Astronomie

Astro-Notizen

Astrofotografie: Die Kleine Magellansche Wolke (SMC) mit 47 Tuc

dkracht

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: Galaxien, Namibia, Große Magellansche Wolke
Benutzt: Fotos aus Google Drive, Grafik aus Wikipedia

Stand: 21.12.2022

Eine Reise in den Süden…

Anlässlich meiner touristischen Reisen nach Südafrika, wollte ich ein paar Besonderheiten des südlichen Sternhimmels fotografisch festhalten.

Fotos von der Kleinen Magellanschen Wolke

Am 14.9.2017 auf Kiripotib in Namibia

Da ich nun regelmäßig in Namibia bin, war auch dieses Paradeobjekt des südlichen Sternhimmels auf meiner Liste:

Abbildung 1: Kleine Magellansche Wolke (Google Drive: 20170914_0269-0277_Autosave001_5.jpg)

Was ist die Kleine Magellansche Wolke?

Die Magellanschen Wolken sind zwei irreguläre Zwerggalaxien in nächster Nachbarschaft zur Milchstraße. Die Große Magellansche Wolke (GMW) in rund 163.000 Lichtjahren Entfernung enthält ungefähr 15 Milliarden Sterne, die Kleine Magellansche Wolke (KMW) in rund 209.000 Lichtjahren Entfernung 5 Milliarden Sterne.

Unsere Heimatgalaxie, die Milchstraße, ist eine große Spiral-Galaxie mit einem Durchmesser von ca. 100.000 Lichtjahren und 100 bis 200 Milliarden Sternen.

Die GMW ist relativ hell (0.9 mag) und kann sehr gut mit dem bloßen Auge beobachtet werden (KMW 2.7 mag, Andromedanebel 3.5 mag).

Für einen irdischen Beobachter erstreckt sich die GMW über eine Durchmesser von etwa 6º ; das ist 12 mal der Durchmesser des Vollmonds.

Den Bewohnern der Südhalbkugel waren die beiden Magellanschen Wolken wohl schon seit prähistorischer Zeit durch Beobachtungen mit dem bloßen Auge bekannt, erstmalige schriftliche Erwähnung fanden sie jedoch durch den persischen Astronomen Al Sufi in seinem Buch der Fixsterne im Jahr 964. Der erste Europäer, der die beiden Wolken beschrieb, war Ferdinand Magellan bei seiner Weltumsegelung 1519. Im Fernrohr zeigt sich ihr Charakter als Galaxie, die aus Sernen, Nebeln, Sternhaufen und anderen Objekten zusammengesetzt ist.

Neben den Magellanschen Wolken sind die Canis-Major-Zwerggalaxie (25.000 Lichtjahre entfernt) und Sagitarirus-Zwerggalaxie (70.000 Lichtjahre entfernt) die nächsten Nachbarn der Michstraße. Diese gehören mit insgesamt ca. 27 kleineren Galaxien zur sog. Milchstraßen-Untergruppe der Lokalen Gruppe.
Der etwas entferntere Andromedanebel (2.5 Mio Lichtjahre entfernt) gehört zusammen mit unserer Milchstraße zu den größten Galaxien der Lokalen Gruppe.

Lage der Magellanschen Wolken relativ zur Milchstraße

Abblidung 2: Lage der Magellanschen Wolken relativ zur Milchstraße (Wikipedia: LageDerMagellanschenWolken.jpg)

Copyright: Wikipedia 1921

Abkürzungserklärungen:

• GMW – Große Magellansche Wolke
• KMW – Kleine Magellansche Wolke
• GSP – Galaktischer Südpol
• MSI – Erste Wasserstoffverdichtung im Magellanschen Strom
• 3 – 30 Doradus
• W – Flügel (Wing) der KMW

Der grüne Pfeil deutet die Umlaufrichtung der Magellanschen Wolken um das Milchstraßenzentrum an.

Quelle: Wikipedia

Astronomie: IC 2944 Running Chicken

dkracht

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Nebel, Namibia, Meine Astrofotos
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 21.12.2022

IC 2944 der Running-Chicken-Nebel ist ein klassisches Nebel-Objekt für Namibia.

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für kleinere Teleskope.

