10.1838 Berlin – Zehlendorf – Potsdam 26 km, 07.08.1846 bis Magdeburg
07.04.1839 Leipzig – Dresden Johann Andreas Schubert funktionsfähige erste Dampflokomotive Deutschlands
30.03.1840 London (Paddington) – Reading Great Western Rayway (GWR), Chief Engineer Brunel
30.06.1841 London (Paddington) – Reading – Bath – Bristol 118 Meilen, Great Western Rayway (GWR), Chief Engineer Brunel
1849 Saar – Rhein (Ludwigshafen)

Quellen

  • Quill, H. 1966 John Harrison. The Man Who Found Longitude. John Baker Publishers. London.
  • Williams, J.E.D. 1992 From Sails to Satellites. The Origin and Development of Navigational Science. Oxford University Press. Oxford.
  • Jonathan Medwin: The Discovery of Longitude: An Historical Account of Maritime Navigational Practice and the subsequent invention of the Chronometer http://rubens.anu.edu.au/student.projects97/naval/
  • Bureau International des Poids et Mesures: Beschlüsse der CGPM
  • PTB: Die Geschichte der Zeiteinheit – Definition der Sekunde

Weiterführende Links

Stoffsammlung

Erst wurden nur in Klöstern die mechanischen Räderuhren verwendet. Ihre großen Gewichte dienten nicht nur zum Antrieb, sondern sie dienten auch dazu, die Mechanik des Stundenschalges anzutreiben!

Die von den Babyloniern erfundene Wasseruhr wurde von den Ägyptern übernommen und später von den Griechen und den Römern immer mehr verbessert. Die Griechen benutzen ihre verfeinerten Wasseruhren im täglichen Gebrauch. Diese Uhren waren genauer, doch auf Reisen waren sie einfach nicht zu gebrauchen.

Die Babylonier gaben dem Tag seine 24 Stunden zu 60 Minuten. Bei den Ägyptern wie bei den Römern hatte der Tag 12 Stunden, genauso wie die Nacht. Doch im Sommer waren die Tage länger und die Nächte kürzer. Umgekehrt im Winter: Die Tagstunden waren kürzer, während die Nachtstunden länger waren. Stunde war also eine ziemlich variable Einheit.

One of the scientific instruments that the conquering Europeans were eventually to develop as a direct result of their conquests and exposure to new learning was the Sea Astrolabe. Developed about 1470 the Sea Astrolabe was based on the design of the much earlier planispheric astrolabe, which had its origins with the Greek philosophers and astronomers immediately prior to the European conquest which had ended the Dark Ages. The Sea Astrolabe was used to plot the attitude of the sun near the meridian. It came into use on ships – the Spanish Armada (1588) carried it (Turner, 1980:31).

By 1726 James and John Harrison had manufactured two clocks which lost no more than one second a month. This was a remarkable achievement and advanced far beyond any existing technologies of the day (Quill, 1966:8).