Gehört zu: Mathematik
Siehe auch: Lineare Algebra, Kraftfeld, Arbeit, Schrödinger, Maxwell

Stand: 03.12.2013

Differentialoperatoren: Gradient

Bei einer Funktion von \(\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ist ja klar, was eine Ableitung (Differentialquotient) ist: Anschaulich die Änderungsrate des Funktionswerts an einer bestimmten Stelle…
Wenn der Definitionsbereich einer Funktion nicht mehr \(\mathbb{R}\) sondern \(\mathbb{R}^3\) ist, nennt man eine solche Funktion auch ein “Skalarfeld”, weil durch die Funktion jedem Punkt im Raum \(\mathbb{R}^3\) ein skalarer Wert zugeordnet wird (Beispiel: Temperatur). Eine “Änderungsrate” einer solchen Funktion wäre dann ja von der Richtung abhängig, in die ich gehe; also muss so eine “Änderungsrate” ein Vektor werden. So eine “Änderungsrate” eines Skalarfeldes nennt man dann den “Gradienten” s.u.

Sei also \( \Phi \) eine Funktion \(\Phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) dann ist der Gradient von \( \Phi \) :

\( \Large grad  \enspace\Phi = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial x} \\\ \frac{\partial \Phi}{\partial y} \\\ \frac{\partial \Phi}{\partial z}  \end{array} \right]  \\\  \)

Differentialoperatoren: Nabla

Generell definiert man auf einem Vektorraum dann besondere Abbildungen, sog. Differentialoperatoren. Man benutzt dazu die Koordinatenschreibweise. Wir nehmen hier immer die klassischen Cartesischen Koordinaten. Wenn man andere Koordinatensystem hat, sehen die Formeln dann etwas anders aus.

Wir nehmen als Definitionsbereich für unsere “Felder” den Vektorraum \(\mathbb{R}^3\). dann haben wir partielle Ableitungen nach den drei Koordinaten: x, y und z und man definiert als sog. Nabla-Operator:

\( \Large \nabla = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\\ \frac{\partial}{\partial y} \\\ \frac{\partial}{\partial z}  \end{array} \right]  \\\  \)

Damit kann man dann einfach definieren:

• Gradient eines Skalarfeldes:  \( \nabla \Phi \) (ist ein Vektorfeld)
• Divergenz eines Vektorfeldes: \( \nabla \cdot \vec{V} \) (ist ein Skalarfeld)
• Rotation eines Vektorfeldes: \( \nabla \times \vec{V} \)  (ist ein Vektorfeld)

Dies wird benutzt beispielsweise bei den Maxwellschen Gleichungen und der Schrödinger-Gleichung.

Im einfachen Fall, wenn unser Definitionsbereich nur ein Vektorraum der Dimension 1 ist (\(\mathbb{R}^1\)), ist der Gradient einfach die erste Ableitung.

Kraftfeld und Gradient

In einem konservativen Kraftfeld F(r)  kann man als Skalar ein Potential V(r) definieren, sodass die Kraft der Gradient den Potentials wird:

\( \vec{F}(r) = \nabla V(r) \)

Elektrisches Feld und Divergenz

Ein Elektrisches Feld wird durch eine ruhende elektrische Ladung erzeugt.
Ein Elektrisches Feld ist ein Vektorfeld, das man üblicherweise \( \vec{E} \) schreibt.

Feldstärke  – Feldlinien – xyz

Für das von einer Elektrischen Ladung Q erzeugte E-Feld \( \vec{E} \) gilt:

\( \nabla \cdot \vec{E} = 4 \pi Q \\\)

Da die Elektrische Ladung Q sozusagen das Elektrische Feld erzeugt, nennt man es auch die Quelle des E-Feldes…

Magnetisches Feld

Ein Magnetisches Feld wird durch bewegte elektrische Ladungen erzeugt.
Ein Magnetisches Feld ist ein Vektorfeld, das man üblicherweise \( \vec{B} \) schreibt.

Für ein Magnetisches Feld gilt:

\( \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\\)

D.h. es gibt keine Quelle und alle Feldlinien sind geschlossen…