Physik: Quantenmechanik

dkracht

Gehört zu: Physik
Siehe auch: Kosmologie, Teilchenphysik, Von Pythagoras bis Einstein, Lineare Algebra, Plancksches Strahlungsgesetz
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Stand: 22.08.2024   (Doppelspalt-Experiment, Compton-Streuung, Observable)

Der Weg der Quantenmechanik

Im Jahr 1900 formulierte Max Planck (1858-1947) sein Strahlungsgesetz und seine Quantenhypothese. Erst um 1925 entwickelte sich daraus eine Quantentheorie/Quantenmechanik, die die physikalische Systeme im Kleinen (z.B. Elementarteilchen, Atome,…). gut beschreibt. Wesentliche Etappen sind:

Klassische Mechanik

Youtube-Video von Sean Carroll: https://youtu.be/dCrbOmBsTRk?feature=shared

Vor der Quantenmechanik hatten wir so bis 1890 eine schöne heile Welt. Die klassische Mechnik mit wenigen kleineren ungelösten Fragen. Dachte man.

Wir hatten Materie und Kräfte. Die Materie bestand aus Teilchen, die Kräfte waren Felder. Man musste also alle Teilchenarten finden und dann die Kraftfelder, die auf sie wirken, um das Verhalten der Teilchen mit Ort und Geschwindigkeit zu beschreiben. Dachte man.

Dann kam aber die Quantenmechanik und wollte statt mit Ort und Geschwindigkeit alles mit Wellenfunktionen beschreiben. so eine Welle hätte aber keinen Ort.

Verständnis der Quantenmechanik

Die Formalismen der Quantenmechanik dienen lediglich als Mittel zur Vorhersage der relativen Häufigkeit von Messergebnissen; diese werden als die einzigen Elemente der Realität angesehen.

Eine wirkliches “inneres” Verständnis der Quantenmechanik ist heute noch nicht vorhanden. Man kann zwar damit “rechnen”, weiss aber eigentlich nicht, was da “im Inneren” passiert. Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Interpretations_of_quantum_mechanics

Zitat Richard Feynman: “I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”
Link: https://www.researchgate.net/post/I_think_I_can_safely_say_that_nobody_understands_quantum_mechanics_R_Feynman_If_that_statement_is_true_how_can_we_know_if_QM_is_true

Das Doppelspalt-Experiment mit Licht

Thomas Young (1773-1829) hat im Jahre 1802, das berühmte Doppelspalt-Experiment mit Licht unternommen. Es zeigt Interferenzmuster, was klar auf den Wellencharakter des Lichts hinweist. Damals war die gängige Lehre noch, dass Licht aus Teilchen besteht.

Das Experiment gehört zu den Schlüsselexperimenten der Physik.

Später hat man dieses Experiment auch mit Materiewellen, z.B. 1957 Claus Jönsson mit Elektronen, durchgeführt.

Das Plancksche Strahlungsgesetz

Max Planck (1858-1947) beschäftigte sich mit die Strahlung eines sog. “Schwarzen Strahlers”. Speziell ging es ihm darum, wie sich in Abhängigkeit von der Temperatur die abgestrahlte Energie über die Wellenlängen hin verteilt. Früheren Formeln zur Verteilung der Energie über die Wellenlängen z.B. von Wilhelm Wien und später von Rayleigh-Jeans waren nur Teilerfolge, da sie nur Näherungen für kleine Wellenlängen bzw. größere Wellenlängen waren.

Über das Plancksche Strahlngsgesetz habe ich eine separaten Blog-Beitrag geschrieben.

Quelle: http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/historisch/schwarze_korper.html

Plancks Quantenhypothese

Häufig hört man, dass aus Plancks Formel angeblich die Aussendung der Energie in sog. Quanten (ganzzahlige Vielfache  von h mal ν) folgt. Das kann man aber aus der Formel selbst überhaupt nicht ableiten.

Vielmehr ist es so, dass Planck, nachdem er die Formel formuliert hatte, versuchte sie herzuleiten. Dabei modellierte er (angeblich) die elektromagnetische Strahlung (das Licht) als Teilchen, die sich wie ein Gas verhalten sollten. Die unterschiedlichen Geschwindigkeiten solcher Teilchen modelliert Planck als unterschiedliche Wellenlängen der Strahlung…

Ein solches Teilchen sollte eine von der Frequenz seiner Strahlung abhängige Energie haben. Das ist die zentrale Formel (Quantenhypothese) von Planck:   \(E = h \cdot \nu \)

Der Photoelektrische Effekt

Einfacher für mich ist die Erklärung mit dem photoelektrischen Effekt. Nach Einstein (1879-1955) besteht das Licht aus Teilchen mit der Energie \(E = h \cdot \nu \), um den photoelektrischen Effekt zu erklären. Diese Lichtteilchen nennt Einstein Photonen. Allerdings haben die Photonen die Ruhemasse Null und bewegen sich in Vacuum immer mit der konstanten Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit c.