  • Scheinbare Helligkeit von 4,5 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 40′ x 20′
  • IC 2944 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha.
  • Entfernung 6500 Lichtjahre.

Bei meinem Aufenthalt in Namibia im August 2019 habe ich endlich ein Foto vom Running Chicken Nebel erstellen können.

Abbildung 1: Running Chicken Nebula (Google Drive: 20190830_2949-2978_RunningChicken_5_beschriftet.jpg)

Diese Fotografie habe ich von Kiripotib, Namibia geschossen. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astronomie: M8 und M20 Lagoon- und Trifid-Nebel

dkracht

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Siehe auch: HII-Regionen, Filter, Nebel, Namibia, Meine Astrofotos
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 21.12.2022

M8 und M20 (Lagoon-Nebel und Trifid-Nebel) sind zwei nahe beieinander liegende Emissionsnebel im Schützen (Sgr).

Ein klassisches H-Alpha-Objekt für kleinere Teleskope mit einem entsprechenden Gesichtsfeld.

  • Scheinbare Helligkeit von 6,0 und 6,3 mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 60′ x 40′ und 28′ x 28′
  • M8 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha.
  • Entfernung 9500 Lichtjahre.

Bei meinem ersten Aufenthalt in Namibia im September 2017 habe ich erste Fotos von M8 und M20 erstellen können. Zwei Jahre später 2019 habe ich es dann noch schöner mit einem Tri-Narrowband-Filter gemacht:

Abbildung 1: Lagoon- und Trifid-Nebel mit Tri-Narrowband-Filter (Google Drive: 20190829_2983-3020_M8-M20_3_beschriftet.jpg)

Diese Fotografie habe ich von Kiripotib, Namibia geschossen. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astronomie: NGC 6334 Katzenpfoten-Nebel

dkracht

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Siehe auch: HII-Regionen, Eta-Carinae-Nebel, Filter, Nebel, Namibia, Meine Astrofotos
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 22.12.2022

NGC 6334 den sog. Katzenpfoten-Nebel ist ein Emissionsnebel im Skorpion.

Er ein klassisches H-Alpha-Objekt für kleinere Teleskope.

  • Scheinbare Helligkeit von ??? mag
  • Scheinbare Ausdehnung von 35′ x 20′
  • NGC 6334 ist ein Emissionsnebel und strahlt vorwiegend in H alpha.
  • Entfernung 5500 Lichtjahre.

Bei meinem ersten Aufenthalt in Namibia im September 2017 habe ich ein erstes Foto von NGC 6334 erstellen können. Zwei Jahre später 2019 habe ich es dann noch schöner mit einem Tri-Narrowband-Filter gemacht:

Abbildung 1: NGC6334 Katzenpfoten-Nebel (Google Drive: 20190829_2867-2926_Katzenpfoten_5_beschriftet.jpg)

Diese Fotografie habe ich von Kiripotib, Namibia geschossen. Dabei hat ein Tri-Narrowband-Filter geholfen.

Astrofotografie: Emissionsnebel

dkracht

Gehört zu: Welche Objekte
Siehe auch: Galaxien, Sternhaufen, Liste meiner schönsten Astro-Fotos, Scheinbare Helligkeit

Stand: 4.2.2022 (Flächenhelligkeit)

Nebel: Emissionsnebel

Nebel sind ein lohnendes Beobachtungsobjekt in lichtverschmutzen Orten. Als Astro-Anfänger in Hamburg-Eimsbüttel möchte ich mit meiner Ausrüstung Astrofotos von Objekten machen, die trotzdem Eindruck schinden (zumindest bei mir selbst). Als ich mich fragte, welche Objekte ich aus der lichtverschmutzten Großstadt Hamburg heraus mit meinen bescheidenen Mitteln fotografieren könnte, blieb eines als gut möglich übrig: Sterne (also keine Nebel, keine Galaxien).

Als für mich lohnenswerte Beobachtungsobjekte kommen also schöne Sternhaufen und Doppelsterne infrage. Sternhaufen kann ich mit der Digitalkamera (kürzere Brennweiten) gut fotografieren; Doppelsterne werden meist erst im Teleskop mit längerer Brennweite gut getrennt.

