Log-Normalverteilung (aus Wiki)
Die Idee ist, das sich z.B. Preise log-normal verteilen, wenn die Rediten normalverteilt sind.
Formeln
— Dkracht 07:55, 20 October 2008 (CEST)
Die Idee ist, das sich z.B. Preise log-normal verteilen, wenn die Rediten normalverteilt sind.
— Dkracht 07:55, 20 October 2008 (CEST)
Keywords: DreiPunktMethode
Eine Beta-Verteilung ist durch die Parameter:
vollständig bestimmt.
Man kann errechnen:
Formel für die Beta-Verteilung:
Google Docs (Sheets): Die Beta-Verteilung in Excel
— Main.DietrichKracht – 04 Jul 2007
Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Tägliche Bewegung der Gestirne, Diagramme, Tageslänge, Koordinatensystem
Benötigt: WordPress Latex-Plugin, WordPress Plugin Google Drive Embedder
Die Ebene Trigonometrie ist die Lehre von den Dreiecken in der Ebene.
Die Sphärische Trigonometrie ist die Lehre von den Dreiecken auf einer Kugeloberfläche. Solche Dreiecke werden durch Abschnitte von Großkreisen gebildet.
Zur Umrechnung eines Koordinatensystems in ein anderes zeichnet man sich ein sog. Polar-Dreieck, in dem die “Pole” (“Drehpunkte”) beider Koordinatensysteme vorkommen.
Zur Umrechnung der äquatorialen Koordinaten Deklination (δ) und Stundenwinkel (t) in die horizontalen Koordinaten Höhe (h) und Azimuth (A) wird das sog. Polar-Dreieck wird gebildet durch den Himmelspol (N), den Zenit (Z) und ein Himmelsobjekt (O).
Im Polardreieck sind die Abstände (Bogenlängen):
Im Polardreieck sind die Winkel an den Ecken des Dreiecks:
Abbildung 1: Das Polardreieck (Google Drive: polardreieck.svg)
MIt dem Seiten-Cosinussatz errechnet man den Cosinus der Länge einer Seite aus den Längen der beiden anderen Seiten und dem gegenüberliegenden Winkel:
\(\cos z = \cos (90° – \phi) \cos (90° – \delta) + \sin (90° – \phi) \sin (90° – \delta) \cos t\)
Was schließlich heisst:
\(\sin h = \sin \phi \sin \delta + \cos \phi \cos \delta \cos t \)
Der Cotangens-Satz im Polardreieck sagt:
\( \cos (90° – \phi) \cos t = \sin(90° – \phi) \cot (90° – \delta) – \sin t \cot(180° – A) \)Trigonometrisch umgeformt ergibt das:
\( \sin \phi \cos t = \cos \phi \tan \delta – \Large\frac{\sin t}{\tan A} \)
Aufgelöst nach A ergibt sich:
\( \tan A = \Large\frac{\sin t}{\sin \phi \cos t – \cos \phi \tan \delta} \)MIt Hilfe dieser Koordinatentransformation kann man für jedes bekannte Himmelsobjekt (Deklination und Rektaszension) die scheinbare tägliche Bewegung am Himmel berechnen – siehe dazu: Die scheinbare tägliche Bewegung der Gestirne.
Wenn ich im obigen Polardreieck h=0 setze, erhalte ich einen gekippten Großkreis (oBdA setze ich t = λ).
\(\Large \frac{\sin{\delta}}{\cos{\delta}} = – \frac{\cos{\varphi}}{sin{\varphi}} \cdot \cos{\lambda} \)Abbildung 2: Beispiel eines Großkreises auf der Erde (Google: xyz)
Bei der Seefahrt bezeichnet man die Navigation auf einem Kurs entlang eines Großkreises als “Orthodrome” (Gegensatz: Loxodrome).
Mehr dazu: https://www.navigareberlin.de/onewebmedia/Grosskreisnavigation%20Ver%C3%B6ffentlichung.pdf
Für eine Kugel mit dem Radius r kann ich auf der Kugeloberfläche (z.B. Erdoberfläche) ein Koordinatensystem (s.o.) benutzen:
Zur Messung von Abständen (Längen) benötige ich ein LInienelement:
\(\Large ds^2 = r^2 d \varphi^2 + r^2 \cos{\varphi}^2 d\lambda^2 \)Die kürzeste Verbindung zweier Punkte liegt dann auf einem sog. “Großkreis” (s.o.).
