Gehört zu: Physik, Himmelsmechanik
Siehe auch: Gravitation, Potential, Algebren, Lagrange-Formalismus, Keplersche Gesetze, Phasenraum
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Stand: 02.06.2024 (Schrödinger, Lagrange)

Newtons Gesetze

In der Newtonschen Mechanik wird “alles” durch die Wirkung von Kräften erklärt.

Aus der Schule kennen wir: Kraft = Masse mal Beschleunigung

Das bedeutet, dass wenn wir an einer Masse eine beschleunigte Bewegung messen, so erklären wir diese beschleunigte Bewegung als Wirkung einer Kraft.

Im SI-System ist dementsprechend die Maßeinheit für die physikalische Größe “Kraft” das Newton (1 Newton= 1 N = 1 kg m /s²).

Newton formulierte 1687 die bekannten drei “Gesetze”:

1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.  “Trägheitsgesetz”
2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung: \( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)   “Aktionsprinzip”
3. Kraft gleich Gegenkraft.   “Actio gleich Reactio”

Diese Gesetze bilden das Fundament der Klassischen Mechanik.

Das obige Newtonsche Aktionsprinzip wird auch Impulssatz genannt, weil der Impuls \(\vec{p}=m \cdot \vec{v}\) ist; also
\( \vec{F} = \dot{\vec{p}}  \)

Diese Newtonsche Mechnik arbeitet gern mit Vektoren und Cartesischen Koordinaten. Bei anderen Koordinatensystemen (z.B. Polar, Sphärisch) werden diese Newtonschen Gleichungen schnell “sperrig”. Da versucht die Lagrange-Mechanik einen anderen Ansatz.

Intertialsysteme

Diese drei Newtonschen Gesetze (auch Axiome genannt) gelten in sog. Inertialsystemen, das sind Bezugssysteme, die sich gradlining mit gleichbleibender Geschwindigkeit gegeneinander bewegen.
Besser definieren wir, dass ein Intertialsystem genau ein Bezugssystem ist, in dem diese drei Newtonschen Gesetze gelten. Alle gleichförmig (auch “ruhende”) und natürlich gradlinig dazu bewegten Bezugssysteme sind dann auch Intertialsysteme.

Der so definierte Kraftbegriff gilt relativ zu einem benutzten Bezugssystem. Da die Beschleunigung eines Körpers in allen Inertialsystemen gleich ist, ist auch die Kraft auf diesen Körper in allen Inertialsystemen gleich.
Sobald ich aber ein Nicht-Intertialsystem benutze (z.B. geradlinig beschleunigte oder rotierende Bezugssysteme), muss ich fürchterlich aufpassen. Dort beobachte ich Beschleunigungen, die in Inertialsystem gar nicht auftreten und denen man dann auch Kräfte zuordnet, die dann aber Scheinkräfte (Trägheitskräfte) genannt werden.
Beispiel 1: (Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem): Andruck bei Bescheunigung im Auto auch bei Geradeausfahrt.
Beispiel 2: (Rotierendes Bezugsystem): Zentrifugalkraft, Corioliskraft.

Bewegungsgleichungen

Man möchte ja die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems (die Bewegung eines Teilchens) unter Einwirkung äußerer Einflüsse (z.B. eines Kraftfelds) beschreiben. Im Allgemeinen sucht man also:

Ortsvektor in Abhängigkeit von der Zeit: \( \vec{s}(t) \)
Geschwindigkeitsvektor in Abängigkeit von der Zeit:  \( \vec{v}(t) \)

Wobei gegeben ist ein Kraftfeld: \( F(r,t) \)

Man findet diese beiden Funktionen als Lösung von sog. Bewegungsgleichungen, die z.B. diese äußeren Einflüsse (z.B. das Kraftfeld) beschreiben. Ausgangspunkt ist dabei immer das Newtonsche Gesetz (s.o.):

\( \vec{F} = m \cdot \dot{\vec{v}}  \)

Nur bei ganz kleinen Teilchen ist die Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung) gefragt.

Das Gravitationsgesetz

Im Jahre 1668, formulierte Isaac Newton (1642-1727) das berühmte Gravitationsgesetz:

\( F = G \frac{m \cdot M}{r^2}  \)

aus dem sich auch die Keplerschen Gesetze herleiten lassen…

Das Besonere der Erkenntnis von Newton ist nicht nur die Formulierung als eine einzige Formel, sondern auch, dass die Gravitationskraft zwischen allen Körpern im Universum wirkt. Beispielsweise kreisen die Jupitermonde gemäß diesem Gesetz um den Jupiter und ebenfalls kreisen Doppelsterne etc. aufgrund der Gravitation umeinander…

Massen erzeugen also eine “Gravitation”, die man auch als Schwerefeld bezeichnet. Dieses ist ein konservatives Kraftfeld und kann demzufolge auch durch sein Potiential beschrieben werden.

Isaac Newton hat auch sehr viel über das Licht geforscht. Stichworte dazu wären: Teilreflektion, Newtonsche Ringe,…

Die Größe der Gravitationskonstante \( \gamma \) wurde erst viel später durch das berühmte Experiment “Gravitationswaage” von Henry Cavendish (1731-1810) bestimmt.

In der Wikipedia finden wir:

\( \Large G = (6{,}674\,30\pm 0{,}000\,15)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} \)

 

Beispiel: Freier Fall nach Newton

Der äußere Einfluss ist hier die Erdanziehung, die auf eine punktförmige Masse m eine Kraft \( \vec{F} = m \cdot \vec{g} \) ausübt; wobei wir die Gravitationsbeschleunigung \( \vec{g} \) idealisiert mit konstanter Größe und konstanter Richtung annehmen.

Die Fragestellung ist nun, wie sich ein Massepunkt, der zur Zeit t=0 die Anfangsbedingungen s(0)=0 und v(0)=0 erfüllt, in der Zeit weiter bewegt.
Die Bewegungsgleichung hierfür ist:  \( m \cdot \dot{\vec{v}}(t) = m \cdot \vec{g} \)

Die Lösung dieser Bewegungsgleichung erfolgt durch Integration. Zusammen mit den Anfangsbedingungen ergibt sich:

\( \vec{v}(t) = \vec{g} \cdot t \)
\( \vec{s}(t) = \frac{1}{2} \vec{g} \cdot t^2 \)

Neben der klassischen graphischen Darstellung dieser beiden Funktionen können wir auch einen sog. Phasenraum verwenden.