Einige “Experten” empfahlen auch den Einsatz von Filtern gegen die Lichtverschmutzung, was sich bei Emissionsnebeln (z.B. Pacman-Nebel s.u.) tatsächlich als hilfreich erwies.

Welche Nebel?

Liste von für meine Ausrüstung interessanten Emissionsnebel

Meine Kriterien: Größer als 10′ und heller als 8,0 mag

Emissionsnebel können sehr groß sein, so ist z.B. der Nordamerikanebel (NGC7000).

Die Helligkeit, die als sog. “Visuelle Helligkeit” angegeben wird, ist immer die Gesamthelligkeit. Bei flächigen Objekten verteilt sich diese Helligkeit auf die Fläche des Objekts. Die Flächenhelligkeit wird in der Astronomie üblicherweise in mag/arcmin² gemessen.

Bei einer Gesamthelligkeit von m (in Magnituden) und einer Fläche von F (in arcmin2) ergibt sich als Flächenhelligkeit:

\( B_{mag} = m  + 2,5 \log{F} \\ \)

Einzelheiten dazu: Scheinbare Helligkeit, Flächenhelligkeit

Siehe auch:  https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4chenhelligkeit und https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_diffuser_Nebel

Tabelle 1: Meine Emissionsnebel

Typ Katalog Name Ausdehnung
Fläche		 Visuelle Helligkeit Flächen- Helligkeit [mag/arcmin2] Sternbild Bemerkungen Status
Gas-Nebel M8 Lagunen-Nebel 60′ x 40′ 6,0 mag 14,48 Sgr Namibia. Lagunen-Nebel Foto
Gas-Nebel M17 Omega-Nebel 40′ x 30′ 6,0 mag 13,73 Sgr NGC 6618, Omega-Nebel, Emissionsnebel – sehr hell – Sternbild Schütze
Gas-Nebel M20 Trifid-Nebel 20′ x 20′ 6,3 mag 12,83 Sgr Namibia. NGC 6514, Emissions- und Reflexionsnebel im Sternbild Schütze. Foto
Planetarischer Nebel M27 Hantel-Nebel 8,0′ x 5,7′ 7,5 mag Vul
Emissions-Nebel M42 Orion-Nebel 85′ x 60′ 4,0 mag Ori Orionnebel, der Klassiker. Emission & Reflexion
Planetarischer Nebel M57 Ringnebel Leier 1,4′ x 1′ 8,8 mag Lyr Ringnebel in der Leier, klassischer planetarischer Nebel, aber sehr klein
Gas-Nebel NGC 281 Pacman-Nebel 35′ x 30′ 7,4 mag Cas Emissionsnebel Foto
Gas-Nebel NGC 2237 Rosetten-Nebel 80′ x 60′ 6,0 mag Mon Diffuser Emissionsnebel mit eingebettetem offenen Sternhaufen
Gas-Nebel NGC 3372 Eta-Carinae 120′ x 120′ 3.0 mag Car Namibia.
Gas-Nebel NGC 6334 Katzenpfoten 35′ x 20′ 8.7 mag Sco Namibia. Emissionsnebel Foto
Supernova-Rest NGC 6992 ff. Cirrus 180′ 7,0 mag Cyg Cirrus-Nebel, Schleier-Nebel
Gas-Nebel NGC 7000 Nordamerika 120′ x 100′ 3,4 mag Cyg Nordamerika-Nebel – Klassiker – groß Foto
Planetarischer Nebel NGC 7293 Helix-Nebel 16′ x 28′ 7,6 mag Aqr Dekl=-21°, Beobachtung: Okt/Nov Foto
Gas-Nebel IC 1318 Schmetterlings-Nebel 50′ x 30′ Cyg Emissionsnebel und H-II-Gebiet
Gas-Nebel IC 2944 Running Chicken 40′ x 20′ 4,5 mag Cen Namibia. Der Nebel resultiert aus einer H-II-Region der Milchstraße Foto
Gas-Nebel NGC7380 Wizzard-Nebel 20′ 7,2 mag Cep Hamburg, auch genannt: Harry Potters Goldener Schnatz Foto
Gas-Nebel IC 1805 & IC1848 Heart and Soul 60′ & 40′ 6,5 mag Cas Hamburg, Klassiker, sehr großer Doppelnebel Foto
Gas-Nebel NGC1499 California Nebula 160′ x 40′ 5,0 mag Per Hamburg, sehr großer HII Nebel Foto