Die Strecke von (0.0) nach (π, 0); das ist ein halber Erdumfang am Äquator) müsste eine Länge von π r haben. Da auf der ganzen Strecke φ konstant =0 ist, ist auch dφ = 0 und es ergibt sich als Längenintegral:
\( \Large s = r \int\limits_{0}^{\pi} d \lambda = r \cdot \left[ \lambda \right]_0^\pi = \pi \cdot r\)Die Strecke von (0,0) nach (0, π/2) ist ein Viertel Erdumfang vom Äquator zum Nordpol (ein sog. Quadrant) die Länge müsste also \(r \frac{\pi}{2} \) sein. Da auf der ganzen Strecke λ konstant =0 ist, ist auch dλ=0 und es ergibt sich als Längenintegral:
\( \Large s = r \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi = r \cdot \left[ \varphi \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = r \cdot \frac{\pi}{2}\)Aus dem obigen “Polardreieck” wird das “nautische Grunddreick“, wo wir wieder den Seiten-Cosinussatz anwenden können, um die Distanz zu berechnen. Die Distanz d zwischen einem Ausgangspunkt \( A = (\lambda_A, \varphi_A) \) zu einem Endpunkt \( B = (\lambda_B, \varphi_B) \) können wir also berechnen als:
\(\Large \cos{d} = \sin{\varphi_A} \sin{\varphi_B} + \cos{\varphi_A} \cos{\varphi_B} \cos{(\lambda_B – \lambda_A)} \ \\ \)Die Strecke von (0, π/3) nach (π, 0) läuft jetzt “schräg” über unser Koordinatensystem…
\(\Large \cos{d} = \sin{\frac{\pi}{3}} \sin{0} + \cos{\frac{\pi}{3}} \cos{0} \cos{\pi}\)Das ergibt: \( \Large \cos{d} = \frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-1) = -\frac{1}{2} \\\ \)
und damit ist die gesuchte Distanz \( d = \frac{2}{3} \pi \)
Um diese Distanz aus unserem Linienelement zu ermitteln, müssen wir das Linienelement entlang des Bogens von A nach B integrieren.
Dafür wollen wir den Weg zuerst als Funktion \( \varphi = f(\lambda) \) aufschreiben.
…
Gehört zu: Mathematik und Physik
Siehe auch: Kosmologie , Quantenmechanik, Mathematik, Komplexe Zahlen
Benötigt: WordPress Plugin LaTeX
Angeregt von einem Youtube-Video “Top 10 equations that changed to world” wollte ich hier die wichtigsten Errungenschaften der Mathematik und Physik sind darstellen:
Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt:
a² + b² = c²
Dies ist die Basis für die Messung von Entfernungen. Hierdurch wird die Geometrie mit der Algebra verbunden.
Auf dieser Basis kann man Entfernungen im Raum (sog. Metriken) mit mathematischen Formeln berechnen; z.B. im drei-dimensionalen Euklidischen Raum:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2
In der Kosmologie verwendet man weitergehende Metriken, z.B. die Robertson-Walker-Metrik…
Vereinfachen der Multiplikation zur Addition z.B. bei komplexen astronomischen Berechnungen….
log(a · b) = log(a) + log(b)
Logarithmische Skalen z.B. bei den Helligkeiten von Himmelsobjekten…
Die Differentialrechnung geht auf Newton (1643-1727) und Leibniz (1646-1716) zurück …
\( \frac{dx}{dy} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
Der Begriff des Grenzwerts (des Limes) wurde erst später von Bernhard Bolzano (1781-1848) und Karl Weierstrass (1815-1897) formal eingeführt.
Newton war es, der die Differentialrechnung in die Physik einführte z.B.
Die Anziehungskraft zwischen zwei Massen m1 und m2, die eine Entfernung r voneinander entfernt sind, ist:
\( F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \)Wobei G die sog. Gravitationskonstante ist.
Hierzu habe ich einen separaten Blog-Artikel geschrieben: Komplexe Zahlen
Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht.
Joseph Fourier (1768-1830)
\(\Large f(\epsilon) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-2 \pi x \epsilon} dx \)Wobei ε die Frequenz ist…
“Jede” Funktion wir dargestellt als eine Überlagerung von Sinuswellen mit unterscheidlicher Frequenz….
Claude Navier (1785-1836) und George Stokes (1819-1903)
Das ist nicht so einfach…
Michael Faraday (1791-1867) und James Clerk Maxwell (1831-1879)
Für das elektrische Feld E gilt:
\(
\nabla \cdot \vec{E} = 0
,
\nabla \times \vec{E} = \Large -\frac{1}{c} \frac{\partial H}{\partial t}
\)
und für das Magnetfeld H gilt:
\(
\nabla \cdot \vec{H} = 0
,
\nabla \times \vec{H} = \Large \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t}
\)
Fischer Black (1938-1995) und Myron Scholes (1941-)
Albert Einstein (1879-1955) und Erwin Schödinger (1887-1961)
Eine der Voraussetzungen zum Verständnis sind sog. Vektorräume.
Vektorräume verfügen über eine Operation, die Addition genannt wird und eine kommutative Gruppe bildet. Weiterhin muss jeder Vektorraum einen Körper von sog. Skalaren haben, mit denen die Vektoren mutipliziert werden können.
Es gibt den Begriff der “Dimension” eines Vektorraumes…..
Besonders interessant ist das sog. “innere Produkt” (engl. Dot Product) zweier Vektoren…
Bei der Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein benötigt man die Tensoralgebra.
Den Zustand von Quantenmechanischen Teilchen (Systemen) beschreibt die Wellenfunktion, die man mithilfe der Schrödinger-Gleichung finden kann.