Gehört zu: Himmelsmechanik
Siehe auch: Newton, Langrange-Punkte, Ebbe und Flut, Gravitation, Differentialoperatoren, Arbeit, Elementarteilchen
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Stand: 17.01.2024  (Zentrifugalkraft, Laplace)

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( \Large F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besondere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Zu den Zeiten Newtons beschäftigte sich die Physik in der Hauptsache und fast ausschließlich mit Mechanik. Newton (und Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716) entwickelten die Infenitesimalrechung (engl. Calculus) mit der die Bewegung mechanischer Systeme durch die Wirkung von Kräften berechenbar gemacht werden konnte. Siehe dazu mein separater Artikel Newtonsche Mechanik.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante G wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

Eine ähnliche Formel wie hier für die Gravitationskraft zwischen zwei Massen haben wir in der Elektrostatik für die Elektrische Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen: Das Coulomb-Gesetz.

Die elektrostatische Kaft

Elektrische Ladungen erzeugen ebenfalls ein Kraftfeld.  Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) fand 1785, dass die Kraft zwischen zwei elektrische Ladungen q₁ und q₂ (im Vakuum) im Abstand von r sich nach folgender Formel berechnet (Coulombsches Gesetz):

\(\Large F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}\)

Mit der elektrischen Feldkonstanten:

\( \Large \epsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac{C^2}{Nm^2} \\\)

Das Potential in einem Kraftfeld

Die Gravitationskraft, die das Newtonsche Gravitationsgesetz beschriebt wirkt ja über Entfernungen zwischen Körpern ohne das wir dazwischen etwas sehen können. Wir haben also eine sog. Fernwirkung (“action at a distance”), was schon Newton großes Kopfzerbrechen machte.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) gelang es, dies durch ein sog. Feld (Potentialfeld) zu beschreiben, dessen Gradient (also soetwas wie die Änderungsrate) dann die Kraft ist. Micheal Faraday (1791-1867) hat die Laplace’sche Idee von Feldern dann im Zusammenhang mit Elektrischen und Magnetischen Feldern populär gamacht.
Heute glaubt man (Quantenfeldtheorie), dass das ganze Universum “nur” aus solchen Feldern besteht und es eigentlich keine Teilchen gibt.
Quelle: https://youtu.be/RwdY7Eqyguo?feature=shared

Ein Kraftfeld, wie das Gravitationsfeld aber auch andere (wie z.B. ein Elektrostatisches Feld), beschreibt man auch gerne durch das sog. Potentialfeld, womit für jeden Punkt im Raum gemeint ist, welche Arbeit (Kraft mal Weg) erforderlich ist, eine kleine Probemasse aus dem Unendlichen an diesen Punkt im Raum zu bringen. Die Menge Arbeit ist in einem sog. “konservativen” Kraftfeld unabhängig vom Weg. Das Potentialfeld ist somit wohldefiniert.

So ein Potentialfeld Φ(r) ist also ein skalares Feld. Aus dem Potentialfeld ergibt sich dann das Kraftfeld F(r), das proportional dem lokalen Gradienten des Potentialfeldes ist.

\( \Large \vec{F(r)} = const \cdot grad( \Phi(r) )\\ \)

Statt “grad” für Gradient, schreiben manche auch gerne ein Nabla, mit dem Symbol: ∇

\( \Large \vec{F(r)} = const \cdot \nabla \Phi(r) \\ \)

Das Potential im Gavitationsfeld

Bei einem “einfachen” Gravitationsfeld, das nur von einem großen Körper (z.B. der Erde) erzeugt wird, hängt der Wert des Potentials nur vom Abstand vom Massemittelpunkt ab. Gleiche Abstände vom Massemittelpunkt definieren dann sog. Äqui-Potential-Flächen.

Wenn wir das Gravitationsfeld der Erde (Masse = M) nehmen, ist das “Gravitationspotential” im Abstand r vom Massemittelpunkt demnach:

\(  \Large \Phi(r) = \space – G \cdot \frac{M}{r}  \\ \)

Wenn wir dieses Potential nach r ableiten (das ist im Eindimensionalen der Gradient) erhalten wir ja unser Newtonsches Gravitationsgesetz:

\( \Large F(r) = m \cdot \frac{d \Phi}{dr} =  m \cdot \frac{G \cdot M}{r^2} \\ \)

Das “schicke” am Potentialfeld ist:

1. Der philosophische Gedanke der “Fernwirkung” eines Kraftfeldes wird dadurch gedanklich eher eine lokale Angelegenheit.
2. Die Potentiale mehrerer Kraftfelder können einfach addiert (“überlagert”) werden.

Ein Beispiel für eine Überlagerung von Potentialen mehrer Kraftfelder sind die Lagrange-Punkte im System Sonne-Erde. Dort haben wir zwei Gravitationsfelder (Sonne und Erde) und ein drittes Potentialfeld durch die Rotation. Letztere wird berücksichtigt durch die Betrachtung in einem rotierenden Bezugssystem, in dem auch die beiden schweren Himmelskörper (Sonne und Erde) ruhen. Man spricht dann von einem “effektiven” Potential, was die Zentrifugalkraft, die ja als sog. Scheinkraft (Trägheitskraft) in so einem rotierenden Bezugssystem auftritt, mit beinhaltet. Dies zeigt sehr schön der Wikipedia-Artikel Lagrange-Punkte. und auch der von mir später verfasste Artikel über die Lagrange-Punkte in diesem Blog.

Siehe auch das Youtube-Video von Josef M. Gaßner “Lagrange-Punkte und Potential”:

Das Potential im elektrostatischen Feld

Auch das elektrostatische Feld ist ein konservatives Kraftfeld.

Bei einem “einfachen” Elektrostatischen Feld, das nur von einer punktförmigen Ladung erzeugt wird, hängt der Wert des Potentials nur vom Abstand von der Punktladung ab. Gleiche Abstände von der Punktladung definieren dann sog. Äqui-Potential-Flächen.

Bei einem elektrostatischen Feld einer Punktladung der Ladung Q ist also das Potential im Abstand r von der Punktladung demnach:

\(  \Large \Phi(r) = \space – \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}  \\ \)

Auch hier können wir dieses Potential nach r ableiten und bekommen das Coulomb-Gesetz für die Anziehungskraft zweier elektrischen Ladungen q und Q:

\(\Large F_e = q \cdot \frac{d \Phi}{dr} = q \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}\)

Die Zentrifugalkraft

Die Zentrifugalkraft ist eine sog. “Scheinkraft”; d.h. sie ist in Inertialsystemen nicht vorhanden.

Typischerweise hat man so eine Zentrifugalkraft bei der Bewegung eines Massepunkts auf einer kreisförmigen Bahn um ein Zentrum, wenn man als Bezugssystem das mitrotierende System nimmt (welches kein Intertialsystem ist).

Im Falle einer Kreisbahn, richtet sich die Zentrifugalkraft nach aussen (also vom Zentrum weg) und die Größe ist:

\(\Large F_{Zf} = m \cdot \omega^2 \cdot r \)

Dieses Kraftfeld kann man auch durch sein Potential beschreiben:

\( \Large \Phi(r) = \space – \frac{1}{2} \omega^2 \cdot r \)