Astrofotografie: NGC 253 Silver Dollar Galaxie

dkracht

Gehört zu: Welche Objekte?
Siehe auch: Galaxien, Deep Sky Objekte, Namibia, Meine Astrofotos
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 22.12.2022

Die Silver Dollar Galaxis

NGC 253, genannt “Silver Dollar Galaxy”, im Sternbild Sculptor ist das klassische klassische “Anfängerobjekt” auf der Südhalbkugel.

Generelle Vorbereitungen für das Fotografieren von NGC 253

Der Standort für die Beobachtung ist Kiripotib in Namibia. Ich war dort vom 12. bis 18.9.2017.

Wann ist der günstigste Zeitpunkt; d.h. wann steht NGC 253 in Namibia schön hoch am Himmel?

  • In 2017 in Kiripotib: ab 12. September, 20:43 Uhr (h>30°)

Welche Ausrüstung soll eingesetzt werden?

  • Kamera: Canon EOS 600Da
  • Optik: APM APO 107/525 (mit Flattener/Reducer 0.85) also ein Öffnungsverhältnis von f/4.9
  • Montierung:  Fornax 51
  • Polar Alignment: vorhanden
  • Windows 10 Notebook-Computer
  • Aufnahme-Software: APT

Mit welchen Einstellungen sollen die Fotos geschossen werden?

  • Geplante Belichtungszeit: 30 x 240 Sekunden bei ISO 800
  • Probefotos ergaben, dass bei dieser Belichtung das Histogramm der Einzelfotos “gut” aussah; d.h. deutlich vom linken Rand abgesetzt und von rechten Rand noch sehr weit entfernt
  • Aufnahmeformat: Raw d.h. CR2
  • Auto Guiding mit PHD2 Guiding

Das Foto am 17.09.2017

Im Jahre 2017 war ich mit meinen astrofotografischen Übungen dann so weit und konnte in Kiripotib folgende Aufnahme gewinnen:

Abbildung 1: NGC 253 Silverdollar Galaxy im Sculptor (Google Drive: 20170917_Autosave_NGC253_SculptorGalaxy_6_beschriftet.jpg)

Astronomie: Omega Centauri

dkracht

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: Sternhaufen, Namibia, Meine Astrofotos
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 22.12.2022

Omega Centauri (auch NGC 5139) ist der größte Kugelsternhaufen in unserer Milchstraße.

Mit einer scheinbaren Hellikeit von 5,3 mag und einer scheinbaren Ausdehnung von 55′ ist er ein klassisches Objekt für kleinere Teleskope im Süden.

Omega Centauri ist ein sehr großer und sehr alter Kugelsternhaufen.

Entfernung: 17000 Lichtjahre.

Im August 2019 habe ich ein Foto des Kugelsternhaufens Omega Centauri mit meiner Canon DSLR schießen können:

Abbildung 1: Omega Centauri (Google Drive: 20190823_2193-2220_Omega_Cen_3_beschriftet.jpg)

Diese Fotografie habe ich bei richtig dunklem Himmel in Kiripotib, Namibia gemacht.

Astronomie in Namibia: Kugelsternhaufen 47 Tuc

dkracht

Gehört zu: Beobachtungsobjekte
Siehe auch: Sternhaufen, Namibia, Meine Astrofotos
Benutzt: Fotos aus Google Drive

Stand: 22.12.2022

Kugelsternhaufen 47 Tuc (NGC105)

47 Tuc (auch NGC 105) ist der zweitgrößte Kugelsternhaufen in unserer Milchstraße.

Mit einer scheinbaren Hellikeit von 4,9 mag und einer scheinbaren Ausdehnung von 31′ ist er ein klassisches Objekt für kleinere Teleskope im Süden.

47 Tucanae ist ein sehr großer und sehr alter Kugelsternhaufen.

Die Entfernung zu diesem Kugelsternhaufen beträgt 15000 Lichtjahre.

