Gehört zu: Kosmologie
Siehe auch: Allgemeine Relativitätstheorie, Friedmann-Gleichung

Stand: 18.04.2025

Due Robertson-Walker-Metrik wird auch Friedmann-Le Maitre-Robertson-Walker-Metrik (kurz: FLRW-Metrik) genannt, weil Friedmann und Le Maitre sie unabhängig von Roberson und Walker fast gleichzeitig gefunden hatten.

Unter den Annahmen von (räumlicher) Homogenität und (räumlicher) Isotropie kann die FLRW-Metrik aus den Einsteinschen Feldgleichungen hergeleitet werden wobei auch eine konstante Krümmung vorausgesetzt wird. Im Gegenstz zur Schwarzschild-Metrik beschreibt die FLRW-Metrik die großräumige Entwicklung des gesamten Kosmos.

Ausgangspunkt sind also die Einsteinschen Feldgleichungen der ART:

xyz

Eine Metrik kann durch ihr Linienelement oder durch ihren Metrik-Tensor anggeben werden. In jedem Falle benötigen wir ein Koordinatensystem. In mitbewegten sphärischen Koordinaten (r, θ, φ) wäre das:

\( ds^2 = c^2 dt^2 – {a(t)}^2\Large (\frac{d r^2}{1 – k r^2} \normalsize+ r^2 d\theta^2 +r^2 sin^2 \theta \, d\phi^2)\\ \)

oder auch:

\( ds^2 = c^2 dt^2 – {a(t)}^2\Large (\frac{d r^2}{1 – k r^2} \normalsize+ r^2 d\Omega^2)\\ \)

mit

\(d\Omega^2 = d\theta^2 +  sin^2 \theta \, d\phi^2 \\\)

Wobei hier alternativ drei verschiedene Fälle betrachtet werden: k=0 ein flaches Universum, k=1 ein geschlossenes Universum, k=-1 ein offenes Universum.

Der zugehörige Metrik-Tensor

$g_{\mu \nu }$

in Matrixdarstellung ist:

$$g_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{R^2(t)}{1-k{r}^2}& 0& 0\\ 0& 0& -R^2(t)r^2& 0\\ 0& 0& 0& -R^2(t)r^2{\sin }^2\vartheta \end{array}\right)$$