Gehört zu: Physik
Siehe auch: Relativitätstheorie, Kosmologie, Expansion des Universums, Metrik-Tensor, Singularität
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Stand: 20.10.2024

Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie (ART) geht es um die Gravitation, die ja schon von Newton beschrieben wurde. Die Gravitation bewirkt, dass es keine Inertialsysteme gibt – und damit die SRT nur als vereinfachende Idealisierung verstanden werden kann.

Ein Ausgangspunkt für die ART ist das sog. Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugssystem nicht von einem Bezugssystem mit einem homogenen Gravitatiosfeld unterschieden werden kann. Formelmäßig ist dann die sog. “träge Masse” identisch mit der “schweren Masse”….

Quelle: Youtube Video https://youtu.be/hU0Mcd2-XH4

Bekannt sind seine berühmten sog. Feldgleichungen:

\( \Large R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Die obige Gleichung kann so kompakt hingeschrieben werden, weil sog. Tensoren verwendet werden. Solche Tensoren sind unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem (invariant gegen Koordinatentransformationen).

Bei gegebenem Energie-Impuls-Tensor (auf der rechten Seite) beschreibt die linke Seite der Gleichung die dadurch verursachte Geometrie der Raumzeit (d.h. die Krümmung der Raumzeit).

Der Metrik-Tensor ist \( g_{\mu \nu} \). Gemäß Konvention laufen die Indices μ und ν = 0,1, 2, 3 wobei 0 die Zeit-Koordinate bedeutet.

Den Metrik-Tensor habe ich wohl verstanden und im Einzelnen in einem separaten Blog-Post beschrieben.

\( T_{\mu \nu} \\\) ist der sog. Energie-Impuls-Tensor, den man im Vakuum einfach auf Null setzt (sog. Vakuumlösungen).

Energie und Impuls werden gemäß der speziellen Relativitätstheorie mit sog. Vierervektoren beschrieben.  Wenn man noch Druck und Stress hinzunimmt, bekommt man den Energie-Impuls-Tensor.

Der Vierervektor der Raumzeit ist:

\(\vec{R} = \left( \begin{array}{c} c t \\ x \\ y \\ z\\ \end{array} \right) \\ \)

Der Vierervektor von Energie und Impuls ist:

\(\vec{P} = \left( \begin{array}{c} E \\ p_x c\\ p_y c\\ p_z c\\ \end{array} \right) \\ \)

Diese Vierervektoren sind aber noch abhängig vom benutzen Koordinatensystem. Um unabhägig vom Koordinatensystem zu werden, müssen wir Tensoren bemühen. Dazu bilden wir die kovariante Ableitung nach der Eigenzeit.

Der Engergie-Impuls-Tensor soll Massendichte, Energiedichte, Druck, Impuls, und Stress beschreiben. Dieser Tensor ist für die Entwicklung des Universums wichtig; siehe: Expansion des Universums.

Der Energie-Impuls-Tensor schreibt sich also:

\( T_{\mu \nu} =  \left( \begin{array}{rrrr} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\T_{20} & T_{21} & T_{22}  & T_{23}\\T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33}\\    \end{array} \right) \)

Λ (großes Lambda) ist die sog. kosmologische Konstante, die ursprünglich (1915) nicht in der Gleichung stand, sondern später von Einstein eingeführt wurde, um dem gravitativen Kollaps des Universums entgegen zu wirken.

\( R_{\mu \nu} \) ist der sog. Ricci-Tensor – keine Ahnung, was das sein soll.

Manchmal sieht mit die Einsteinschen Feldgleichungen auch in einer etwas anderen Form:

\( \Large G_{\mu \nu}  = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\\)

Mit dem sog. Einstein-Tensor:

\( \Large G_ {\mu \nu}  = R_{\mu \nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}  \\\)

Was man immer wieder hört, ist dass nach Einstein große Massen die Raumzeit krümmen. Wobei die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit nicht in eine weitere Dimension (die fünfte) geht, sondern die Raumzeit “in sich” gekrümmt wird, soll wohl heissen, dass nicht mehr die Euklidische Metrik gilt, sondern eine andere Metrik, eine “Nichteuklidische Metrik“.

Lösungen

Unter bestimmten zusätzlichen Annahmen bekommt man Lösungen der obigen Formeln; z.B. bekommt man unter den Annahmen von Homogenität und Isotropie als Lösung die sog. Friedmann Gleichungen.

Eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen nennt man eine Raumzeit.

Siehe hierzu: Krümmung der Raumzeit