Im September 2017 habe ich ein Foto des Kugelsternhaufens 47 Tuc mit meiner Canon DSLR schießen können:

Abbildung 1: NGC105 47 Tuc (Google Drive: 20170922_Autosave_5_NGC104_beschriftet.jpg)

Diese Fotografie des Kugelsternhaufens 47 Tucanae habe ich bei richtig dunklem Himmel in Kiripotib, Namibia gemacht.

Für die SEO-Analyse müssen hier viel mehr Worte steht. Weil die Astro-Fotografie in Namibia so hervorragend möglich ist, muss man dass schon mal gesehen und erlebt haben. Es ist ja ganz fantastisch dort zu sein und den wunderbaren Sternenhimmel zu betrachten. Man kann schon mit einfachen Mitteln (z.B. einer DSLR) aufregende Astro-Fotos schiessen.

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Kugelsternhaufen 47 Tuc

Astronomie: Backfokus für die ASI294MC Pro

dkracht

Gehört zu: Astronomie
Siehe auch: ASI294MC Pro, Flattener, Liste meiner Astro-Geräte
Benutzt: Grafiken aus GitHub

Was ist Backfokus?

Als Backfokus bezeichnet man den genauen Abstand, den die Sensor-Ebene der Kamera vom Ende des Teleskops haben muss.

Meist ist das Endstück eines Teleskops ein Flattener/Reducer bzw. ein Koma-Korrektor.

Bei der Längenberechnung werden die Gewinde nicht mitgezählt, denn die sollten ja nach dem Reindrehen “verschwunden” sein. Also immer von Flansch zu Flansch zählen.

Ich habe einen Satz von Verlängerungshülsen gekauft, die M42-Gewinde (eins innen, eins außen) haben. Damit kann ich den erforderlichen Backfokus in aller Regel erreichen.

Backfokus für die Kamera ZWO ASI294MC Pro

Bei der Kamera selbst ist die Sensorfläche 6,5 mm hinter der Vorderkante der Kamera, wo sich direkt ein M42 Aussengewinde befindet.

Da man üblicherweise ein M42 Innengewinde kameraseitig benötigt, ist ein kleiner Adapter mit M42 Innengewinde vorn und hinten erforderlich. Dieser hat eine optische Länge von 11 mm.

Damit hat die so ausgestattete Kamera schon 6,5 mm + 11 mm = 17,5 mm optisch wirksamen Abstand vor der Sensorfläche.

Anschluss in Namibia an APM Apo 107/700 mit Riccardi-Reducer

Der Riccardi_Reducer hat kameraseitige ein M82-Gewinde.

Der Backfokus des Reducers ist 80 mm.

Dabei ist ein Adapter M82 -> M48 mit der Baulänge 3 mm

Dabei ist eine variable M48-Verlängerung mit der Baulänge 17-23 mm.

Soweit macht das zusammen 20-26mm; es fehlen also noch 54-60mm zum Backfokus.

Meine Kamera ZWO ASI294MC pro verfügt (s.u.) über Stücke der Gesamtlänge von 55mm. Das würde reichen…

Anschluss in Namibia an Foto-Newton mit Paracorr Komakorrektor

Der Paracorr hat kameraseitig ein M48*0,75 Aussengewinde.

Der Backfokus soll 55 mm betragen.

Anschluss in Namibia an TS APO 90/600 mit TS-Flattener 1.0x

Der TS-Flattener hat kameraseitig ein M48*0,75 Gewinde.

Der Backfokus soll 113.114 mm betragen.

Anschluss an mein Teleskop ED80/600 mit Flattener

Der Flattener hat kameraseitig ein M48*0,75-Aussengewinde.

Der Backfokus soll 55 mm betragen.

Anschluss an das Teleskop ggf. den Flattener/Reducer des Teleskops

Die Kamera ASI294MC Pro selbst hat einen M42*0.75-Aussengewinde (das wird auch T2-Gewinde genannt) als primären Anschluss.

Mit der Kamera kommen folgende Verlängerungsstücke bzw. Adapter mit:

  • M42/M42 Verlängerung um 11 mm (vor-eingebaut)
  • M42/M42 Verlängerung um 21 mm
  • M48/M42 Verlängerung um 16,5 mm

Backfocus der Kamera ohne alle Adapter: 6,5 mm
Insgesamt also 6,5 + 11 + 21 + 16,5  = 55 mm

Für alle Fälle habe ich mit zusätzlich einen Satz von M42-Verlängerungshülsen mit unterschiedlichen Längen gekauft.