Nach Einstein nimmt die Intensität von Licht dadurch zu, dass mehr Photonen mit der gleichen Energie pro Teilchen abgestrahlt werden. Der photoelektrische Effekt wirkt aber erst dann, wenn das einzelne Photon die erforderliche Energie hat, um Elektronen aus dem Basismaterial herauszulösen. Es ist also nicht eine bestimmte hohe Intensität des Lichts erforderlich, sondern eine bestimmte hohe Frequenz, um die Auslösearbeit zu leisten…

Dieses Experiment zeigt den Teilchencharakter des Lichts mit Teilchen der Energie \( E = h \cdot \nu \).

Das Bohrsche Atommodell

Der Erfolg dieser Theorien brachte Niels Bohr (1885-1962) dazu, so eine Quantelung auch für die Enegieniveaus der Elektronen-Orbitale in seinem Atommodell anzunehmen.

Man stellt sich dabei so ein Orbital als eine stehende Welle (s. Wellenfunktion) vor.

Compton-Streuung

Der US-amerikanische Physiker Arthur Compton (1892-1962) machte 1922 das berühmte Experiment zur Streuung von Photonen an Elektronen. Dabei war die Frequnz des gestreuten Lichts kleiner als die Frequenz des eingestrahlten Lichts. Diese Differenz in der Frequenz erklärte er durch die an das Elektron übertragene Energie: \( \Delta E = h \cdot \nu_1 \, – \, h \cdot \nu_2 \)

Dieses Experiment zeigt erneut den Teilchencharakter des Lichts mit Teilchen der Energie \( E = h \cdot \nu \).

Dieser Effekt der Frequenzveränderung ist bei sichtbarem Licht so klein, dass man ihn damals nicht messen konnte. Bei kurzwelligerem Licht (Röntgenstrahlen) ist der Effekt deutlich größer, aber man braucht ein genaues Verfahren zum Messen der Wellenlänge von Röntgenlicht. Letzteres machte Compton mit einem Bragg-Kristall.

Materiewellen

Nun ist aber nicht nur so. dass Wellen Teilchencharakter haben, sondern auch Teilchen können Wellencharakter haben.

Zu diesem sog. Welle-Teilchen-Dualismus habe ich einen separaten Blog-Beitrag geschrieben.

Quantelung

Welche physikalischen Größen sollen den nun “gequantelt” sein; d.h. nur in ganzzahligen Vielfachen einer (kleinen) Elementargröße (=Quanten) vorkommen? Kommt jede physikalische Größe in “Quanten” oder nur bestimmte?

Ich habe in Heidelberg gehört, dass die Quantelung nur für physikalische Größen zutrifft, die konjugiert zu einer periodischen Größe sind. Was immer das heissen mag…

Die Wellenfunktion

Zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme (z.B. Photonen, Elektronen,…) verwendet die Quantenmechanik sog. Wellenfunktionen. Das sind komplexwertigen Funktionen, die vom Ortsvektor r und von der Zeit t abhängen können:

\( \Psi(r,t): \mathbb{R}^3  \times \mathbb{R} \to \mathbb{C} \)

Dabei, so sagt man, beinhaltet eine Wellenfunktion alle Informationen, um das betreffene quantenmechanische System zu beschreiben. Die Wellenfunktion selbst ist keine beobachtbare Größe, aber aus der Wellenfunktion lassen sich Wahrscheinlichkeitsdichten für alle denkbaren physikalischen Größen berechnen (mit Hilfe sog. Operatoren).

Wie man zu einem quantenmechanischen System die zugehörige Wellenfunktion findet, ist eine besondere Geschichte, die zur Schrödinger Gleichung führt…

Meine Hauptpunkte dazu:

  1. Wenn man eine Wellenfunktion hat, wie kommt man dann zu den Observablen? Stichworte: Operatoren, Korrespondenzprinzip,…
  2. Wie bekommt man überhaupt die Wellenfunktion zu einem quantenmechanischen System? Stichwort: Schrödinger,…

Die Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung deren Lösungen die Wellenfunktionen des betrachteten quantenmechanischen Systems sind.

Näheres dazu habe ich in einem separaten Blog-Artikel geschrieben.

Die Kopenhagener Deutung

Es war die Frage, was die Schrödingersche Wellenfunktion eigentlich bedeuten sollte…