Der Flattener/Reducer hat am kameraseitigen Ende ein M48*0,75 Aussengewinde…

Hinzu kommt der Adapter SKFlat von Teleskop-Service. Dieser 2-Zoll-Stutzen vorne ein M48x0.75 Innengewinde, in das man 2-Zoll-Filter schrauben kann.

Wo sollte ein Filter eingeschraubt werden?

Da mein Tri-Narrowband-Filter (2 Zoll astronomischer Filter) nicht für alle Beobachtungsobjekte verwendet werden soll, muss ich ihn immer wieder ausschrauben und einschrauben. Aber wo?

Vom Gewinde her würde der Filter zwischen Flattener und das 16.5 mm Verlängerungsstück passen. Aber das würde den Backfokus ruinieren. Der Filter muss also ganz vorne an den “Adapter SKFlat” geschraubt werden – oder wir haben eine Filterschublade (s.u.), die genau anstelle des 21mm-Stücks passt.

Das 11mm lange M42-Gewinde (s. Bild unten) scheint ziehmlich fest an der ASI-Kamera zu stecken.

Abbildung 1: Zusammenbau ASI294 mit Flattener (GitHub: Flattener02.svg)

Filterschubladen

Wenn ich in diesen Optical Train eine Filterschublade einbauen will, ohne den Backfokus zu zerstören, nehme ich am einfachsten eine sog. “ZWO-Filterschublade”, die hat dann eine optische LÄnge von genau 21mm. Die Frage ist dann noch, welchen vorderen Anschluss man hat.

Filterschublade zum Anschluss an Canon Foto-Objektive

An das M42-Innen-Gewinde des ersten (11mm) Adapters kommt dann gleich die EOS-Filterschublade, die vorne ein Canon-Bajonett hat…

Filterschublade zum Anschluss an M48-Gewinde

An das M42-Innen-Gewinde des ersten (11mm) Adapters kommt dann gleich die M48-Filterschublade, die vorne ein M48-Innen-Gewinde hat…

Mathematik: Metrik, Abstand und Geometrie

dkracht

Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Krümmung, Vektorraum, Wirkung, Schwarzschild-Metrik, Metrik-Tensor
Benutzt: WordPress-Plugin Latex, GeoGebra Grafikrechner

Stand: 19.10.2021

Metrik, Abstand und Geometrie

Auf einer Menge M kann man eine Metrik definieren; dadurch dass man je zwei Punkten einen Abstand (relle Zahl >= Null) zuordnet.

d: M x M -> R

So eine Abstandsfunktion muss drei Axiome erfüllen, um Metrik genannt werden zu dürfen.

Oft ist den Beispielen die Menge M ein Vektorraum z.B. R2 oder R3.

Mit Hilfe einer solchen Metrik kann man eine ganze “Geometrie” definieren, also ein Regelwerk für Punkte, Geraden, Winkel, Dreiecke etc. Klassisch ist die Geometrie nach Euklid; andere Geometrien bezeichnet man als “Nicht-Euklidische Geometrie”…

Euklidische Geometrie

In der sog. Euklidischen Geometrie wird der Abstand im zweier Punkte im Raum (also die Metrik) durch den Satz des Pythagoras definiert.

Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwenden wir ein Koordinatensystem z.B.  im R3 eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse:

\(\Large d((x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b)) = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2 – (z_b-z_a)^2} \\\  \)

Dieser Abstand ist auch die Länge der geraden Strecke zwischen den Punkten a und b.

Im allgemeinen Fall nehmen wir eine parametrisierte Kurve α: [a,b] -> Rn  und definieren als Länge L der Kurve α:

\(\Large L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt \\\ \)

Siehe auch: Integralrechnung

Wir können zeigen, dass diese Längendefinition für Kurven mit der Metrik für Punktabstäde im Euklidischen Raum überein stimmt (ohne Beschänkung der Allgemeinheit: t ∈ [0,1]):

\( \alpha(t) = \left( \begin{array}{c} x_1 + (x_2-x_1) \cdot t \\\ y_1 + (y_2-y_1)\cdot t  \\\  z_1 + (z_2-z_1)\cdot t\end{array}\right)  \\\  \)

Die erste Ableitung ist:

\( \alpha^\prime(t) = \left( \begin{array}{c} (x_2-x_1)  \\\ (y_2-y_1) \\\  (z_2-z_1) \end{array}\right)  \\\  \)

Die Norm der Ableitung ist dann:

\( || \alpha^\prime(t) || = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \\\ \)

Wenn wir das in die obige Längendefinition einsetzen erhalten wir:

\( L_\alpha(a,b) = \int_a^b ||\alpha^\prime(t)|| dt = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \int_0^1 dt  = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}  \\\ \)

Die Länge einer geraden Strecke ist also auch mit der allgemeinen Integral-Formel genauso wie nach Pythagoras oben.

Das Linienelement

Gerne verwendet man auch ein sog. Linienelement um eine Metrik zu definieren. Für die Euklidische Metrik im dreidimensionalen Raum mit einem Chartesischen Koordinatensystem (x,y,z) haben wir das Linienelement:

\( ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\\  \)

Was ergibt:

\( ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \\\  \)

Was für eine parametrisierte Kurve s: [a,b] -> R3 bedeutet:

\( \Large \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\  \)

Was als Kurvenlänge von t=a bis t=b ergibt:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt \\\  \)

Wenn man nun bedenkt dass:

\(\Large  s^\prime = \frac{ds}{dt} = \left( \begin{array}{c} \frac{dx}{dt}  \\\ \frac{dy}{dt} \\\  \frac{dz}{dt} \end{array}\right) \\\  \)

ist, ergibt sich die Norm zu:

\( ||\Large s^\prime || = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} \\\ \)

Eingesetzt ergibt das:

\( \Large L(a,b) = \int_a^b || s^\prime || dt \\\ \)

was genau der ersten Definition (oben) entspricht.

Man kann auch zeigen, dass die so definierte Länge einer parametrisierten Kurve bei Umparametrisierungen der Kurve gleich bleibt.

Der Metrik-Tensor

Im allgemeinen Fall drücken wir das Linienelement in einem Koordinatensystem mithilfe des “Metrik-Tensors” \(g_{\mu\nu}\) aus:

\( ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \\\ \)

Im Falle der Euklidischen Geometrie im R3 ist im Chartesischen Koordinatensystem der metrische Tensor:

\( g =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{array} \right]  \\\)

Ein “Tensor” in diesem Sinne ist nichts anderes als eine (n x n)-Matrix für die man noch einige zusätzliche Regeln hat.

Weiterführende Anmerkungen

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie ART von Einstein, verändert die Anwesenheit von Materie den Raum, was auch “Gravitation” genannt wird.

Wir können das als eine Nicht-Euklidische Metrik verstehen, für die beispielsweise Karl Schwarzschild schon 1916 im vereinfachten Fall einer Kugelmasse (Schwarzes Loch) eine Formel gefunden hat.

Zu Veranschaulichung so einer Nicht-Euklidischen Metrik wird häufig von einer “Krümmung” der Raumzeit gesprochen. Diese “Krümmung” ist aber eigentlich nur eine andere Metrik, trotzdem stellt man sich die Abweichung von der herkömmlichen Euklidischen Metrik gern als “Krümmung” vor,

Da diese “Krümmung” (also Abweichung von der Euklidischen Metrik) aber nicht in eine weitere Dimension, sondern “in sich” d.h. als Stauchung bzw. Streckung erfolgt, würde ich gerne eine solche Abweichung durch ein Verbiegen des Koordinatengitters veranschaulichen. Also durch den optischen Vergleich der Koordinatengitter zweier Metriken.

===> Das Gitter, was ich hier meine, ist ein durch gleiche Abstände in der jeweiligen Metrik gegebenes Gitter – ist also eigentlich kein schlichtes Koordinatengitter, sondern ein Metrik-Gitter…

GeoGebra Gitternetz

Schwarzschild-Metrik

Ich habe zum Thema Schwarzschild-Metrik einen eigenen Artikel geschrieben.